Simulação de Transientes Elétricos durante Processos de Solda Anódica
Fabiana Ferreira Paes
1, Maurício Fabbri
21
Programa de Pós-graduação em Computação Aplicada (CAP)
2
Laboratório Associado de Sensores e Materiais (LAS)
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)
fabiana.paes@lac.inpe.br
fabbri@las.inpe.br
Resumo
Descrevemos um modelo numérico para a camada de depleção durante a solda eletrostática (solda anódica) na ausência do transporte difusivo com evolução no tempo. O esquema numérico permite modelos com mobilidades independentes dos cátions e dos ânions, permitindo que a camada oxida aumente na interface vidro-metal e a interdependência entre o transporte de sódio e de oxigênio. Contudo, os perfis das cargas da camada de depleção são concentrados à frente da interface, produzindo uma zona de depleção neutra. Deste modo, propomos um estudo detalhado da camada de depleção de íons de sódio.
Palavras-chave: solda anódica, solda eletrostática,
camada de depleção elétrica, contorno variável.
1. Introdução
A microfabricação abrange processos de adicionar e retirar material, além de processos para modificação dos mesmos. Em relação à adição de materiais, podemos citar a solda.
Os métodos que se destacam na solda são aqueles que conseguem unir dois materiais sem fundi-los e sem a utilização de adesivo líquido intermediário; ou seja, é feita por contato mecânico. Os métodos mais eficientes para alcançar este tipo de adesão são as soldas direta e anódica.
A solda direta (“fusion bonding”) é obtida a partir do simples contato entre duas superfícies extremamente limpas. A limpeza, a ausência de rugosidade, a planicidade das superfícies e a sua ativação são fatores determinantes no início do processo de adesão direta. Além da preparação das superfícies a serem aderidas, freqüentemente é usado um recozimento em altas temperaturas, para a obtenção da união permanente entre os materiais (Rios et al, 2000).
A solda eletrostática ou solda anódica ocorre em temperaturas entre 200 e 500ºC e sob influência da migração dos cátions de sódio (Na+) da dissociação de Na2O no interior do vidro em direção ao pólo negativo, e assim forma uma camada de depleção de íons de sódio
na vizinhança da interface metal-vidro unindo as superfícies devido ao campo eletrostático alto. Neste tipo de adesão os materiais mais utilizados são metais ou semicondutores, aderidos a vidros. E a tensão total aplicada entre o pólo positivo e negativo é alta e constante (~1000V).
2. Solda anódica: conceitos básicos e
aplicações
O processo de solda eletrostática também chamada solda anódica, teve início em 1969 com o trabalho pioneiro de G. Wallis e D. I. Pomerantz que propuseram a união de diferentes tipos de vidros em temperaturas abaixo do ponto de amolecimento, como por exemplo, sílica fundida e metais como titânio, ou semicondutores (tais como silício, germânio) impondo uma diferença de potencial entre os dois materiais a serem soldados.
A junção aconteceu em 1 minuto aproximadamente, aplicando uma tensão total de 1000V entre o vidro e o metal. Wallis G. e Pomerantz D. I., (1969) aplicaram este processo em um certo número de combinações de metal (ou semicondutor)-vidro.
O processo proposto ganhou utilidade por ser desenvolvido em temperaturas inferiores aquelas utilizadas em solda por fusão térmica e também por não ser tão dependente do processo de limpeza e da planicidade das superfícies como o processo de solda direta (“fusion bonding”). É, portanto um processo que pode ser adicionado ao final de uma seqüência de microfabricação de dispositivos (Rios et al, 2000).
O trabalho de Albaugh (1991) propõe um modelamento para o transiente de corrente durante a solda anódica Si-Pyrex, e considera a camada de vidro como um resistor e a camada de depleção anódica como um capacitor revestido de metal. A resistência do vidro é determinada pela resistividade e pela geometria experimental e a capacitância da camada de depleção em função da área, da quantidade de carga transportada e da constante dielétrica do vidro. O modelo em questão equivale às medidas experimentais em pequenos intervalos de tempo, e sugere o transporte de muitos íons.
O trabalho de Rios et al, (2000) descreve um modelo de evolução no tempo da camada de depleção e da corrente durante a solda anódica e introduz um valor crítico para o campo elétrico, que causa o transporte imediato de oxigênio no vidro, resultando assim em comportamentos distintos para pequenos e grandes tempos.
Esse trabalho segue uma forma simplificada para a solução analítica das equações e considera a distribuição total da tensão dentro do vidro. Os resultados desse trabalho mostraram ser coerentes com o modelo proposto por Albaugh, (1991).
3. Metodologia
3.1. Modelo
Apresentamos para a solda anódica um modelo para o movimento dos íons durante o processo. Consideramos um esquema simples em que o potencial é inteiramente distribuído dentro do vidro, como é mostrado na figura 3.1. Desprezamos a queda de potencial na camada de semicondutor, que possui uma resistividade bastante inferior ao vidro.
Figura 3.1: Esquema da disposição dos eletrodos durante a solda semicondutor-vidro.
Em t = 0 (no momento que a tensão total é imposta sobre o par), o campo elétrico é uniforme ao longo do vidro E = E0 (figura 3.2) e inicia-se o movimento dos portadores de carga (íons de sódio no vidro e elétrons no silício).
Figura 3.2: Campo elétrico uniforme (E=E0), em t = 0s.
Nos próximos instantes de tempo o campo elétrico tende a arrastar os íons de sódio (Na+) para o pólo negativo, figura 3.3. Contudo os íons de O2- ficam
estacionários devido à pequena mobilidade, assim uma região crescente adjacente ao ânodo, que já estava
depletada de íons de Na+, torna-se negativamente
carregada conforme a figura 3.4. Conseqüentemente o campo elétrico, nesta região terá um comportamento linear.
Figura 3.3: Densidade de carga dos íons de sódio (Na+) na espessura do vidro.
Figura 3.4: Densidade de carga total na espessura do vidro.
Denotamos no interior do vidro as densidades de carga normalizada do sódio (cátion) e do oxigênio (ânion) por ρ+ e ρ-, respectivamente, satisfazendo, 0 ≤ ρ+,- ≤ 1 (ρ+,- = n+,- / n0+, onde n0+ é o conteúdo inicial de sódio no vidro), conforme Fabbri & Senna (2004).
A figura 3.5 refere-se aos perfis de carga e de campo elétrico no desenvolvimento da camada de depleção. Denotamos o fluxo de carga normalizada dos cátions do sódio por J+. A interface da camada de depleção Γ é deslocada por uma quantidade dx durante o intervalo de tempo dt, satisfazendo
dt
J
dx
=
+ . (3.1) Note que a interface metal-vidro em x = 0 não é fonte de íons de sódio, assim J+ = 0 para 0 ≤ x ≤ Γ. O aumento do campo elétrico na camada de depleção segue a lei de Gauss-Poisson (Jackson, 1975),ε
ρ
=
∂
∂
x
E
. (3.2) Na região exterior à camada de depleção, o campo elétrico é uniforme. Assumimos que a queda do potencial ocorre apenas dentro da espessura do vidro L e o perfil do campo elétrico deve satisfazer∫
=
LEdx
V
0 0 .(3.3)
O fluxo de corrente local relaciona o valor do campo elétrico local e a densidade de carga local de acordo com a relação J = J(E,ρ) que é denotada:
)
(E
f
J
+=
µ
+ρ
+ .(3.4) Na ausência do transporte de oxigênio, as equações 3.1 a 3.4 determinam à evolução no tempo da camada de depleção Γ(t). O comportamento ôhmico do transporte de Na+,
J
+=
µ
+ρ
+f
(E
)
, leva à mesma solução que Albaugh, (1991) encontrou através do modelo equivalente a um circuito com capacitância variável.À medida que a camada de depleção avança, o campo elétrico na interface metal-vidro aumenta e à frente de Γ(t), o campo elétrico e a velocidade v(t) de avanço diminuem com o tempo.
Empregar-se uma primeira aproximação ôhmica para o fluxo de ânions:
)
(E
f
J
−=
µ
−ρ
− .(3.5) À medida que os valores do campo elétrico ficam altos, o fluxo de ânions de oxigênio torna-se considerável em direção a interface metal-vidro. Deste modo, esperamos que uma região neutra de carga se desenvolva com o tempo na camada de depleção e assim limite o valor do campo elétrico na interface metal-vidro.
Figura 3.5: Perfis de densidade de carga e campo elétrico durante desenvolvimento da camada de depleção, ambos com transporte de íons de sódio (+) e
de oxigênio (-).
3.2 Esquema Numérico
Para o desenvolvimento do esquema numérico (Press et al, 1992) levam-se em conta:
(1) a insignificância do transporte de oxigênio no exterior a camada de depleção no interior do vidro, onde o campo elétrico é uniforme, de baixa intensidade e com decremento estável no tempo; (2) o decremento da velocidade de avanço da camada
de depleção no tempo;
Uma razão adicional para desprezar o transporte de oxigênio no exterior da camada de depleção, é a presença de íons de sódio em x > Γ, que faz com que os átomos de oxigênio permaneçam imobilizados pelo par iônico Na2O.
As equações 3.1 a 3.5 são tratadas como um problema de contorno móvel, em que é integrada de acordo com o seguinte algoritmo:
(1) com o campo elétrico na posição Γ, obtemos o fluxo de corrente local dos cátions Na+ usando a relação descrita na equação 3.4;
(2) calculamos o deslocamento ∆x da posição da camada de depleção avança durante o intervalo de tempo ∆t, de acordo com a equação 3.1;
(3) com os valores atuais do campo elétrico no interior da camada de depleção, o novo valor do perfil da densidade de carga dos ânions ρ-(x) é então obtido considerando um esquema numérico explícito da equação 3.5 (Hoffman, 1992).
(4) com a densidade de carga total
ρ
=
ρ
+−
ρ
−, o campo elétrico no tempo t + ∆t é encontrado pela integração da equação de Poisson (equação 3.2) subjacente ao potencial total normalizado, equação 3.3.As condições iniciais (quando t = 0 e Γ = 0) são E = E0 = V0/L, ρ+ = ρ- = 1.0 (campos uniformes). Note que a iteração do tempo no passo 2 estabelece uma malha com espaçamento variável sobre o domínio 0 ≤ x ≤ Γ (Fabbri & Senna, 2004).
4. Resultados
Esta seção representa os resultados obtidos para o campo elétrico, o fluxo de corrente e a densidade de carga para o transporte de íons de sódio e de oxigênio.
1ª parte: O transporte de íons de sódio (Na+)
considera a densidade de carga constante (ρ+ = 1.0) e a mobilidade dos íons de oxigênio (O2-) desprezível (µ - = 0.0); = −ρ+ ρ_ ρ 0 METAL GLASS 1 1 -1 EI EΓ Γ x ρ+ ρ_ E
2ª parte: Valores finitos para a mobilidade são considerados para o transporte de íons de Oxigênio (O2-). Neste trabalho apresentamos um valor finito.
A tabela 4.1 mostra as constantes usadas na simulação numérica (Fabbri e Senna, 2004).
Valores característicos do comprimento lD para
dinâmica da camada de depleção são definidos como:
+
=
0 02
n
V
l
Dε
,(3.5) obtemos lD = 2.12×10-8 m, usando a tabela 4.1.
Tabela 4.1: Valores dimensionais dos parâmetros usados nas simulações numéricas.
Parâmetro Sim- bolo Valor Quadro experimen- tal Tensão aplicada V0 1000V Espessura do Vidro L 3,2 mm Proprieda- des Físicas Constante Dielétrica ε 7ε0 Permissibili- dade ε0 8.85× 10-12 F/m Carga do sódio n0+ 2.77× 108 C/m3 Resistividade iônica do Na+ r 1.1×105 Ω.m
4.1. 1ª Parte: Transporte de íons de Sódio
(Na
+)
Os valores do fluxo de corrente são proporcionais ao fluxo dos cátions de sódio, conforme equação 3.4, na posição da interface Γ. No modelo linear simples
(ôhmico), J+ têm o mesmo comportamento do campo
elétrico local (E+) em Γ.
A figura 4.1.1 mostra o fluxo de corrente obtido para os íons de sódio. O quadro experimental obtido por Albaugh (1991) é apresentado na figura 4.1.2, ajustado por um polinômio de terceiro grau. Ao comparar estas figuras percebe-se que o resultado numérico (µ - = 0.0) decresce rapidamente em relação os dados experimentais. Assim torna-se necessário à análise de resultados aumentando a mobilidade dos íons de O2- em relação à do Na+.
A figura 4.1.3 apresenta a simulação numérica para o campo elétrico que decresce linearmente no interior da camada de depleção, devido sua relação com o fluxo de corrente.
Os resultados da camada de depleção calculados numericamente e os obtidos por Albaugh (1991) estão representados na figura 4.1.4 e mostram-se coerentes no intervalo de tempo [0, 90s].
Os resultados apresentados foram obtidos para mobilidade dos ânions de oxigênio µ = 0.0.
Figura 4.1.1: Decremento do fluxo de corrente normalizado no tempo, considerando a mobilidade dos ânions de oxigênio µ - = 0.0.
Figura 4.1.2: Decremento do fluxo de corrente normalizado no tempo , pontos medidos por
Albaugh, (1991) .
Figura 4.1.3:Campo elétrico na camada de depleção para µ - = 0.0.
Figura 4.1.4: Comparação da camada de depleção calculada, com µ - = 0.0 e o resultado obtido
por Albaugh (1991).
4.2. 2ª Parte: Transporte de íons de Oxigênio
(O
2-)
Valores finitos para a mobilidade dos íons de oxigênio são considerados para obter os resultados dos transientes elétricos.
A densidade de oxigênio foi calculada explicitamente no tempo. Deste modo, obtemos o campo elétrico e o fluxo de corrente no interior da camada de depleção utilizando o esquema numérico mostrado anteriormente.
O fluxo de corrente aproxima-se dos dados experimentais obtidos por Albaugh ao aumentar a mobilidade dos íons de O2-.
A figura 4.2.1 representa o decremento do fluxo de corrente normalizado no tempo, considerando a mobilidade dos ânions de oxigênio µ - = 0.00003.
x/ld J/ J 0 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 4.2.1: Decremento do fluxo de corrente normalizado no tempo.
A figura 4.2.2 compara o campo elétrico obtido na camada de depleção para µ - = 0.0 e µ - = 0.00003.
A figura 4.2.3 compara a densidade de íons de O 2-que permanecem no interior da camada de depleção de íons de Na+.
A camada de depleção calculada pode ser vista na figura 4.2.4. x/ld E/ E0 0 0.25 0.5 0.75 1 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 mob = 0.0 mob = 0.00003
Figura 4.2.2: Campo elétrico na camada de depleção.
x/ld n/ n0 0 0.25 0.5 0.75 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 mob = 0.00003 mob = 0.0
Figura 4.2.3: Densidade de íons de O2- no interior da camada de depleção. t [s] c a ma da de de pl e ç ã o 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 4.2.4: Camada de depleção calculada (µ - = 0.00003).
Este estudo mostra resultados simples que evidenciam a importância de considerar os íons de oxigênio móveis no interior do vidro através de valores finitos para a mobilidade.
O método explícito utilizado para obter os resultados mostra-se instável para tempos grandes, deste modo torna-se necessário a utilização de um método implícito.
5. Conclusões
Os trabalhos teóricos de Wallis G. e Pomerantz D. I. (1969), Albaugh (1991) e Rios et al (2000) não reproduziram os dados experimentais.
Fabbri & Senna, (2004) propuseram um modelo numérico e ôhmico para a solda anódica Si-Pyrex. E consideraram os íons de sódio e de oxigênio móveis. Assim, o trabalho aproximou-se dos dados experimentais com o aumento da mobilidade do oxigênio.
Nosso estudo reproduziu o trabalho de Fabbri & Senna, (2004), porém utilizamos um esquema numérico explícito para obter os transientes elétricos durante o processo de solda anódica para os íons de oxigênio móveis.
O próximo estudo prevê a implementação do método implícito de Fabbri & Senna, 2004, bem como a influência de não-linearidades na mobilidade dos íons de oxigênio.
6. Bibliografia
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Bonding of Silicon to Sodium Borosilicate Glass.
Journal Electrochem Society, v. 138, n., p. 3089-3094,
oct. 1991.
[2] Fabbri, M.; Senna, J. R. Numerical Simulation of
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Congresso Íbero-Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia. Recife-PE, 2004.
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