Não-estacionariedade de séries temporais turbulentas e a grande variabilidade dos fluxos nas baixas freqüências

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA. NÃO-ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES TEMPORAIS TURBULENTAS E A GRANDE VARIABILIDADE DOS FLUXOS NAS BAIXAS FREQUÊNCIAS. Dissertação de Mestrado. Luís Gustavo Nogueira Martins. Santa Maria, RS, Brasil 2011.

(2) PPGFIS/UFSM, RS. MARTINS, Luís Gustavo Nogueira. Mestre. 2011.

(3) NÃO-ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES TEMPORAIS TURBULENTAS E A GRANDE VARIABILIDADE DOS FLUXOS NAS BAIXAS FREQUÊNCIAS. Luís Gustavo Nogueira Martins. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Física, Área de Concentração em Áreas Clássicas da Fenomenologia e suas Aplicações, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física.. Orientador: Prof. Otávio Costa Acevedo. Santa Maria, RS, Brasil 2011.

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(5) Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciêncas Naturais e Exatas Pós-Graduação em Física. A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Dissertação de Mestrado. NÃO-ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES TEMPORAIS TURBULENTAS E A GRANDE VARIABILIDADE DOS FLUXOS NAS BAIXAS FREQUÊNCIAS elaborado por. Luís Gustavo Nogueira Martins. como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física. COMISSÃO EXAMINADORA: Otávio Costa Acevedo, Dr. (Presidente/Orientador) Dr, Nelson Luís Dias . (UFPR) Dr, Gervásio Annes Degrázia. (UFSM). Santa Maria, 11 de agosto de 2011..

(6) Don’t worry about a thing, ’Cause every little thing gonna be all right.. (Bob Marley).

(7) Ao Diodinho.

(8) AGRADECIMENTOS À minha esposa, pais, irmãos e sobrinhas pelo apoio e incentivo dado em todos os momentos. Ao professor e orientador Otávio Costa Acevedo pela paciência, confiança e principalmente por sua participação contínua em todos as etapas da realização deste trabalho. Aos professores Gervásio Annes Degrázia, Débora Regina Roberti e Vagner Anabor que em todas as ocasiões sempre estiveram dispostos a ajudar. Aos colegas de sala Franciano e Felipe pelas incontáveis horas de descontração. Ao colega Guilherme pelo aprendizado adquirido no convívio diário. À todos os servidores do Departamento de Física em especial à Saionara Dutra pela presteza e cordialidade. E principalemnte à CAPES, na qual sem sua ajuda financeira a realização deste trabalho não seria possível..

(9) RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Física Universidade Federal de Santa Maria. NÃO-ESTACIONARIEDADE DE SÉRIES TEMPORAIS TURBULENTAS E A GRANDE VARIABILIDADE DOS FLUXOS NAS BAIXAS FREQUÊNCIAS AUTOR : L UÍS G USTAVO N OGUEIRA M ARTINS O RIENTADOR : OTÁVIO C OSTA ACEVEDO Data e Local da Defesa: Santa Maria, 11 de agosto de 2011. A complexidade de escoamentos turbulentos causa dificuldade para a descrição de fenômenos complexos, como o transporte de grandezas vetoriais e escalares na baixa atmosfera, fazendo com que a análise de dados experimentais, principalmente séries temporais, seja amplamente utilizada. O método mais utilizado pela comunidade micrometeorológica para quantificar esse transporte pela turbulência está associado à determinação da covariância entre duas variáveis. Sabe-se que a determinação de quantidades estatísticas para janelas temporais muito longas resulta em uma grande incerteza nos valores dos fluxos obtidos através desse método. Ao mesmo tempo, a teoria indica que o procedimento de associar fluxos a covariâncias estatísticas só vale para séries temporalmente estacionárias. O objetivo deste trabalho é testar a hipótese de que a incerteza das estimativas esteja relacionada diretamente com a não-estacionariedade das séries temporais. Para entendermos melhor isso, usamos uma metodologia baseada em um conjunto de testes estatísticos paramétricos e não-paramétricos de hipótese nula. Os testes considerados são o teste-T, teste-F, teste da mediana, teste-U e o teste das interações. Os resultados dos testes são ainda comparados com os obtidos com dois métodos de decomposição de sinais: a análise de multiresolução e a Decomposição Empírica de Modos. Os resultados sugerem que a variabilidade dos fluxos nas grandes escalas temporais está associada diretamente com a presença de tendências e componentes de baixa frequência nas séries analisadas, e que este fato está mais ligado à limitação observacional em que a análise é realizada do que propriamente com a não-estacionariedade, já que esta última é uma propriedade de ensemble e não de apenas uma realização. Esta limitação sugere a definição de um conceito mais prático de estacionariedade de primeira ordem, que seja associado à presença de tendências ou componentes de baixa frequência com energias da ordem ou maiores que a energia das escalas turbulentas. Por esse motivo podemos afirmar que na análise de dados atmosféricos o teste das interações mostrou-se, entre todos os considerados, o mais sensível à presença de tendências, permitindo inclusive a obtenção de uma escala temporal na qual os eventos de meso/submesoescala ganham importância.. Palavras-chave: Não-estacionariedade. Testes de estacionariedade. Fluxos turbulentos. Análise de multiresolução. Decomposição empírica de modos..

(10) ABSTRACT Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Física Universidade Federal de Santa Maria. TIME SERIES NON-STATIONARITY AND THE LARGE LOW FREQUENCY TURBULENT FLUX VARIABILITY AUTOR : L UÍS G USTAVO N OGUEIRA M ARTINS O RIENTADOR : OTÁVIO C OSTA ACEVEDO Data e Local da Defesa: Santa Maria, 11 de agosto de 2011. Turbulent flow high complexity makes it difficult to describe complex phenomena, such as the transport of vector and scalar quantities at the lower atmosphere, making the analysis of experimental data, such as time series, largely employed. The method mostly used by the micrometeorological community to quantify such turbulent transport is associated with the determination of the statistical covariance between two variables. It is known that the determination of statistical quantities for very long temporal windows leads to a large flux uncertainty. At the same time, the theory indicates that the association between fluxes and statistical covariance is only valid for temporally stationary series. The aim of the present study is to test the hypothesis that the estimate uncertainty is directly related to the series non-stationarity. To better understand this issue, we use a methodology based on a group of parametric and nonparametric statistical tests. The tests considered here are the T -test, F -test, median test, U-test and run test. Furthermore, the test results are compared with the outputs of two signal decomposition procedures: multiresolution analysis and empirical mode decomposition. The results suggest that the flux variability over large temporal scales characterizes the existence of temporal trends and low frequency components in the time series considered, so that it is more associated with an observational limitation of the analysis than with non-stationarity, as this concept should be the property of an ensemble, rather than of a single realization. Such limitation suggests the definition of a practical single order stationarity, associated with temporal trends and low frequency components whose energy is similar or larger to that of the turbulent fluctuations. For that reason, we affirm that the interactions test is, among all considered, the best suited for analyzing atmospheric data, because it is the most sensible to the existence of temporal trends. Furthermore, such test allows obtaining a temporal scale beyond which mesoscale events become important. Key Words: Non-stationarity. Stationarity tests. Turbulent flux. Multiresolution analysis. Empirical mode decomposition..

(11) LISTA DE FIGURAS 2.1 Série temporal turbulenta da componente longitudinal do vento apresentada em duas janelas observacionais diferentes: 29h (superior) e 5h (inferior). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Exemplo do processo de multiresolução aplicado à uma série temporal. . . . . 4.2 Espectros de multiresolução das variáveis u, v, w e T para um conjunto de doze séries turbulentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Demonstração do processo de sifiting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exemplo da DEM aplicada a uma série temporal turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Série de aproximadamente 29h da componente longitudinal do vento e os intervalos identificados como estacionários para diferentes testes. Foram utlizadas amostras de 215 pontos (≈55min). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 O mesmo da figura 6.1 para amostras de 214 pontos (≈27 min). . . . . . . . . . . . . . . 6.3 O mesmo da figura 6.1 para amostras de 213 pontos (≈13 min). . . . . . . . . . . . . . . 6.4 O mesmo da figura 6.2 para a componente vertical da velocidade do vento (w). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 O mesmo da figura 6.1 para a componente longitudinal da velocidade vento obtida de uma série de tunel de vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Porcentagem de intervalos onde a hipótese de estacionariedade é aceita em função do tamanho das amostras testadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Mesmo da figura 6.6 para as séries de túnel de vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Espectros de multiresolução para as variáveis analisadas (dados atmosféricos). As linhas verticais indicam o intervalo médio de estacionariedade encontrado para cada teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 O mesmo da figura 6.8 para a componente longitudinal do vento (dados de túnel de vento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Resíduos (figura superior) e FMIs de mais baixa frequência (figura inferior) obtidos pela DEM da variável T para o conjunto de dados atmosféricos. . . . . 6.11 Desvios-padrão dos coespectros de multiresolução (fluxos verticais de temperatura e momento) calculados para o conjunto de dados micrometeorológicos. As linhas verticais indicam as escalas médias de estacionariedade encontradas para as variáveis analisadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Porcentagem de intervalos onde a hipótese de estacionariedade é aceita em função do tamanho das amostras testadas para a componente w e o conjunto de séries derivadas dela (remoção da tendência linear, resíduo ou resíduo mais a FMI de mais baixa frequência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 O mesmo da figura 6.12 para a variável T.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14 Expectros de multiresolução dos fluxos verticais de temperatura calculados para as séries originais de w e T e para as séries derivadas delas. . . . . . 7.1 Desvios-padrão dos espectros de multiresolução obtidos para as diferentes variáveis turbulentas atmosféricas. A linha vertical indica a escala temporal do pico de estacionariedade do teste das interações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Representação da influência das componentes de baixa frequência nas pequenas escalas amostrais e do valor do pico de porcentagens estacionária obtidos pelo teste das interações para w. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 O mesmo da figura 7.2 para a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 34 36 38 39. 45 46 47 48 49 51 52. 55 56 57. 59. 61 62 64. 69. 70 71.

(12) LISTA DE TABELAS 6.1 Intervalos médios de estacionariedade (min) encontrados para as séries experimentais atmosféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Intervalos médios de estacionariedade (s) encontrados para as séries de túnel de vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.1 Intervalos médios de estacionariedade (min) encontrados para séries atmosféricas de T e as demais séries derivadas dela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.

(13) SUMÁRIO RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ESCOAMENTOS NA CLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Abordagem determinística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Abordagem estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Procedimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ANÁLISE ESTATÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Momentos estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Testes de estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Testes paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 Teste t-Student (teste-t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.2 Teste-F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Testes não-paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.1 Teste das interações de Wald-Wolfowitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.2 Teste rápido de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.3 Teste da mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.4 Teste-U de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.5 Teste das interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 FERRAMENTAS DE DECOMPOSIÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Análise de multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Decomposição Empírica de Modos (DEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 DESCRIÇÃO DOS DADOS E METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Dados experimentais atmosféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dados de túnel de vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Pré-processamento e metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Estudo de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dependência da escala amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Intervalo médio de estacionariedade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Análise dos espectros de multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Análise do resíduo da DEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 DISCUSSÕES E CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 7 11 15 15 17 18 21 21 22 25 26 26 27 28 28 29 30 30 31 33 33 36 41 41 41 42 44 44 49 51 54 60 66.

(14) 1. INTRODUÇÃO Os escoamentos na camada limite atmosférica (CLA) são predominante-. mente turbulentos, ou seja, caracterizados por uma constante flutuabilidade na magnitude das variáveis físicas que descrevem o escoamento do fluido. O conjunto de equações que descreve completamente um escoamento turbulento é conhecido, porém a resolução dessas equações para as diversas escalas espaciais e temporais que envolvem o escoamento turbulento, não só na CLA, é extremamente complicada devido à existência de termos não-lineares nessas equações diferenciais. Em diversas áreas aplicadas da dinâmica de fluidos, como em micrometeorologia, o comportamento “médio” das variáveis turbulentas é muito mais relevante que os valores instantâneos. No intuito de obter equações médias que fossem o mais simples possíveis, Osborne Reynolds, em 1985, propõe um procedimento comumente chamado de média de Reynolds, em que a variável turbulenta é separada em duas partes, uma parte média e outra que representa a flutuação, ou seja: x = x + x0 ,. (1.1). onde x é uma variável turbulenta, x é o valor médio dessa variável e x0 é a flutuação estantânea da variável em relação à essa média. Para que, de fato, ocorra uma simplificação das equações, principalmente dos termos não-lineares, o processo de obtenção desse valor médio deve satisfazer certas condições chamadas condições de Reynolds. Como resultado do procedimento de Reynolds, termos não lineares de transporte nas equações de conservação podem ser expressos através de momentos estatísticos, como covariâncias. Entretanto, tal associação só é estritamente válida se a condição de estacionariedade for satisfeita. A determinação destes momentos estatísticos que surgem nas, agora chamadas, equações de Reynolds, são uma das principais motivações para a extensiva coleta de dados experiementais de turbulência, com ênfase especial no estudo do transporte (fluxos) de grandezas escalares e vetoriais na CLA, foco deste trabalho. No sentido de Fourier1 , podemos admitir que as condições de Reynolds se1. Assume-se que qualquer sinal possa ser escrito como uma soma infinita de modos harmônicos de diferentes frequências..

(15) 12 jam satisfeitas, ou aproximadamente satisfeitas, se o intervalo em que a média é calculada for muito maior que o período característico das flutuações e consideravelmente menor que o período de oscilação da média (MONIN; YAGLOM, 1971), o que sugere a existência de uma lacuna (gap) espectral que separe de forma clara a turbulência dos demais movimentos da CLA. Porém, a análise espectral (Fourier) de dados micrometeorológicos resulta em um espectro de energia contínuo, indicando que a escala turbulenta está de alguma forma superposta às escalas dos eventos de meso e submeso-escala energéticos, o que impossibilita a escolha de um intervalo adequado que se baseie na existência da lacuna espectral. Qualquer intervalo que englobe todas as escalas turbulentas pode estar seriamente contaminado por eventos de baixa frequência e oscilações resultantes de ciclos diários. Essa característica espectral da turbulência na CLA é um forte indício da natureza não estacionária dos escoamentos nessa região. Uma abordagem fisicamente mais adequada e mais representativa do fenômeno estudado, no caso a turbulência, e que não depende diretamente do intervalo em que é a média é calculada, é o uso da média probabilística. Nessa abordagem a média é calculada sobre um conjunto de realizações de um número suficientemente grande de escoamentos com características semelhantes que permita estimar uma função de probabilidade para cada posição do espaço em um determinado instante de tempo. Porém, sabemos que os escoamentos na CLA são continuamente alterados por condições externas do meio tornando a definição de um ensamble turbulento impossível. De acordo com o teorema ergódico, a média temporal (ou espacial) converge para a média probabilística para um intervalo de tempo suficientemente grande. Consequentemente sob hipótese de ergodicidade, a média temporal da observação por um período muito longo (de um sistema estacionário) convergiria para a média sob ensemble. A característica distinta de cada escoamento aliado ao fato de que os dados experimentais micrometeorológicos são em sua grande maioria obtidos de um ponto fixo no espaço, restringe as análises ao uso de médias temporais. Porém, para a existência da condição de ergodicidade é necessário que o conjunto de dados seja estacionário. Desta forma, a condição de estacionariedade é fundamental para que as estimativas de fluxos através de dados experimentais realmente represente uma gran-.

(16) 13 deza teoricamente prevista. Caso contrário, essas estimativas serão sempre passíveis de incertezas, que podem se originar de flutuações de baixa frequência. Embora este problema seja conhecido e bem definido há bastante tempo, a questão da estacionariedade é ainda experimentalmente ignorada por uma imensa comunidade que utiliza covariâncias temporais para estimar fluxos geofísicos. Como os momentos estatísticos são grandezas que dependem de um número suficientemente grande de valores para sua determinação adequada, a independência temporal destes só tem sentido numa análise que envolva a densidade de probabilidade das variáveis (abordagem probabilística). Assim, a dificuldade de medir a estacionariedade em séries turbulentas da CLA está diretamente ligada à natureza do fenômeno e à limitação observacional, como já apresentado. Embora os eventos de baixa frequência sejam um dos responsáveis pela não estacionariedade dos dados turbulentos, talvez o principal, ainda pouco se sabe sobre sua fenomenologia, a influência destes nas estimativas de fluxos e se de fato são responsáveis por algum tipo de transporte. Por estes motivos, nosso estudo será focado na influência das escalas meso/submeso nas escalas turbulentas e sua contribuição na não-estacionariedade. Mas para isso é necessário o uso de métodos de decomposição ou representações em tempo-frequência/tempo-escala que nos permitam uma análise tanto qualitativa quanto quantitativa das intereações entre as escalas e que, de alguma forma, possibilitem uma caracterização realista das componentes de baixa frequência. Uma desses métodos, que podemos citar aqui, é a análise de multi-resolução (MALLAT, 1989; HOWELL; MAHRT, 1997) que nos permite identificar uma grande variabilidade nas energias (fluxos) dos eventos de grandes escalas temporais, ao contrário da energia associada aos eventos turbulentos que apresentam uma pequena variablidade em sua magnitude. Mesmo cientes da grande influência desta flutuabilidade nas estimativas de fluxos, ainda pouco se sabe sobre a sua origem, pois é pouco provável que os fluxos reais de baixa frequência sejam tão variáveis. No entanto, se acredita que a grande variabilidade indique, na verdade, uma grande incerteza nessa escala, que está diretamente associada à pequena amostragem disponível nessa mesma escala (VORONOVICH; KIELY, 2007). Diante deste cenário complexo, definimos os objetivos principais deste trabalho que são a revisão de alguns testes de estacionariedade encontrados na literatura,.

(17) 14 principalemente os aplicados atualmente em dados experimentais na CLA, e, através disso, identificar qual o método que melhor se adapte ao nosso propósito. Utilizando estes testes de estacionariedade juntamente com um novo método de decomposição de sinais chamado Decomposição Empírica de Modos (DEM) (HUANG et al., 1998) verificaremos a hipótese de que a grande flutuabilidade nas energias da grandes escalas seja causada pela não-estacionariedade das séries temporais turbulentas da CLA. Essa dissertação está dividida na seguinte forma: no capítulo 2 é apresentada um brave explicação sobre as características dos escoamentos turbulentos na atmosfera, o tratamento físico e estatístico aplicado ao problema e os demais conceitos fundamentais para o desenvolvimento desse trabalho; no capítulo 3 o conceito estatístico de estacionariedade é explorado, acompanhado de uma descrição detalhada dos testes de estacionariedade aplicados; no capítulo 4 os dois métodos de análise de sinal já mensionados (multiresolução e DEM), são abordados e suas principais características descritas; o capítulo 5 é destinado à descrição dos dados observacionais e à metodologia empregada na análise e tratamento dos dados; no captítulo 6 os principais resultados são apresentados e discutidos no capítulo 7; e, por fim, as conclusão e considerações finais são feitas no capítulo 8..

(18) 2. ESCOAMENTOS NA CLA Em dinâmica de fluídos, podemos definir camada limite como a camada de. fluido que interage com um objeto sólido ou uma parede rígida, resultando em uma alteração no movimento das partículas de fluidos nessa interface (LANDAU; LIFSHITZ, 1959). Logo, chamamos de Camada Limite Atmosférica, ou Camada Limite Planetária, a região mais baixa da atmosfera que interage diretamente com a superfície terrestre. A interação atmosfera-superfície se dá principalmente pelo atrito cinemático e pela transferência de energia (calor), que são os principais forçantes geradores de turbulência nessa camada. Normalmente a altura dessa camada varia entre algumas dezenas a centenas de metros, à noite, atingindo até dois quilômetros durante o dia. Devido a uma eficiente capacidade difusiva, a turbulência se torna a principal responsável pela transporte de calor, poluentes, momento, e outras grandezas, para as regiões mais altas da CLA, o que torna o seu estudo de fundamental importância nas áreas da física, micrometeorologia, ecologia, geofísica, engenharia, entre outras. Embora nosso estudo esteja centralizado nos escoamentos turbulentos na CLA, os conceitos físicos apresentados nesse capítulo se aplicam para a turbulência de forma geral. No entanto, aproximações e simplificações serão feitas baseadas nas características dos fluídos na baixa atmosfera.. 2.1. Abordagem determinística Os escoamentos turbulentos podem ser completamente descritos por um sis-. tema de equações, com origem na física clássica, que, sob uma dada condição inicial, são capazes de determinar todas as características desse escoamento no tempo e no espaço. A primeira equação que podemos citar é a equação da continuidade, que para um fluído de densidade ρ, tem a forma: ∂ρ + ∇ · (ρ~u) = 0, ∂t. (2.1). onde ~u é o vetor velocidade, e expressa o princípio da conservação de massa do sistema..

(19) 16 O princípio de conservação do momento, enunciado pela segunda lei de Newton, aplicado a um escoamento turbulento na CLA (SORBJAN, 1989) resulta na chamada equação de Navier-Stokes que é dada, na notação de Einstein, por ∂ui ∂ui 1 ∂p ∂ 2 ui + uj =− + ν 2 − δi3 g − 2ijk Ωj uk ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj. (2.2). onde p é a pressão, ν é o coeficiente de viscosidade cinemática molecular, δij é o o tensor delta de Kronecker, g é aceleração da gravidade, ijk é o tensor de Levi-Civita e Ωj é o vetor velocidade angular da rotação da Terra. A terceira equação é a equação de estado, que descreve as propriedades termodinâmicas do fluido. Se aproximarmos o ar a um gás ideal esta equação pode ser escrita como (2.3). P V = n<T,. onde V é volume do gás, n é o número de moles, < é a constante universal dos gases e T é a temperatura. Por fim, a segunda função do sistema que apresenta variáveis termodinâmicas é a que matematicamente representa a primeira lei da termodinâmica. Considerando um sistema que possua uma energia interna U , qualquer alteração infinitesimal percebida na energia interna dU será consequência da troca de energia com a vizinhança exclusivamente na forma de calor dQ ou trabalho P dV . Em micrometeorologia, o princípio da conservação de Entalpia definido por essa lei, que inclui contribuições tanto do calor sensível quanto do calor latente, pode ser expresso de forma simplificada para a temperatura potencial (θ) como (STULL, 1988) ∂θ ∂θ ∂ 2θ 1 + uj = νθ 2 − ∂t ∂xj ∂xj ρCp. . ∂Q∗j ∂xj. −. Lp E ρCp. (2.4). onde θ é a temperatura potencial, Cp o calor específico a pressão constante, νθ é o coeficiente de difusividade termal e Q∗j é a componente do saldo de radiação na direção j. Nesta equação E é a informação de mudança de fase, ou seja, representa a massa de vapor d’áqua por unidade de volume sendo criada por uma mudança de fase; consequentemente, Lp é o calor latente associado a E. A grande dificuldade no uso de uma abordagem determinística baseada nes-.

(20) 17 sas equações está relacionada ao fato da equação de Navier-Stokes não possuir solução analítica. Uma alternativa utilizada é a solução numérica desta equação, porém, devido às enormes escalas temporais e espaciais envolvidas na turbulência, isto exige uma capacidade de processamento muito além dos recursos computacionais disponíveis atualmente. Por esses fatores, continuamente, novas abordagens são apresentadas como alternativas pera um melhor entendimento de toda a fenomenologia que envolve a turbulência.. 2.2. Abordagem estatística. Figura 2.1 – Série temporal turbulenta da componente longitudinal do vento apresentada em duas janelas observacionais diferentes: 29h (superior) e 5h (inferior). A figura 2.1 apresenta a variação temporal da componente longitudinal da velocidade do vento u, para duas escalas observacionais diferentes, em um escoamento turbulento na CLA. A complexidade desse sinal demonstra mais uma vez a dificuldade de se prever através de uma teoria analítica cada realização desse.

(21) 18 processo. Mesmo diante do caráter “desorganizado” e imprevisível do comportamento dessa série, suas propriedades estatísticas são perfeitamente reproduzíveis (FRISCH, 1995). Este fato justifica o uso de uma descrição probabilística para a turbulência que permita, através da teoria probabilística de variáveis aleatórias ou processos estocásticos, definir certas propriedades estatísticas da turbulência. Com o grande avanço na tecnologia dos instrumentos de medidas, a análise estatística de dados experimentais passou a ter papel central em micrometeorologia, pois, como veremos a seguir, muitas propriedades físicas dos escoamentos turbulentos podem ser obtidos através dessa análise, assim como parâmetros de entrada em modelos que simulam esse tipo de escoamento. Como visto no captítulo 1, o problema na solução numérica da equação de Navier-Stokes pode ser amenizado aplicando o procedimento de Reynolds nesta equação, no qual uma solução média da equação é obtida, em função do uso de uma escala temporal e espacial conveniente.. 2.2.1. Procedimento de Reynolds Consideremos que f e g sejam duas variáveis turbulentas e a seja uma cons-. tante arbitrária. O procedimento consiste em separar qualquer variável em uma parte média e outra parte turbulenta. Nesse ponto deve ficar claro que a forma em que a média é obtida deve ser tal que obedeça as condições de Reynolds, pois estas condições definem as propriedades do operador média que permitem uma simplificação mais eficiente da equação de movimento. As propriedades de que devem ser satisfeitas são: f +g =f +g. (2.5a). a=a. (2.5b). cf = cf. (2.5c). ∂f ∂f = ∂t ∂t. (2.5d). fg = fg. (2.5e). Podemos observar algumas consequências importantes destas condições.

(22) 19 quando supomos diferentes valores para g na equação 2.5e. Uma delas ocorre quando supomos g = 1, onde temos que f = f . Com este resultado podemos facilmente mostrar que f 0 = f − f = 0. Este último resultado é muito importante pois nos permite realizar algumas simplificações nas equações após aplicarmos o procedimento de Reynolds, como veremos nos exemplos abaixo. Isto é possível pois, sob algumas condições especiais, como a estacionariedade, que será discutida no próximo capítulo, f g 0 = f g 0 = 0.. (2.6). Como exemplo da aplicação do procedimento de Reynolds, utilizaremos a equação de conservação do calor 2.4. O primeiro passo é separar as variáveis em uma parte média e outra turbulenta. Desta forma reescrevemos a equação como:. ∂(θ + θ0 ) 1 ∂ 2 (θ + θ0 ) ∂(θ + θ0 ) = νθ − + (uj + u0j ) 2 ∂t ∂xj ∂xj ρCp. ∂(Q∗j + Q∗j 0 ) ∂xj. ! −. Lp E . ρCp. Efetuando a multiplicação e separando os argumentos das derivadas obtemos: ∂θ ∂θ0 ∂θ ∂θ0 ∂θ ∂θ0 + + uj + uj + u0j + u0j = ∂t ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ! ∗0 ∂Q∗j ∂Qj ∂ 2θ 1 1 Lp E ∂ 2 θ0 νθ 2 + νθ 2 − − − . ∂xj ∂xj ρCp ∂xj ρCp ∂xj ρCp. (2.7). Se considerarmos uma aproximação de incompressibilidade do fluído ( ∂ρ = ∂t 0) e subistituindo na equação da continuídade 2.1 temos que ∂uj = 0. ∂xj. (2.8). Sabendo que ∂u0j ∂u0 θ0 ∂θ0 = u0j + θ0 (regra da cadeia), ∂xj ∂xj ∂xj multiplicamos a equação 2.8 por θ0 e substituímos na equação 2.7 para reescrever-.

(23) 20 mos o sexto termo como o produto de duas componentes turbulentas, desta forma ∂θ0 u0j ∂θ ∂θ0 ∂θ ∂θ0 ∂θ + + uj + uj + u0j + = ∂t ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj. ∂ 2 θ0 1 ∂ 2θ νθ 2 + νθ 2 − ∂xj ∂xj ρCp. ∂Q∗j ∂xj. !. 1 − ρCp. . ∂Q∗j 0 ∂xj. −. Lp E . ρCp. O último passo do procedimento de Reynoldas é aplicar o operador média em todos os termos da equação: ∂θ0 u0j ∂θ ∂θ ∂θ0 ∂θ ∂θ0 + + uj + uj + u0j + = ∂t ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj 1 ∂ 2θ ∂ 2 θ0 νθ 2 + νθ 2 − ∂xj ∂xj ρCp. ∂Q∗j ∂xj. !. 1 − ρCp. . ∂Q∗j 0 ∂xj. −. Lp E . ρCp. Pelas condições impostas em 2.5, os termos da equação que apresentam apenas uma componenta turbulenta são iguais a zero. Sendo assim, a equação de Reynolds para a temperatura potencial é: 1 ∂θ ∂θ ∂ 2θ + uj = νθ 2 − ∂t ∂xj ∂xj ρCp. ∂Q∗j ∂xj. !. Lp E ∂θ0 u0j − − . ρCp ∂xj. (2.9). O objetivo deste procedimento é reescrever as equações do movimento para as componentes médias dos escoamentos (equações de Reynolds), como foi feito para a equação de conservação de calor. Porém, o uso deste acarreta em um problema de fechamento que é o surgimento de novas incógnitas: no caso acima, o termo θ0 u0j . Essas variáveis estatísticas (momentos centrais de segunda ordem) têm origem nos termos não-lineares de advecção turbulenta e são chamados de fluxos cinemáticos quando originados nas equações de conservação de massa de qualquer escalar, ou componentes do estresse de Reynolds (u0i u0j ) originados da equação de Navier-Stokes. Fluxos cinemáticos correspondem aos fluxos físicos reais a menos de uma constante, o que permite tratarmos diretamente os fluxos turbulentos de grandezas vetoriais e escalares na CLA em termos de variâncias/covariâncias estatatísticas. Isto permite estimar os fluxos através de dados experimentais (método de covariância dos vórtices), sendo amplamente utilizado em diversas áreas, como já mencionado..

(24) 3. ANÁLISE ESTATÍSTICA Nos capítulos anteriores vimos a importância da descrição estatística da tur-. bulência, principalmente em micrometeorologia, e como ela está fortemente ligada ao conceito de estacionariedade. Neste capítulo o conceito formal de estacionariedade será estabelecido e uma análise sobre a dificuldade em caracterizar esta propriedade em turbulência será feita juntamente com a descrição de alguns testes propostos.. 3.1. Momentos estatísticos Quando utilizamos uma abordagem estatística estamos inconscientemente. usando uma abordagem probabilística, na qual um escoamento turbulento é considerado como uma realização de um conjunto (ensemble) de escoamentos semelhentes, ou seja, sob efeito das mesmas condições externas. Como as variáveis turbulentas apresentam um caráter imprevisível, é comum supormos, nessa abordagem, que uma série temporal seja considerada como uma variável aleatória (MONIN; YAGLOM, 1971; POPE, 2000). Desta forma, se obtivermos um conjunto muito grande de realizações, será possível determinar para cada varíavel (neste caso a componente longitudinal do vento u(~x, t)) uma função p(u), chamada função densidade de probabilidade (FDP), que indica a densidade de probalididade de se encontrar um determinado valor de u(~x, t) no intervalo entre u e u + du. Com isto, podemos definir a chamada média probabilística ou primeiro momento estatístico, que para uma FDP contínua, é escrita como Z. ∞. hu(~x, t)i =. up(u)du.. (3.1). −∞. Podemos generalizar essa definição para escrevermos os momentos estatísticos centrais, ou centrados na média, de ordem “n” que contém as informações sobre a forma da distribuição de probabilidade. Logo 0. n. Z. ∞. hu (~x, t) i =. (u − hui)n p(u)du.. (3.2). −∞. Para exemplificar, o momento de segunda ordem, também chamado variância, nos fornece informação sobre a dispersão da distribuição em relação à media, o de ter-.

(25) 22 ceira ordem sobre a assimetria da distribuição e o de quarta ordem mede o fator de curtose. A definição de fluxos cinemáticos turbulentos exige que utilizemos a mesma abordagem probabilística descrita acima, mas neste caso, para duas variávies. Para isso precisamos da função densidade de probabilidade conjunta (p(u, v)), tal que, p(u, v) = p[u < u(~x, t) 6 u + du, v < v(~x, t) 6 v + dv]. De forma análoga ao momento de segunda ordem, podemos definir covariância entra as variáveis u e v por 0 0. Z. ∞. Z. ∞. hu v i =. (u − hui)(v − hvi)p(u, v)dudv. −∞. (3.3). −∞. Como é de se esperar, momentos estatísticos bivariados nos dão a informação de como as duas variáveis estão relacionadas.. 3.2. Estacionariedade Quando dizemos que um processo físico está em um estado estacionário,. concluímos intuitivamente, e de forma errônea, que estamos diante de um cenário estático das variáveis envolvidadas nesse fenômeno. Na análise de processos estocásticos, um sistema físico dinâmico pode ser considerado estacionário quando suas propriedades estatísticas não variam no tempo. Formalmente, consideraramos que uma varíavel física, por exemplo u(~x, t), seja fortemente estacionária, ou estritamente estacionária, quando u(~x, t) e u(~x, t + τ ), ∀τ > 0, possuem a mesma FDP. Esta condição é extremamente rigorosa e não aplicável para a maioria dos sistemas reais, mesmo sem mencionar a dificuldade de se estimar os momentos estatísticos de ordem superiores. Como alternativa, definimos uma forma de estacionariedade restrita, ou de ordem n (PRIESTLEY, 1981), onde se espera que apenas algumas propriedades da FDP sejam invariantes no tempo, mais especificamente os momentos estatísticos de ordem 1 a n. Por exemplo, para a estacionariedade de segunda ordem ou fraca, temos que os valores de hu(~x, t)i e hu02 i são constantes, independentemente do valor de t, e a covariância entre u(~x, t) e u(~x, t + τ ) (autocovariância) é função apenas do intervalo de separação τ . Quando aplicamos o procedimento de Reynolds na equação de conservação do calor, em momento algum mencionamos o “tipo” de média que foi utilizado, apenas.

(26) 23 as condições que devem ser satisfeitas por essa média. Na realidade, as condições impostas em 2.5 são satisfeitas, em geral, por qualquer operador média baseado na convolução do sinal com uma função peso constante normalizada, como a média temporal e espacial. O grande problema na utilização dessas médias, independente da forma da função peso, é que dependem do intervalo espacial ou temporal em que são calculadas. Desta forma, mesmo para uma variável estacionária, muito cuidado deve ser tomado quanto à determinação desta janela temporal/espacial. Conforme Mahrt (2010), filtros baseados na tranformada de Fourier e decomposições em base de ondaletas violam a condição imposta por 2.6 e, por causa disso, termos do tipo u0j. ∂θ ∂θ0 ou uj ∂xj ∂xj. podem ser diferentes de zero. Contudo, este fato geralmente é negligenciado sem prévia explicação. Por outro lado, a média probabilística, definida na seção anterior, independe de uma janela temporal ou espacial, o que a torna uma alternativa mais adequada para o procedimento de Reynolds. De fato, para calcular o valor médio de u(~x, t) levamos em conta o valor de u na mesma posição ~x e no mesmo tempo t de todos os escoamentos que formam o ensemble. Diferentemente do que ocorre em experimentos de laboratório, é virtualmente impossível controlar as condições externas que interferem nos escoamentos na CLA, o que impossibilita a determinação de um ensemble turbulento, excluindo completamente a possibilidade do uso da média probabilística na análise de dados turbulentos. Dados experimentais em escala espacial são muito raros, devido ao alto custo de implantação dos equipamentos ou mesmo pelas dificuldades de medições. Por estes motivos, a grande maioria de dados experimentais micrometeorológicos disponíveis são de séries temporais, ou seja, as variáveis são medidas em um ponto fixo no espaço a uma frequência fixa. Essa limitação experimental nos restringe apenas ao uso de médias temporais, o que de fato não seria um grande problema, já que pelo teorema ergódico, a média temporal converge para a média probabilística à medida que a janela temporal aumenta. No entando, a convergência definida pelo teorema só ocorre para séries estacionárias. Isto é, de certa forma, esperado, já que.

(27) 24 a média temporal numericamente calculada pela forma amostral N 1 X u= un N n=0. (3.4). deixa de ter sentindo para ume séria com tendência monotônica ou periódica com período na ordem de N ∆t, onde ∆t é o inverso da frequência de aquisição. Existem argumentos suficientes que comprovam a forte relação entre a estacionaredade das séries temporais e uma boa estimativa de fluxo pela covariância, por isso é fundamental a elaboração de um método eficiente que teste a estacionariedade de séries temporais características da CLA. Em geral, séries experimentais micrometeorológicas são compostas por apenas uma longa realização de aquisição de dados, que são separadas e analisadas independentementes. Logo, detectar estacionariedade nesse tipo de sinal é uma tarefa complexa, pois estamos tratando de uma propriedade do ensemble (GLUHOVSKY; AGEE, 1994), e não de uma simples realização. Como consequência disso, elaborar um teste de estacionariedade levando em conta sua definição formal é muito difícil, pois só temos disponíveis uma informação que são os valores assumidos no tempo pelas variáveis de um único escoamento, por exemplo u(t), na qual as propriedade estatísticas (momentos) dependem de uma janela temporal. Uma alternativa muito utilizada, consiste em dividir a série temporal em um conjunto de seguimentos e verificar se as propriedades desses seguimentos variam. Baseados nessa idéia, Witt, Kurths e Pikovsky (1998) propuseram um teste que compara o espectro de potência e a distribuição de probabilidade estimados para seguimentos consecutivos do sinal e verifica sua aplicabilidade em uma grande variedade de séries reais e sintéticas. Voltados para a análise de sinais fisiológicos. Popivanov e Mineva (1999) apresentam alguns métodos de detecção de não estacionariedade simples e intuitivos baseados na análise da função de autocorrelação, bem como um teste mais formal que analisa a variação das propriedades fractais dos diversos seguimentos do sinal através da Detrended Fluctuation Analysis (DFA). Usando decomposição baseada em ondaletas, Chen e Rao (2002) propuseram um teste de estacionariedade que leva em consideração variações nos coeficientes dessa decomposição nas diferentes escalas em séries hidrológicas..

(28) 25 3.3. Testes de estacionariedade Devido à dificuldade em testar a estacionariedade de séries temporais no. que diz respeito à invariância temporal da FDP, um número não muito grande de testes alternativos são encontrados na literatura. Pelos exemplos citados acima, podemos notar que tais testes são baseados em metodologias diferentes e que de forma alguma podem ser considerados como definitivos, pois são adaptados conforme a natureza do dado ou o problema a que está relacionado. Ciente desta limitação, o termo estacionariedade será utilizado fora do contexto formal de sua definição para variáveis estocásticas. A partir deste ponto do texto, este termo será associado à invariância de certas propriedades estatísticas, que vai depender do teste em questão, estimadas para seguimentos que compõem a série temporal. Nesta seção descrevemos um conjunto de testes de estacionariedade baseados em testes estatísticos de hipótese nula ou intervalo de confiança. O procedimento básico por trás desses testes consiste em rejeitar ou não uma hipótese, chamada hipótese nula (H0 ), feita sobre as características das distribuições de frequências das populações (conjunto de dados) aos quais pertencem as amostras analisadas. Com exceção do teste das interações, em que a estacionariedade é associada com a aleatoriedade de um conjunto de médias, a hipótese de estacionariedade de primeira ou segunda ordem é rejeitada quando a informação obtida com base em duas amostras independentes evidencia a existência de diferenças nas populaçãos hipotéticas a que pertencem essas amostras. A vantagem dessa metodologia é que, diferentemente de testes intuitivos, está suportada pela teoria amostral estatística, que há longa data já tem sido utilizada em diversas áreas da ciência. A não-estacionariedade encontrada em séries temporais atmosféricas é atribuída principalmente à presença de tendências com origem nos eventos de mesoescala e efeitos de ciclos diários. Esses efeitos são caracterizados por uma variação temporal da média, o que justifica nosso interesse na estacionariedade de primeira ordem, que de certa forma, está associada com o procedimento de Reynolds. O algorítmo geral desses testes pode ser simplificado da seguinte forma: a) Definir H0 (estacionariedade); b) Sob a premissa que H0 é verdadeira, calcular um escore estatístico de distribuição.

(29) 26 de frequência conhecida com base nas propriedade estatísticas das amostras; c) A hipótese é aceita se o valor do escore estiver contido dentro de um intervalo de confiança definido para um determinado nivel de significância. O intervalo de confidência é definido pela forma da distribuição e representa os valores assumidos pelo escore na qual H0 é verdadeira e o nível de significância α representa a probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é verdadeira, ou seja, estamos desprezando uma porcentagem α dos valores extremos da distribuição. Logo, os valores extremos do intervalo de confidência dependem diretamente do valor de α, que em geral são iguais a 0,01 e 0,05, e podem ser encontrados em tábuas disponíveis em livros-texto. Os testes de hipótese nula podem ser classificados com paramétricos e nãoparamétricos conforme a descrição abaixo.. 3.3.1. Testes paramétricos Estatísticas paramétricas são assim chamadas pelo fato das inferências se-. rem feitas com base em parâmetros da população, em outras palavras, as distribuições das populações devem ser conhecidas. Como consequência disso, os escores são obtidos através de parâmetros estatísticos supostos para essa população e parâmetros calculados das amostras.. 3.3.1.1. Teste t-Student (teste-t) Em teoria estatísca das pequenas amostras, definimos o escore t como t=. X − µ√ N − 1, s. (3.5). onde N , X e s são respectivamente o tamanho, a média o desvio padrão da amostra, e a distribuição amostral desse escore é chamada t-Student, que se aproxima da distribuição Gaussiana à medida que N aumenta. Se duas amostras normalmente distribuídas de tamanhos n1 e n2 são obtidas de populações igualmente normalmente distribuídas, então podemos assumir que a diferença entre dois t escores também apresenta uma distribuição t-Student. Logo, para testarmos a hipótese de que as.

(30) 27 amostras foram obtidas de populações com mesma média e variância usamos o escore X 1 − X2 t= 1/2 σ12 σ22 + n1 n2. . n1 + n2 − 2 n1 + n + 2. 1/2 ,. (3.6). com ν = n1 + n2 − 2 graus de liberdade1 (SPIEGEL; SILVA; LEOTE, 1972; WILKS, 1995). Supondo que a distribuição de uma vaiável turbulenta seja gaussiana, a aceitação de h0 implicaria na aceitação da hipótese de invariância da distribuição, pois nesse caso as duas amostras pertencem à populções com mesma distribuição.. 3.3.1.2. Teste-F Este teste tem sua origem na propriedade da distribuição F, que nada mais. é que uma distribuição amostral do escore estístico F definida como a razão entre dois escores qui-quadrados (χ2 ) divididos pelo grau de liberdade (ν) das respectivas amostras. Logo F =. χ21 ν1 χ22 ν2. .. (3.7). O escore qui-quadrado é definido por ns2 χ = 2, σ 2. (3.8). onde n e s2 é o tamanho e a variância amostral, respectivamente, e σ 2 é a variância da população. Tendo isso, sob a hipótese nula que as populações amostradas possuem a mesma variância (σ12 = σ22 ) e usando νi = ni − 1, com i = 1, 2, podemos reescrever a estatística F como (SPIEGEL; SILVA; LEOTE, 1972; WILKS, 1995): n1 s21 (n2 − 1) F = . n2 σ22 (n1 − 1). (3.9). Por definição, a distribuição F assume que as populações amostradas são gaussianas e sua forma depende do grau de liberdade das amostras. Consequentemente, os limites da estatística F em que a hipótese de independência temporal da variância, 1. tra.. Os valores n1 e n2 correspondem ao número de varíaveis independentes contidas em cada amos-.

(31) 28 ou estacionariedade do momento de segunda ordem, é aceita dependerá de n1 e n2 .. 3.3.2. Testes não-paramétricos Em muitas situações, como em turbulência, o formato da distribuição das va-. riáveis físicas são analiticamente desconhecidas. Nesses casos, deve-se usar uma estatística de “distribuição livre” chamada não-paramétrica. As estatísticas não paramétrica são menos restritivas em relação à natureza da população, tal que, todas as inferências acerca das populações têm origem exclusivamente no comportamento das amostras, da forma como estão distribuídas.. 3.3.2.1. Teste das interações de Wald-Wolfowitz Este teste é aplicável quando se pretende verificar a hipótese que as amos-. tras pertencem a populações com distribuições idênticas. Se as distribuições diferem de alguma forma, seja em tendências centrais, variabilidade ou assimetria, H0 é rejeitada. O primeiro passo para determinar o escore estatístico é combinar as amostras e ordená-las crescentemente enquanto suas identidades de origem, A ou B, são mantidas. Então, conta-se o numero de “interações” (r ) - número de sequências de mesma identidade observada nos dados combinados. Podemos concluir intuitivamente que, para duas amostras pertencentes a populações com distribuições idênticas, os elementos dessas amostras no conjunto de dados combinados estejam muito bem “misturados”. Neste caso r deve ser maior que os escores obtidos quando as populações diferem em relação à média ou parâmetros de dispersão ou curtose. Sob a condição que H0 é verdadeira e para grandes amostras (n1 e n2 maiores que 20) r é normalmente distribuída tal que podemos definir (SIEGEL, 1975): r− z=q. . 2n1 n2 n1 +n2. +1. . 2n1 n2 (2n1 n2 −n1 −n2 ) (n1 +n2 )2 (n1 +n2 −1). .. (3.10). Conforme Correia e Landolt (1977), a hipótese de estacionariedade é rejeitada em nossa análise quando |z| ≥ 2.576 para um teste bilateral com α = 0.01..

(32) 29 Conforme Daniel (1978), o Teste das interações de Wald-Wolfowitz proporciona melhores resultados para pequenas amostras, na ordem de vinte valores. Atribuímos a isso o fato deste teste ter discordado tanto dos demais testes que verificam a invariância da distribuição, o que nos leveu a descartar este mesmo de nossas análises.. 3.3.2.2. Teste rápido de Tukey De todos os testes paramétricos, o Teste de Tukey é considerado o mais rá-. pido e prático devido ao fato de eliminar o uso de tabelas especiais. Como no Teste das interações de Wald-Wolfowitz, a hipótese a ser rejeitada é que as duas amostras tem origem em populações com distribuições idênticas. A lógica por trás deste teste é que, quanto maior superposição entre as observações, mais similares são as distribuições das populações. A mensuração dessas superposições é feita pelo escore T, que é obtido através de um sequência de procedimentos simples. Primeiramente, as duas amostras são combinadas em um único conjunto de dados e, após isto, os maiores e menores valores são localizados. O segundo passo é identificar a amostra que contém o menor valor dentro do conjunto combinado, e então, contar o número de valores nesta amostra que são menores que o valor mínimo da outra amostra. O mesmo procedimento deve ser repetido para o maior valor do conjunto combinado. Atribuímos ao escore T a soma dos resultados encontrados nos dois processo de contagem. A simplicidade deste método é que a hipótese nula de estacionaridade pode ser rejeitada diretamente se T ≥ 10. Embora a literatura considere este teste como o mais simples e prático (DANIEL, 1978), o uso deste para grandes amostras implica em um grande aumento no custo computacional devido à necessidade de variarmos o tamanho das amostras até que sejam encontradas duas amostras nas quais uma contenha o valor máximo e outra o mínimo. Desta forma, perdemos a precisão na escala amostral necessárias nas análises a seguir. Por esses motivos este teste também foi recusado..

(33) 30 3.3.2.3. Teste da mediana A principal característica dos testes não-paramétricos, que é o desconhe-. cimento da forma da distribuição das populações que originaram as amostras, nos permite extrapolar a idéia de estacionariedade de primeira ordem, invariância da média, como a invariância temporal de uma tendência central como a mediana. Como em outros testes não-paramétricos, o procedimento inicial é a concatenação de duas amostras com tamnhos iguais a n1 e n2 , para em seguida, calcularmos a mediana (M ) para esse conjunto combinado. Uma tabela de contigência (2 × 2) é criada contendo o número de elementos da primeira amostra maiores e menores que M , chamados de A e C respectivamente, e da mesma forma para a segunda amostra, os valores B e D. A idéia basica aqui é que se H0 é verdadeira, é experado que A e C sejam aproximadamente iguais a n1 /2 assim como B e D sejam aproximadamente iguais a n2 /2. No entanto, a rejeição de H0 dependerá da capacidade do teste em identificar as discrepâncias entres estes valores. Para isso, usamos o teste χ2 para determinar a significância destas discrepâncias. Logo N 2 N |AD − BC| − 2 χ2 = , (A + B)(C + D)(A + C)(B + D). (3.11). com N = n1 + n2 , é o escore χ2 com grau de liberdade igual a um para a tabela de contingência descrita acima (SIEGEL, 1975). Desta forma, a suposição de estacionaridade da tendência central, neste caso a mediana é rejeitada quando χ2 ≥ 6.64.. 3.3.2.4. Teste-U de Mann-Whitney Este teste é considerado uma aternativa não-paramétrica poderosa para o. teste t-Student e, assim como ele, verifica a hipótese de que duas amostras foram retiradas de populações com mesma distribuição. Consideremos duas amostras de tamanhos iguais a n, que são combinadas e reordenadas em ordem crescente, mantendo a identidade de cada amostra (A e B). A soma a das posições ocupadas pelos elementos da amostra A na série combinada é realizada, assim como a soma b das posições do elementos de B. Se as tendências centrais de A forem menores que as de B, é esperado que a seja menor que b. O oposto é esperado se as tendências centrais de A forem maiores que as de B. O.

(34) 31 escore estatístico que determina o quanto a diferença entre a e b é suficientemente grande para rejeitarmos a hipótese de estacionariedade é dada pelo escore U, tal que U =a−. n(n + 1) . 2. (3.12). Para grandes amostras (n > 20), a estatística U tende rapidamente à distribuição normal, com isso, podemos escrever que (SIEGEL, 1975; DANIEL, 1978) U− z=q. n2 2. n2 (2n+1) 12. .. (3.13). Como já foi definido para os escores normalmente distribuídas, a hipótese de estacionariedade, a invariância da distribuição, é rejetitada quando |z| ≥ 2.576 para α = 0, 01.. 3.3.2.5. Teste das interações Dentre os testes descritos, o teste das interações é o mais utilizados na aná-. lise de dados da CLA, onde podemos citar Cullen, Steffen e Blanken (2007), Chen (2004), Dias et al. (2004) e Gluhovsky e Agee (1994). Diferentemente dos demais testes, que utilizam duas amostras para calcular o escore estatístico, no teste das interações a hipótese de estacionariedade é verificada com o uso de apenas uma amostra do sinal. Para uma série ergódica, é de se esperar que momentos estatísticos calculados para diferentes seguimentos dessa série variem, porém dentro de uma distribuição amostral gaussiana. Em outras palavras, o teste das interações mede o grau de aleatoriedade do conjunto de um certo momento, nesse caso a média, com o intuito de detectar uma tendência no dado. O procedimento realizado neste teste é muito próximo ao do teste das interações de Wald-Wolfowitz. O primeiro passo é dividir a série em seguimentos aproximadamente independentes e calcular a média de cada seguimento. Em seguida, calcula-se a mediana de toda a série e, mantendo a ordem dos seguimentos, assinala-se com o símbolo de “+”’ ou “-” os valores das médias meiores e menores que a mediana respectivamente. O número de interações r é determinado para esse conjunto de sinais..

(35) 32 Para um número de seguimentos maiores que vinte, uma boa aproximação para a distribuição de r, sob a hipótese de estacionariedade, é dada pela distribuição amostral normal 3.10. Desta forma, a hipótese de estacionariedade de primeira ordem é rejeitada para valores de |z| ≥ 2.576, com α = 0, 01..

(36) 4. FERRAMENTAS DE DECOMPOSIÇÕES Dados experiemntais da CLA apresentam uma característica muito peculiar. que é a superposição de escalas entre os turbilhões produzidos localmente e as estruturas de grandes escalas, como ondas de gravidade, escoamentos de drenagem e circulações topográficas (VORONOVICH; KIELY, 2007). A presença destes eventos de escalas maiores que a turbulenta podem ser geralmente associadas à presença de uma tendência no dado analisado que, independente de representar ou não um fluxo real, acrescenta uma grande variabilidade e possível incerteza nos valores estimados para essa grandeza pela covariância. Para fazermos uma associação entre esses eventos e a não-estacionariedade das séries turbulentas, utilizaremos dois métodos modernos de decomposição de sinais descritos nas próximas seções.. 4.1. Análise de multiresolução A análise de multiresolução, introduzida por Mallat (1989), é uma ferramenta. de decomposição de sinais em uma base ortogonal de ondeletas que, de forma simples, pode ser comparado a um efeito de zoom, onde para cada componente temos a informação referente a uma determinada escala. Este método representou um grande avanço na análise de sinais por permitir, através do conceito de escala, uma representação espectral na frequência e no tempo. A informação extraída de cada escala, vai depender da forma da ondeleta escolhida na transformada discreta. Em micrometeorologia, tem-se optado pela ondaleta de Haar por apresentas as seguintes vantagens/características: a) possuir um algorítimo de transoformada rápida, b) por essa decomposição obedecer as propriedades de Reynolds e c) a integração do coespectro de multiresolução até um tempo t = τ é igual à covariância (fluxo) calculado para um intervalo de tempo de 0 a τ . Embora em nossas análise tenhamos utilizado a transformada rápida de Haar, a compreensão da metodologia por trás da análise de multiresolução fica mais clara quando interpretada em termos de médias móveis Vickers e Mahrt (2003), que.

(37) 34 apresenta o mesmo resultado e mantém as mesmas características da transformada de Haar. Considere uma série temporal ui , com i = 1, 2, ..., 2N . O procedimento diádicopiramidal por trás dessa decomposição está representado na figura 4.1. O primeiro passo é calcular a média (u0,1 ) da série inteira (2N elementos) e remover o valor encontrado da série original. A série resultante da subtração ur1 , é dividida em duas partes com 2N −1 elementos e as médias de cada segmento (u1,1 ) e (u1,2 ) são calculadas e subitraídas dos respectivos segmentos de ur1 , originando uma nova série ur2 . Esta última, por sua vez, é dividida em quatro segmentos iguais de 2N −2 elementos, onde novamente são calculadas as médias (u2,1 , u2,2 , u2,3 e u2,4 ) e subtraídas de ur2 . Este processo é repetido até que seja atingida a escala de mais alta resolução possível para o dado, onde teremos 2N segmentos de 20 elementos. Desta forma, estamos extraindo da série temporal a informação contida em cada escala, nesse caso temporal, igual a 2N −j com j = 1, ..., N .. Figura 4.1 – Exemplo do processo de multiresolução aplicado à uma série temporal..

(38) 35 A partir disso, definimos o espectro de multiresolução como 2j P. M R(2N −j ) =. (uj,k )2. k=1. 2j. , j = 1, ..., N. (4.1). e, de forma análoga, o coespectro de multiresolução para séries temporais de, por exemplo, wi e Ti tem a forma 2j P N −j. M R(2. )=. wj,k T j,k. k=1. 2j. , j = 1, ..., N.. (4.2). Fica claro que a proposta dessa análise é permitir a visualização mais detalhada do sinal (maior resolução) à medida que reduzimos a escala observada. Expandindo essa idéia para a análise de séries turbulentas, podemos assumir que o coespectro de multiresolução representa, neste caso, a parcela de contribuição no transporte turbulento associada aos turbilhões de escalas temporais na ordem de 2N −j . Embora a existência de uma lacuna espectral que claramente separe a contribuição dos movimentos turbulentos dos eventos sinópticos, como apresentado por Hoven (1957), seja prevista e frequentemente suposta, análises de dados experimentais atmosféricos baseada na transformada de Fourier dificilmente apresentam esta lacuna. Isso nos leva à conclusão que a simples aplicação de uma média temporal com uma janela limitada superiormente na região da lacuna não garante uma real separação entre as escalas turbulentas e meso-escala. Porém, em alguns casos, geralmente na camada estável, a análise de multiresolução permite a identificação de uma lacuna espectral (VICKERS; MAHRT, 2003; VORONOVICH; KIELY, 2007), permitindo uma melhor investigação acerca dos fenômenos de baixa frequência. Para deixar mais claro nosso interesse nas componentes das grandes escalas, representamos na figura 4.2 o espectro de multiresolução das componentes do vento e da temperatura. Como a integral do espectro de multiresolução realizada da origem até uma determinada escala de tempo é idêntica à energia cinética turbulenta calculada através da variância nessa mesma janela temporal, podemos associar essa grande variabilidade do espectro a um aumento na incerteza dos valores estimados.