Cap. 11 - Linhas de Transmissão

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Linhas de Transmissão

Estudamos a propagação de ondas em meios ilimitados, na qual existe uma onda plana uniforme por todo o espaço (onda não guiada). A potencia de informação pode ser transmitida através de estruturas de guiamento.

Os Problemas de linhas de transmissão podem ser resolvidos utilizando o teorema de campos EM e a teoria de circuitos elétricos.

PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

Descrevemos as linhas de transmissão em termos de parâmetros de linha, que são:

R – Resistência por unidade de comprimento; L – Indutância por unidade de comprimento; G – Condutância por unidade de comprimento; C – Capacitância por unidade de comprimento.

Deve-se notar que:

1. Os parâmetros de linha R,L,G e C são distribuídos

2. Os condutores → 𝜎𝑐; 𝜀𝑐; 𝜇𝑐 Dielétricos → 𝜎; 𝜀; 𝜇 3.

𝐺 ≠

𝑅 R = resistência por unidade de comprimento dos condutores

utilizados;

G = condutância por unidade de comprimento devido ao dielétrico que separa os condutores.

4. A indutância considerada L é a indutância externa (Produzida pelo fluxo externo ao condutor). Os efeitos da indutância interna são desprezíveis em altas frequências 𝐿_𝑖𝑛𝑡 = 𝑅

𝜔

5. Para cada linha podemos observar que:

𝐿𝐶 = 𝜇𝜀 𝑒

𝐺

𝐶

=

𝜎

𝜀

Exemplo: Linha Coaxial

• Temos uma onda transversal eletromagnética (TEM)

EQUAÇÕES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

Uma linha e transmissão a dois condutores suporta uma onda TEM, isto é, o campo elétrico e o campo magnético na linha são transversais a direção de propagação da onda.

Os campos 𝐸⃗ e 𝐻⃗⃗ estão univocamente relacionadas com a tensão V e a corrente I, respectivamente:

Usamos as grandezas V e I da teoria de circuitos no estudo das linhas de transmissão, ao invés de utilizar campos 𝐸⃗ e 𝐻⃗⃗ . Examinaremos uma porção incremental Δ𝑍 de uma linha a dois condutores. Desejamos encontrar um circuito equivalente para esta linha e obter a equação da linha. O Circuito equivalente de uma porção da linha é como mostrado a seguir

• Lei de Kirchhoff da Tensão 𝑉(𝑧, 𝑡) = 𝑅Δ𝑧𝐼(𝑧, 𝑡) + 𝐿Δ𝑧𝜕𝐼(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 + 𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) − [ 𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) − 𝑉(𝑧, 𝑡) Δ𝑍 ] = 𝑅𝐼(𝑧, 𝑡) + 𝐿𝜕𝐼(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 Tomando o limite Δ𝑧 → 0 tem-se:

−𝜕𝑉(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑣 = 𝑅𝐼(𝑧, 𝑡) + 𝐿

𝜕𝐼(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 • Lei de Kirchhoff da Corrente

𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝐼(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) + Δ𝐼 𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝐼(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) + 𝐺Δ𝑧𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) + 𝐶Δ𝑧𝜕𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 − [ 𝐼(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) − 𝐼(𝑧, 𝑡) Δ𝑍 ] = 𝐺Δ𝑧𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) + 𝐶Δ𝑧𝜕𝑉(𝑧 + Δ𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 Tomando o limite Δ𝑧 → 0 tem-se:

−𝜕𝐼(𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧 = 𝐺𝑉(𝑧, 𝑡) + 𝐶

𝜕𝑉(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡

Se assumirmos uma dependência temporal harmônica, de tal maneira que 𝑉(𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑉_𝑠(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡_]

𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝐼𝑠(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡] Assim as leis de Kirchhoff tornam-se:

−𝑑𝑉𝑠 𝑑𝑧 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)𝐼𝑠 − 𝑑𝐼_𝑠 𝑑𝑧 = (𝐺 + 𝑗𝜔𝐿)𝑉𝑠 −𝑑²𝑉𝑠 𝑑𝑧 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝑑𝐼𝑠 𝑑𝑧 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐿)𝑉𝑠

𝑑²𝑉𝑠 𝑑𝑧 − 𝛾

2_𝑉

𝑠 = 0 → EQUAÇÃO DE ONDA DE TENSÃO

Onde 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 = √(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐶) → Constante de Propagação [1/𝑚] Com:

𝛼 = constante de fase [𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠/𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜] 𝛽 = constante de atenuação [𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜]

O comprimento de onda 𝜆 e a velocidade da onda 𝑢 são dados por: 𝜆 =2𝜋

𝛽 𝑒 𝑢 = 𝜔 𝛽 = 𝑓𝜆

De maneira semelhante podemos determinar a equação de onda da corrente que é:

𝑑²𝐼_𝑠 𝑑𝑧 − 𝛾

2_𝐼 𝑠 = 0

As soluções das equações diferencias lineares e homogêneas são:

𝑉𝑠(𝑧) = 𝑉𝑜+𝑒−𝛾𝑧+ 𝑉𝑜−𝑒𝛾𝑧 𝑒 𝐼𝑠(𝑧) = 𝐼𝑜+𝑒−𝛾𝑧+ 𝐼𝑜−𝑒𝛾𝑧

Onde 𝑉𝑜+, 𝑉𝑜−, 𝐼𝑜+, 𝐼𝑜− são amplitudes das ondas. A expressão instantânea é dada por:

𝑉(𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑉_𝑠(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡_{] = 𝑉}

𝑜+𝑒−𝛾𝑧cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) + 𝑉𝑜−𝑒−𝛾𝑧cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)

Definimos impedância característica da linha como a razão entre a onda de tensão e a onda de corrente, que se propagam no sentido positivo, em qualquer ponto da linha (𝑍₀ é análogo a 𝜂). 𝑍0 = 𝑉_𝑜+ 𝐼_𝑜+ Temos −𝑑𝑉𝑠 𝑑𝑧 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)𝐼𝑠 𝑒 − 𝑑𝐼𝑠 𝑑𝑧 = (𝐺 + 𝑗𝜔𝐶)𝑉𝑠 Substituindo 𝑉𝑠(𝑧) e 𝐼𝑠(𝑧) respectivamente, temos:

𝑉_𝑜+𝛾𝑒−𝛾𝑧− 𝑉_𝑜−𝛾𝑒𝛾𝑧 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)[𝐼_𝑜+𝑒−𝛾𝑧+ 𝐼_𝑜−𝑒𝛾𝑧] 𝑉_𝑜+_{𝛾 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)𝐼} 𝑜+ −𝑉𝑜−𝛾 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)𝐼𝑜− ] → 𝑍₀ = 𝑉𝑜 + 𝐼_𝑜+ = 𝑉_𝑜− 𝐼_𝑜− = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝛾 Ou 𝑍0 = √ 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 = 𝑅0+ 𝑗𝑋0 Temos ainda a admitância característica 𝑌0 =

1 𝑍0

CASOS ESPECIAIS

A. LINHA SEM PERDAS (R = 0 = G)

Uma linha de transmissão é dita sem perdas se os condutores da linha são perfeitos (𝜎_𝑐 ≈ ∞) e o meio dielétrico que os separa é sem perdas (𝜎 ≈ 0).

Da tabela 11.1 → R = 0 = G 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 = √(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐶) = √𝑗2_𝜔2_{𝐿𝐶 = 𝑗𝜔√𝐿𝐶} 𝑢 =𝜔 𝛽 = 1 √𝐿𝐶 = 𝜆𝑓 𝑍₀ = √𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 = √ 𝐿 𝐶 = 𝑅0 𝑒 𝑋0 = 0

B. LINHA SEM DISTORÇÃO (R/L = G/C)

Em uma transmissão sem distorção o sinal de saída 𝑌(𝑡) do sistema tem a mesma forma que o sinal de entrada 𝑋(𝑡).

𝑌(𝑡) = 𝐾𝑋(𝑡 − 𝜏)

Onde K → 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒 𝜏 → 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 No domínio da frequência:

𝑌(𝑓) = 𝐾𝑋(𝑓)𝑒−𝑗𝜔𝜏

Que possui função de transferência 𝐻(𝑓) = 𝐾𝑒−𝑗𝜔𝜏, ou seja uma sem distorção é uma linha na qual a constante de fase 𝛼 é independente da frequência, enquanto que a constante de fase 𝛽 é linearmente dependente da frequência.

Da expressão geral de 𝛼 e 𝛽 obtemos uma linha sem distorção se: 𝑅 𝐿 = 𝐺 𝐶 Portanto 𝛾 = √(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐶) = √𝑅 (1 +𝑗𝜔𝐿 𝑅 ) 𝐺 (1 + 𝑗𝜔𝐶 𝐺 ) 𝛾 = √𝑅𝐺 (1 +𝑗𝜔𝐶 𝐺 ) = 𝛼 + 𝑗𝛽 𝛼 = √𝑅𝐺 , 𝛽 = 𝜔√𝐿𝐶

Mostrando que 𝛼 não depende da frequência, enquanto 𝛽 é uma função linear da frequência. 𝑍₀ = √𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶= √ 𝑅 (1 +𝑗𝜔𝐿_{𝑅 )} 𝐺 (1 +𝑗𝜔𝐶_{𝐺 )} = √𝑅 𝐺 = √ 𝐿 𝐶 = 𝑅0+ 𝑗𝑋0 𝑅₀ = √𝑅 𝐺 = √ 𝐿 𝐶 , 𝑋0 = 0 𝑒 𝑢 = 𝜔 𝛽 = 1 √𝐿𝐶 = 𝜆𝑓

OBS: uma linha sem perdas é também uma linha sem distorção, mas uma linha sem distorção não é necessariamente sem perdas.

IMPEDÂNCIA DE ENTRADA, ROE E POTÊNCIA

Considere uma linha de transmissão de comprimento L caracterizado por 𝛾 e 𝑍₀, conectado a uma carga 𝑍𝑐.

Para uma linha com perdas temos: 𝑍𝐸𝑁𝑇 = 𝑍0[

𝑍_𝑐 + 𝑍_𝑜tg ℎ𝛾𝑙 𝑍𝑜+ 𝑍𝑐tg ℎ𝛾𝑙

]

Para uma linha sem perdas, 𝛾 = 𝑗𝛽, tg ℎ𝑗𝛽𝑙 = 𝑗tg𝛽𝑙 𝑒 𝑍𝑜= 𝑅𝑜 logo obtemos: 𝑍_𝐸𝑁𝑇 = 𝑍₀[𝑍𝑐 + 𝑗𝑍𝑜tg ℎ𝛾𝑙

𝑍_𝑜+ 𝑗𝑍_𝑐tg 𝛽𝑙]

Mostrando que a impedância de entrada tem uma dependencia periódica com a distância e da carga.

Definiremos agora Γ_𝑐 como o coeficiente de reflexão da tensão na carga. Γ_𝑐 = 𝑉𝑜

−_𝑒𝛾𝑙 𝑉_𝑜+_𝑒−𝛾𝑙 =

𝑍𝑐 − 𝑍𝑜 𝑍_𝑐 + 𝑍_𝑜 Para um ponto qualquer da linha obtemos

Γ(z) = 𝑉𝑜 −_𝑒𝛾𝑙 𝑉𝑜+𝑒−𝛾𝑙 = 𝑉𝑜 − 𝑉𝑜+ 𝑒2𝛾𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑧 = 𝑙 − 𝑙′ Γ(z) =𝑉𝑜 − 𝑉_𝑜+𝑒 2𝛾𝑙_𝑒−2𝛾𝑙′ A razão de onda estacionária (ROE) é

𝑆 =𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑉_𝑚𝑖𝑛 = 𝐼_𝑚𝑎𝑥 𝐼_𝑚𝑖𝑛 = 1 + |𝑟₀| 1 − |𝑟_𝑐|

A potência média de entrada a uma distância e da carga é dada por: 𝑃_𝑚é𝑑 = 1

2𝑅𝑒[𝑉𝑠(𝑙)𝐼𝑠 ∗_(𝑙)] Onde o fator 1

2 aparece por estarmos tratando com valores de pico. Suporndo uma linha sem perdas encontramos:

𝑃𝑚é𝑑 = |𝑉_𝑜+_|2

2𝑍0

(1 − |Γ|2_{) NÃO DEPENDE DE 𝑙 PORQUE A LINHA É SEM PERDAS} A equação pode ser escrita como 𝑃_𝑡= 𝑃_𝑖 + 𝑃_𝑟

Podemos observar que a maxima potencia é transferia para a carga quando Γ = 0 Vamos agora considerar três casos especiais a linha em curto, a linha em aberto e a linha casada.

NA EXTREMIDADE DO GERADOR APENDICE A.3

A LINHA EM CURTO (𝒁_𝒄 = 0) 𝑍_𝑐𝑐 = 𝑍_{𝑒𝑛𝑡 |𝑍} 𝑐 = 0 = 0 + 𝑗𝑍0tg 𝛽𝑙 𝑍₀ + 0 = 𝑗𝑍₀tg 𝛽𝑙 ← Puramente Imaginária Γ𝑐 = 𝑍_𝑐 − 𝑍₀ 𝑍𝑐 + 𝑍0 → Γ𝑐 = −1 → 𝑆 = ∞ B LINHA EM ABERTO (𝒁𝒄 → ∞) 𝑍_𝑐𝑎 = lim 𝑍 𝑍0[ 𝑍𝑐+ 𝑗𝑍0tg 𝛽𝑙 𝑍₀+ 𝑗𝑍_𝑐tg 𝛽𝑙] = −𝑗𝑍0cotg 𝛽𝑙 Γ𝑐 = 1 → 𝑆 = ∞ OBS: 𝑍_𝑐𝑐∙ 𝑍_𝐶𝐴 = 𝑍₀2 C LINHA CASADA (𝒁𝒄 = 𝒁𝟎) 𝑍𝑒𝑛𝑡 = 𝑍0 Γ𝑐 = 0 𝑆 = 1

Isto é, 𝑉𝑜−= 0 Toda onda é transmitida e não há reflexão

A CARTA DE SMITH

É uma indicação gráfica da variação de impedância da linha de transmissão, conforme nos movemos ao longo da linha. Vamos supor que a linha que será analisada com a carta de Smith é sem perdas (𝑍₀ = 𝑅₀)

Γ = |Γ|∠𝜃_𝑟 = Γ_𝑟+ 𝑗Γ_𝑖

Utilizamos uma carta normalizada, para evitar o uso diversas cartas. Para a impedância de carga 𝑍_𝑐 a impedância normalizada é dada por:

𝑧_𝑐 = 𝑍𝑐

𝑍_𝑜= 𝑟 + 𝑗𝑥 De onde podemos mostrar que:

𝑟 = 1 − Γ𝑟 2_{− Γ} 𝑖2 (1 − Γ𝑟)2+ Γ𝑖2 𝑒 𝑥 = 2Γ𝑖 (1 − Γ𝑟)2+ Γ𝑖2 E arranjando os termos das equações acima chegamos a:

〈𝟏〉 [Γ_𝑟− 𝑟 1 + 𝑟] 2 + Γ_𝑖2 = [ 1 1 + 𝑟] 2 e 〈𝟐〉 [Γ_𝑟− 1]2+ [Γ_𝑖−1 𝑥] 2 = [1 𝑥] 2

Que são similares a (𝑥 − ℎ)2_{+ (𝑦 − 𝑘)}2 _{= 𝑎}2 _{que é a equação geral de um circulo} de raio a e centrado em (ℎ, 𝑘).

• A equação 〈𝟏〉 fornece circular de r constante (círculo resistivo com centro em

(

1+𝑟

, 0)

• A equação 〈𝟐〉 fornece circular de x constante (círculo das reatâncias) com centro em

(1,

)