Método dos Elementos Finitos - implementação no programa Scilab

Primeira edição

2021

Método dos

Elementos

Finitos -

implementação

no programa

Scilab

Análise linear - estruturas

reticuladas

Capítulo 1

Conteúdo

Capítulo 1...2

1.1 Introdução...2

1.1.1 Análise linear...3

1.1.2 Tipos de não linearidade...4

1.2.3 Análise estrutural...5

Referências...7

1.1 Introdução

Cotidianamente, a população se depara com diversos tipos de estruturas: pontes, edifícios, passarelas, portos, entre outros. Dessa forma, é essencial que engenheiros civis aprendam ao longo do ensino superior diferentes métodos para se realizar a análise estrutural. Essa é a fase do projeto estrutural em que se determinam os esforços internos e externos às estruturas e as tensões correspondentes, além de seus deslocamentos e deformações (MARTHA, 1993).

Atualmente, os procedimentos de elementos finitos são amplamente utilizados em análises de problemas de engenharia. Os procedimentos são empregados extensivamente na análise de sólidos e estruturas e na transferência de calor e fluidos. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é útil em praticamente todos os campos da análise de engenharia (BATHE, 2016).

O MEF nada mais é que uma análise matemática, em que um meio contínuo é fragmentado em vários elementos, cujos mesmos mantém as propriedades idênticas às originais. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos (SORIANO, 2003).

A análise de elementos finitos resolve o modelo matemático idealizado de um problema físico. O problema físico pode ser, por exemplo, uma estrutura ou um componente de estrutura sujeito a um sistema de cargas. Como a técnica de solução de elementos finitos é um procedimento numérico, é necessário avaliar a precisão da solução. Se os critérios de precisão não forem atendidos, a solução numérica deve ser repetida com parâmetros de solução refinados (como malhas mais refinadas) até que uma precisão suficiente seja alcançada. A escolha de um modelo matemático apropriado é essencial e determina completamente a percepção do problema físico real que pode ser obtido pela análise (BATHE, 2016).

Um exemplo de aplicação do MEF apresentado em Azevedo (2003) aparece na Figura 1.1, e consiste na análise de uma estrutura do tipo consolo curto de pequena espessura sujeita às forças indicadas. Nessas condições, pode-se admitir que se trata de um meio contínuo, sujeito a um Estado Plano de Tensão. Um material está sob o Estado Plano de Tensão quando a tensão normal a um dos planos principais é zero. Quando essa situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, como é o caso de placas finas, a análise de tensões simplifica-se consideravelmente. Na Figura 1.1a está representada a malha utilizada, que é constituída por 92 elementos finitos quadriláteros, sendo cada um desses elementos definido por 8 nós. Encontram-se, também, assinalados os dez nós que estão ligados ao meio exterior. Nas Figuras 1.1b e 1.1c são apresentadas a configuração deformada e a distribuição dos deslocamentos verticais do consolo, respectivamente.

Figura 1. 1 Consolo curto: (a) malha de elementos finitos, (b) configuração deformada e (c) e distribuição das deformações verticais. Fonte: adaptada de Azevedo (2003).

A formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo que seja possível substituir o integral sobre um domínio complexo (de volume V) por um somatório de integrais estendidos a subdomínios de geometria simples (de volume Vi). Essa técnica é ilustrada com o exemplo, que corresponde à integral de volume de uma função f (AZEVEDO, 2003):

∫

∑

∫

Na Equação (1.1), supõe-se que:

V=

∑

i=1 n

Vi (1.2)

Se for possível calcular todos os integrais estendidos aos subdomínios Vi, basta efetuar o somatório correspondente ao segundo membro da Equação (1.1) para se obter o integral estendido a todo o domínio. Cada subdomínio Vi corresponde a um elemento finito de geometria simples (segmento de reta, triângulo, quadrilátero, tetraedro, paralelepípedo). O somatório indicado em Equação (1.2) vai dar origem à operação designada assemblagem, que apresenta muitas semelhanças com a que é efetuada nas estruturas reticuladas. No caso da aplicação do MEF à análise de estruturas a formulação mais intuitiva é a que se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) (AZEVEDO, 2003).

1.1.1 Análise linear

Na análise linear de estruturas, a formulação do Método dos Elementos Finitos é construída assumindo as seguintes hipóteses no modelo estrutural (BATHE, 2016; LACERDA, 2014):

 O material é linearmente elástico; e

 As condições de contorno não se modificam durante a aplicação das cargas.

Quando isso acontece, o vetor de deslocamentos u se relaciona linearmente com o vetor de cargas externas Fext da seguinte forma:

Ku=Fext (1.3)

na qual K é a matriz de rigidez do sistema estrutural. Então, se as cargas aumentarem por um fator , isto é,  Fext, então os deslocamentos aumentam pelo mesmo fator u. Quando isso não ocorre, é porque há não linearidades no sistema estrutural.

1.1.2 Tipos de não linearidade

Os tipos de não linearidade em um sistema estrutural são diversos. A seguir serão apresentadas as principais delas (LACERDA, 2014).

Não linearidade geométrica

Na análise linear, as equações de equilíbrio são elaboradas com base na geometria inicial da estrutura (isto é, antes da estrutura sofrer deslocamentos ou rotações). Naturalmente, se o sistema estrutural sofrer grandes mudanças na sua geometria, então as equações de equilíbrio deixam de ser válidas necessitando ser reformuladas a cada mudança de geometria, causando perda de linearidade nas relações deslocamento e deformação. Esse tipo de não linearidade é denominado de não linearidade geométrica, e é classificada em:

 Pequenas deformações, mas grandes deslocamentos ou rotações

A estrutura sofre deformações pequenas, mas os deslocamentos e rotações não são pequenos. Esse tipo de não linearidade ocorre, em geral, em arcos, molas, barras de treliça e placas e cascas finas. Um exemplo de uma viga em balanço apresentado em Borst et al. (2012) é ilustrado na Figura 1.2, e essa viga pode ter pequenas deformações e grandes deslocamentos. Pode-se obter uma deformação arbitrariamente pequena nessa viga se aumentarmos sua rigidez à flexão EI. E, por outro lado, pode-se obter deslocamentos arbitrariamente grandes na mesma viga se aumentarmos seu comprimento L0 (LACERDA, 2014).

Figura 1. 2 Viga em balanço. Fonte: adaptada de Lacerda (2014).

 Grandes deformações

Por ser grande a deformação, este tipo de não linearidade, frequentemente, gera também não linearidade física. Pode-se considerar, em muitos casos, acima de 5% de deformação como sendo grande deformação. Esse tipo de não linearidade ocorre na formação de metais e em materiais de borracha. O conceito de grande e pequeno é impreciso. Alguns autores preferem usar o termo deformação infinitesimal para pequena deformação e deformação finita (não infinitesimal) para grande deformação (LACERDA, 2014).

Não linearidade física

Muitos materiais apresentam um comportamento não linear, tais como elasticidade não linear, plasticidade, viscoelasticidade e fluência. Por exemplo, o concreto, o aço e o solo apresentam comportamento elastoplástico. Metais em alta temperatura, argila, borracha e polímeros apresentam viscoelasticidade. A não linearidade física caracteriza-se por causar relações não lineares entre tensão e deformação e pelo fato da análise estrutural depender do caminho ou histórico de deformação do material (LACERDA, 2014).

Para ilustrar a não linearidade física, considere na Figura 1.3a uma estrutura simples constituída por três barras com comportamento elastoplástico (plasticidade perfeita). As barras têm mesmo módulo de elasticidade E, mas as tensões de escoamento Y são diferentes (Figura

1.3b). Na Figura 1.3c aparece a trajetória de equilíbrio (curva deslocamento u versus força P) dos sistema estrutural.

Figura 1. 3 a) Estrutura com três barras, b) diagrama tensão x deformação para as barras e c) trajetória de equilíbrio. Fonte: adaptada de Lourenço (1999).

1.2.3 Análise estrutural

A segurança e a economia são atualmente dois dos fatores que mais contribuem para favorecer a análise não linear de estruturas. O emprego em simultâneo de estruturas de vãos cada vez maiores e de materiais cada vez mais resistentes conduz a estruturas cada vez mais sensíveis à instabilidade (LOURENÇO, 1999).

É evidente que o grau de complexidade e de precisão aumenta à proporção que a análise estrutural torna-se sofisticada (ver Figura 1.4). É ao analista/projetista que compete a decisão sobre o grau de sofisticação adequado (ou necessário) para a análise em causa.

Salienta-se que, qualquer que seja o grau de sofisticação adotado, é possível levar em conta aspectos na análise, tais como:

• As leis constitutivas do material, lineares ou não, elásticas ou plásticas, com ou sem efeitos diferidos (fluência, retração, etc.), com ou sem dependência da temperatura, com ou sem fendilhação e fratura;

• O comportamento estático ou dinâmico;

• As imperfeições das estruturas reais, tensões residuais, flechas iniciais, formas geométricas imperfeitas, etc.; e

Figura 1. 4 a) Pórtico plano e b) trajetórias de equilíbrio em função do tipo de análise. Fonte: adaptada de Lourenço (1999).

Neste livro será abordada a análise linear de estruturas reticuladas bi e tridimensionais (treliças, vigas e pórticos). As estruturas reticuladas são constituídas por barras prismáticas (barras de eixo longitudinal reto e seção transversal constante), cujas dimensões transversais são muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Na Figura 1.5 aparecem exemplos de estruturas reticuladas.

Figura 1. 5 Estruturas reticuladas.

Nas análises estruturais lineares serão consideradas as seguintes hipóteses simplificadoras (HIBBELER, 2010):

• Os materiais têm comportamento elástico linear, o que implica no uso da Lei de Hooke, em que a tensão é proporcional ao produto da deformação pelo módulo de elasticidade do material;

• As seções transversais, que são planas e perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento que está se deformando, permanecerão planas e perpendiculares ao eixo após a deformação (Hipótese de Navier);

• A distribuição de tensões pode ser considerada equivalente entre diferentes modos de carregamentos numa seção suficientemente distante do ponto de aplicação desses carregamentos (princípio de Saint-Venant); e

• Trabalha-se com pequenas deformações e pequenos deslocamentos.

Referências

AZEVEDO, A. F. M. Método dos elementos finitos. 1ª Ed. Portugal: Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2011.

BATHE, K. J. Finite element procedures. 2ª Ed. Watertown, MA: Klaus-Jurgen Bathe, 2016. BORST, R.; CRISFIELD, M. A.; REMMERS, J. J.; VERHOOSEL, C. V. Nonlinear Finite

Element Analysis of Solids and Structures. 2ª Ed. Chichester, West Sussex, UK: John Wiley

and Sons Ltd, 2012.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Pearson Educación, 2010.

LACERDA, E. G. M. Análise não-linear de treliças pelo método dos elementos finitos

posicional. 2014. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

LOURENÇO, P. B. Métodos computacionais na mecânica dos sólidos não-linear. Guimarães, Portugal, 1999.

MARTHA, L. F. O. Método da Rigidez Direta sob um Enfoque Matricial. Rio de Janeiro: Departamento de Engenharia Civil da PUC-RIO, 2003.

SORIANO, H. L. Método de Elementos Finitos em Análise de Estruturas. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2003.