Caracterização térmica de filmes finos através da microscopia fototérmica de reflexão

Instituto de Física Gleb Wataghin

Caracterização Térmica de Filmes Finos

através da Microscopia Fototérmica de

Reexão

Laura Ramos de Freitas

Dissertação apresentada aoInstituto deFísica `Gleb

Wataghin',UniversidadeEstadualdeCampinas,para

obtenção do grau deMestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Manoel Mansanares

Campinas

Veja, não me diga que a

cançãoestá perdida,

Tenha fé em Deus, tenha fé

navida,

Tenteoutra vez.

Beba,pois a água viva ainda

está nafonte,

Vocêtemdoispésparacruzar

aponte,

Nada acabou.

Tente, levante sua mão

sedenta e recomece a

andar,

Não pense que a cabeça

aguenta sevocê parar,

Há uma voz que canta, uma

voz que dança, uma voz

quegira bailandonoar.

Queira, basta ser sincero e

desejar profundo,

Você será capaz de sacudir o

mundo,

Tenteoutra vez.

Tente e não me diga que a

vitória está perdida,

Se é de batalhas que se vive

avida,

Tenteoutra vez.

Dedico este trabalho aos meus pais pelo amor, pela educação e pelas oportunidades

Agradecimentos

 Agradeçoao Antonio pela orientação e amizade;

 AoProf. Dr. MárioBica pelofornecimentodas amostraspoliméricase pelo

apren-dizado;

 À Jochen Bolte,pelocrescimentodos lmesdeouro, nogrupo doProf. Josef Pelzl,

naRuhr-Universität-Bochum, Alemanha;

 AoSales pela deposição dos lmesde alumínio;

 AoCosta pelos espectros dos lmes;

 À Priscila eao Jeerson Bettinipelasfotos dos lmes;

 Aopessoaldolaboratório: Dinah,Jerias,Douglas,Paulo,ZéRoberto,Max,Manoel,

Alberto e aoProf. Edson, pelaconvivência agradável;

 Aopessoal da Bibliotecapeloatendimentoatencioso, emespecial à Ritae àDina;

 Às secretárias doDEQ pela simpatiae àRosepelasguras;

 Aopessoal da secretariadepós graduação pelapaciência;

 À Roma, Jeferson Ortiz, Cabelo e ao Demétrio por me convencerem e ajudarem a

utilizaro L A

T

E X;

 À Marta, à Pilae aoNewton pelaajuda com asguras complicadas;

 À Roma e aoLazáro pelaajudana impressãoe encadernação;

 À todos os amigos da pós: Pila, Martinha, Fran, Roma, Dani, Banana e Super,

Lázaro, Ju, Eliana e Gabriel, Marcelo, Nury, Daniel, Larissa e Cláudio, Rodrigo,

Tersio, Jef, Cabeloe Fe, Cibelle, Dedé, Henrique, Vitor, Cínthia, Doretto, Urbano

e aosJúlios;

 À todos os meus amigosque me apoiaram delonge;

 AoLuciano porter aparecido epermanecidona minhavida;

 Aosmeuspais,CéliaeCunha,peloprivilégiodeserlhadeleseaomeuirmãoJoão;

Resumo

A caracterização térmica de lmes nos tem altíssima relevância tecnológica devido

à sua ampla utilizaçãona fabricaçãode dispositivos. Além disso, apresentatambém um

aspecto fundamental já que as propriedades térmicas podem ser alteradas neste tipo de

estrutura devido ao rearranjo dos átomos ou moléculas. A Microscopia Fototérmica de

Reexão se mostrouadequada para realizareste tipo decaracterização,com a vantagem

deserumatécnicasemcontato. Estatécnicafundamenta-senavariaçãodareetânciada

amostra,causadapelageraçãodecalor quandoseincide luzlasermoduladasobre a

mes-ma. A onda térmica assim gerada é sondadaatravés deum segundofeixe laser contínuo

que é reetido na superfície do material. Construímos, então, um modelo teórico

tridi-mensional quedescreveapropagaçãodeondas térmicasnestas estruturas, incluindouma

resistência térmicana interface lme/substrato. Foram feitassimulaçõescomputacionais

para amostrasde ourosobre vidro, polímerosobre vidroe polímerosobre silício.

Basica-mente,pode-se realizar dois tipos deexperimento (simulação): xar a posição dos feixes

evarrer afreqüênciademodulação,ouxarafreqüênciademodulaçãoe variaraposição

relativa dos feixes. Neste segundo caso, privilegia-se a difusão lateral e através de uma

soluçãoassintótica (para grandesdistânciasdafonte), encontra-se a relaçãodedispersão

da onda térmica. Através dos resultados numéricos pudemos encontrar as condições

ex-perimentaismaisapropriadasparaevidenciarum determinadoparâmetroenvolvidoneste

problema. Foramrealizadasmedidasemlmesmetálicossobrevidroelmesdepolímeros

depositados aplasma sobre substratos de vidroe de silício. Os resultados experimentais

Abstract

Thin lm characterization is extremely important in many technological areas.

Be-sides, it has also a fundamental aspect, for the thermal properties can be modied in

thesesystems (incomparisonwithbulkvalues). PhotothermalMicroscopyis widelyused

with thispurpose, becauseitisa noncontactsensitivetechnique. This techniqueisbased

onthe dependence of the sample reectance with temperature. A modulated laser beam

is used toheat the sample, and the thermal wavesgenerated are monitored by asecond

continuous laser beam. A tridimensional model was developed to describe the thermal

wavepropagationinthese structures,includingathermalresistanceatthe lm/substrate

interface. Wehavemade numericalcalculations for: gold and polymer lms onglass and

polymer lmsonsilicon. Onecan maketwokindsof mesurement: seta distancebetween

the beams and vary the modulation frequency or set a frequency and vary the position

betweenthebeams. Inthesecondcase,thelateralheatdiusionisevidenced,andonecan

nd the dispersion relationof thethermalwave. Bynumericalresultswecoulddetermine

the experimental conditions which emphasize a parameter involved in this problem. We

have mademeasurementsinmetallic lms onglass and in polymer lms on glass and on

Epígrafe v

Dedicatória vii

Agradecimentos ix

Resumo xi

Abstract xiii

1 Introdução àcaracterizaçãotérmicade lmesnos: técnicas

experimen-tais 1 1.1 Introdução . . . 1 1.2 TécnicasConvencionais. . . 2 1.3 TécnicasFototérmicas . . . 5 1.3.1 Fotoacústica . . . 5 1.3.2 EfeitoMiragem . . . 6 1.3.3 LenteTérmica. . . 7 1.3.4 MétodoPiroelétrico. . . 7 1.3.5 MétodoCalorimétricoAC . . . 7

1.3.6 Deexãode Feixepordeformaçãode superfície. . . 8

1.3.7 Grade dedifração fototérmica . . . 8

1.3.8 MétodoFlash . . . 8

1.3.9 Técnicasfototérmicaspulsadas . . . 9

1.4 MicroscopiaFototérmica deReexão . . . 10

2 Propagaçãode caloremlmessobresubstrato: teoriaecálculos numéri-cos 13 2.1 Denição doproblema . . . 13

2.3 Problemaunidimensional . . . 14

2.4 Problematridimensional . . . 18

2.4.1 Resultadosnuméricos emfunção dafreqüência - Inuênciade R T . 25 2.4.2 Resultadosnuméricos emfunção dafreqüência - Inuênciade L . . 30

2.4.3 Resultadosnuméricos emfunção dafreqüência - Inuênciade  . . 32

2.5 Relaçãode dispersão da onda térmica . . . 34

2.5.1 Relaçãode dispersão modicada. . . 35

3 Resultados experimentais: lmes metálicos e poliméricos 49 3.1 Metodologiaexperimental . . . 49

3.2 ResultadosExperimentais . . . 50

3.2.1 FilmesFinos Metálicos . . . 50

3.2.2 FilmesFinos Poliméricos . . . 60

3.2.3 FilmesFinos deSílica . . . 66

3.3 Discussão dos resultados experimentais . . . 68

4 Conclusões e perspectivas 71 A Transformada de Hankel 73 B Programas utilizados nas simulações 77 B.1 Coecientede Reexão . . . 77

B.2 Temperatura3D emfunção da freqüência. . . 80

B.3 Temperatura3D emfunção da posição . . . 83

B.4 Relaçãode dispersão . . . 87

1.1 Esquema deaparatoexperimentalconvencional . . . 3

1.2 Esquema experimental dométodo3! . . . 4

1.3 Princípiobásico doefeitomiragem . . . 6

1.4 Princípiobásico dométododegrade de difração fototérmica. . . 9

1.5 Princípiodefuncionamento datermo-reetânciade pico-segundo. . . 10

1.6 Esquema da montagem experimental da Microscopia Fototérmica de Re-exão. . . 11

2.1 Reexão etransmissão da ondatérmica nainterface lme/substrato. . . . 13

2.2 Ondatérmica numa interface (Caso unidimensional). . . 15

2.3 Módulo e fasedo coeciente dereexão nainterface ouro/ouro . . . 19

2.4 Módulo e fasedo coeciente dereexão nainterface ouro/vidro . . . 20

2.5 Módulo e fasedo coeciente dereexão nainterface polímero/vidro . . . . 21

2.6 Módulo e fasedo coeciente dereexão nainterface polímero/silício . . . 22

2.7 Esquema daamostra. . . 23

2.8 Temperaturanasuperfíciedo`lme'deourode1msobreouro emfunção dafreqüência - inuência deR T . . . 27

2.9 Temperaturanasuperfíciedolmede ourode1m sobrevidroem função dafreqüência - inuência deR T . . . 28

2.10 Temperatura na superfície do lme de polímero de 1m sobre silício em função dafreqüência - inuência deR T . . . 29

2.11 Temperaturana superfície dolme deouro sobre vidro emfunção da fre-qüência -inuência de L . . . 31

2.12 Temperaturana superfíciedo lme de polímero sobre vidro em função da freqüência -inuência de L. . . 33

2.13 Temperaturanasuperfíciedolmede ourode1m sobrevidroem função dafreqüência - inuência de . . . 34

2.14 Temperaturanasuperfíciedolmede ourode1m sobrevidroem função daposição . . . 36

2.15 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-resultado numérico . . . 37

2.16 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-resultado analítico . . . 41

2.17 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-inuência deL . . . 41

2.18 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-inuência de . . . 42

2.19 Temperatura na superfície do lme de polímero de 1m sobre silício em

função daposição . . . 43

2.20 Relaçãodedispersãodaondatérmicapara lmedepolímerosobre vidroe

sobre silício . . . 44

2.21 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-inuência deR

T

- resultado numérico . . . 45

2.22 Relaçãodedispersão daondatérmicapara lme depolímerosobre vidro

-inuência deR

T

. . . 46

2.23 Relação de dispersão daonda térmica para lme de polímero sobre silício

-inuência de R

T

. . . 47

2.24 Relação de dispersão da onda térmica para lme de ouro sobre vidro

-inuência deR

T

- resultado analítico . . . 47

3.1 Amplitude e fase do sinal de reetância fototérmica medidas no lme de

ouro 2sobre vidro emfunção daposição . . . 52

3.2 Amplitudeefase do sinalde reetância fototérmicamedidasnos lmes de

ouro 1e 2 sobre vidroemfunção da posição . . . 53

3.3 ResultadosexperimentaisRelaçãodedispersãocalculadaparaolmede

ouro 1sobre vidro -inuência de  . . . 54

3.4 ResultadosexperimentaisRelaçãodedispersãocalculadaparaolmede

ouro 1sobre vidro -inuência de L . . . 55

3.5 Medida daespessura para olme de ouro 1sobre vidro . . . 56

3.6 Medida daespessura para olme de ouro 2sobre vidro . . . 56

3.7 ResultadosexperimentaisRelaçãodedispersãocalculadaparaolmede

ouro 2sobre vidro. . . 57

3.8 Amplitude e fase do sinal de reetância fototérmica medidas no lme de

alumíniode100nm sobre vidroemfunção da posição . . . 58

3.9 ResultadosexperimentaisRelaçãodedispersãocalculadaparaolmede

3.11 Resultadosexperimentaisemfunçãodafreqüênciaparaolmedealumínio

de100nm sobre vidro . . . 62

3.12 Micrograadeuma regiãodaamostra depolímerosobre silíciomostrando

aação do laser sobre olme . . . 63

3.13 Amplitude e fase do sinal de reetância fototérmica medidas no lme de

polímerode 1;4m sobre vidro . . . 64

3.14 ResultadosexperimentaisRelaçãodedispersãocalculadaparaolmede

polímerode 1;4m sobre vidro . . . 65

3.15 Espectro detransmitânciado lme depolímero de1;4msobre vidro . . . 66

3.16 Micrograadolme de polímeroapós vácuo . . . 67

3.17 Micrograadolme de polímeroimplantado . . . 68

3.18 Amplitude, fase e componenteDC dosinal de reetância fototérmica

me-didas nolme depolímero implantado . . . 69

3.19 Resultadosexperimentaisdarelaçãodedispersãopara olme depolímero

de1;8msobre vidro recoberto de alumínio . . . 70

Introdução à caracterização térmica de

lmes nos: técnicas experimentais

1.1 Introdução

A caracterizaçãotérmicadelmesnos ganhouextremaimportânciatecnológica,

vis-toqueaindústriadedispositivoseletrônicosestácadavezmaisbaseadaem processosque

envolvemdiversascamadasmuitonas. Apresençadelmesnostambéméfundamental

em dispositivos ópticos. Esta importância advém do fato de que as propriedades

térmi-cas destas estruturas podem diferir das propriedades do mesmo material maciço (bulk),

devido ao rearranjo dos átomos ou moléculas. Dependendo do processo de crescimento,

das condições de deposição ou até mesmo da espessura, pode-se obter lmes com

pro-priedades físicas distintas. O desempenho de dispositivos eletrônicos e optoeletrônicos,

bemcomo defeitos e falhasnos mesmos,está intimamenteligadoao escoamentodocalor

nestas estrututas.

O objetivo deste trabalhofoi a utilizaçãodaMicroscopiaFototérmica de Reexão na

caracterizaçãotérmica delmes nos sobre substratos. Como veremos adiante, esta

téc-nicaapresentaaltaresoluçãoespacial(m),epermiteportantoacaracterizaçãolocaldos

lmes. O principalparâmetro térmico obtido neste tipo de investigação é a difusividade

térmica. Alémdisso, emcertascondiçõesexperimentaispode-seobservar,eventualmente,

uma resistência térmicade contato entrelme e substrato.

Dentro doobjetivoacima,dividimos otrabalhoemduas partes: a primeira,de cunho

teórico e a segunda experimental. A primeira volta-se para a modelagemdo problema e

para o cálculo numérico da temperatura na superfície do lme para diferentes amostras

e condições experimentais. Particular atenção é dada aos lmes pouco condutores de

calor(poliméricos), umavezquealiteratura nãoaborda estetipodeestudo. Nasegunda

Novamente,as medidasemlmes poliméricoscom esta técnica(caracterizaçãolocal) são

originais. Como será discutido, hádiculdades experimentaisadicionaisneste caso, para

as quaisapontaremospossíveissoluçõesao nal dotrabalho.

Naspróximasseções,vamosdecreveralgumastécnicasexperimentaisempregadaspara

acaracterizaçãotérmicadelmesnos. Estastécnicaspodemserdividasemdoisgrandes

grupos: osmétodoselétricos,nos quaisuma correnteelétricaaqueceo materialvia efeito

Joule, e os métodos fototérmicos, nos quais a amostra é aquecida através da absorção

de luz. Na última seção deste capítulo detalharemos o funcionamento da Microscopia

Fototérmica deReexão.

No capítulo2, será mostrado um estudo téoricoda propagaçãode ondas térmicasem

lmes nos sobre substratos. No capítulo 3, apresentamos os resultados experimentais

obtidos com a Microscopia Fototérmica de Reexão em lmes metálicos sobre vidro e

poliméricos sobre vidro e silício. Por m, o capítulo 4 traz as conclusões e perspectivas

deste trabalho.

1.2 Técnicas Convencionais

Nesta seção descreveremos o princípio de funcionamento de alguns métodos não

fo-totérmicos empregadosnacaracterizaçãotérmicadelmes nos. O termocaracterização

térmica é muito amplo, podendo dizer respeito a diversas propriedades, tais como

con-dutividade térmica, calor especifíco, expansão térmica, etc. Vamos nos concentrar em

técnicas voltadas para a medida da condutividade térmica k ou da difusividade térmica

 , queestá relacionadacomaprimeiraatravésdaexpressão= k

c

, ondeéadensidade

volumétrica do material e c seu calor especíco. Isto porque os métodos fototérmicos

trazem este tipode informação,emgeral.

A gura 1.1mostraum esquema proposto porKelemenem1976 [1],para medira

di-fusividade térmicade lmes nos. Um oF éutilizadopara produzir um pulso decalor.

Ele ca sobre a superfície da amostra A (lme/substrato) e uma corrente o atravessa

durante um curto período de tempo (1-3 s). Para medir a temperatura, são utilizados

dois termopares em posições diferentes. O bloco de cobre C é utilizado para regular a

temperatura do bloco B, que é isolante. Medindo a temperatura em função do tempo

nestes dois pontos, pode-se determinara difusividadetérmica dolme, desde quea

difu-sividade térmicadosubstrato sejaconhecida. É precisoconhecer também aespessura do

lme. Para encontrar a condutividade térmica é necessário saber a densidade e o calor

espessuras de50a 300nm. A grandedesvantagem destemétodoé ocontato dos os com

a superfície dos lmes, oque inviabiliza medidasdeste tipo emlmes pouco resistentes.

Figura 1.1: Esquema de aparato experimental convencional para medir a difusividade

térmica: A é o substrato com um lme no, B é um bloco isolante, C é um bloco de

cobre, F é um o com diâmetro de 0.1mm utilizadopara produzir o pulso decalor, Te

1

e Te

2

sãotermopares de ferro-constantan (os com 510 2

mmde diâmetro). Extraída

daRef. [1].

Outro métodomuito utilizado para caracterizarlmes nos é o 3!, criado por Cahill

[2, 3]. Uma ponte metálica é depositada sobre o lme dielétrico (gura 1.2). Uma

cor-rente harmônica, de freqüência angular !, passa através da linha de largura w e aquece

a amostra com uma freqüência 2!, devido ao efeito Joule, já que a potência é

dissipa-da nesta frequência. Medindo a voltagem em 3!, V(3!) / R(2!)I(!), obtém-se a

resistência da mesma linha metálica, que é proporcional à variação de temperatura da

amostra. Assim, pode-se obter a difusividade térmica e, a partir dela, a condutividade.

Dependendo daespessuradolmee dafrequência utilizada,obtém-se aspropriedadesdo

mesmo sem que se conheça asdo substrato. Estemétodo foi utilizadopara medir lmes

dea-Si:H sobrealumínio, dedezenasde micrometros.

Existem várias técnicas similares ao método 3!, que utilizam pontes de lmes

resistênciatérmicaentreasdiversasinterfaceseapreservaçãodascaracterísticasdolme.

Outra desvantagem é a necessidade de garantir um bom contato elétrico preservando a

superfíciedolme. Astécnicasquerequeremlmes auto-sustentáveistêmavantagemde

não depender das propriedades dosubstrato. No entanto,este tipo delme experimenta

níveis de estresse e contaminação bemdiferentes que o mesmo material sobre substrato,

oquepodeprejudicarprojetosdedipositivos. Alémdisso, sãoemgeralmais espessos (da

ordem demicrometros).

Figura1.2: Esquemaexperimentaldométodo3!,wéalarguradalinhametálicautilizada

para aquecer a amostra e medir a temperatura na superfície e d é a espessura do lme.

Extraída daRef. [3].

Uma destastécnicasfoi utilizadapor Brotzen etal[5] paramedir acondutividade de

lmes de sílica, de 100nm a 2 m de espessura, sobre silício em função da

temperatu-ra. Nesta técnica, uma ponte de alumínio é depositada sobre a amostra, uma corrente

contínua a atravessa, e medindo-se a resistência da ponte, obtém-se a condutividade do

lme. Para variara temperatura,é necessáriogarantirum bom contato térmicocom um

reservatórioe tomar precauções para com osefeitos deradiação.

Umoutrométodonãofototérmicofazuso deum microscópiodeforçaatômica(AFM)

para medir a condutividade térmica ponto a ponto na superfície do lme. Para isto a

depende dacondutividade domesmo [6]. Entretanto,outro feixe laser é focalizadosobre

a ponta para medir as variações da sua posição, o que gera um sinal de fundo. Outra

maneira de aquecer a ponta é fazer passar um corrente elétrica pelo mesma [7], o que

eliminaeste sinal. Comoumlmedeáguasempreseformasobreasuperfíciedaamostra,

Callar et al [7] realizaram medidas a 80 0

C, para eliminar este problema, em lmes de

sílica sobre silício, com espessuras variandode 50a 1000nm.

Todasestastécnicasreportamvaloresdecondutividadetérmicaiguaisoumenoresque

o valor de bulk, principalmente para lmes muito nos. A condutividade pode depender

datemperaturaedaespessuradoslmes,edependefortementedastécnicasdefabricação

dos mesmos.

1.3 Técnicas Fototérmicas

As técnicasfototérmicassãoum conjuntodetécnicas quetêm como princípioo

aque-cimento da amostra através da absorção de luz modulada ou pulsada e a sondagem do

campodetemperaturagerado,atravésdeefeitosdecorrentesdaelevaçãodetemperatura.

Este procedimentorepresenta uma vantagem em relaçãoàs outras técnicas,pois não

re-quercontatocomasuperfíciedolme. Vamosdescreverbrevementepartedesteconjunto

detécnicas, quefoi empregada nacaracterizaçãotérmica delmes nos.

1.3.1 Fotoacústica

A fotoacústica é a precursora das técnicas fototérmicas. Esta técnica utiliza um

mi-crofone para medir as variações de pressão geradas pela absorção de luz modulada na

amostra. Iluminando a amostra de duas maneiras (interface ar/lme e ar/substrato) e

variando a freqüência de modulação obtém-se a condutividade e a difusividade térmica,

independentemente,a partirdafase dosinal fotoacústico[8]. Esteprocedimentofoi

apli-cado emum lme de2m (multicamadasde As

2 Se

3

e KCl) sobre um substrato de KCl,

de 12,7mm. A aplicação deste método em lmes muito nos é limitada pela freqüência

demodulação (até kHz).

Uma variação deste método foi realizada por Tokunaga et al [9], utilizando uma

amostra parcialmente recoberta. Comparando a fase do substrato descoberto com a do

lme/substrato obtém-se a difusividade do lme. Esta técnica foi aplicada em camadas

deadesivorelativamentegrossas(50m),sobre diferentessubstratos. Ovalor de

1.3.2 Efeito Miragem

Esta técnica tem como princípio o aquecimento da amostra com um feixe laser

in-cidindo perpendicularmente à superfície. A absorção de luz pela amostra gera calor na

mesma, que se propaga para a vizinhaça. Ocampo de temperatura assim gerado é

son-dado atravésdadeexão de um segundofeixe laser rasantesobre a amostra(gura 1.3).

Figura1.3: Princípio básicodo efeitomiragem. Extraída daRef. [10].

Roger et al [11] aplicaram este métodopara um lme policristalino de semicondutor

(CuInSe

2

) de3;5m de espessura. Para isto é necessário utilizar freqüências de

modu-lação relativamente altas e realizar o experimentode duas maneiras: iluminando o lme

e o substrato e apartir da diferença defase entreas duas medidas pode-se obter as

pro-priedades do lme,desde que asdo substrato sejamconhecidas.

Plamann e Founier [12] utilizaram esta técnica para medir lmes de diamante

poli-cristalino auto-sustentáveis e encontraram 10;5cm 2

=s para a difusividade lateral, em

lmes de330m de espessura.

Skumanich et al [13] desenvolveram um método similar no qual também

compara-vam a medida com iluminação dianteira à uma medida com iluminação traseira, para o

substrato (quando presente) tem que sertrasparente. Eles realizaram medidasemlmes

metálicosdecentenas demicrometros, emum lme degermânio de 45mede a-Si:H de

1.3.3 Lente Térmica

Quando umaamostrasemitransparenteabsorveluzprovenientedeumlaser,forma-se,

na região iluminada, um gradiente de temperatura que gera um gradiente de índice de

refração, dando origem a uma lente de natureza térmica. A magnitude desta lentepode

ser sondada por um segundo feixe laser que atravessa esta região. Esta lente pode ser

convergenteou divergentedependendo domaterial. Emgeral, alenteé convergentepara

sólidos, enquanto que,para líquidos, elaé divergente.

Snook et al [14] empregaram esta técnica para determinar a difusividade térmica de

lmes poliméricos(polietilenodebaixae alta densidade,polycarbonato e

polivilnilaceta-to)auto-sustentáveis,comespessura variando de50a500m. Osvaloresde difusividade

encontrados concordam com os debulk.

Estatécnicarequer amostrassemi-transparentes, oqueinviabilizaacaracterizaçãode

lmes opacos.

1.3.4 Método Piroelétrico

Este método utiliza um sensor piroelétrico, que tem a propriedade de transformar

uma diferençadetemperaturanuma voltagem,e assimmedir atemperaturadaamostra.

Existemváriosmateriaispiezoelétricoseváriasconguraçõesquepodemserutilizadosna

caracterizaçãodelmesnos[15,16,17]. CoufaleHeerle[16] aplicaramestatécnicaem

lmes de resina de 0.5a 2m, depositados sobre o detetor,recobertos com uma camada

muito na de ouro (80nm), para garantirque toda a luz incidente seja absorvida na

su-perfície. A difusividade encontrada cou abaixo do valor debulk.

A desvantagem deste método é a necessidade de um bom contato térmico entre a

amostrae o detetor. Na aplicaçãocitada acima,não foi considerada uma resistência

tér-micanainterface. Emalgunscasos,utiliza-seumacamadadepastatérmicaparagarantir

o contatotérmico.

1.3.5 Método Calorimétrico AC

Estemétodoutilizaumtermoparparamediratemperaturadeumlmeauto-sustentável,

iluminado comum feixe laser modulado,naoutra face. Yuetal [18]estudaram três

con-guraçõesdeste métodoe aplicaramemlmes semicondutoresde4 (Simonocristalino) a

11m(multicamadas deGaAs/AlAs).

con-1.3.6 Deexão de Feixe por deformação de superfície

Em 1983 Opsal et el [19] aplicaram a técnica de deexão de feixe para medir a

es-pessura de lmes nos (lmes de Al e de SiO

2

de 50 a 2500nm). Esta técnica é similar

à Microscopia Fototérmica de Reexão, cujo funcionamento será detalhado na próxima

seção. Um laser de argônio modulado é utilizado para aquecer a amostra. Este feixe é

focalizado por um micróscopio e incide sobre a amostra com um raio de 1m. O calor

geradonasuperfíciedaamostracausaumadeformaçãotermoelásticadamesmae,quando

um segundo laser (de prova)atinge esta região, além deserreetido, eleédeetido. Um

fotodiodo deposição detecta asvariaçõesda posição dofeixe de prova quedependem da

temperaturae domaterial.

Recentemente,Ogawaetalutilizaramestatécnica,comumraiodefeixemaior(1mm),

paracaracterizar lmespoliméricosauto-sustentáveis[20],com espessurade10a125m,

e para lmes depolímero sobre silíciode espessurasde alguns micrometros[21].

1.3.7 Grade de difração fototérmica

Neste método a interfência de luz laser cria um padrão periódico na superfície da

amostra(gura 1.4). Aelevação detemperaturacausadapelaabsorçãodeluz, gera uma

variaçãodeíndicederefraçãoperiódica,quefuncionacomoumagradededifração[22]. A

deexão deum segundofeixe laser (de prova) éutilizadapara analisara difusão decalor

lateral naamostra.

Kädingetal[23]aplicaramestemétodoemlmedeouro(630nm)sobresílica,

encon-trando 0;34cm 2

=s para a difusividade lateral do ouro, e também emlmes de diamante

auto-sustentávelesobresilício,encontrando0;22cm 2

=sparaadifusividadelateraldo

dia-mante.

1.3.8 Método Flash

Afontedecalorutilizadanestatécnicaéumpulsodeluz(ash),eocalorassimgerado

é medido através de um detetor infra-vermelho. Esta técnica foi empregada na

caracte-rização de lmes poliméricos auto-sustentáveis recobertos com uma camada de carbono

[24]. A difusividade dos lmes foi determinada em função da temperatura. Tang et al

[25] analizaram as fontes de erro deste método e as condições que têm de ser satisfeitas

para a obtenção deresultados conáveisemlmes nos.

Figura 1.4: Princípio básico do método de grade de difração fototérmica. Extraída da

Ref. [3].

Uma variação desta técnica é a radiometria infra-vermelha,na qual o calor é gerado

atravésdaabsorçãodeluzlaser moduladaetambémé medidoatravésdaradiação

infra-vermelha emitida pela amostra. Recentemente, ela foi utilizada para caracterizar lmes

dea-C:H sobre aço de2 a4m [26].

1.3.9 Técnicas fototérmicas pulsadas

Na termo-reetância de pico-segundo, para aquecer a amostra, utiliza-se um laser

pulsado(pulsosdefsoups). Umapartedeste feixeédefasada ereetidanasuperfícieda

amostra, sondando assim o campo detemperatura gerado na mesma (pump and probe).

A gura (1.5) ilustrao funcionamentodesta técnica.

Esta técnica foi aplicadapelaprimeira vezem lmes nos por Paddock e Eesley [27]

em1985. Elesrealizarammedidasemlmesmetálicosdecentenasdenanometros,

encon-trandovaloresdedifusividadesabaixodosdebulk. Agrandevantagemdestemétodoéque

as propriedadesdosubstrato não interferem noexperimento (para lmescom espessuras

em torno de 100nm). Mais recentemente, Bonelloet al [28] utilizaram esta técnica para

caracterizar lmesde tungstênio sobre silício,com espessuras variando de70 a450nm.

Existem outras técnicas que utilizam pulsos de nanosegundos de luz para aquecer a

amostraemedematemperaturaatravésdepropriedadeselétricas. Orain etalutilizama

à expansão térmica. Nesta técnica, o lme deve serdepositado sobre um substrato

con-dutorousemicondutoreumeletrododealumínioé,porsuavez,depositadosobreolme.

Figura 1.5: Princípio de funcionamento da termo-reetância de pico-segundo. Extraída

daRef. [3].

1.4 Microscopia Fototérmica de Reexão

Finalmente chegamos á Microscopia Fototérmica de Reexão que é a técnica

expe-rimental utilizada neste trabalho. Nesta técnica o campo de temperatura gerado pela

absorçãodeluz laser moduladaésondado através davariação nareetância daamostra,

já que o índice de refração varia com a temperatura. O sinal obtido é proporcional à

variação dareetância daamostra, naformaseguinte

R R = 1 R @R @T
T (1.1) onde @R @T

é um coecienteque depende domateriale docomprimentodeonda.

Esta técnicaapresentaa vantagem deser sem contato, oque preserva a superfície do

lme. Outra vantagem é que com esta técnica pode-se medir as propriedades térmicas

localmente,oque permite determinar regiões distintas daamostra.

A montagemexperimentalutilizadanesta técnicaestá esquematizada nagura(1.6).

Paraexcitaraamostra,utilizamosalinhade514,5nmdeumlaser deAr +

(LEXEL,mod.

mod.PM5139),sendo que a primeiraordem de difração é selecionada porum diafragma.

UmaoutraordemdedifraçãoédesviadaparaumfotodiodorápidodeSi(NewFocus,mod.

1801,DCa125MHz). Osinaldestefotodiodoéenviadoaumamplicadorsíncrono

(lock-in),como referência. A primeira ordem dedifração é reetida por um espelho de banda

passante dielétrico (dicróico), entrando no tubo fotográcode um microscópio óptico de

reexão(Olympus,mod. BHMJUMA)quefocalizaofeixesobreasuperfíciedaamostra.

Um laser diodo(10mW-670nm), contínuo, é utilizadocomo feixe deprova. Estefeixe

passa por um cubo separador de polarização, atravessa o espelho dicróico e passa por

uma lâmina de quarto de onda, antes de penetrar no tubo fotográco do microscópio e

incidir nasuperfícieda amostra. No retorno, elepassa novamentepelalâmina dequarto

deondaeédesviadopelocuboseparadordepolarização(comoelepassouduas vezes pela

lâminadequartodeonda,adireçãodesuapolarizaçãofoialteradaem90graus),paraum

segundo fotodiodo (de sinal) rápido deSi (New Focus, mod. 1801, DC a 125MHz). Um

ltro elimina a radiação de excitação residual. Este sinal é enviado para o amplicador

lock-in.

Figura1.6: EsquemadamontagemexperimentaldaMicroscopiaFototérmicadeReexão.

Para variar a distância entre os feixes, utiliza-se um motor de passo acoplado ao

garantir uma potência luminosa uniforme na superfície da amostra enquanto o espelho

se movimenta, é necessário realizar uma ltagem espacial do feixe de excitação. Este

procedimentoé feito daseguinte maneira: utiliza-selentes para aumentar o diâmetro do

feixe (daordemdecm)naentrada domicroscópio, deformaquemesmoquando ofeixeé

movimentado(daordemdemm)apotênciaentrandopelaocularsemantêm

aproximada-menteconstante. Note-sequeéapenasofeixedeexcitaçãoquesemovimentaembora,nos

cálculos teóricos do próximo capítulo, consideramos a situação inversa (o feixe de prova

semovimentando). Estas duas situaçõessãoequivalentesseomeio apresentasimetriade

translação noplano da amostra,importandoapenas a distânciaentreos dois feixes.

Umsistemadetranslaçãox-y(Microcontrole,mod.ITL09.2,resoluçãode0;1m

passo-a-passo) é utilizado para movimentar a amostra. Este sistema é controlado por um

mi-crocomputador, que também lê o lock-in e armazena a amplitude e a fase, e lê ainda a

parteDCdosinalprovenientedofotodiododesinal, poisesteéproporcionalàreetância

estática da amostra (a 670nm). Um conversor analógico-digital (STD, mod. AD850) é

responsável pela leitura do lock-in e do fotodiodo. Uma placa controladora GPIB/IEEE

ligao computadorao sistemade translação, aoconversor eao geradordeáudio.

O sinal AC é proprocional à variação da reetância
R, enquanto o sinal DC é

pro-porcional àreetância estáticada amostraR (temperatura ambiente).

Com esta montagem,podemosfazer, basicamente,três tiposdeexperimento: manter

os dois feixes coincidentes e varrer a posição da amostra, desta maneira podemos obter

o que chamamos de mapa térmico pois mapeia-se regiões da amostra com propriedades

térmicasdistintas; xar a posição entreos feixes evariar afrequüência demodulação ou

Propagação de calor em lmes sobre

substrato: teoria e cálculos numéricos

2.1 Denição do problema

Uma fonte de calor modulada na superfície do lme gera uma onda térmica que se

propaga no material. Ao encontrar a interface lme/substrato, parte desta onda será

reetida e outra parte transmitida como uma onda eletromagnética. Sendo assim, a

temperaturanasuperfícieseráoresultadodasuperposiçãodasmúltiplasreexõesdaonda

térmica. Pode haver ainda uma resistência térmica nesta interface, devido a problemas

de aderência, por exemplo, o que vai interferir neste processo. A Fig. (2.1) mostra um

esquema ilustrativo deste fenômeno.

2.2 Dedução da equação de difusão de calor

A propagação do calor édescrita pelaequação de difusão. Numvolume dematerial,

a variação da quantidade de calor no tempo é dada pelo uxo na superfície do volume,

somadoao calor nele gerado

@Q(~r;t) @t = I sup k ~ r T(~r;t):d ~ S+ Z vol S(~r;t)dV (2.1)

onde Té a função quedescreve atemperatura,S éum termo defonteou sorvedouroe k

é acondutividade térmica.

A quantidade decalor é dada por

Q(~r;t)= Z dmcT(~r;t)= Z vol cT(~r;t)dV (2.2)

ondecéocalorespecícodomaterialeéadensidadevolumétricademassadomaterial.

Substituindo aequação (2.2) em(2.1) e aplicando o teoremadeGauss, obtemos

@ @t Z vol cT(~r;t)dV = Z vol k ~ r: ~ rT(~r;t)dV + Z vol S(~r;t)dV (2.3)

Tendoemvistaqueasintegraissãorealizadasnomesmovolumeunitário,encontramos

a equaçãode difusão docalor tridimensional

1  @T(~r;t ) @t =r 2 T(~r;t)+ S(~r;t) k (2.4) onde = k c é a difusividadetérmica.

A equação (2.4) governa a propagaçãode calor emregime não estacionário, deforma

que adifusividade térmica é o parâmetro relevante nestes casos.

2.3 Problema unidimensional

Para entender o queacontece nainterface lme/substrato quando háuma resistência

térmica, vamos analisar primeiramente o caso unidimensional. A equação de difusão de

calor unidimensional tem a seguinte forma:

1  @T (z;t ) @t = @ 2 T @z 2 (z;t)+ S(z;t) k (2.5)

Supomos uma dependência temporal harmônicado tipoT(z;t)=T(z)e j!t

equação (2.5) e supondo que não há fontes de calor no volume do material (S = 0),

obtemosa equação dedifusão homogênea

@ 2 T @z 2 (z)= 2 T(z) (2.6) onde  = q j!  = 1+j 

é o vetor daonda térmicae = q

f

é o comprimentode difusão

térmica,quando a amplitude daonda térmicacai a1=e.

A equação (2.6) tem solução dotipo:

T(z)=Ae z

+Be z

(2.7)

Vamos imaginarque temos uma onda viajando no lme com amplitude A

i

, que será

reetidana interface (z =0)com amplitude A

r

etransmitida para osubstrato com

am-plitudeA

t

(agura (2.2) ilustra este processo).

Figura2.2: Onda térmicanuma interface (Caso unidimensional).

Temos duas condições de contorno que relacionam estes coecientes, no caso de não

haverresistência térmica nainterface:

1) T f (0)=T s (0) 2) k s @Ts @z   z=0 = k f @T f @z    z=0

A primeiraéacontinuidadedatemperaturanainterfaceeasegundaéacontinuidade

do uxo de calor em (z=0) (Lei de Fourier). Os índices f e s referem-se a lme e

subs-trato, respectivamente. Estanomenclatura será utilizada em todoeste trabalho. Com a

presença da resistência térmica,a temperarura na interface deixa de ser contínua e essa

descontinuidade tem uma formaanáloga aocaso elétrico,
T =R

T

dife-análogoà corrente elétrica. Assim, a primeiracondiçãode contornose torna: 1) k s @Ts @z   z=0 = 1 R T (T f (0) T s (0))

A partir das condições de contorno, podemos encontrar o coeciente de reexão da

onda térmica,que é denido por:

r = A r A i (2.8)

Como estamos interessados apenas na temperatura supercial da amostra, não há

necessidadedecalcularmos ocoecientedetransmissãodaonda térmica. Para ocaso em

que não háresistência térmica nainterface, encontramos

r= e f e s e f +e s (2.9)

onde e é aefusividade térmicado materialdada por:

e= k

p

(2.10)

Observa-sequeesteparâmetroéanálogoaoíndicederefraçãodaóptica,quandotemos

uma incidência normalde luznuma interface.

Na presençade uma resistência térmica,este coecientese torna:

r= e f (1+(1+j) p fe s R T ) e s e f (1+(1+j) p fe s R T )+e s (2.11)

Temosduas alteraçõessignicativas: ocoecientedereexão deixadeserreal

(torna-se um número complexo) e passa a depender da freqüência de modulação. Neste caso,

podemos analisar os limites deste coecientequando f tende a zero e quando f tende a

innito,encontrando: lim f!0 r= e f e s e f +e s (2.12) lim f!1 r=1 (2.13)

Quando afreqüênciavaiazero,ocoecientedereexãotendeasecomportarcomono

caso em quenão háresistência térmica. Já para freqüências muito altas, a onda térmica

será totalmentereetida.

FizemossimulaçõescomputacionaisemFORTRAN(apêndiceB)paraobservaro

com-portamentodocoecientedereexão,emfunçãodafreqüênciademodulação,paraquatro

casos:

1. 'Filme'deouro sobre ouro,onde a efusividadedo lmeé igual àefusividade do

substrato, e

f =e

s .

2. Filmede ouro sobre vidro, onde a efusividade dolme é bem maior que a efu-sividade dosubstrato, e f e s .

3. Filmedepolímerosobrevidro,ondeaefusividadedolmeéligeiramentemenor

que aefusividade dosubstrato, e

f  = e s .

4. Filmede polímero sobre silício, onde a efusividade dolme é muito menorque

a efusividadedo substrato, e

f e

s .

Utilizamosotermolmequandoocorretoseriautilizarinterface,jáquetrata-sedemeios

semi-innitos. Contudo, nas próximas seções, vamos nos referir a estes casos e o termo

apropriado será lme.

Na tabela (2.1), encontram-se os valores dos parâmetros térmicos utilizados nestas

simulações, sendo que mesmo para os lmes consideramos os valores de bulk. O valor

utilizado para o polímero é um valor típico para o polietileno, apenas um chute inicial,

pois sua difusividade pode variar de 0:0013cm 2

=s até 0:0021cm 2

=s [31, 32] em

tempera-tura ambiente. A difusividade térmica dos polímeros em geral não difere muito desta

faixa,paraoPVCtemos0:0006cm 2

=s[32],enquantoqueparaopoliuretanoencontramos

0:003cm 2

=s [31].

material difusividade condutividade efusividade

unidade (cm 2 =s) (Wcm 1 K 1 ) (W p scm 2 K 1 ) ouro 1,3 3,15 2,76 vidro 0,005 0,015 0,21 polímero 0,001 0,002 0,06 silício 0,9 1,5 2,41

Tabela 2.1: A difusividade e a condutividade térmicas foram obtidas na Ref. [31]

-[33](respectivamente),paraopolímerofoiobtidanaRef. [34]. Aefusividadefoicalculada

a partirdestes valores.

Na gura (2.3) (caso 1), podemos observar que,quando não háresistência térmica, o

coecientedereexãoéumaconstante,nestecasonula,vistoqueasefusividadessãoiguais

visto através do limite. A fase vai de 45 graus até zero quando o módulo tende a um.

Vemos ainda que o coeciente de reexão tende a um mais rapidamente, para o maior

valor de resistência térmica (curva azul). Estes valores de resistência - um é o dobro do

outro-foramescolhidosdeformaqueocoecientedereexãonãocasse saturado(igual

a um) para freqüências muito baixas, visto que aumentando a resistência, a saturação

ocorre emfreqüências menores.

Na gura (2.4) (caso 2), podemos observar que, quando não há resistência térmica,

o coeciente de reexão é uma constante não nula e a fase é nula (número real). Na

presençadeuma resistênciatérmica,omódulovaidovalor deresistênciazero (embaixas

freqüências) até um (altas freqüências). A fase sai de zero, atinge um máximo e volta

para zero, quando o módulo tende a um. Vemos novamenteque o coeciente dereexão

tende aum mais rapidamente,para o maior valor deresistência térmica (curva azul).

Nagura(2.5) (caso3),podemosobservarque,quando nãoháresistência térmica,o

coecientedereexãoéumaconstantenãonula(mesmocomportamentodocasoanterior)

e a faseé constante e igual a 180 graus. Há uma inversão de fase (comona óptica), pois

a efusividade do polímero é ligeiramente menor que a do vidro. Na presença de uma

resistência térmica, o módulo sai do valor de resistência zero (em baixas freqüências),

passa por um mínimo, devido à inversão de fase, e vai até um (em altas freqüências).

A fase vai de 180 até zero quando o módulo tende a um. Vemos, mais uma vez, que o

coeciente de reexão tende a um mais rapidamente, para o maior valor de resistência

térmica(curva azul).

Na gura (2.6) (caso 4), podemos observar que, quando não há resistência térmica,

o coeciente de reexão é uma constante bem próxima de um e a fase é constante e

igual a 180 graus (mesmo comportamento do caso anterior). A inversão de fase se dá

porque a efusividade do polímero é muito menor que a do silício, e tem, portanto, um

comportamentosemelhanteaocaso anterior,mesmo napresençadaresistência térmica.

2.4 Problema tridimensional

A análiseunidimensional feitana seção anterior nos permite compreender opapel da

resistência térmica na interface. Com estes resultados em mente, podemos partir para o

problema propriamentedito, queé tridimensional,visto quea fonte decalor é dada pela

absorçãode um feixe laser gaussiano.

Voltemos àequação dedifusão tridimensional (2.4):

1@T(~r;t )

=r 2

T(~r;t)+

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

(a)

Ouro sobre ouro R

_T

=0.0

Ouro R

T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

Ouro R

_T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

M

ódulo

Frequência (Hz)

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

0

50

100

150

200

250

300

(b)

Ouro sobre ouro R

_T

=0.0

Ouro R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

Ouro R

T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

F

as

e (g

ra

u

s)

Frequência (Hz)

Figura2.3: Módulo (a) e fase (b) docoecientede reexão daonda térmica nainterface

ouro/ouro,preto quandonão háresistência térmica,vermelhoR

T =510 5 cm 2 K=mW, azul R T =110 4 cm 2 K=mW.

Vamossupor,maisumavez,quenãoháfontesdecalornomaterial(S =0). Supomos

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

(a)

Ouro sobre vidro R

_T

=0.0

Ouro R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

ouro R

T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

M

ó

dulo

Frequência (Hz)

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

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4

10

5

10

6

10

7

10

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

(b)

Ouro sobre vidroR

_T

=0.0

Ouro R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

ouro R

_T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

F

as

e (g

ra

u

s)

Frequência (Hz)

Figura2.4: Módulo (a) e fase (b) docoecientede reexão daonda térmica nainterface

ouro/vidro,pretoquandonãoháresistênciatérmica,vermelhoR

T =510 5 cm 2 K=mW, azul R T =110 4 cm 2 K=mW.

10

-1

10

0

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1

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3

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-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

(a)

Polimero/vidro R

_T

=0.0

R

T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

R

_T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

M

ó

dulo

Frequência (Hz)

10

-1

10

0

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1

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2

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6

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7

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-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

(b)

Polimero/vidro R

_T

=0.0

R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

R

_T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

F

as

e (g

ra

u

s)

Frequência (Hz)

Figura 2.5: Módulo (a) e fase (b) do coeciente de reexão da onda térmica na

in-terface polímero/vidro, preto quando não há resistência térmica, vermelho R

T = 5 10 5 cm 2 K=mW, azul R T =110 4 cm 2 K=mW.

obtemosa equação dedifusão homogênea tridimensional

10

-1

10

0

10

1

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2

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3

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4

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6

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-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

(a)

Polimero/Silício R

T

=0.0

R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

R

_T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

M

ó

dulo

Frequência (Hz)

10

-1

10

0

10

1

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2

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3

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5

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10

7

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-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

(b)

Polimero/Silício R

_T

=0.0

R

_T

=5*10

-5

cm

2

K/mW

R

T

=1*10

-4

cm

2

K/mW

F

as

e (g

ra

u

s)

Frequência (Hz)

Figura2.6: Módulo (a) e fase (b) docoecientede reexão daonda térmica nainterface

polímero/silício (a) módulo, preto quando não há resistência térmica, vermelho R

T = 510 5 cm 2 K=mW,azul R T =110 4 cm 2 K=mW.

com as seguintescondiçõesdecontorno: 1) k f @T f @z    z=0 = 2) k s @T s @z   z=L = k f @T f @z    z=L 3) k s @Ts @z   z=L = 1 R (T f T s ) z=L 4) T s (z !1)=0

A primeira condição de contorno diz respeito à continuidade do uxo de energia na

interface ar/lme, enquanto que a segunda trata da continuidade do uxo de calor na

interface lme/substrato. Já a terceira condiçãode contorno se refereà descontinuidade

datemperatura,devidoà presençadaresistênciatérmicanainterfacelme/substrato. A

quarta condiçãosupõe que o substrato seja termicamentegrosso, ou seja, que o

compri-mentode difusão térmicadosubstrato sejamuito menorque a espessura do mesmo.

Para resolveressas equações, vamos utilizar atransformada deHankel (apêndice A),

já que temos simetria cilíndrica no problema, devido ao feixe laser gaussiano. Teremos

então duas equações transformadasunidimensionais

@ 2 ~ T f @z 2 =m 2 f ~ T f (2.15) @ 2 ~ T s @z 2 =m 2 s ~ T s (2.16) onde m= p p 2 + 2

e pé a freqüênciaespacial (unidade de1/comprimento).

As equações (2.15)e (2.16) têm soluçãodo tipo(no espaço deHankel):

~ T(p;z)=Ae mz +Be mz (2.17)

Aplicando ascondiçõesde contornotransformadas, enumeradas abaixo, podemos

en-contrar os coecientesA f ,B f , A s e B s .

1) k f @ ~ T f @z    z=0 = ~  2) k f @ ~ T f @z    z=L =k s @ ~ T s @z    z=L 3) k s @ ~ Ts @z    z=L = 1 R T  ~ T f ~ T s  4) ~ T s (p;z !1)=0)A s =0

Fazendo as derivadas e substituindo nas condições acima, encontramostrês equações

que formam um sistemamatricial, o que nos permite encontrar os três coecientes

dese-jados,já que A s énulo. A f m f B f m f = ~  k f (2.18) A f k f m f e m f L B f k f m f e m f L = B s k s m s e msL (2.19) B s k s m s e m s L = 1 R T A f e m f L +B f e m f L B s e m s L
(2.20)

Desta maneira,encontramosos coecientes:

A f = ~ m f e m f L (k s m s R T +1) ( ~  . k f )k s m s e m f L k f m 2 f (e m f L e m f L )(k s m s R T +1)+k s m f m s (e m f L +e m f L ) (2.21) B f = ~ m f e m f L (k s m s R T +1)+( ~  . k f )k s m s e m f L k f m 2 f (e m f L e m f L )(k s m s R T +1)+k s m f m s (e m f L +e m f L ) (2.22) B s = 2 ~ m f e msL k f m 2 f (e m f L e m f L )(k s m s R T +1)+k s m f m s (e m f L +e m f L ) (2.23)

onde , que é o uxo incidente, quando transformado, se torna ~  = P 0 2 e ( pa 2 ) 2 , onde a é

o raio dofeixe gaussiano.

Para obter asoluçãono espaçoreal, temos querealizarnovamente atransformada de

Hankel(transformada inversa)

T(r;z)= 1 Z 0 ~ T(p;z)pJ 0 (pr)dp (2.24) onde J 0

éa função deBessel deordem zero.

Entretanto,comoestamosinteressadosapenasnatemperaturanasuperfíciedaamostra

(z =0), temos então: T f (r;z =0)= 1 Z (A f +B f )pJ 0 (pr)dp (2.25)

Neste caso, consideramos que o feixe de prova é pontual, sabendo-se entretanto que,

narealidade, eletem um perl gaussiano. Serianecessárioentão realizaruma integral ao

longo doseu perl. Aorealizar este procedimento,ésabido queo raio gaussianodofeixe

deexcitação devesersubstituído por um raioefetivoigual a: r

ef = p a 2 +a p 2 , onde a p é

oraio dofeixe deprova,e multiplicaraamplitude pelapotênciadofeixe deprovaI

0 a

p 2

[35]. No entanto,não estamosinteressados novalor absoluto daamplitude, ealém disso,

nas curvas de fase, estamos interessados principalmenteem pontos distantes da fonte de

calor, para osquais aaproximação defeixe de provapontual éválida.

Para resolver a integral 2.25, utilizamos um programa em FORTRAN (apêndice B).

Fizemos várias simulações,para diferentes materiais,como naseção anterior, e variando

também os diversos parâmetros envolvidos no problema: os parâmetros térmicos  e k

(diferentesmateriais)eR

T

,aespessuradolmeLeosparâmetrosdoexperimentoa(raio

do feixe de excitação), r (posição da medida com relação à origem) e f (freqüência de

modulação). Temos dois tipos desimulação:

1) Fixando a posição entreos feixese variando afreqüência de modulação

2) Fixando a freqüênciade modulaçãoe variandoa posição entreos feixes.

Nasseçõesseguintesserãoapresentadosalgunsgrácosobtidosatravésdesteprocesso.

2.4.1 Resultados numéricos em função da freqüência - Inuência

de R

T

Vamos analisarprimeiramenteocaso (1), lme de ourosobre ouro, para observarmos

apenasainuênciadaresistênciatérmica. Nagura(2.8),temos,doladoesquerdo,

simu-lações feitas com a = 0;5m, enquanto que, do lado direito, supomos a = 40m, todas

tendo sido realizadas na origem (r = 0). As curvas verdes são referentes ao ouro bulk

que, neste caso, sãoidênticas àsde ouro sobre ouro com resistência nula (curvas pretas).

Nota-se que aamplitude semantém constante até uma dada freqüência eque afase tem

um comportamento semelhante. O comprimentode difusão térmica é inversamente

pro-porcional à raiz dafreqüência e, à medida que a freqüência aumenta,o comprimento de

difusão térmicapassaa terumtamanho comparávelaoraio dofeixe. Aumentandoainda

maisafreqüência,ocomprimentodedifusãopassaasermuitomenorqueoraiodofeixee

aondatérmicapassa aterum caráterunidimensional. Estaéacausa docomportamento

destas curvas,tanto que, para a=0;5m, as curvas deixam de serconstantespara uma

freqüência maior doque nocaso de a=40m.

Na presença da resistência térmica, vemos que a amplitude aumenta se comparada

ao valor de bulk. Isto se dá devido ao connamento de calor no lme provocado pela

fase relativa à fase debulk (fase -fase bulk), vemos um mínimo bem menos pronunciado

para a = 0;5m. Este mínimo é devido à superposição das ondas térmicas, que gera

efeitos de interferência. Este efeitoé mais visível para a =40m, devido ao seu caráter

unidimensional, já que aresistência térmica éperpendicular ao eixoz.

Na gura (2.9), temos as mesmas curvas da gura anterior para um lme de ouro

de1m sobre vidro(caso 2). Podemos analisar apenas ainuência do descasamentodas

propriedades térmicas quando não há resistência térmica(curva preta). Vericamos que

aamplitudeaumenta,secomparadaaovalordebulk (curvaverde),jáqueovidroconduz

muito menos que oouro e, poreste motivo,o calor ca connado nolme.

Com apresençadaresistência térmica,aamplitudeaumentaum poucosecomparada

à curva preta, pois o connamento de calor nesta situação é ainda maior. Vemos uma

diferençapequenaembaixasfreqüências,poisabarreiratérmicageradapelo

descasamen-to das propriedadestérmicas já é bem grandenesta amostra, deforma que a resistência

térmica interfere pouco no connamento de calor. No entanto, quando a freqüência

au-menta, o coeciente de reexão tende a um com resistência, tanto que observamos que,

napresençadaresistência,aamplitudecomeçaacair parafreqüênciasmaisaltas,ouseja,

tem uma quebra numa freqüência maior.

Na fase, vemos novamente um mínimopronunciadoapenas quando a =40m. Para

a=0;5m,somentenacurvadefaserelativaàfasedebulk podemosveromínimo.

Note-se que, no gráco (2.9)(d), a linha preta pontilhada se refere ao cálculo unidimensional

com resistência nula e observamos que as duas curvas (preta cheia e preta pontilhada)

coincidemapartirdeumadadafreqüência,conrmandoaanálisefeitaanteriormente. Na

presença da resistência térmica, este mínimo é deslocado para freqüências mais baixas,

contudo não observamos uma diferença signicativa para os dois valores de resistência,

neste caso.

Fizemos este tipo de simulação para o lme de polímero sobre vidro (caso 3), mas

vamos omitir estes resultados, visto que estes dois materias têm propriedades térmicas

semelhantes (o polímero tem difusividade e condutividade ligeiramente menores que o

vidro). Nocaso anterior,olme era muitomais condutor decalorqueo substrato,sendo

que os efeitos desta inversão (lme menos condutor que o substrato) serão maiores no

lme depolímerosobre silício(caso 4)e,poreste motivo,osresultados obtidospara este

caso serão apresentados a seguir. Entretanto, alguns resultados obtidos para o caso 3

serão mostrados napróxima seção.

Na gura (2.10), temos osmesmos tiposde simulaçãopara o caso 4. Vericamos que

a amplitude para olme sobre substrato, sem resistência térmica(curvapreta), é menor

do que a de polímero bulk (curva verde), contrariamente ao caso anterior. Na presença