MAE116 - Noções de Estatística

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MAE116 - Noções de Estatística

Grupo A - 1

◦

_{semestre de 2015}

Gabarito da Lista de exercícios 5 - Distribuição Binomial

- CASA

Exercício 1.(2,5 pontos) Uma concessionária tem disponível, para um certo automóvel, os modelos S, CL e GL com duas versões de combustível, gás ou ex. Com motor a gás os preços são 40, 45 e 50 mil reais para os modelos S, CL e GL, respectivamente. Esses preços são 10% superiores se o carro for ex. A procura por carros a gás é de 25% e ex é 75%. Qualquer que seja o combustível escolhido, há igual preferência entre os modelos.

a. (0,50 ponto) Calcule a distribuição de probabilidade do preço desse automóvel; Resposta:

Temos 3 modelos do automóvel: {S, CL, GL} que podem ser:{flex, gas}. Seja X := Preço do automóvel

P (X = 40) = P (S ∩ gas) = P (S|gas)P (gas) = 1 3 1 4 =

1 12 P (X = 45) = P (CL ∩ gas) = P (CL|gas)P (gas) = 1

3 1 4 =

1 12 P (X = 50) = P (GL ∩ gas) = P (GL|gas)P (gas) = 1

3 1 4 =

1 12 P (X = 44) = P (S ∩ f lex) = P (S|f lex)P (f lex) = 1

3 3 4 =

1 4 P (X = 49, 5) = P (CL ∩ f lex) = P (CL|f lex)P (f lex) = 1

3 3 4 =

1 4 P (X = 55) = P (GL ∩ f lex) = P (GL|f lex)P (f lex) = 1

3 3 4 =

1 4 De forma resumida temos:

Tabela 1: Distribuição de Probabilidade

Valor 40 44 45 49,5 50 55 Prob. 1 12 1 4 1 12 1 4 1 12 1 4

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b. (0,5 ponto) Calcule o preço médio desse automóvel; Resposta:

o preço médio é dado por E [X] = PxxP (X = x). Ou seja, depois de calculado

cada preço vezes sua probabilidade, tomamos a soma:

E [X] = 40 1 12+ 45 1 12+ 50 1 12 + 44 1 4+ 49, 5 1 4 + 55 1 4 = (40 + 45 + 50) 1 12+ (44 + 49, 5 + 55) 1 4 = (135) 1 12 + (148, 5) 1 4 = 48, 375

O preço médio desse automóvel é de R$48, 375

c. (1,5 ponto) Calcule a variância e desvio padrão do preço desse automóvel. Resposta:

A variância é calculada da seguinte forma: V ar(X) = E(X2_{) − [E(X)]}2 . Precisamos

então da E(X2₎_: EX2 = 402 1 12+ 45 2 1 12 + 50 2 1 12+ 44 21 4 + (49, 5) 21 4 + 55 21 4 = 402+ 452+ 502 1 12+ 44 2_{+ (49, 5)}2_{+ 55}2 1 4 = (6125) 1 12+ (7411, 25) 1 4 = 510, 42 + 1852, 81 = 2363, 23

A E(X) foi calculada no item anterior. Basta, apenas elevar ao quadrado: V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2 = 2363, 229 − (48, 375)2 = 23, 088 O desvio padrão "DP (X)" é a raiz quadrada da Variância "V ar(X)".

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Exercício 2.(2,5 pontos) A escala Richter, também conhecida como escala de magnitude local, atribui um número único para quanticar o nível de energia liberada por um sismo. Suponha que, no encontro das placas tectônicas Naszca e Sul-Americana, a probabilidade de um terremoto atingir um valor acima de 8 graus na escala Richter seja de 0,05. Se no próximo mês ocorrerem de modo independente exatamente 10 abalos sísmicos nessa região, determine:

Um terremoto atinge um valor acima de 8 graus na escala Richter com p = 0, 05. Não atinge tal valor com 1 − p = 0, 95. Assim, se chamar-mos a variável aleatória,

X :O número de abalos sismicos que ultrapassam 8 na escala Richter,

temos que a Distribuição de X é Binomial com probabilidade de sucesso p = 0, 05: Binomial(10; 0,05)

a. (0,5 ponto) a probabilidade de todos os 10 abalos atingirem mais de 8 graus na escala Ritchter.

Resposta:

A probabilidade de que todos os abalos sismicos ultrapassem 8 graus é o mesmo que escolher 10 sucessos na distribuição Binomial:

P (X = 10) = 10₁₀ 0, 0510 0, 950 = 0.000000000000098

b. (0,50 ponto) A probabilidade de ao menos um deles atingir mais de 8 graus na escala Ritchter.

Resposta:

A probabilidade de que ao menos um abalo ultrapasse 8 graus é o mesmo que:P (X ≥ 1) P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + · · · + P (X = 10) Porém, basta perceber que P (X = 0) é o complementar de P (X ≥ 1) e portanto, P (X = 0) + P (X ≥ 1) = 1. Logo, é mais fácil calcular pelo complementar para não ter que calcular todos os valores.

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 10₀ 0, 050 0, 9510 = 1 − 0, 5987367 = 0, 4012631

c. (1,5 ponto) O número esperado de abalos sísmicos com até 8 graus na escala Ritcher. Resposta:

O Número esperado de sucessos na distribuição Binomial é dado por E[X] = np. Po-rém, antes de sair calculando, perceba que até o item anterior nós chamamos de sucesso o evento em que o abalo sísmico ultrapassa os 8 graus na escala. Para esse item, no entanto, sucesso é quando o abalo não passa os 8 graus. Logo, p = 0.95.Temos agora uma distribuição Binomial(10,0.95).

E[X] = np = 0, 95 ∗ 10 = 9, 5

O número esperado de abalos sísmicos que não ultrapassam 8 graus na escala Richter é

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Exercício 3. (3,0 ponto) Suponha que em um processo de produção, os itens x recém-confeccionados são levados por uma esteira até um ponto nal, onde são tomados de 12 em 12 para compor o que é chamada de caixa do item x. Tais caixas são imediadamente levadas à um caminhão, que com a carga completa, parte para a entrega das mesmas aos devidos clientes. Durante a fabricação, existem fatores externos que tornam o processo instável, de modo que cada iten x pode apresentar defeito com probabilidade 0,05 e de modo inde-pendente dos demais itens produzidos no processo.

Seu João é um dos clientes dessa empresa, e a cada mês, compra uma caixa do item x. Supondo que exista uma norma que garanta a seu João o direito de ter todos os itens x sem defeitos e que Seu João mudaria de empresa caso encontrasse mais de três itens x defeituosos em sua caixa, determine a probabilidade de que, nesse mês,

a. (0,5 ponto) Seu João tenha seu direito violado - isto obriga a produtora a fornecer uma outra caixa ao cliente.

Resposta:

Podemos denominar a Variável aleatória Y: O número de itens x que apresentam de-feito. A probabilidade de apresentar defeito ("sucesso") é p = 0, 05 em 12 itens. Temos portanto uma distribuição Binomial(12; 0,05). Perceba que se um ou mais itens apre-sentarem defeito o Seu João terá seu direito violado e a caixa será trocada. Portanto queremos saber P (Y ≥ 1).

P (Y ≥ 1) = P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4) + · · · + P (Y = 12) Vimos no exercício 2 que P (Y = 0) é o complementar de P (Y ≥ 1) e portanto, P (Y = 0) + P (Y ≥ 1) = 1. Novamente é mais fácil calcular pelo complementar para não ter que computar todos os valores.

P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 −12 0

0, 050 0, 9512= 1 − 0, 54 = 0, 46

b. (0,5 ponto) Seu João deixe de ser cliente da produtora em questão. Resposta:

Se o número de itens com defeito for maior ou igual a 4 o Seu joão deixa de ser cli-ente da produtora. Assim, queremos a probabilidade de {Y ≥ 4} ou seja, P (Y ≥ 4).

P (Y ≥ 4) = P (Y = 4) + P (Y = 5) + · · · + P (Y = 12)

Note que: P (Y ≤ 3) + P (Y ≥ 4) = 1. É mais fácil calcular pelo complementar para não ter que computar todos os valores.

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Assim, temos: P (Y ≥ 4) = 1 − P (Y ≤ 3) = 1 − [P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3)] = =12 0 0, 050 0, 9512+12 1 0, 051 0, 9511+12 2 0, 052 0, 9510+12 3 0, 053 0, 959 = 1 − [0, 5403601 + 0, 34128006 + 0, 09879159 + 0, 01733186] = = 1 − 0, 9977636 = 0, 00223639

Portanto a probabilidade de o Seu João deixar de ser cliente da distribuidora é de aproximadamente 0, 22% ou seja, menor que 1%.

c. (2,0 ponto) Sabendo que Seu João recebeu uma segunda caixa sem defeito, ele ter dei-xado de ser cliente da produtora em questão.

Resposta:

Sejam os eventos:

A: a primeira caixa é devolvida e o Seu joão não deixa de ser cliente B: O Seu João deixa de ser cliente

Temos então:

P (A primeira caixa é devolvida) = P (A) = P (Y ≥ 1) P (O Seu João deixa de ser cliente) = P (B) = P (Y ≥ 4)

Para que o Seu joão tenha recebido uma segunda caixa, é preciso ter tido algum defeito na primeira. Queremos saber portanto P (B|A) ou seja: P (Y ≥ 4|Y ≥ 1).

P (B|A) = P (A ∩ B) P (A) = P (Y ≥ 1; Y ≥ 4) P (Y ≥ 1) = P (Y ≥ 4) P (Y ≥ 1) = 0, 00223639 0, 46 = 0, 004862 Logo, a Probabilidade de o Seu João ter deixado de ser cliente da produtora tendo re-cebido a segunda caixa é de 0, 004862.

PS.: É importante notar que a interseção: {Y ≥ 1} ∩ {Y ≥ 4} = {Y ≥ 4}.

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Exercício 4.(2,0 ponto) Com o objetivo de avaliar a satisfação dos participantes da festa GAMA, o(a) organizador(a) do evento escolheu, ao acaso, 10 dos convidados que estiveram presentes e fez-lhes a seguinte pergunta De modo geral, como você avaliaria a festa GAMA? Após uma análise das respostas obtidas, notou que dos 10 entrevistados, 2 poderiam ser categorizados como insatisfeitos, 4 como satisfeitos e 4 como plenamente satisfeitos. Caso as proporções de insatisfeitos, satisfeitos e plenamente satisfeitos no público total da festa - 2000 participantes - fossem idênticas às observadas na amostra considerada pelo(a) organizador(a), qual seria

a. (1,0 ponto) O número esperado de participantes insatisfeitos, satisfeitos e plenamente satisfeitos com a festa GAMA.

Resposta:

Considere as variáveis aleatórias como descrito.

I := Insatisfeito; P (I) = 2 10 = 0.20 S := Satisfeito; P (S) = 4 10 = 0.40 PS := Plenamente Satisfeito; P (P S) = 4 10 = 0.40

Como o exercício diz que as proporções são idênticas às encontradas na amostra, perceba que o número esperado para cada uma das avaliações é dado por:

E(I) = P (I) × 2000 = 0, 20 × 2000 = 400 E(S) = P (S) × 2000 = 0, 40 × 2000 = 800 E(P S) = P (P S) × 2000 = 0, 40 × 2000 = 800 Note ainda que E(I) + E(S) + E(P S) = 2000

b. (1,0 ponto) A probabilidade de que num grupo de 10 pessoas, escolhidas ao acaso, ne-nhuma estivesse plenamente satisfeita com festa GAMA.

Resposta:

Perceba que o sucesso só ocorre quando o participante selecionado responde que está plenamente satisfeito com a festa. Portanto, qualquer outra avaliação é considerada como fracasso ou seja:

P (sucesso) = P (P lenamenteSatisf eito) = P (P S) = 0, 40

P (f racasso) = P (Satisf eito) + P (Insatisf eito) = P (I) + P (P S) = 0, 20 + 0, 40 = 0, 60 Logo passamos a ter uma Binomial(10; 0, 40). Seja X o número de participantes satis-feitos na amostra. Então:

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A probabilidade de que nenhuma pessoa esteja plenamente satisfeita com a festa é de