FuncImplicitas

(1)

Narciso Gomes

[email protected]

Departamento Ciˆencia & Tecnologia, Uni-CV, Campus de Palmarejo, Cabo Verde

Janeiro 2011

1 Fun¸

c˜

oes impl´ıcitas

1.1 Exemplos

No estudo de fun¸cões reais de variáveis reais, encontram-se exemplos de fun¸cões que são definidas implicitamente através de solu¸cões de equa¸cões em que intervêm duas. Exemplo 1.1

A equa¸c˜ao y − x2_{+ 1 = 0 define a fun¸}_c˜_{ao y = x}2_{− 1(Ver Figura 1).}

Figura 1: Par´abola da fun¸c˜ao y = x2− 1

Observe-se que

y − x2 + 1 = 0 ⇔ y = x2− 1,

e assim, a mesma par´abola pode ser descrita de duas formas diferentes:

(i) Como o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜_{ao F : R}2 _{→ R definida por F (x, y) =}

y − x2_{+ 1, ou seja, o subconjunto de R}2 em que F (x, y) = 0.

(ii) Como o gr´afico da fun¸c˜_{ao f : R → R dada por f (x) = x}2 _{− 1, ou seja, como}

o subconjunto de R2 em que y = f (x). Por outro lado, podemos afirmar que a equa¸cão F (x, y) = 0 define uma das variáveis como fun¸cão da outra y = f (x).

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Exemplo 1.2

A equa¸cão x2+ y2 = 4 não define uma fun¸cão já que dela resulta(Ver Figura 2):

(i) y =√4 − x2 _{para −2 < x < 2 e y ≥ 0, ou}

(ii) y = −√4 − x2 _{para −2 < x < 2 e y ≤ 0.}

Figura 2: Circunferˆencia resultante da equa¸c˜ao x2_{+ y}2 _{= 4.}

No entanto x2+ y2 = 4 e y ≤ 0 j´a definem implicitamente uma equa¸c˜ao. Qual?

Para cada uma das fun¸c˜oes pode ser descrita de duas formas diferentes. Por exemplo, para o caso y ≥ 0 :

(i) Como o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜_{ao F : R}2 _{→ R definida por F (x, y) =}

x2+ y2_{− 4, ou seja, o subconjunto de R}2 em que F (x, y) = 0.

(ii) Como o gr´afico da fun¸c˜_{ao f :] − 2, 2[→ R dada por f (x) =}√4 − x2_{, ou seja, como}

o subconjunto de R2 _{em que y = f (x).}

Para y ≥ 0, a equa¸cão F (x, y) = 0 define uma das variáveis como fun¸cão da outra y = f (x). Portanto, se verifica localmente, em torno de cada um dos pontos, a equivalência

F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x).

1.2 Condi¸

c˜

oes para fun¸

c˜

oes do tipo F (x, y) definidas

implici-tamente

Seja F (x, y) = 0 uma fun¸c˜ao nas vari´aveis x e y e (x0, y0) um elemento pertencente ao

dom´ınio de F , tal que:

(i) F (x0, y0) = 0;

(ii) F possui derivadas parciais cont´ınuas numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0);

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Então, F (x, y) = 0 define implicitamente y como fun¸cão de x numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0). Além disso, a derivada da fun¸cão y de x no ponto x0 é dada por:

dy dx(x0) = − ∂F ∂x(x0, y0) ∂F ∂y(x0, y0) .

Exemplo 1.3 Considere a equa¸c˜ao 1 + y = x2_{− ln y.}

(a) Mostre que a equa¸c˜ao dada define y como fun¸c˜ao impl´ıcita de x numa vizinhan¸ca do ponto P = (√2, 1).

(b) Calcule dy_dx(√2) e d_dx2y2(

√ 2).

1.3 Exerc´ıcios Propostos

Exercicios Propostos 1.4 Determine dy_dx e d_dx2y2 das fun¸c˜oes dadas implicitamente

pelas equa¸c˜oes:

(a) x2_y2_{+ x − 2y}3 _{= 0.}

(b) x2_{− yx + y}2 _{= 1.}

1.4 Condi¸

c˜

oes para fun¸

c˜

oes do tipo F (x, y, z) definidas

implici-tamente

Considere agora a equa¸c˜ao

F (x, y, z) = 0 (1) uma fun¸c˜ao nas vari´aveis x, y e z e (x0, y0, z0) um elemento pertencente ao dom´ınio

de F . A equa¸cão (1) define implicitamente z como fun¸cão de x e y, z = f (x, y) numa vizinhan¸ca de um ponto (x0, y0, z0) pertencente ao dom´ınio de F nas mesmas condi¸cões

anteriores, ou seja:

(i) F (x0, y0, z0) = 0;

(ii) F possui derivadas parciais cont´ınuas numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0, z0);

(iii) ∂F_∂z(x0, y0, z0) 6= 0.

Assim, as derivadas parciais da fun¸c˜ao z em ordem a x e y, respectivamente, s˜ao dadas por: ∂z ∂x(x0, y0) = − ∂F ∂x(x0, y0, z0) ∂F ∂z(x0, y0, z0) e ∂z ∂y(x0, y0) = − ∂F ∂y(x0, y0, z0) ∂F ∂z(x0, y0, z0)

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Assim, ser´a de forma an´aloga para F (x1, x2, . . . , xn, yx) = 0, pondo f (x1, x2, . . . , xn) =

yx, com f de classe C1. Desta forma,

∂f ∂xi (x1, . . . , xn) = − ∂F ∂xi(x1, . . . , xn, f (x)) ∂F ∂y(x1, . . . , xn, f (x)) .

Exemplo 1.5 Mostre que as seguintes equa¸c˜oes definem z como fun¸c˜ao impl´ıcita de x e y numa vizinhan¸ca dos pontos mencionados. Calcule ∂z_∂x e _∂y∂z nesses pontos.

(a) − cos(x + 2y + z) = 2x + y − 3z − 1 na vizinhan¸ca de (0, 0, 0). (b) x + y + z = sin(xyz) na vizinhan¸ca de (0, 0, 0).

Observa¸c˜_{ao 1.6 Seja F : R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}1 e (x0, y0) um ponto tal

que F (x0, y0) = 0. Suponhamos que, em alguma bola centrada no ponto (x0, y0) se tem

F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x),

sendo f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real de classe C1 e definida em algum intervalo contendo o ponto x0. Assim, teremos F (x, f (x)) = 0 e derivando obtemos

∂F ∂x(x0, y0) + ∂F ∂y(x0, y0)f 0 (x0) = 0. Assim, f0(x0) = − ∂F ∂x(x0, y0) ∂F ∂y(x0, y0) , com ∂F ∂y(x0, y0) 6= 0.

Conclui-se então que, em certas condi¸cões, é poss´ıvel calcular a derivada f0(x0) mesmo

n˜ao sendo poss´ıvel determinar f a partir da equa¸c˜ao F (x, y) = 0.

Teorema 1.7 (Fun¸c˜ao Impl´_{ıcita em R}2_{) Seja F : R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao de classe}

C1 _{e (x}

0, y0) um ponto tal que

F (x0, y0) = 0;

∂F

∂y(x0, y0) 6= 0.

Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao f , de classe C1_{, tal que, localmente em torno de (x}

0, y0), se

tem

F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x).

Por um processo inteiramente análogo tratar-se-á de algo mais geral do teorema das fun¸cões impl´ıcitas:

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Teorema 1.8 (Fun¸c˜ao Impl´_{ıcita em R}n+1_{) Seja D um aberto de R}n+1_{, (x}0_{, y}0_{) =}

(x0

1, . . . , x0n, y0) ∈ D, F ∈ C1, F (x0, y0) = 0 e ∂F

∂y 6= 0; ent˜ao:

1. existem α > 0 e β > 0 tais que a cada x = (x1, . . . , xn) ∈ I =]x01 − α, x01 +

α[× · · · ×]x0

n− α, x0n+ α[ corresponde um e um s´o yx ∈ J =]y0− β, y0 + β[ por

forma que se tenha F (x, yx) = F (x1, . . . , xn, yx) = 0;

2. pondo f (x) = f (x1, . . . , xn) = yx para cada x ∈ I, a fun¸c˜ao f ´e de classe C1 e

tem-se, para cada x ∈ I e cada i ∈ 1, . . . , n:

∂f ∂xi (x1, . . . , xn) = − ∂F ∂xi(x1, . . . , xn, f (x)) ∂F ∂y(x1, . . . , xn, f (x)) .

Nota 1.9 É de real¸car também que o não anulamento da derivada ∂F_∂y no ponto (x0, y0)

não é condi¸cão necessária para a existência de uma fun¸cão y = f (x) univocamente definida, nalguma vizinhan¸ca deste ponto, pela equa¸cão F (x, y) = 0. Por exemplo, sendo F (x, y) = x − y3_{, tem-se} ∂F

∂y(0, 0) = 0, embora a equa¸c˜ao defina - at´e

global-mente, em todo o conjunto R - a fun¸c˜ao y = √3_{x (pode notar-se que esta fun¸}_c˜_{ao n˜}_ao

´

e diferenci´avel no ponto 0, mas basta considerar o caso da fun¸c˜ao F (x, y) = x3 _{− y}3

para se reconhecer que o anulamento de ∂F_∂y(0, 0) não é incompat´ıvel com o facto de a fun¸cão definida pela equa¸cão F (x, y) = 0 ser diferenciável no ponto considerado).

Uma aplica¸cão simples do teorema das fun¸cões impl´ıcitas permite obter outro teorema importante, habitualmente designado por teorema da fun¸cão inversa.

1.5 Exerc´ıcios Propostos

Exercicios Propostos 1.10 Considere a igualdade z cos x2_{+ e}x _{= 2zy. Mostre que}

esta igualdade define z como fun¸c˜ao impl´ıcita de x e y numa vizinhan¸ca de (0, 1, c). Calcule ∂z_∂x(0, 1) e ∂z_∂y(0, 1)

Exercicios Propostos 1.11 Considere a equa¸c˜ao x + 2yx + 3z2_{+ x}2_{z = 1.}

(a) Diga para que valores de k esta equa¸c˜ao define z implicitamente como fun¸c˜ao de x e y na vizinhan¸ca do ponto (1, 0, k).

(b) Calcule as derivadas parciais da fun¸c˜ao impl´ıcita nos pontos referidos. (c) Calcule ainda _∂x∂y∂z nos pontos considerados.

(6)

1.6 Teorema de fun¸

c˜

oes impl´ıcitas: caso geral

Na formula¸cão mais geral do teorema das fun¸cões impl´ıcitas que estudaremos na sequência tratar-se-a de determinar condi¸cões para que um sistema de m equa¸cões da forma:    F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 · · · Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

onde F1, . . . , Fm s˜ao fun¸c˜oes definidas num aberto D de Rm+n, possa ser resolvido

em ordem `as m vari´aveis y1, . . . , ym, por forma que cada uma destas fique expressa

(localmente) como fun¸c˜ao das restantes vari´aveis, x1, . . . , xn.

Teorema 1.12 (Teorema de fun¸c˜oes impl´_{ıcitas: caso geral) Sejam A ⊂ R}m, B ⊂ Rn _{conjuntos abertos e f : A × B → R}n_{, uma transforma¸}_c˜_{ao de classe C}1_{. Seja}

x = (x1, . . . , xm) ∈ A e y = (y1, . . . , yn) ∈ B. Suponha que exista (x0, y0) ∈ A × B tal

que F (x0, y0) = 0 e que o jacobiano

∂(F1, . . . , Fn) ∂(y1, . . . , yn) = det    ∂F1 ∂y1 · · · ∂F1 ∂yn · · · . .. · · · ∂Fn ∂y1 · · · ∂Fn ∂yn    n×n 6= 0 em (x0, y0) ∈ A × B.

Ent˜ao, existem um conjunto aberto A0 ⊂ A contendo x0 e uma transforma¸c˜ao de classe

C1 _{G : A}0

→ Rn _{tal que F (x, G(x)) = 0 para todo x ∈ A}0_.

Para esse efeito, tratar-se-´_{a do caso em D ⊆ R}n+2 como t´ıtulo de exemplo. Assim, derivem-se em ordem a xi ambos os membros de cada uma das equa¸c˜oes

F (x1, . . . , xn, f (x), g(x)) = 0 e G(x1, . . . , xn, f (x), g(x)) = 0

o que conduz ao sistema:

( _∂F ∂xi + ∂F ∂y ∂f ∂xi + ∂F ∂z ∂g ∂xi = 0 ∂G ∂xi + ∂G ∂y ∂f ∂xi + ∂G ∂z ∂g ∂xi = 0.

Bastar´a resolver este sistema pela regra de Cramer (considerando como inc´ognitas _∂x∂f

i

e _∂x∂g

i) para se obterem os resultados pretendidos.

Exemplo 1.13 As fun¸cões diferenciáveis y = y(x), z = z(x), definidas no intervalo aberto I são dadas implicitamente por

F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0,

onde F e G s˜ao fun¸c˜oes diferenci´_{aveis em um aberto do R}3_{. Determine} dy dx e

dz

dx em

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Solu¸c˜ao: Sendo

F (x, y(x), z(x)) = 0 G(x, y(x), z(x)) = 0

significa que a curva γ(x) = (x, y(x), z(x)) está contida na interseçcão das superf´ıcies F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0.

Para obter _dxdy e dz_dx derivamos o sistema anterior em rela¸c˜ao a x ( _∂F ∂x + ∂F ∂y dy dx+ ∂F ∂z dz dx = 0 ∂G ∂x + ∂G ∂y dy dx+ ∂G ∂z dz dx = 0 isto ´e ( −∂F ∂x = ∂F ∂y dy dx+ ∂F ∂z dz dx −∂G ∂x = ∂G ∂y dy dx + ∂G ∂z dz dx.

Assim, para todo x ∈ I, com

∆ = ∂F ∂y ∂F ∂z ∂G ∂y ∂G ∂z 6= 0 em (x, y(x), z(x)). Temos dy dx = ∂F ∂x ∂F ∂z ∂G ∂x ∂G ∂z ∆ e dz dx = ∂F ∂y ∂F ∂x ∂G ∂y ∂G ∂x ∆ .

Nota¸cões: ∂(F,G)_∂(y,z) é usado para indicar o Jacobiano de F e G em rela¸cão a y e z.

∂(F, G) ∂(y, z) = ∂F ∂y ∂F ∂z ∂G ∂y ∂G ∂z Portanto, dy dx = − ∂(F,G) ∂(x,z) ∂(F,G) ∂(y,z) e dz dx = − ∂(F,G) ∂(y,x) ∂(F,G) ∂(y,z) .