APRESENTAÇÃO À GUISA DE FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1 EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS CONCRETOS E VIRTUAIS PARA O

ENSINO DE VOLUMES E POLIEDROS EQUIVALENTES

Ana Maria M. R. Kaleff Universidade Federal Fluminense

anakaleff@vm.uff.br

Bárbara Gomes Votto Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense Secretaria Municipal de Educação da Cidade do Rio de Janeiro

bgvotto@yahoo.com.br

Fernanda M.C. da Rosa Laboratório de Ensino de Geometria - UFF Secretaria Municipal de Educação da Cidade do Rio de Janeiro

malinosky20@hotmail.com

Resumo: Este relato apresenta uma forma instigante de se dinamizar a sala de aula para

motivar o educando a aprendizagem de conceitos e relações geométricos, por meio da utilização de recursos concretos e virtuais. Os experimentos educacionais destinam-se a alunos e professores do Ensino Fundamental ao Médio, bem como ao do Ensino de Jovens e Adultos (EJA), podendo ser aplicados no ensino presencial como no a distância. A metodologia envolvida motiva o educando por meio da utilização de uma ampla variedade de jogos, artefatos didáticos, softwares e animações eletrônicas interativas. Entre esses se encontram jogos de encaixe do tipo quebra-cabeça espacial, modelos representantes de faces e de arestas de poliedros, móbiles espaciais, diversas animações que permitem a movimentação de modelos de sólidos regulares de Platão e seus duais, bem como animações e esquemas gráficos que emulam a construção de alguns desses modelos. A utilização de móbiles para ajudar a entender desenhos e a calcular volumes é inspirada na obra do artista alemão Albrecht Dürer. Os experimentos satisfazem os princípios educacionais apresentados nos Parâmetros Curriculares Nacionais e no Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico.

Palavras-chave: Geometria; Volumes; Poliedros de Platão e seus duais; Materiais

concretos; Materiais virtuais.

APRESENTAÇÃO À GUISA DE FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

No que se segue, apresentam-se recursos didáticos criados no Laboratório de Ensino de Geometria (LEG) da Universidade Federal Fluminense (Niterói-RJ), no âmbito de diversos projetos, nos quais se busca o desenvolvimento de metodologias e estratégias de ensino e aprendizagem, ou seja, de tecnologias educacionais, da capacitação e da qualificação de recursos humanos, no caso, licenciandos e professores de Matemática em

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 2

formação continuada. Os projetos que deram origem aos recursos didáticos aqui apresentados são:

o Projeto Desenvolvimento de Atividades para Ampliação do Acervo Didático do

Laboratório de Ensino de Geometria do Instituto de Matemática, vinculado à Pró-Reitoria de Extensão (PROEX/UFF);

o Projeto de monitoria Iniciação à Docência para a Melhoria do Ensino de

Geometria em uma Perspectiva da Educação Matemática, vinculado à Pró-Reitoria de Assuntos Acadêmicos (PROAC/UFF);

o Projeto Conteúdos Digitais para o Ensino e Aprendizagem da Matemática do

Ensino Médio (CDME), patrocinado pelo Ministério de Ciência e Tecnologia.

No LEG, privilegiam-se as pesquisas voltadas para o desenvolvimento da habilidade da visualização, pois entre os pesquisadores da Educação Matemática, tem sido muito divulgada que a habilidade para visualizar é uma das mais importantes para o desenvolvimento dos conceitos da Geometria, e, portanto, no que se refere à sala de aula, esta é a principal habilidade para tornar os alunos capazes de dominar e de apresentar autonomia no lidar com conceitos geométricos elementares (HERSHKOWITZ et al., 1994).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) apontam para o fato de que:

“o conhecimento matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado para se tornar passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático teórico não são passíveis de comunicação direta aos alunos” (BRASIL, 1998, p.30).

Nessa direção, são necessárias duas linhas de ação. Por um lado, se refletir em como o professor pode atuar em sala de aula a fim de tornar possível essa transformação didática e, por outro, se criar instrumentos e recursos apropriados para que ela possa vir a acontecer.

Há muito tempo, desde o final da década de 1950, educadores matemáticos como Dinah e Pierre van Hiele já traziam uma importante contribuição para a reflexão escolar no que se refere à importância da habilidade da visualização e em como se trabalhar a

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introdução dos atributos relacionados a um conceito geométrico e à sua definição (VAN HIELE, 1986).

É sobre o tripé, formado principalmente pelos princípios orientadores apresentados por Hershkowitz, van Hiele e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais tanto para a escola fundamental como para o ensino médio (BRASIL, 1998; 2000) que são fundamentadas as ações realizadas no LEG. Sobre essas ações, no entanto, também existem influências de outros pesquisadores tais como Raymond Duval, com vistas à compreensão do papel das representações matemáticas, ou seja, das linguagens (gráfica, simbólicas etc.) para o entendimento dos conceitos e relações matemáticas (ALCÂNTARA MACHADO, 2003).

Inegavelmente, nas séries iniciais, a utilização de materiais concretos, como jogos de encaixe e outros quebra-cabeças, bem como artefatos modeladores de situações geométricas constituem-se em recursos indicados para a introdução à elaboração do pensamento geométrico, pois permitem o desenvolvimento da habilidade da percepção visual e da visualização de formas, geométricas ou não, bem como das habilidades de análise e do traçado de desenhos (CLEMENTS e BATTISTA, 1992).

Segundo van Hiele, a criança inicia a formação das idéias geométricas por meio da visualização e do reconhecimento das formas. Este fato justifica a utilização dos materiais concretos e dos jogos de encaixe na escola, pois a principal finalidade didática do seu uso é no momento da iniciação ao desenvolvimento do pensamento geométrico. As formas geométricas que compõem um quebra-cabeça ou que podem ser observadas a partir de um artefato modelador dão ao professor muitas possibilidades de exploração de conceitos da geometria elementar e permitem ajudar o aluno a desenvolver a habilidade da visualização. O aluno, que utiliza artefatos ou quebra-cabeças, tem a oportunidade de perceber formas, de representá-las, de construí-las e de criar objetos e outras formas a partir delas. É desta maneira, portanto, que tais materiais potencializam o desenvolvimento da habilidade de visualização (GOLDIN e SHTEINGOLD, 2001).

Contudo, os jogos que introduzem as atividades geométricas também são importantes por serem motivadores e facilitadores de ações pedagógicas na sala de aula, devido à sua função lúdica. As pesquisas em Educação Matemática cada vez mais indicam que atividades lúdicas ligadas a diversos tipos de jogos têm papel importante no

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desenvolvimento de habilidades necessárias ao aprendizado de Matemática e à resolução de problemas em geral.

Na literatura em Educação Matemática tem sido enfatizado que o trabalho com jogos de encaixe e outros materiais concretos possibilita levar o aluno a resolver problemas por meio do desenvolvimento de estratégias e formas de raciocínio, que envolvem processos ligados à intuição, indução e analogia (ENGLISH, 1998). Além de permitir ao aluno interagir em grupo e socialmente com os colegas de modo cooperativo, aprendendo a trabalhar em conjunto na busca de soluções. Esses processos cognitivos e de interação social são de importância fundamental para o ensino e a aprendizagem da Matemática (RIZZO, 1996).

Por outro lado, no LEG, a interdisciplinaridade da Matemática com outras áreas do conhecimento tem sido objeto de grande preocupação. Especificamente, no que concerne às Artes, pois nos PCN é explicitada a importância do seu papel e função no processo escolar, enfatizando que: Um aluno que exercita continuamente sua imaginação estará mais habilitado a construir um texto, a desenvolver estratégias pessoais para resolver um problema matemático (BRASIL, 1998. p. 19).

Sob esta perspectiva das Artes, tem sido buscada, na utilização de móbiles com objetos tridimensionais representantes de poliedros, a ajuda para se levar o aluno a entender desenhos e a calcular volumes de poliedros. Os móbiles foram inspirados na obra Arte da Medição e da Perspectiva, na qual o artista alemão Albrecht Dürer (1471-1538) apresenta xilogravuras, realizadas por volta de 1525. Nessas gravuras, o artista grafa diversas situações que ilustram como criar uma representação de um objeto em um desenho em perspectiva. Dentre estas obras encontram-se ilustrações que representam um homem no ato de desenhar objetos, inclusive retratos, fazendo uso da projeção de um foco de luz, originado de uma fonte pontual. Nas situações representadas por Dürer, o desenhista é apresentado realizando seus traçados sobre uma tela plana em branco, ou sobre uma superfície plana na qual se encontra desenhada uma rede quadriculada.

As situações representadas pelo grande artista alemão, segundo suas próprias palavras, compõem um método para o traçado de desenhos, o qual “é bom para todos aqueles que desejam fazer um retrato, mas que não podem confiar na sua habilidade” (KURTH, p. 41, 1946). À busca da melhoria dos traçados de desenhos é um dos objetivos

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desses móbiles.

Por outro lado, na busca de se atender à demanda do uso do computador como ferramenta educacional, principalmente nos empreendimentos de ensino a distância, os recursos didáticos desenvolvidos no LEG passaram por adaptações para atenderem à inclusão digital de alunos especiais. Por esta razão, os módulos educacionais desenvolvidos passaram a ser transportados para o ambiente virtual, inclusive incluindo adaptações para alunos portadores de deficiência visual.

O DESENVOLVIMENTO E A APLICAÇÃO DOS EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS

Os jogos e artefatos foram inicialmente desenvolvidos e organizados em módulos educacionais no âmbito de projetos de extensão (como o supracitado), e se constituem em um conjunto de atividades para a sala de aula e materiais concretos, os quais, posteriormente, foram modelados em ambiente eletrônico. Tal modelagem virtual deu-se no âmbito do projeto CDME, e para tanto, os módulos foram organizados em experimentos educacionais advindos de uma intensa produção de recursos multimídia, para os quais foram buscadas ferramentas da computação gráfica mais adequadas à dinâmica deste ambiente, como Adobe Flash e Java.

Os experimentos educacionais desenvolvidos são apresentados em uma página HTML (HyperText Markup Language) que podem ser acessados por meio de um ambiente familiar ao usuário, ou seja o de um navegador (Firefox, Internet Explorer etc.). Quanto ao acesso externo, este acontece por meio da internet ou de uma cópia na própria máquina do usuário. Esse recurso permite o uso off line, sem a necessidade de uma conexão com a internet e em qualquer dos sistemas operacionais, tais como Windows, Linux, MacOS. Quanto à interatividade, está se dá através de recursos das linguagens Java e JavaScript.

Cumpre salientar que, todo o material produzido para o projeto CDME já está disponibilizado gratuitamente na página da UFF (www.uff.br/cdme) e pretende-se que futuramente esteja no Portal do Professor do MEC (http://portaldoprofessor.mec.gov.br).

Cabe ressaltar que, nos módulos educacionais e experimentos concretos são apresentadas atividades, para cuja realização são necessários materiais de baixo custo comuns e facilmente encontrados no comércio, tais como papel-cartão; papelões e

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emborrachados planos de diversos tipos e espessuras; canudos diversos; linhas variadas etc.

Nos projetos aqui mencionados, além da elaboração dos experimentos educacionais para o aluno, os quais sempre aliam representações concretas a digitais, busca-se oferecer recursos que enfatizam práticas pedagógicas inovadoras no ensino da Matemática, como sugeridas, por exemplo, em Lorenzato (2006). Os experimentos educacionais apresentam aplicativos eletrônicos interativos, ilustrações fotográficas, descrições da construção das peças dos jogos ou dos artefatos para ser realizada em material concreto, sendo que algumas dessas construções são apresentadas em animações eletrônicas. Cada experimento contém ainda um conjunto de atividades para o aluno e um guia detalhado para a orientação do professor. Este guia e a estruturação das atividades visam à inclusão e ao uso efetivo de várias mídias digitais na sala de aula. Em alguns dos experimentos, a guisa de exemplo e orientação para o professor, é apresentado um questionário extra de desafios destinado aos alunos.

Adaptações para deficientes visuais têm sido realizadas em parte desses materiais, os quais vêm sendo testados com alunos e professores do Instituto Benjamim Constant, no Rio de Janeiro.

RESULTADOS: DOIS EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS

No que se segue, são apresentadas as características de dois experimentos educacionais denominados Poliedros de Platão e seus duais e Visualizando e modelando poliedros de mesmo volume: brincando com luzes e sombras.

O uso didático de materiais como os aqui apresentados possibilitam ao aluno: explorar e identificar propriedades geométricas; classificar, selecionar e mover as peças que compõem um jogo; observar a conservação de uma forma após a realização de um movimento; apropriar-se do vocabulário específico relacionado às formas geométricas elementares; aplicar diferentes estratégias para esquematizar, desenhar e buscar a resolução de problemas; comparar e medir comprimentos, áreas, amplitude de ângulos e volumes; observar relações de congruências e semelhanças entre figuras. Essas ações possibilitam ao aluno representar poliedros em desenhos em perspectiva e entender o que sejam poliedros

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de mesmo volume, portanto, poliedros equivalentes, embora com formas geométricas diferentes.

I - EXPERIMENTO EDUCACIONAL: POLIEDROS DE PLATÃO E SEUS DUAIS

Descrição do experimento: O experimento apresenta um conjunto de sete animações eletrônicas interativas, oito atividades e dois desafios baseados na construção, por meio de canudos e fios, de modelos da estrutura das arestas dos cinco sólidos regulares de Platão e de seus duais. Apresentam-se explanações demonstrativas que permitem o estabelecimento de relações entre o comprimento da aresta do sólido com o da de seu dual. São apresentadas planificações dos modelos das estruturas das arestas, com o auxilio do material concreto, o que permite o reconhecimento da não injetividade de uma função entre um conjunto de sólidos e o de planificações. Em um guia do professor são apresentadas complementações metodológicas sobre a aplicação dos materiais.

Objetivos do experimento: Reconhecer as formas geométricas dos poliedros regulares de Platão em representações gráficas por meio de animações eletrônicas interativas dinâmicas e reconhecer mudanças visuais das formas das faces, surgidas por meio de movimentos. Construir modelos das estruturas das arestas dos cinco poliedros de Platão, o que permite o reconhecimento, a classificação de seus elementos e o estabelecimento de seus duais. A apresentação da pouco conhecida planificação de uma estrutura de arestas, permite ao aluno perceber relações ligadas à injetividade de funções, as quais surgem de uma maneira intuitiva. Por meio de explanações demonstrativas aliadas à resolução de desafios, o aluno é levado a refletir sobre o papel das demonstrações em geometria.

Observações: Os modelos dos sólidos podem ser confeccionados com material concreto são fundamentais, pois podem ser utilizados em escolas sem muitas condições materiais, incluindo aquelas sem, ou com poucos, computadores e, principalmente, por deficientes visuais. Ainda que as atividades pressuponham a percepção das formas geométricas obtidas por meio da construção de modelos com canudos e fios, cada modelo, bem como a sua respectiva construção, pode ser percebido por portadores de deficiência visual, por meio do tato e pelos movimentos realizados com os fios. No caso desses alunos, podem ainda ser utilizados canudos com texturas e espessuras diversas.

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Nível de ensino para aplicação do experimento: EJA; Fundamental e Médio. Temas abordados no experimento, segundo PCN: Geometria; Espaço e Formas;

Figura 1 – Modelos tipo esqueleto de Poliedros Duais. Acervo do LEG. 2009

II - EXPERIMENTO EDUCACIONAL: VISUALIZANDO E MODELANDO POLIEDROS DE MESMO VOLUME - BRINCANDO COM LUZES E SOMBRAS

Descrição do experimento: apresenta-se um conjunto de tarefas envolvendo a construção e observação de dois tipos de modelos de poliedros: o tipo esqueleto de arestas, construído com canudos plásticos amarrados com fio de linha, e o tipo casca, que modela o poliedro representando as suas faces, construído com papelão, acetato ou outro material plástico semirrígido de baixo custo. Apresenta-se como o esqueleto das arestas de um tetraedro regular pode ser decomposto em outros esqueletos de poliedros menores, dando origem ao seu dual. Essa decomposição é representada em três aparelhos do tipo móbile, sendo que, cada um deles mostra as partes em que o tetraedro regular é desmembrado por meio de cortes planos. Além disso, cada etapa do móbile pode ser reproduzida por meio de peças tridimensionais como em um jogo do tipo quebra-cabeça, representando modelos do tipo casca dos poliedros obtidos da decomposição. Apresentam-se as instruções (incluindo animações, esquemas gráficos e fotos) para a construção dos três móbiles e quebra-cabeças, bem como um questionário de desafios para acompanhamento ou avaliação do aluno. Em um guia do professor, são apresentadas algumas complementações metodológicas sobre a importância pedagógica da aplicação dos materiais e uma descrição das características geométricas de cada móbile.

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Objetivos do experimento: Estabelecer e entender as relações existentes entre os comprimentos das arestas e alturas de sólidos de mesmo volume, mas com formas diferentes, ou seja, de sólidos equivalentes. Para tanto, apresenta-se o caso do tetraedro regular e de seu dual, por meio de aparelhos do tipo móbile, da observação de sombras obtidas da projeção de um feixe de luz sobre eles e da manipulação de quebra-cabeças tridimensionais. A observação das sombras é inspirada na obra do artista renascentista alemão Dürer e visa a ajudar o aluno a entender as modificações visuais que ocorrem na passagem da representação de uma forma geométrica espacial para a de um desenho plano. Essa estratégia permite ao aprendiz reconhecer desenhos que representem poliedros em perspectiva. Essa percepção auxilia a calcular o volume de poliedros.

Níveis de ensino para aplicação do experimento: EJA; Fundamental e Médio. Temas abordados no experimento, segundo PCN: Geometria; Espaço e Formas Interdisciplinaridade apresentada no experimento: entre Matemática e Artes.

Figura 2 – Móbiles Geométricos. Acervo do LEG. 2009

CONCLUSÃO

A avaliação da eficácia desses experimentos educacionais tem sido realizada por professores e alunos, por meio de sua aplicação em oficinas presenciais de curta duração. Por outro lado, como esses experimentos fizeram parte do conteúdo apresentado em diversas disciplinas de cursos de especialização da UFF e da Universidade Aberta do Brasil (UAB), também foram aplicados a mais de 800 professores em curso à distância.

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Pelo que tem sido observado, tanto professores como alunos adultos e adolescentes, na faixa de 10 a 17 anos, são beneficiados com a realização desses experimentos educacionais. Os portadores de deficiência visual, na faixa de 9 a 13 anos, se apresentam mais animados e interessados pelas aulas de Matemática, tendo um melhor desempenho.

REFERÊNCIAS

ALCÂNTARA MACHADO, S. D. (Ed.) (2003) Aprendizagem Matemática: Representação Semiótica. São Paulo: Papirus.

BRASIL. (1998) Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental: Matemática (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC/SEF.

BRASIL (2000) Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF. CLEMENTS, D. H.; BATTISTA, M. T. (1992) Geometry and Spatial Reasoning. In: ENGLISH, L. (1998) Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors and Images. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

GOLDIN, G. A.; SHTEINGOLD, N. (2001) Systems of Representations and the Development of Mathematical Concepts. In: The Role of Representation in School Mathematics. Nova Iork: NCTM-National Council of Teachers of Mathematics.

HERSHKOWITZ, R. et al (1998) Shapes and Forms. In: LEHRER, R.; CHAZAN, D. (Eds.) Designing Learning Environments for Developing Understanding of Geometry and Space. New Jersey: Lawrence Erlbaum, p. 430-455.

LORENZATO, S. (Org) (2006): O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, p. 113-134.

KURTH, W. (Ed.) (1946) The Complete Woodcuts of Albrecht Dürer. New York: Crown. RIZZO, G. (1996) Jogos Inteligentes: a Construção do Raciocínio na Escola Natural. Rio de Janeiro: Bertrand. Brasil.