Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião

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Curso de linguagem matemática

Curso de linguagem matemática –

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– Professor Renato Tião

Professor Renato Tião

A

Alterações gráficas

lterações gráficas

lterações gráficas e funções compostas

lterações gráficas

e funções compostas

Considere pequenas alterações na sentença algébrica que define uma função f, como por exemplo, mudar o sinal do x na função f(x) = 2x + 3. Se esta alteração for feita, uma nova função é

obtida. Esta função é f ’(x) = 3–2x, pois: f ’(x) = f(–x) = 2(–x) + 3 = –2x + 3.

Alterações algébricas como esta, geram novas funções por meio de composição e quando os

gráficos dessas funções f e f’ são comparados, observa-se uma série de simetrias e propriedades

geométricas importantes para a compreensão da linguagem gráfica.

Neste exemplo, a alteração algébrica “mudar o sinal do x” também pode ser indicada como uma

função: g(x) = –1⋅x. Desta forma temos que f ’(x) = f(g(x)), ou simplesmente f’= f◦g.

É sempre bom lembrar que as tarefas indicadas pela notação da função composta devem ser

executadas no sentido contrário da leitura, ou seja, da direita para a esquerdada direita para a esquerdada direita para a esquerda. da direita para a esquerda

y = f

_◦

_g

_(x)

Assim, em y = fy = fy = fy = f _◦_◦g(x)_◦_◦_g(x)_g(x)_{g(x), a primeira aplicação é a da função g}_g_{g e a segunda aplicação é a da função ffff.}_g

Considere agora, a alteração: “mudar o sinal do y” em y= 2x+3.

A função obtida é –y=2x+3, que na forma explícita fica expressa por y=–2x–3.

Como a função original é f(x) = 2x+3, temos que: y = –2x–3 = –1⋅ f(x).

E sendo g(x) = –1⋅x, também temos que: y = y = y = y = gggg _◦f_◦_◦_◦_f_f_{f (x)}_(x)_{(x) é a composição em que a primeira aplicação}_(x)

é a da função ffff e a segunda aplicação é a da função ggg. g

Observe que a alteração algébrica feita com as duas variáveis é a mesma: “mudar o sinal de” ou ainda “multiplicar por menos um”. Sendo assim cada alteração deste tipo numa relação expressa por y = f(x) pode ser representado acrescentando-se um sinal de menos do lado de fora ou do lado de

dentro dos parênteses da notação f(x).No primeiro exemplo temos y = f(–x) e no segundo y = –f(x).

No resto deste resumo, os termos “por fora” e “por dentro” são usados para se referir às

alterações algébricas que puderem ser indicadas fora ou de dentro dos parênteses de f(x). Assim,

estaremos chamaremos de alteração por fora às composições do tipo y = ay = ay = ay = a◦◦◦◦f(x) = a(f(x))f(x) = a(f(x))f(x) = a(f(x))f(x) = a(f(x)) e de

alteração por dentro às composições do tipo y = fy = fy = fy = f ◦_◦_◦◦a(x) = f(a(x))_{a(x) = f(a(x))}a(x) = f(a(x)). _{a(x) = f(a(x))}

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Considere uma alteração a(x)a(x)a(x) que será incorporada às tarefas de uma função original f(x)a(x) f(x)f(x). Isso f(x)

pode ser feito de duas maneiras: ou a tarefa definida por a(x) deve ser executada antes das tarefas definidas por f(x) ou somente depois de todas elas.

Se a composição puder ser indicada do lado de fora como y=a(f(x)), então a tarefa da alteração

deve ser efetuara após as tarefas de f, mas se puder ser indicada do lado de dentro como y=f(a(x)),

então a tarefa da alteração deve preceder as tarefas de f.

As alterações algébricas indicadas “por fora” provocam alterações gráficas que podem ser

observadas com referências verticaverticaverticaisverticaisisis no eixo das ordenadas OyOyOyOy, e as alterações algébricas indicadas

“por dentro” provocam alterações gráficas que podem ser observadas com referências horizontahorizontahorizontahorizontais is is is no

eixo das abscissas OxOxOx. Ox

Nos casos da translação e da dilatação, além da direção dos eixos a também um sentido a ser considerado, e ao passo que as alterações feitas “por fora” promovem movimentos aparentemente intuitivos, as alterações “por dentro” promovem movimentos que parecem contrariar nossa intuição, e isso torna as alterações “por dentro” mais traiçoeiras que as “por fora”.

Todos os exemplos mostrados a seguir foram obtidos de uma mesma função original f(x) cujo gráfico é representado por uma linha tracejada.

As novas funções geradas pelas alterações algébricas a seguir serão representadas, em todos os exemplos, por linhas contínuas desenhadas no mesmo plano cartesiano que a função original.

f(a(x))

a(x)

f(x)

_a(f(x))

a(x)

f(x)

Estrutura e a notação de uma alteração posterior às tarefas de uma função f.

“Alteração por fora”

Estrutura e a notação de uma alteração anterior às tarefas de uma função f.

“Alteração por dentro”

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Inversões

As inversões são causadas pela mudança de sinal numa das variáveis.

““““PorPorPor foraPor fora fora fora”””” − −−−f(x)f(x)f(x)f(x) O gráfico fica de cabeça para baixo

“Por dentro” “Por dentro” “Por dentro”

“Por dentro” f(f(f(f(−−−x)−x)x)x) O gráfico fica de trás para frente

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Reflexões ou rebatimentos

Os rebatimentos são causados pelo acréscimo do módulo numa das variáveis.

“Por fora”Por fora”Por fora”Por fora” f(x)f(x)f(x)f(x)

A parte do gráfico abaixo do eixo Ox deixa de existir e é substituída pelo seu reflexo em relação ao eixo Ox.

“Por dentro”Por dentro”Por dentro” f(Por dentro” f(f(f(xxxx))))

A parte do gráfico a esquerda do eixo Oy deixa de existir dando lugar ao reflexo do lado direito do gráfico

y = f(x)

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Translaç

Translações (

ões (

ões (k

ões (

k

_>

₀₎

As translações são causadas pela adição ou subtração de uma constante positiva.

SOBE SOBESOBE SOBE DESCE DESCEDESCE DESCE ESQUERDA ESQUERDA ESQUERDA

ESQUERDA DIREITADIREITA DIREITA DIREITA

y = f(x) + k f(x) + k

f(x) + k f(x) + k f(x) + k

O gráfico move-se para cima “Por fora”

“Por fora”“Por fora” “Por fora”

f(x) f(x) f(x) f(x) –––– k k k k

O gráfico move-se para baixo “Por dentro” “Por dentro” “Por dentro” “Por dentro” f(x f(x f(x f(x ₊₊₊₊ _k)_k)_k)_k) _f(x_f(x_f(x_{f(x –}_––_{– k)}_k)_k)_k)

O gráfico move-se para a esquerda O gráfico move-se para a direita

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Dilataç

Dilatações

ões

ões (k

(k

_>1)

As dilatações são causadas pela multiplicação ou pela divisão por uma constante maior que um.

Expande

Contrai

y = k⋅f(x)

“Por fora” “Por dentro” “Por fora” “Por dentro” “Por fora” “Por dentro” “Por fora” “Por dentro”

O gráfico sofre dilatação vertical O gráfico sofre dilatação horizontal

k k k k⋅f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) ÷f(x) f(x) ÷÷ k ÷ k k k f(kf(k⋅f(kf(k x) x) x) x) f(x f(x f(x÷ f(x k) k) k) k) y = f( k⋅x ) y = f(x/k) y =f(x) k