Licenciatura em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores
Investigac
¸˜
ao Operacional
Recurso 2006.02.14 Durac¸˜ao: 2 horas
Resolver em 3 conjuntos de folhas separadas: (1) (2) (3, 4)
1.
(5 valores)Ap´os a decis˜ao de centralizar a impress˜ao dos folhetos de divulga¸c˜ao dos Parques Naturais na gr´afica do Minist´erio, ´e necess´ario preparar uma estimativa de custos para a reuni˜ao de Directores dos Parques, para que haja a necess´aria aprova¸c˜ao por parte destes. Os folhetos de cada parque ser˜ao personalizados e cada parque ter´a a liberdade de incluir no seu folheto o que entender. A ´unica condi¸c˜ao ´e que o folheto tenha o tamanho de uma folha A4. Nesta fase apenas estar˜ao envolvidos 3 parques, que s˜ao os que tˆem os seus folhetos esgotados.
Para obter uma estimativa dos custos de impress˜ao dos folhetos, ´e necess´ario saber n˜ao s´o as quantidades necess´arias para cada parque (determinada a partir das estat´ısticas de visitantes em anos anteriores), e que se encontram na tabela anexa (Tabela 1), como ´e necess´ario saber quantos fotolitos1 ser˜ao necess´arios. Os fotolitos funcionam como um carimbo, que ´e sucessivamente aplicado a tantas folhas quantas as necess´arias at´e que esteja tudo impresso. Os fotolitos s˜ao relativamente dispendiosos e o seu custo pode ter um impacto significativo nos custos globais de impress˜ao.
Dado o tamanho dos folhetos, e o tamanho das folhas onde estes ser˜ao impressos, cada fotolito tem espa¸co para a grava¸c˜ao de 9 folhetos. Por raz˜oes de ordem t´ecnica, uma fila apenas pode conter um tipo de folheto, o que faz com que cada fotolito permita a impress˜ao de um m´aximo de 3 folhetos diferentes (ver exemplo de fotolito na figura 1). Para minimizar o desperd´ıcio de papel n˜ao se considera a hip´otese de os fotolitos n˜ao serem totalmente ocupados, isto ´e, conterem menos do que 9 folhetos.
Tomando como objectivo a minimiza¸c˜ao do n´umero de fotolitos usados e considerando que um excesso de at´e 5% na produ¸c˜ao de cada folheto ´e admiss´ıvel, escreva um modelo de Programa¸c˜ao Matem´atica que permitiria determinar o n´umero ´optimo de fotolitos para satisfazer a impress˜ao dos folhetos nas quantidades e tolerˆancias dadas.
Tabela 1: Quantidade de folhetos necess´aria. Parque Natural No de folhetos Sintra-Cascais 25000 Peneda Gerˆes 25500
Sintra Cascais Sintra Cascais Sintra Cascais Peneda Gerês Peneda Gerês Peneda Gerês MontesinhoMontesinhoMontesinho
Figura 1: Exemplo de uma organiza¸c˜ao admiss´ıvel para um fotolito.
2.
(5 valores)J´a ao fim do dia, tinha toda a gente do Minist´erio ido j´a para casa, o Eng. Gon¸calves pegou no trabalho que um dos seus assistentes deixara incompleto e cujos resultados seriam apresentados na reuni˜ao de Directores de Parques Naturais no dia seguinte. Era um problema de programa¸c˜ao linear (de minimiza¸c˜ao), que o assistente estava a resolver pelo m´etodo simplex, mas cuja resolu¸c˜ao, al´em de ter ficado a meio, tinha alguns valores ileg´ıveis no ´ultimo quadro (representados, no quadro seguinte, por letras):
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x4 1 0 2 1 0 0 0 4
x2 0 1 1 0 1 0 0 1
x7 b 0 −2 0 −3 −1 1 c
−z a 0 2 0 3 1 0 1
(a) Fa¸ca uma itera¸c˜ao pelo m´etodo simplex, tomando como elemento pivot o correspon-dente `a 1a coluna e 3a linha.
(b) A que condi¸c˜oes tˆem que obedecer a, b e c para que o elemento pivot seja o que foi indicado (1a coluna, 3a linha)?
(c) A que condi¸c˜oes tem que obedecer a, b e c para que o quadro que obteve, ap´os fazer a itera¸c˜ao pedida, seja o quadro ´optimo?
(d) A que condi¸c˜oes tˆem que obedecer a, b e c para que as solu¸c˜oes ´optimas se encontrem sobre um segmento de recta paralelo `as rectas de n´ıvel da fun¸c˜ao objectivo?
3.
(5 valores)O Instituto de Conserva¸c˜ao da Natureza (ICN) decidiu avaliar os servi¸cos de atendimento ao p´ublico dos Parques Naturais portugueses. Para o efeito, foram constitu´ıdas 12 equipas de avalia¸c˜ao, uma em cada um dos 10 Parques Naturais a serem inspeccionados e mais 2 baseadas nos servi¸cos centrais no Porto e em Lisboa. Para minimizar as desloca¸c˜oes a efectuar pelas equipas de avalia¸c˜ao, o ICN dividiu os Parques Naturais por duas zonas, Norte e Sul, e limitou a afecta¸c˜ao dos parques a equipas provenientes da mesma zona. A zona Norte ´e constitu´ıda pelos Parques Naturais da Peneda-Gerˆes (PNPG), do Mon-tesinho (PNM), do Douro Internacional (PNDI), da Serra do Alv˜ao (PNSA) e da Serra da Estrela (PNSE) e ainda pelos servi¸cos centrais do Porto (SCP). Por sua vez, na zona Sul ´e constitu´ıda pelos Parques Naturais da Serra de Aires e dos Candeeiros (PNSAC), da Serra de S˜ao Mamede (PNSSM), de Sintra-Cascais (PNSC), do Sudoeste Alentejano e da Costa Vicentina (PNSACV) e do Guadiana (PNG) e ainda pelos servi¸cos centrais de Lisboa (SCL). Uma equipa est´a obviamente impedida de inspeccionar o Parque Natural de onde ´e oriunda. Em cada uma das zonas existir´a uma equipa de reserva.
Na tabela seguinte apresentam-se as distˆancias (Km) a percorrer pelas equipas para ava-liarem cada um dos Parques Naturais:
Equipas Parques Naturais (Zona Norte)
PNM PNPG PNSA PNDI PNSE
PNM 0 121 107 74 185 PNPG 121 0 53 149 147 PNSA 107 53 0 110 102 PNDI 74 149 110 0 150 PNSE 185 147 102 150 0 SCP 172 70 71 180 120
Equipas Parques Naturais (Zona Sul) PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG PNSAC 0 106 124 211 260 PNSC 106 0 180 126 211 PNSSM 124 180 0 211 200 PNSACV 211 126 211 0 115 PNG 260 211 200 115 0 SCL 107 25 167 114 193
(a) Considere apenas uma das zonas e determine a afecta¸c˜ao das equipas de avalia¸c˜ao aos Parques Naturais que minimiza o total das desloca¸c˜oes efectuadas.
(b) O modelo de afecta¸c˜ao da al´ınea anterior permite situa¸c˜oes de inspec¸c˜ao cruzada entre dois Parques Naturais vizinhos. Para evitar estas situa¸c˜oes, o ICN decidiu introduzir a seguinte restri¸c˜ao adicional: uma equipa de avalia¸c˜ao proveniente de um Parque Natural est´a impedida de avaliar o Parque Natural mais pr´oximo. Modifique o modelo de afecta¸c˜ao da al´ınea por forma a considerar esta nova restri¸c˜ao.
4.
(5 valores)O Minist´erio do Ambiente decidiu criar uma super-equipa de sapadores bombeiros flo-restais altamente qualificados destinada a proteger os Parques Naturais portugueses do flagelo dos fogos florestais. A localiza¸c˜ao do quartel desta super-equipa ´e crucial para possibilitar o r´apido acesso `as frentes de fogo e assim permitir uma ajuda eficaz aos meios de combate pr´oprios de cada Parque. No per´ıodo de Inverno, a super-equipa ir´a tamb´em proceder a variadas interven¸c˜oes preventivas nos Parques Naturais por forma a reduzir os riscos de incˆendio, pelo que uma adequada localiza¸c˜ao do quartel permite adicionalmente reduzir os custos das desloca¸c˜oes aos v´arios Parques Naturais.
As regi˜oes Norte e Centro de Portugal foram consideradas as zonas sob maior amea¸ca dos fogos florestais, ficando os Parques Naturais a´ı localizados sob responsabilidade da super-equipa de sapadores florestais. A super-super-equipa de sapadores florestais dever´a coordenar as actividades de combate aos fogos florestais com os meios pr´oprios existentes em cada Parque. Os Parques Naturais sob al¸cada da super-equipa s˜ao os seguintes: P.N. da Peneda-Gerˆes (PNPG), P.N. do Montesinho (PNM), P.N. da Serra do Alv˜ao (PNSA), P.N. do Douro Internacional (PNDI), P.N. da Serra da Estrela (PNSE), P.N. da Serra de Aires e dos Candeeiros (PNSAC) e P.N. da Serra de S˜ao Mamede (PNSSM).
O quartel desta super-equipa de sapadores florestais dever´a ficar numa zona o mais cen-tral poss´ıvel e com bons acessos rodovi´arios (ver mapa da figura 2), recaindo a escolha naturalmente na zona de Viseu. Os principais eixos de acesso rodovi´ario de Viseu s˜ao os IP3 (Vila Real/Viseu/Coimbra) e IP5 (Aveiro/Viseu/Guarda), que permitem uma r´apida liga¸c˜ao aos restantes IPs e da´ı aos Parques Naturais. Na figura seguinte apresenta-se o mapa com as localiza¸c˜oes dos Parques Naturais (assinalados com um ponto preto) e dos principais acessos rodovi´arios, com as distˆancias (Km) assinaladas.
Figura 2: Mapa.
(a) Determine as distˆancias entre o quartel (Viseu) e os Parques Naturais sob responsa-bilidade da super-equipa de sapadores florestais.
(b) Numa segunda fase foi decidido incluir o P.N. de Sintra-Cascais (PNSC) na lista de Parques Naturais sob responsabilidade da super-equipa. Determine a distˆancia entre
este Parque Natural e o quartel da super-equipa de sapadores florestais. Os acessos ao PNSC est˜ao representados na figura seguinte:
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Recurso 2006.01.24 Resoluc¸˜ao1.
´Indices i fotolito, i ∈ {1, . . . , 10}; j parque natural, j ∈ {1, 2, 3};Vari´aveis de decis˜ao δi =
1 se o fotolito i for usado. 0 se n˜ao
xi ≥ 0, n´umero de folhas impressas com o fotolito i;
Coeficientes
aij n´umero de folhetos do parque j que aparecem no fotolito i (tabela seguinte); bj N´umero de folhetos necess´arios para o parque j (tabela seguinte);
Organiza¸c˜oes admiss´ıveis para os fotolitos (aij)
Parque Fotolitos No de Natural x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 folhetos (bj) SC 3 6 6 3 0 3 0 9 0 0 25000 PG 3 3 0 6 6 0 3 0 9 0 25500 M 3 0 3 0 3 6 6 0 0 9 26000 Fun¸c˜ao objectivo min Z =P10 i=1δi Restri¸c˜oes 10 X i=1 aijxi ≥ bj, ∀j (1) 10 X i=1 aijxi ≤ 1.05 × bj, ∀j (2) xi− δiM ≤ 0, ∀i (3) δi ∈ {0, 1}, ∀i (4) xi ≥ 0, ∀i (5) (6) As restri¸c˜oes (1) garantem que se produzem, no m´ınimo as quantidades pretendidas. As restri¸c˜oes (2) garantem que a sobreprodu¸c˜ao n˜ao ´e superior a 5%. As restri¸c˜oes (3) garantem que um fotolito usado ´e contado, em termos de fun¸c˜ao objectivo.
2.
(a) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x4 1 0 2 1 0 0 0 4 x2 0 1 1 0 1 0 0 1 x7 b 0 −2 0 −3 −1 1 c linha pivot −z a 0 2 0 3 1 0 1x4 0 0 2 + 2/b 1 3/b 1/b −1/b 4 − c/b multiplicar a linha pivot por -1/b e somar
x2 0 1 1 0 1 0 0 1 fica igual
x1 1 0 −2/b 0 −3/b −1/b 1/b c/b dividir po b
−z 0 0 2 + 2a/b 0 3 + 3a/b 1 + a/b −a/b 1 − ac/b multiplicar a linha pivot por -a/b e somar
(b) a < 0, para que seja a vari´avel x1 a entrar na base, b > 0, para que possa ser a vari´avel x7 a sair da base (com b ≤ 0, x7 nunca seria candidata a sair da base), e
c
b < 4 para que seja realmente x7 a sair da base, por apresentar menor quociente que x4.
(c) Para que o quadro seja ´optimo ´e preciso que todos os custos marginais sejam n˜ao negativos, isto ´e, 2 + 2ab ≥ 0, 3 + 3a
b ≥ 0, 1 + 1 a b ≥ 0 e
a
b ≥ 0. Estas condi¸c˜oes podem ser todas escritas em fun¸c˜ao de a (se assumirmos b > 0): b ≥ −a, b ≥ −a, b ≥ −a e a < 0. Cruzando estas condi¸c˜oes com as obtidas na al´ınea anterior, assumindo portanto que a itera¸c˜ao era feita nas condi¸c˜oes para a, b e c descritas na al´ınea anterior, ficamos apenas com b ≥ −a.
(d) Para que existam ´optimos m´ultiplos ´e preciso que custos marginais de vari´aveis n˜ao b´asicas sejam nulos, isto ´e, que a = −b. Note-se que nesse caso, 3 vari´aveis n˜ao b´asicas veriam os sues custos marginais iguais a zero, o que configuraria uma situa¸c˜ao de um plano bidimensional com custo constante e ´optimo.
3.
(a) Resolu¸c˜ao para a Zona Norte:Trata-se de um problema de afecta¸c˜ao onde se pretende minimizar as distˆancias percorridas pelas equipas de avalia¸c˜ao. Existem 6 equipas de avalia¸c˜ao e apenas 5 Parques Naturais para serem avaliados, pelo que ´e necess´ario criar um parque fict´ıcio (coluna adicional — XXX). As distˆancias das equipas de avalia¸c˜ao a este parque fict´ıcio devem ser todas iguais entre si, utilizando-se ZERO para simplificar a resolu¸c˜ao do problema. Para impedir que uma equipa avalie o Parque Natural de onde ´e necess´ario atribuir um custo muito elevado (+∞) a estas situa¸c˜oes.
O quadro inicial de afecta¸c˜ao ´e o seguinte:
PNM PNPG PNSA PNDI PNSE XXX
PNM +∞ 121 107 74 185 0 PNPG 121 +∞ 53 149 147 0 PNSA 107 53 +∞ 110 102 0 PSDI 74 149 110 +∞ 150 0 PNSE 185 147 102 150 +∞ 0 SCP 172 70 71 180 120 0
Dado que o m´ınimo de cada linha ´e ZERO, basta subtrair o m´ınimo de cada coluna (valores a it´alico no quadro anterior), obtendo-se o quadro seguinte:
PNM PNPG PNSA PNDI PNSE XXX
PNM +∞ 68 54 0 83 0 PNPG 47 +∞ 0 75 45 0 PNSA 33 0 +∞ 36 0 0 PSDI 0 96 57 +∞ 48 0 PNSE 111 94 49 75 +∞ 0 SCP 98 17 18 106 18 0
Como bastam 5 riscos para cobrir todos os ZEROs (ver quadro anterior) ainda n˜ao encontramos a afecta¸c˜ao ´optima, sendo necess´ario aplicar o processo iterativo do m´etodo H´ungaro (subtrair o menor dos elementos n˜ao riscados ao elementos n˜ao riscados e som´a-lo aos elementos riscados duas vezes) at´e serem necess´arios 6 riscos para cobrir todos os ZEROs.
1a itera¸c˜ao (menor elemento n˜ao riscado 17):
PNM PNPG PNSA PNDI PNSE XXX
PNM +∞ 68 54 0 83 17 PNPG 47 +∞ 0 75 45 17 PNSA 33 0 +∞ 36 0 17 PSDI 0 96 57 +∞ 48 17 PNSE 94 77 32 59 +∞ 0 SCP 81 0 1 89 1 0
Como s˜ao necess´arios 6 riscos para cobrir todos os ZEROs, j´a encontramos a afecta¸c˜ao ´
Equipa do PNM ↔ PNDI Equipa do PNPG ↔ PNSA Equipa do PNSA ↔ PNSE Equipa do PNDI ↔ PNM Equipa do PNSE ↔ reserva Equipa dos SCP ↔ PNPG O custo da afecta¸c˜ao ´optima tem de ser visto no quadro inicial:
PNM PNPG PNSA PNDI PNSE XXX
PNM +∞ 121 107 74 185 0 PNPG 121 +∞ 53 149 147 0 PNSA 107 53 +∞ 110 102 0 PSDI 74 149 110 +∞ 150 0 PNSE 185 147 102 150 +∞ 0 SCP 172 70 71 180 120 0 Custo = 74 + 53 + 102 + 74 + 0 + 70 = 373Km Resolu¸c˜ao para a Zona Sul:
(Nota: basta resolver para uma das zonas)
PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG XXX PNSAC +∞ 106 124 211 260 0 PNSC 106 +∞ 180 126 211 0 PNSSM 124 180 +∞ 211 210 0 PSSACV 211 126 211 +∞ 115 0 PNG 260 211 200 115 +∞ 0 SCL 107 25 167 114 193 0 PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG XXX PNSAC +∞ 81 0 97 145 0 PNSC 0 +∞ 56 12 96 0 PNSSM 18 155 +∞ 97 85 0 PSSACV 115 101 97 +∞ 0 0 PNG 154 176 76 1 +∞ 0 SCL 1 0 43 0 78 0 PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG XXX PNSAC +∞ 81 0 97 145 1 PNSC 0 +∞ 56 12 96 1 PNSSM 17 154 +∞ 96 84 0 PSSACV 115 101 97 +∞ 0 1
Equipa do PNSAC ↔ PNSSM Equipa do PNSC ↔ PNSAC Equipa do PNSSM ↔ reserva Equipa do PNSACV ↔ PNG Equipa do PNG ↔ PNSACV Equipa dos SCL ↔ PNSC
O custo da afecta¸c˜ao ´optima:
PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG XXX PNSAC +∞ 106 124 211 260 0 PNSC 106 +∞ 180 126 211 0 PNSSM 124 180 +∞ 211 210 0 PSSACV 211 126 211 +∞ 115 0 PNG 260 211 200 115 +∞ 0 SCL 107 25 167 114 193 0 Custo = 124 + 106 + 0 + 115 + 115 + 25 = 485Km
(b) ´E necess´ario impedir que uma equipa de avalia¸c˜ao oriunda de um Parque Natural avalie o Parque Natural mais pr´oximo, pelo que se atribui um custo muito elevado (+∞) a este tipo de afecta¸c˜oes (notas: as equipas oriundas dos Servi¸cos Centrais n˜ao s˜ao afectadas por esta restri¸c˜ao; basta resolver para uma das zonas).
Zona Norte PNM PNPG PNSA PNDI PNSE XXX
PNM +∞ 121 107 +∞ 185 0 PNPG 121 +∞ +∞ 149 147 0 PNSA 107 +∞ +∞ 110 +∞ 0 PSDI +∞ 149 110 +∞ 150 0 PNSE 185 147 +∞ 150 +∞ 0 SCP 172 70 71 180 120 0
Zona Sul PNSAC PNSC PNSSM PNSACV PNG XXX
PNSAC +∞ +∞ 124 211 260 0 PNSC +∞ +∞ 180 126 211 0 PNSSM +∞ 180 +∞ 211 210 0 PSSACV 211 126 211 +∞ +∞ 0 PNG 260 211 200 +∞ +∞ 0 SCL 107 25 167 114 193 0
4.
(a) Trata-se de um problema de caminho m´ınimo entre a cidade Viseu e cada um dos 7 Parques Naturais. O algoritmo de Dijkstra permite determinar a distˆancia entre um n´o de uma rede e os restantes n´os da rede. Para facilitar a aplica¸c˜ao do algoritmo vamos simplificar a rede removendo os n´os que s˜ao acess´ıveis apenas por uma aresta (PNPG, PNSA, PNM e PNSSM). A distˆancia para estes n´os ser´a posteriormente calculada a partir da distˆancia dos n´os que lhes d˜ao acesso.A aplica¸c˜ao do algoritmo de Dijkstra, na forma tabular, apresenta-se na p´agina seguinte (as etiquetas definitivas est˜ao assinaladas a negrito). As distˆancias m´ınimas entre Viseu e os Parques Naturais retiram-se directamente da forma tabular do algoritmo de Dijkstra:
Viseu/PNPG: Viseu/Braga + 30 = 210 + 30 = 240 (Viseu/Vila Real/Braga/PNPG) Viseu/PNSA: Viseu/Vila Real + 17 = 110 + 17 = 127 (Viseu/Vila Real/PNSA)
Viseu/PNM: Viseu/Bragan¸ca + 25 = 250 + 25 = 275 (Viseu/Vila Real/Bragan¸ca/PNM)
Viseu/PNDI: 230 (Viseu/Guarda/PNDI)
Viseu/PNSE: 105 (Viseu/Guarda/PNSE)
Viseu/PNSSM: Viseu/Portalegre + 5 = 260 + 5 = 265 (Viseu/Guarda/Cast.Branco/Portalegre/PNSSM)
Viseu/PNSAC: 170 (Viseu/Coimbra/Leiria/PNSAC)
(b) De acordo com o mapa, o acesso de Viseu ao PNSC passa por Leiria ou Santar´em. Como na al´ınea anterior j´a foram determinadas as distˆancias m´ınimas entre Viseu e Leiria (150 Km) e Viseu e Santar´em (220 Km), podemos simplificar a rede:
150 220 130 70 25 PNSC Lisboa Santarém Leiria Viseu Viseu/Leiria/Lisboa/PNSC: 150 + 130 + 25 = 305 Viseu/Santar´em/Lisboa/PNSC: 220 + 70 + 25 = 315
orto V. Re al Bragan ¸ca Av eiro Viseu Guarda Coim bra C. Branco Leiria San tar ´em P ortal. PNDI PNSE PNSA C M M M M 0 M M M M M M M M M M 110 M 100 80 80 M M M M M M M M 110 280 100 80 180 M M M 230 105 M M 110 280 100 180 150 M M 230 105 M 170 110 280 180 150 M M 230 105 M 170 110 280 180 150 M M 230 M 170 250 180 150 M M 230 M 170 250 180 M M 230 170 250 180 M M 230 170 250 180 220 M 230 250 220 260 230 250 220 260 230 250 260 230 250 260 260 260
