Profa. Angelita Minetto Araújo UTFPR /DAMAT

(1)

n. 2 –

Eliminação de Gauss-Jordan:

Método de eliminação

de Gauss

O princípio fundamental da resolução do sistema pelo

Método de Eliminação de Gauss consiste trocar o sistema inicial

por outro sistema equivalente (isto é, com o mesmo conjunto

solução), de forma que o novo sistema seja mais adequado para

discussão e resolução.

A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é

permitido efetuar 3 tipos de operações, sem que o determinante

se altere:

1) trocar linhas de lugar;

[

1

2 −1

1

5

2

4

1

3

6 ] {𝐿2 ↔ 𝐿3 [

1

5

2

4

2 −1

1

6

3 ]

2) multiplicar uma linha por um número qualquer

não-nulo;

[

1

5

2

4

2 −1

1

6

3 ] {𝐿3 = 4 𝐿3 [

1

5

2

4

8 −4

4

1

6

12 ]

(2)

3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um

número qualquer não nulo.

[

1

5

2

4

8 −4

4

1

6

12 ] {𝐿2 = 5 𝐿3 − 8 𝐿2 [

1

0 −36 −12

8 −4

4

1

12

12 ]

Obs.: começar sempre pela primeira coluna e ir zerando os

elementos abaixo do primeiro elemento da coluna.

Uma matriz é denominada escalonada, ou forma escada,

quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro

elemento não nulo da linha, aumenta a cada linha.

Nesse caso, a quarta linha não aumentou o número de

zeros por terem esgotado as colunas, mas ainda assim é uma

matriz escalonada.

Exercício – Escalone as matrizes a seguir:

a. 𝐴 = [

1

2 −1

1

5

2

4

1

3

6 ]

(3)

b. 𝐵 = [

1

2 −1

2

4 −2

3

6

1

3

6

9 ]

c. 𝐶 = [

1

2

3

2

1

3 −1

2

1

2

1 ]

Resolução do exercício:

a.

[

𝟏

𝟐 −𝟏

𝟏

𝟓

𝟐

𝟒

𝟏

𝟑

𝟔 ] →

𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐

𝑳𝟑 = −𝟓 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑

[

𝟏

𝟎 −𝟑

−𝟏

𝟎 −𝟑

−𝟏

𝟏

𝟏 ]

[

𝟏

𝟎 −𝟑

−𝟏

𝟎 −𝟑

−𝟏

𝟏

𝟏 ] → 𝑳𝟑 = − 𝑳𝟐 + 𝑳𝟑 [

𝟏

𝟎 −𝟑

−𝟏

𝟎

𝟏

𝟎 ]

b.

[

𝟏

𝟐 −𝟏

𝟐

𝟒 −𝟐

𝟑

𝟔

𝟏

𝟑

𝟔

𝟗 ] →

𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐

𝑳𝟑 = −𝟑 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑

[

𝟏

𝟐 −𝟏

𝟎

𝟒

𝟑

𝟎

𝟎 ]

[

𝟏

𝟐 −𝟏

𝟎

𝟒

𝟑

𝟎

𝟎 ] → 𝑳𝟐 ↔ 𝑳𝟑 [

𝟏

𝟐 −𝟏

𝟎

𝟒

𝟎

𝟑

𝟎

𝟎 ]

(4)

c.

[

𝟏

𝟐

𝟑

𝟐

𝟏

𝟑 −𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏 ] →

𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐

𝑳𝟑 = −𝟑 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑

[

𝟏

𝟐

𝟑

𝟎 −𝟑

−𝟓

𝟎 −𝟕

−𝟕

𝟏

𝟎 −𝟐

]

[

𝟏

𝟐

𝟑

𝟎 −𝟑

−𝟓

𝟎 −𝟕

−𝟕

𝟏

𝟎 −𝟐

] → 𝑳𝟑 = −𝟕 𝑳𝟐 + 𝟑 𝑳𝟑 [

𝟏

𝟐

𝟑

𝟎 −𝟑

−𝟓

𝟎

𝟏𝟒

𝟏

𝟎 −𝟔

]

Observações

i)

Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então

𝐴. 𝐵 é

também invertível e (𝐴. 𝐵)

−1

= 𝐵

−1

. 𝐴

−1

ii)

Uma matriz quadrada A admite inversa, se e somente se,

𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0.

iii) Se A é uma matriz quadrada e 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0, então

𝑑𝑒𝑡 𝐴

−1

=

1 𝑑𝑒𝑡 𝐴

iv) (𝐴

−1

)

−1

= 𝐴

v) (𝐴

−1

)

𝑇

= (𝐴

𝑇

)

−1

Modo 4: E

scalonamento para calcular

matrizes inversas

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos

inverter e a matriz identidade. Após a aplicação sucessiva

(5)

de operações elementares sobre as linhas da matriz a

inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade,

lembrando que as mesmas operações devem ser aplicadas à

matriz identidade, ao término, quando a matriz inicial tiver

sido transformada na matriz identidade, a outra matriz será

a matriz inversa procurada.

[𝐴|𝐼 ] → [𝐼|𝐴

−1

_]

Exemplo:

[

𝟐 𝟏

𝟒 𝟑

] [

𝟏 𝟎

𝟎 𝟏

] {𝑳

𝟐

= 𝑳

𝟐

− 𝟐𝑳

𝟏

[

𝟐 𝟏

𝟎 𝟏

] [

𝟏

𝟎 −𝟐 𝟏

]

[

𝟐 𝟏

𝟎 𝟏

] [

𝟏

𝟎 −𝟐 𝟏

] {𝑳

𝟏

= 𝑳

𝟏

− 𝑳

𝟐

[

𝟐 𝟎

𝟎 𝟏

] [

𝟑 −𝟏

−𝟐

𝟏 ]

[

𝟐 𝟎

𝟎 𝟏

] [

𝟑 −𝟏

−𝟐

𝟏 ] {𝑳

𝟏

=

𝑳

_𝟏

2 [

1 0

0 1

] [

3

2 −

1

2 −2

1 ]

𝐴

−1

= [

3

2 −

1

2 −2

1 ]

Cálculo de matriz inversa: Eliminação de Gauss-Jordan

Este procedimento consiste em converter a matriz

aumentada, numa matriz escalonada, aplicando as operações

elementares.

(6)

Dada uma determinada matriz:



Primeiro construímos a matriz aumentada. A matriz

aumentada consiste em dois blocos, separados por uma linha

tracejada. O bloco do lado esquerdo é a matriz que foi dada, o

bloco do lado direito é a matriz identidade.

[

2 −3

4 | 1 0 0

−1

2 −3 | 0 1 0

3

2 −1 | 0 0 1

]



Agora, devemos operar com as linhas de modo que

consigamos transformar o bloco do lado esquerdo em uma

matriz identidade:

[

1 0 0

| ?

? ?

0 1 0

| ?

? ?

0 0 1

| ?

? ?

]



depois de feitas as operações com as linhas da matriz para

obter a matriz unidade, no lado esquerdo do bloco, a matriz

que resultar no bloco do lado direito, será a matriz inversa de

A:

[

1 0 0

| ?

? ?

0 1 0

| ?

? ?

0 0 1

| ?

? ?

]

(7)

Exercício: Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes

inversas de:

a.

𝐴 = [

2 1

5 3

]

_R:

_𝐾

−1

_{= [}

3 −1

−5

2 ]

b.

𝐵 = [

1 1

2 3

]

_R:

_𝐾

−1

_{= [}

3 −1

−2

1 ]

c.

𝐶 = [

4 5

3 4

]

_R:

_𝐾

−1

_{= [}

4 −5

−3

4 ]

d.

_{𝐿 = [}

1 2

2 5

]

_R:

_𝐾

−1

_{= [}

5 −2

−2

1 ]

e.

𝐷 = [

1 1

1

0 1 0

1 ]

R: 𝐷

−1

= [

−1

1

0 −1

1 −1

0 ]

f.

𝐾 = [

−1

2 −3

4

3

2 −1

]

R:

𝐾

−1

=

[

−

2 3 5 6 1 6 5 3

−

7 3 1 3

−

4 3

−

13 6 1 6

]

g.

𝐽 = [

1 0 2

2 1 3

3 1 0

]

R: 𝐽

−1

=

[

−

3 5

−

2 5 2 5 9 5 6 5

−

1 5 1 5 1 5

−

1 5

]

(8)

Resoluções dos exercícios:

Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes inversas de:

a. 𝐴 = [2 1

5 3]

Primeiro construir a matriz aumentada: _[2 1 | 1 0

5 3 | 0 1] [2 1 | 1 0 5 3 | 0 1] {𝐿2 = 2𝐿2 − 5𝐿1 → [ 2 1 | 1 0 0 1 | −5 2] [2 1 | 1 0 0 1 | −5 2] {𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿2 → [ 2 0 | 6 −2 0 1 | −5 2 ] [2 0 | 6 −2 0 1 | −5 2 ] {𝐿1 = 𝐿1 2 → [ 1 0 | 3 −1 0 1 | −5 2 ] b. 𝐵 = [1 1 2 3]

2 3 | 0 1] [1 1 | 1 0 2 3 | 0 1] {𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 → [ 1 1 | 1 0 0 1 | −2 1] [1 1 | 1 0 0 1 | −2 1] {𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿2 → [ 1 0 | 3 −1 0 1 | −2 1 ] c. 𝐶 = [4 5 3 4]

3 4 | 0 1]

[4 5 | 1 0

3 4 | 0 1] {𝐿2 = 4𝐿2 − 3𝐿1 → [

4 5 | 1 0

(9)

[4 5 | 1 0 0 1 | −3 4] {𝐿1 = 𝐿1 − 5𝐿2 → [ 4 0 | 16 −20 0 1 | −3 4 ] [4 0 | 16 −20 0 1 | −3 4 ] {𝐿1 = 𝐿1 4 → [ 1 0 | 4 −5 0 1 | −3 4 ] d. 𝐿 = [1 2 2 5]

2 5 | 0 1] [1 2 | 1 0 2 5 | 0 1] {𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 → [ 1 2 | 1 0 0 1 | −2 1] [1 2 | 1 0 0 1 | −2 1] {𝐿1 = 𝐿1 − 2𝐿2 → [ 1 0 | 5 −2 0 1 | −2 1 ]

e. 𝐷 = [

1 1

1

0 1 0

1 ]

Construindo a matriz aumentada:

𝐷 = [ 1 1 1 | 1 0 0 1 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 0 0 1 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 1 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 0 0 1 ] → 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿2 = 𝐿1 − 𝐿2 𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3 [ 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 | 1 −1 0 0 1 0 | 1 0 −1 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 | 1 −1 0 0 1 0 | 1 0 −1 ] → 𝐿2 ↔ 𝐿3 [ 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] → 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿2 [ 1 0 1 | 0 0 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ]

(10)

[ 1 0 1 | 0 0 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] → 𝐿3 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿3 [ 1 0 0 | −1 1 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ]

Portanto, a matriz inversa de 𝐷 = [

1 1 1 1 1 0 1 0 1 ] é 𝐷−1_{= [}−1₁ 1₀ ₋₁1 1 −1 0 ]

f. 𝐾 = [

−1

2 −3

4

3

2 −1

]

𝐾 = [ 2 −3 4 | 1 0 0 −1 2 −3 | 0 1 0 3 2 −1 | 0 0 1 ] [ 2 −3 4 | 1 0 0 −1 2 −3 | 0 1 0 3 2 −1 | 0 0 1 ] → 𝐿1 ↔ 𝐿2 [ −1 2 −3 | 0 1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] [ −1 2 −3 | 0 1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] → 𝐿1 = 𝐿1 (−1) [ 1 −2 3 | 0 −1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] [ 1 −2 3 | 0 −1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] → 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [ 1 −2 3 | 0 −1 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 8 −10 | 0 3 1] [ 1 −2 3 | 0 −1 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 8 −10 | 0 3 1] → 𝐿1 = 2 𝐿2 + 𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 8 𝐿2 [ 1 0 −1 | 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 0 6 | −8 −13 1]

(11)

[ 1 0 −1 | 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 0 6 | −8 −13 1] → 𝐿1 = 6 𝐿1 + 𝐿3 𝐿2 = 3 𝐿2 + 𝐿3 [ 6 0 0 | 4 5 1 0 3 0 | −5 −7 1 0 0 6 | −8 −13 1] [ 6 0 0 | 4 5 1 0 3 0 | −5 −7 1 0 0 6 | −8 −13 1] → { 𝐿1 =1 6𝐿1 𝐿2 =1 3𝐿2 𝐿3 =1 6𝐿3 [ 1 0 0 | 2 3 5 6 1 6 0 1 0 | −5 3 − 7 3 1 3 0 0 1 | −4 3 − 13 6 1 6]

Portanto, a matriz inversa de 𝐾 = [ 2 −3 4 −1 2 −3 3 2 −1] é 𝐾−1 ₌ [ − 2 3 5 6 1 6 5 3 − 7 3 1 3 −4 3 − 13 6 1 6]

g. 𝐽 = [

1 0 2

2 1 3

3 1 0

]

[ 1 0 2 | 1 0 0 2 1 3 | 0 1 0 3 1 0 | 0 0 1 ] → 𝐿2 = −2𝐿1 + 𝐿2 𝐿3 = −3 𝐿1 + 𝐿3 [ 1 0 2 | 1 0 0 0 1 −1 | −2 1 0 0 1 −6 | −3 0 1] [ 1 0 2 | 1 0 0 0 1 −1 | −2 1 0 0 1 −6 | −3 0 1] → 𝐿3 = −𝐿2 + 𝐿3 [ 1 0 2 | 1 0 0 0 1 −1 | −2 1 0 0 0 −5 | −1 −1 1] [ 1 0 2 | 1 0 0 0 1 −1 | −2 1 0 0 0 −5 | −1 −1 1] → 𝐿2 = 5 𝐿2 − 𝐿3 [ 1 0 2 | 1 0 0 0 5 0 | −9 6 −1 0 0 −5 | −1 −1 1 ]

(12)

[ 1 0 2 | 1 0 0 0 5 0 | −9 6 −1 0 0 −5 | −1 −1 1 ] → 𝐿1 = 5𝐿1 + 2 𝐿3 [ 5 0 0 | 3 −2 2 0 5 0 | −9 6 −1 0 0 −5 | −1 −1 1 ] [ 5 0 0 | 3 −2 2 0 5 0 | −9 6 −1 0 0 −5 | −1 −1 1 ] → { 𝐿1 =1 5𝐿1 𝐿2 =1 5𝐿2 𝐿3 = −1 5𝐿3 [ 1 0 0 | 3 5 − 2 5 2 5 0 1 0 | −9 5 6 5 − 1 5 0 0 1 | 1 5 1 5 − 1 5]

Portanto, a matriz inversa de 𝐽 = [ 1 0 2 2 1 3 3 1 0] é 𝐽−1₌ [ − 3 5 − 2 5 2 5 9 5 6 5 − 1 5 1 5 1 5 − 1 5] Referências Bibliográficas

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

STEINBRUCH, A. ; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.