Propagação de ondas eletromagnéticas
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Cap 10
Nossa primeira aplicação das equações de Maxwell será relativa à propagação de onda eletromagnética. Em geral, ondas são um meio de transportar emergia ou informação.
Todas as formas de ondas EM compartilham três características principais:
1 – Todas elas viajam em alta velocidade;
2 – Ao se propagarem apresentam propriedades ondulatórias;
3 – Elas são irradiadas a partir de uma fonte sem a necessidade de um meio físico de propagação.
Resolveremos as equações de Maxwell e estudaremos a propagação de ondas EM nos seguintes meios materiais:
1 – Espaço livre (𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀0, 𝜇 = 𝜇0);
2 – Dielétrico sem perdas (𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀r𝜀0, 𝜇 = 𝜇r𝜇0ou 𝜎 ≪ 𝜔𝜀); 3 – Dielétricos com perdas (𝜎 ≠ 0, 𝜀 = 𝜀r𝜀0, 𝜇 = 𝜇r𝜇0);
4 – Bons condutores (𝜎 → , 𝜀 = 𝜀r𝜀0, 𝜇 = 𝜇r𝜇0 ou 𝜎 ≫ 𝜔𝜀); onde 𝜔 é a frequência angular da onda.
Ondas em geral:
Um movimento ondulatório ocorre quando um distúrbio em um ponto A, em um instante t0, está relacionado com o que ocorre em um
ponto B, em um instante t > t0.
Em uma dimensão, uma equação de onda escalar tem a forma de:
𝜕²E⃗⃗ 𝜕𝑡² − u2
𝜕2E⃗⃗
𝜕z2 = 0
ou E = f (z - ut) + g (z + ut) As soluções têm a forma:
E− = f (z − ut)
E+ = g (z + ut)
Exemplos de tais funções incluem z ± ut, sen K (z ± ut),
cos K (z ± ut) e 𝑒−jK(z±ut), onde K é uma constante.
Se em particular, assumirmos uma dependência temporal harmônica (ou senoidal) 𝑒j𝜔t, a equação de onda torna-se:
𝑑²ES
𝑑z² + 𝛽²ES = 0
onde 𝛽 =𝜔
u e ES é a forma fasorial de E. As soluções possíveis para esta
equação são:
E+ = A ej (𝜔t−βz), E− = B ej (𝜔t+βz)e E = A 𝑒j (𝜔t−βz)+ B 𝑒j (𝜔t+βz) onde A e B são constantes reais.
No momento, vamos considerar a solução da forma:
E = A sen(𝜔t − βz)
Características desta onda:
1 – É harmônica no tempo;
2 – A é a amplitude e tem a mesma unidade de E.
3 – (𝜔t − 𝛽z) é a fase (em radianos) que depende do tempo e de z.
4 - 𝜔 é a frequência (radianos/s) e 𝛽 é a constante de fase ou número de onda (radianos/m).
Comportamento de E com T = constante
Para cada comprimento de onda propagada, a onda experimenta uma mudança de fase de 2𝜋 radianos.
𝛽 =2𝜋𝜆
Comportamento de E com z = constante
T = período [s]
Como a onda leva um tempo T para se propagar uma distância λ a uma velocidade u temos:
𝜆 = uT com T = 1
f
Então: u = fλ
Também temos: 𝜔 = 2𝜋f, β =𝜔
u e T = 1
f = 2𝜋
𝜔
→
Logo:
. E⃗⃗⃗⃗ = 0S
. H⃗⃗⃗⃗ = 0S
x E⃗⃗⃗⃗ = −j𝜔𝜇HS s
x H⃗⃗⃗⃗ = (𝜎 + j𝜔ε)Es s
O ponto P é um ponto de fase constante e assim 𝜔t − βz = cte ou
De forma similar, pode-se mostrar que a onda B sen(𝜔t + 𝛽z) está se propagando com velocidade u ao longo de –z.
Fazer: Exemplo 10.1
Propagação de onda em dielétrico com perdas
É um meio no qual ondas EM perdem energia, à medida que se propagam, devido à condutividade desse meio. s 0
Considere um meio dielétrico com perdas, linear, isotrópico e homogêneo que está livre de cargas (𝜌v = 0).
As equações de Maxwell na notação fasorial são:
1 – . D⃗⃗⃗⃗ = 𝜌s v D⃗⃗⃗⃗ = 𝜀Es ⃗⃗⃗⃗ s
2 – n . B⃗⃗⃗⃗ = 0 Bs ⃗⃗⃗⃗ = 𝜇Hs ⃗⃗⃗⃗ s
3 – x E⃗⃗⃗⃗ = −j𝜔Bs ⃗⃗⃗⃗ Js ⃗⃗ = 𝜎Es ⃗⃗⃗⃗ s
4 – xH⃗⃗⃗⃗ = Js ⃗⃗ + j𝜔Ds ⃗⃗⃗⃗ s
Aplicando o rotacional na equação (3):
x xE⃗⃗⃗⃗ = −j𝜔𝜇 xHs ⃗⃗⃗⃗ s
Aplicando a identidade vetorial:
x x A⃗⃗ = ( . A⃗⃗ ) − ²A⃗⃗
( . E⃗⃗⃗⃗ ) − ²Es s = j𝜔𝜇(σ + jωε)Es
²E⃗⃗⃗⃗ − γ²Es ⃗⃗⃗⃗ = 0s (5) onde
γ² = j𝜔𝜇 (𝜎 + j𝜔𝜀) e γ é chamada constante de propagação do meio.
𝑑z 𝑑t =
Procedimento semelhante leva a:
²H⃗⃗⃗⃗ − γ²Hs ⃗⃗⃗⃗ = 0s (6)
As equações (5) e (6) são as equações vetoriais homogêneas de Helmholtz ou equações vetoriais de onda.
Como γ nas 5 e 6 é uma quantidade complexa podemos fazer:
γ = α + jβ
e encontramos:
𝛼 = 𝜔√𝜇𝜀2 [√1 + [𝜔𝜀𝜎]2− 1]
𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀2 [√1 + [𝜔𝜀𝜎 ]2+ 1]
Sem perda de generalidade, se assumirmos que a onda se propaga ao longo de +âz e que E⃗⃗⃗⃗ s tem somente componente x, então:
Es
⃗⃗⃗⃗ = Exs(z)âx
Substituindo (5) equação de onda tem-se:
( ² − γ²)Exs(z) = 0
𝜕²Exs(z)
𝜕x² +
𝜕²Exs(z)
𝜕y² +
𝜕²Exs(z)
𝜕z² − γ²Exs(z) = 0
[𝜕z𝜕22− γ2] E
xs(z) = 0
Esta é uma equação de onda escalar com solução:
Exs(z) = Eo𝑒−γz + E′o𝑒γz onde Eo e E′o são constantes.
O fato do campo ser finito no infinito requer E′o = 0. Inserindo o fator temporal 𝑒j𝜔t temos:
E⃗⃗ (z, t) = Re [Exs(z)𝑒j𝜔tâx] = Re [Eo𝑒−𝛼z𝑒j(ωt−βz)âx]
ou E⃗⃗ (z, t) = Eo𝑒−𝛼zcos(𝜔t − βz)âx
e a partir das equações de Maxwell (conforme exemplo 9.8) temos:
H
⃗⃗ (z, t) = Re (Ho𝑒−𝛼z𝑒j(ωt−βz)ây) onde
Ho =Eo𝜂 onde 𝜂 é complexo e denominado impedância intrínseca
(em Ohms) do meio.
𝜂 = √𝜎+j𝜔𝜀j𝜔𝜇 = |𝜂| 𝜃𝜂 e assim:
H
⃗⃗ = Re [ Eo
|𝜂|𝑒j𝜃𝜂𝑒−𝛼z𝑒j(ωt−βz)ây] ou
H ⃗⃗ = Eo
|𝜂| 𝑒−𝛼zcos (𝜔t − βz − 𝜃𝜂)ây
OBS: À medida que se propaga ao longo de âz a onda se atenua em amplitude por um fator de 𝑒−𝛼z.
𝛼 → Constante de atenuação [Np/m] nepers por metro ou [dB/m].
Um neper significa redução de 𝑒−1 do valor original 1 Np = 20 log10𝑒 = 8,686 dB
𝛽 → Medida do deslocamento de fase por unidade de comprimento e é chamado de constante de fase ou número de onda.
OBS: Observe também que E⃗⃗ e H⃗⃗ estão fora de fase por 𝜃𝜂, devido à impedância intrínseca complexa do meio.
A razão entre os módulos de densidade de corrente de condução J⃗⃗ s e da densidade de corrente de deslocamento J⃗⃗⃗⃗ ds é:
|J⃗⃗⃗ |s |J⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ds =
|𝜎E⃗⃗⃗⃗ |s |j𝜔𝜀E⃗⃗⃗⃗ |s =
𝜎
𝜔𝜀 = tgθ
onde tgθ é conhecida como tangente de perdas e θ é o ângulo de perdas do meio. Um meio é dito um bom dielétrico (sem perdas) se a tgθ é muito pequena (𝜎 ≪ 𝜔𝜀), ou um bom condutor se tgθ é muito grande (𝜎 ≫ 𝜔𝜀).
Da equação de Maxwell temos:
x H⃗⃗⃗⃗ = (𝜎 + j𝜔𝜀)Es s = j𝜔𝜀 [1 −𝜔𝜀jσ]E⃗⃗⃗⃗ s
𝜀c
ou 𝜀c = 𝜀′− jε′′ → permissividade complexa do meio.
Observe que tgθ = 𝜀′′
𝜀′ = 𝜎 𝜔𝜀
Ondas planas em dielétricos sem perdas
Em um dielétrico sem perdas 𝜎 ≪ 𝜔𝜀.
𝜎 ≃ 0, 𝜀 = 𝜀o𝜀r, 𝜇 = 𝜇o𝜇r
𝛼 = 0, 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀 → u = 𝜔𝛽 = 1
√𝜇𝜀, 𝜆 =
2𝜋 𝛽
e também 𝜂 = √𝜇
Ondas planas no espaço livre
No espaço livre temos:
𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀o, 𝜇 = 𝜇o e assim
𝛼 = 0, 𝛽 = 𝜔√𝜇o𝜀o = 𝜔C
𝜇 = 1
√𝜀o𝜇o = c, 𝜆 =
2𝜋 𝛽
Temos que: âE x âH = âK
Direção de propagação
Chamamos de esta onda de onda plana uniforme. A orientação na qual o campo elétrico aponta é chamada polarização da onda.
OBS: Uma onda plana uniforme não pode existir fisicamente, pois ela se estende até o infinito e representaria uma energia infinita.
Ondas planas em bons condutores
Para um condutor perfeito temos 𝜎 ≫ 𝜔𝜀, de tal maneira que
𝜎
𝜔𝜀 → ∞, isto é:
𝜎 ≅ ∞, 𝜀 = 𝜀o, 𝜇 = 𝜇o𝜇r e assim
𝛼 = 𝛽 = √𝜔𝜇𝜎2 = √𝜋fμσ
u = 𝜔𝛽 = √2𝜔𝜇𝜎, 𝜆 = 2𝜋𝛽 e também 𝜂 = √𝜔𝜇
𝜎 45º
portanto, E⃗⃗ está adiantado em relação a H⃗⃗ de 45º.
Se E⃗⃗ = Eo𝑒−𝛼zcos(𝜔t − βz)âx, então:
H
⃗⃗ = Eo
√𝜔𝜇𝜎 𝑒
−𝛼zcos ( 𝜔t − βz − 45°)â y
𝜂 = 𝜂o= √𝜇o𝜀
A distância 𝛿, na qual a amplitude da onda decresce por um fator 𝑒−1 é chamada de penetração pelicular do meio, isto é,
Eo𝑒−𝛼𝛿 = Eo𝑒−1ou 𝛿 = 𝛼1
Para bons condutores temos:
𝛿 = 1
√𝜋f𝜇𝜎
como 𝛿 decresce com a frequência, dificilmente E⃗⃗ e H⃗⃗ se propagam através de bons condutores. → Efeito Pelicular.
Fazer: Exemplos 10.2; 10.3; 10.4; 10.5; 10.6.
Potência e o vetor de Poynting
A energia pode ser transportada de um ponto a outro por meio de ondas EM. A taxa de transferência desta energia pode ser obtida a partir da equação de Maxwell.
x E⃗⃗ = −𝜕B𝜕t⃗⃗
x H⃗⃗ = J +𝜕D𝜕t⃗⃗
x E⃗⃗ = −𝜇𝜕H⃗⃗
𝜕t (1) e x H⃗⃗ = 𝜎E⃗⃗ + 𝜀 𝜕E⃗⃗
𝜕t (2)
Fazendo o produto escalar de E⃗⃗ em ambos os lados da equação (2) obtemos:
E⃗⃗ . ( x H⃗⃗ ) = 𝜎|E⃗⃗ |² + E⃗⃗ . 𝜀𝜕E⃗⃗ 𝜕t (3)
Porém, para quaisquer campos vetoriais A⃗⃗ e B⃗⃗ :
. (A⃗⃗ x B⃗⃗ ) = B⃗⃗ . ( x A⃗⃗ ) − A⃗⃗ . ( x B⃗⃗ )
fazendo A⃗⃗ = H⃗⃗ e B⃗⃗ = E⃗⃗
H
⃗⃗ . ( x E⃗⃗ )+ . (H⃗⃗ x E⃗⃗ ) = 𝜎|E⃗⃗ |² + E⃗⃗ . 𝜀𝜕E⃗⃗
𝜕t da equação (1)
H
⃗⃗ . (−𝜇𝜕H⃗⃗
𝜕t) + (H⃗⃗ x E⃗⃗ ) = 𝜎|E⃗⃗ |² + E⃗⃗ . 𝜀 𝜕E⃗⃗
𝜕t
(H⃗⃗ x E⃗⃗ ) = E⃗⃗ . 𝜀𝜕E⃗⃗ 𝜕t + H⃗⃗ . 𝜇𝜕H𝜕t⃗⃗ + 𝜎|E⃗⃗ |² (5)
H ⃗⃗ . 𝜇𝜕H⃗⃗
𝜕t = 𝜇 2
𝜕
𝜕t(H⃗⃗ . H⃗⃗ ) e o mesmo para o termo em E⃗⃗ .
Assim a equação (5) torna-se:
(H⃗⃗ x E⃗⃗ ) = 12𝜀𝜕|E⃗⃗ |²𝜕t +12𝜇𝜕|H𝜕t⃗⃗ |²+ 𝜎|E⃗⃗ |² (6)
Tomando a integral de volume em ambos os lados:
∫ . (E⃗⃗ x Hv ⃗⃗ )dv = −𝜕t𝜕 ∫ [v 12𝜀|E⃗⃗ |2+12𝜇|H⃗⃗ |²]dv− ∫ 𝜎|E⃗⃗ |²v dv(7)
Aplicando o teorema da divergência do lado esquerdo:
∮ (E⃗⃗ x Hs ⃗⃗ ). ds = −𝜕t𝜕 ∫ [v 21𝜀|E⃗⃗ |2+12𝜇|H⃗⃗ |²]dv− ∫ 𝜎|E⃗⃗ |²v dv (8)
= -
A equação (8) é conhecida como o teorema de Poyting. 𝒫 = E⃗⃗ x H⃗⃗ é dado em W/m² e é conhecido como vetor de Poyting.
Note que 𝒫 é perpendicular tanto a E⃗⃗ como a H⃗⃗ , estando, portanto, ao longo da orientação de propagação âK para ondas planas uniformes.
Se assumirmos que E⃗⃗ (z, t) = Eo𝑒−𝛼zcos(𝜔t − βz)âx então
H
⃗⃗ (z, t) = Eo
|𝜂|𝑒−𝛼zcos(𝜔t − βz − 𝜃𝜂)ây
𝒫(z, t) = |𝜂| 𝑒Eo2 −2𝛼zcos(𝜔t − βz) cos(𝜔t − βz − 𝜃 𝜂)âz
mas cos A cos B =1
2[cos(A − B) + cos(A + B)]
Potência total que deixa o volume
Taxa de decréscimo da energia armazenada nos
campos elétricos e
magnéticos
Polarização de onde e cond de contorno
𝒫(z, t) = Eo²
2|𝜂|𝑒−2𝛼z[cos 𝜃𝜂 + cos(2𝜔t − 2βz − 𝜃𝜂]âz (9)
Para determinarmos a média temporal do vetor de Poyting 𝒫med(z) (em W/m²), integramos a equação (9) sobre o período T = 2𝜋
𝜔, isto é,
𝒫med (z) = 1T∫ 𝒫(z, t) d0T t (10) = 2|𝜂|Eo² 𝑒−2𝛼zcos 𝜃𝜂 âz
Pode-se demonstrar que a equação (10) é equivalente a:
𝒫med (z) = 12 Re (E⃗⃗⃗⃗ x Hs ⃗⃗⃗⃗ s∗)
A potência média total que atravessa uma dada superfície S é dada por:
𝒫méd = ∫ 𝒫s méd. ds⃗
Fazer:Exemplo 10.7 – pág. 396
Reflexão de uma onda plana com incidência normal
Até aqui, temos considerado ondas planas uniformes se propagando em meios ilimitados e homogêneos. Quando uma onda plana em um meio encontra um meio diferente, ela é parcialmente refletida e parcialmente transmitida.
A proporção da onda incidente que é refletida ou transmitida depende dos parâmetros constitutivos (𝜀, 𝜇, 𝜎) dos meios envolvidos.
Onda incidente (meio 1)
Eis
⃗⃗⃗⃗⃗ (z) = Eio𝑒−𝛾1zâx , então H⃗⃗⃗⃗⃗ (z) = His io𝑒−𝛾1zây =E𝜂1io𝑒−𝛾1zây
Onda refletida (se propaga na direção de −âzno meio 1)
Ers
⃗⃗⃗⃗⃗ (z) = Ero𝑒𝛾1zâx , então ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (z) = HHrs ro𝑒𝛾1z(−ây) = −E𝜂ro 1 𝑒
𝛾1zây
Onda transmitida (meio 2)
Ets(z) = Eto𝑒−𝛾2zâx , então H⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (z) = Hts to𝑒−𝛾2zây = E𝜂to2 𝑒−𝛾2zây
Eio, Ero e Eto são, respectivamente, as magnitudes dos campos incidentes,
refletido e transmitido em z = 0.
O comportamento da onda eletromagnética na interface e descrito pelas equações de Maxwell através das condições de contorno.
Condições de contorno
1ª: ∮ E⃗⃗ 𝑐 dl = − 𝑑
𝑑t∫ B⃗⃗ s ds⃗
∫ E⃗⃗ dab l + ∫ E⃗⃗ dcd l + ∫LATERALE⃗⃗ dl = −𝑑t𝑑 ∫ B⃗⃗ s ds⃗
Et1Δl − Et2Δl = 0
𝑛̂ x (E⃗⃗⃗⃗ − E2 ⃗⃗⃗⃗ ) = 01
2ª: ∮ Hc⃗⃗ dl = ∫ J ds s⃗ + 𝑑
𝑑t∫ D⃗⃗ ds s⃗
𝑛̂ x (H⃗⃗⃗⃗ − H2 ⃗⃗⃗⃗ ) = K⃗⃗ 1
Pode ser muito grande (Efeito Pelicular)
onde K⃗⃗ é a densidade linear de corrente
3ª: ∮ D⃗⃗ ds s⃗ = ∫ 𝜌v vdv
𝑛̂ . (D⃗⃗ 2− D⃗⃗ 1) = 𝜌s
4ª: ∮ B⃗⃗ s ds⃗ = 0
𝑛̂ . (B⃗⃗⃗⃗ − B2 ⃗⃗⃗⃗ ) = 01
Na interface z = 0, as condições de fronteira requerem que as componentes tangenciais dos campos E⃗⃗ e H⃗⃗ sejam contínuas. Como as ondas são transversais, os campos E⃗⃗ e H⃗⃗ são inteiramente tangenciais à interface.
Portanto, em z = 0:
E1
⃗⃗⃗⃗ (0) = E⃗⃗⃗⃗ (0)2 e H⃗⃗⃗⃗ (0) ± H1 ⃗⃗⃗⃗ (0)2
Ei
⃗⃗⃗ (0) + E⃗⃗⃗ (0) = Er ⃗⃗⃗ (0)t H⃗⃗⃗⃗ (0) + Hi ⃗⃗⃗⃗ (0) = Hr ⃗⃗⃗⃗ (0)t
Eio + Ero = Eto 𝜂11(Eio− Ero) = E𝜂to2
Destas últimas equações temos que:
Ero = 𝜂𝜂22−𝜂+𝜂11Eio e Eto =𝜂22𝜂+𝜂21Eio
Γ (coeficiente de reflexão) 𝜏 (coeficiente de transmissão)
Note que:
1. 1 + Γ = 𝜏;
2. Tanto Γ quanto 𝜏 não têm dimensão e podem ser complexos; 3. 0 ≤ |Γ| ≤ 1
Interfaces peculiares
Dielétrico perfeito – condutor perfeito
𝜎1 = 0 𝜎0 ≈ ∞
𝜂2 = 0
ΔS
Logo: Γ = −1 e 𝜏 = 0 → a onda é totalmente refletida.
OBS: A onda refletida se combina com a onda incidente para formar uma onda estacionária (onda que não se desloca).
E1
⃗⃗⃗⃗ = E⃗⃗⃗⃗⃗ + Eis ⃗⃗⃗⃗⃗ = (Ers io𝑒−𝛾1z+ Ero𝑒𝛾1z)âx
Porém Γ =Ero
Eio = −1; 𝜎1 = 0; 𝛼1 = 0; 𝛾1 = jβ1
E1s
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −Eio(𝑒jβ1z− 𝑒−jβ1z)âx = −2jEiosen(βiz)âx
Portanto:
Ei
⃗⃗⃗ = Re (E⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒1s j𝜔t) ou E⃗⃗⃗⃗ = 2E1 iosen(β1z)sen(𝜔t)âx
Meios 1 e 2 são, ambos, sem perdas (𝜎1 = 0 = 𝜎2).
Neste caso, 𝜂1e 𝜂2 são reais, assim como Γ e τ.
Se 𝜂2 > 𝜂1 𝛼1 = 𝛼2 = 0
Γ > 0 → ocorre formação de onda estacionária
Se 𝜂2 < 𝜂1 𝛼1 = 𝛼2 = 0
Γ < 0 → ocorre formação de onda estacionária
OBS: A diferença entre o caso A e B é a posição dos máximos e mínimos da onda estacionária.
Caso A
OBS: No meio 2 as ondas são viajantes e não há formação de onda estacionária.
A razão entre |E1máx| e |E1mín| é chamada taxa de onda estacionária S, isto é:
S = |E1|E⃗⃗⃗⃗⃗ |máx
1|mín =
|H1⃗⃗⃗⃗⃗ |máx |H1|mín =
1+|Γ|
1−|Γ| ou |Γ| = S−1 S+1
Como |Γ| ≤ 1, segue que 1 ≤ S ≤ ∞. A taxa de onda estacionária não tem dimensão e é, muitas vezes, expressa em (dB) como a seguir:
S em dB = 20 log10S
Exemplo: 10.8 e 10.9.
Reflexão de uma onda plana com incidência oblíqua
Consideremos, agora, uma situação mais geral do que a descrita anteriormente. Vamos supor que estamos tratando de um meio sem perdas. (Podendo estender os resultados aqui obtidos para meios com perdas simplesmente substituindo 𝜀 por 𝜀c).
Uma onda plana uniforme pode ser representada pela expressão geral:
E⃗⃗ (r , t) = E⃗⃗⃗⃗ cos(k⃗ . r − 𝜔t)o
= Re [E⃗⃗⃗⃗ 𝑒o j(k⃗⃗ .r⃗ −𝜔t)]
onde r = x âx + y ây + z âz é o vetor posição é k⃗ = kxâx + kyây+ kzâz é o vetor número de onda ou vetor propagação k⃗ tem sempre a mesma orientação da propagação de onda.
O módulo de k⃗ é dado por:
Para um meio sem perdas, k é essencialmente o mesmo β visto anteriormente. Com esta forma de escrever o campo elétrico, as equações de Maxwell se reduzem a:
k⃗ x E⃗⃗ = 𝜔𝜇H⃗⃗
k⃗ x H⃗⃗ = −𝜔𝜀E⃗⃗
k⃗ . H⃗⃗ = 0
k⃗ . E⃗⃗ = 0
Mostrando que: (i) k⃗ , E⃗⃗ e H⃗⃗ são mutuamente ortogonais. (ii) E⃗⃗ e H⃗⃗ estão no mesmo plano:
k⃗ . r = kx x + ky y + kz z = constante
temos também que:
k⃗ x E⃗⃗ = 𝜔𝜇H⃗⃗
H
⃗⃗ = 1𝜔𝜇 k⃗ x E⃗⃗ = âkx E⃗⃗⃗
𝜂
O plano definido pelo vetor propagação k⃗ e um vetor unitário ân, normal à superfície de separação entre os dois meios, é chamado plano de incidência. O ângulo 𝜃i entre k⃗ e ân é o ângulo de incidência.
Os campos são:
Ei
⃗⃗⃗ = E⃗⃗⃗⃗⃗ cos(kio ixx + kiyy + kizz − 𝜔it)
Er
⃗⃗⃗ = E⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos(kro rxx + kryy + krzz − 𝜔rt)
Et
⃗⃗⃗ = E⃗⃗⃗⃗⃗ cos(kto txx + ktyy + ktzz − 𝜔tt)
onde k⃗⃗⃗ ,ki ⃗⃗⃗ r e k⃗⃗⃗ t são os vetores propagação incidente, refletida e transmitida, respectivamente.
Como a componente tangencial de E⃗⃗ deve ser contínua na fronteira
z = 0:
Ei
⃗⃗⃗ (z = 0) + E⃗⃗⃗ (z = 0) + Er ⃗⃗⃗ (z = 0)t para qualquer x e y.
Eio
⃗⃗⃗⃗⃗ cos(kixx + kiyy + kizz − 𝜔it) +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos(kEro rxx + kryy + krzz − 𝜔rt) =
Eto
⃗⃗⃗⃗⃗ cos(ktxx + ktyy + ktzz − 𝜔tt)
1. 𝜔i = 𝜔r = 𝜔t = 𝜔 → A frequência não muda 2. kix =krx = ktx = kx
3. kiy = krz = ktz = ky
As componentes tangenciais dos vetores de
propagação são contínuas. → Condição de
Ângulo de reflexão
Ângulo de transmissão
ki sen(𝜃i) = kr sen(𝜃r)
ki sen(𝜃i) = kt sen(𝜃t)
Para meios sem perdas:
ki = kr = 𝛽1 = 𝜔√𝜇1𝜀1 e kt = 𝛽2 = 𝜔√𝜇2𝜀2
Com ki sen(𝜃i) = kr sen(𝜃r) onde ki = kr
sen(𝜃i) = sen(𝜃r) →
e com ki sen(𝜃i) = kt sen(𝜃t)
𝜔√𝜇1𝜀1 sen(𝜃i) = 𝜔√𝜇2𝜀2 sen(𝜃t) e multiplicando pela velocidade da
luz em ambos os lados:
c √𝜇1𝜀1 sen(𝜃i) = c √𝜇2𝜀2 sen(𝜃t)
→ Lei de Snell
onde 𝑛1 = índice de refração do meio 1 podemos definir u = 𝜔
k como
velocidade de fase ou u = c
𝑛.
kxt
𝑛1
𝜃𝑖 = 𝜃r
𝑛2
𝑛1sen (𝜃i) = 𝑛2sen (𝜃t) kxr
Vamos analisar dois casos especiais em detalhes: um com o campo E⃗⃗ perpendicular ao plano de incidência e outro com o campo E⃗⃗ paralelo ao plano de incidência.
Qualquer outra polarização pode ser considerada como uma combinação linear destas duas.
A. Polarização paralela
Campos no meio 1:
Eis
⃗⃗⃗⃗⃗ = Eio(cos(𝜃i) âx − sen(𝜃i) âz) 𝑒−j𝛽1(x sen(𝜃i)+z cos (𝜃i))
His
⃗⃗⃗⃗⃗ = Eio
𝜂1 𝑒
−j𝛽1(x sen(𝜃i)+z cos (𝜃i)) ây
Ers
⃗⃗⃗⃗⃗ = Ero(cos(𝜃r) âx + sen(𝜃r) âz) 𝑒−j𝛽1(x sen(𝜃r)−z cos (𝜃r))
Hrs
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − Ero
𝜂1 𝑒
−j𝛽1(x sen(𝜃r)−z cos (𝜃r))ây
onde 𝛽1 = 𝜔√𝜇1 𝜀1.
Ets
⃗⃗⃗⃗⃗ = Eto(cos(𝜃t) âx − sen(𝜃t) âz) 𝑒−j𝛽2(x sen(𝜃i)+z cos (𝜃t))
Hts
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Eto
𝜂2 𝑒
1
𝜂1(Eio − Ero) =
E
to𝜂
2Se estiverem erradas as suposições feitas com respeito às orientações relativas, o resultado final obtido nos mostrará isso através do seu sinal.
Sabemos que as componentes tangenciais de E⃗⃗ e de H⃗⃗ são contínuas na fronteira z = 0.
Para o campo elétrico em z = 0:
Ei
⃗⃗⃗ + E⃗⃗⃗ = Er ⃗⃗⃗ t
(Eiocos(𝜃i) + Erocos(𝜃i) 𝑒−j𝛽1x sen(𝜃i) = Etocos(𝜃t) 𝑒−j𝛽2x sen(𝜃t)
𝛽1 sen(𝜃i) = 𝛽2 sen(𝜃t) → Lei de Snell
Para o campo magnético em z = 0:
His
⃗⃗⃗⃗⃗ + H⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Hrs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ts
Eio
𝜂1 𝑒
−j𝛽1x sen(𝜃i) −Ero
𝜂1 𝑒
−j𝛽1x sen(𝜃i) =Eto
𝜂2 𝑒
−j𝛽2x sen(𝜃t)
e obtemos
Γ|| =EEro io =
𝜂2cos(𝜃t) − 𝜂1cos(𝜃i)
𝜂2cos(𝜃t) + 𝜂1cos(𝜃i)
𝜏|| = EEto io =
2𝜂2cos(𝜃i)
𝜂2cos(𝜃t) + 𝜂1cos(𝜃i)
Observamos que Γ|| pode ser zero e o ângulo de incidência para o qual isso ocorre é chamado de ângulo de Brewster.
𝜂2cos(𝜃t) = 𝜂1cos(𝜃B||)
𝜂22(1 − sen2(𝜃t)) = 𝜂1²(1 − sen2(𝜃B||))
Equações de Fresnel
1 +Γ|| = 𝜏||(cos(𝜃cos(𝜃it)))
sen(𝜃B||) = √𝜀1𝜀+𝜀2 2 →FAZER
ou tg(𝜃B||) = √𝜀2 𝜀1 =
𝜂2 𝜂1
B. Polarização perpendicular
Γ⊥ = 𝜂𝜂2cos(𝜃i) − 𝜂1cos(𝜃t) 2cos(𝜃i) + 𝜂1cos(𝜃t)
𝜏⊥ = 𝜂 2 𝜂2cos(𝜃i)
2cos(𝜃i) + 𝜂1cos(𝜃t)
1 + Γ⊥ = 𝜏⊥
O ângulo de Brewster é:
𝜂2cos(𝜃B⊥) = 𝜂1cos(𝜃t)
sen2(𝜃
B⊥) = 1 − μ1ε2/𝜇2𝜀1
1 − (μμ1
2)²
Para meios não magnéticos (μ1 = μ2 = μ0), sen2(𝜃B⊥) → ∞ com μ1 ≠ μ2 e 𝜀1 = 𝜀2 temos:
sen(𝜃B⊥) = √μ μ2 1 + μ2
Embora esta situação seja teoricamente possível, na prática é rara.
Δl
Δh
n̂
t̂ Meio 1
