Análise do comportamento não linear geométrico e físico de pórticos planos de concreto armado

(1)

•

DE1~ÕRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO

Johê Ctaudio de Fa~ia Tetteh

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-'GRAOUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO 'PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO ~GRAU DE MESTRE EM CI[NCIA (M.Sc.)

~provada por:

'

·~· . _, Presidente RIO DE JANEIRO

ESTADO DO RIO DE 'JANEIRO - BRASIL FEVEREIRO DE 1976

(2)

Ao Professor FERNANDO LUIZ LOBO B. CARNEIRO, _P.elo incentivo e orientaçio prestada a este trabalho.

Ao Professor LUIZ FERNANDO TABORDA GARCIA, pela a mizade e valiosas sugestões.

Aos colegas da COPPE-UFRJ, pela cooperaçao.

(3)

O presente trabalho representa um passo a mais den tro de um estudo mais teórico e aprofundado sobre estruturas pl! nas de concreto armado.

t

apresentado um programa para anãlise de pórticos planos de concreto armado em que dois tipos de não linearidades são levados em conta:

1) Não linea4idade geomét4ica

ê tratada aqui, levando-se em consideração os efei tos de segunda ordem decorrentes da interação axial flexão;

2) Não linea4idade óZ6ica

consiste em considerar as caracteristicas f i si c as dos materiais (concreto e aço), tendo em vista as re

(4)

O programa foi desenvolvido para barras de eixo reto de seçao qualquer (simétricas em relação ao plano da estrutura) e com qualquer distribuição de armadura.

Quanto as suas aplicações, podemos utilizá-lo para uma análise de esforços e deslocamentos mediante um carregamento definido, bem como, para uma pesquisa da capacidade de carga, na qual seu comportamento não linear ê analisado para cada intensi dade de carregamento, atê que seja atingida a carga

tida pela estrutura.

Estão incluidos, ao final do trabalho, alguns exem plos e comparações com outros métodos do gênero, bem como alg~

mas observações a respeito da consideração dos efeitos da fluên eia no concreto sob carga de longa duração.

(5)

ABSTRACT

This work is a further step into a more theoretical and profound study on reinforced concrete structures.

A program is presented for analysis of reinforced

concrete plane frames, where two different types of non line-arities are dealt with:

1) Geomet~ieal non linea~ity

considering the second-order effects, resulting from axial-flexural interaction;

considering the physical characteristics of materials (concrete and steel ), through the approach adopted by the CEB-FIP recommendations.

(6)

This program was developed for straight members,

with any cross-section (symmetrical to the structure plane), and with any reinforcement distributions.

As for its applicability, it may be employed for an analysis of forces and displacements for a definite loading, as well as for a research on load-bearing capacity, in which its non linear performance is analysed for each loading intensity, until the structure maximum load-bearing capacity is obtained.

At the end of this study, a few examples and

com-parisons with other approaches of the sort are included, as well as some remarks on the effects of creep in concrete under sustained loads.

(7)

!NDICE Capitulos: Páginas: . I II I NTRODUÇI\O • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l HIPÕTESES DE CIILCULO •••••••••••••••••••••• 1.1 Materiais .•..••••...•. l. l. l l. l. 2 l. l. 3 l. l. 4 l. 2 l. 3 l. 3. l l. 3. 2 l. 4 A ç. o . . . .

e

o nc.Jz..e:to ...•.•.•.

H).pÕte-0e da-0 SeçÕe-0 Plana-0 •..•..••

Con-0).de~açÕe-0 de Rotu~a •..•••.•.••

Caracteristicas Mecânicas das

Se-ções de C.A ...•.•.•..•... Interação Axial Flexão •..•... Mat~).z de R).g).dez .•.•••..••...••.. In-0tab).lldade •...••••••.... Carregamento ..•..•...••••...

DESENVOLVIMENTO TEÕRICO ••••••••••••••••••• 2.1 Matriz de Rigidez de Membro ...

4 4 4 8 lo 10 l l l 5 l 6 l 9 20 22 23

(8)

III 2 . 1 . l 2. 1 . 2 2.2 2. 2. 1 2.2.2 2.2.3 2. 2. 4 2.3 2. 3. 1 2. 3. 2 2. 3. 3 PROGRAMA 3 . 1 3. l . 1 3. 1 . 2 3.2 3. 2. 1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Mat4iz de Rigidez T4an-0cendente •.• Mat4iz de Rigidez pelo M.E.F . .... .

Características Mecãnicas de Membro

Rigidez Secante de uma Seção de C.A. Cãlculo do-0 E-0604ço-0 Re-0ultante-0 de

23 38

53 53

uma Seção de C.A. .. .. .. .. .. .. . • .. . 59

Rigidez Secante de Memb4o ...••...•

A-0pecto-0 Ge4ai-0 do Conceito de Rig{

61

dez Secante .. .. .. .. . .. • .. . .. .. .. .. 64

Mêtodo Iterativo ...••.

Anâli-0e de um Ca44egamento Con-0tan

65

te . . . 6 5

Pe-0qui-0a da Capacidade de Ca4ga .. . C4ite4io de Conve4gência ... .

Capítulos: IV V BIBLIOGRAFIA Apêndices: A B SIMBOLOGIA 3.2.5 3.3 3.4 Su.b-lLat{na GAUSS •••••••••••••••••• Fluxograma Resumido .•...•... Observações Sobre Resultados Obti

Pãginas:

83

dos . . . • . . • • • . . . . • . • . . . . • • . . . . • 88

3.5 Erros Admissíveis Recomendados ....

EXEMPLOS

. . .

.

. .

. . . .

.

CONCLUSl'íES E SUGESTÕES ...•.•...••....

...

MANUAL DE ENTRADA DE DADOS DO PROGRAMA .••. LISTAGEM DO PROGRAMA

...

89 90 90 93 95 98 109 119 Pãginas: 123 _ l 32 1 57

(10)

INTRODUÇÃO

Devido ao crescente impulso que vem sofrendo as têc nicas numéricas de resolução de problemas muito complexos pelo método da rigidez, torna-se possivel uma aproximação do comport! mento real de estruturas de concreto armado, por meio da substi tuição de hipóteses simplificadoras, por outras mais corretas. Nesta perspectiva ê que se insere o presente trabalho, tendo em vista a anãlise de pórticos planos de concreto armado.

Tanto a impossibilidade de admitir a lei de Hooke P! ra o concreto (ainda mais quando armado para resistir ãs tensões de traçio), quanto no caso de estruturas esbeltas, a necessidad• de considerar a influência do esforço normal na flexão, tem nos levado ã procura de bases de cãlculo mais realistas.

A relação linear entre tensão e deformaçio dos mate riais,~ aqui substituida por outra, baseada na formulaçio reco

(11)

mendada pelo CEB-FIP, de modo a que seja considerada a influên eia do esforço normal e do momento fletor na definição das carac teristicas mecânicas das seções de C.A .. Paralelamente, a ma triz de rigidez linear geometricamente, ê substituída por outra que leva em consideração os efeitos de segunda ordem decorrentes da interação axial flexão.

Em consequência das hipóteses acima citadas, torna--se impossível utilizar o método da rigidez de maneira imediata, pois como sabemos, o principio da superposição não

e

mais válido na análise não linear.

O artificio utilizado para contornar o problema, con siste na substituição do cálculo não linear por uma sucessão de cálculos lineares, em que no decorrer de cada passo, as caracte risticas não lineares de que depende o problema, são mantidas constantes para posteriormente, com base nos resultados obtidos, serem modificadas e utilizadas no passo seguinte.

Desta forma, a cada passo, e válido o principio da superposição.

Devemos salientar que já existem, embora em numero re

- . - 1,2,3,'+

duzido, trabalhos que dizem respeito a analises do genero . O trabalho aqui proposto, embora adote o mesmo conceito de rigl

(12)

dez secante que o programa "Frame Analysis" mo em pontos bãsicos, tais como:

matriz de rigidez

correçao da rigidez secante pesquisa da capacidade de carga

l , 2 , 3

, difere domes

Finalmente, cabe acrescentar que o programa aqui apr! sentado, limita-se ao estudo de pórticos planos e constituídos por barras de eixos retos, que podem ser subdivididas em membros cuja seçãoOtransversal de C.A. pode ter geometria qualquer (nat~ ralmente simêtrica em relação ao plano da estrutura), porêm man

,-, tida constante ao longo de cada mgmbro.

(13)

CAPITULO I

HIPÕTESES DE CÃLCULO

1.1 MATERIAIS

A seguir, serao mostrados os diagramas tensão defor maçao adotados para os materiais de acordo com as recomendações do CEB-FIP, para posteriormente apresentar quais as considera çoes mecânicas adotadas para representar o comportamento das se çoes de C.A ..

l . l . 1 AÇO

(14)

a) Tipo A:

Caracterlza-se pela existência de patamar de escoa

mento definido. Figura 1.

onde: f yk f f = yk yd :--:i

:r

s ys f yd e: = sy _E s

,,.

f .,. -10%0 _{- tsy} '

___________

, f

--DIA-GRAMA CARACTERÍSTICO_ - ... - 7 - - - -, / 1 I /orAGRAMA DE CÁLCULO 1: ,1 1 1 1 1 Are tg Es 1 1 tsy f ,. - f ,. 10%, E.s FIG. 1

valor caracteristico da tensão de escoamento

valor de cãlculo da tensão de escoamento

(15)

b) T .ipo B:

Devido ao encruamento a frio, este tipo de aço nao apresenta patamar de escoamento definido. Como pode ser obser vado na Figura 2, define-se uma tensão de escoamento c on ve n'ê:'ro ~-nal mediante uma reta que passe ,ê_§lo ponto e:

5 = 2%o com inclina çao igual ao mÕdulo de elasticidade tangente na origem.

Cabe notar que o diagrama de cãlculo

e

obtido do ca racteristico mediante uma .a-t"Tnid~cl~~r,ãrfle_tl~a-estã~retã êle razão

_"---~

-- - ,... . ...---,- - .. -

-

--

,..

---1 /y .. 0s .-.:10%0 f , • f ;. 0,7 f ,. 0,7 f yd -2 %o . 1 / 1 1 / ,; 1 / 1 / .,~-+ - - - / - ; " . , , -,.-_L - -1_ - - - - · - - - - -FIG. ·2

G •.

DIAG. CARACTERi'STICO

--'S;__.----~-~ -,

/ _I --- - - 1 - ; / f /:DIAG. DE CÃ~CULO / ,; I Are tg ES / 1 10%. é.s - 0,7 f :,d - O ,7 f Jk - f yd - f , .

(16)

O referido diagrama pode ser representado pelas se guintes expressoes: l'j O 7 ._gs ~ ' f yd ,...,,.--....,,,_ ·---... } --... _,,__r e: = s e: = s ·"2\ V. _s E s ··~ \_~- s

-E _s

§

5 + 0,823 (-s-

-

0,7) f yd

Como simplificação, foi adotada a substituição do trecho curvo por três retas, conforme Figura 3.

... .'IOo/oo

f ,.

0,9 f ,. 0,7 ·t yd

_ Es1a _ Esn .Esy,

1 1 1 1 1 1 1 FIG, 3 1 1 . 1 _ 0,7 f yd - ,01s f yd - fyd 1 1 . 1 10 %o (.s

(17)

onde: 0,7 _f yd e _syl

₌

E _.s

n

_f 0~9 _yd e _sy2 = + 0,263%0 E _s f _yd e _sy3

=

+ 2%o E s 1 . 1 . 2 CONCRETO

Estão previstas no programa apenas as relações entre

- - *

tensões e deformaçoes para cargas de curta duraçao , sendo que, não se considera qualquer resistência a tração no concreto. Fi gura 4.

O diagrama de cãlculo pode ser rêpresentado matemati _~ camente pelas seguintes expressões:

*

Algumas consideraç;es ~eol6gicas podem ser encontradas no Ca pÍtulo V, sob o aspect; de aprimoramento futuro ao

(18)

trabalho.-d

C ( COMPRESSÃO J - ' blAG. CARACTERISTICO 0,86 f ck - - - ~ - - - 1 ... - ,1 . 0185 f cd. - - - -,.. <é_ -·

---<t---J !I 7 \ DIAGRAMA OE CÁLCULO 1 PARÁBOLA DO 21 GRAU , L - r / 1 2%o ,fl 8. 4

-

·~---

-o ,:/;

e: _e ,:/; 2%o

e·

ét _.,e

2%o~ e: ,:/; e 3,5%0 ~\ '--'e

=

0,85

=

0,85 1 1 3₁!5 o/oo f cd f cd é.. Ô (COMPRESSÃO) e: e: (2

-

_f) e 2%o 2%o onde:

fck valor característico da resistência a compressao concreto;

f

₌

fck _{valor de cálculo da resistência} _a _{compressa o} _do cd

yc

c reto;

do

(19)

yc coeficiente de minoração da resistência do concreto.

Note-se que o coeficiente 0,85 ê justificãvel pelo "efeito RÜsch" ou, se for o caso, pelas condições de concretagem.

l. l. 3 HIPÓTESE DAS SEÇÕES PLANAS

r

admitido aqui, que as seçoes transversais dos mem bros permanecem planas e normais ao eixo da peça, com perfeita~ derência entre aço e concreto.

Convêm observar que os efeitos devidos ao esforço cortante não são considerados, jã que, de momento carecem de teo ria que possa tratã-los de maneira aceitãvel.

l .L4 CONSIDERAÇÕES DE ROTURA

O esgotamento da capacidade resistente de uma seçao de C.A. ê considerado segundo as recomendações do CEB-FIP, conse quentemente as deformações limites são definidas de acordo com as três principais zonas demarcadas na Figura 5.

(20)

->-... -- ~~.

1 O o/oo ,O -2%o . ....1,5%0

FIG. 5

1. 2 CARACTERfSTICAS MECÃNICAS DAS SEÇÕES DE C.A.

Uma vez que nao existem relações lineares entre ten sao e deformação, somos conduzidos a efetuar um cálculo de na tu reza nao linear física, cuja solução exata e extremamente difí cil de se obter.

Numericamente, procede-se por sobreposição de câlcu los lineares, corrigindo a cada passo, as características meca nicas de cada membro com base nos resultados obtidos na etapa de~ câl cul_o)em questão.

(21)

No caso da nao linearidade física, estas caracteris ticas ~ão:

Em geral, nos programas de cálculo nao linear, as cor reçoes sao efetuadas tomando como base uma coleção de diagramas esforços deformações previamente conhecidos.

Estes diagramas sao:

a) Momento-eu4vatu4a (Figura 6): M ( MOMENTO FLETOR J / / / / / ~ Are tg EI

··---NORMAL c1J CV (CURVATURA) FJG.6

b)(''E.16 .. no4mal-de6o4mação na 6-lb4a mêd.la

_.

(Figura 7):

(22)

N· ( ESFORÇO NORMAL) MOMENTO ,ct.! -/ 1 1 / 1 / 1 / Are lg ÊA ( g ( DEFORMA~ÃO AO NÍVEL D O C.G. OA SEC,AO OE CONCRETO). 'FIG. 7

O conjunto destes diagramas ê sempre grande, jã que, uma estrutura pode ter vãrios tipos de seções que diferem entre si, tanto na forma geomêtrica, quanto na percentagem de armadura. Alêm do mais, para cada valor do esforço normal, um diagrama mo menta-curvatura deve ser conhecido, bem como, para cada valor do momento fletor, um diagrama é~for__ç_q_ nqrm__a]'-_d_eformaç_ão:::n.é!... f i ~ r a; mêdia·deve _ser apresentado.

Objetiva·.n_do, contornar este problema, ~oi adotado um procedimento numêrico baseado no fato de que tanto o esforço nor mal, como o momento fletor em seções de C.A., são funções não li neares cujas variáveis sao cv e E •

g

Encarando-se desta maneira, ao invês de _colecionar mos os diagramas, basta que encontremos a solução de um sistema

(23)

de duas equaçoes nao lineares: onde: M (CV, E ) = M r g s N (CV, E ) = N r g s M(cv,E) _r g N(cv,e) _r _g

Momento interno, resultante das tensões in ternas no concreto e no aço em relação ao C.G. da seção de concreto.

Normal interno, resultante das tensões in ternas no concreto e no aço.

M Momento que atua na seção em relação ao ei

s

EI =

xo do elemento, resultante da ação da es trutura na referida seção na etapa de cãl culo em questão.

N Normal que atua na seçao, resultante da a

s

ção da estrutura na referida seçao, na eta pa de cilcul~ em questão.

Uma vez determinados cv e _E _'

g podemos então definir:

M

s M(cv,e) r g

=

(24)

EA = N 8 E g = N {cv, E.) r g E g

Como se observa, em C.A. nao tem sentido considerar a rigidez secante ã flexão e a rigidez secante ã deformação axi al, como sendo representadas por produtos Ex I e Ex A, respe~ tivamente, o que sõ e vâlido no caso de linearidade física.

Devemos notar que tudo o que foi dito ate aqui e re ferente a características mecânicas de uma seção, posteriormente estenderemos o conceito para características mecânicas de Membro.

l. 3 INTERAÇÃO AXIAL FLEXÃO

No que se refere a nao linearidade geométrica, tam bem nao seria imediata sua aplicação sem um tratamento numérico, em que o principio da superposição pudesse tornar-se vâlido.

(25)

posterior desenvolvimento no capitulo sequente.

l . 3 . l MATRIZ DE RIGIDEZ

Em programas no genero, a matriz de rigidez de mem bro utilizada e normalmente desenvolvida de maneira aproximada, através do metodo dos elementos finitos, das diferenças finitas, etc.

No programa em questão, devido ao conceito de rig! dez secante de membro, foi possivel adotar uma matriz de rigidez cuja dedução e feita de maneira "exata" (a nao ser no que d i z respeito

ã

rigidez adotada para representar o membro), através da equação diferencial que representa o fenômeno.

Suponhamos o elemento visto na Figura 8(a), em equ! librio sob a ação dos esforços A , A , A , A e P.

2 3 5 6 Suponhamos

tambem que ao deformar-se, tenha sofrido os deslocamentos verti cais (representados no seu interior por v(x)), d e d em suas

2 5

extremidades, bem como as rotações d e d conforme Figura 8(b).

3 6

Se aplicarmos a equaçao diferencial da deformada, en contra remos:

(26)

2 d _V(x) dx 2 onde: M(x)

=

---·

-

---~

e a J M(x)

=

EI A + A 3 2

=

X

-X

---F 1 6. ·8

,...,

e U.l')V atura P(V(g1)

-V (X) e b > d _{2 )} d• X

-Substituindo-se: d2V(x) p + - V(x) dx2 EI = (A x + P d 2 2 - A ) 3 x 1 EI

r

atravês da resolução desta equaçao que a matriz de

rigidez de membro foi deduzida.

(27)

cipio da superposição seja aplicãvel e que o valor da força P se ja mantido constante.

Iterativamente, procede-se por sobreposição de cãlc~ los, em que o valor (Jà --foria_àxié!l__)'-' 1obtido em uma etapa para cada membro, ê então assumido como valor da força P na etapa se guinte.

,_ .. Assim 0·p_ro_c_e·dendo,·,corrigimos_ ao mesmo tempo as cara.s:

teristicas mecãnicas dos membros e os respectivos valores.~a for

·ç

a· a x i a

l -

-P •

Devemos observar que implicitamente estamos tr aba lhando com a teoria de pequenas deformações, caso contrãrio, de

1' ..., ·'"i veriamas a~o:tar: 2 d V(x) dx2 M(x) Curvatura

₌

[,

.

dV(,)

T''

EI ( ) dx

(28)

1 . 3. 2 INSTABILIDADE

Devido is hip5teses fofmuladas, o valor miximo de um carregamento localizado pode ser limitado por dois motivos:

H = cli

----a) E-0gotamento da capacidade ~e-0i-0tente de uma -0e~ao

ocorre no caso de estruturas pouco esbeltas, c u j o

comportamento pode ser observado pela curva e ar g a-flesha exemplificada na Figura 9. (Ver item 1. 1.4).

iF

•r

-1 I 1 1 F

ESGOTAMENTO DA CAPACIDADE RESISTENTE

O E U ~

a

(29)

1. 4

b}

H=cl.A

----

o

InJtabilidade do equilZb4io acontece em estrutu ras esbeltas, cujo comportamento pode ser observado na Figura 10, sendo caracterizada quando a derivada da curva2carga-flecha apresenta um ponto nulo.·

F

INSTABILIDADE .oo EQu1dsR10 ( ~: : ,O)

--

--r--I I 1 I CARREGAMENTO ' _'

.

" 1RAMO INSTAVEL

'

_'

\ \ 'a ESGOTAMENTO DA CAPACIDADE

RESISTENTE OE UMA OU ·MAIS SEGÕES.

o

FIG. 10

O programa foi elaborado de maneira a que som ente cargas nodais possam ser introduzidas.

(30)

Distinguem-se dois tipos de anãlises:

a) Anãlise de esforços e deslocamentos para um carreg! mento definido.

b) Pesquisa da capacidade de carga da estrutura para um carregamento inicial, em que podem existir cargas mantidas constantes e cargas que serao majoradas ate o estado limite último da estrutura.

Neste tipo de anãlise, podemos analisar o

mento nao linear (esforços e deslocamentos) da estrutura para ca da incremento de carga ate seu valor mãximo admissivel.

Convém acrescentar que o programa trabalha com con trole de carga, consequentemente nos casos de instabilidade do equilibrio, não podemos obter o ramo descendente da curva carga--flecha (Ver Figura 10). Entretanto, uma versão modificada do mesmo chegou a ser elaborada para trabalhar com controle de de~ locamentos, conseguindo desta forma obter os dois ramos da curva. A referida versão do programa não consta dos anais aqui redigi dos, pois devido ã natureza do processo iterativo, a converge~ eia tornou-se mais lenta.

(31)

CAPITULO II

DESENVOLVIMENTO TEÕRICO

O capítulo tem em vista, com base nas hipóteses jã formuladas, apresentar o desenvolvimento dos tópicos de natureza não linear para imediata aplicação a um programa automiti,co uti lizando o mêtodo da rigidez.

Considera-se no trabalho em questão, que o referido mêtodo, devido a seu grande desenvolvimento atual com o uso de computadores digitais, esteja implicitamente conhecido, juntame~ te com suas aplicações a cãlculos automãticos de estruturas tipo pórtico plano de comportamento linear.

(32)

2.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE MEMBRO

,,

-Em segui da, mos traremos <> processo

ill:!

li zado na , dedu

çao da matriz de rigidez de membro, através da equação diferencl al da deformada, para posteriormente fazermos uma comparação com a matriz de rigidez desenvolvida pelo método dos elementos fini tos, normalmente empregada em programas desta natureza

2.1.l. MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSCENDENTE

Suponhamos o elemento inicialmente reto de comprime~ to L, desenhado na Figura 11 deformado e em equilíbrio sob as a ções dos esforços A, A , A, A e P.

2 3 5 6 FIG. li ' . p ₎

-·f

A& Ao X

(33)

Chamemos de V(x) a função de deslocamentos y, cujas condições de contorno são os deslocamentos d

2 e te com as rotações d 3 e d , 6 conforme Figura 12. ou,

1y

daj,, d2 V ( x J F l G. 12

Podemos então escrever:

2 d V(x) 2 dx p = (-A + A x - P(V(x) - d )) 3 2 2 1 V"+ V= (A x + P d - A) EI 2 2 a EI

cuja solução homogênea e:

v .•

(x) =

e

h' _~ COS

~

{P

X + C

V

Ei

2 sen.;-;; x _EI

:1.

d6 d5 1 EI d , 5 X juntame_!!

(34)

onde C e C sao constantes que dependem das condições de

l 2

contorno.

-,

Encontramos pa~a soluçio particular:

V _p(x)' _- = (A x + P d

2 2 - A ) l 3 p

Desta maneira, obtemos a soluçio geral:

V(x) = C COS-

~

X + 1

Vü

e

sen-

~

x + 1 2

-VEI

p (A X+ p d 2 2 - A ) 3

Chamando-se de e(x) a funçio que nos dâ as rotações _~ ao longo do elemento, podemos escrever:

e(x) = -dV(x) = ~ EI - ~ (C cos -2 _{E I} X - C l s e n ~ x) + A2 EI P dx

Ao introduzirmos as condições de contorno para x = O, obtemos: V(o) = d 2

.

-

.

~ ) A A

e

:+'

d

-

3 = d ,--··+

e

= 3 1

v

2 _p 2 v l _p

(35)

El (O) = d 3 A d A 2 3 2 k.C + - = d +

e

= 2 _p 3 2 _k _Pk onde: k

=/!;

Finalmente encontramos: A _{d p -} _A l 3 ₃ 2 ) V(x)

₌

coskx + ( senkx + (A X+ p d - A ) p _Pk p 2 2 3 ( l ) d p - _A A ₃ A ₂

e(x)

₌

k ( ( 3 2 ) _{coskx -} _senkx) ₊ _{( 2)}

Pk p p

Da mesma maneira, podemos obter a expressao do momen to ao longo do membro: 2 d V(x) M(x) = -2 dx d3 p - Az EI = - (A coskx + ( ) senkx\) 3 k w~ ( 3)

(36)

Podemos observar que as expressoes acima sao válidas para P positivo (compressão) e diferente de zero. _{Nos casos em} que Pê negativo (tração), devemos modificã-las tendo .em dVista que:._ ,··· . . . ~

.

_.,,

sen(ix) = i senh(x)

(i =

r-,,

cos(ix) = cosh(x)

Substituindo-se, ficamos com:

A d p

-

_A 3 3 2 l V(x)

₌

coshkx + ( _)senhkx _{+ -} _(A _X+ _{P d}

-

rp-+o

(:,,

Lim

d~,-+0

e(x)

=

parábola do 2Q grau

Lim M(x)

=

,fúnção~li near

(P,..o

----·

·~ -- .

..;.,/

Conforme pode ser observado, o principio da superp~ sição pode ser empregado, desde que o valor da força P seja man tido constante. Baseados neste fato, iremos agora introduzir os deslocamentos generalizados unitários para a dedução da matriz de rigidez de membro.

Façamos d = 1 e deixemos iguais a zero os demii~

3

deslocamentos generalizados, de acordo com a Figura 13.

Ao aplicarmos as condições de contorno para X= L, temos:

V(L) = O

(38)

(A coskl + 3 p - A 2 ( ) k FIG. 1 3 senkl + A 2 A = 2 P senkl - A 3 k(coskl - 1) senkl - kl e(L) = O De (2) temos que: (/ P - A f,1' .. \. ~,,_'·.; ___ 2_U,,-,

D

coskl p k - A senkl) 3

o

.

_.

.

1 L - A ) =O 3 p ( 7) A 2 + - =

o

(39)

A = 2 A 3 k senkL - P coskL 1 - coskL Ao igualarmos

(7)

e

(8),

obtemos: A = 3 p senkL - kL coskL k ( - - - ) 2 - 2 coskL - kL senkL Levando-se (9) em (8), encontramos: 1 - coskL A = P ( - - - ) 2 2 - 2 coskL - kL senkL (8) ( 9) ( 1 O)

Sabemos que neste caso, as expressoes encontradas p~ ra A e A, sao esforços por unidade de deslocamento, conse

3 2

quentemente são os coeficientes da matriz de rigidez de SM(3,3) e SM(2,3), respectivamente.

membro

,.~

Para que possamos tratã-los de ~orma mais convenien te, façamos o seguinte artificio:

A X

=

d = 1

2

Levando-se em consideração que A = SM(3,2)

3 jã

e

conhecido, podemos ao aplicar as condições de contorno em X =L, obter diretamente de (1):

(42)

onde: - - _:-:::-:::::--.-):._ p_

f

As . FIG-. ·14 k senkl A = P -2 2 - 2 coskl - kl senkl 3

Multiplicando o numerador e o denominador por 12(kl) :

12EI SM(2,2)

=

SM(5,5)

=

3 L

s

1

s

= 1 3 (kl) senkl 1 2 cp

(43)

A = - A 5 2 ( l 3) A + A = A L + l x P 3 6 2 ( l 4) De ( 13), podemos escrever: 12EI SM(5,2) = SM(2,5) =

s

3 l L

,,

Substttuindo em (14) a expressao conhecida:

SM(6,2) = SM(2,6) = 6EI 2 L

s

2

Pelo que foi visto, encontramos uma matriz de rigl dez igual a utilizada em análise linear, sõ que aparecem os coe ficientes S, /'"I .· c~e~}gnados como coeficientes de estabilidade

R; K. Li V e s l ey ' que caracterizam os efeitos de 2a. ordem

rentes da interação axial flexão.

por decor

No que diz respeito aos termos SM(l,l), SM(l,4), SM(4,4) e SM(4,l), podemos considerá-los iguais aos encontrados na análise linear, pois a menos que estejamos considerando efei tos de 3a. ordem, estes termos independem da não linearidade ge~ métrica aqui adotada.

(44)

Podemos então, escrever:

EA EA

o

L L

12 E I 6EI 12EI 6EI

s

o

s

L3 1 L 2 2 L3 1 L2 2

4EI _6EI _2EI

s

o

s

L 3 2 2 L ~ L

[sMJ

= EA

o

L 12EI

_CG'.EI

SIM.

_s

_{- --}

_s

3 1 ₂ 2 L L 4EI

s

L 3

Nos casos em que a força Pede tração,·devemos igual mente ao; jã~-efituado,: expressar os coeficientes de estabilida • ...,..., . . . -~ - ~ - -e

(45)

onde:

s

=

1 -2 ₆₀ ₈₄₀₀ ₇₅₆₀₀₀ ( 1 5) 2 4 6 (kL) ll(kL) 7(kL)

s

=

1 -3 ₃₀ '-2.5200 756000 2 4 6 (kL) l3(kL) 11 ( kL) S = 1 + + + 4 ₆₀ ₂₅₂₀₀ ₇₅₆₀₀₀

Desta forma, observamos que quando à-

~fÕrça_ -ã-xia

1 ' P se an~la, os quatro coeficientes tomam valor unitirio, deixan do de existir naturalmente o efeito de 2a. ordem. Entretanto, devido ã forma como foram inicialmente representados, fun·ções tr.!_ g~rlom~tricas ou hiperbÕlicas, os referidos coeficientes podem a presentar problemas de truncamento para valores do argumento kL

pequenos, pois como sabemos, em computadores digitais os valores das funções trigonomêtricas e hiperbÕlicas são encontrados atr~~ ves dos seus desenvolvimentos em serie limitados~

mente ê impossivel fazer-se numericamente os limites:

LimSi=l

~+O

i = 1,2,3,4

(47)

Empiricamente, foi verificado que no computador Bur roughs-6700 trabalhando com precisio simples, valores de kl meno

- 1

res que 10 ji provocam resultados desordenados nos cálculos.

Para tais casos, desenvolveu-se de uma maneira apr~ ximaáa a matriz de rigidez de membro, atravês do mêtodo dos ele mentos finitos.

2. 1. 2 _{MATRIZ DE RIGIDEZ PELO M.E.F.}

Suponhamos o elementosdesenhado na Figura 15 e adote

~

-mos ~S-f_~rÍ~õês - w(x). e'-_u_(x} _par_a~·r-ep.!..e~entãr_2~ deslocamentos

)_ ~-a·s dire-çoés y e x, "respe~c__t~vamenfe.

Y,w (x)

X., u (X)

L

(48)

Igualmente ao que foi visto, adotemos para represe~ tar os esforços generalizados em suas extremidades o vetor {A}, de acordo com a Figura 16.

A l A 2 A•

~c~---,--r

A2

A6

A

)~

{A} ₌ 3 A

iAs

A

..

5 A 6 ·F l,G. 1 6

Para melhor caracterizar o efeito de 2a. ordem, pod~ mos assumir a existência ,._E_a--fo_rJ§-_ax_i,_a_DP, que embora seja i gual

i

açao A, deve ser tratado de maneira diferente, conforme

l Figura 17. p - -

..

1f I G. 1 7 p 4

(49)

-Podemos agora escolher como funções de· interpolação de deslocamentos as seguintes expressões:

u(x) = a x + a 1 2 w(x) = a 3 X 3 + a 4 x 2 + a 5 X + a 6

Aonde _{\ 11}a, sao constantes a serem determinadas pelas

~

condições de contorno de deslocamentos generalizados {D}, con forme Figura 18. d 1 d4 ,-,.; d6 d 2 d {D} = 3 d2 _d5 d ₄ d • 5 d 6 FIG. 18

Aplicando-se as condições de contorno referidas, en contramos: U (X) = ( d - d ) 4 1 X + d L 1

(50)

ou, onde: (d + d ) 2(d

-

d ) 6 3 2 5 ₃ w(x) = ₍ + ) X L2 L 3 3(d

-

d )

_f2

1d + d ) 5 _'..:.::,.,:2. -.J 3 6 + ( ) X 2 L L u(x) = d (l - !;) + d !; w(x) !; = 1 ~ 2 3 3 2 + d (31; - 21;) + d L(!; - !; ) 5 6 X L + 2 + d X + d 3 2

Com base no que foi visto, podemos escrever mente a expressão da energia potencial total w:

direta

w = (energia de deformação) - (trabalho realizado pelas forças externas)

(51)

_·~

L 2

1

I

p _{( - )}dw _dx

2 dx

o

representa o trabalho realizado pela força P, em consequência da deflexão do membro.

t

devido ao aparecimento deste termo que os efeitos da interação axial flexão serão considerados.

S~ substituirmos as expressoes adotadas para u(x) e w(x) em lT e, posterformente, minimizarmos o funcional assim en centrado, obteremos a conhecida equação matricial do mêtodo de ri gidez:

[sM]

{D} = {A}

Aonde,

[sMJ

sera a procurada matriz de rigidez de membro.

- )

d = A L2

_lo

6 2

Devido a simetria da matriz de rigidez, _passaremos agora a abandonar os termos do triângulo interior da mesma (te~ mos em função de

c)

an

ad =

o

3

d

(53)

d) 6EI + SIM. + 4EI ( -

-L 2 15 P L )d

-

( -

ad 6 l 2 E I 6 P ,. ( - - - -)'d -L3 5 L " 5 (· 4EI J2 6EI ( -

-L2 SIM.+ ( - - PL)d = A L l 5 6 6 p -)d ] 0 5 p -)d ] 0 6 = A 5

(54)

u

(55)

o

+ ou, SIM. Ol' 6 p 5 L p 10 2 l 5

o

PL

o

!' .6'6 P p 10 ~ 5 L p _PL 10

!3-b

o

6 p p 5 L l O 2 - - PL l 5

(56)

onde:

i a matriz linear ou convencional, independe! te Aa força _,. _.

axiãT-:-

_....

..

P. _- >

e a matriz geomitrica, depende apenas·da f~rç~\ axial ~ - . - P. -~-,

A matriz de rigidez assim encontrada, foi utilizada na maioria dos programas de anãlise não linear de estruturas ti po pórtico plano de C.A .. Entretanto, embora nao se pareça com

a matriz de rigidez desenvolvi'~ª no item 2.1. l, iremos demonstrar que a mesma nada mais i que uma aproximação com as mesmas consi

('\

derações que a matriz transcendente inicialmente deduzida.

·~

Procuremos agora apresentar de maneira similar ã ado tada no item 2.1. l, a nova matriz de rigidez encontrada. Para tanto, devemos representar os coeficientes de estabilidade, atra vés de uma soma de parcelas como se segue:

Cã·l culo de S : 1 l 2EI L3

s

= 1 12 E I 6 p 5 L

(57)

S = 1 -Cãlculo de S : 2 6EI

s

= 2 2 L

.

. .

s

= 1

-2 Cãlculo de S: 3 4EI L

s

= 3 2 2 PL (kl) = 1 -lOEI 10 6EI 2 L 2 PL 60EI 4EI L = p 10 1

-2 PL 1 5 . :, (kl) 2 60 PL 2 (kl)2

s

=

1 -

=

1 -3 Cãlculo de S: 4 30EI 30

(58)

2EI L

s

4 2EI

s

-. - - + PL 30 4 L 2 2 PL (kL) = l + = l + ,----60EI 60

De acordo com o esperado, notamos que as expressoes encontradas, correspondem aos dois primeiros termos do desenvol vimento em série dos coeficientes de estabilidade obtidos em (15).

Devemos observar que a aproximação decorre de assu mirmos uma parábola do 3Q grau para representar os deslocamentos w(x), ao invés da expressão exata encontrada para v(x) no item

2.1.1. _{Porém, baseando-se no fato de que a parábola do} 3Q grau

representa de maneira exata a função de deslocamentos y em uma análise linear geométrica. Adotamos, para manter ~oerência com a distribuição de momentos fletores ao longo do membro, esta formulação nos casos em que o argumento kl assume valores meno res que 10 - 1 _• ou seja:

2

M(x) = d (w(x)) EI

2 dx

(59)

Consequentemente, basta que tenhamos obtido os valo res de A e 3 que definido. M(x) = A

6 para que de acordo com a Figura 19, M(x) fi

FIG. 1 9

(A + A )

6 3

X - A

L 3

Finalmente, podemos tambem representar as expressoes (3) e (6) encontradas em 2.1.1, em função do momento fletor atu ante em cada extremidade.

A = -6 De ( 3) , temos : (d P - A) 3 2 (A coskl + -3 k senkl)

(60)

A (A + A coskL) 2 6 3 k d = 3 _p M(x) = senkL p Substituindo em (3), vem: (A + A coskL) 6 3 senkL senkx - A coskx 3

Da mesma forma, obtemos de (6):

(A + A coshkL)

6 3

M(x) = - - - senhkx - A coshkx

3

senhkL

klsenkl

-

2coshkl + klsenhkl

k =

-fP.

EI

"'

N .J

(62)

2. 2 CARACJ_ÉR!STICAS MECÃNICAS DE MEMBRO

,.

,No item sequente, apresentaremos o processo adotado

,.,

para considerar o efeito da nio linearidade física, juntamente com as considerações de equilíbrio de cada seçio de um membro de concreto armado.

Posteriormente, mostraremos o procedimento empregado para encontrarmos a rigidez secante i flexio e a rigidez secante i deformaçio axial representativas de um membro.

2. 2. 1 RIGIDEZ SECANTK DE UMA SEÇÃO DE C.A.

Partindo das considerações de equilíbrio, podemos e~ contrar a rigidez secante ãs duas principais solicitações

normal e momento fletor) de uma seçio de C.A •• Para tanto, ir! mos procurar qual a curvatura (cv) e qual a deformaçio ao nível do centro de gravidade da seçio de concreto (E), que irio fazer

g

:""e

com que os esforços resultantes dos materiais constituintes, se

V

fam iguais aos esforços solicitantes.

Suponhamos uma seçao de concreto armado submeti d a aos esforços solicitantes N e M conforme Figura 20.

(63)

y

FIG. 2 O

Para que seja encontrado o equilíbrio, deveremos ter os esforços internos

&, (e:)A .

₌

N ( 16) S 61 8 i=l NFS

l

/ ·~, + y â· (e:)A .

=

M / S S 1 _s i=l dA

e representa a integral de area ao longo da seçao

de concreto.

(64)

tensão no aço sob a deformação E.

A •

S1 area de aço no nível i.

NFS numero de níveis de armadura.

• . r / •

Pelo visto, nossa dificuldade resume-se em e_ncJ)_nt_rar os valores de cv e E que satisfazem ã (16).

g

Objetivando solucionar este problema, utilizou-se o método numérico de Newton-Raphson para a resolução do

sistema de duas equaçoes não lineares.

referido

Desenvolvendo as funções N (CV' E ) e M (CV' E ) em

r g r g

série de Taylor em torno a um ponto conhecido (cv,

E~),

encontra

g

-mos ao desprezar os ter-mos de ordem superior, as seguintes equ~ çoes:

N _s

₌

N _r

( cv,

E:o l

+ aNr(cv, Eg)

;;.)

,SC\I; " + aNr(cv, Eg) !iE

g _g

acv êv dE E

g g

( l 7) M

₌

M

(cv.

E---i

+ aMr(cv, Eg) ,SCV ₊aMr(cv, Eg) ., ,SE

s r g g

acv CV dE E

(65)

Se levarmos em consideração que o valor das quatro derivadas parciais que aparecem no ponto

(cv,

Eg) podem ser obti dos aproximadamente por:

variãveis acv a e: g acv ae: g Onde .,,

...

CV e CV õCV = e; ôe: g g = CV e; g ôCV e 6CV 6e: g

sao pequenos acrêscimos dados

- -t>

respectivamente, no ponto (cv, e ; ) .

g

as

Observamos que o sistema linear obtido em (17), pode ser agora resolvido para as incógnitas ôcv e oe:g.

(66)

Feito isto, devemos repetir a operaçao anterior, so que o pp,nto em torno do qual

se

desenvolvem as funções

ser

(cv,

E ),

_g onde:

-

CV = CV+ ÔCV • e: = e: + ôe: g g g d e v e rã

Repetimos o processo atê que o ponto assim determina do, seja aquele que a menos de um erro admissível; satisfaça ao s is tema ( 1 6 ) .

Foram adotados no programa, os seguintes valores p~ ra t.cv e t.e: : _g

t.cv = CV X

sendo H a altura da seçao.

Devido ã rãpida convergência do mêtodo, foi verifica do que em media três a quatro iterações são necessãrias para ob

5

(67)

Uma vez encontrados os valores de cv e E que satis

g

fazem as condições de equilíbrio, podemos então definir os valo res das características mecânicas da seção:

M M (cv, ~ ) s r g EI

₌

=

~ CV CV " N (CV, N E ) s r g EA = =

=

E E g g

t

conveniente observar que o método de Newton-Raphson, por ser de convergência local, é muito sensível quanto â escolha do ponto inicial (cv,

E).

g

Apõs o conceito de rigidez de membro, voltaremos ao assunto demonstrando qual o critério adotado na escolha d este ponto.

(68)

2.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS RESULTANTES DE UMA SEÇÃO DE C.A.

Descreveremos a seguir o método numérico utilizado para calcular os esforços resultantes de uma seção de C.A., sub metida a uma curvatura cv e a uma deformação ao nivel do C.G. da

e: •

g

O referido cálculo pode ser separado em duas etapas:

a) Cálc.ulo doJ.i e1.i60Ji.ço1.i Ji.e1.iul.tante1.i da 1.ieç,110 de c.onc.Ji.eto.

O artificio empregado consiste em dividirmos a seçao de concreto em faixas cujas ãreas são calculadas e supormos que existe deformação constante, igual

ã

deformação no seu nivel me dio, atuando em toda sua altura. _{Para~melhor compreensão,} _ob servemos a seçao apresenta~a na Figura 21, dividida em n faixas e submetida a um par qualquer (cv, e:):

g

A. areada faixai

Cl.

e:. deformação média atuante na faixai

l.

yi distância entre o nivel médio da faixai e o C.G. da seção de concreto medida segundo o eixo y.

(69)

/~ -

,.

( ) 0).~ e: . ' e 1 y '""'""'""--+----_-_--!_ - -

=rv

i - -CG Ac1 FIG. 21

Mediante esta aproximação, podemos calcular a tensão suposta constante ao longo de cada faixa, para posterio! mente encontrar as contribuições de esforços correspondentes a cada uma delas.

Desta maneira, transformamos as integrais apresent! das em (16), em somatõrios:

I

A e

I

A e

ifi (e: )dA "

e e n

l

A • X (Jlf ( ,; '; e: . ) C1 C 1 i=l n

l

y. x A. x a)(e:.) 1 C1 ·'C 1 i=l

(70)

Este cálculo e imediato, pois a area e a posição das camadas de aço são conhecidas, faltando apenas encontrar a defor mação ao nivel de cada posição, para mediante o diagrama de cál culo encontrarmos suas tensões correspondentes.

2.2.3 RIGIDEZ SECANTE DE MEMBRO

De acordo com o que foi visto no item 2.2.1, podemos notar que um membro de concreto armado, submetido a esforço nor mal constante

é

a momento fletor variável ao longo de seu compri mento, tem para cada seção valores diferentes de EA e EI

tes.

secan

Para que possamos encontrar valores representativos das caracteristicas de membro, devemos consequentemente.adotar o valor medio de cada rigidez secante.

Foi então desenvolvido o seguinte processo:

Suponhamos o membro desenhado na Figura 22, com EA(x) e EI(x) variando

a6

_,/. longo de seu comprimento.

(71)

L X

----FIG .22

fy

1 ÊI (x 1~ - + - - - L X

---A maneira mais correta de obter seus valores médios (EAi e Eii) é mediante as seguintes expressões:

L

f

EA(x)dx EA. =

o

1 L L

f

EI(x)dx EI. =

o

1 L

i indica o membro em questão.

Na prãtica, adotou-se calcular o valor das _caracte rísticas mecânicas em cinco seções e obter o valor das integrais através da fÕrmula de Newton-Cotes para cinco pontos:

(72)

L

f

f(x)dx = !L

90 (7f 1 + 32f 2 + 12f 3 + 32f ~ + 7f) 5

o

Cabe notar que esta fórmula equivale a passar pelos 5 pontos determinados, uma parãbola do 4Q grau e integrar.

Finalmente, devemos observar que no item 2.2.l, ao ut1lizarmos o mêtodo de Newton-Raphson, precisãvamos, para ini ciar as iterações, de um ponto de partida

(cv,

E )

que, para g~

g

rantir a convergência não poderia ser muito distante da resposta.

Com o intuito de contornar este inconveniente, ado tou-se o seguinte critêrio de escolha inicial:

CV = e; g = j-1 EI. 1. j N s j-1 EA i

j indica a etapa de cãlculo i indica o membro

(73)

onde: j-1 EA. 1 j j M e N s s 2.2.4

rigidez secante ã flexão do membro em que a se

ção está localizada, obtida na etapa de cálculo anterior.

rigidez secante. ã deformação axial do membro em que a seção está localizada, obtida na etapa de cálculo anterior.

esforços solicitantes na etapa de cálculo em que~ tão.

ASPECTOS GERAIS DO CONCEITO DE RIGIDEZ SECANTE

Sabemos que em programas de análise linear, ou mesmo nos programas em que a nao linearidade física é levada em conta,

"'

po'r'ém com seçoes homogêneas, os valores das características meca nicas sao sempre positivos. Entretanto, tal não acontece qua.!! do trabalhamos com seções de concreto armado.

Este comportamento, embora raro, pode ocorrer no tr~ balho que apresentamos. Sendo que, sua Ünica consequência é a

(74)

de tornar a matriz de rigidez global nao mais definida positiva. Porem, nenhum problema de convergência ê encontrado.

2.3 M[TODO ITERATIVO

Em seguida, apresentaremos o metodo iterativo jã des crito anteriormente para a obtenção de um ponto da curva carga flecha não linear de uma estrutura submetida a um carregamento constante, para no item seguinte, utilizã-lo no processo iterati vo incremental adotado na pesquisa da capacidade de carga.

2. 3. 1 ANÁLISE DE UM CARREGAMENTO CONSTANTE

O referido metodo iterativo, pode ser melhor visuali zado pela Figura 23.

(75)

i

Fo

~

1 1 1 1 1 a• T 1 1 \ onde: \ -i d Fo F ÓI FIG. 2 5

º'

~ DIAGRAMA CARGA FL·E·CHA REAL o n = a•

,K + função de EI, EA e P de cada membro.

.

'

·'

Devemos salientar que a matriz de rigidez inicial do processo, e montada com os seguintes valores para os parâmetros não lineares:

p. =

o

(76)

-10 N .(0,10 _ri ) EA. = 1 -10 -10 M .(10 _r1 /yb, 10 ) E I • = 1 _ 1 O 1 O /yb i = 1, numero de membros.

Sendo yb a distância do centro de gravidade da se çao de concreto

ã

borda inferior da mesma.

2.3.2 PESQUISA DA CAPACIDADE DE CARGA

Nas anãlises em que a pesquisa da capacidade de car ga e solicitada, o programa trabalha com o fator de carga À, que vai alterando o valor das cargas variãveis atê que seja atingida a capacidade de carga da estrutura, a menos de um erro

ve 1 •

admissí

Em tais;casos, ao iniciarem as iterações para carre _e gamentos posteriores ao primeiro ·valor/' de carga, a matriz de ri gidez inicial, ê aquela obtida quando existe convergência no vàlor/de carga anterior, conforme Figura 24.

(77)

À., H

----J N = etc I I º

F

1 1 I I I ,Â_ J\. MAX. Às .71. ' FIG. 2 4 K 1K =

f (

EA,EI,P) 1 1 1

Para melhor compreensao do processo incremental, a presentamos o fluxograma esquemãtico para a obtenção de

onde:

À

max

des incremento do fator de carga (inicialmente igual a 0,25)

IFIN indice que indica que a capacidade de carga da es trutura jã foi ultrapassada em algum ~alor de car regamento.

(78)

A

iterativo

'j _{j- l'}

j-1 ,;,

j

EA.

-

EA. _~ EA. X tol

1 1 1 '.• "' t.,) j-1 j-1 j E I .

-

E I. _~ E I. X tol 1 1 1 onde:

i representa o membro (i = 1, numero de membros)

j representa a iteração em questão. tol erro admissível na convergência.

força

Convém acrescentar que a convergéncia em relação a a,x,ial I P. de cada membro, é sempre obtida com a verifica

1

ção anterior, pois seu valor atua na matriz de rigidez de membro, consequentemente, também interfere nos esforços

0

obtidos nas ex

tremidades dos elementos e na distribuição de momentos fletores, fazendo com que os valores de EA. e EI. se modifiquem.

(80)

CAP!TULO III

PROGRAMA AUTOMÃTICO

Com base na teoria exposta, foi elaborado um progr!

.

ma automático em linguagem FORTRAN, adaptado ao computador Bur-roughs-6700.

3.1 SISTEMAS DE REFERtNCIA

O programa utiliza dois sistemas de referência:

a) Sistema de Referência Local{; b) Sistema de Referência Global.

(81)

3. l . l SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL

Este sistema e fixo em relação a cada membro, confor me Figura 25.

Devemos ressaltar que o sentido do eixo x, definido pela incidência do membro (nÕ j para nõ k), deverã ser sempre com

o nGmero do nõ k maior que o nGmero de j.

O sentido do eixo y, ê definido ao fixarmos o eixo z

sempre voltado para o observador, pela regra do triedro direto.

r

~---~---·

..

,

--

X

NÓ J NÓ 1(

Ff6. 2 5

Tanto as liberações introduzidas nos membros, quanto as açoes generalizadas da estrutura nas extremidades de cada ele mento, deverão seguir este sistema de referência, com a

ção da Figura 26.

(82)

3 6

FI 8. 2 6

Devemos tambêm observar, que a definição da seção transversal dos membros, ê feita segundo o eixo y, passando sem pre a origem (eixo do membro), pelo centro de gravidade da seção de concreto. Figura 27. y y X - - -

... .

K ,FIG. 2 7

(83)

Entretanto, para facilitar a entrada de dados, o usu ãrio poderã, ao definir a seção transversal de cada membro, ado tara origem em qualquer ponto (por exemplai borda inferior da seção, conforme Figura 28), que o programa efetua automaticamen te, a transferência das coordenadas para o C.G. da seção de con c reto.

Y'

H

l

FIG. 2 8

Tendo em mente esta facil i.gade, podemos apresentar o procedimento para definir as seções transversais de concreto ar mado de cada membro:

a) Se~ão de eone~e~o:

A definição ê feita por pontos, escolhidos no senti do crescente do eixo y', sendo que, para definir cada ponto, de vemos fornecer a largura Ütil de concreto ao nivel do ponto e o respectivo valor da ordenada y'.

(84)

r

importante observar que apenas os pontos em que o correm descontinuidades de variação da largura útil d! seçao, de vem ser considerados. Ou seja, para a seçao da Figura 28,

ªP!

nas os pontos com y'

=

O e y'

=

H, bastam para a caracteriza çao da seção de concreto.

No item 2.2.2, foi verificado que para efetuarmos as integrações numêricas, objetivando encontrar os esforços resul tantes da seção de concreto, deverfamos dividir a seçao em fai xas.

O numero total destas faixas ê variãvel e fica a cri têrio do usuãrio sua distribuição. Para tanto, foi adotada sub-divisão em zonas, conforme Figura 29.

y y, . - - - - + - - - ~ - - - p!.116 ZONA 5 - - - p!Jle ZONA 4 p !JI 4 CG ZONA 3 - - - ! ptl3 _ _ _ _ _ ~O!_A !_ _ _ _ _ _ _ _ 1PLP2 ZONA 1 ~ ' -F 1 8. 2 9 a

(85)

ou seja:

Zona i está localizada obrigatoriamente entre os po~ tos i e i+l.

O numero de faixas em que se quer dividir cada zona, deverá ser dado pelo usuário, posteriormente ao fornecimento dos pontos que definem a seção de concreto.

A titulo informativo, foi verificado que com o nume ro total de faixas em torno de 15, obtemos resultados satisfatõ rios.

b) A~madu~a:

A definição e posicionamento das camadas de aço C.A., deve ser feita segundo o mesmo eixo y', sendo que, para cada ca mada, devemos fornecer o valor da ãrea de aço e a respectiva or denada. Figura 30.

Apresentamos a seguir um exemplo completo para~ me lhor assimilação do que foi exposto:

(86)

70cm •

•

• t

', y

-.

-•

•

• CG

•

FIG. 30 5 o cm---,,. ' ! . ~ -y, có

•

cá!! 4 e d.o. s e li.a 2 e da

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