Análise de Dados Longitudinais Aula

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An ´alise de Dados Longitudinais

Aula 13.08.2018

Jos ´e Luiz Padilha da Silva - UFPR www.docs.ufpr.br/∼jlpadilha

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Sum ´ario

1 _{Modelos Marginais}

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Modelos Marginais

Modelos Marginais para Dados Longitudinais

1 _{Modelar a resposta m ´edia E (Y}

i).

2 _{Modelar a estrutura de Vari ˆancia-Covari ˆancia}

Var (Yi), i = 1, . . . N.

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Modelos Marginais

Modelos Lineares para Dados Longitudinais

Dois caminhos:

1 _{Assumir resposta normal: usar MQG ou MV (usual ou restrita).}

2 _{N ão assumir distribuiç ão para a resposta: usar GEE:}

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Modelos Marginais

Modelos Lineares para Dados Longitudinais

Modelo Linear Geral p-covari ´aveis

Yij = β1Xij1+ β2Xij2+ · · · + βpXijp+ εij; i = 1, . . . , N; j = 1, . . . , n,

em que Xij1 =1. Escrevendo em forma matricial:

Yi =      Y_i1 Yi2 .. . Yin      =Xiβ + εi

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Modelos Marginais

Modelos para a Estrutura de Covari ˆancia

1 _{N ˜ao Estruturado: somente ´e adequada para desenhos}

balanceados com poucos tempos. No caso heteroced ástico, para n medidas repetidas por unidade, h á n(n + 1)/2 par âmetros.

2 _{Estruturando a Covari ˆancia: simetria composta, AR(1), etc.}

Usualmente adequada para desenhos balanceados com poucos tempos.

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Modelos para a Estrutura de Covari ˆancia

Modelos para a Estrutura de Covari ˆancia

Nenhuma estrutura imposta: pode haver muitos par ˆametros

para uma quantidade limitada de dados. Isso afeta a precis ˜ao com que β ´e estimado.

Estrutura imposta: é poss´ıvel melhorar a precis ão com que β é

estimado! Contudo, se muita restriç ão é imposta, h á um risco potencial de m á especificaç ão que pode resultar em infer ência enganosas sobre β.

Temos o cl ássico problema de trade-off entre vi és e precis ão. Deve-se buscar equil´ıbrio entre essas duas forças.

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Estrutura de Vari ˆancia-Covari ˆancia

Var (Yi) = σ2V0 (supondo homocedasticiadade)

e desta forma V0 é a matriz de correlaç ão de Yi.

Como as unidades formam uma amostra aleat ória da populaç ão, temos que: V =      V0 0 · · · 0 0 V0 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · V0     

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1. Simetria Composta

Possui apenas um par âmetro de correlaç ão, independente do n úmero de medidas: Corr (Yij,Yik) = ρ, ∀j, k .

V0= [(1 − ρ)In+ ρ1n10_n]

em que In ´e a matriz identidade e 1n ´e um vetor de 1’s, ambos de

dimens ˜ao n. Assim: V0=      1 ρ · · · ρ ρ 1 · · · ρ .. . ... . .. ... ρ ρ · · · 1      n×n

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1. Simetria Composta

Tem justificativa te órica quando a m édia depende de uma combinaç ão de par âmetros populacionais β, e um único efeito aleat ório referente ao indiv´ıduo.

´

E parcimonioso: s ão dois par âmetros (uma vari ância e uma correlaç ão).

Restriç ão: ρ ≥ 0. A suposiç ão de que ρ é o mesmo pode n ão ser real´ıstico pois se espera um decaimento com o tempo.

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Justificativa

Considere o modelo de efeitos aleat ´orios: Yij =Xij0β +Ui+ εij

O intercepto é o único termo com variaç ão aleat ória.

A diferença entre os indiv´ıduos est á explicada pelo intercepto aleat ório:

Ui ∼ N(0, σ2u)

εij ∼ N(0, σ2),

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2. Correlac¸ ˜ao AR(1)

Temos Corr (Yij,Yi,j+k) = ρk, ∀j, k .

V0=      1 ρ ρ2 · · · ρn−1 ρ 1 ρ · · · ρn−2 .. . ... ... . .. ... ρn−1 ρn−2 ρn−3 · · · 1      n×n ´ E muito parcimonioso.

Apropriado para intervalos de tempo igualmente espaçados. Correlaç ões decaem para zero, mas em muitos estudos o decaimento ocorre em ritmo menor que o previsto por tal estrutura.

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Justificativa

Quando os erros surgem de um processo autorregressivo: εij = ρεij−1+ ωij

ωij ∼ N(0, σ2(1 − ρ2)), em que εij e ωij s ˜ao independentes.

Ent ˜ao

Var (εij) = ρ2σ2+ σ2(1 − ρ2) = σ2

Cov (εij, εij−1) =Cov (ρεij−1+ ωij, εij−1) = ρσ2 e para lags maiores que 1,

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3. Correlac¸ ˜ao Exponencial

Temos Corr (Yij,Yik) = ρ|tij−tik|, ∀j, k . V0=      1 ρ|ti1−ti2| _ρ|ti1−ti3| · · · _ρ|ti1−tin| ρ|ti2−ti1| ₁ _ρ|ti2−ti3| · · · _ρ|ti2−tin| .. . ... ... . .. ... ρ|tin−ti1| _ρ|tin−ti2| _ρ|tin−ti3| _{· · ·} ₁      n×n

Assume que a correlaç ão é um se as medidas s ão tomadas repetidamente na mesma ocasi ão; corresponde à situaç ão que as respostas s ão medidas sem erro.

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Decaimento Exponencial

O decaimento para zero ocorre de maneira bem r ´apida: Dist ˆancia

ρ 1 2 3 4 5

0,9 0,90 0,81 0,73 0,66 0,59

0,7 0,70 0,49 0,34 0,24 0,17

0,5 0,50 0,25 0,13 0,06 0,03

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4. Toeplitz

Assume que qualquer par de respostas igualmente espaçadas no tempo tem a mesmo correlaç ão. Corr (Yij,Yi,j+k) = ρk, ∀j, k .

V0=      1 ρ1 ρ2 · · · ρn−1 ρ1 1 ρ1 · · · ρn−2 .. . ... ... . .. ... ρn−1 ρn−2 ρn−3 · · · 1      n×n ´

E uma extens ão da estrutura AR(1), com n − 1 par âmetros de correlaç ão.

Como assume que a correlaç ão entre ocasi ões adjacentes no

tempo ´e constante ρ1, ´e apropriada para intervalos de tempo

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5. Banded

A correlaç ão é zero al ém de um per´ıodo especificado de tempo. Pode ser aplicado a qualquer estrutura vista anteriormente. Por exemplo, um padr ão banded de tamanho 2 assume

Corr (Yij,Yi,j+k) =0, ∀k > 2. Neste caso, para uma estrutura Toeplitz,

temos: V0=      1 ρ1 0 · · · 0 ρ1 1 ρ1 · · · 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · 1      n×n

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6. Modelos H´ıbridos

Temos:

Cov (Yi) = σ21V1+ σ22V2.

Considere V1como simetria composta e V2como autorregressivo

(exponencial).

Para este modelo h´ıbrido, tempos:

Var (Yij) =σ12+ σ22 Cov (Yij,Yik) =ρ1σ12+ ρ |tij−tik| 2 σ 2 2 Corr (Yij,Yik) = ρ1σ12+ ρ |tij−tik| 2 σ22 σ₁2+ σ2₂

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A correlaç ão entre r éplicas no mesmo indiv´ıduo na mesma ocasi ão é

ρ1σ₁2+ σ₂2 σ2

1+ σ22

<1, quando ρ1<1 `

A medida que a separaç ão no tempo aumenta, a correlaç ão n ão decai para zero, mas tem um m´ınimo em

ρ1σ21

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Simetria composta é tamb ém um modelo de efeitos aleat órios, assim

σ₁2= σ_u2+ σ2 e ρ1= σ_u2 σ2u+ σ2

.

Ou seja, podemos pensar na vari ˆancia total como a soma da vari ˆancia autorregressiva, σ2₂, a variabilidade entre indiv´ıduos σ_u2,