O relatório

O Relatório deve sempre conter:

1. Título do experimento, data de realização e colaboradores; 2. Objetivos do experimento;

3. Roteiro dos procedimentos experimentais; 4. Esquema do aparato utilizado;

5. Descrição dos principais instrumentos; 6. Dados medidos;

7. Cálculos; 8. Gráficos;

9. Resultados e conclusões.

No Caderno também se anotam as observações que podem ser úteis na continuação de um experimento, ou lembretes de coisas que você deve providenciar (do tipo: "passar na biblioteca para verificar uma referência", ou "lembrar de zerar o micrômetro antes de começar a medir" ou ainda: "perguntar ao professor porque a faísca falha às vezes", ...)

1.2 Título, data e colaboradores.

O Título do experimento deve ser anotado no topo das páginas correspondentes ao experimento. Na primeira página de cada experimento deve-se anotar quais os colaboradores na realização. A data deve ser anotada no início e, se for necessário, a cada dia que se continue no mesmo experimento. Em alguns casos pode ser útil anotar o horário em que certas medidas foram feitas.

1.3 Objetivos do experimento

Os objetivos devem ser descritos de forma sucinta e clara. Por exemplo: Os objetivos desta experiência são:

1- Aprender o uso de instrumentos com vernier (Paquímetro, Micrômetro);

2- Avaliar erros de medidas e como estes se propagam em expressões matemáticas; 3- Determinar a média e o desvio padrão de uma série de medidas.

Para atingir estes objetivos determinaremos a densidade de vários materiais medindo a massa e as suas dimensões.

1.4 Roteiro dos procedimentos

Antes de cada experiência fazer um roteiro de procedimentos e escrever as principais fórmulas que serão utilizadas (ex. cálculo dos desvios). Prever as dificuldades e as estratégias para contorná-las. Este roteiro deve vir feito de casa.

1.5 Esquema do aparato utilizado

Em geral feito à mão livre e com a identificação de cada componente. Indique o modelo, principais características e o número de série (ou qualquer outro identificador) de cada instrumento utilizado. Identificar os instrumentos e componentes é útil para poder repetir o experimento nas mesmas condições.

1.6 Descrição dos principais instrumentos

Não precisa ser uma lista única no início, pode-se ir descrevendo à medida que se os usa.

Por exemplo:

Paquímetro Mitutoyo, menor divisão do vernier = 0.05 mm. Micrômetro Starret, menor divisão no tambor = 0.01 mm.

Balança Elmer (modelo BP45, Nº de série 9800/76) menor divisão = 0.05 g.

Algumas vezes é bom incluir observações sobre o estado do instrumento, se isto puder afetar as medidas:

O micrômetro completamente fechado não indicava 0.000 e não fechava sempre na mesma posição. Fizemos 10 medidas do zero abrindo e fechando novamente e tomamos uma média e o desvio padrão. O resultado foi Z ero = (-0.22  0.01) mm. Todas as medidas efetuadas com este micrômetro foram corrigidas levando em consideração este fato.

1.7 Dados medidos

Todos os dados medidos devem ser anotados diretamente no Caderno de Laboratório e nunca em folhas separadas de rascunho. A anotação em folhas de rascunho causa perda de tempo, aumenta a possibilidade de erros involuntários de cópia e cria a tentação para a "filtragem" de dados (exclusão daqueles que não gostamos, ou achamos errados).

Todo dado medido deve ser anotado. Dados considerados esquisitos ou anômalos devem ser identificados com uma pequena anotação ao lado (como: "Nesta medida alguém esbarrou na mesa e a régua se deslocou, podendo ter afetado esta medida."). Para correções em caso de erro na anotação não deve ser usada borracha, mas deve ser passado um risco sobre a anotação (supostamente) errada, escrevendo-se ao lado a correta. As anotações de dados medidos devem escrevendo-sempre incluir o valor da incerteza associada.

1.8 Cálculos

Os procedimentos de cálculo devem ser claramente descritos, para permitir a conferência e recálculo pelo mesmo caminho. Devem sempre ser considerados apenas os algarismos significativos nos resultados finais.

Por exemplo:

Determinação da densidade de uma esfera metálica - aparentemente de aço. Medidas do diâmetro d com micrômetro Mitutoyo (precisão 0.01 mm), 12 medidas:

Tabela 1.1. Medidas do diâmetro da esfera metálica. medid

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d(mm) 15.5

4 15.52 15.55 15.54 15.57 15.51 15.56 15.51 15.55 15.54 15.53 15.53

Da Tabela 1.1 obtivemos a Tabela 1.2 com as freqüências de cada medida:

Tabela 1.2. Freqüência de ocorrência de um mesmo valor das medidas em 12 medições d(mm) freqüênci a 15,54 3 15,52 1 15,55 2 15,53 2 15,51 2 15,57 1 15,56 1 3

Média =15,5375 mm

Desvio Padrão σ _{= 0,018647447 mm}

Desvio padrão da média

σ

√

12

Resultado: d = (15,538 ± 0,005) mm (ou d = 15.538 mm ± 0.03%)

Medida da massa com balança Elmer (precisão nominal 0.05 g): m = (15.2 ± 0.1)g Obs.: embora a menor divisão da balança seja 0.05 g, na nossa apreciação ela continuava em equilíbrio para deslocamentos de ± 2 divisões. Por isso, estimamos a incerteza desta medida como ± 0.1 g.

ρ = 6m/d3 _{= 7.739297489 g/cm}3

Cálculo do desvio na densidade:

Δρ=ρ

√

(

Δm

m

)

+(

Δd

d

)

1.9 Figuras, Tabelas e Equações

As Figuras e Tabelas devem ser numeradas em seqüência e conter uma pequena legenda descritiva. A seqüência numérica pode ser reiniciada em cada experimento ou utilizar uma seqüência dupla (por exemplo, “Fig. 2.3” é a terceira figura do experimento 2).

Os gráficos, desenhos, esquemas, e fotografias são figuras, não há razão para abrir seqüências diferentes (ou seja, não escreva Gráfico 1, e sim Figura 1). Leia na Seção 2 sobre como devem ser feitos os gráficos.

As figuras podem ser feitas em papel especial (por exemplo, em papel milimetrado ou logarítmico) ou geradas por um computador e coladas (sobre toda a área, nunca colados em uma ponta ou grampeadas) no caderno. Evite colar figuras pregáveis; se o original for grande, faça uma cópia reduzida de modo de caber inteira na folha do seu caderno.

No início de cada experimento geralmente fazemos um resumo da teoria envolvida e destacamos as equações mais relevantes. As equações (pelo menos as mais relevantes) devem ser numeradas para poder fazer referência a elas mais adiante, quando confrontamos as previsões do modelo com os resultados experimentais. Defina, imediatamente antes ou logo após, os símbolos matemáticos novos que aparecem em cada equação.

1.10 Resultados e conclusões

São comentários sobre o que foi feito qual a confiança nos resultados obtidos, pontos críticos ou duvidosos do experimento e comparação com modelos teóricos.

Instruções para a apresentação de relatórios

1. Introdução

O curso de laboratório de física I é o primeiro passo para a formação de profissionais que, atuando na área de ciências exatas, terão de lidar com atividades experimentais. Pontos fundamentais para tal atividade são sem dúvida: a organização, iniciativa, dedicação e principalmente saber como apresentar os resultados de forma clara. Assim, recomenda-se a cada aluno o uso do caderno específico para o curso de laboratório. Neste caderno deverão estar contidas as notas de aulas, resultados experimentais e detalhes do procedimento experimental adotado. Com esse caderno, a tarefa de confeccionar os relatórios será em muito facilitada.

A redação de relatórios será uma constante no decorrer deste curso. Para isso apresentamos algumas idéias gerais que serão igualmente úteis quando se tratar de escrever artigos científicos ou técnicos.

A primeira consideração é: “O que é que você quer relatar e para quem”? Lembre-se sempre do leitor! O seu trabalho deve ser lido e entendido por outras pessoas, além de você e o professor que indicou a experiência.

Um artigo ou relatório deve ser ao mesmo tempo claro e conciso, curto e completo. Deve conter elementos suficientes para ser auto consistente, evitando porém detalhes desnecessários.

Escreva frases curtas, claras e que conduzam diretamente ao assunto. Evite usar a primeira pessoa do singular, use a forma passiva ou a primeira pessoa do plural, e não as misture.

Divida o relatório em partes. Se o mesmo trabalho incluir várias experiências diferentes, estas devem ser descritas separadamente, para facilitar a leitura.

A seguir apresentaremos algumas instruções que visam à padronização e facilitarão a tarefa da redação e apresentação de relatórios, no decorrer do curso. Estas "Normas" foram extraídas de documentações específicas [1-5] e também de sugestões propostas por agências fornecedoras de bolsas de estudos como, por exemplo a FAPESP.

2. Apresentação geral

O relatório a ser apresentado deverá ser composto dos seguintes itens: - Capa.

- Sumário. I - Objetivos.

II - Introdução teórica. III - Parte experimental.

IV - Resultados experimentais. V - Discussão.

VI - Conclusões.

VII - Referências bibliográficas.

Na capa deverão estar contidos o nome da unidade, o título do trabalho, nome do aluno, turma a que pertence, nome do professor e data.

O sumário deverá conter a numeração das páginas a que pertencem os itens de I a VII acima descritos.

I - Objetivos: Deve indicar, de maneira clara e sucinta, qual o trabalho realizado e o método experimental empregado. A idéia é de que qualquer pessoa, ao lê-lo, saiba de que se trata e decida se o conteúdo a interessa ou não. Use no máximo 10 linhas.

II - Introdução teórica: Nesta seção, diz-se basicamente qual a motivação do trabalho. Sempre que possível deve-se fazer uma revisão histórica do assunto mencionando os trabalhos de maior relevância. É nesta parte que as considerações gerais devem ser discutidas. Devem-se apresentar também os modelos matemáticos pertinente, mas sem a apresentação detalhada do desenvolvimento matemático empregado. Caso o desenvolvimento matemático seja relevante ou possua alto grau de dificuldade, este poderá ser apresentado em um apêndice. O apêndice deve vir depois da conclusão e antes das referências bibliográficas, devendo ser indicados por letras maiúsculas (ou números romanos) e apresentar um título.

III - Parte experimental: Nesta seção, descreve-se a montagem experimental utilizada e os procedimentos adotados. Para isso, é conveniente o uso de esquemas que facilitem a interpretação feita pelo leitor. Deve-se ter em mente que os elementos sejam suficientes para que o leitor possa repetir a experiência, se assim o desejar.

IV - Resultados experimentais: É a seção onde os resultados experimentais são apresentados. Esta apresentação se faz, geralmente, em forma de figuras (gráficos) e/ou tabelas. Observe se todas as variáveis e constantes foram definidas. Esteja atento para não se esquecer das unidades, principalmente em tabelas e gráficos.

V - Discussão: Nesta parte, discutem-se os resultados experimentais obtidos, baseando-se no modelo teórico proposto ou em medidas realizadas por outros autores. Deve-se comparar teoria e experimento. Se a concordância não for boa, explicar o porquê, o que está errado, se a teoria ou experimento, e onde estão os pontos falhos.

VI - Conclusão: A conclusão fecha o trabalho, mostrando a importância daquilo que foi feito e se isso trouxe alguma informação nova. Uma avaliação do método experimental empregado, sugestões para novos tipos de medidas ou aprimoramento do método empregado também devem ser apresentados nesta seção.

VII - Referências bibliográficas: Devem conter os seguintes dados as normas atuais .

As referências devem ser numeradas com algarismos arábicos na seqüência em que são citadas no texto.

3. Referências bibliográficas

[1] Associação Brasileira de Normas Técnicas. Rio de Janeiro, ABNT, 1978. [2] Rey, L. "Como redigir trabalhos científicos". São Paulo: Edgard Blucher,

1972.

[3] Americam Institute of Physics, Style Manual, 3rd _{edition, 1972.}

[4] Baird, D.C. - "Experimetation: An introduction to measurements, theory and experimental desing. New Jersey, Prince Hall Inc., 1962.

[5] Avery, L.H. and Ingram, A.M.K. "Laboratory Physics", William Heinemann LTD, 1954.

Teoria de erros I. Introdução

A física é a ciência fundamental da natureza. Por meio dela, temos explicado de forma convincente e com uma precisão surpreendente, a maioria de nossas dúvidas em relação a fenômenos que, naturalmente ou artificialmente, acontece no universo.

Ao estudar um fenômeno físico qualquer, interessa-nos entender como certas propriedades ou grandezas - associadas à matéria - participam desse fenômeno. Para traduzir a variação de certas propriedades ou comparar diversos graus de intensidade com que as mesmas se manifestam, associamos a elas um número. A esse número, que caracteriza uma certa propriedade de um corpo, chamamos de grandeza Física.

Embora a descrição meramente qualitativa se faça necessária, ela é insuficiente para uma aplicação técnica-científica. É preciso dar uma descrição quantitativa dos fenômenos, traduzidos através das chamadas "leis físicas", as quais, geralmente expressam relações entre grandezas físicas.

As medidas de grandezas tais como volumes, massas, temperaturas etc, são expressas por apenas um único número seguido do "nome" da unidade correspondente. Uma grandeza desse gênero é chamada escalar. Entretanto, expressões de leis físicas podem envolver grandezas de natureza mais complexa, como por exemplo a velocidade, a força, o momento de inércia, etc., cujas medidas são traduzidas por outras grandezas além de um único número (vetores ou matrizes de números).

II. Grandezas físicas

No nado livre a velocidade do nadador pode chegar a até 7,2 km/h.

Aqui a grandeza física em questão é a velocidade. Esta grandeza mede a rapidez do nadador. A unidade usada para representar a rapidez do nadador foi o km/h (quilômetros por hora). Note que se eu quiser posso usar outras unidades para representar a grandeza física velocidade. Poderia usar o m/s (metros por segundo), ou então a mph (milhas por hora).

Veja outro exemplo:

O seu organismo demora de 6 a 8h (seis a oito horas) para digerir um prato de feijoada. A grandeza física usada aqui é o tempo, e a unidade usada foi a hora. Existem outras unidades usadas para representar o tempo (segundo, minuto, dia, ano, século, etc).

Para que você realmente entenda estes conceitos, observe a tabela abaixo, onde estão colocadas várias grandezas físicas e suas unidades mais comuns.

Unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI)*

Grandeza Nome Símbolo Definição

comprimento Metro m comprimento do percurso coberto pela luz, no vácuo, em 1/299 792 458 de um segundo". (1983)

massa quilograma kg "... este protótipo (um certo cilindro de liga de platina-irídio) será considerado daqui por diante a unidade de massa". (1889)

Obs: O protótipo foi baseado na massa de água, a 4o_C,

contida em um cubo de 10 centímetros de aresta.

tempo segundo s "... a duração de 9 192 631 770 vibrações da transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133". (1967).

corrente elétrica ampère A "... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e separados pela distância de 1 metro no vácuo, provoca entre estes condutores uma força igual a 2x10-7 Newton por metro de comprimento" (1946).

temperatura kelvin K "... a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água". (1967)

quantidade de substância

mol mol "... a quantidade de substância de um sistema que contém tantas entidades elementares quanto são os átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12".

(1971) intensidade

luminosa

candela cd "... a intensidade luminosa, na direção perpendicular, de uma superfície de1/600 000 metros quadrados, de um corpo negro na temperatura de solidificação da platina, sob a pressão de 101,325 Newton por metro quadrado". (1967)

Medidas, organismo internacional, nas datas mencionadas.

II.1 - Grandeza Física; Unidades mais usadas para esta grandeza

Comprimento: metro (m); centímetro (cm); polegada (in); milha (mi); quilômetro (km) e pé (ft).

Massa: quilograma (kg); grama (g); tonelada (ton); libra (lb); onça (oz). Tempo: segundo (s); minuto (min); hora (h) e dia.

Velocidade: metros por segundo (m/s); quilômetros por hora (km/h); milhas por hora (mph) e nó.

Aceleração: metros por segundo ao quadrado (m/s2₎

Força: newton (N); quilograma-força (kgf); dina

Densidade: quilograma por metro cúbico (kg/m3); quilograma por (kg/l) e grama por centímetro cúbico (g/cm3)

Pressão: atmosfera (atm); pascal (Pa); milímetros de mercúrio (mmHg); Torr e libras por polegada quadrada (lb/in2)

Freqüência: hertz (Hz)

Volume: metro cúbico (m3_{); litro (l); mililitro (ml) e centímetro cúbico (cm}3_).

Área: metro quadrado (m2_{); centímetro quadrado (cm}2_{); hectare (ha); are (a) e acre.}

Energia, trabalho e calor: joule (J); caloria (cal); quilocaloria (kcal); quilowatt-hora (kWh); elétron-volt (eV) e unidade térmica britânica (BTU)

Temperatura: kelvin (K); Celsius (C) e Fahrenheit (F)

Potência: watt (W); horse power (hp) e caloria por segundo (cal/s) Corrente elétrica: ampére (A); miliampére (mA) e microampére (mA) Campo magnético: weber maxwell

Fluxo magnético: tesla gauss Intensidade luminosa: candela (cd)

Logicamente estes são alguns exemplos de grandezas físicas e suas unidades. Existem outras que serão tratadas na medida em que forem necessárias.

III - Grandezas fundamentais e derivadas

As grandezas físicas são classificadas em duas categorias:

Ex: tempo, comprimento, massa, temperatura termodinâmica, carga elétrica, quantidade de substância, intensidade luminosa, etc. Todas essas grandezas são originarias de um padrão pré-estabelecido.

b) Grandezas derivadas: são todas aquelas não fundamentais depende de relações matemáticas (cálculos).

Ex: velocidade, aceleração, momento de inércia, etc.

IV. Medidas direta e indireta de uma grandeza

A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de sua magnitude mediante o uso de um instrumento de medida.

Ex.: Medida de um comprimento com uma régua graduada, de uma corrente elétrica no amperímetro ou de um intervalo de tempo com um cronômetro.

Uma medida indireta é aquela que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis.

Ex: velocidade média, área, volume, densidade, freqüência etc.

V. Incerteza, Erros e Desvios de medidas

- INCERTEZA: Estimativa da faixa de valores dentro da qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza medida. A incerteza da medição compreende, em geral, muitos componentes. Alguns desses componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística dos resultados das séries de medições e caracterizados por um desvio padrão experimental. A estimativa dos outros componentes somente pode ser avaliada com base na experiência ou em outras informações.

- ERRO: é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

Matematicamente: erro = valor medido  valor real

- DESVIO: é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros.

Se repetirmos várias vezes a medida de uma mesma grandeza, encontraremos valores nem sempre iguais. As discrepâncias ou erros (ou desvios) podem ser atribuídos a diferentes fatores, tais como:

- o método de medida empregado, - o instrumento utilizado,

- a habilidade do operador em efetuar a medida, e - o meio ambiente.

V.1. Erro Absoluto e Erro Relativo

A necessidade de se saber o valor de quaisquer grandezas físicas faz que efetuemos medidas. As medidas que efetuamos, no entanto, nunca são exatas. O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros.

O instrumento que dispomos para tomar o valor de uma medida mais próxima do valor verdadeiro chama-se Teoria dos Erros.

Por ser o erro inerente ao próprio processo de medida de uma grandeza o valor medido é geralmente indicado na forma:

x= x

_±Δx

onde x* _{é o valor observado em uma única medida ou valor médio de uma série de}

medidas, e Δx é o erro (absoluto) ou incerteza da medida. O sinal ± na equação indica que o valor de x está compreendido no intervalo:

x

-Δx ≤ x ≤x

+Δx

Apenas o conhecimento do erro absoluto de uma medida não é suficiente para caracterizar a precisão da mesma. Por exemplo:

Em uma barra metálica que possui um comprimento l = 1,00m um observador ao medi-la comete um erro de Δl = ± 2mm. No entanto, se o mesmo observador ao medir uma distância de 1Km cometer o mesmo erro, então vê-se claramente que o erro relativo da 2ª medida é menor, pois obterá

(Δl/l = 2/1.000.000) ou 0,0002% contra (2/1.000) = 0,2% V.2. Classificação dos Erros

- Erros grosseiros: ocorrem devido a falta de prática (imperícia) ou distração do observador.

Ex: - erro de leitura na escala do instrumento - escolha de escala inadequada

- erros de cálculo etc.

Estes tipos de erros podem ser evitados pela repetição cuidadosa das medidas.

- Erros sistemáticos: caracterizam-se por ocorrerem e conservarem, em medidas sucessivas, o mesmo valor e sinal. Podem ter como origem: defeitos de instrumento de medidas, método de medida errôneo, ação permanente de causas externas, maus hábitos do operador.

Nem sempre tem fácil correção e esta deve ser estudada para cada caso particular.

- Erros acidentais: são devidos a causas diversas e incoerentes, bem como as causas temporais que variam durante a observação, ou em observações sucessivas, que escapam a uma análise devido à sua imprevisibilidade.

As principais fontes de erros acidentais são: - instrumento de medidas

- variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos)

- fatores relacionados com o próprio observador, flutuações de visão e audição, paralaxe etc.

V.3. Precisão e Exatidão de uma Medida

- Uma medida exata é aquela para a qual os erros sistemáticos são nulos ou desprezíveis.

VI. Medida direta de uma grandeza

Como estimar o erro de uma medida?

À diferença entre o valor obtido em uma medida e o valor real ou correto de uma grandeza dá-se o nome de erro. A medida direta da grandeza com seu erro estimado podem ser feitos de duas formas distintas:

- medindo-se apenas uma vez a grandeza x, e

- medindo-se várias vezes a mesma grandeza x, mantendo as mesmas condições físicas nas várias medidas.

No primeiro caso, a estimativa do erro na medida Δx é feita a partir do equipamento utilizado, tal como discutido no ítem sobre erros acidentais, e o resultado será dado por (x ± Δx).

Para o segundo caso, consideremos que tenha sido feita uma série de n medidas para a grandeza x. Descontados os erros grosseiros e sistemáticos, os valores medidos x1,

x2, ...xn não são geralmente iguais entre si; as diferenças entre eles são atribuídas a

erros acidentais.

a) O valor mais provável da grandeza que se está medindo pode ser obtido pelo cálculo do valor médio como segue

x=1 n

∑

b) Denomina-se desvio de uma medida a diferença entre o valor obtido (xi)

nessa medida e o valor médio

¯x

δ

=x

−

x

Os valores de δi podem ser positivos ou negativos.

c) Pode-se definir também o desvio médio absoluto, δ, que representa a média aritmética dos valores absolutos dos desvios δi, ou seja,

δ=1 n

∑

Neste caso, a medida da grandeza x será dada por x = ¯x ± δ.

representação

x= x± Δ x

onde Δx' pode ser tanto o desvio médio absoluto δ, quanto o desvio avaliado no próprio equipamento utilizado para a medida.

O valor Δx' mais apropriado é o maior dos dois.

Ainda uma outra forma de representar o desvio de uma medida é a utilização do desvio padrão ou desvio médio quadrático de uma medida.

d) O desvio padrão é definido como sendo:

σ =±

√

∑

Para n > 20 podemos usar a equação

σ =±

√

∑

e) Desvio padrão do valor médio de uma série de medidas,

¯α

padrão de uma medida dividido pela raiz quadrada do número de medidas na série, ou seja:

∑

√

∑

f) Desvio médio relativo de uma série de medidas é o desvio médio absoluto dividido pelo valor médio, isto é,

δ

=

δ

x

g) Desvio médio percentual de uma série de medidas é igual ao desvio médio relativo multiplicado por 100,ou seja:

VII - Exemplos

1. Tomemos uma série de medidas do diâmetro ϕ de um fio, feitas com um instrumento cuja precisão era de 0,05 cm:

Tabela 1 - Mostra os valores obtidos nas medidas do diâmetro ϕ de um fio.

 (cm) 2,05 2,00 2,05 2,10 1,95 ∑¿ i=1 n φi = 1 5∑ ¿ i=1 5 φi = 2,03 cm φ = 1 n¿ ¿

Então o valor médio do diâmetro do fio resulta em: ¯

φ=2,03cm

O desvio em cada medida é, portanto: δi = i - _

δ1 = 2,05 - 2,03 = 0,02

δ2 = 2,00 - 2,03 = -0,03

" " " "

δ5 = 1,95 - 2,03 = -0,08

Calculando o desvio médio absoluto temos: δ =1 n

∑

Como o desvio médio absoluto é menor que o erro do instrumento, tomamos o erro estimado na medida como sendo 0,05 cm.

Assim:

ϕ _{= (2,03 ± 0,05) cm}

Caso a precisão do equipamento fosse 0,01, o resultado final da medida seria expresso com o desvio médio absoluto (o maior deles):

2. Na medição de um comprimento l com um paquímetro de precisão 0,05 mm foram obtidos os dados mostrado na tabela abaixo.

Tabela 2 - Medidas de comprimento l realizadas com um paquímetro.

l (mm) 30,55 30,50 30,45 30,60 30,55 30,40 Valor médio ¯_{l =}1 n

∑

Tabela 3 - Mostra os valores dos desvios da média.

δi (mm) 0,04 -0,01 -0,06 0,09 0,04 -0,11

Desvio médio absoluto:

δ = 1 n

∑

√

∑

√

Desvio padrão da média:

¯

σ

=

√

0,027

30

= 0,03 mm

Desvio médio relativo:

δ

=

δ

l

=

0,06

30,508

= 2,0.10

-3

Desvio médio percentual:

Então a grandeza l é melhor representada pelo valor: l = (30,51 ± 0,03) mm

Quando se utiliza o desvio padrão médio, este representa melhor o valor mais provável, pois representa a dispersão da média e não dos valores individuais, como no caso do desvio médio absoluto.

VIII - Teoria das aproximações

Os resultados de operações matemáticas apresentam, geralmente, um número de algarismos significativo maior que a precisão que a medida permite. Deve-se, portanto, eliminar do número os algarismos sem significado, ou seja, fazer arredondamento. As regras abaixo convencionadas são as mais utilizadas no meio científico.

- Quando um número termina com algarismo menor que 5 (0, 1, 2, 3 ou 4) abandonamos o algarismo final simplesmente. Por exemplo: 27,43 é arredondado para 27,4.

- Quando um número termina em 6, 7, 8, 9, ao abandonarmos o algarismo final, somamos uma unidade ao algarismo anterior. Por exemplo: 27,47 é arredondado para 27,5.

- Quando um número termina em 5 e se o algarismo precedente for par, apenas abandonamos o 5, se for ímpar, abandonamos o 5 e somamos uma unidade a ele. Por exemplo: 27,45 é arredondado para 27,4 e 27,35 é arredondado para 27,4.

IX - Operações com desvios Seja a = x ± Δx e b = y ± Δy Adição:

Subtração:

V ± ΔV = a - b = (x ± Δx) - (y ± Δy) = (x - y) ± (Δx + Δy) Multiplicação:

V ± ΔV = a. b = (x ± Δx) . (y ± Δy) = (x.y) ± (xΔy + yΔx) Multiplicação por uma constante:

V ± ΔV = C . a = C(x ± Δx) = Cx ± CΔx Divisão:

V ± ΔV = a/b = (x ± Δx)/(y ± Δy) = x/y ± 1/y2 _{(xΔy + yΔx)}

Coseno:

V ± ΔV = cos (a) = cos (x ± Δx) = cos x ± sen xΔx Seno:

V ± ΔV = sen(a) = sen (x ± Δx) = sen x ± cos xΔx Logaritmo:

V ± ΔV log a = log (x ± Δx) = log x ± (log Δx / x) Exponencial:

V ± ΔV = C(x±Δx) _{= C}x _{± C}x _{ln CΔx}

X - Ordem de grandeza e algarismos significativos X.1. Ordem de grandeza

As ordens de grandezas representam estimativas expressas sob a forma de potencias de base 10, sendo o valor do expoente um número inteiro. Como a menor variação do expoente é igual a unidade, escolhe-se, como fronteira para as aproximações, o valor 101/2 _{= 3,16. Assim, por exemplo, o valor 2,15x10}2 _apresenta

duas ordens de grandeza (desprezamos neste caso o valor 2,15 por ser este menor que 3,16). Já o valor 4,25x105 _{apresenta ordem de grandeza igual a 6.}

É comum na atividade científica a comparação entre valores por ordem de grandeza. Diz-se por exemplo ser o valor 4,25x105 _{quatro ordens de grandeza maior}

que 2,15x102_.

Se considerarmos a própria fronteira também acrescentamos uma unidade ao expoente, pois podemos aproximar 3,16 por 3,2 que é maior que o próprio 3,16.

X.2. Algarismos significativos

Suponha que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra (l), tenha obtido os seguintes resultados:

- comprimento médio

¯

l

Supondo que o desvio ou erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes dos centésimos ou milésimos de cm e assim por diante. Isso quer dizer que o erro estimado em uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos do erro são utilizados apenas para efetuar arredondamentos ou simplesmente são desprezados. Neste caso, Δl deve ser representado apenas por:

Δl = 0,3 cm

Os algarismos 9 e 2 do valor médio são corretos, porém o algarismo 8 já é duvidoso, pois o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 6 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los. Estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamentos ou simplesmente são desprezados. Sendo assim, o modo correto de expressar o resultado desta medida será então:

l = (92,8 ± 0,3) cm

Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever o algarismo significativo com critério. Em problemas de engenharia, os dados raramente são conhecidos com uma precisão superior a 2%. É, portanto desnecessário realizar cálculos com precisão superior a 2%.

Em resumo: algarismos significativos são todos os algarismos corretos de um número mais o primeiro duvidoso.

Exemplos

- 0,00007 tem 1 algarismo significativo. - 0,008 tem 1 algarismo significativo.

- 23,00 tem 4 algarismos significativos. - 3,2x105 _{tem 2 algarismos}

XI - Operações com algarismos significativos XI.1. Adição e subtração

A operação se processa em função do valor que tem menor número de algarismos significativos após a vírgula, fazendo-se os devidos arredondamentos.

Ex.

3,25 + 1,266 + 3 = 7,516 arredondando tem-se o valor 8. 2,405 + 4,183 + 3,0 + 0,5 = 10,1

XI.2. Multiplicação e divisão

Na multiplicação ou divisão, deve ser mantido o número de algarismos significativos do valor que represente a menor precisão ("mais pobre") ou no máximo este número mais um.

Ex.

425,3 x 1,3 = 552,89 = 552,9. 6,525 x 41 = 267,525 = 268. 23,55  1,2 = 19,625 = 19,6.

Metrologia Legal

(* Preparado por Ricardo Barthem para o projeto de Ensino de Física a Distância) Os processos de medida envolvem conceitos que devem ser claramente indicados através de uma terminologia bem estabelecidas. No Brasil nunca foi criado um vocabulário nacional no campo da metrologia legal. Como os vocabulários internacionais têm influência decisiva nos dicionários locais, o INMETRO vem elaborando, desde 1969, o Vocabulário de Termos Legais Fundamentais e Gerais de Metrologia(1) através da tradução e atualizações do Vocabulário de Metrologia Legal, editado pela Organização Internacional de Metrologia Legal - OIML, e do Vocabulário

Internacional de Metrologia, editado pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas

-BIPM, Organização Internacional de Normalização - ISO, Comissão Eletrotécnica Internacional -IEC e a Organização Internacional de Metrologia Legal - OIML.

Muitos dos termos adotados são usados apenas em áreas restritas de setores específicos da ciência e da técnica, enquanto outros já são tão consagrados pelo uso que não geram nenhuma confusão. Outros, no entanto, são ambíguos e vêm sendo empregados com significados diferentes. Dessa forma foram selecionados apenas alguns dos termos definidos legalmente e reproduzidos a seguir, sobretudo os que têm uso mais comum e cujas interpretações dão margem a erros e contradições.

Algumas definições (mais usadas)

Resultado: Valor de uma grandeza obtido por medição. Uma expressão completa do resultado de uma medição compreende também a incerteza de medição e os valores de referência das grandezas que influem sobre o valor da grandeza a medir ou sobre o instrumento de medir.

Indicação: Valor de uma grandeza a ser medida fornecido por um instrumento de medir. A indicação é expressa em unidades da grandeza medida.

Exatidão: Grau de concordância entre o resultado da medição e o valor verdadeiro convencional da grandeza medida. O uso do termo precisão no lugar de exatidão deve ser evitado.

Repetibilidade: Graus de concordância entre os resultados de medições sucessivas, de uma mesma grandeza, efetuadas nas mesmas condições: método de medição, observador, instrumento de medida, local, condições de utilização e em intervalo de tempo curto entre medições. A repetibilidade pode ser expressa quantitativamente em termos da dispersão dos resultados.

Reprodutibilidade: Grau de concordância entre os resultados das medições de uma mesma grandeza, onde as medições individuais são efetuadas variando-se uma ou mais das seguintes condições: método de medição, observador, instrumento de medida, local, condições de utilização e tempo. Para que uma expressão de reprodutibilidade seja obtida é necessário especificar as condições que foram alteradas. Incerteza: Estimativa caracterizando a faixa de valores dentro da qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza medida. A incerteza da medição compreende, em geral, muitos componentes. Alguns desses componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística dos resultados das séries de medições e caracterizados por um desvio padrão experimental. A estimativa dos outros componentes somente pode ser avaliada com base na experiência ou em outras informações.

Sensibilidade: Quociente da variação da resposta de um instrumento de medir pela variação correspondente do estímulo. A sensibilidade pode depender do estímulo.

Medidas físicas 1. Objetivos

Medidas lineares de comprimento com régua, paquímetro e micrômetro; aplicações de Teoria de Erros e Algarismos Significativos.

2. Introdução

Para efetuarmos a medida do comprimento de um lápis podemos utilizar vários instrumentos. A utilização de uma régua milimetrada, um paquímetro ou até mesmo um pedaço de barbante pré-calibrado. Cabe ao experimentador discernir qual o instrumento mais adequado àquela medida. Essa adequação deve levar em conta a reprodutibilidade da medida efetuada e a precisão que o experimentador necessita ter nessa determinação.

Quando tratamos teoricamente com grandezas numéricas, temos a impressão de lidarmos com valores absolutos, que independem do experimentador ou do instrumento de medida utilizado para obtê-los. Você terá oportunidade de verificar que, quando afirmamos ser uma dada massa igual a 1 grama ou um dado comprimento é de 10 cm estamos fazendo simplificações. Na realidade, quando obtemos experimentalmente uma massa de 1 g ou 1,0 g esses valores descrevem fisicamente a grandeza de forma distinta. A forma de obter e operar com dados experimentais exige um tratamento adequado. Tal procedimento é chamado Teoria de Erros. Elementos desta teoria e o conceito de Algarismos Significativos serão enfocados em nossos experimentos.

As medidas serão efetuadas com escala milimetrada (Δx±0,5mm), com o paquímetro (Δx±0,05mm) e finalmente com o micrômetro (Δx±0,01mm).

Os processos de medidas serão o estatístico e o de medida direta, proporcionando tratamento de dados específicos para cada caso.

Em termos de propagação de erros são consideradas as quatro operações matemáticas descritas anteriormente (ver operações com desvio).

3. Procedimentos

São fornecidos os seguintes instrumentos: régua, paquímetro e micrômetro e objetos de diferente geometria.

a) Faça 10 medidas do diâmetro da esfera de aço com cada um dos instrumentos. Organize seus dados numa tabela contendo: instrumento, grandeza, resultado, incerteza e unidade de medida.

b) A partir dos valores obtidos no item (a) calcule o volume da esfera com a respectiva incerteza (V±ΔV) para cada instrumento utilizado.

c) Obtenha (V±ΔV) somente com o primeiro valor de cada tabela e tire conclusões comparando-os com os obtidos através dos respectivos instrumentos utilizados no procedimento anterior.

d) Escolha entre os instrumentos fornecidos os mais adequados para obtenção do volume do pedaço de arame fornecido. Realize 10 medidas (diâmetro e comprimento) e calcule o volume V e a incerteza (V±ΔV).

e) Calcule o volume do cilindro metálico com a respectiva incerteza (V±ΔV) utilizando as medidas da altura e diâmetro obtidas com:

1 - régua-régua

2 - paquímetro-paquímetro 3 - micrômetro-micrômetro 4 - régua-paquímetro 5 - régua-micrômetro

Organize uma tabela com essas informações.

f) Analise os valores obtidos para o volume do cilindro com base na combinação de instrumentos. Verifique qual das combinações fornece a menor incerteza e comente a validade ou não de se utilizar instrumentos diferentes na determinação das grandezas envolvidas no cálculo em termos de precisão de resultados.

g) Utilizando a balança faça 10 medidas da massa do cilindro e calcule o valor da massa com a respectiva incerteza.

h) De posse dos dados obtidos nos itens ((e) 1, 2,3) e (g) obtenha a densidade do cilindro com sua respectiva incerteza.

4. Medidas com o paquímetro

4.1 – Paquímetro Universal

Trata-se do tipo mais usado. Medidas utilizando o paquímetro podem ser feitas em polegada ou milímetro. A medida em milímetro é feita na escala principal do instrumento, figura 1. 1. orelha fixa 2. orelha móvel 3. nônio ou vernier(polegada) 4. parafuso de trava 5. cursor

6. escala fixa de polegadas 7. bico fixo

8. encosto fixo 9. encosto móvel 10. bico móvel

11. nônio ou vernier (milímetro) 12. impulsor

13. escala fixa de milímetros 14. haste de profundidade

Para calcular a aproximação, ou seja, a sensibilidade do paquímetro (em

milímetros ou polegadas) divide-se o menor valor da escala fixa (régua) pelo número de divisões da escala móvel (Vernier ou Nônio).

No sistema métrico, a escala fixa é dividida em intervalos de 1mm e existe Vernier com 10, 20 e 50 divisões. Tem-se, portanto, paquímetros com as seguintes sensibilidades:

 Vernier com 10 divisões: S = 1 / 10 -» S = 0,1mm

 Vernier com 20 divisões: S = 1 / 20 -» S = 0,05mm

 Vernier com 50 divisões: S = 1 / 50 -» S = 0,02mm

É utilizado em medições internas, externas, de profundidade e de ressaltos como exemplificado na Figura 2.

g.2 – Exemplo de medições que podem ser feitas com o paquímetro.

Deve-se ler o valor da medida na escala existente no paquímetro, utilizando-se o valor da escala do cursor. No exemplo da Figura 3, vê-se que o zero (0) da escala do cursor se encontra entre 1,2 cm e 1,3 cm da escala do paquímetro, indicando que o comprimento medido é maior do que 1,2 cm e menor do que 1,3 cm.

O próximo passo agora é encontrara a divisão da escala do cursor que coincide com alguma divisão da escala principal do paquímetro. No exemplo, se vê que a 7a

coincide com uma divisão da escala do paquímetro. A medida final será então: 1,2 7 cm.

Fig.3 – Exemplo de uma leitura no paquímetro.

4.1 . Recomendações para o correto uso do paquímetro

1 - Nas medidas externas, a peça a ser medida deve ser colocada o mais profundamente possível entre os bicos de medição para evitar qualquer desgaste na ponta dos bicos.

2 - Para maior segurança nas medições, as superfícies de medição dos bicos e da peça devem estar bem apoiadas.

3 - Nas medidas internas, as orelhas precisam ser colocadas o mais profundamente possível. O paquímetro deve estar sempre paralelo à peça que está sendo medida. 4 - No caso de medidas de profundidade, apóia-se o paquímetro corretamente sobre a

peça, evitando que ele fique inclinado.

5 - Para maior segurança nas medições de diâmetros internos, as superfícies de medição das orelhas devem coincidir com a linha de centro do furo.

1 2 3 4 4 5

Fig.2 – Exemplos de como utilizar corretamente o paquímetro.

5. Medidas com o micrômetro

Quando a precisão desejada em uma medida for maior que a oferecida pelo paquímetro deve-se utilizar um micrômetro. A figura 4 mostra a nomenclatura de suas principais partes.

5.1 - Leituras com o micrômetro

que será movida até quase tocar o objeto. A partir desta posição, deve-se prosseguir o avanço do parafuso fazendo uso da catraca. A catraca é um dispositivo de segurança, se não se fizer uso deste dispositivo poderão surgir forças consideráveis acarretando na quebra do objeto examinado ou na inutilização do micrômetro.

Fig. 4 – Esquema simplificado de um micrômetro

Na figura 5 mostramos um exemplo de como se processa a leitura quando se utiliza um micrômetro.

No exemplo da figura, percebe-se que a cabeça (parte fixada na frente do tambor) ultrapassou 4,5 mm, mas está antes de 5,0 mm. No tambor há uma escala com 50 divisões e pode-se verificar que são necessárias duas voltas do tambor para que as esperas do micrômetro se desloquem de 1 mm. Olhando a escala no tambor, se vê que a divisão do tambor que coincide com a linha onde está a escala retilínea é 32. A escala retilínea indica que é maior do que 4,5 mm, portanto, o tambor já deu uma volta (isto é, já percorreu 0,50mm) e está no valor 32 da segunda volta, ou seja: [0,50 + 0,32] mm. A medida final é: 4,82 mm.

6 . Referências bibliográficas

[1] PIMENTEL C.A.F. Laboratório de Física I. Apostila para Escola Politécnica. IFUSP 1980.

[2] HENNIES-GUIMARãES-ROVERSI. Problemas Experimentais em Física vol. I Ed. UNICAMP 1986.

Tabelas, gráficos e equações

I - Tabelas

Têm por finalidade apresentar os resultados obtidos em uma série de medidas, quer isoladamente, quer em correspondência com outras grandezas. As tabelas devem ser construídas seguindo-se as seguintes regras:

a. Nomes das grandezas envolvidas e suas respectivas unidades.

b. Os valores numéricos devem ser apresentados de acordo com a precisão do instrumento de medida utilizado.

c. O título e o comentário da tabela devem ser apresentados na parte superior da tabela.

d. O comentário deve ser conciso e claro o suficiente para que uma pessoa ao folhear o trabalho possa entender do que trata a tabela, sem a necessidade de recorrer ao texto.

Exemplo:

Tabela 1 - Apresenta o deslocamento em função do tempo para um corpo submetido a

uma aceleração de 2 m/s2_.

Deslocamento (m) 0,0 1,00 4,00 9,00 16,00

Tempo (s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

II - Gráficos

Têm por objetivo mostrar o tipo de correspondência existente entre os valores de duas grandezas que variam entre si.

Os gráficos devem ser construídos seguindo-se as seguintes regras gerais:

a. Coloque título e comentário: como nas tabelas, é conveniente que uma pessoa ao folhear o seu trabalho, possa entender do que se trata o gráfico sem recorrer ao texto.

c. Coloque a grandeza a ser representada e sua unidade, de maneira clara, em cada eixo coordenado. Fora disso, os eixos devem conter apenas os números necessários à leitura das divisões. Não coloque valores especiais.

d. Escolha as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado.

e. A linha que passa pelos pontos é uma contribuição subjetiva do observador às medidas. Esta não deve se destacar mais que os próprios pontos. Procure traçar a linha de maneira que a distância média entre os pontos seja mínima.

f. Quando necessário, pode-se indicar o intervalo de confiança das medidas com o auxílio de barras.

g. Se os pontos provirem de diversas séries de medidas diferentes, é conveniente distingui-los usando símbolos diferentes tais como: círculos, quadrados, triângulos etc. Uma legenda deve ser utilizada para explicar o significado dos símbolos utilizados.

III - Escalas

Nos gráficos cartesianos, a linha que une os diferentes pontos assinalados é uma curva que pode, em alguns casos, ser representada por uma função conhecida.

Logicamente, o gráfico mais fácil de ser traçado e analisado é uma reta. Logo, nos casos onde existe a possibilidade de previsão da forma da função, é comum efetuarem-se transformações em uma ou em ambas variáveis, de modo a se obter uma reta.

Existem três casos que são mais freqüentes no curso de laboratório: 1º Caso: utiliza funções do tipo

y = Axn _{+ B}

2º Caso: y = Axn

3º Caso: y = AeKx

Vamos, contudo, dar início à construção de gráficos utilizando funções lineares que não requerem a transformação de variáveis.

IV - Gráficos de funções lineares

Na construção de um gráfico, a primeira providência deve ser o estabelecimento do módulo da escala de cada eixo. O módulo da escala (λ) estabelece uma relação entre certo comprimento da escala e certa quantidade da grandeza a ser representada.

λ=

Comprimento disponÍvel do papel

intervalo da grandeza medida

Caso não se inicie a representação pelo valor zero, deve-se dividir o comprimento disponível pela amplitude do intervalo a ser representado.

Sempre que possível, é conveniente adotar um número inteiro para λ, arredondando-se o valor obtido para o inteiro imediatamente menor.

Faça então uma tabela que relacione os valores da grandeza medida com o comprimento da escala no papel.

Exemplo: Utilizando-se um papel de 270 mm x 180 mm, obtém-se λF = 13 mm/N.

F(N) d(mm) a(m/s2) _d(mm) 0 0 0 0 4 52 2 36 8 104 4 72 12 156 6 108 16 208 8 144 20 260 10 180

Uma vez obtidos os comprimentos, a tarefa de marcar os pontos no papel fica simplificada.

A curva mais importante em análise gráfica é a reta. As retas são gráficos típicos das funções da forma: y = Ax + B

A constante A denomina-se coeficiente angular da reta, sendo definido como

A= y2-y1

x₂-x₁=

Δy Δx

onde (x1, y1) e (x2, y2) são dois pontos da reta escolhidos bastante afastados um do

outro.

A constante B é chamada de coeficiente linear. No ponto (0; B) a reta corta o eixo das ordenadas.

Representa esta reta a expressão y = Ax + B.

Exercício:

Utilizando-se uma folha de papel milimetrado:

a) Construir o gráfico de cada função tabelada em a) e b). b) Obter os coeficientes característicos.

c) Escrever a expressão analítica para cada função.

a) b) V(m/s) t(s) V(V) l(A) 2,0 0,00 20 0,043 5,0 1,12 25 0,054 8,6 2,11 32 0,069 10,6 3,00 81 0,145 14,5 4,31 106 0,230 22,5 6,72 110 0,239 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -5 0 5 10 15 20 25 30 (x₂;y₂) (x₁;y₁) B = coeficiente linear y x E ix o y ( o rd en ad as ) Eixo x (abscissas)

26,6 8,20 120 0,260

V - Gráficos de funções não lineares V.1 - Função potência:

Na física, um grande número de grandezas se relacionam por funções do tipo

y = Bxn

Essas funções, quando "graficadas" em papel milimetrado, não apresentam a reta como curva característica. Contudo, uma mudança conveniente de variáveis pode tornar linear a relação envolvendo y e x. Essa transformação faz-se possível tomando-se o logaritmo de ambos os membros da equação (Gráfico 1).

log y = log (Bxn₎

log y = log B + n log x

Denominando-se log y = Y, log B = b e log x = X, tem-se:

Y = nX + b

Y é a equação de uma reta após a transformação logarítmica.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -5 0 5 10 15 20 25 _{Gráfico 1}

log do coeficiente linear

y x L o g [ e ix o y ( o rd e n a d a s) ]

Log [eixo x (abscissas)] 10-1 ₁₀0

100 101 102 103 104 105 106 107 Gráfico 2 log x log y coefic. linear E sc a la L o g a ri tm ic a ( o rd e n a d a s)

A mudança de variável permitiu uma relação linear que se for plotada em papel milimetrado fornecerá uma reta.

Se o gráfico for construído em um papel onde as duas escalas são logarítmicas, também se obterá uma reta sem a necessidade de cálculo dos logaritmos (Gráfico 2). Neste caso a obtenção dos coeficientes característicos da função se faz da seguinte maneira:

n=Δlogy Δlogx=

[log( y₂)-log( y₁) ] [log( x₂)-log) x₁) ]

O coeficiente B é obtido diretamente do gráfico no ponto x = 1 pois para x = 1 y = B. Outra maneira é fazendo B = y/xn_{, para quaisquer pontos (x, y).}

Neste caso n já foi calculado (não usar pontos experimentais do gráfico e sim pontos da reta).

Exercícios:

Construir os gráficos utilizando os valores tabelados em papel milimetrado e em papel dilog. Obter os coeficientes característicos e escrever as expressões analíticas. Faça uma tabela de log x e log y e construa um gráfico em papel milimetrado usando os novos valores da tabela.

a) b) y x Y X 1,2.103 _{1,0 0,087 1,5} 3,2.103 _{2,0 0,105 4,0} 6,1.103 _{3,2 0,114 6,0} 1,1.104 _{4,7 0,167 40,0} 1,4.104 _{5,9 0,208 120,0} 2,1.104 _{7,8 0,269 430,0} 3,4.104 _{10,9 0,297 715,0} 6,0.104 _{16,3 0,318 990,0}

V.2 - Função exponencial

Finalmente, existe um terceiro tipo de função que aparecerá constantemente no decorrer do curso, que é a função exponencial.

y = Bekx

onde: B e k são constantes diferentes de 0.

Como no caso anterior, se os valores destas funções forem plotados em papel milimetrado, não se obtém uma reta como curva característica. Novamente torna-se necessária uma mudança de variáveis para tornar linear a relação entre y e x.

Essa transformação é possível tomando-se o logaritmo de ambos os membros da equação. Deste modo:

logy = log (Bekx₎

logy = log B + kx loge

A constante e 2,72, portanto loge = 0,43.

Log

e

logy = log B + 0,43kx

chamando logy = Y, 0,43k = k’ e log B = b tem-se: Y = Kx + b

Nota-se então, que a reta é obtida graficando-se, num papel milimetrado, logy como função de x

k'=log ( y2)-log( y1)

x₂−x₁

O coeficiente B é obtido para x = 0, pois neste ponto y = B na expressão y = Bekx_.

Novamente para evitar o cálculo do logaritmo dos y’s, utiliza-se um papel apropriado onde uma das escalas é logarítmica, ou seja, o espaçamento é proporcional ao logaritmo do número apresentado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -5 0 5 10 15 20 25 / / coefic. linear y x L og [e ix o y (o rd en a da s) ]

Escala linear (abscissas)

0 2 4 6 8 10 12 100 101 102 103 coefic. linear y / x _/ E sc a la lo g ( or d e na d a s)

Exercícios:

Dadas as tabelas abaixo:

a) Construir os respectivos gráficos em papel milimetrado e mono-log. b) Obter os coeficientes característicos.

c) Escrever as expressões analíticas.

a) b)

y (U.A) x (U.A) y (U.A) x (U.A)

10,00 0 10 0,0 3,90 1 21 2,0 1,60 2 52 4,5 0,63 3 80 5,7 0,25 4 156 7,5 0,10 5 350 9,8 VI - Equações

Devem ser isoladas do texto, com numeração (em algarismos arábicos colocado entre parênteses) colocada do lado direito da página. Após a equação, deve haver uma frase explicando a simbologia adotada. Tal frase não será necessária se a simbologia já foi explicada anteriormente.

1º Experimento

Gráficos e funções - Aplicações físicas

1. Objetivo

Verificar, experimentalmente, a relação funcional entre as variáveis de fenômenos físicos.

2. Introdução

Nem sempre em Ciência o pesquisador dispõe de informações e subsídios teóricos que permitam avaliar corretamente um dado fenômeno. Muitas vezes é necessário, realizar medidas e análises para verificar a relação existente entre as variáveis, que regem o fenômeno. Em geral, a análise dessas medidas torna possível estabelecer relações. Um método útil de análise é através da construção de gráficos, o qual é objetivo das atividades experimentais aqui propostas.

3. Parte experimental

3.1. Gráficos Lineares: (Movimento de um corpo num meio viscoso).

Você irá determinar, experimentalmente, o tipo de movimento descrito por uma esfera de aço que se desloca no interior de um tubo de vidro, contendo um líquido viscoso.

3.1.1. Procedimento:

a1. Marque, no tubo de vidro, os pontos P0, P1, P3, ..., Pn distante entre

si 100 mm. Observe para que não haja bolhas de ar no intervalo onde a esfera de aço irá percorrer.

a2. Apóie um extremo do tubo no bloco de madeira de modo a incliná-lo de um ângulo menor que 10o_{, conforme a Figura 1. Marque as}

posições do bloco e do tubo na mesa para reproduzir sempre a mesma inclinação.

Fig.1 – Esquema do tubo de vidro contendo líquido viscoso e a esfera de aço.

a3. Você irá cronometrar os tempos que a esfera leva para percorrer os espaços, P0P1, P0P2, ..., P0Pn . Para isso, utilize o imã para posicionar a esfera

no extremo mais alto do tubo (lado de P0): verifique a posição do tubo (isto é, o

ângulo de inclinação utilizando as marcas feitas na mesa) e ligue o cronômetro quando a esfera passar por P0 e desligue-o quando passar por P1: cronometre

o tempo transcorrido para os demais intervalos (P0P2, P0P3,..., P0Pn).

a4. Repita este procedimento 5 vezes para cada deslocamento, e com os dados obtidos, preencha a tabela 1.

a5. Construa, em papel milimetrado, um gráfico de s x t com os dados da Tabela 1. Calcule a velocidade da esfera através do coeficiente angular da reta média obtida. Faça uma avaliação do erro cometido na determinação da velocidade através do gráfico. Escreva a equação da reta obtida.

a6. Utilizando os dados de todas as colunas de Tabela 1, calcule a velocidade média da esfera com sua respectiva incerteza. Organize seus dados em tabelas. Atento para o fato de que os desvios t podem ser diferentes para cada uma das 5 medições.

a7. Compare os resultados dos itens 4 e 5. Comente suas conclusões. Pergunta:

Quais são as diferenças, vantagens e desvantagens de cada um dos métodos utilizados (gráfico e analítico)?

percorrer as

distâncias marcadas no tubo. d (mm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) t6 (s) t7 (s) t8 (s) t9 (s) t10 (s) 100 200 300 400 500 600