Introdução ao Estudo do Problema de n-corpos.

Instituto de Ciências Exatas - Universidade Federal de Itajubá

Agosto de 2006.

Relatório de Iniciação Científica

Introdução ao Estudo do

Problema de n-corpos.

Antonio Carlos Fernandes

(Bolsista do PIBIC CNPq)

Orientador: Luis Fernando de Osório Mello

I – Resumo

No trabalho que segue serão apresentadas algumas soluções conhecidas para problemas de n-corpos, bem como alguns dos resultados importantes obtidos ao longo de quase trezentos anos de estudo deste problema nas notas históricas. Utilizando métodos diferentes, mas no fundo equivalentes, para cada uma das soluções postas mostra-se os casos com dois e três corpos com interação gravitacional, três com interação harmônica e alguns tratamentos em problemas com mais corpos. Para isto seguem breve introdução e preliminares.

Índice

I – Resumo 02 Índice 03 Lista de símbolos 04 Lista de figuras 05 II – Introdução 06

III – Um pouco de História 09

IV – Noções básicas 10

V – Um Problema de Dois Corpos 14 VI – Problema de três corpos 24

VII – Problema de n-corpos 37

Lista de símbolos

a Semi-eixo maior da elipse; b Semi-eixo menor da elipse;

A Área;

i

rr , xr i Vetor posição com índice; i

s) Vetor unitário com índice;

i r&r, x&i

r _{Vetor velocidade com índice;}

i r&

&r_,

i x&

&r _{Vetor aceleração;}

f , F Forças escalares; f

r

, Fr Força;

m Massa;

γ Constante da gravitação universal;

d, r _ij Distância entre corpos; p

r Momento linear;

Lr Momento angular; Rr, Xr Vetor centro de massa;

c E Energia cinética; V Energia Potencial; E Energia; τ Período; n l j i k, , , , Índices; ij k , ε,p,C Constantes.

Lista de figuras:

• Figura 3-1. Representação da trajetória epicicloidal 07 • Figura 3-2. Representação do sistema solar segundo Copérnico 08 • Figura 4-1. Representação das cônicas 13 • Figura 5-1. Representação de dois corpos 15 • Figura 5-2. Campo de vetores de uma força central 17 • Figura 5-3. Mudança de coordenadas 18 • Figura 5-4. Plano de movimento 18 • Figura 5-5. Elipse em coordenadas polares 20 • Figura 5-6. Equação (5.29) leva à lei das áreas 21 • Figura 6-1. Representação das coordenadas relativas 25 • Figura 6-2. Representação do movimento dos três corpos 28 • Figura 6-3. Representação do movimento dos três corpos 28 • Figura 6-4. Representação do movimento dos três corpos 29 • Figura 6-5. Representação do movimento dos três corpos 31 • Figura 6-6. Representação do movimento dos três corpos 31 • Figura 6-7. Representação do movimento dos três corpos 32 • Figura 6-8. Representação do sistema 33 • Figura 6-9. Representação das coordenadas de Jacobi 33 • Figura 7-1. Representação dos corpos 37 • Figura 7-2. Representação da solução homográfica 44

II – Introdução

O problema de n-corpos apareceu primeiramente como um problema de mecânica celeste, que seria achar as equações de movimento que descreveriam as trajetórias dos planetas no sistema solar. Colocado por Isaac Newton (1643-1727) no seu “Philosophiae

naturalis principia mathematica”, em 1687, permanece sem solução até hoje. Newton

resolveu o caso com dois corpos, mostrando que a proposta de Johannes Kepler (1571-1630) sobre o movimento dos corpos celestes estava correta. Isto será mostrado na seção V.

Como será mostrado, o problema geral de n-corpos não tem solução direta para mais de dois corpos. Portanto, muitos dos esforços para resolvê-lo quantitativamente foram em vão. Mas nessas tentativas vários ramos da matemática e da mecânica se desenvolveram tendo surgido técnicas de análise numérica, teoria dos sistemas dinâmicos, teoria de perturbações, métodos quantitativos e qualitativos das equações diferenciais, topologia, probabilidades, combinações, geometrias diferencial e algébrica, entre outros [FD].

Hoje em dia o estudo deste problema envolve praticamente todos os tópicos citados acima, mas com uma abordagem diferente, pois se estudam casos restritos com a intenção de generalizá-los tanto quanto possível. Há vários trabalhos que tratam destas restrições, que podem ser nas massas dos corpos, nas configurações ao longo do tempo, nas forças envolvidas e muitas mais. Também são estudados casos não gravitacionais, com interações Coulombianas, Harmônicas, de Manev e Schwarzschild, de Lennard-Jones, entre outras.

Os resultados destes estudos têm sido aproveitados em diversas áreas além da mecânica celeste como os grupamentos de Lennard-Jones na formação de cristais ou mesmo o uso da interação Coulombiana na descrição do átomo de hidrogênio feita por Niels Bohr (1885-1962) que conduziu à mecânica quântica.

III – Um pouco de história

O movimento dos corpos celestes há muito tempo encanta os homens. Como funciona tal movimento foi uma das primeiras perguntas da dinâmica. Com o intuito de responder a essa pergunta diversos modelos foram criados, dois destes seguem abaixo:

• Os gregos teocêntricos diziam que a terra ocupava o centro geométrico do universo e os corpos celestes moviam-se ao seu redor. Primeiro sugeriram que o movimento se dava sobre círculos concêntricos, o que em seguida se tornou insatisfatório, pois não explicava certas observações. Em 200 a.C. o astrônomo Ptolomeu de Alexandria propõe o uso de epiciclos, vide figura 3-1, [AF], mesmo assim alguns fenômenos ainda não se explicavam ou a sua descrição era muito complexa. Estas idéias foram aceitas até o século dezesseis;

• Na primeira parte do século XVI Nicolau Copérnico (1473-1543) publica um trabalho intitulado “De Revolutionibus Orbium Coelestium”, no qual faz a hipótese de que a terra e os demais planetas giravam ao redor do sol. Vide figura 3-2. Este modelo já havia sido sugerido 2000 anos antes pelo astrônomo grego Aristarco. Mas ambos não foram bem recebidos.

Figura 3-1. Representação da trajetória epicicloidal de um planeta no modelo proposto por Ptolomeu.

As idéias de Aristarco e Copérnico aproximam melhor o movimento dos corpos celestes, como é sabido hoje. Estes pensamentos serviram para os trabalhos de Galileu Galilei (1564-1642) e de Kepler.

Figura 3-2. Representação do sistema solar segundo Copérnico do próprio De Revolutionibus. Os trabalhos de Galileu e Kepler dão início a estudos qualitativos da mecânica. Em seguida temos uma era quantitativa da mecânica que começa com Newton, quando ele resolve o problema de dois corpos.

Neste período quantitativo um caso bastante estudado era a mecânica celeste, em especial o problema de n-corpos com forças gravitacionais, sobre o qual escreveram grandes nomes da ciência. Uma questão bastante abordada era a estabilidade do sistema solar, que foi analisada por Laplace usando expansão em série. Laplace provou que o sistema solar é estável, outros também o fizeram como Lagrange, Poisson, Dirichlet e Haretu, entre outros.

Muitos resultados importantes foram obtidos neste período dentre eles as soluções de Euler e de Lagrange para o problema de três corpos que serão mostradas a seguir.

Em 1889 Poincaré mostrou que as séries usadas por Laplace et al divergiam para pequenas perturbações. Isto, aliado ao fato de que em 1887 Ernst Heinrich Bruns (1848-1919) prova que nenhum método quantitativo poderia resolver o problema de n-corpos [BT], põe fim a era quantitativa da mecânica. Após estas conclusões, Poincaré desenvolveu diversos métodos para fazer estudos qualitativos sobre as equações diferenciais, o que

torna possível obter informações sobre as soluções de problemas, que como o de n-corpos, não tem solução explícita [AM].

IV – Noções Básicas

Para complementação do texto introduzimos aqui algumas noções preliminares que facilitarão o entendimento.

Definição 1. Os resultados obtidos por Newton, e pelos outros nomes já citados, levavam em conta os seguintes postulados de Newton:

i) “Tempo (Absoluto) é uma noção exata e universal, e flui uniformemente sem relação a qualquer coisa externa”;

ii) “Espaço (Absoluto) é uma noção exata e universal, e se estende uniformemente sem relação com qualquer coisa externa”;

iii) “Referencial Inercial é uma coleção coerente de instrumentos de medida (réguas e relógios) capaz de determinar diferenças de Tempo Absoluto e de Espaço Absoluto”;

iv) “Momentum Linear é uma grandeza vetorial para cada sistema físico que determina sua capacidade potencial de mudar sua vizinhança”;

v) “Força é uma grandeza vetorial que determina a forma como os corpos sensíveis interagem mutuamente”; [RK]

vi) Primeira lei de Newton: Um sistema físico tem momentum linear

constante se sobre ele não atuam forças;

vii) Segunda lei de Newton: Seja x:R→R3 a função que descreve a trajetória

de um corpo de massa msob a ação de um campo vetorial

3 7 :R R F → , F =F(x,x&,t), onde dt dx x& = . Então ) , , (x x t F x m&& = & .

viii) Terceira lei de Newton: Para cada força aplicada sobre um sistema físico corresponde uma reação com mesmo módulo e sentido oposto ao da força;

Para as definições a seguir considere um sistema formado por n corpos de massas n

m m

m₁, ₂,..., localizadas pelos vetores r rn

r r ,...,₁ .

Definição 2. Chamaremos de centro de massa do sistema o seguinte vetor

∑

∑

= = = _n i i n i i i m r m X 1 1 r r .

Definição 3. O momento angular do sistema é dado por

∑

= × = n i i i i mr r L 1 &r r r .

Definição 4. Um campo de forças Fr:R3n →R3 é dito conservativo se existe uma função

escalar V :R3n →R tal que ∇V =−Fr. Chamamos V V(r₁,...,rn)

r r

= de potencial do campo de forças Fr.

Definição 5. A energia cinética do sistema é

∑

= • = n i i i i c m r r E 1 ) ( 2 1 _{&r &r} .

Definição 5. A energia total ou mecânica do sistema é dada por

V r r m V E E n i i i i c+ = • + =

∑

=1 ) ( 2 1 _{&r &r} .

Teorema 4-1. Se Fr é um campo conservativo então a energia mecânica do sistema se conserva. Prova. i n i i i i r r V r m dt

dE _{&r &&r &r}

• ∇ + • =

∑

=1 ) ( .

Pela segunda lei e pela definição de V , temos

0 ) ( 1 = • − • =

∑

= i i i n i i i i r r mr r m dt

dE _{&r &&r &&r &r}

Definição 7. Um campo de forças Fr_i:R3n →R3 é dito central se i n i r r r Fr =φ(r₁,...,r )r, onde )(r₁,...,rn r r

φ é uma função escalar, i=1,...,n.

Teorema 4-2. O momento angular de um corpo que esteja num campo de forças central se conserva. Prova. i i i i i i i r r m r r m dt L

dr _{&r &r r &&r}

× + ×

= .

Pela segunda lei temos e pela definição de campo central, temos

0 = × = i i i i r r m dt L dr _{r &&r} . □

Definição 8. São chamadas de cônicas as curvas obtidas pelas interseções de cones por planos no espaço. Temos as seguintes curvas:

• Elipse que tem equação cartesiana no plano da forma ₂ 1

2 2 2 = + b y a x ; • Parábola que tem equação cartesiana no plano da forma y2 =4px;

• Hipérbole que tem equação cartesiana no plano da forma ₂ 1

2 2 2 = − b y a x . Estas curvas também podem ser expressas em coordenadas polares, da seguinte forma

θ εcos 1±

= p

r .

Nesta representação a cônica depende de ε que é chamado de excentricidade, sendo que para 0<ε <1 temos uma elipse, para ε =1 parábola, para ε >1 hipérbole e para ε =0

um caso particular de elipse chamado circunferência. Estes seguem representados na figura abaixo

V - Um Problema de Dois Corpos

A motivação para este caso foi colocada por Kepler em 1609 no seu “Astronomia

Nova” [ON]. Apoiado nas idéias de Nicolau Copérnico (1473-1543) e analisando os

resultados de 14 anos de observações astronômicas do observatório de Tycho Brahe (1546-1601), Kepler postula três leis, hoje conhecidas como “leis de Kepler”, as quais seguem [HW]:

• Os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos;

• O segmento que vai do sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais; • O período de revolução é proporcional à potência três meios do eixo maior da

elipse.

Em seguida, vem o problema de dizer se estes postulados podem ser ou não obtidos a partir de noções fundamentais. Para isto iniciam-se discussões sobre a dinâmica do movimento planetário e, por conseguinte, tentativas de descrição da lei de interação que regia tal movimento. Com este propósito Newton formula em 1666 a lei da gravitação universal, na qual a força entre dois corpos isolados no espaço pode ser representada por

2 2 1 d m Gm F = , (5.0)

onde m₁e m₂ representam a massa dos dois corpos, d a distância entre eles e G uma

constante de proporcionalidade, que de acordo com medições recentes [LT] é dada por

2 2 11 10 ) 00085 . 0 67259 , 6 ( ± ⋅ − − = Nm Kg G .

Esta lei de força também pode ser colocada numa representação vetorial mais geral

3 1 2 1 2 2 1 12 || || ) ( x x x x m Gm F _{r r} r r r − − = , (5.1) onde xr₁ e xr₂ indicam respectivamente as posições de m₁ e m₂. Fr₁₂ indica que estamos

falando da força que m₂ realiza em m₁. Esta interação segue representada na figura abaixo

(fig. 5-1). Se quiséssemos tratar de Fr₂₁ o procedimento seria análogo, bastando trocar xr₁

Figura 5-1. Representação de dois corpos em um sistema de referência.

Em palavras podemos enunciar a lei da gravitação de Newton da seguinte forma: A interação gravitacional entre dois corpos pode ser expressa por uma força central, atrativa, proporcional ao produto das massas destes corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles [AF].

Consideremos que seja válida a lei de força proposta acima. Então pela segunda lei e por (5.1) teremos ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = 3 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 1 || || ) ( || || ) ( x x x x Gm x x x x x Gm x r r r r &&r r r r r &&r (5.2)

O sistema acima representa uma equação diferencial em 12

R . Para cada corpo devemos

determinar uma 6-upla, na qual três coordenadas são da posição e as outras da velocidade. Portanto, temos que resolver doze equações de primeira ordem, o que seria demasiadamente difícil devido ao acoplamento das equações. Por outro lado, podemos fazer uso das quantidades conservadas, ou integrais primeiras do sistema, para tentar simplificar o problema.

2 1 2 2 1 1 m m x m x m X + + = r r r (5.3)

e sendo o sistema isolado, pela primeira lei de Newton, deve obedecer a seguinte equação 0r

&&r =

X . (5.4)

Isto implica que

b t a

Xr = r+ r. (5.5)

Em palavras podemos fazer os seguintes enunciados: O centro de massa move-se como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema e sujeita à força externa aplicada ao sistema. O centro de massa de um sistema isolado move-se com velocidade constante, em qualquer referencial inercial [AF].

Com tal informação conseguimos escrever xr₁ como função de xr₂ e vice-versa.

Sendo assim, basta resolver o problema para um corpo, ou seja, na verdade (5.2) é uma equação diferencial em 6

R ao invés de R . O passo seguinte a isto é tentar uma mudança 12

de coordenadas que facilite a solução. Para tal, definamos a seguinte translação no sistema de coordenadas

X x

rr= r₁− r . (5.6)

Substituindo a expressão (5.6) na primeira equação de (5.2), obtemos

_{2 3} 2 1 3 2 || || ) ( r r m m Gm r _r r &&r + − = (5.7) ou ainda, || || ) ( || || || || 2 r r r f r r r k r _r r r r r &&r= − = , (5.8) onde 2 1 3 2 m m Gm k + − = é usado para simplificar a notação e

|| || r

r

r r

é o vetor unitário na direção de rr

.

Claro está que (5.8) é uma equação diferencial em 6

R . Mais importante que isto é

observada na figura 5-2, onde enfatizamos a dependência da força com a norma do vetor

rr

.

Consideremos a mudança de unidades que faça m₁=1. Com isto o vetor momento

angular fica da forma

r r

Lr = r×&r. (5.9)

Enunciemos a seguinte proposição: O momento angular de um sistema isolado, com torque externo igual a zero, é constante em módulo, direção e sentido [AF].

Figura 5-2. Campo de vetores de uma força central.

Para o presente caso, podemos mostrar que o enunciado acima é válido, da seguinte forma

0 )

(r &r _{&r &r r &&r} r r = × + × = × = r r r r dt r r d dt L d , (5.10)

o que claramente decorre da expressão (5.8), pois nesta vemos que rr é paralelo a r&&r .

De (5.10) concluímos que neste sistema de coordenadas o vetor posição e o vetor velocidade estão num mesmo plano a cada instante. Se representarmos estes vetores em coordenadas cilíndricas, com o vetor momento angular coincidindo com o eixo z (figura 5-3) podemos usar as simetrias para simplificar o problema.

Tendo em vista a conservação da direção do momento angular podemos dizer que (5.8) é uma equação diferencial em 4

R , pois não é necessário obter solução na direção do

Figura 5-3. Mudança de coordenadas.

Até este ponto tratamos na verdade um problema geral de dois corpos. Para provar as três leis de Kepler, faremos uso de uma restrição, dizendo que m₂ >>m₁, o que para o

caso Sol e Terra é bastante razoável, pois se estima que no sistema solar a soma das massas de todos os planetas e asteróides seja 0,2% da massa do Sol [SS]. Com isto estaremos impondo que o centro de massa do sistema coincida com o centro de massa do corpo de massa m₂. Segue a representação do plano de movimento com esta consideração (figura

5-4).

Figura 5-4. Plano de movimento com centro de massa no centro de m₂. Em coordenadas polares temos

θ θ _ˆ ˆ dt d r r dt dr r&r= + , (5.11)

portanto a norma do vetor momento angular fica dada da seguinte forma

θ& r _{≡ =}

donde 2 r L = θ& . (5.13)

Com este resultado, vemos que (5.8) é uma equação em 3

R , pois podemos escrever a

variação temporal da coordenada angular como função da coordenada radial.

Consideremos agora a energia cinética do sistema, que em coordenadas polares fica dada por

(

2 2 2

)

2 1 2 & θ& &r &r r r r r E_c= ⋅ = + (5.14) ou ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 ₂2 2 1 r L r Ec & . (5.15)

Como já mencionado o campo gerado por (5.8) é central, ou seja, a lei de força é dada por

2 ) ( r k r f =− . (5.16)

Podemos então encontrar seu correspondente potencial, ou energia potencial

r k r

V( )=− . (5.17)

Reunindo os resultados de (5.15) e (5.17) a energia mecânica total do sistema fica da forma r k r L r r r E = + ₂ − 2 2 2 2 ) , (_& & . (5.18)

Levaremos em conta o seguinte enunciado: A energia própria de um sistema isolado permanece constante [AF]. Podemos, então, escrever r& como função de r . Com isto reduzimos o grau de liberdade de (5.8) para apenas dois

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = = 2₂ 2 2 r L r k E r dt dr & . (5.19) Considerando ainda que

r dr dt dt d dr d & & θ θ θ = = (5.20)

e usando as expressões (5.13) e (5.19) temos ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 2 2 2 2 2 r L r k E r L dr dθ . (5.21) Integrando (5.21) vem

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − 2 2 1 2 cos ) ( L k E L k r L r θ (5.22)

que também pode ser escrito como

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 1 2 cos 1 1 ) ( 2 2 2 k EL k L r θ θ (5.23) ou ainda ) cos( 1+ε θ = p r (5.24) com k L p= 2 e 2 ₂ 1 2 + = k EL ε .

A expressão (5.24) representa a equação de uma elipse com foco na origem em coordenadas polares (figura 5-5), se for respeitada a condição 0<ε <1 . Isto mostra a validade do primeiro postulado de Kepler.

Passemos agora ao segundo postulado de Kepler e mostremos que este decorre diretamente da conservação da norma do momento angular. Para a trajetória descrita e mostrada acima teremos a seguinte equação para o cálculo da variação da área A varrida pelo vetor posição (figura 5-6)

dt dt d r d r dA θ θ 2 2 2 2 ≡ = (5.25) ou dt L dA 2 = . (5.26)

Como já foi mostrado acima L é constante para este movimento, portanto a área A só depende do tempo e isto implica que para tempos iguais teremos áreas iguais. Isto demonstra a lei das áreas.

Figura 5-6. Equação (5.29) leva à lei das áreas, acima A1=A2.

Para mostrarmos o terceiro postulado de Kepler consideremos a equação (5.24) e passemo-la para coordenadas cartesianas. Com tal procedimento teremos

1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − y p x p p ε ε ε ε . (5.27)

Se observarmos ainda a forma padrão para a equação da elipse em coordenadas cartesianas

1 ) ( 2 2 2 2 = + + b y a x aε (5.28)

e se fizermos a correspondência de (5.28) com a elipse da figura 5-5, vemos que

2 1−ε = p a e 2 1−ε = p b . (5.29)

Sabendo que a área da elipse é ab A=π (5.30) e considerando a equação (5.26) 2 ) (t Lt A = (5.31)

de tal forma que a área total será dada por

2

τ

L

A= (5.32)

onde τ representa o período de revolução da órbita elíptica. Tomando os resultados de (5.30) e (5.32) temos

τ πab= L

2 . (5.33) Inserindo agora (5.29) em (5.33) vem

2 3 2 2 3 2 1 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 ε π ε ε π τ − = − − = p L p p p L . (5.34)

Portanto, com uma constante

k C=2π teremos 2 3 Ca = τ , (5.35) que é o terceiro postulado de Kepler.

Para chegarmos a expressão (5.24) fizemos uso de um método, que consistia em buscar as integrais primeiras do problema e usá-las para reduzir os graus de liberdade da equação (5.2). Assim um sistema inicialmente em 12

R , foi posto em R usando as seis 6

quantidades conservadas do momento linear. Em seguida usando a conservação do módulo, da direção e do sentido do momento angular levou-se o sistema para R3_{. Por fim}

usamos a conservação da energia total do sistema para obter um sistema em 2

R e resolver

para r em função de θ. Em verdade usou-se o fato de existirem 10 integrais primeiras no problema para reduzir o número de graus de liberdade do sistema de doze para dois.

A lei da gravitação de Newton funcionou para solução deste problema e com outro tipo de interação não seria possível obter este resultado, isto é mostrado no

Teorema. As únicas forças centrais que resultam em órbitas fechadas para as partículas são as da lei do inverso do quadrado e lei de Hooke [MW].

VI - Problemas de Três Corpos

Na história da ciência este foi um problema muito atacado, talvez pela proximidade com o problema solúvel de dois corpos. Muitos matemáticos famosos, como Euler, Lagrange, Jacobi, Hill, Poincaré, Levi-Civita, Birkhoff entre outros, se dedicaram ao problema de três corpos e obtiveram vários resultados importantes. Alguns deles resolveram casos restritos do problema Newtoniano de três corpos, o qual segue.

1 - Problema Newtoniano de Três Corpos

Considere um sistema isolado formado por três massas m₁,m₂,m₃, localizadas no

referencial do centro de massa pelos vetores rr₁,rr₂,rr₃, no qual a interação entre duas

partículas é dada pela lei da gravitação de Newton, isto é, usando a segunda lei teremos

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = − − − − = − − − − = 3 32 2 3 2 3 31 1 3 1 3 3 23 3 2 3 3 21 1 2 1 2 3 13 3 1 3 3 12 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r r r Gm r r r Gm r r r r Gm r r r Gm r r r r Gm r r r Gm r r r r r &&r r r r r &&r r r r r &&r (6.1)

onde r indica a distância entre ij m e i m . j

A equação (6.1) é uma equação diferencial em 18

R , isto é, para resolvê-la precisamos

determinar uma 6-upla de coordenadas para cada corpo. Poderíamos tentar solucionar (6.1) encontrando integrais primeiras que reduzissem seu número de graus de liberdade, porém as integrais usadas no problema anterior não seriam suficientes, pois sendo elas apenas 10 levariam a equação 18-dimensional em outra 8-dimensional que ainda não poderia ser resolvida diretamente. Portanto, deve-se encontrar outro método ou outras integrais primeiras. Trabalhando com isto Bruns [BT] obteve o seguinte resultado:

Teorema de Bruns (1887). No Problema Newtoniano de três corpos no espaço, toda integral primeira que é algébrica com respeito a posições, momento linear e tempo é uma função algébrica das integrais primeiras clássicas: A energia, as três componentes do momento angular e as seis integrais que vem do movimento retilíneo e uniforme do centro

O teorema acima diz que no problema Newtoniano de três corpos temos apenas 10 integrais primeiras, as mesmas do problema de dois corpos. Assim para resolvê-lo devemos encontrar, se for possível, outro método.

Existe também um caminho alternativo, que é fazer restrições sobre o movimento dos corpos, por exemplo, dizendo que movimento dos corpos é planar. Isto leva (6.1) num sistema 12-dimensional que ainda não pode ser resolvido diretamente.

Consideremos então que seja planar o movimento dos corpos e a seguinte mudança de coordenadas, vide figura 6-1,

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + − = − = − = 0 3 2 1 1 2 3 3 1 2 2 3 1 s s s r r s r r s r r s r r r r r r r r r r r r (6.2) que leva (6.1) em ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + − = + − = + − = 0 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 1 3 1 1 1 s s s s s s s s Gm s s GM s s Gm s s GM s s Gm s s GM s T T T T r r r r r r &&r r r &&r r r &&r (6.3)

onde M é a massa total do sistema.

Lembrando que estamos no referencial do centro de massa temos 0 3 3 2 2 1 1r +m r +m r = m r r r . (6.4)

Combinando (6.2) e (6.4) vemos que

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = M s m s m r M s m s m r M s m s m r 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 r r r r r r r r r . (6.5)

Soluções de Euler. Em 1767, Leonard Euler (1707-1783) estudou o caso em que os três corpos permanecem sobre uma mesma reta a cada instante, ou seja, procurou soluções da forma ⎩ ⎨ ⎧ + − = = 1 3 1 2 )) ( 1 ( ) ( s t s s t s r r r r λ λ (6.6)

ondeλ(t) é uma função contínua positiva.

Usando as duas primeiras equações de (6.3), diferenciando duas vezes a primeira equação de (6.6) e agrupando temos

(

)

₃ 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( 1 1 1 2 s s m m M M G s s r &r & r && _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + − + − = + λ λ λ λ λ λ λ . (6.7) isto ocorre se 1 1 c(t)s s&r = r (6.8) ou 0 = λ& . (6.9)

Se (6.8) é a única que se verifica temos

) 0 ( 1 ) ( 1 e s s cu dur r ₌ ∫ _{, (6.10)}

o que leva a uma solução onde os corpos estão se afastando mutuamente.

Se apenas (6.9) se verifica, significa que λ deve ser uma constante positiva. Para isto o lado direito de (6.7) deve se anular, ou seja, o polinômio

) ( ) 2 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) ( 2 _{1 3 1 3} 3 1 3 3 2 4 3 2 5 3 2 m m m m m m m m m m m m + λ + + λ + + λ − + λ − + λ− +

deve ter uma raiz positiva. De fato, pela regra dos sinais de Decartes [MW], vemos que este polinômio tem uma raiz positiva. Assim, com este λ podemos voltar à equação (6.3) e subtrair da primeira equação multiplicada por m3 a terceira multiplicada por m1, donde

obtemos

[

]

3 1 1 1 3 2 2 3 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( s s m m m m GM s r &&r ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + − = λ λ λ . (6.11)

Se observarmos (6.11) perceberemos que tem a mesma forma da equação (5.8) acima. Assim usando métodos análogos podemos resolver (6.11) e obter, em coordenadas polares um resultado da forma

θ δcos 1 1 = ₊ q s , (6.12) onde

[

]

[

]

_⎭⎬⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + = ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 3 2 2 3 1 2 1 λ λ λ m m m m GM L q e

[

]

[

]

1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 3 2 2 3 1 2 1 1 ₊ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + = λ λ λ δ m m m m GM L E

sendo L₁ e E₁, respectivamente, a norma do momento angular e a energia de s₁.

Donde obtemos ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + − = + = + = 1 3 1 2 1 1 ˆ cos 1 ) 1 ( ˆ cos 1 ˆ cos 1 s q s s q s s q s θ δ λθ δ λ θ δ r r r (6.13) Usando (6.5) teremos

[

]

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + + + = + + + − = 1 2 1 3 1 1 3 2 1 3 2 2 1 ˆ ) cos 1 ( ) ( ˆ ) cos 1 ( ) 1 ( ˆ ) cos 1 ( ) ( s M m m q r s M m m q r s M m m m q r θ δ λ θ δ λ θ δ λ r r r (6.14)

A expressão (6.14) é chamada solução gráfica, pois dela temos informação apenas sobre as configurações dos corpos no espaço.

Se nas condições iniciais temos δ =0, teremos uma solução onde os corpos mantêm as distâncias mútuas fixas e permanecem sobre uma reta a cada instante, vide figura (6-2). Essa solução é chamada de equilíbrio relativo.

Figura 6-2. Representação do movimento dos três corpos. Aqui m₁:m₂ :m₃ =1:2:3.

Com outras condições iniciais podemos ter elipses, parábolas ou hipérboles dependendo dos valores de E e das massas, vide figuras (6-3) e (6-4).

Figura 6-4. Representação do movimento dos três corpos com duas massas iguais e condições apropriadas. Para as soluções não periódicas com os corpos sobre hipérboles ou parábolas, devemos ter

0 ≥

E [VC].

Soluções de Lagrange. Em 1772, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) encontrou soluções de (6.3) que satisfizessem. 0 = T s r _{. (6.15)}

Isto acontece quando s₁ =s₂ =s₃, o que leva a uma solução com os corpos sobre os

vértices de triângulos eqüiláteros ou corpos sobre uma mesma reta, que é a solução de Euler com um valor fixo para λ. Assim, desacoplamos imediatamente as equações em (6.3), donde então recebemos

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = 3 3 3 3 3 2 2 2 3 1 1 1 s s GM s s s GM s s s GM s r &&r r &&r r &&r (6.16)

As equações (6.16) estão na mesma forma de (5.8). Estão usando métodos similares aos usados acima podemos encontrar suas soluções. Donde obtemos

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = 3 3 2 2 1 1 ˆ cos 1 ˆ cos 1 ˆ cos 1 s b s s b s s b s θ ξ θ ξ θ ξ r r r (6.17)

onde GM L b 2 1 = e 2 1 2 1 1 ₊ = M L E ξ .

Lembrando ainda que para a solução eqüilátera temos

1 2 ˆ 0 0 0 0 2 1 2 3 0 2 3 2 1 ˆ s s ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = (6.18) ₃ ˆ₁ 0 0 0 0 2 1 2 3 0 2 3 2 1 ˆ s s ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = . (6.19)

Por fim encontramos

1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 ˆ 0 0 0 0 2 ) ( 2 ) ( 3 0 2 ) ( 3 2 ) ( ) cos 1 ( s m m m m m m m m M b r ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + = θ ξ r _(6.20) 1 1 3 1 1 1 3 2 ˆ 0 0 0 0 2 ) 2 ( 2 3 0 2 3 2 ) 2 ( ) cos 1 ( s m m m m m m M b r ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = θ ξ r _(6.21) 1 2 1 1 1 2 1 3 ˆ 0 0 0 0 2 ) 2 ( 2 3 0 2 3 2 ) 2 ( ) cos 1 ( s m m m m m m M b r ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − + = θ ξ r _(6.22)

Se nas condições iniciais tivermos ξ =0, teremos novamente uma solução em que a distância entre os corpos é preservada, vide figura (6-5). Esta solução também é chamada de equilíbrio relativo.

Figura 6-5. Representação do movimento dos três corpos. Massas iguais.

Para soluções com ξ ≠0, teremos elipses, hipérboles ou parábolas dependendo dos valores de E , vide figuras (6-6) e (6-7).

Figura 6-6. Representação do movimento dos três corpos. Massas iguais.

Para as soluções não periódicas com os corpos sobre hipérboles ou parábolas, devemos ter

0 ≥

Figura 6-7. Representação do movimento dos três corpos. m₁ <m₂ <m₃.

Animações em Java das soluções de Euler e Lagrange podem ser encontradas em [VC] e [BE].

2 - Um Problema de três Corpos Analiticamente Solúvel.

Considere um sistema isolado formado por três corpos, localizados num referencial inercial pelos vetores rr₁, rr₂ e rr de massas ₃ m₁, m₂ e m , respectivamente (vide fig. 6-8). ₃

Suponha que as forças de interação são proporcionais à coordenada relativa entre os pares de corpos, ou seja, ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − − = − − − − = − − − − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 3 32 1 3 31 3 3 3 2 23 1 2 21 2 2 3 1 13 2 1 12 1 1 r r k r r k r m r r k r r k r m r r k r r k r m r r r r &&r r r r r &&r r r r r &&r (6.23)

onde os kij >0 são constantes e são tais que kij =kji, para obedecer a terceira lei Newton

na forma fraca, ou seja, as forças entre dois corpos precisam ser iguais e opostas. Vemos que (6.23) é uma equação diferencial em 18

R , que não pode ser resolvida

diretamente. Devemos observar as simetrias do problema e tentar simplificá-lo. Comecemos mudando as coordenadas da equação para coordenadas de Jacobi [FC].

3 2 1 3 3 2 2 1 1 m m m r m r m r m R + + + + = r r r r (6.24) 2 1 r rr r r _{= −} ρ (6.25) 2 1 2 2 1 1 3 m m r m r m r + + − = r r r r λ (6.26)

onde Rr representa a coordenada do centro de massa do sistema, ρr é a coordenada do corpo 1 relativa ao corpo 2 e λr a coordenada do corpo 3 relativa ao centro de massa dos outros dois corpos,vide figura (6-9).

Figura 6-8. Representação do sistema. Na figura fij kij(ri rj)

r r − =

é parte da força explicitada em (6.1) do corpo j em relação ao corpo i.

Nessas coordenadas escrevemos os vetores posição como sendo ρ λr r r r 12 2 3 1 M m M m R r = − + (6.27) ρ λr r r r 12 1 3 2 M m M m R r = − − (6.28) λr r r M M R r₃ = + 12 (6.29) onde M =m₁+m₂+m₃ e M₁₂ =m₁+m₂.

Como no caso de dois corpos quando transladamos o sistema de referência para o centro de massa, sabendo da conservação do momento linear, reduzimos 6 graus de liberdade, de modo análogo, isto também ocorre aqui. Portanto, se substituímos as expressões (6.27)-(6.29) em (6.23) teremos 0r &&r = R (6.30) λ ρ ω ρ&&r r r 1 2 1 M Γ = + (6.31) ρ λ ω λ&&r r r 2 2 2 M Γ = + (6.32)

onde para facilitar a notação usamos

2 1 2 1 1 m m m m M + = , (6.33) 3 2 1 2 1 3 2 ) ( m m m m m m M + + + = , (6.34) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ₂ 12 2 1 23 2 2 13 12 1 2 1 1 M m k m k k M ω , (6.35)

(

13 23

)

2 2 2 1 k k M + = ω , (6.36) 12 23 1 13 2 M k m k m − = Γ , (6.37)

Vale mencionar que a mudança de coordenadas reduz o número de graus de liberdade do problema de 18 para 12 nas equações (6.30)-(6.32), ou seja, nestas coordenadas a solução de (6.30) é direta, portanto, basta resolver as demais expressões. Notemos ainda que as expressões (6.31) e (6.32), são equações de movimento de dois osciladores harmônicos acoplados por Γ e esta constante só se anula quando

1 23 2

13m k m

k = .

Para desacoplar as duas expressões acima, usaremos outra mudança de coordenadas, que na verdade é uma transformação de coordenadas, pois é uma mistura de rotação e mudança de escala [FC]. Esta transformação pode ser entendida como um automorfismo, que é mostrado abaixo:

) cos( ) sin( , ) sin( ) cos( ) , ( : 2 / 1 2 2 / 1 2 2 / 1 1 2 / 1 1 3 3 3 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × → × y M M x M M y M M x M M y x R R R R T E E E E r r r r a r r _{ϕ ϕ ϕ ϕ} onde MEcom dimensão de massa e ϕ adimensional são parâmetros arbitrários. Usando a

inversa do automorfismo −1

T nas variáveis ρr e λr, temos

y M M x M M_{E r E r} r _{cos( )} 1/2_{sin( )} 1 2 / 1 1 ϕ ϕ ρ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = , (6.38) y M M x M M_{E r E r} r ) cos( ) sin( 2 / 1 2 2 / 1 2 ϕ ϕ λ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = , (6.39)

Substituindo (6.38) e (6.39) em (6.31) e (6.32), teremos novas equações diferenciais, ainda acopladas y x x&&r+α2r=γr, (6.40) x y y&&r+β2r=γr, (6.41)

) 2 sin( ) ( ) ( sin ) ( cos _1/2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 _{ω ϕ ω ϕ ϕ} α M M Γ − + = , (6.42) ) 2 sin( ) ( ) ( cos ) ( sin _1/2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 _{ω ϕ ω ϕ ϕ} β M M Γ + + = , (6.43) ) 2 cos( ) ( ) 2 sin( ) ( 2 1 2 / 1 2 1 2 2 2 1 ω ϕ ϕ ω γ M M Γ + − = . (6.44)

Agora podemos usar o fato de ϕ ser arbitrário e escolher um valor que anule a constante de acoplamento γ , este é o motivo da escolha do automorfismo acima para fazer a mudança de coordenadas. Quando

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Γ − = _1/2 2 1 2 2 2 1 )( ) ( 2 cot 2 M M g arc ω ω ϕ (6.45)

a constante γ se anula, portanto quando substituímos (6.23) em (6.18) e (6.19), teremos

0 2 1 = Ω + x x&&r r , (6.46) 0 2 2 = Ω + y y&&r r , (6.47) onde

(

)

(

)

1/2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 2 1 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Γ + − + + = Ω M M ω ω ω ω , (6.48)

(

)

(

)

1/2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 2 1 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} Γ + + = Ω M M ω ω ω ω , (6.49)

As soluções de (6.46) e (6.47) são conhecidas. Tendo resolvido para xr e yr aplicamos a

transformação linear acima e obteremos as soluções para ρr e λr. Como a solução para Rr também é conhecida temos uma solução analítica para o problema de três corpos, claro que com a restrição de forças harmônicas como as colocadas em (6.23). Vale notar que o método de transformação de coordenadas usado acima funciona para vários tipos de equações diferenciais acopladas.

VII – Problema de n-corpos

Considere um sistema isolado formado por n massas m₁,m₂,...,m_n localizadas

pelos vetores r r rn

r r r_{, ,...,}

2

1 , respectivamente, vide figura (7-1). Suponha que a interação sobre

a i-ézima partícula seja dada por

∑

≠ = − − = n i k k p ij k i ik i r r r k F 1 ) (r r r , (7.1)

onde k_ij =k_ji são constantes, k_ii =0 e p∈ é um parâmetro arbitrário. Vale notar que a R

arbitrariedade de k e p torna (7.1) uma representação bastante geral de força, pois se ij j

i ij Gmm

k = e p=3 teremos representada a força gravitacional de Newton; no caso de

0 =

p teremos uma força harmônica.

Figura 7-1 Representação dos n corpos. Pela segunda lei temos

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − =

∑

∑

∑

≠ = ≠ = ≠ = n n k k p nk k n nk n n n k k p k k k n k k p k k k r r r k r m r r r k r m r r r k r m 1 2 1 ₂ 2 2 2 2 1 1 ₁ 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( r r &&r M r r &&r r r &&r (7.2)

Definição. [AM] Chamamos de conjunto colisão o seguinte

U

_{i n} ij ≤ ≤ ∆ = ∆ 1 , (7.3) onde

{

i j

}

n n ij R r r r R r r r r r r r r = ∈ = = ∆ ( , ,..., ) 3 / 2 1 . (7.4)

Quando tomamos condições iniciais

{

−∆

}

∈ n R Rr₀ 3 (7.5) n R Vr₀∈ 3 , (7.6)

o teorema de Picard-Lindelöf [SH] garante a existência e unicidade de uma solução para (7.2). A restrição sobre a condição inicial das posições é feita para assegurar que as funções que representam as forças em (7.2) sejam pelo menos continuamente diferenciáveis.

Assim o Problema de n-corpos é encontrar

)) ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), ( ( ) ( : 2 1 2 1 6 t r t r t r t r t r t r t S t R R U S n n n &r &r &r r r r r a r = → ⊂ (7.7) tal que ) , ( ) 0 ( R₀ V₀ Sr = r r . (7.8)

A expressão (7.2) é uma equação diferencial em n

R6 e pelo Teorema de Bruns

acima, se n≥3 não conhecemos métodos para sua solução direta. O que se faz é estudar

soluções particulares fazendo restrições nos valores das massas e das constantes k ou _ij

ainda restrições nas próprias configurações ao longo do tempo. Certas soluções para dois e três corpos, já conhecidas, podem ser estendidas para mais corpos. Alguns desses métodos são mostrados abaixo.

1 - Centralização

Reescrevendo a expressão (7.1), dispensando o uso de setas para indicação dos vetores, temos

∑

≠ = − − = n i j j p ij j i ij i r r r k F 1 ) ( . (7.9)

Para tentar simplificar (7.9) façamos uma mudança de coordenadas que coloca a origem do sistema de referência no centro de massa do sistema, a qual seja

X x

r_i = _i + , (7.10)

em que x indica a posição do i-ésimo corpo, em relação centro de massa X , de tal forma _i

que possamos escrever

∑

∑

≠ = ≠ = + − = n i j j p ij j ij n i j j p ij i ij i x x k x x k F 1 1 , (7.11) ou ainda l p il il n l j i j j p ij j ij n i j j p ij i ij i x x k x x k x x k F =−

∑

+

∑

+ ≠ ≠ = ≠ =1 1 (l≠ . (7.12) i) Afirmação.

∑

= = n k k kx m 1 0 . (7.13) De fato de (7.10) temos X r x_i = _i − , portanto

∑

∑

= = − = n k k k n k k kx m r X m 1 1 ) ( ,

que também pode ser escrito como

∑

∑

∑

= = = − = n k n k k k k n k k kx m r m X m 1 1 1 .

Da definição do centro de massa temos

∑

∑

= = = n k n k k k kr m X m 1 1 ,

Então usando (7.13) escrevemos

∑

≠ = − = n l k k k k l l m x m x 1 1 . (7.14) Inserindo (7.14) em (7.12), temos ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − =

∑

∑

∑

≠ = ≠ ≠ = ≠ = n l k k k k l p il il n l j i j j p ij j ij n i j j p ij i ij i m x m x k x x k x x k F 1 1 1 1 . (7.15)

Podemos ainda retirar o i-ésimo termo da ultima soma e agrupá-la com a segunda de tal forma que j n l j i j j l j p il il p ij ij i n i j j l i p il il p ij ij i x m m x k x k x m m x k x k F

∑

∑

≠ ≠ = ≠ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 1 (7.16)

Agora suponhamos que a condição a seguir seja satisfeita

p il l i il p ij j i ij x m m k x m m k = (j≠i ,l ≠i). (7.17)

Então podemos escrever

j i p ij ij m m x k λ = , (7.18) onde p il l i il x m m k = λ . (7.19) Substituindo (7.18) em (7.16) temos i i i mMx F =−λ , (7.20) onde

∑

= = n k k m M 1 , (7.21) ou de maneira semelhante

p il i ef il i x x k F =− (7.22) onde l il ef il m M k k = . (7.23)

De (7.22) vemos que se a condição (7.17) é verificada podemos colocar (7.2) numa forma centralizada, onde todas as forças estão na direção do centro de massa do sistema. Isto pode ajudar, às vezes, na solução dos problemas, pois cada uma das equações de (7.2) continua a ser acoplada, mas com a vantagem de que em (7.22) o acoplamento se dá com os pares de corpos e não mais com os n−1.

Definição. [AM] Dizemos que n massas m1,m2,...,mn localizadas no referencial do centro

de massa pelos vetores , ,..., /( , ,..., ) { 3 }

2 1 2 1 ∈ −∆ n n n x x x R x x xr r r r r r , respectivamente, formam

uma configuração central se a força sobre a i-ézima massa for proporcional a mixr , isto é, i i

i i m x

Fr =Ψ r , (7.24)

ondeΨ:R3n →R é uma função de xr₁,xr₂,...,xr_n. Em outras palavras, podemos dizer a

força resultante sobre a i-ézima massa aponta na direção do centro de massa.

Observando (7.22) vemos que aquela expressão de força cumpre com a condição (7.24).

Proposição. Considere n massas m1,m2,...,mn localizadas no referencial do centro de

massa pelos vetores x x xn

r r r _{, ,...,}

2

1 , respectivamente e suponha que força de interação sobre

i

m seja dada por

∑

≠ = − − = n i j j p ij j i ij i x x x k F 1 ) (r r r . (7.25)

Então as duas afirmações abaixo são equivalentes:

i) As massas formam uma configuração central; ii) As forças respeitam a condição (7.17).

Prova. i) => ii)

i i n i j j p ij j i ij x m x x x k r r _r Ψ = − −

∑

≠ =1 ) ( , (7.26) ou ainda i i n i j j n l j i j j p il l il p ij j ij p ij i ik x m x x k x x k x x k r r r _r Ψ = + + −

∑

∑

≠ = ≠ ≠ = 1 1 ( ) . (7.27)

Usando (7.14) podemos escrever

i i n i j j n l j i j j n l s s s s p il l il p ij j ij p ij i ik x m x m x m k x x k x x k r r _{r r} Ψ = − + −

∑

∑

∑

≠ = ≠ ≠ = ≠ = 1 1 ( ) 1 , (7.28) donde i i j n i j j n l j i j j p ij l j il p ij ij p il l i i il p ij i ik x m x x m m k x k x m x m k x x k r r _{r r} Ψ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − −

∑

∑

≠ = ≠ ≠ = 1 ( ) 1 . (7.29)

Para que se verifique (7.29) devemos ter

0 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑

≠ ≠ = j n l j i j j p ij l j il p ij ij x x m m k x k _r . (7.30)

Temos duas possibilidades:

a) Existe 0xr_k = , para algum k;

b) Não temos xk =0

r _{, para todok.} Se vale (a) temos, por (i), que

k k n k j j p kj j k kj x m x x x k r r _r Ψ = − −

∑

≠ =1 ) ( . (7.31)

Então também devemos ter

0 1 =

∑

≠ = n k j j p kj j kj x x k r . (7.32) Daí j kkj =0,∀ . (7.33)

De (7.30) vemos que as componentes da soma com índice diferente de k, devem satisfazer a relação 0 = − _p il l j il p ij ij x m m k x k i,j≠k (7.34) donde p il l i il p ij j i ij x m m k x m m k = .

Se vale (b) temos, por (i), que

0 = − _p il l j il p ij ij x m m k x k ∀ i, j (7.35) p il l i il p ij j i ij x m m k x m m k = .

isto prova a implicação.

ii) => i) Está feito no processo de centralização acima (7.17)-(7.23).

□

Existem vários exemplos conhecidos de configurações centrais. Dentre eles o problema de dois corpos e as próprias soluções de Euler e de Lagrange mostradas acima formam a cada instante uma configuração central. Há também trabalhos que mostram configurações centrais para mais que três corpos, com quatro corpos nos vértices de um tetraedro regular temos uma configuração central; para corpos numa reta temos o

Teorema. [AM] Para qualquer escolha das massas no problema planar de n-corpos

existem exatamente 2n! _{configurações centrais colineares.}

Polígonos regulares formam configurações centrais no problema planar de n-corpos quando as massas são iguais.

O sexto problema da Lista de Problema para o Próximo Século de Smale é dizer se dadas n massas m₁,m₂,...,m_n é finito ou não o número de configurações centrais [SM].

Definição. [VA] Uma dada solução do problema de n-corpos é dita homográfica se no

referencial do centro de massa as configurações formadas pelos corpos permanecem auto-similares, isto é, variam no tempo apenas por rotações e homotetias.

O estudo das configurações centrais e de soluções homográficas é de grande importância, pois as únicas soluções conhecidas para problemas com mais que três corpos têm como condições iniciais configurações centrais, claro que em todas elas temos restrições como nas soluções acima. As soluções de Euler e Lagrange apresentadas acima são homográficas. No movimento planar de n-corpos há várias soluções homográficas conhecidas e estas formam configurações centrais a cada instante, vide figura (7-2).

Figura 7-2. Solução homográfica para seis corpos.

Uma restrição bastante estudada é tentar fazer restrições nas massas, por exemplo supor que a massa de um dos corpos é muito maior que a dos outros e que a distância entre os corpos de menor massa é muito grande assim podemos olhar o movimento imaginando vários problemas de dois corpos. Isto pode ser uma aproximação para o caso do sistema solar.

Bibliografias

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