1 CAPÍTULO I
Forças e Momentos Atuando Sobre Um Foguete
1.3 Força Aerodinâmica
É a força exercida pelo ar sobre o foguete em movimento, ou seja, no vácuo a força aerodinâmica é nula.
As forças aerodinâmicas são maiores que as gravitacionais até alturas de 400 km (aproximadamente), depois a atmosfera passa a ser menos densa e a força da gravidade a ser superior.
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Por simplicidade, consideremos a força aerodinâmica 𝑭⃗⃗ 𝒂 alinhada no plano da trajetória, cujo ponto de aplicação denominamos de CENTRO DE PRESSÃO - CP.
4 A força aerodinâmica usualmente é decomposta:
Força de arrasto 𝐷⃗⃗ (componente no sentido oposto à velocidade 𝑣 𝐶𝑀 do centro de massa) e
Força de sustentação 𝐿⃗ (na direção perpendicular à 𝑣 𝐶𝑀), ou
Força normal 𝑁⃗⃗ (normal ao eixo longitudinal do foguete) e
Força tangencial 𝑇⃗ 𝑎 (paralela ao eixo longitudinal do foguete )
𝐿⃗ 𝐷⃗⃗ 𝑇⃗ 𝑎 CM CP 𝛼 d
5 O ângulo α é chamado ângulo de ataque, e é o ângulo entre a direção longitudinal do foguete e a direção da velocidade do CM.
Da prática sabe-se que a força aerodinâmica é função: - da densidade η,
- de uma área de referência S,
- da velocidade do CM com relação à atmosfera vCM,
- da viscosidade µ
6 Os módulos das forças de arrasto e sustentação são obtidos de:
L = CL𝑞̂𝑆
D = CD𝑞̂𝑆
onde:
𝑞̂ é a pressão dinâmica dada por:
𝑞̂ = 1
2𝜂𝑣𝐶𝑀2
S é a área de referência, frequentemente adotada como: 𝑆 = 𝜋
4𝑑2
7 Os CL e CD são grandezas adimensionais, tabeladas como função do numero de
Reynolds (NR), número de Mach (NM) e do ângulo de ataque α, sendo:
𝑁𝑅 = 𝜂𝑙 𝑣𝐶𝑀
µ 𝑁𝑀 = 𝑣𝐶𝑀
𝑎
Dependência de CL e CD com o número de Reynolds é muito pequena, tal que,
em primeira aproximação podemos considerar apenas a dependência com número de Mach e do ângulo de ataque α.
8 Do mesmo modo que para as forças de arrasto e sustentação, o módulo das forças normal e tangencial são também dadas por:
𝑁 = 𝐶𝑁 𝑞̂ 𝑠 𝑇 = 𝐶𝑇 𝑞̂ 𝑠 sendo:
CN e CT os coeficientes das forças normal e tangencial.
Pode-se obter uma relação entre as forças normal e tangencial com as forças de arrasto 𝐷⃗⃗ e sustentação 𝐿⃗ , através da decomposição de 𝐷⃗⃗ e 𝐿⃗ nas direções paralela e perpendicular ao eixo longitudinal, tal que:
9 𝑇 = 𝐷𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 𝐿𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑁 = 𝐷𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝐿𝑐𝑜𝑠(𝛼)
Uma relação entre os coeficientes de cada força é obtida substituindo-se o módulo das forças nas expressões acima, de modo que:
𝐶𝑁 = 𝐶𝐷𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝐶𝐿𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝐶𝑇 = 𝐶𝐷𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 𝐶𝐿𝑠𝑒𝑛(𝛼)
10 2. Momentos Atuando em Foguetes
As forças da gravidade e de tração, como atuam do CM, normalmente não
provocam momento em relação ao CM. A tração provocaria momento em relação ao CM, quando utilizada para mudança de direção do foguete.
O momento aerodinâmico, devido às forças aerodinâmicas, aparece quando o CP não coincide com o CM, e será dado por:
𝑀⃗⃗ 𝑎 = 𝑒 × 𝐹 𝑎 𝑒 = 𝑥 𝐶𝑀 − 𝑥 𝐶𝑃 ,
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. 𝑀⃗⃗ 𝑎 > 0 no sentido horário
O módulo do momento aerodinâmico é dado por: 𝑀𝑎 = 𝐶𝑚𝑞̂𝑆𝜆
Cm é o coeficiente do momento aerodinâmico, que é função do NR, NM, α.
𝜆 comprimento característico, usualmente adotado como sendo o diâmetro da
base d. 𝑥 𝐶𝑀 𝑥 𝐶𝑃 𝐹 𝑎 d 𝑒 𝑣 𝛼 CP CM 𝑀⃗⃗ 𝑎 𝑒 = 𝑥 𝐶𝑀 − 𝑥 𝐶𝑃
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Considerando as componentes normal e tangencial da força aerodinâmica, somente a força normal é que causa um momento ao redor do centro de massa. Assim, o coeficiente do momento relaciona-se com o coeficiente da força normal através de:
𝑁 = 𝐶𝑁𝑞̂𝑆 𝑀 = 𝑁𝑒
𝐶𝑚𝑞̂𝑆𝜆 = 𝐶𝑁𝑞̂𝑆e
𝐶𝑚 = 𝐶𝑁𝑒 𝜆
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3. Análise da estabilidade
3.1. Estabilidade estática e dinâmica
O estudo da estabilidade se divide em estabilidade estática e dinâmica.
A estabilidade dinâmica se preocupa com forma e tempo gasto para corpo retornar a posição inicial.
A estabilidade estática estuda a tendência de um corpo retornar a posição inicial, sem se preocupar com a forma e o tempo gasto para que isso ocorra.
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ESTABILIDADE ESTÁTICA
Um corpo é dito estaticamente estável, se a partir de uma posição inicial, o corpo é excitado por uma perturbação, mas tende a voltar a posição inicial (posição não perturbada). Se a perturbação tende a se propagar, o movimento é dito estaticamente instável.
15 A. ESTABILIDADE ESTÁTICA
O movimento da bolinha é estaticamente estável quando é colocada no ponto mais baixo do interior da superfície semicilíndrica, pois ela sempre retornará a este ponto quando deslocada.
B. INSTABILIDADE ESTÁTICA
Por outro lado, o movimento é estaticamente instável quando a bolinha é colocada no ponto mais alto do exterior da superfície, pois ao ser afastada cada vez mais se afasta deste ponto.
16 C. ESTABILIDADE ESTÁTICA NEUTRA
O limite entre a estabilidade estática e instabilidade é denominado de estabilidade neutra e ocorre quando o corpo permanece na posição para a qual foi deslocado. Isto ocorre para o caso da bolinha ser deslocada sobre uma superfície plana.
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ESTABILIDADE DINÂMICA
A estabilidade dinâmica analisa a forma pela qual este retorno ocorre e é analisada a partir da estabilidade estática. Além disso, mesmo que o corpo oscile em torno de uma posição inicial e não se estabiliza, podemos dizer que o movimento do corpo é estaticamente estável, mas não dinamicamente estável.
18 Por exemplo, consideremos uma perturbação no ângulo de ataque. Se a oscilação diminui com o tempo, o movimento do veículo será estaticamente e dinamicamente estável.
Se a oscilação aumentar, o movimento do veículo será dinamicamente instável mas estaticamente estável.
Se a oscilação for continua, o movimento do veículo será dinamicamente neutro e estaticamente estável.
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Exponencial decrescente:
Dinâmica e estaticamente estável
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
20 Exponencial crescente: Divergência dinâmica e instabilidade estática. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800
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Oscilação periódica:
estabilidade dinâmica neutra e estaticamente estável 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 0 5 10 15
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Oscilação amortecida:
dinamicamente e estaticamente estável
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15
23 Oscilação divergente: dinamicamente instável e estaticamente estável 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300
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3.1. Estabilidade Estática de Foguete
Vamos considerar o caso em que a força de sustentação e normal são nulas e o arrasto se alinhando com o eixo longitudinal do foguete.
A força aerodinâmica passando pelo CM, não provocará nenhum
torque no foguete. Esta é a condição estável e, portanto a situação desejada: 𝑣 𝑊⃗⃗⃗ 𝐹 𝑎= 𝐷⃗⃗ = 𝑇⃗ 𝑎 CM CP
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No entanto, se por motivo aparecer um ângulo de ataque,
ou seja, se o eixo longitudinal não mais se alinhar com a direção da velocidade, então aparecerá a força de sustentação e se a margem estática não for nula, teremos um torque em torno do CM do foguete.
Com a definição dada de margem estática, e=xCM – xCP, com x
contado a partir do nariz do foguete, temos que e < 0 quando o CM
está em frente do CP, e = 0 quando o CM coincide com o CP e e > 0
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Se consideremos o caso de e > 0, aparecerá a força de sustentação e
um torque no sentido horário, colocando o eixo longitudinal do
foguete em movimento rotacional descontrolado em torno do CM.
Dizemos então que esta é uma situação instável para o foguete, pois
qualquer perturbação no ângulo de ataque causará um movimento
rotacional do foguete em torno do CM.
𝐿⃗ 𝐷⃗⃗
𝑣
𝛼 CP CM
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Considerando o caso de e < 0, como 𝛼 ≠ 0 aparecerá a força de sustentação e
um torque em torno do CM, no sentido anti-horário, forçando o eixo longitudinal do foguete a se alinhar novamente com a direção da velocidade, diminuindo o
ângulo de ataque e a sustentação, fazendo o momento em torno do CM se
anular. Portanto, esta é uma situação estável para o foguete, pois uma
perturbação no ângulo de ataque é contrabalançada pelo torque devido à força aerodinâmica. 𝐿⃗ 𝐷⃗⃗ x 𝑣 𝑀⃗⃗ 𝑎 CP CM
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Para o caso de e = 0, como já foi dito anteriormente, mesmo para o ângulo de ataque não nulo, o momento
aerodinâmico é nulo, pois a força aerodinâmica esta aplicada no próprio CM do foguete.
