Física Moderna II - FNC376

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Física Moderna II - FNC376

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto 1o. Semestre de 2008

Universidade de São Paulo

(2)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 4

2

Vimos que:

1) esta corrente circular tem um momento magnético orbital

A

i

r

r =

µ

2) e– _{em órbita também tem momento angular:}

r

m

L

=

_e

_v

e e

m

e

r

m

r

e

L

r

e

r

e

iA

2

2 π

π

2

−

=

−

=

−

=

−

=

v

l l

µ

Só constantes universais!

L

m

e

r

l

₂

−

=

µ

Relação entre o momento de dipolo magnético e o momento angular orbital,

são antiparalelos

A corrente produz um campo magnético equivalente a um campo de um dipolo magnético localizado no seu centro

Modelo de Bohr: e– _{circulando em torno do núcleo, produzindo uma corrente circular}

r

e

T

e

dt

dq

i

π

2 v

−

=

−

=

T

=

2 π

r

/

v

L

r

Lr i − e µr y x z

(3)

magneton de Bohr (unidade natural de medida

do momento de dipolo magnético atômico)

eV/Tesla

10 5,788

eV/Gauss

10 5,788

(J/T)

m

A

10 9274

,

0

5 9 2 23 − − −

×

=

×

=

×

=

b b

µ

o momento magnético do átomo:

(

1 )

(

1 )

2

2 =

+

=

+

=

l

_h

_l

l b e e

g

m

e

g

L

m

e

_µ

µ

l l l l l l

_m

h

m

g

m

e

g

L

m

e

g

b e z e z

µ

=

−

=

−

=

−

2

2 (

)

(

)

l l l h h l l h h l l m m e L m e m L m e L m e L z z z ⋅ − = − = ⇒ = + = = ⇒ + = 2 2 1 2 2 1 µ µ Componente

z

módulo Quanticamente: Fator g orbital depende da geometria da distribuição de cargas

(4)

4

1) Dipolo magnético sofre um torque:

B

r

l

×

=

µ

τ

O que acontece com este dipolo magnético quando

sujeito a um campo externo???????

Br

2) Este torque tenderá a alinhar o dipolo com o campo energia potencial de orientação

B

E

=

−

r

_l

⋅

r

∆

µ

Se aplicamos um campo magnético constante, ele passa a definir uma direção privilegiada no espaço, que podemos escolher como o eixo z. A energia de interação com o campo é dada por:

A quantidade 〈E_nergia〉 representa a energia adicional adquirida pelo átomo no estado Ψ_nℓm devido à presença do campo aplicado. Essa energia depende do valor de m e da intensidade do campo.

Bm

g

B

E

B

E

_nergia

=

−

µ

_z

⇒

_nergia

=

−

µ

_z

=

µ

_b

(5)

Eisberg, pág. 348

Caso não existam formas de dissipar a energia,

µ

_ℓ não pode mudar sua

orientação em relação a

B

. Nesse caso,

µ

_ℓ precessiona em torno da direção de

B

, mantendo o ângulo entre eles constante.

L

d

B

L

g

B

b

r

h

r

_l l

=

×

−

=

×

=

τ

µ

τ

Mas

B

L

g

dt

L

d

_b

r

h

r

l

×

−

=

⇒

µ

(6)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 4 6

ω

θ

ω

θ

⋅

=

⋅

=

sen

L

dt

dL

dt

L

dL

Freqüência de Larmor

O torque dá origem a uma variação dL (do momento angular) durante o tempo dt - dL faz com L precessione de um ângulo wdt

O módulo de

L

permanece constante:

0

2

₌

_⋅

₌

_⋅

_L

₌

dt

d

L

dt

d

L

dt

d

r

ω

θ

ω

θ

φ

θ

φ

=

⇒

=

sen

1 sen

L

dt

dL

L

dt

d

L

dL

d

m

eB

v

m

eB

π

4 π

2

2 ⇒

=

ω

Lorentz clássico

Frequência de precessão

Tratamento quântico: mesmos resultados, só que para os valores esperados das grandezas.

B

m

e

B

g

_b

2 =

=

h

l

µ

ω

B

L

g

dt

L

d

_b

r

h

r

l

×

−

=

µ

d

φ

(7)

Camada K, 1 estado

Camada L, 4 estados

Camada M, 9 estados Camada N, 16 estados

(8)

8

Estados com diferentes

m

têm suas degenerescências quebradas por causa da presença do campo magnético. Estados (

nℓ

) com valores

sucessivos de

m

apresentam energias com diferenças de:

δ

E

_M

=

g

_l

µ

_b

mB

O sinal da variação de energia é o mesmo de

m

, e os estados com

m

= 0 não são afetados pela presença do campo. Cada um dos níveis

representados na figura corresponde a um estado de precessão diferente do átomo, com energia dada por: na presença do campo

B

. Por essa razão, o número quântico azimutal,

m

, é também conhecido como número quântico magnético.

Bm

g

E

_n

+

_l

µ

_b

Quebra da degenerescência em

m

⇒

quebra da simetria rotacional

(9)

Resultado clássico!

Lyman α

Balmer α

A separação dos níveis provocada pelo efeito Zeeman produz mudanças na freqüência da radiação emitida pelo átomo nas transições ⇒ regras de seleção:

∆ℓ = ± 1

e

∆m = 0

ou

± 1

. Todas as transições indicadas envolvem apenas 3 diferentes energias de fótons emitidos:

∆E – δE

_M

; ∆E ; e ∆E + δE

_M

onde

∆E

representa a energia de transição sem o campo aplicado. Aparece então um tripleto, com variação de freqüência dada por:

e b M

m

eB

B

g

h

E

v

π

4 π

2 δ

δ

=

h

µ

n=2 ⇒ n=1

n=3 ⇒ n=2

(10)

10

Em 1920 já se sabia que havia separação das linhas espectrais mesmo sem a presença de campos magnéticos externos

(estrutura fina).

Sommerfeld utilizou cálculos relativísticos, baseados no modelo de Bohr, para explicar os resultados experimentais da estrutura fina do hidrogênio (suposta linha constituída de duas ou mais linhas). No entanto o no _{de linhas previstas eram menores que as}

observadas para outros átomos

Este sistema de interação dos momentos magnéticos

internos e externos foi proposto para explicar a estrutura dos múltiplos na ausência do campo, bem como as anomalias do feito Zeeman na presença de campos.

Fenômeno então atribuído a processos internos ao átomo: “caroço magnético (núcleo + elétrons internos)” responsável por produzir campo e interagir com os elétrons mais externos.

(11)

1922: experiência de Stern&Gerlach

Vamos imaginar que temos um pequeno ímã, que atravessam uma região com campo magnético, como ilustrado na figura abaixo:

A componente

z

do campo, na

posição dos pólos N e S, pode ser escrita, em 1ª ordem, como:

e

onde B_z0 e ∂B_z/∂z são, respectivamente, os valores do campo e de seu gradiente sobre o eixo do dipolo. Se considerarmos que os pólos (hipotéticos) têm intensidades ±g₀, a força pode ser escrita como:

µ

campo uniforme

campo não-uniforme, varia na direção z

Proposta: Medir os valores possíveis do momento de dipolo magnético.

(12)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 4 12 feixe de ímãs imagem

Assim, o momento de dipolo magnético,

µ

_z, pode ter apenas alguns valores. No caso de um feixe de átomos de H:

Essa é a força responsável pela deflexão vertical do feixe, dependendo do sinal de

µ

_z. Classicamente,

µ

_z varia continuamente, por conta da orientação aleatória dos ímãs. Isso deve resultar numa imagem contínua, conforme a figura: Resultados muito diferentes são

obtidos se substituímos o feixe de ímãs por um feixe de átomos, pois, nesse caso, cada átomo tem uma certa probabilidade de ser

encontrado com uma certa

orientação, definida pelo valor da projeção de seu momento angular sobre o eixo z

(

L

_z

).

com

Assim, µ_lz só poderá ter os valores discretos quantizados. Os diferentes valores de µ_z vão sofrer forças distintas e deflexões diferentes, conforme ilustrado na figura abaixo:

(13)

(2ℓ+1) manchas _{2 manchas}

momento magnético orbital observado

O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro, onde as deflexões podem ser medidas.

A imagem de duas manchas (discreto em vez de contínuo) concordava com o que se esperava pelo modelo do “caroço magnético” para a Ag.

Duas componentes discretas devido a quantização espacial, uma desviada para z

positivo e outra na direção de z negativo

Resultados são qualitativamente demonstrações do quantização da

componente z dos momentos de dipolo magnético dos átomos e portanto de

(14)

14

Resultados de Stern & Gerlach

Mas os resultados não estão quantitativamente de acordo com:

l l lz

g

µ

b

m

µ

=

−

2l+1 valores

l

m

Piorou...

um experimento análogo feito (1927) com feixe de átomos de H –

para os quais não era esperada deflexão – átomos com um só elétron

(no estado fundamental) l=0, logo um único valor possível para =0

obteve-se os mesmos resultados (

duas manchas

).

p m e 2 h =

µ

Como l é inteiro, teríamos um número ímpar não estando de acordo com o observado.

Igual no _{de valores possíveis de m} l

Erro na teoria de Schroedinger? Ou teoria incompleta???

Sugestão foi: existe um momento de dipolo magnético associado as

cargas do núcleo

⇒ m

_e

<

m

_p

⇒

µ

_e

>>

µ

_p

O valor medido experimentalmente

(15)

Teoria de Schrödinger incompleta?

A origem desta observação deve está ligada

especificamente ao elétron

núcleo não pode ser responsável pelo µ observado

1924: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as

anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um

novo grau de liberdade, formal, com 2 valores, fosse

associado ao elétron.

Goudsmit e Uhlenbeck

(estudantes de pós, ver Eisberg, pág. 356)

propõem

uma variável, quantizada, com 2 valores, com

propriedades de momento angular. Eles supuseram um

movimento de rotação do elétron em torno de seu próprio

eixo.

(16)

16

Analogia com o momento angular orbital ⇒ e

e com

Como foram observadas 2 manchas para o H ⇒ 2 valores de m_s

Como

∆m

_s = 1

⇒ m

_s

= ± ½

. Assim, o momento angular de spin é dado:

(

)

2 2 2

4

3

1 e

2 h

h

=

±

=

+

=

m

S

s

S

_z _s incerto

Temos que o elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco devido ao momento angular de spin (S)spin (S)

s b s s b s s

S

g

m

g

z

µ

=

−

r

e

=

−

h

r

com

g

_s = 2 fator g do spin

s

µ

r

A intensidade S e a componente S_z do momento angular de spin estão associados a dois números quânticos s e m_s

(17)

Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito

por um conjunto de 4 números quânticos:

ou

s=1/2 e m

_s

=-1/2 e +1/2

Spin para cima

s=1/2 _{Spin para baixo} s=-1/2

Estas duas novas propriedades,

faz com que o número de

estados que aparecem no

diagrama de níveis de energia

duplique

O spin não tem um análogo clássico (no limite clássico a intensidade de S é totalmente desprezível porque h é muito pequeno). O spin é fundamentalmente não clássico.

(18)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 4 18 sz z z

z

B

F

µ

∂

=

s b s s_z

g

µ

m

µ

=

−

2 /

1

2 ±

=

s s

m

(19)

(20)

20

Interação spin-órbita

Os vetores quantizados e devem ser adicionados em situações em que mais tipos gerais de estados queremos considerar. Definimos o

momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin:

S

L

J

r

=

r

+

r

Análogo ao momento angular combinado de um corpo clássico que tenha movimentos orbital e de rotação em torno de seu eixo, exceto pelo fato de que, no caso clássico, os vetores

L

e

S

podem ter quaisquer magnitude e direção, resultando em uma soma com módulo entre os limites:

S

L

S

L

r

−

r

e

r

+

r

E como é a interação entre o momento de dipolo magnético do

spin eletrônico e o campo magnético interno de um átomo de

um elétron (devido ao momento angular orbital do e

-

_)?

Interação fraca responsável (em parte) pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de 1 e-_{(no caso de muitos elétrons esta interação é relativamente forte)}