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EPRESENTAÇÃO DA FORÇA MAGNETOMOTRIZ CRIADA POR CONDUTORES NO
ENTREFERRO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS
Marilia de Campos Bataglini
Orientador: Prof. Dr. Edson da Costa Bortoni
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia (ISEE)
Resumo - Este trabalho demonstra a validade física de uma aproximação adotada para a representação da força magnetomotriz criada por condutores no entre-ferro de máquinas elétricas, através da comparação do modelo teórico completo, com o modelo aproxima-do, e resultados de análise de elementos finitos.
Palavras-Chave: Entreferro, força magnetomotriz, elementos finitos.
I – INTRODUÇÃO
O seguinte artigo foi baseado no trabalho de Bernard Ha-gue[1], “Os Princípios do Eletromagnetismo aplicado à máquinas elétricas”, o qual demonstra que um enrola-mento é apenas uma disposição geométrica conveniente de condutores localizados em ranhuras, e que o diferenci-al de tais esquemas não são as voltas e sim o condutor por si mesmo.
Portanto, nas próximas linhas será feita toda a construção matemática que nos permitirá descrever a densidade de fluxo magnético e, consequentemente, a força magneto-motriz de um arranjo de condutores no entreferro de máquinas elétricas. Por fim, será verificada a validade das expressões encontradas por meio de simulações usando o software FEMM 4.2, o qual trabalha com análise de ele-mentos finitos.
II – MODELAGEM MATEMÁTICA
A questão de se colocar um condutor no entreferro de dois cilindros condutores, ou em uma ranhura localizada na superfície interna do cilindro externo ou na superfície do cilindro interno, é bem antiga mas pouco discutida nos livros de máquinas elétricas.
Logo, baseado no livro de Bernard Hague [2,3] será dis-cutido o campo magnético devido a um condutor de cor-rente localizado radialmente em qualquer ponto dentro do entreferro de dois cilindros concêntricos, enquanto o
ponto de observação é também localizado em diferentes posições radiais no entreferro.
II.1 – Campo magnético de um condutor cilíndrico reto localizado em um espaço livre.
Seja o condutor cilíndrico reto conforme Fig. 1.
Fig. 1 - Campo magnético devido a uma corrente uni-formemente distribuída em um condutor
Assumindo que a corrente é uniformemente distribuída, para facilidade de cálculos, ao longo do condutor, tal que
2
0
a
J
I
(1) Então aplicando a Lei Circuital de Ampère, temos a r a r I r J a r r I r a J B , 2 2 , 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0
(2)Onde, r/a² é a taxa de variação da corrente dentro da se-ção transversal do cilindro.
T
RABALHO
F
INAL DE
G
RADUAÇÃO
J
UNHO
/2016
U
NIVERSIDADE
F
EDERAL DE
I
TAJUBÁ
II.2- Campo Magnético de um condutor localizado no entreferro de dois cilindros de ferro concêntricos. Na Fig. 2 é introduzida à ideia de dois cilindros de ferro concêntricos, e no entreferro entre eles, na posição
B, está a corrente i entrando no papel. Para fim de estudos
vamos considerar a estrutura toda com comprimento infi-nito.
Para calcular a campo magnética em um ponto P dentro do entreferro será usada a teoria das imagens.[2] Será assumido que a permeabilidade do ferro é infinita.
Fig. 2 - Corrente i no entreferro de dois cilindros con-cêntricos.
Da Fig.2 pode-se observar que a corrente i esta posicio-nada em B e sua imagem virtual definida como corrente virtual u está localizada no ponto A.
O campo magnético nas superfícies cilíndricas poder ser pensada como composta por duas componentes:
i. Uma componente de contribuição direta, dada pelas correntes produzindo um campo magnéti-co;
ii. Uma componente a qual tem sido atribuída a polaridade magnética aparente verificada nos limites da região, em consequência da passa-gem de tubos de indução através deles.
Consideremos um campo magnético Laplaciano deriva-do deriva-do potencial magnético. Então, qualquer região anelar limitada por dois círculos concêntricos no plano do papel, a dada distribuição de correntes lineares estabelece um campo magnético que é derivável do potencial magnéti-co Ω. Se r e θ são as magnéti-coordenadas polares do ponto na região, Ω deve satisfazer a equação 4.
0
1
2 2 2 2 2
r
r
r
r
(4)Logo, Ω deve ser uma função finita de r, uma função pe-riódica de θ e satisfazer a condição circuital.
Em geral o potencial magnético em qualquer região ane-lar terá a forma:
periódico
termo
cíclico
termo
Termo cíclicoO primeiro termo é facilmente escrito quando determina-do os caminhos fechadetermina-dos ao redetermina-dor determina-do condutor de corren-te.
Termo periódico
Seja Ωp a parte periódica de Ω, então Ωp deve satisfazer a equação 4. Assim, assumindo por solução
p R (5)
onde R=R(r) e ϴ = ϴ(θ), e substituindo equação (5) em (4) temos
1)
cos
(
)
(
n n n n n n n p
r
r
a
n
b
senn
(6)sendo αn, βn, an e bn constantes arbitrárias.
Em muitos casos, onde o condutor é responsável pelo campo, o fio condutor está situado no ponto de onde θ=0 e Ωp é uma função ímpar de θ e os termos envolvendo cosseno são nulos.
Ω𝑝= ∑ (𝐴𝑛𝑟𝑛+ 𝐵𝑛
𝑟𝑛) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃
∞
𝑛=1 (7)
Para a forma geral, 𝐴𝑛 𝑒 𝐵𝑛 são constantes arbitrárias.
Podemos fazer umas simplificações analíticas se adotar-mos que a permeabilidade magnética do ferro do estator e do rotor é muito maior que a do ar. Como na Fig. 2, a corrente i localizada no ponto B estabelece um campo magnético circular. Dentro do entreferro o campo exibe duas propriedades superpostas e distintas:
i. Um fluxo magnético circular bem definido cir-culando ao redor do condutor energizado; ii. Uma magnetização aparente nas interfaces ferro
- ar onde as linhas de indução entram e saem delas.
O efeito da corrente i estabelece um potencial magnético nas três regiões, estator, rotor e entreferro, que deve obe-decer a equação de continuidade estabelecida em (4). Além disso, o potencial magnético de cada região deve ser tal que na interface ferro-ar,
i. A componente tangencial do campo magnéti-co deve ser igual em ambos os lados da inter-face
ii. A componente normal da indução magnética deve igualmente ser a mesma em ambos os la-dos da superfície.
A. Potencial do rotor
Dentro do núcleo do rotor não é possível traçar caminhos fechados do fluxo magnético, logo o potencial não é
cí-clico nesta região. Contudo, para que o potencial magné-tico obedeça a equação de Laplace e seja uma função finita, periódica e ímpar temos que
Ω𝑅= 𝑅 (8)
Portanto, o potencial magnético dentro do rotor é uma constante.
B. Potencial do Estator
No estator, cujo raio vai de a até infinito ( uma vez que assumimos um raio externo igual a infinito para o esta-tor), é possível desenhar caminhos fechados sobre o ferro e tal que eles contêm a corrente localizada no ponto 𝑩 = 𝑟 = 𝑐; logo o potencial dentro do estator é essencialmente cíclico.
Assim, o potencial magnético dentro do estator é dado por
Ω𝑆= 𝑅 ∙ 𝑖 ∙ 𝜃 (9)
C. Potencial no Entreferro
O campo na região do entreferro é circuital, porque é possível traçar caminhos fechados ao redor do condutor de corrente. Deste modo o potencial cíclico é expresso como 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝜙. Além disso, sendo que r está entre 𝑎 e 𝑏, é claro que o potencial da superfície de magnetização en-volve potências direta e inversa de r e ainda permanece finito, como na equação (7), então finalmente o potencial magnético no entreferro é dado por
Ω𝐺= 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝜙 + ∑ (𝐴𝑛𝑟𝑛+ 𝐵𝑛
𝑟𝑛) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃
∞
𝑛=1 (10)
Aplicando a condição de continuidade da componente tangencial do campo magnético nas fronteiras com o rotor e com o estator, podemos encontrar os valores dos coeficientes 𝐴𝑛 e 𝐵𝑛. Ω𝐺= 2 ∙ 𝑖 ∙ {𝜙 − ∑ 1 𝑛∙ 𝑏𝑛 𝑐𝑛∙ [( 𝑐2𝑛+𝑏2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑟𝑛 𝑏𝑛− ∞ 𝑛=1 (𝑐2𝑛+𝑎2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑏𝑛 𝑟𝑛] ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃} (11) e 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑟∙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟∙𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑐) + 𝑘 ∙ 𝜋 (12)
Na superfície do rotor 𝑟 = 𝑏 em (11), obtemos que o po-tencial magnético no rotor, observado do entreferro, é dado por
Ω𝑅= 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝜋 (13)
Analogamente, na superfície do estator com o entreferro, 𝑟 = 𝑎 em (11), o potencial magnético no estator é dado por
Ω𝑆= 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝜃 (14)
D. Componentes do Campo magnético
No entreferro, fazendo uso da equação (11), as compo-nentes radial e tangencial do campo magnético são
𝐻𝑟𝐺= − 𝜕Ω𝐺 𝜕𝑅 (15.a) 𝐻𝑡𝐺= − 𝜕ΩG 𝑟𝜕𝜃 (15.b)
Derivando a equação (11) obtêm-se 𝐻𝑟𝐺 = 2𝑖 𝑟 ∙ { 𝑐∙𝑟∙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2−2∙𝑐∙𝑟∙𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑐2+ ∑ 𝑏𝑛 𝑐𝑛∙ [( 𝑐2𝑛+𝑏2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑟𝑛 𝑏𝑛+ ∞ 𝑛=1 (𝑐2𝑛+𝑎2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑏𝑛 𝑟𝑛] ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃} (16.a) 𝐻𝑡𝐺= 2𝑖 𝑟∙ { 𝑟∙(𝑟−𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑟2−2∙𝑐∙𝑟∙𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑐2− ∑ 𝑏𝑛 𝑐𝑛∙ [( 𝑐2𝑛+𝑏2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑟𝑛 𝑏𝑛− ∞ 𝑛=1 (𝑐2𝑛+𝑎2𝑛 𝑎2𝑛−𝑏2𝑛) 𝑏𝑛 𝑟𝑛] ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃} (16.b) Estas expressões são contínuas para todo o entreferro e quando 𝑟 = 𝑐 o primeiro termo em (16.a) precisa ser substituído por zero e o primeiro termo em (16.b) deve ser substituído por 1/2.
Dentro do rotor, uma vez que Ω𝑅 é constante (equação
(13)) 𝐻𝑟𝑅= 𝐻𝑡𝑅= − 𝜕Ω𝑅 𝜕𝑟 = − 𝜕Ω𝑅 𝑟𝜕𝜃= 0 (17)
Dentro do estator, da equação (14)
𝐻𝑟𝑆 = − 𝜕Ω𝑆 𝜕𝑟 = 0 𝐻𝑡𝑆 = − 𝜕Ω𝑆 𝑟𝜕𝜃 = − 2∙𝑖 𝑟 (18)
Logo, a força no estator varia inversamente com a dis-tância do ponto O, e é inteiramente tangencial e negativa. Das equações (17) e (18) nós inferimos que enquanto o rotor é um potencial magnético, o estator não é. Isto de-vido ao fato que a campo magnético é cíclica no rotor, mas não é no estator.
II.3- Campo magnético de um condutor retangular loca-lizado no ranhura de dois cilindros de ferro concêntricos. Até aqui a campo magnético analisado era devida a uma corrente posicionada em um ponto no entreferro. Agora, como mostrado na Fig. 3, o campo magnético será resul-tado da corrente que passa por um condutor localizado em uma ranhura do estator.
Este condutor pode ser, então, representado por uma su-perfície de distribuição linear de corrente 𝐾(𝑥, 𝑡) na su-perfície do estator, como demonstrado pela linha verme-lha na Fig. (3.b). Assume-se que a corrente varia com o tempo de acordo com a função cosseno, cuja expansão de Fourier é dada por
𝐾̅(𝑥, 𝑡) = 𝐾(𝑥) ∙ cos (𝑤 ∙ 𝑡) ∙ 𝑒̅ (19) 𝑧 Sendo 𝜆 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝛿 𝐾(𝑥) = 𝐾0∙ 𝑠 𝜆+ ∑ 2∙𝐾0 𝜋∙𝑛∙ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛∙𝜋∙𝑠 𝜆 ) ∙ cos ( 2∙𝜋∙𝑛∙𝑥 𝜆 ) ∞ 𝑛=1 (20)
O modelo computacional analítico consiste de 3 regiões,
Região 0 − 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐 − 𝛿 < 𝑦 < 0 𝑐𝑜𝑚 𝜇0 Região 1 − 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒕𝒐𝒓 𝑦 > 0 𝑐𝑜𝑚 𝜇1≫ 𝜇0 Região 2 − 𝒓𝒐𝒕𝒐𝒓 𝑦 < −𝛿 𝑐𝑜𝑚 𝜇2≫ 𝜇0
Sendo que em todas as regiões acima a equação de La-place deve ser resolvida.
Fig. 3- Modelo geométrico para calcular a campo magnético de um condutor localizado na ranhura do
estator de dois cilindros concêntricos.
Da equação (20), 𝐾(𝑥) > 0 para 𝑥 ∈ −𝜆
2⋯
𝜆
2 e é
com-posta por uma constante 𝐾0∙ 𝑠
𝜆 e uma soma de n
harmô-nicos. Ambos estes componentes devem ser tratados dife-rentemente.
Assim, resolvendo a equação de Laplace para cada regi-ão, primeiramente para a componente constante da super-fície de corrente, e depois para a soma de harmônicos lineares, chega-se na solução final para o vetor potencial magnético. Portanto, a função vetor potencial é dada por:
𝐴0= {𝜇0∙ 𝐾0∙ 𝑠 𝜆∙ 𝜇1 𝜇1+𝜇2∙ 𝑦 + ∑ [ 𝜇0∙𝜇1∙𝜆∙𝐾0 𝜋2∙𝑛2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑠 𝜆 ) ∙ ∞ 𝑛=1 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑛 𝜆 𝑥) ∙ 𝜇0∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 ∙(𝛿+𝑦))+𝜇2∙𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝜋𝑛𝜆 ∙(𝛿+𝑦)) (𝜇02+𝜇1∙𝜇2)∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 )+(𝜇0∙𝜇1+𝜇0∙𝜇2)∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 )]} ∙ cos (𝑤𝑡) (21)
A componente normal da densidade de fluxo magnético é obtida derivando-se o potencial magnético de acordo com 𝐵𝑜𝑦= −𝜕𝐴0⁄𝜕𝑥, 𝐵0𝑦= {∑ [ 2∙𝜇0∙𝜇1∙𝐾0 𝜋∙𝑛 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑠 𝜆 ) ∙ 𝑠𝑒𝑛 ( 2𝜋𝑛 𝜆 𝑥) ∙ ∞ 𝑛=1 𝜇0∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 ∙(𝛿+𝑦))+𝜇2∙𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝜋𝑛𝜆 ∙(𝛿+𝑦)) (𝜇02+𝜇1∙𝜇2)∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 )+(𝜇0∙𝜇1+𝜇0∙𝜇2)∙𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝜋𝑛𝜆 ) ]} ∙ cos (𝑤𝑡) (22)
II.4- Como a largura da ranhura afeta o campo magnéti-co de um magnéti-condutor posicionado na ranhura do estator de dois cilindros de ferro concêntricos.
Para se conduzir tal estudo, a densidade de corrente na ranhura será mantida constante enquanto se aplica a equação (22).
Os parâmetros reais de uma máquina utilizados são: 𝑎 = 1,050 𝑚 𝑏 = 1,035 𝑚 𝛿 = 0,015 𝑚 𝑠1= 0,020 𝑚 𝑠2= 0,040 𝑚 𝑠3= 0,060 𝑚 (23)
A Fig. 4 mostra a densidade de fluxo magnético observa-do sobre a linha observa-do entreferro.
Fig. 4- Densidade de fluxo magnético sobre a linha do entreferro afetada pela largura da ranhura em pu.
Observa-se pela Fig. 4.a que, a retas decrescentes da den-sidade de fluxo magnético são as mesmas independente-mente de como a largura da ranhura varia. Na Fig. 4.b, verifica-se com maior foco a região influenciada pela largura da ranhura, e, nesta região, podemos assumir que a rampa crescente nesta região pode ser representada por uma reta cruzando o zero atingindo valores máximos ne-gativos e positivos igual a – 𝑠/2 e 𝑠/2, respectivamente. Ainda da Fig. 4.b pode-se observar uma diferença de 1% do valor máximo de densidade de fluxo magnético quan-do 𝑠 = 0,020 𝑚 e 𝑠 = 0,060 𝑚. Quanto menor a ranhu-ra, maior é o pico de densidade de fluxo magnético. En-tretanto, em máquinas reais, esta pequena diferença de 1% pode ser desconsiderada, logo é possível afirmar que a densidade de fluxo magnético decai a zero seguindo o mesmo comportamento, independentemente da largura da ranhura, e pode ser representada por duas retas:
A primeira ligando os pontos (–𝜆
2; 0) 𝑒 (– 𝑠 2; −1) ;
A segunda ligando os pontos (𝑠
2; 1) 𝑒 ( 𝜆 2; 0).
A rampa crescente também pode ser representada por uma linha que cruza o zero e conecta os pontos (−𝑠
2; −1) 𝑒 ( 𝑠
2; 1). Finalmente, a densidade de fluxo
magnético pode ser reescrita como um sistema de funções conforme equação (24). 𝐵(𝑥, 𝑠) = { −2 𝜆−𝑠∙ 𝑥 − 𝜆 𝜆−𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [− 𝜆 2; − 𝑠 2] 2 𝑠∙ 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [− 𝑠 2; 𝑠 2] −2 𝜆−𝑠∙ 𝑥 − 𝜆 𝜆−𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [ 𝑠 2; 𝜆 2] (24) Graficamente,
Fig. 5-Densidade de fluxo magnético linearizado sobre a linha do entreferro afetada pela largura da ranhura em pu.
Por fim, é importante notar que a linha interna crescente descreve a circulação de fluxo magnético antes do mesmo cruzar completamente o entreferro. Consequentemente, a equação (24) ou (22) descreve a componente radial da densidade de fluxo magnético observada sobre a linha do entreferro.
II.5- Força Magnetomotriz de um fio localizado na ra-nhura de dois cilindros de ferro concêntricos.
De acordo com a Lei de Hopkinson[4], a força magneto-motriz (FMM) é definida por:
ℱ = ∅ ∙ ℛ = ∅ ∙1 𝒫= ∅ 𝐴∙ 1 𝒫 𝐴 = 𝐵 ∙1 𝑃 ∴ 𝐵 = 𝑃 ∙ ℱ (25) Onde: ℱ [𝐴. 𝑒𝑠𝑝] − FMM; ∅ [𝑊𝑏] − fluxo magnético; ℛ [1 𝐻⁄ ] − relutância magnética; 𝒫 [𝐻] − permeância magnética; A [m²] –área do polo
B [T] – densidade de fluxo magnético; P [H/m²] – permeância específica.
A largura mínima do entreferro é dada pela diferença entre os valores dos raios externo e interno dos cilindros concêntricos, conforme equação (26.a). E a linha média do entreferro possui raio definido pela equação (26.b).
𝛿𝑚𝑖𝑛≜ 𝑅𝑠− 𝑅𝑟 [𝑚𝑚] (26.a)
𝑅𝛿≜ 𝑅𝑠+𝑅𝑟
2 [𝑚𝑚] (26.b)
Fig. 6-Colocação de um condutor na ranhura de dois cilindros concêntricos.
Assumindo,
i. A permeabilidade do ferro infinita em compara-ção com a do ar: 𝜇𝐹𝑒≫ 𝜇0;
ii. Todas as linhas de fluxo atravessam o plano do entreferro perpendicularmente;
iii. Não saturação ou histerese. Logo, será assumida linearidade;
iv. O entreferro é uniforme ao longo de toda a estru-tura.
e aplicando a lei Circuital de Ampère sobre Fig.6, ao mesmo tempo mantendo a corrente no condutor i e o número de condutores nc constante, define-se a FMM
total como sendo,
ℱ = 𝑛𝑐∙ 𝑖 = 𝐵𝑎𝑟 𝜇0 ∙ 2 ∙ 𝛿𝑚𝑖𝑛= 𝐵𝑎𝑟∙ 1 𝜇0 2 ∙ 𝛿𝑚𝑖𝑛 =
ℱ = 𝐵𝑎𝑟∙ 1
𝑃 [𝐴. 𝑒𝑠𝑝] (27)
Comparando as equações (25) e (27) conclui-se que 𝑃 ≜ 𝜇0
2∙𝛿𝑚𝑖𝑛 [𝐻 𝑚⁄ 2] (28)
Portanto, uma vez que o entreferro é constante, baseado na equação (25) é possível assumir que a permeância específica é também constante, logo a FMM assume o mesmo comportamento espacial da densidade de fluxo magnético sobre a linha média do entreferro (Fig.7).
Fig. 7- A FMM de um condutor infinito localizado na ranhura de cilindros concêntricos.
A fim de representar a FMM por uma série de Fourier, pode-se através da análise da equação (24) e Fig.7 notar as seguintes propriedades: 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟; 𝑎0= 0; 𝑎𝑘 = 0; 𝑏𝑠𝑘 = ( 𝜏𝑓 𝑘𝜋) 2 ∙ 2 𝑠∙(𝜏𝑓−𝑠)∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝜋 𝜏𝑓∙ 𝑠)
Logo, a força magnetomotriz sobre o entreferro é dada por ℱ(𝑥) = 𝐴 ∙ ∑ 𝑏𝑠𝑘∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝜏𝑓 ∙ 𝑥) 𝑘 ℱ(𝜃) = 𝐴 ∙ ∑ 𝑏𝑘 𝑠𝑘∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝜃), 𝑘 = 1,2,3, ⋯ (29)
II.6- Influência da largura da ranhura baseada na razão s / tf.
Como um hidrogerador cresce em potência, o diâmetro do estator também aumenta, enquanto que a largura da ranhura é mantida dentro dos valores padrões (12mm a 35mm). Logo, a razão s/tf se torna bem pequena, tendo
como principal consequência a verticalização da rampa crescente até um ponto que a razão s/tf pode ser ignorada.
Isto significa que o efeito da abertura/aumento da largura da ranhura na Fig.7 pode ser desconsiderado.
II.7-Dois condutores independentes simulando uma espi-ra.
Seja uma máquina com dois polos. Logo, o passo polar pode ser definido como:
𝜏𝑝= 2∙𝜋∙𝑅𝛿
2∙𝑝 → 𝜏𝑓= 2 ∙ 𝜏𝑝 (30)
onde p é o número de pares de polos da máquina. O fator de passo é dado por,
𝛾 ≤ 1 (31) Logo, na Fig.8 existem dois condutores carregando cor-rentes de direções opostas, saindo e entrando no papel, localizados na referência e a uma distância 𝛾 ∙ 𝜏𝑝[m ou
radianos].
Fig. 8- Dois condutores carregando correntes opostas simulando uma espira.
A figura a esquerda da Fig.8 representa ambas as FMMs antes da soma de seus efeitos, já a figura da direita ilustra a FMM resultante em preto. Matematicamente, a FMM resultante é dada pela aplicação da equação (29) , como
ℱ1(𝑥) = 𝐴 ∙ ∑ 𝑏𝑠𝑘∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝜋 𝜏𝑝 ∙ 𝑥) 𝑘 ℱ2(𝑥) = −𝐴 ∙ ∑ 𝑏𝑠𝑘∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝜋 𝜏𝑝 ∙ (𝑥 − 𝛾 ∙ 𝜏𝑝)) 𝑘 ℱ1(𝑥) + ℱ2(𝑥) = 2𝐴 ∙ ∑ 𝑏𝑠𝑘∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝜋 2∙ 𝛾) ∙ 𝑘 𝑐𝑜𝑠 (𝑘 ∙ 𝜋 𝜏𝑝∙ 𝑥 − 𝑘 ∙ 𝜋 2∙ 𝛾) (32)
Definindo como fator de enrolamento de passo, 𝑘𝑤𝑝𝑘≜ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙
𝜋
2∙ 𝛾) (33)
Concluímos que a equação (29) pode ser implementada em um arranjo como o ilustrada na Fig.9.
Fig. 9- Representação construtiva da equação (29) formando uma espira.
A partir da Fig.9 pode-se afirmar que é possível definir um enrolamento, com um certo arranjo de condutores, cuja forma de onda da FMM resultante é dada pela soma de todas as FMMs dos condutores simples.
III. SIMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS
Utilizando o software FEMM 4.2 foram modelados três casos variando-se a largura da ranhura e/ou do entreferro para que se pudesse analisar a densidade de fluxo de cor-rente na linha média do entreferro, descrita pela equação (22) e aproximada pela equação (24).
Para todos os casos há uma corrente de 51,6 kA no con-dutor.
i. Ranhura com largura de 25 mm e entreferro de 30 mm
Fig. 10 -Colocação de um condutor na ranhura de 25 mm de dois cilindros concêntricos.
A partir da estrutura ilustrada na Fig.10, foram medidos os valores de densidade de fluxo magnético produzido pelo condutor localizado na ranhura do estator. O perfil da densidade de fluxo magnético pode ser visto na Fig.11.
Fig. 11- Perfil da densidade de fluxo magnético de dois cilindros concêntricos.
Analisando a densidade de fluxo magnético na linha mé-dia do entreferro, conforme descrita pela equação (22), obteve-se a curva ilustrada na Fig.12.
Fig. 12- Densidade de fluxo normal, na linha média do entreferro.
Através da Fig.12 pode-se comprovar que a aproximação dada pela equação (24) descreve muito bem o fenômeno analisado. Ainda, verifica-se que a rampa crescente real-mente descreve a circulação do fluxo magnético antes do mesmo cruzar completamente o entreferro, conforme descrito anteriormente.
ii. Ranhura com largura de 25 mm e entreferro de 12 mm
Fig. 13 - Colocação de um condutor na ranhura de 25 mm de dois cilindros concêntricos.
Semelhantemente ao caso anterior, a Fig.14 ilustra a den-sidade de fluxo magnético de dois cilindros concêntricos, porém a largura do entreferro foi reduzida de 30 mm para 12 mm.
Fig. 14- Perfil da densidade de fluxo magnético de dois cilindros concêntricos.
Analogamente, analisando a densidade de fluxo magnéti-co na linha média do entreferro, magnéti-conforme descrita pela equação (22) e (24), obteve-se a curva ilustrada na Fig.15.
Fig. 15- Densidade de fluxo normal, na linha média do entreferro.
A Fig. 15.b é uma ampliação da Fig. 15.a na região da rampa crescente. Observa-se que conforme houve uma redução da largura do entreferro, não há mudança dos valores dos pontos máximo e mínimo da densidade de fluxo e, portanto, a variação da largura do entreferro não influencia no comportamento da densidade de fluxo mag-nético na linha média do entreferro.
iii. Sem ranhura e entreferro de 30 mm
Fig. 16- Colocação de um condutor sob a superfície do estator de dois cilindros concêntricos cujo entreferro é
de 30 mm.
Finalmente, foram medidos os valores de densidade de fluxo magnético produzido pelo condutor localizado no entreferro, semelhantemente ao caso estudado na Fig. 2. A Fig. 17 mostra o perfil da densidade de fluxo magnéti-co.
Fig. 17- Perfil da densidade de fluxo magnético de dois cilindros concêntricos.
Agora sem ranhura no estator, a densidade de fluxo mag-nético na linha média do entreferro possui a forma ilus-trada na Fig.18.
Fig. 18- Densidade de fluxo normal, na linha média do entreferro.
Apesar do comportamento da densidade de fluxo magné-tico não poder ser descrita pela aproximação dada pela equação (24) e pela equação (22), percebemos um com-portamento dessa grandeza bem parecido com os casos em que a largura da ranhura era diferente de zero.
IV. CONCLUSÃO
Baseado nas deduções rigorosas para descrever a FMM ao redor de uma corrente linear localizada no entreferro de dois cilindros concêntricos, foi construído um modelo consistente da FMM, o qual descreve os efeitos, sobre a linha média do entreferro, do posicionamento de um con-dutor na ranhura do estator.
Este modelo considera o efeito da abertura da ranhura diante da circulação de fluxo magnético. Por meio dos resultados encontrados nas simulações, concluí-se que a aproximação matemática para a densidade de fluxo mag-nético é muito satisfatória para o estudo e análise da for-ça magnetomotriz de um condutor localizado no entrefer-ro de uma máquina elétrica. Além disso, verificou-se que as aproximações feitas durante os cálculos não prejudica-ram os resultados finais obtidos.
Pode-se verificar que a variações da largura do entreferro não afetam o comportamento da densidade de fluxo mag-nético.
Finalmente, pode-se dizer que baseado na força magne-tomotriz de um condutor é possível definir um enrola-mento, com um arranjo conveniente de condutores, cuja forma de onda pode ser obtida como a soma de todas a força magnetomotrizes dos condutores simples.
V. AGRADECIMENTOS
Agradeço imensamente a Deus por ter me sustentado e me preparado durante essa longa caminhada. Agradeço a minha mãe por ter me ajudado, amparado e sonhado co-migo a concretização deste dia. Aos meus mestres meu muito obrigado, serei eternamente grata a todos, em espe-cial ao Professor Hermeto e ao meu orientador Bortoni.
REFERÊNCIAS
[1] B. Hague, “The Principles of Electromagnetism Ap-plied to Electrical Machines”, Dover Publications, New York, 1962.
[2] B. Hague, “The mathematical treatment of the mag-netomotive force of armature windings”, The Journal of the Institution of Electrical Engineers, Vol. 55, No. 268, pp. 489-514, Jul. 1917.
[3] J.J. Rocha E, “A General Procedure to Describe the Magnetomotive Force of any Winding Scheme” [4] J. F. Mora, “Máquinas Electricas”,
McGraw-Hill/Interamericana de España, 5ª Ed, S.A.U., Ma-drid,2003.
BIOGRAFIA:
Marilia de Campos Bataglini Nasceu em Mogi Guaçú (SP), em 1989. Ingressou na UNIFEI em 2007, tendo recebido o título de Bacharel em Física (2010) e Mes-tre em Materiais para Engenharia (2013).
