aula ANVA

ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

FATO × FENÔMENO

FATO: Aquilo que realmente existe , que é real.

Acontecimento, feito, caso, sucesso; coisa ou ação feita. FENÔMENO: - Aquilo que é raro e surpreendente; prodígio.

-Tudo que é objeto de experiência possível, i. é. que se pode manifestar no tempo e no espaço segundo as leis do conhecimento.

-Tudo que é percebido pelos sentidos ou pela consciência.

-Qualquer modificação operada nos corpos pela ação dos agentes físicos ou químicos.

Todo fenômeno é um fato? Todo fato é um fenômeno? CONCEITO × DEFINIÇÃO

CONCEITO: - Ação de formular uma idéia por meio de palavras.

- Idéia subjetiva, pensamento, idéia, opinião, noção, concepção. DEFINIÇÃO: - Explicação precisa, descrição

- Determinação da compreensão de um conceito.

1. Por que usar estatística?

A experimentação agronômica, zootécnica, ecológica, odontológica, médica etc. tem por objetivo o estudo dos experimentos:

• resultados dos ção interpreta obtidos dados dos análise execução to planejamen

∴É no planejamento que se define quais técnicas estatísticas utilizar

2. Conceitos básicos

a) Experimento ou Ensaio:

É um trabalho previamente planejado, que segue determinados princípios básicos e no qual se faz a comparação dos efeitos dos tratamentos.

b) Tratamento – é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou comparar em um experimento.

Ex.: - variedade de capim elefante; - variedade de soja;

- adubação para cultura Brachiaria, Massambará, Colonião, Andropogon - espaçamento para a cultura da cana forrageira;

- inseticida para controle de gafanhoto

- recipiente para produção de mudas de espécies florestais (Plástico, Laminado, Papel Jornal);

- material restaurador de dentes fraturados (amálgama, resina); - aditivo no estudo da dureza do concreto restaurador;

- método de prevenção de cáries (pasta dental fluoretada e aplicação tópica de flúor);

- Raça de gado; Linhagem de frango.

c) Unidade experimental ou parcela: é a unidade que recebe o tratamento e fornece os dados que deve refletir seu efeito.

Ex.: - uma planta ou grupo delas; - uma área de terreno com plantas; - um vaso com plantas;

- uma placa de Petri com um meio de cultura; - um animal ou grupo deles;

- uma ninhada;

- um dente ou grupo deles;

- um corpo de prova ou grupo deles.

d) Unidade observacional: é a menor unidade de medida da parcela. e) Delineamento experimental – É o plano utilizado na experimentação e

implica na forma como os tratamentos serão atribuídos às parcelas (distribuídos) Ex.: Inteiramente Aleatorizado Aleatorizado em blocos Quadrado Latino Crossover Parcelas Subdivididas Medidas repetidas Hierárquico

(II) observações

(I) (III)

Formulação de Teste das Hipóteses Hipóteses Formuladas

(IV) Desenvolvimento da teoria

Circularidade do Método Científico

O que nos obriga a utilizar a análise estatística para testar hipótese é a presença em todas observações de efeitos de FATORES NÃO CONTROLADOS (que podem ou não ser controlados) que causam VARIAÇÃO.

Ex.:

Pequenas diferenças de fertilidade do solo (manchas de solo). Ligeiras variações de espaçamentos.

Profundidade de semeadura um pouco maior ou menor que a prevista no plano do trabalho.

Variação na constituição genética dos animais.

Pequenas variações nas doses de adubos, inseticidas, fungicidas, herbicidas, etc. Pequenas variações nos pesos dos animais.

Pequenas variações na quantidade de amálgama, resina. Diferença de idade, sexo, peso, altura dos indivíduos.

Obs.: Esses efeitos, que sempre ocorrem, não podem ser conhecidos individualmente e tendem a mascarar o efeito do tratamento em estudo.

Variação do Acaso ou Aleatória ou “ERRO EXPERIMENTAL” – o conjunto dos efeitos de fatores não controlados.

O que fazer para tornar mínima a variação do acaso?

-Planejar o experimento de tal forma que consiga isolar os efeitos de todos os fatores que podem ser controlados.

-Na instalação e execução do experimento deve-se diminuir o efeito dos fatores não controlados. (Ex.: diferença de fertilidade, umidade, temperatura, vento, sombreamanto etc.)

Fato: Não se consegue eliminar por completo os efeitos desses fatores. Ex.:

Soquete

Animais de mesmo peso, altura, idade, sexo etc. evita variações genética Calha de madeira evita variações nas doses de adubo

ou equipamento ajustado

• Corpos de provas, os mais homogêneos possíveis.

2.1 Parcela

Escolha De forma a minimizar o erro experimental. Deve ser o mais uniforme possível, para que, ao ser submetida a tratamentos diferentes, seus efeitos sejam detectados.

TAMANHO E FORMA: variam em função de:

a) Material com que se está trabalhando:

Ex.: Parcelas para forrageiras leguminosas devem ser maiores que para capim colonião. barbante

0,50 m

Evita variações de espaçamentos entre linhas

ripa

Evita variações de espaçamentos entre plantas na linha

Evita variações de profundidade

Hábito de crescimento rastejante ×erecto.

Ex.: parcelas para bovinos devem ser maiores que para ovinos (Baia, Área para pastejo).

b) Objetivo da Pesquisa

Ex1.: Estudo do efeito da profundidade de semeadura do sorgo granífero sobre o desenvolvimento inicial das plantas x Estudo de produção da cultura.

Ex2.: Estudo do efeito de rações ↑ x Estudo do Efeito de Vacinas ou Vermífugos.

c) Número de Tratamentos em Estudo

↑ Tratamentos ↓ Tamanho das parcelas.

Visando diminuir a distância entre as parcelas extremas (Homogeneidade entre elas), o tamanho deve ser reduzido. Ex.: Ensaios de melhoramento genético vegetal

d) Quantidade Disponível de sementes ou animais

Ex.: Ensaios de introdução de novos materiais genéticos

e) Uso de máquinas agrícolas

Ex.: Arados, e Colheitadeiras grandes

Máquinas que ceifam, trilham, classificam e ensacam.

f) Área Total Disponível para a Pesquisa

Deve-se ajustar o experimento ao tamanho da área disponível, que em geral é pequeno Parcelas pequenas.

g) Custo, Tempo e Mão-de-obra

i. Custos altos Parcela pequena

ii. A falta de tempo do pesquisador para obter as observações em parcelas muito grandes parcelas menores

iii. Falta de mão-de-obra para as operações durante a condução do ensaio, limita o tamanho da parcela.

FORMAS DAS PARCELAS Devem ser compridas e estreitas

Pois é possível que um maior número de parcelas esteja localizado em qualquer mancha de alta ou baixa fertilidade do solo.

Pode coincidir com a mancha toda apresentando produção exageradamente alta ou baixa.

OBS.: Parcelas pequenas o efeito da forma é pequeno, mas quando são grandes, os efeito da forma é considerável.

TAMANHO E FORMA ÓTIMOS – aqueles que resultam na menor variação entre parcelas dentro do bloco

BORDADURAS – área total e área útil

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Bordadura Amostragem Bordadura Produção Bordadura Amostragem Bordadura

Crescimento das Plantas (Amostragens semanais ou quinzenais)

• Casa de Vegetação

Parcela: Conjunto de vasos

Um único vaso com 1, 2 ou 3 plantas. • Laboratório

Parcela: Amostra Simples

Amostra Compostas (tira-se uma média) Não é repetição!

Se o pesquisador tomar para si a responsabilidade de controlar as fontes de variação do acaso, sua pesquisa está fadada ao sucesso.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

EXEMPLOS DE PARCELAS

iv. Em gramíneas (cana-de-açúcar, arroz etc.), são usadas de 3 a 5 linhas de 10m de comprimento cada uma.

v. Em café usam-se de duas a quatro linhas com 7 a 10 plantas cada uma.

vi. Com gado de corte, um ou mais animais, de acordo com a disponibilidade, já que é muito difícil encontrar vários animais com características iguais para compor uma parcela.

vii. Com animais de pequeno porte, coelhos, frangos, poedeiras etc., pode-se usar vários indivíduos para constituição de uma parcela. viii. Com árvores frutíferas, uma a duas plantas são o suficiente,

dependendo do grau de homogeneidade dessas árvores.

ix. Em psicultura, usam-se tanques de 2 x 2m, com 1 a 2 m de profundidade.

x. Com gado de leite (vacas), existe toda uma técnica

experimental e cuidados especiais devem ser tomados. Por exemplo, é sabido que as vacas atingem o pico de lactação mais ou menos aos 45 dias após o parto. Portanto, esses animais só deverão entrar no experimento após esse pico.

2a_{. aula - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO}

Experimentação Agrícola – Banzato e Kronka (1992) 1. INTRODUÇÃO: A pesquisa científica está constantemente utilizando experimentos

para provar suas hipóteses. Eles variam de uma pesquisa para outra, porém, todos eles são regidos por alguns princípios básicos. Por quê se faz experimento?

ACASO × ALEATÓRIO

2. PRINCÍPIO DA REPETIÇÃO

Ao compararmos, por exemplo, duas rações (A e B), aplicadas a dois animais (parcelas) os mais semelhantes possíveis, apenas o fato da ração A ter apresentado maior produção animal que a B não é suficiente para que possamos concluir que a mesma é mais eficiente, pois essa sua melhor produção poderá ter ocorrido por simples acaso ou ter sido

influenciado por fatores estranho (genética - diferença individual). Porém, se as duas rações forem aplicadas a vários animais (parcelas) e, ainda assim, verificamos que a ração A apresenta em média, maior produção animal, existe já um indício de que ela seja realmente mais produtiva.

Ex.: Dois herbicidas (A e B) para controle de ervas daninhas em Pastagem. A apresenta maior controle. Repetindo e ainda A controlar melhor.

Consiste - na reprodução do experimento básico.

Finalidade - propiciar a obtenção de uma boa estimativa do erro experimental, e assim, procurando confirmar a resposta que os indivíduos, plantas, animais, material dão a um determinado tratamento.

Experimento Repetições

Básico

3. PRINCÍPIO DA ALEATORIZAÇÃO

Mesmo reproduzindo o experimento básico, poderá ocorrer que a ração A apresenta maior produção por ter sido favorecida por qualquer fator, como, por exemplo, ter todos os animais geneticamente superiores, ou provindo de um lote onde eram mais bem tratados, etc. Para evitar que uma das rações seja sistematicamente favorecida por qualquer fator

A B A A A A A A B B B B B B Princípio da repetição

externo, procedemos à aleatorização das rações nas parcelas, isto é, elas são designadas às parcelas de forma totalmente aleatória.

Ex.: Dois herbicidas (A e B). O herbicida A pode ter apresentado maior controle por ter ficado numa faixa de menor infestação. Devemos aleatorizar os herbicidas nas parcelas.

Consiste - sorteio dos tratamentos nas parcelas.

Finalidade - propiciar a todos os tratamentos a mesma probabilidade de serem designados a qualquer uma das parcelas.

- Com isso, estaremos oferecendo a mesma chance a todos os tratamentos de ocuparem uma determinada posição ou parcela na área experimental. Elimina-se com isso a intuição ou deElimina-sejo involuntário de proteger determinado(s) tratamento(s).

CENÁRIO: COLETA DE DADOS

EXPERIMENTOS CEGOS – São aqueles nos quais o pesquisador pesa, mede ou observa cada unidade experimental sem saber a que grupo (tratamento) pertence aquela unidade. Isso evita tendenciosidade. Nessa fase do experimento o pesquisador precisa do apoio de outro técnico. Esse técnico deve tomar a unidade experimental e entregar a unidade ao pesquisador, que fará as medições sem saber a que grupo pertence a unidade experimental.

DUPLAMENTE CEGOS- São aqueles com pessoas, em que não se deve informar à pessoa o grupo para o qual foi designada. Também se devem manter alheios ao resultado do sorteio todos os profissionais envolvidos no trato dessas pessoas. O pesquisador que faz as medições ou observações deve fazê-lo sem saber a que grupo pertence a pessoa que examina.

Experimento Repetições +

Aleatorizações Básico

Se, ainda, o herbicida A apresentar maior controle, é de se esperar que essa conclusão seja realmente válida.

OBS: Todo experimento deve, obrigatoriamente, aplicar os princípios da Repetição e Aleatorização.

4. PRINCÍPIO DO CONTROLE LOCAL A B A A A B A A B B B A B B Princípios da Repetição e Aleatorização

É freqüentemente utilizado, mas não é obrigatório.

Consiste - Em aplicar os tratamentos em parcelas as mais homogêneas possíveis com relação ao ambiente, pessoa, animal, podendo haver, inclusive, variação acentuada de um grupo para outro de parcelas. A cada grupo de parcelas denominamos BLOCO.

Ex1.: Aplicar as rações (A, B) em pares de animais de mesma raça (ou idade ou sexo), podendo haver diferença de raça de um par para outro.

Ex2.: Aplicar os herbicidas em pares de parcelas as mais homogêneas possíveis com relação ao ambiente. Pode inclusive, colocar um grupo de parcelas em uma cidade, outro grupo em outra, etc.

Experimento Básico

Obs.: No bloco, ocorrem todos os tratamentos.

Finalidade - Dividir o material experimental (animais) ou ambiente heterogêneo em grupo de material experimental (animais) ou sub-ambientes homogêneos e tornar o delineamento experimental mais eficiente, pela redução do erro experimental.

Sir Ronald Aylmer Fisher - Desenvolveu uma técnica denominada Análise de Variância Nascido: 17 Feb 1890 em Londres, Inglaterra

Falecido: 29 July 1962 in Adelaide, Austrália

A B A A A A A A B B B B B B Princípios da repetição

Aleatorização e controle local

5. RELAÇÕES ENTRE OS PRINCÍPIOS BÁSICOS DA

EXPERIMENTAÇÃO E OS DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

Análise da Variância: Consiste - Na decomposição dos graus de liberdade e da variância total de um material heterogêneo (grupo de animais) em partes, atribuída a causas

conhecidas e independentes e a uma porção residual de origem desconhecida e de natureza casual ou acidental.

Obs.: Os princípios da repetição e da aleatorização devem no mínimo, fazerem parte de um ensaio, para que se possa utilizar a metodologia estatística, a fim de que possamos obter uma estimativa válida para o erro experimental.

5.1. Delineamento Inteiramente Aleatorizado ou Completamente Aleatorizado É aquele que utiliza os princípios da REPETIÇÃO e da ALEATORIZAÇÃO.

Quando utilizar: Quando tiver absoluta certeza da homogeneidade das condições experimentais.

Exemplo: Consideremos que estamos planejando um experimento para estudar o efeito de 5 rações (A, B, C, D, E), com 5 repetições, no delineamento inteiramente aleatorizado. Procedimento: 1 - Numerar os animais de 1 a 25 e colocar as rações em sequência:

A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2 C3 C4 C5 D1 D2 D3 D4 D5 E1 E2 E3 E4 E5

2. Sortear uma sequência de números de 1 a 25 (animais).

15 7 14 4 12 23 20 13 11 25 19 2 1 22 21

6 16 24 8 3 18 10 9 5 17

usando tabela de números aleatórios ou fichas numeradas ou a função RAND de uma calculadora ou um sistema computacional.

3. Atribuir as rações aos animais sorteados: Ração Animal A1 15 A2 7 A3 14 A4 4 A5 12 B1 23 B2 20 E5 17

Esquema de Análise de Variância do Experimento: Fonte de Variação G.L. Rações 4 Residuo 20 por diferença Total 24 D.I.A.:

UTILIZADOS – Em ensaios de laboratórios e casas de vegetação, nos quais as condições experimentais podem ser perfeitamente controladas e nele temos apenas duas causas ou fontes de variação:

TRATAMENTOS (causa conhecida ou fator controlado e de estudo) e RESÍDUO OU ERRO (Causa desconhecida, de natureza aleatória, que reflete o efeito dos fatores não controlados).

EXERCÍCIO: Planeje um ensaio de competição de 3 variedades de forrageiras e uma padrão (testemunha) com 7 repetições, no DIA. Mostre o croqui do campo, e o esquema da ANVA.

5.2. DELINEAMENTO ALEATORIZADO EM BLOCOS

É aquele que utiliza os princípios da REPETIÇÃO, ALEATORIZAÇÃO E CONTROLE LOCAL Quando utilizar – Se as condições experimentais ou material (plantas, animais, pessoas) forem sabidamente heterogêneas.

Exemplo: Deseja-se testar a influência do farelo de soja na alimentação de bovinos. Em função do teor de proteína do farelo de soja experimentar-se-á as seguintes dosagens: 12, 15, 19, 25 e 30%, usando-se 15 animais de 3 raças distintas (Nelore, Guzerá e Gir). Para se avaliar a influência dos níveis de soja utilizar-se-á as variáveis respostas:

1. Peso aos 140 dias.

2. Dias necessários para se alcançar 550 kg de peso. PROCEDIMENTO:

1. Numerar os animais de 1 a 5 em cada raça e colocar as dosagens em seqüência D1 D2 D3 D4 D5

2. Sortear 3 seqüências de números de 1 a 5 (animais) 4 1 3 5 2 (Nelore)

3 2 1 4 5 (Guzerá) 5 1 4 3 2 (Gir)

3. Atribuir as dosagens aos animais sorteados dentro das raças (Blocos) Nelore Guzerá Gir

D1 4 3 5

D2 1 2 1

D3 3 1 4

D4 5 4 3

ESQUEMA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA DO ENSAIO Fonte de variação G.L. Raças (Blocos) 2 Dosagens (Tratamentos) 4 Resíduo (8) (baixo) Total 14

OBS1: O número de graus de liberdade do resíduo é um indicador da precisão da análise.

Assim, deve-se fazer o controle local quando realmente for necessário. Portanto, controle local desnecessário somente irá causar menor sensibilidade à análise de variância.

OBS2: Em experimentos de campo, com plantas nas parcelas, a variabilidade é ainda maior

se pensarmos que as plantas estão sujeitas aos ventos, chuvas, sol, ataques de pragas, de pássaros, de morcegos etc..

OBS3: Uma regra empírica diz que o resíduo deve ter no mínimo 12 graus de liberdade para

que se possa estimar a nível nominal o erro experimental, e no mínimo 20 parcelas no total. OBS4: Existem testes “Ad hoc” que verificam se o tamanho da amostra (número de

repetições) é suficiente para estimar o ruído (erro experimental). No entanto há críticas a esses testes, porque eles são realizados após os dados terem sido coletados.

OBS5: Se tiver que aumentar os graus de liberdade do resíduo, o faça aumentando o número

de repetições e não o número de tratamentos.

D.A.B.:

UTILIZADOS – Em ensaios de campo, onde é maior a heterogeneidade das condições experimentais de um bloco para outro. Maior será a eficiência destes delineamentos em relação ao DIA.

Ex.

DISPOSIÇÃO DOS BLOCOS

O uso do controle local reduz os graus de liberdade do resíduo. Devemos aumentar o número de • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Ri Estrada

I II III I II III a) b)

FORMA DOS BLOCOS: quadrados, retangular ou irregular, dependendo da uniformidade das condições experimentais dentro de cada bloco.

Diferentes formas de blocos em um experimento

Exercício: Planeje um ensaio de competição de 5 inseticidas em 4 blocos no controle da mosca das pastagens. (Croqui e Esquema).

5.3 DELINEAMENETO EM QUADRADO LATINO

São aqueles que utilizam os princípios da REPETIÇÃO, ALEATORIZAÇÃO e CONTROLE LOCAL, exagerando neste último.

QUANDO UTILIZAR – Quando as condições experimentais forem muito heterogêneas, obrigando-nos a controlar dois tipos de heterogeneidade.

Exemplo: Deseja-se experimentar 5 rações (A, B, C, D, E) e se dispõe de 5 raças e 5 capins distintos usados para pastagens.

Evidência: Cada ração deve ser experimentada em cada uma das raças e com cada um dos capins.

RAÇA 1 RAÇA 2 RAÇA 3 RAÇA 4 RAÇA 5

CAPIM 1 B E D A C CAPIM 2 C A B D E • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • • • • • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ I IV II III Correta Incorret a

CAPIM 3 D B C E A

CAPIM 4 A C E B D

CAPIM 5 E D A C B

Obs.: Número de linhas deve ser igual ao número de colunas Número de repetições = número de tratamentos

É um quadrado perfeito 5 X 5 Causa de variação G.L. Linhas (capins) 4 Colunas (raças) 4 Tratamentos (rações) 4 Resíduo 12 Total 24 TRABALHO DE PESQUISA:

Ler um artigo científico de sua área, cujo delineamento tenha sido o inteiramente aleatorizado. Fazer uma crítica ao trabalho apresentado. Verificar se definiu parcela, repetição, delineamento.

Título, objetivo(s) principal (ais), resultado, revisão bibliográfica e conclusão. Dizer ao final se você consegue reproduzir o ensaio.

I – Delineamento Inteiramente Aleatorizado (DIA)

1. VANTAGENS: Em relação aos outros

a) é bastante flexível, pois o número de tratamentos e de repetições depende apenas do número de parcelas disponíveis.

b) O número de repetições pode ser diferente de um tratamento para outro (ideal: mesmo número de repetições).

c) A análise estatística é simples, mesmo quando o número de repetições por tratamento é variável.

d) O número de graus de liberdade para o resíduo é o maior possível.

DESVANTAGENS:

a) exige homogeneidade total das condições experimentais.

b) pode conduzir a uma estimativa de variância residual bastante alta “já que não utiliza o princípio do controle local”.

2. MODELO MATEMÁTICO DO (DIA) E HIPÓTESES BÁSICAS PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA

- Modelo: yij =µ+ti+eij i = 1, 2, ..., I j = 1, 2, ..., J onde:

ij

y - valor observado na parcela que recebeu o i-ésimo tratamento na j-ésima repetição; µ – constante inerente a toda população;

i

t - efeito do i-ésimo tratamento; ij

e - efeito dos fatores não controlados do i-ésimo tratamento na j-ésima repetição. - HIPÓTESES BÁSICAS PARA VALIDADE DA ANVA

a) ADITIVIDADE – os efeitos dos fatores que ocorrem no modelo matemático devem ser aditivos.

b) INDEPENDÊNCIA – os erros (e ) devem ser independentes. os efeitos de ij tratamentos sejam independentes, que não haja correlação entre eles. Que uma parcela não influencie a outra. Isso significa que não se pode dizer, em função da resposta obtida numa parcela, que a(s) parcela(s) vizinha (as) terá (ão) respostas mais alta(s) ou mais baixa(s), a priori.

OBS1.: Isso não ocorre quando os tratamentos são doses crescentes de proteína, fósforo, fibra, adubos, inseticidas, fungicidas, herbicidas, etc. ocasião em que a análise de variância deve ser feita estudando-se a regressão.

OBS2.: O simples fato de aleatorizar (sortear) as parcelas que receberão os tratamentos diminui a dependência entre os erros.

c) HOMOCEDASTICIDADE ou HOMOGENEIDADE DE VARIÂNCIA - os erros ou desvios eij, devem possuir uma variância comum σ2.

i ij ij y t e = −µ− ) t ( y e i tratamentodo média i ij ij= − µ+

Isto significa que a variabilidade das repetições de um tratamento deve ser semelhante à dos outros.

d) NORMALIDADE – Os erros (eij) devem possuir uma distribuição normal de probabilidades. f(e ) _ij ) , 0 ( NIID ~ e 2 ij σ ij e

isto implica em que as observações (y_ij) se ajustam a uma distribuição normal dentro de cada tratamento.

e) Não exista “outliers” (dados discrepantes.

OBS.: Na prática, é comum que uma ou mais dessas hipóteses não se verifique. deve-se transformar (yij) ou verificar se no modelo não falta algum termo. Mais comum Não existe homocedasticidade.

Tipos:

a) HETEROCEDASTICIDADE IRREGULAR – ocorre quando certos tratamentos apresentam maior variabilidade que outros.

Rep. T1 T2 TI 1 2 J ... 2 1 σ 2 2 σ 2 I σ

Ex.: “Substituição do soro do leite na alimentação bovina”

“pode-se esperar que a medida que se aumenta a quantidade de soro, haja maior variabilidade na resposta”. Y

Soro

b) HETEROCEDASTICIDADE REGULAR – ocorre devido a falta de normalidade dos dados experimentais, existindo, freqüentemente, uma certa relação entre a média e a variância dos diversos tratamentos testados.

TESTE DE HARTLEY (1950) (TESTE DA RAZÃO MÁXIMA) – utilizado para verificação da homocedasticidade irregular

PROCEDIMENTO: T1 T2 ... TI I -tratamentos J J ... J repetições

2 1 s 2 2 s

...

2 I s

variâncias

1. Calcular min s máx 2 2 s Hc =

2. COMPARAR O VALOR DE Hc COM SEU VALOR CRÍTICO H(I,J−1)α DA TABELA

Se Hc ≥H₍I,J−1₎α, rejeitamos a hipótese de homocedasticidade, e concluímos que não existe

homogeneidade de variâncias entre os tratamentos.

Obs1: Se os números de repetições forem diferentes, mas semelhantes, utilizar

Obs: Alguns sistemas computacionais utilizam a Média Harmônica do número de repetições para realizar alguns testes estatísticos. . I J J I 1 i= i = = = _I 1 i Ji 1 I J

Obs2: O teste é eficiente em detectar heterogeneidade irregular para I ≤12 e I 2 1 J J J = = = DESVANTAGENS:

- Não é sensível quando a estatística teste é grande devido a menor variância ser pequena, mesmo se todas outras variâncias forem a mesma.

- É um teste sensível a não normalidade dos dados. Se os dados não se ajustam a normal, então o teste de Hartley não é apropriado.

TESTE DE COCHRAN (1951)-possivelmente o mais útil. Usa como estatística teste a razão da maior variância pela soma das variâncias amostrais. Ele está obviamente relacionado a variância média, assim esse teste é específico para uma variância

excessivamente grande, contornando assim, uma das desvantagens do teste de Hartley.

= = I 1 i 2 i 2 i S S maior C

Com os dados em mãos, substituímos 2 i S por 2

i

s , as estimativas da amostra para variância de I populações (ou tratamentos) amostradas. A distribuição de freqüência de C é tabulada sob H0 verdadeira e as variâncias são iguais e as populações são normalmente distribuídas. A tabela de C envolve I, o número de tratamentos ou populações e (J-1) graus de liberdade em cada amostra. Note que J deve ser o mesmo para todas amostras.

Se o teste de Cochran é significante, há evidência de um problema potencial sério para qualquer análise subseqüente a análise da variância. Existem vários procedimentos a fazer, uma vez que a heterogeneidade de variância tenha sido identificada. É fato que a heterogeneidade de variâncias conduz a excessivo erro tipo I, na análise de amostras balanceadas, assim, resultados não significantes de uma análise podem ser perfeitamente aceitáveis. Assim, pode-se afirmar que não há diferença entre os tratamentos quando na verdade há.

SAS: LEVENE v. 6.08 (se os dados não se ajustam à distribuição normal) BROWN – FORSYTHE v. 6.12

BARTLETT (se os dados ajustam-se à distribuição normal)

- CASO HETEROCEDASTICIDADE REGULAR – usar transformação

a) TRANSFORMAÇÃO RAIZ QUADRADA - y - freqüentemente utilizada para dados de contagens, que geralmente seguem a distribuição de POISSON (média = variância).

Ex.: - Número de animais sobreviventes/parcela.

- Número de moscas das pastagens capturadas em armadilhas luminosas. - Número de vermes no intestino de ovinos.

OBS.: Se ocorrer zeros ou valores baixos, transformar 5 , 0 + y ou y+1,0

b) TRANSFORMAÇÃO ANGULAR – arcsen y/100

- recomendável para dados expressos em porcentagens, que geralmente seguem uma distribuição binomial.

Obs1: Se as porcentagens estiverem [30% - 70%] não é preciso transformar.

Obs2: Não transformar, por transformação angular, porcentagens obtidas por divisão dos valores observados nas parcelas por um valor constante.

Ex.: Médias das parcelas

- Representativas de concentração (Teor de proteína ou gordura na carne, de N na folha, pureza da semente, etc. ) Não é uma variável com distribuição binomial. Obs3: Transformar porcentagens provenientes de dados discretos num total de casos. Ex.: Porcentagem de germinação

sementes de total no. germinadas sementes de no.

Porcentagem de animais doentes

os considerad animais de no. doentes animais de no.

c) TRANSFORMAÇÃO LOGARÍTMICA – log (y) ou Ln (y)

- utilizada quando é constatada uma certa proporcionalidade entre as médias e os desvios padrão dos diversos tratamentos.

Ex.: Caso de contagens de vermes no intestino de animais como ovinos, caprinos, bovinos: se a população é numerosa, as contagens serão altas tanto para a testemunha como para os tratamentos não eficientes (Ex.: variação de 10 a 1000 vermes), ao passo que, para os outros tratamentos, que controlam melhor o verme, a amplitude de variação será baixa (Ex.: 5 e 50 vermes). Temos médias altas, variâncias altas e médias baixas, variâncias baixas. Transformação inversa para apresentação das médias na escala original.

OBS.: y₀+ 50, =y_T y y2 0,5 T *

0= − 0-Original T-Transformada log(y0)=yT y*0=10yT

SAS: − − iâncias var ogeneizar hom e dados normalizar para Cox Box de Ótima Potência ento dim oce Pr e normalidad de Teste ) W ( Wilks Shapiro Teste

- CASO HETEROCEDASTICIDADE IRREGULAR – eliminar os tratamentos discrepantes ou, caso isto não seja possível ou recomendável, subdividi-los em grupos e testá-los separadamente, através de resíduos apropriados a cada grupo.

3. OBTENÇÃO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (DIA) Quadro 1 – Valores observados no experimento

Tratamentos Repetições 1 2 ... j ... J Totais 1 y ₁₁ y 12 ... y1j ... y1J = = J j j T y 1 1 1 2 y₂₁ y22 ... y2j ... y2J = = J j j T y 1 2 2 i y _i1 y i2 ... yij ... y iJ = = J j i ij T y 1 I y _I1 y I2 ... yIj ... y IJ = = J j Ij I T y 1 = = = J j ij I i G y 1 1

O valor observado no i-ésimo tratamento e na j-ésima repetição é ij i ij t e y =µ+ + de onde i ij ij y t e = −µ− Estimando os parâmetros (µ e t ) i

Método dos quadrados mínimos

Consiste – tornar mínima a soma de quadrados dos desvios

(

)

= = = = − µ − = I 1 i J 1 j 2 i ij I 1 i J 1 j 2 ij y t e f(µ e t ) i

( )

(

)

= = − µ − = µ I 1 i J 1 j 2 i ij i y t t , f

Para minimizar, devemos derivá-la parcialmente em relação a cada um dos parâmetros µ e i

t (i=1, 2, ...,I) e igualar a zero.

( )

₍

₎

_{( )}

= = = − ⋅ − µ − = µ ∂ µ ∂ I 1 i J 1 j i ij i _{2 y ˆ tˆ 1 0} t , f

( )

₂

₍

_{y ˆ tˆ}

₎

_{( )}

_{1 0} t t , f J 1 j ij i i i _{= −µ− ⋅ − =} ∂ µ ∂ = (i=1,2,...,I) = = = = = + µ I 1 i J 1 j ij I 1 i i G y tˆ J ˆ IJ = = = + µ J 1 j ij i i y T tˆ J ˆ J (i = 1, 2, ..., I)

Sistemas de Equações Normais (I + 1) equações (I + 1) Incógnitas

O sistema é indeterminado A soma da I equações de tratamentos é igual à primeira equação, indicando que as equações não são independentes e o sistema apresenta

infinitas soluções.

Solução: Impor uma restrição

uma boa restrição será aquela que nos possibilita obter a estimativa da média independentemente do efeito de tratamentos, i.é.,

0 ˆ 1 = = I i i t

G ˆ IJµ= IJ G ˆ = µ i i T tˆ J ˆ Jµ+ = = −µˆ J T tˆ i i

CÁLCULO DAS SOMAS DE QUADRADOS

a) S.Q. Total – corresponde à soma dos quadrados dos desvios de todos os dados em relação a média.

S.Q. Total =

(

)

2 J 1 j ij I 1 i ˆ y = = µ − =

(

)

= = µ + µ − J 1 j 2 ij 2 ij I 1 i ˆ y ˆ 2 y = = = = = µ + µ − J 1 j 2 ij I 1 i J 1 j 2 ij I 1 i ˆ IJ y ˆ 2 y mas, IJ y ˆ I 1 i J 1 j ij = = = µ =

( )

2 2 I 1 i J 1 j ij J 1 j 2 I i J j ij 2 ij I 1 i IJ y IJ IJ y 2 y − + = = = = IJ y y 2 I 1 i J 1 j ij J 1 j 2 ij I 1 i − = = = = = IJ G

C= 2 correção para a média

C y I i J j ij − = =1 =1 2

b) S.Q. Tratamentos (Entre) – corresponde à soma dos quadrados dos efeitos de todos os tratamentos.

Estimadores dos Parâmetros

S.Q. Trat. = J 2 I 2 I 2 I J 2 2 2 2 2 2 J 2 1 2 1 2 1 tˆ ... tˆ tˆ tˆ ... tˆ ... tˆ tˆ ... tˆ tˆ + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 1 ... ˆ Jt Jt_I t J + + + =

(

2 2

)

2 2 1 ˆ ... ˆ ˆ t t_I t J + + + = S.Q. Trat.= −µ + −µ + + −µ 2 I 2 2 2 1 _ˆ J T ... ˆ J T ˆ J T J desenvolvendo o quadrado µ + µ − + + µ + µ − + µ + µ − = I 2 2 2 I 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 _ˆ J T ˆ 2 J T ... ˆ J T ˆ 2 J T ˆ J T ˆ 2 J T J 2 I 2 I 2 2 2 2 2 1 2 1 _{2ˆT Jˆ} J T ... ˆ J T ˆ 2 J T ˆ J T ˆ 2 J T _{− µ + µ + − µ + µ + + − µ + µ} =

(

)

2 I 2 1 2 I 2 2 2 1 _{2ˆ T T ... T I Jˆ} J T ... J T J T _{+ + + − µ + + + + ⋅ µ} = mas IJ G ˆ = µ

(

)

_{( )}

2 2 2 2 2 2 1 ... 2 1 IJ G IJ G IJ G T T T J + + + I − ⋅ + ⋅ =

(

)

G_IJ IJ G T T T J I 2 2 2 2 2 2 1 ... 2 1 _{+ + + − +} = mas, C IJ G =2 S.Q. Trat. = T C J I i i − =1 2 1 Outra forma: S.Q. Trat.= = = µ − I 1 i J 1 j 2 i _ˆ J T µ + µ − = I i J j 2 i 2 2 i _{ˆ ˆ} J T 2 J T µˆ =G IJ

µ + µ ⋅ − ⋅ = i 2 i i 2 2 i _{T IJˆ} J ˆ 2 J J T J 2 2 i i ˆ IJ G ˆ 2 T J 1 _{− µ + µ} = C J T IJ G IJ G T J i i i i − = + − = 1 2 ₂ 2 2 2

c) S.Q. Resíduo (Dentro) - Corresponde à soma dos efeitos dos fatores não controlados

S.Q. Resíduo = S.Q.Total - S.Q. Trat. C T J 1 C y I 1 i 2 i I 1 i J 1 j 2 ij − − + = = = = = = = − = I 1 i 2 i I 1 i J 1 j 2 ij _J T 1 y ANVA

Fonte de Variação G.L. S.Q. Q. Médio F

Tratamentos I-1 = − I i i C T J 1 2 1 1 -I Trat. S.Q. Resíduo Q.M. Trat. Q.M. Resíduo I

(

J−1

)

Diferença

( )

J-1 I síduo Re S.Q. - Total IJ −1 I _{y C} 1 i J 1 j 2 ij− = = - - Exemplo:

Produção de milho em kg/100m2 _{segundo as variedades (Vieira e Hoffmann, 1989)}

VARIEDADES A B C D 25 31 22 33 26 25 26 29 20 28 28 31 23 27 25 34 21 24 29 28 Total 115 135 130 155 535 Média 23 27 26 31 Variância 6,5 7,5 7,5 6,5

I = 4 I×J = 20 J = 5 26,75 20 535 ˆ = = µ Efeitos de tratamentos: = A tˆ -3,75 tˆB=0,25 tˆC =-0,75 tˆD=4,25 Note: tˆA+tˆB+tˆC+tˆD =0

Modelo de simulação: y ˆ tˆ e , e* ~N(0, 2), com ˆ2 Q.M.Res. ij * ij i * ij=µ+ + σ σ = TESTE DE HARTLEY

(

) (

) (

) (

) (

)

(

5 1

)

23 21 23 23 23 20 23 26 23 25 2 2 2 2 2 2 − − + − + − + − + − = A s 5 , 6 4 26 4 4 0 9 9 4+ + + + _{= =} =

(

) (

) (

) (

) (

)

( )

5 1 27 24 27 27 27 28 27 25 27 31 2 2 2 2 2 2 − − + − + − + − + − = B s 5 , 7 4 30 4 9 0 1 4 16+ + + + _{= =} =

(

)

(

)

(

5 1

)

7,5 26 29 ... 26 22 2 2 2 ₌ − − + + − = C s

(

)

(

)

(

5 1

)

6,5 31 28 ... 31 33 2 2 2 ₌ − − + + − = D s (1) 1,1538 5 , 6 5 , 7 2 min 2 = = = s s H máx c (2) α=0,05 I = 4

( )

J−1 =4 Tabela _I J-1 2 ... 4 ... 2 4 20,60

(3) Conclusão: Como H_c <H_crítico , não rejeitamos a hipótese de homocedasticidade da variância e concluímos que existe homogeneidade de variâncias entre tratamentos. Cálculo dos resíduos (eˆij)para os dados do exemplo de milho

segundo as variedades VARIEDADES A B C D 2 4 -4 2 3 -2 0 -2 -3 1 2 0 0 0 -1 3 -2 -3 3 -3 Total 0 0 0 0 Média 0 0 0 0 Variância 6.5 7.5 7.5 6.5

Cálculo dos valores estimados (yˆ ) à partir do modelo DIA. ij

i ij ˆ tˆ yˆ =µ+

Gráfico dos resíduos

-6 -4 -2 0 2 4 6 20 22 24 26 28 30 32 Yij Estimados R es íd uo s eij Variedades A B C D 23 23 23 23 23 27 27 27 27 27 26 26 26 26 26 31 31 31 31 31

Correção para a média:

(

) ( )

_14.311,25 20 535 5 4 28 ... 26 25 C 2 2 = = × + + + = kg2/100m2

Soma de Quadrados Total:

S.Q.Total = 252₊262₊...₊282₋14.311,25₌275,75 _kg2_/100m2 Soma de Quadrados de Tratamentos:

S.Q. Trat. = 14.311,25 163,75 5 155 130 135 1152 2 2 2 = − + + + _kg2_/100m2

Soma de Quadrados de Resíduo:

S.Q. Resíduo = 275,75 - 163,75 = 112,0 kg2/100m2 ANVA

Fonte de Variação G.L. S.Q. Q. Médio F

Variedades 3 163,75 54,58 7,80 Resíduo 16 (112,00) 7,00 Total 19 275,75 7 ˆ2₌ σ ∴ TESTE F PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA OBTIDO - test F (Fisher-Snedecor)

FINALIDADE - comparar estimativas de variâncias

Definição - síduo M Q Fator M Q F_c Re . . . . =

SUPOSIÇÕES - Q.M. Fator é independente Q.M. Resíduo

gl. numerador gl. denominador "Razão de Variâncias"

Sob Ha:

Q.M. Fator > Q.M. Resíduo tal F > 1 (Teste unilateral à direita) HIPÓTESES TESTADAS síduo Re . M . Q Fator . M . Q :

H0 = as I amostras foram tiradas da mesma população . "Não há diferença entre as médias dos tratamentos"

I 2 1 0:t t t H = = síduo Re . M . Q Fator . M . Q :

Ha > as I amostras são provenientes de populações diferentes. "Pelo menos uma das médias dos tratamentos difere das demais".

. demais dos difere tratamento de efeito um menos Pelo : Ha Tabela F, α=0,05

Como FC >FTAB , rejeitamos Ho, i.é, pelo menos uma das variedades diferem entre si, ao nível de 5% de significância. 05 , 0 = α p-value =P(F>FC)=0,002 FTAB = 3,24 FC=7,80 Tabela F, α=0,01

Como FC >FTAB , rejeitamos Ho, i.é, pelo menos uma das variedades diferem entre si, ao nível de 1% de significância. n1 n2 1 2 ... 3 ... 1 2 16 3,24 n1 n2 1 2 ... 3 ... 1 2 16 5,29

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DO ENSAIO- é uma medida de variabilidade que mede percentualmente a relação entre o desvio padrão residual e a média aritmética (µˆ )

100 ˆ s Re QM . V . C × µ

= "mede a precisão do ensaio" 100 75 , 26 0 , 7 . .V = × C 26,75 20 535 ˆ = = µ C.V. = 9,89%

Classificação do C.V. para ensaios de campo: 1-10 Bom

10-20 Regular >20 Alto

COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

INTRODUÇÃO - Os testes de comparações múltiplas, ou testes de comparações de médias, servem como um complemento do teste F, para detectar diferenças entre os tratamentos.

Teste de Tukey

Utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas (2) médias. Limitação - não permite comparar grupos de médias entre si.

Base - A Diferença Mínima Significativa (D.M.S.)

Procedimento:

m1−m2 =d (1) J . s Re . M . Q q = ∆

q: amplitude total estudentizada, é função (I, g.l. resíduo e α).

resíduo . .M

Q -é o desvio padrão residual do ensaio.

J: é o número de repetições das médias confrontadas no contraste.

Obs: Para número de repetições desiguais, troca-se J pela média harmônica Jh dos {Ji}, onde = = _I 1 i i h J 1 I J

k i ˆ ˆ yˆ=µ −µ , i≠ k 2 1 ˆ ˆ µ µ µˆ1 µˆ2 µˆ3 µˆ1 µˆ2 µˆ3 µˆ4 2 1 1 ˆ ˆ

yˆ =µ −µ yˆ_yˆ1₂=₌µ_µˆ_ˆ1₁−₋µ_µˆ_ˆ2₃ 3 2 3 ˆ ˆ yˆ =µ −µ )! 2 I ( ! 2 ! I C2 I = ₋ 2 1 1 ˆ ˆ yˆ =µ −µ 3 1 2 ˆ ˆ yˆ =µ −µ 4 1 3 ˆ ˆ yˆ =µ −µ 3 2 4 ˆ ˆ yˆ =µ −µ 4 2 5 ˆ ˆ yˆ =µ −µ 4 3 6 ˆ ˆ yˆ =µ −µ (3) Comparar yˆ com ∆

Se yˆ ≥∆ , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as 2 médias testadas diferem entre si.

Obs.: O teste F e os testes de comparação de médias não são equivalentes!. Ex.: (1) No exemplo do milho, q₍4,16₎0,05=4,05

79 , 4 5 0 , 7 05 , 4 = = ∆ (2) e (3) µˆ_D=31 kg/100m2 a 27 ˆB = µ kg/100m2 a b 26 ˆ_C = µ kg/100m2 _b

µˆA =23 kg/100m2 b médias seguidas pela mesma letra

não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de significância NS B D 1 ˆ ˆ 31 27 4 yˆ =µ −µ = − = * 5 26 31 ˆ ˆ yˆ2=µD−µC = − = * 8 23 31 ˆ ˆ yˆ3=µD−µA= − = NS C B 4 ˆ ˆ 27 26 1 yˆ =µ −µ = − = NS A B 5 ˆ ˆ 27 23 4 yˆ =µ −µ = − = I glRes 2 3 4 5 ... 2 16 4,05

NS A

C

6 ˆ ˆ 26 23 3 yˆ =µ −µ = − =

Concluímos que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as variedades C e A, e que não houve diferença entre D e B e entre B, C e A.

Teste de Duncan

Um procedimento amplamente usado para comparação de todos pares de médias é o teste de múltiplas amplitudes desenvolvido por Duncan (1955).

Utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas (2) médias. Limitação - não permite comparar grupos de médias entre si.

Base - Várias Diferenças Mínima Significativa (D.M.S.) Procedimento: (1) J .s Re . M . Q z D =

z : amplitude total estudentizada, é função (número de médias abrangidas pelo contraste entre duas médias ( y ), g.l. resíduo e α).

resíduo . .M

Q -é o desvio padrão residual do ensaio.

J: é o número de repetições das médias confrontadas no contraste.

Obs: Para número de repetições desiguais, troca-se J pela média harmônica Jh dos {Ji}, onde = = _I 1 i i h J 1 I J

(2) Calcular todas as estimativas dos contrastes entre 2 médias, considerando o número de médias entre as envolvidas, depois de ordená-las.

k i ˆ ˆ

yˆ =µ −µ , i≠ k

(3) Comparar cadayˆ com D

Se yˆ≥D , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as 2 médias testadas diferem entre si.

Ex.: (1) No exemplo do milho: Médias em ordem decrescente:

D ˆ µ 31 _kg/100m2 B ˆ µ 27 _kg/100m2

C ˆ µ 26 _kg/100m2 A ˆ µ 23 _kg/100m2

a) Contrate que abrange 4 médias

2 A

D

1 ˆ ˆ 8kg/100m yˆ =µ −µ =

para testar este contraste, calcula-se:

{

0,05 3,23 . s Re .l . g 16 médias 4 z4 3,82 5 7 23 , 3 D4= =

Como yˆ1>D4, o contraste é significativo, rejeita-se H0 e conclui-se que µD ≠µA. b) Contrates que abrangem 3 médias

2 A B 3 2 C D 2 m 100 / kg 4 ˆ ˆ yˆ m 100 / kg 5 ˆ ˆ yˆ = µ − µ = = µ − µ = para testar estes contrastes, calcula-se:

{

0,05 3,15 .s Re .l . g 16 médias 3 z3 3,72 5 7 15 , 3 D3= =

Como yˆ2>D3, o contraste é significativo, rejeita-se H0 e conclui-se que µD ≠µC. Como yˆ3>D3, o contraste é significativo, rejeita-se H0 e conclui-se que µB ≠µA. c) Contrates que abrangem 2 médias

2 A C 6 2 C B 5 2 B D 4 m 100 / kg 3 ˆ ˆ yˆ m 100 / kg 1 ˆ ˆ yˆ m 100 / kg 4 ˆ ˆ yˆ = µ − µ = = µ − µ = = µ − µ =

para testar este contraste, calcula-se:

{

0,05 3,00 .s Re .l . g 16 médias 2 z₂ 3,54 5 7 00 , 3 D2= =

Como yˆ₄>D₂, o contraste é significativo, rejeita-se H0 e conclui-se que µD ≠µB. Como yˆ5<D2, o contraste não é significativo, não rejeita-se H0 e conclui-se que

C B =µ

µ .

Como yˆ6<D2, o contraste não é significativo, não rejeita-se H0 e conclui-se que A C =µ µ . (2) e (3) µˆ_D=31 kg/100m2 a 27 ˆ_B = µ kg/100m2 b 26 ˆ_C = µ kg/100m2 _{b c}

µˆ_A =23 kg/100m2 _{c médias seguidas pela mesma letra} não diferem entre si pelo teste de Duncan a 0,05 de significância.