Modelos de campos de tensões para a análise de regiões de descontinuidade

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MODELOS

DE

CAMPOS

DE

TENSÕES

PARA

A

ANÁLISE

DE

REGIÕES

DE

DESCONTINUIDADE

BRUNO OLIVEIRA TEIXEIRA DA MOTA

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL —ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professora Sandra da Conceição Barbosa Nunes

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MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2010/2011 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446

miec@fe.up.pt

Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias

4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440 feup@fe.up.pt http://www.fe.up.pt

Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2010/2011 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2011.

As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respectivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir.

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Aos meus Pais e irmãs

A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original

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Modelos de campos de tensões para a análise de regiões de descontinuidade

i AGRADECIMENTOS

Sendo este projecto o culminar da vida académica, não posso passar sem expressar o reconhecimento a pessoas que ao longo deste trajecto me foram importantes.

Ao professor Mário Jorge Seixas Pimentel, pela sua disponibilidade e simpatia no acompanhamento contínuo à realização deste trabalho.

Aos meus Pais, por todo o suporte e motivação durante toda a minha carreira académica, por toda a paciência e confiança que sempre tiveram em mim.

Às minhas irmãs, por serem sempre compreensivas e prestáveis de modo a proporcionar-me as melhores condições de estudo e trabalho, mesmo quando não merecesse tal dedicação.

Aos meus amigos, pelo suporte que sempre me deram e pelo facto de tornarem a minha vida académica num marco que nunca irei esquecer.

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iii RESUMO

As estruturas de betão armado podem ser divididas internamente em 2 zonas a que correspondem métodos de análise e dimensionamento distintos: as zonas B e D. As zonas B são aquelas onde as deformações são lineares, ou seja, onde a teoria de Bernoulli é passível de ser aplicada. As zonas D, por sua vez, são aquelas onde ocorrem descontinuidade de índole estática ou geométrica que inibem a aplicação da teoria de Bernoulli, sendo genericamente designadas por zonas de descontinuidade. Nestas zonas o dimensionamento é muitas vezes baseado em modelos de campos de tensões. São apresentadas as bases desta metodologia, assim como alguma regulamentação existente.

Posteriormente é efectuada uma comparação entre as cargas e modos de rotura obtidos experimentalmente e os correspondentes resultados obtidos pela aplicação do método em estudo. São analisadas uma viga-parede e uma viga com carga junto ao apoio. Os resultados experimentais foram retirados da literatura. Como apoio é usado o software DIANA para a determinação do estado de tensão correspondente à distribuição elástica através do método dos elementos finitos.

Numa última parte deste trabalho é feito o dimensionamento dos pilares de um viaduto, a realizar no IC3 Avelar Norte – Condeixa, sendo dada ênfase às regiões de descontinuidade, nomeadamente ao capitel de apoio do tabuleiro e a uma região perturbada pela existência de aberturas com dimensões relevantes.

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v ABSTRACT

Concrete structures are divided in 2 types of regions: the B-regions where the cross section’s strains are linear, i.e., where the Bernoulli’s theory can be applied; and the D-regions, or regions of stress discontinuity, where this phenomenon does not occur. In the latter, design can be based on the discontinuous stress field approach, which is a method based on the theory of plasticity. It is shown the bases for this methodology as well as some normative aspects about this subject.

A comparison is made between experimental and theoretical results using tests described in the literature, namely a deep-beam and a bent-cap beam. As a support, and sometimes as a guide, it is used the software DIANA that gives an important information about the linear states of the specimen provided.

In the last phase of this work it is done the design of the piers of a viaduct, situated in IC3 Avelar Norte – Condeixa, where the main points of analysis are the discontinuous regions.

This thesis is useful to present how reliable this method is and also to explain the differences between the method and the experiences.

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Modelos de campos de tensões para a análise de regiões de descontinuidade vii ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS ... i RESUMO ... iii ABSTRACT ... v

1. INTRODUÇÃO ... 1

1.1CONTEXTO ... 1 1.2.OBJECTIVOS ... 2 1.3.ESTRUTURAÇÃODADISSERTAÇÃO ... 2

2. MODELOS DE CAMPOS DE TENSÕES – FUNDAMENTOS

E BASES ... 5

2.1.TEORIADAPLASTICIDADE ... 5

2.1.1.COMPORTAMENTO DO MATERIAL ... 5

2.1.2.TEOREMAS DA ANÁLISE LIMITE ... 6

2.1.2.1. Teorema do Limite Inferior ... 6

2.1.2.2. Teorema do Limite Superior ... 6

2.1.2.3. Opção Prática ... 7

2.2.ZONASDEDESCONTINUIDADE ... 7

2.2.1.MODELO DE ESCORAS E TIRANTES ... 7

2.2.2.ZONAMENTO DA ESTRUTURA ... 7

2.2.3.ANÁLISE DE REGIÕES D ... 9

2.2.4.ESCOLHA DO MODELO DE ESCORAS E TIRANTES ... 9

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ix

2.2.4.2. Caminhos de Carga ... 10

2.2.4.3. Modelos Padronizados ... 10

2.2.4.4. Conclusão ... 10

2.3.DIMENSIONAMENTODEESCORAS,TIRANTESENÓS ... 11

2.3.1.INTRODUÇÃO ... 11

2.3.2.ESCORAS DE BETÃO ... 12

2.3.3.TIRANTES ... 14

2.3.4.NÓS ... 15

2.4.SOFTWAREDIANA ... 18

3. ANÁLISE DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS ... 19

3.1.INTRODUÇÃO ... 19

3.2.VIGAS-PAREDE ... 19

3.3.VIGACOMCARGAJUNTOAOAPOIO ... 30

4. ESTUDO E DIMENSIONAMENTO DE CASO ... 43

4.1.INTRODUÇÃO ... 43

4.2.CARGASVERTICAISDEVIDOAOTRÁFEGO ... 43

4.3.CARGASPERMANENTES ... 46

4.3.1.PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA DE BETÃO ... 46

4.3.2.PAVIMENTOS E GUARDAS ... 46

4.4.ANÁLISELONGITUDINAL ... 47

4.5.DIMENSIONAMENTODOCAPITELUSANDOMODELODECAMPOSDETENSÕES 48 4.6.CARGASHORIZONTAISDEVIDASAOTRÁFEGO ... 52

4.6.1.FORÇA CENTRÍFUGA ... 52

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xi

4.6.2.1. No tabuleiro ... 53

4.6.2.2. No pilar ... 55

4.6.3.FORÇA SÍSMICA... 55

4.7.DIMENSIONAMENTODO TRONCO DOPILAR USANDOMODELO DECAMPOS DE TENSÕES ... 59

4.7.1.ESCOLHA DO MODELO A USAR E RESPECTIVO CÁLCULO DOS NÓS ... 60

4.7.2.VERIFICAÇÃO DE ESCORAS E NÓS AO ESMAGAMENTO ... 63

5.CONCLUSÃO ... 65

5.1.SUMÁRIO ... 65

5.2.CONCLUSÕESFINAIS ... 65

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xiii ÍNDICE DE FIGURAS

Fig.1 – Diagrama elástico-plástico idealizado para o aço ... 5

Fig. 2 - Diagrama rígido-plástico idealizado para o aço ... 6

Fig. 3 - Exemplo de delineação duma zona D [2] ... 8

Fig. 4 - Exemplos de delineação de zonas D [2] ... 8

Fig. 5 - Tensões elásticas sobrepondo o modelo de escoras e tirantes [3] ... 9

Fig. 6 - Modelo de escoras e tirantes criado a partir do método do caminho das cargas [2] ... 10

Fig. 7 - Consolas curtas com a mesma geometria e duas soluções diferentes de modelos de escoras e tirantes [2] ... 11

Fig. 8 - Alguns exemplos de modelos de escoras e tirantes, fazendo referência aos campos de tensões, aos nós, escoras e às armaduras [3] ... 12

Fig. 9 - Campos de compressão: (a) leque; (b) garrafa; (c) prismático [3] ... 13

Fig. 10 - Vários estados de tensão para as escoras [4] ... 13

Fig. 11 - Exemplos de nós [3] ... 17

Fig. 12 - Mais exemplos de nós [3] ... 18

Fig. 13 - Viga WT3, carregamento e geometria [7] ... 20

Fig. 14 - Dois modelos possíveis a adoptar para o modelo de escoras e tirantes ... 21

Fig. 15 - Campo de tensões escolhido para a viga-parede WT3 [7]... 21

Fig. 16 - Campo de tensões na viga-parede, na forma de vectores ... 22

Fig. 17 - Tensões no eixo de simetria da peça ... 23

Fig. 18 - Campo de tensões mostrando as incógnitas a determinar ... 23

Fig. 19 - Pormenor do cálculo do centróide das armaduras ... 24

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xv

Fig. 21 - Pormenor do nó A ... 26

Fig. 22 - Pormenor do nó A, segundo as novas imposições ... 27

Fig. 23 - Ilustração do segundo caso estudado [8] ... 30

Fig. 24 - Representação da viga a ser alvo de estudo [8] ... 31

Fig. 25 - Modo de carregamento da viga [8] ... 31

Fig. 26 - Idealização do modelo de escoras e tirantes... 32

Fig. 27 - Idealização do modelo de campo de tensões para o caso de uma carga aplicada junto ao apoio ... 33

Fig. 28 - Pormenor das armaduras ... 34

Fig. 29 - Pormenor nó A ... 35 Fig. 30 - Pormenor nó B ... 35 Fig. 31 - Pormenor nó D ... 36 Fig. 32 - Pormenor nó D ... 37 Fig. 33 - Pormenor nó A ... 38 Fig. 34 - Pormenor nó B ... 39 Fig. 35 - Pormenor nó E ... 39

Fig. 36 - Exemplificação de um dos nós junto ao apoio ... 40

Fig. 37 - Esquema do nó no ponto de aplicação da carga ... 41

Fig. 38 - Ilustração da secção transversal do tabuleiro no pilar ... 43

Fig. 39 - Esquematização da secção transversal ... 44

Fig. 40 - Linha de influência que origina a maior reacção em A ... 44

Fig. 41 - Aplicação das cargas verticais (tráfego) na secção transversal ... 45

Fig. 42 - Planta do viaduto ... 46

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xvii

Fig. 44 - Alçado do viaduto ... 47

Fig. 45 - Esquematização da linha de influência no pilar P1 ... 47

Fig. 46 - Modelo de escoras e tirantes para o capitel ... 48

Fig. 47 - Pormenor armadura capitel para as cargas verticais ... 49

Fig. 48 - Pormenor nó A ... 50

Fig. 49 - Pormenor nó B ... 50

Fig. 50 - Representação do nó B ... 51

Fig. 51 - Representação do nó A ... 52

Fig. 52 - Representação das cargas a aplicar no pilar devido à força centrífuga ... 53

Fig. 53 - Esquematização de um pilar com os respectivos valores da rigidez ... 56

Fig. 54 - Alçado de um dos pilares com aberturas ... 60

Fig. 55 - Pormenor do modelo adoptado na zona do capitel ... 61

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xix ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Características dos materiais da parede WT3 ... 20 Tabela 2 - Rigidez dos vários pilares ... 56 Tabela 3 - Força vs deslocamentos provenientes da aplicação da carga permanente vertical, horizontalmente ... 57 Tabela 4 - Parâmetros do espectro de cálculo para análise elástica ... 58 Tabela 5 - Forças sísmicas a aplicar em cada pilar ... 59 Tabela 6 - Resultados método dos nós para o capitel ... 61 Tabela 7 - Resultados do método dos nós para a abertura superior... 62

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Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade

1

INTRODUÇÃO

1.1.CONTEXTO

Há cerca de 10 000 anos o homem começou a desenvolver a agricultura e a pecuária deixando então de ser nómada, passando assim a habitar em local fixo. Com este fenómeno apareceram as primeiras aldeias e, consequentemente, as primeiras estruturas. Desde esta altura o homem vem desenvolvendo novas construções com âmbito político, religioso ou puramente de lazer.

Ao longo dos séculos houve uma progressiva mudança de tipos construtivos e associação de materiais. Data do início do século XX o início do uso do betão armado, tirando partido da conjugação dos materiais aço e betão. Desde então tem-se assistido a um contínuo desenvolvimento dos processos para análise e dimensionamento de estruturas de betão armado.

No caso de estruturas com geometria mais complexa, torna-se necessário compreender o fluxo das forças internas na estrutura. O desenvolvimento de ferramentas computacionais que tem tido lugar nos últimos 30 anos, nomeadamente desde a generalização do método dos elementos finitos na prática corrente de engenharia, levou à utilização de modelos numéricos que permitem a resolução de estruturas cada vez mais complexas e desafiantes.

O método estudado neste trabalho é baseado nos modelos de campos de tensões, que permitem uma estimativa do acima mencionado fluxo de forças tendo apenas por base as condições de equilíbrio e a hipótese de comportamento rígido-plástico para os materiais. As vantagens da aplicação deste método consistem em:

permitir a explicitação dos caminhos das cargas em qualquer região da estrutura, proporcionando a compreensão do comportamento estrutural após a fendilhação.

ser um método baseado no limite inferior da teoria da plasticidade.

permitir o dimensionamento de zonas de descontinuidade com geometria arbitrária.

fornecer indicações claras sobre a forma de dispor a armadura, nomeadamente a indicação dos seus prolongamentos, zonas de amarração, etc.

Contudo, a aplicação prática deste método é por vezes dificultada pelo facto de nem sempre ser evidente qual o modelo de equilíbrio mais adequado. A escolha entre modelos alternativos poderá tomar mais ou menos tempo ao engenheiro projectista, consoante a experiência e sensibilidade do mesmo.

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2

1.2.OBJECTIVOS

Os objectivos desta dissertação têm como pano de fundo os modelos de campos de tensões para a análise de regiões de descontinuidades em estruturas de betão armado. Pretende-se neste trabalho descrever e aplicar os modelos de campos de tensões, comparando os resultados dos modelos com os valores experimentais. Pretende-se também efectuar uma aplicação prática num caso real. Como apoio para estas aplicações será usada uma ferramenta de cálculo automático.

A estruturação deste trabalho consiste em três grandes partes:

Numa primeira fase faz-se uma apresentação e explicação dos métodos aplicados.

Numa segunda fase, com base em experiências realizadas por alguns autores, irá ser feita a comparação entre resultados experimentais e os resultados obtidos por aplicação dos modelos de campos de tensões, nomeadamente no que se refere à carga e modo de rotura.

Na terceira e última fase são dimensionados os pilares de um viaduto rodoviário, sendo dado especial realce às zonas de descontinuidade.

1.3.ESTRUTURAÇÃODADISSERTAÇÃO

O presente trabalho encontra-se dividido em 5 capítulos. O presente capítulo descreve de forma sumária o âmbito desta tese bem como o seu enquadramento.

O segundo capítulo – FUNDAMENTOS E BASES – inicia-se com uma introdução sumária à teoria da plasticidade e aos teoremas da análise limite. Apresenta-se a definição de zona de descontinuidade, sendo introduzidos os modelos de escoras e tirantes, assim como o zonamento das estruturas em zonas B e D. Em seguida apresentam-se alguns critérios de escolha de modelos de escoras e tirantes. Passa-se então para a faPassa-se em que Passa-se descreve o modo de dimensionamento das escoras, tirantes e nós; este dimensionamento tem como base a regulamentação mais actual. Por fim, é feita uma pequena descrição do programa de cálculo automático que é usado.

O capítulo 3 – ANÁLISE DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS – tem por objectivo a comparação das cargas e modos de rotura obtidos em ensaios experimentais de estruturas dominadas por zonas de descontinuidade com os resultados obtidos por aplicação dos modelos de campos de tensões. O primeiro elemento estrutural que é tratado é uma viga-parede, sendo introduzido o uso da ferramenta de cálculo automático DIANA como auxiliar à construção do modelo de campo de tensões. A outra peça ensaiada é uma viga com uma carga junto ao apoio. A viga é representativa de uma tipologia construtiva usada nos EUA nos anos 50 em pontes para materializar o apoio das longarinas do tabuleiro. O crescimento exponencial do tráfego levou com que fosse alvo de grande escrutínio dada a incerteza quanto à sua capacidade para resistir às crescentes solicitações.

O capítulo 4 – ESTUDO E DIMENSIONAMENTO DE CASO – tem como base a aplicação do método a um pilar com aberturas, tomando como base a definição da geometria definida num projecto existente e fazendo o dimensionamento de acordo com a regulamentação em vigor. Este capítulo pretende ilustrar a aplicação dos modelos de campos de tensões num caso prático. O estudo é iniciado com a determinação das cargas de projecto. Esta determinação é dividida em cargas verticais e horizontais; as cargas verticais vão ser fundamentalmente importantes para o dimensionamento da zona do capitel do pilar. As cargas horizontais são importantes para o dimensionamento do tronco do pilar; para além das cargas permanentes, as cargas a considerar são as originárias pela força centrífuga, vento e pelo sismo. A força preponderante para o dimensionamento do tronco do pilar é a sísmica. Para a sua determinação é usado o espectro de resposta de cálculo preconizado no Eurocódigo 8. A determinação da frequência natural é feita através do método de Rayleigh. Finalmente são idealizados

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3 os modelos de escoras e tirantes a usar, procedendo-se à verificação de segurança ao esmagamento nos nós e dimensionamento das armaduras.

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Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 5

2

MODELOS DE CAMPOS DE

TENSÕES – FUNDAMENTOS E

BASES

2.1.TEORIADAPLASTICIDADE 2.1.1. COMPORTAMENTO DO MATERIAL

A aplicação dos teoremas de análise limite pressupõe um comportamento rígido-plástico para os materiais, ou seja, admite-se que as deformações elásticas são desprezadas visto serem muito inferiores às plásticas. A Fig.1 e 2 mostram a comparação entre diagramas tensões/extensões para um comportamento elástico-plástico e rígido-plástico, respectivamente [1].

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6

Fig. 2 - Diagrama rígido-plástico idealizado para o aço

A utilização do comportamento rígido-plástico para o betão é uma simplificação da realidade muito maior do que no caso do aço, na medida em que o betão tem uma ductilidade muito inferior. Isto deve-se ao facto do rácio entre extensões elásticas e as plásticas do betão deve-ser maior do que no aço.

2.1.2. TEOREMAS DA ANÁLISE LIMITE

A determinação da carga última pela teoria da plasticidade pode ser feita por diversos métodos, todos eles baseados nos teoremas da análise limite [1].

2.1.2.1. TEOREMA DO LIMITE INFERIOR

Neste caso apenas condições de equilíbrio, de fronteira e de cedência têm de ser verificadas para resolver o problema em questão. Para aplicar o designado teorema do limite inferior é necessário que se verifique as condições de cedência nos pontos críticos da estrutura, havendo ao mesmo tempo uma distribuição de esforços em equilíbrio com uma dada carga exterior. Estas considerações fazem com que a carga de rotura retirada seja inferior à carga de rotura real. Isto dá origem ao teorema do limite inferior que é enunciado de seguida.

Teorema do limite inferior [Qs]≤[Qr]:

“A carga de um sistema [Qs], à qual lhe corresponde um campo de tensões estaticamente admissível, é igual ou inferior à carga de rotura [Qr]”.

Aplicando este teorema, as seguintes condições têm de ser verificadas [1]:

Todas as cargas permanecem proporcionais às outras [Qs] = λs.[Q], sendo todo o sistema controlado por um só parâmetro. Caso isto não aconteça, as combinações de cargas têm de ser analisadas individualmente.

Um estado de tensão é dito estaticamente admissível se forem cumpridas as condições de equilíbrio, as condições de fronteira e as condições de cedência do material.

2.1.2.2. TEOREMA DO LIMITE SUPERIOR

Por outro lado tem-se uma solução cinemática, em que se considera um mecanismo de rotura cinematicamente admissível na determinação do trabalho realizado pelas forças aplicadas, assim como aquele realizado pelos esforços internos nas zonas de dissipação. Estas zonas de dissipação são regiões onde se concentram as dissipações plásticas: rótulas plásticas no caso de vigas, linhas de rotura no caso de lajes. Através do princípio dos trabalhos virtuais, dando pequenos deslocamentos à estrutura é

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7 possível determinar as forças internas e externas do sistema. Segundo este princípio, o trabalho realizado pelas forças internas é igual ao trabalho realizado pelas forças externas Eq.1.

+ = 0 (1)

A aplicação deste princípio dá origem ao segundo teorema, o teorema do limite superior [1].

Teorema do limite superior [Qs]≥[Qr]:

“A carga de um sistema [Qs], à qual lhe corresponde um mecanismo de rotura cinematicamente admissível, é igual ou superior à carga de rotura [Qr]”.

Segundo este teorema as seguintes considerações são aplicadas:

O campo de deslocamentos é cinematicamente admissível se as deformações são compatíveis com as condições de fronteira e se respeita a lei de escoamento plástico.

Um mecanismo de rotura tem um campo de deslocamentos cinematicamente admissível e exibe um grau de liberdade.

Muitas vezes os mecanismos levam a um estado de tensão que viola a condição de cedência. Sendo assim é necessário pesquisar de entre os mecanismos possíveis aquele que corresponde ao menor valor de [Qs]. O mecanismo que não infringe a condição de cedência é o que corresponde à carga Qs mínima:

Mínimo [Qs] → [Qr]

2.1.2.3. OPÇÃO PRÁTICA

Em termos práticos não é usual usar o método cinemático na fase de dimensionamento, pois fornece resultados acima da carga de rotura estando portanto do lado da insegurança, sendo necessária a experiência do projectista para ajudar a avaliar a peça em questão. Este método é usado em verificações de segurança. Por outro lado, o método estático é mais usual em dimensionamento pelo facto de fornecer resultados abaixo do valor real.

2.2.ZONASDEDESCONTINUIDADE 2.2.1. MODELO DE ESCORAS E TIRANTES

Os modelos de escoras e tirantes surgem da generalização dos modelos de treliça desenvolvidos por Ritter e Mörsch para estudar o comportamento de vigas. Neste modelo as resultantes das tensões de compressão são reproduzidas por escoras e as de tracção por tirantes. Este modelo serve essencialmente para dimensionamento de zonas fendilhadas, submetidas a esforços de flexão, corte e de torção. Os modelos de escoras e tirantes estendem a aplicação dos conceitos subjacentes ao modelo de treliça às designadas zonas de descontinuidade que são o caso de pontos de aplicação de cargas, cantos das estruturas, consolas curtas, aberturas nas estruturas, entre outros.

2.2.2. ZONAMENTO DA ESTRUTURA

As estruturas podem ser divididas em duas partes: zonas contínuas e zonas descontínuas.

As zonas contínuas são caracterizadas pelo facto de ser possível aplicar a “hipótese de Bernoulli”, ou seja, as deformações na secção transversal são lineares. Estas zonas são portanto chamadas regiões B, estando estas fora do âmbito deste trabalho.

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8

As zonas de descontinuidade, regiões D, são então locais da estrutura onde as deformações transversais não são lineares, sendo alguns destes locais já descritos no subcapítulo anterior. São zonas descontínuas pelo facto de representarem descontinuidades estáticas, geométricas, ou ambas. Torna-se então necessário delinear na estrutura em estudo os dois tipos de zonas possíveis. Para essa delineação é necessário aplicar o Princípio de Saint-Venant, que diz que a dimensão do comprimento no qual se efectua a regularização das tensões, é muito semelhante à maior altura da secção transversal do elemento. O restabelecimento das tensões dá-se para ambos os lados do elemento, a partir da força aplicada ou variação de secção [2]. As figuras seguintes, Fig.3 e Fig.4, ilustram alguns exemplos dessa definição.

Fig. 3 – Exemplo da definição duma zona D [2]

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9 2.2.3. ANÁLISE DE REGIÕES D

Nas estruturas, as zonas D são normalmente uma pequena parcela quando comparadas com as B. Torna-se geralmente desnecessário aplicar o método das escoras e tirantes às zonas B, pelo facto de haver métodos de cálculo mais expeditos, visto ser aplicada aqui a hipótese de Bernoulli.

O primeiro passo é isolar as regiões D a dimensionar, procedendo-se à determinação dos esforços a actuar nesta região. Estes podem ser de proveniência externa (acções ou reacções externas) ou proveniente de regiões B, fronteiriças com a zona em estudo. Após a caracterização da zona em estudo é necessário definir o modelo a adoptar. Estes modelos podem assumir várias formas sendo necessário aplicar critérios de escolha, sendo estes critérios descritos de seguida. De realçar que estruturas com a mesma geometria, mas diferentes carregamentos, podem ter modelos diferentes.

2.2.4. ESCOLHA DO MODELO DE ESCORAS E TIRANTES 2.2.4.1. ANÁLISE ELÁSTICA

A escolha do modelo de escoras e tirantes a usar é uma das etapas mais importantes. Um bom guia para a construção do modelo é o diagrama das tensões elásticas. A Fig. 5 ilustra a construção de um modelo, colocando tanto a escora como o tirante horizontais, coincidentes com a resultante das tensões segundo um corte vertical no eixo de simetria. A tracejado estão representadas escoras e a linha contínua os tirantes.

Fig. 5 – Tensões elásticas sobrepondo o modelo de escoras e tirantes [3]

Os modelos adoptados tentam não fugir muito do modelo elástico, pelo facto de, em geral, este assegurar as verificações de serviço e ductilidade necessárias. Na página 6, quanto maior é o braço Z,

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mais afastado está o campo de tensões idealizado do campo de tensões elástico. O aumento de Z implica um aumento da fendilhação, logo um reajuste das tensões internas. Segundo Schlaich, J., Schäfer, K. e Jennewein [3], uma estrutura adapta-se ao sistema estrutural interno escolhido.

2.2.4.2. CAMINHOS DE CARGA

Quando por algum motivo não existe possibilidade ou tempo de realizar uma análise elástica, um método a adoptar é o chamado método do caminho da carga.

Os campos de tensões mostram os itinerários principais das cargas (tensões de tracção e de compressão), desde o ponto de aplicação da carga até aos apoios onde o equilíbrio se restabelece. Isto é traduzido pelo modelo aproximado de escoras e tirantes, sendo o objectivo posicionar as escoras de acordo com estes caminhos principais das cargas. Os tirantes são colocados para equilibrar os nós. O objectivo do método é obter o caminho mais curto das cargas. Na eventualidade de haver mais do que um caminho, o método não permite que estes trilhos se intersectem. Os caminhos mostram as zonas mais carregadas da estrutura, ou por outras palavras, as zonas críticas da peça. A Fig.6 mostra um maciço de encabeçamento de estacas modelada com base no método do caminho das cargas.

Fig. 6 – Modelo de escoras e tirantes criado a partir do método do caminho das cargas [2]

2.2.4.3. MODELOS PADRONIZADOS

O estudo por diversos autores de modelos de cálculo baseados nos campos de tensões levou com que, para algumas estruturas comuns, existam já propostas padronizadas para modelos de escoras e tirantes. Sendo a escolha do modelo uma fase crítica do processo de dimensionamento, se a peça em estudo se enquadrar num dos modelos padronizados, a análise do problema fica muito simplificada. São o caso das consolas curtas, vigas parede, vigas com aberturas ou blocos de fundação.

2.2.4.4. CONCLUSÃO

Um meio muito poderoso para desenvolver modelos de escoras e tirantes é a junção da análise elástica com o método do caminho da carga.

Por fim, para a optimização do modelo é necessário ter em conta e perceber que as cargas usam o caminho que implica menores deformações. Como os tirantes (varões de aço) são mais deformáveis do

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11 que as escoras (betão), o modelo a adoptar é o que tem menos tirantes. A Eq. 2 mostra um dos critérios mais simples de selecção de modelos.

Σ = í (2) Onde,

= ç

=

= é çã

A Eq. 2 é derivada a partir do princípio da energia mínima de deformação para um comportamento linear elástico de escoras e tirantes após fendilhação.

A Fig. 7 ilustra duas consolas curtas com diferentes soluções. Aplicando a Eq. 2 verifica-se que os dois modelos da Fig. 7 são muito semelhantes. Contudo, a Fig. 7.b) necessita de armadura diagonal, o que em termos práticos é uma solução que se evita, pelo facto de ser de difícil execução em obra. Depois de se encontrar uma solução, é necessário ponderar se essa mesma solução é exequível em obra.

Fig. 7 – Consolas curtas com a mesma geometria e duas soluções diferentes de modelos de escoras e tirantes [2]

2.3.DIMENSIONAMENTODEESCORAS,TIRANTESENÓS 2.3.1. INTRODUÇÃO

A Fig. 8 mostra alguns casos correntes de modelos de escoras e tirantes e respectivos campos de tensões.

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12

Fig. 8 – Alguns exemplos de modelos de escoras e tirantes, fazendo referência aos campos de tensões, aos nós, escoras e às armaduras [3]

Na figura anterior as partes a sombreado representam os nós. É necessário ter em atenção que o dimensionamento não é só a determinação de tamanho e armaduras para assegurar que as escoras e tirantes suportam as forças a carregar, mas também assegurar a passagem das cargas entre eles através da verificação da região dos nós [3].

2.3.2. ESCORAS DE BETÃO

Existem 3 tipos de escoras sendo cada uma aplicada consoante a situação onde se encontram. Existem as escoras tipo leque, garrafa e prismáticas, conforme o campo de tensões que lhes esteja associado

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13 Fig. 9 – Campos de compressão: (a) leque; (b) garrafa; (c) prismático [3]

As escoras do tipo leque e prismáticas são definidas como não tendo esforços de tracção a nível transversal. As escoras prismáticas são as mais simples, tendo uma tensão constante ao longo do seu comprimento. A tensão é simplesmente obtida dividindo a resultante das forças pela área tensionada. São mais utilizadas em zonas B ou em zonas fronteiriças da zona D/aplicação de cargas.

As escoras do tipo leque (“fan struts”) têm uma variação de tensões hiperbólica ao longo do seu comprimento [12].

Ao contrário dos dois últimos casos apresentados, as escoras do tipo garrafa (“bottle shaped”) desenvolvem tensões de tracção a nível transversal. Este caso aparece, normalmente, entre 2 nós quando lhe é permitido pela geometria da peça.

A capacidade resistente destas escoras pode ser retirada de vários regulamentos, ou ainda de propostas de alguns autores. Neste trabalho irá ser usado o “fib bulletin 56: model code 2010” [4], proporcionando resultados muito parecidos com o do “Eurocódigo 2” [5]. Segundo a Fig. 10 é possível verificar 3 tipos de estados de tensão, uniaxial de compressão (a), compressão com tracções na direcção normal (b) e compressão com tracções numa direcção oblíqua (c). Cada um proporciona uma diferente tensão resistente.

(40)

14

Para o dimensionamento das escoras, a resistência à compressão deve ser reduzida em relação à resistência do cilindro padronizado. O cálculo da tensão é dado pelo “fib 2010” [4]:

, = !_%∙#_!!$ (3)

Onde,

&' = çã

' = ( ) í ê à ã - ) ã

.' = ) / ç ã

O factor 0₁ é então preponderante para a determinação da tensão máxima. Para uma escora com um estado de tensão uniaxial (ver Fig. 10 (a)) ou para regiões onde haja compressão transversal (o valor da resistência deve ser aumentado em zonas onde se verifique compressões multi-axiais), 0₁ é dado por:

&'= 1.0 ∙ 430 ' 6

7 89

≤ 1.0 ; ' <= > ;4>

Para escoras que tenham fendas paralelas à compressão e armadura perpendicular ao plano de carga (ver Fig. 10 (b)), vem:

&' = 0.75 ∙ 430 ' 6

7 89

≤ 0.8 ; ' <= > ;5>

Por último, escoras iguais às anteriores mas em que a armadura está disposta obliquamente, 0₁ é dado por (ver Fig. 10 (c)):

&' = 0.55 ∙ 430 ' 6

7 89

≤ 0.55 ; ' <= > ;6> 2.3.3. TIRANTES

Os tirantes representam as resultantes das tensões de tracção numa peça. Normalmente, são materializados na forma de varões de aço ou cabos de pré-esforço. Na aplicação deste modelo, não são consideradas as capacidades do betão para resistir à tracção, pelo facto da complexidade que envolve o reajustamento das tensões após fendilhação.

Um aspecto importante a ter em conta é o modo como é disposta a armadura, nomeadamente em termos do número de camadas de armadura. Esta disposição influencia directamente o tamanho do nó podendo, portanto, ser responsável por um aumento da capacidade resistente do nó em questão. Dois aspectos também importantes, mas não tão ligados à aplicação do método, é a amarração e o betão envolvente das armaduras. Ensaios realizados por vários autores mostram que por vezes estes dois aspectos, apesar de não serem considerados na aplicação do modelo de campos de tensões, provocam

(41)

15 a rotura da peça antes do esperado. Segundo o EC2 [5], é possível determinar os parâmetros mínimos de forma a garantir que a rotura não se verifique devido a estes 2 últimos aspectos.

Usando o mesmo código que foi usado para as escoras [4], definem-se nas seguintes equações as resistências a considerar para o aço.

D = _.D E ç ) ;7> D = ( ) á) ) ã ê ç D = ( ) í ã ê ç .E= ) / ç ç G = GH.7 _. E ç é ç ;8> G = ( ) á) ) ã ê ç é ç D = ( ) í ã ê ç é − ç

No caso de uma estrutura esforçada com os dois tipos de aço, as tensões iniciais no aço de pré-esforço têm de ser consideradas. Assim sendo, o valor de cálculo a usar na força de tracção é:

M = E∙ D + G∙ N G − GHO ;9> M = ç çã á) ) ç E= á ç G= á é ç GH= ã ) é ç 2.3.4. NÓS

Os nós são talvez os pontos mais condicionantes (críticos) na aplicação deste método. É necessário haver um conhecimento preciso da sua geometria, a fim de se conseguir determinar as capacidades resistentes do nó ao esmagamento. Um nó não é mais do que a intersecção entre 3 ou mais escoras ou tirantes, sendo os responsáveis por mudanças na direcção das forças.

Existem 3 tipos de nós, que são distinguidos consoante o tipo de tensões que chegam a cada nó. CCC

CCT/CTT TTT

As siglas anteriores significam respectivamente, nó onde confluem apenas escoras (3 ou mais), nó onde existe a convergência de escoras de betão mas também existem tirantes e por fim os nós

(42)

16

compostos apenas por tirantes. O “C” e “T” vêm do inglês significando respectivamente, “compression” e “tension”.

Segundo Schlaich, J., Schäfer, K. e Jennewein, M [3], as Fig. 11 e 12 representam bem os 3 tipos de nós ilustrados anteriormente.

Na Fig. 11 (a1) e (a2) vê-se exemplos de nós CCC. Na mesma figura mas em (b1) a (b4), (c1) e (c2) podem ser observados nós do tipo CCT/CTT. Em (b3) e (b4) pode-se ainda visualizar alguns pormenores como por exemplo, o comprimento de amarração e o tipo de amarração que pode ser feito.

Por último em (d1) e (d2) tem-se 2 exemplos de nós TTT. Para a determinação da resistência dos nós são tidos em conta alguns critérios. Três factores que influenciam essa mesma resistência são [3]:

A compressão transversal é favorável especialmente se actua em ambas as direcções, como é o caso de zonas cintadas. Esta cintagem é possível através de armadura transversal ou através do efeito natural do betão que circunda o campo de compressão localizado.

Esforços de tracção e consequentes fendas são prejudiciais para a resistência do betão. As resistências verificadas podem até ser inferiores à resistência obtida pelo cilindro, caso hajam fendas muito próximas (provocadas por tensões transversais) que sejam aproximadamente paralelas à direcção principal de compressão. A redução da resistência é pouco significativa, caso as tensões transversais sejam resistidas por armaduras e as fendas sejam separadas consideravelmente.

Fendas que não sejam paralelas às tensões de compressão são prejudiciais.

Por estas razões, a redução da capacidade resistente dos nós é necessária. Usando uma vez mais o “fib bulletin 56” [4], vêm as seguintes equações que fornecem a resistência máxima para cada caso.

, =&'_.∙ '

' ;10> Para nós CCC (ver Fig. 11 (a1) e (a2)), o factor &_' é dado por:

&'= 1.0 ∙ 430 ' 6

7 89

≤ 1.0 ; ' <= > ;11> Para o caso dos nós CCT (ver Fig. 10 (b1)), &_' é igual a:

&' = 0.75 ∙ 430 ' 6

7 89

≤ 1.0 ; ' <= > ;12>

Ainda segundo o “fib bulletin 56” [4], é considerado um aumento de 10% na resistência caso uma das seguintes 5 condições se verifique.

É verificada a compressão tri-axial.

(43)

17 As tensões aplicadas nos apoios e nos pontos de carga são uniformes, e o nó está cintado por estribos.

As armaduras estão dispostas em várias camadas.

O nó é bem cintado através do tipo de amarração que é usado.

É ainda de realçar que a amarração da armadura começa no início do nó, devendo atravessa-lo todo. Em muitos casos este comprimento de amarração pode-se proatravessa-longar para além do nó.

(44)

18

Fig. 12 – Mais exemplos de nós [3] 2.4.SOFTWAREDIANA

O DIANA é um programa de cálculo estrutural baseado no método dos elementos finitos. Para além das comuns análises elásticas, o programa permite ainda efectuar análises física e geometricamente não lineares.

Uma das grandes vantagens deste software é o facto de permitir a análise de uma grande variedade de fenómenos no domínio da Engenharia Civil. O programa é usado essencialmente em estruturas de betão armado, estando então preparado para a análise de fenómenos como a fissuração, plasticidade, fluência, cura do betão, temperatura e instabilidade.

Neste trabalho o DIANA irá ser usado para efectuar análises elásticas que irão permitir validar os modelos aqui usados, sendo aplicado no capítulo 3.

(45)

Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 19

3

ANÁLISE DE ENSAIOS

EXPERIMENTAIS

3.1.INTRODUÇÃO

Neste capítulo irá ser feito um estudo de dois elementos estruturais constituídos essencialmente por regiões de descontinuidade. Irá ser efectuada a comparação das cargas e modos de rotura calculados através de modelos de escoras e tirantes com as cargas e modelos de rotura observadas experimentalmente. Os resultados dos ensaios experimentais foram retirados da literatura.

3.2.VIGAS-PAREDE

O primeiro exemplo a estudar é uma viga-parede, exemplo que foi exaustivamente trabalhado por diversos autores, nomeadamente Leonhardt e Walther [11]. Esta mesma parede é igualmente abordada por Nunes, N., Lourenço, M e Almeida, J [7].

A viga-parede escolhida tem uma geometria rectangular 1600×1600×100 mm de betão, dois apoios inferiores com 160×100 mm, e uma carga distribuída uniforme aplicada na parte superior. A armadura é constituída por oito varões de oito milímetros de diâmetro na base da peça (4×2ø8) e ainda uma malha quadrada de 6ø5 disposta na direcção vertical e 7ø5 na direcção horizontal. A Fig. 13 ilustra a parede em questão.

(46)

20

Fig. 13 – Viga-parede, carregamento e geometria [7]

Segundo os testes de Leonhardt e Walther [11], as características mecânicas do betão e do aço vêm expressas na tabela 1.

Tabela 1 – Características mecânicas dos materiais da viga-parede.

MPa

fy 419

Es 205000

fc 28

Ec 31000

Todas as comparações efectuadas neste capítulo são baseadas nos valores médios e não nos de cálculo. Pretende-se através das armaduras utilizadas e consequente secções de betão, alcançar a carga última, processo este inverso do usado aquando do dimensionamento de uma nova peça. O processo de dimensionamento irá ser usado no capítulo 4 do presente trabalho.

Inicia-se então pela escolha do modelo de escoras e tirantes a usar. A Fig. 14 descreve dois possíveis modelos a utilizar (linhas verde representam os tirantes e a vermelho as escoras).

(47)

21 Fig. 14 – Dois modelos possíveis a adoptar para o modelo de escoras e tirantes

A escolha cai no modelo que necessita de menos armadura. Segundo Schlaich [13], o modelo escolhido é o que tem uma menor energia de deformação (ver equação 2). Como se desprezam as deformações do betão (visto serem muito pequenas comparadas com as do aço), o modelo escolhido é o que tem menor comprimento de tirantes. Sem necessidade de cálculos, verifica-se apenas por observação que o primeiro modelo da Fig. 14 é o mais adequado.

A Fig. 15 mostra o campo de tensões para o modelo escolhido.

(48)

22

Constata-se que as escoras oblíquas estão associadas a um campo e tensões em forma de leque, sendo então as tensões tanto maiores quanto menor for a abertura. Conclui-se desde já, que um dos pontos críticos será junto aos apoios. Um outro dado que irá servir como termo de comparação será as tensões elásticas, retiradas facilmente de um programa de cálculo automático usando o método dos elementos finitos. A Fig. 16 fornece esse mesmo mapa de tensões na peça, em fase elástica, pela forma de vectores.

Fig. 16 – Campo de tensões de compressão na viga-parede, na forma de vectores

A utilização destes mapas serve essencialmente para verificar se a opção tomada relativamente ao modelo foi a mais correcta. Contudo, pode-se ainda retirar as tensões no eixo de simetria da peça, dando uma ideia de onde se localizam as resultantes.

(49)

23 Fig. 17 – Tensões no eixo de simetria da peça

Esta informação é relevante para determinação do braço interno das forças, em situação elástica, informação esta que permite ter uma ideia onde estão as resultantes que dão origem aos binários. Mais uma vez, este é um procedimento mais usado em dimensionamento, e quanto maior é o braço interno das forças maior é a fendilhação na peça, logo existe um reajustamento das tensões. Este reajustamento leva com que o diagrama visto na Fig. 16 seja bastante diferente. Aqui, como se trata de uma verificação da capacidade resistente da peça, usa-se a escora horizontal o mais afastado possível do tirante, dando origem ao máximo braço z sem que haja esmagamento do betão na escora horizontal. Um outro factor a ter em conta na escolha deste braço é a ductilidade do betão.

Segundo a imagem seguinte, Fig. 18, consegue-se visualizar as incógnitas que são necessárias determinar e ainda a identificação dos nós (A, B e C).

Fig. 18 – Campo de tensões mostrando as incógnitas a determinar

(50)

24

Para a determinação de h é necessário igualar a força no aço com a força no betão. Por questões de simplificação no cálculo, não se considera as armaduras adicionais tanto em xx como em yy. Mostra-se em Mostra-seguida, pela Eq. 13, o cálculo de h.

' = E ;13>

D× E= '× ℎ × G T T

490000 × 8 ×U × 0.008₄ V= 28000 × ℎ × 0.1 W = 0.06

Este h é então o mínimo possível para não haver esmagamento de betão na escora horizontal (estando também as armaduras em cedência).

Tendo h determinado, é possível determinar as outras incógnitas da Fig. 18.

X = / Y_1.60.06 2 − 0.16 Z = 5.36° . = / Y1.6 − 0.06_1.6 2 − 0.16 Z = 67.43° \ = / 40.64_{1.546 = 22.57°}

A inclinação da escora inclinada é a média entre o ângulo β e γ. Como ainda não é sabido a altura do nó no apoio, não é possível determinar β.

De seguida determina-se a altura do braço interno das forças. Para esta determinação, considera-se um recobrimento de 25mm e um espaçamento entre armaduras igual a 20mm. A Fig. 19 juntamente com a equação 14 descrevem a determinação do braço.

(51)

25

W] _{= 2 × 0.008 + 0.020 +}0.020

2 + 0.025 = 0.071 ;14>

Tendo sido determinado h’ facilmente se retira o z sendo este a resultante da subtracção do H (altura total da peça) com h’ e h/2 (h = altura da escora horizontal no eixo de simetria). O momento resistente é assim dado pela Eq. 15.

< = '× ^ ;15>

^ = 1.6 −0.06_{2 − 0.071 = 1.499}

' = '× ' = 28000 × 0.06 × 0.1 = 168 &_

< = 168 × 1.499 = 251.83 &_.

Agora tem-se todos os dados para o cálculo de β, completando-se assim a Fig. 18.

` = / a1.6 − 2 × W_0.16 ]b = 83.74°

Sendo assim, a média entre γ e β fica:

é =83.74 + 67.43₂ = 75.59°

Com estes dados fica-se a saber a força máxima na escora horizontal e a força com que as armaduras estão em cedência. Visto isto, resta fazer uma análise nó-a-nó (método dos nós), onde é possível determinar as reacções máximas e consequente carga última.

(52)

26

Fig. 20 – Pormenor do nó A, segundo uma perspectiva de método dos nós

Equações de equilíbrio,

cΣ e = 0 ⟹ 168 −cos;75.59> × E= 0 ⟹ E= 675.08 &_

Σ j= 0 ⟹ − 675.08 ×sin;75.59> = 0 ⟹ = 653.84 &_m

O próximo passo consiste na verificação dos nós. Como se concluiu anteriormente, o nó A é o mais gravoso sendo a verificação feita apenas para este ponto. Torna-se então necessário determinar a geometria do nó. A Fig. 21 mostra o nó A.

Fig. 21 – Pormenor do nó A

A hipotenusa é facilmente retirada pela aplicação directa do teorema de Pitágoras. Esta hipotenusa é uma simplificação da realidade pois o seu formato deveria ser uma hipérbole. Esta simplificação, para além de simplificar o cálculo ao projectista, está também do lado da segurança pelo facto de obter-se resistências menores para o betão.

(53)

27 Por conseguinte, obtém-se a tensão na escora (Eq. 16).

TE'o = E=_{0.214 × 0.1 = 31.5 <= ;16>}675.08

A tensão resistente na escora é dada pelas equações (3) e (5), considerando-se assim que esta região está convenientemente cintada. Nas equações usadas é substituído _' por _' , pelo facto de se estar a fazer verificações e sendo assim usados os valores médios. Também não é usado o factor de segurança. , = &'× ' ;17) &' = 0.75 ∙ 430₂₈₆ 7 89 = 0.77 < 0.8 ⇒ &' = 0.77 , = 0.77 × 28 = 21.56<= TE'o ≤ , 31.5 > 21.56 st

Face a este cenário, é necessário refazer o cálculo anterior mas agora pela ordem inversa. A Fig. 22 e as seguintes equações ilustram esse mesmo cálculo.

(54)

28

' = E⇒ 21560 =_{0.214 × 0.1 ⇒}E E= 461.38&_

c_ΣΣ e = 0 ⟹ ço− 461.38 ×cos;75.59> = 0 ⇒ ço= 114.82&_

j = 0 ⟹ −461.38 ×sin;75.59> + = 0 ⇒ = 446.87&_ m

Torna-se agora necessário verificar a capacidade resistente do nó A. Segundo as equações (10) e (12), novamente para valores médios, determina-se a tensão máxima deste nó CCT.

, = &'× '

&'= 0.75 ∙ 430₂₈₆ 7 89

= 0.77 ≤ 1

, = 0.77 × 28 = 21.56<=

Verifica-se que o do nó A é igual ao da escora. Pelo equilíbrio do nó A mostrado anteriormente tem-se,

, = E⇒ E= 461.38&_

c_ΣΣ e = 0 ⟹ ço= 114.82&_

j = 0 ⟹ = 446.86&_ m Como termo de curiosidade determina-se a tensão na armadura.

ço = ço ço=

114.82

428 × 10uv= 268.3<= ≤ D

Prova-se, portanto, que a armadura em carga máxima para este modelo encontra-se a cerca de 50% da tensão de cedência.

Multiplicando a força nos apoios por dois, w_x× y, obtemos a carga máxima possível condicionada pelo esmagamento do betão no nó A.

(55)

29

|ú{M o=893.72_{1.28 = 698.22&_/}

Tendo estes resultados, permite fazer uma comparação quantitativa com os obtidos na experiência. As equações seguintes mostram esses mesmos rácios.

=ú{M o

=T GT ê~' =

893.72

1290 = 69.3%

Com estes resultados conclui-se que com o modelo escolhido, e consequente carga última ronda os 70%, valor este não muito satisfatório. Segundo Nunes, N., Lourenço, M. e Almeida, J [7], concluiu-se que a tensão junto aos apoios era cerca de 20% superior àquela esperada pela resistência do betão usado. Isto deveu-se à pormenorização da amarração das armaduras (laços em U), dando um maior confinamento nesta área. Um outro pormenor foi o facto de não ter sido considerada uma armadura secundária usada na viga. Serve a anterior análise como meio de explicação para o facto de se obter um valor reduzido do rácio entre a carga última, e a obtida pela experiência.

A título de curiosidade académica, determina-se a classe de betão que seria necessária para originar uma carga última no modelo igual à carga última da experiência. O valor obtido seria sem considerar os efeitos benéficos do confinamento do betão.

=ú{M o

=T GT ê~' = 1 ⇒ =ú{M o= =T GT ê~' = 1290&_

==ú{M o_{2 = 645&_}

Voltando a fazer o equilíbrio do nó A fica,

€ j = 0 ⇒ − E×sin;75.59> + 645 = 0 ⇒ E= 665.95&_ •, á .= E⇒ •, á .=_{0.214 × 0.1 = 31119&=}665.95

Como o valor condicionante é a resistência do nó A, a tensão máxima do suposto betão seria,

•, á .= 0.77 × ' ⇒ ' = 40.4<=

O valor esperado para a classe de betão, em caso de haver uma conexão perfeita entre modelo e experiência, seria de cerca de 40 MPa de tensão média.

(56)

30

3.3.VIGACOMCARGAJUNTOAOAPOIO

O segundo caso estudado pretende reproduzir as carlingas de apoio das vigas longitudinais (longarinas) de pontes, dando origem a zonas de descontinuidade bem peculiares. A Fig. 23 ilustra a situação em questão.

Fig. 23 – Ilustração do segundo caso estudado [8]

Este tipo de estrutura foi muito usada nos anos 50 nos Estados Unidos durante a expansão das auto-estradas. Com o passar dos anos, devido ao aumento exponencial do tráfego estas estruturas passaram a exibir fendas e sinais de funcionamento inadequado em condições de serviço [8]. Devido a esta situação, tornaram-se alvo de um profundo estudo. Neste trabalho vai ser alvo de análise um tipo destas vigas, como mostra a Fig. 24.

(57)

31 Fig. 24 – Representação da viga a ser alvo de estudo [8]

Em termos de material foi usado um betão fabricado com base nos códigos da época, sendo todos os outros parâmetros iguais aos usados na altura. Alguns critérios aqui usados encontram-se, hoje em dia, completamente inadequados ou mesmo proibidos pelos actuais regulamentos. A Fig. 25 mostra o modo como estas vigas foram carregadas através de um actuador hidráulico.

Fig. 25 – Modo de carregamento da viga [8]

A aplicação das cargas representa a transferência de forças a partir das vigas principais (as que suportam o tabuleiro), para o elemento de suporte em estudo (bent caps). A passagem das forças destas vigas para os pilares deste elemento de suporte, é feita através da mobilização da resistência ao corte destes elementos.

(58)

32

Inicia-se agora o cálculo desta viga usando modelos de campos de tensões (escoras e tirantes), mostrando-se em seguida a idealização para essa mesma situação.

Fig. 26 – Idealização do modelo de escoras e tirantes

Esta viga foi designada por D6.A4.G60#5.S, em que o ‚′₁ e ‚_„ (da armadura longitudinal e transversal) são, respectivamente, 26.7, 490 e 429 MPa. O modelo de equilíbrio representado acima é válido para cargas junto aos apoios, em que x⁄ está compreendido entre 0.5 e 2, sendo a a distância _… entre o ponto de aplicação da carga e o apoio, e z a altura do braço interno das forças. Com o cálculo posterior de z vai ser possível verificar esta condição. A largura da secção é de 0.406m. É ainda considerado um recobrimento de 25mm e um espaçamento entre armaduras de 36mm.

Aborda-se o problema considerando que as armaduras longitudinais estão em cedência, igualando esta força à da escora de betão horizontal, obtendo-se assim a largura mínima necessária da escora para que o betão não esmague, _‡. Em seguida mostra-se o cálculo dessas alturas.

Altura da escora 1,

' = E

'× j× ‡7ˆV= D× E

26700 × 0.406 × ‡7ˆV= 490000 × 8 × U × 0.018V ‡7ˆV= 0.368

(59)

Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 33 Altura da escora 2, ' = E '× j× ‡V= D× E 26700 × 0.406 × ‡V= 490000 × 4 × U × 0.018V ‡V= 0.184

Segundo Lobo, P., Lourenço, M. e Almeida, J. [6], propõem-se a divisão da carga aplicada. A Fig. 27 ilustra essa mesma divisão.

Fig. 27 – Idealização do modelo de campo de tensões para o caso de uma carga aplicada junto ao apoio

O valor de k apresentado na Fig. 27, é dado pelo fib [4]:

& =;V× ‰₈⁄ u7> (18)

Sendo,

= â / ) ^ = ç ç

Tendo sido anteriormente calculadas as alturas das escoras horizontais, falta apenas determinar a altura do centróide das armaduras para se saber o z. Em seguida mostra-se o cálculo desse mesmo centróide.

(60)

34

Fig. 28 – Pormenor das armaduras

ℎ]

7= 25 + 18 = 43

ℎ]

V= 43 + 18 + 36 + 18 = 115

é =43 + 115₂ = 79

Passa-se então ao cálculo de z, x⁄ e consequente k. _…

^ = 1.829 −0.368_{2 − 0.079 = 1.566} ^

⁄ =2.438_{1.566 = 1.56 > 0.5 ∧ < 2 ts} & =;2 × 1.56 − 1>₃ = 0.707

Das incógnitas da Fig. 26 a única passível de ser calculada é o β.

` = / Y1.566 − 0.184 − 0.184_1.219 2 Z = 46.62°

Com os dados anteriores, passa-se ao cálculo nó-a-nó. Nó A,

(61)

Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 35 Fig. 29 – Pormenor nó A . = 180 − ` − 90 = 43.38° Œ€ e = 0 ⇒ 1994.60 − 8×sin;43.38> = 0 ⇒ 8= 2904.05&_ € j = 0 ⇒ 2904.05 ×cos;43.38> − 0.707 × = = 0 ⇒ = = 2985.44&_ m Nó B, δ Fig. 30 – Pormenor nó B • Ž= n874.73V+ 1994.60V= 2177.98&_ € e = 0 ⇒ −1994.60 + 2422.09 ×sin;\> = 0 ⇒ \ = 55.44°m

Antes de se calcular os restantes nós, determina-se a distância vertical entre os pontos b e e (•_•> e o respectivo ângulo α.

(62)

Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 36 \ =tan;90 − \> × 1.219 =0.840m X = / Y^ − \ + 0.184_1.219 2 Z = 33.86° Nó D, Fig. 31 – Pormenor nó D € j = 0 ⇒ “− 2904.05 ×sin;46.62> = 0 ⇒ “= 2110.71&_

Encontrada a força nos estribos é possível saber em que estado de tensão é que se encontram. A área é encontrada contando o número de estribos pela Fig. 24 (aqueles que entre o apoio e o ponto de aplicação da carga, estão realmente a ser solicitados), multiplicada por dois pelo facto destes darem a volta à secção e por fim multiplicar pela secção de cada varão (ø=16mm).

TEM ”oE = 2 × 8 × U × 0.008V= 0.003217 V TEM ”oE= “

TEM ”oE ;19>

TEM ”oE =_{0.003217 = 656<= > 429<= st}2110.71

Isto faz com que uma das premissas do teorema do limite inferior não se cumpra. É necessário, portanto, reformular as condições iniciais. Conclui-se ainda que a rotura não ocorre por flexão, na medida em que a carga que leva à cedência das armaduras longitudinais não consegue ser equilibrada pelos estribos.

Numa segunda tentativa, considera-se a armadura transversal em cedência, partindo daí o cálculo até obter P. É necessário, então, determinar a força nos estribos que leva com que estes estejam em cedência.

“= D× TEM ”oE

(63)

37 Numa primeira iteração do método dos nós, vai-se considerar o ângulo β igual ao anterior, factor esse que não é realista pois β varia em função de z. Depois de se calcular as alturas das escoras, e respectivo z, refaz-se o cálculo com o correcto β.

Nó D, Fig. 32 – Pormenor nó D € j = 0 ⇒ 1380.09 − 8×sin;46.62> = 0 ⇒ 8= 1898.82&_ •€ e = 0 ⇒ −1898.82 ×cos;46.62> + {7− {V= 0 {7 = 2 × {V m c {7 = 2608.35&_ {V = 1304.17&_m

Portanto, igualando _{ às respectivas escoras horizontais obtém-se as alturas destas ( _‡).

{7 = '7ˆV

2608.35 = 26700 × 0.406 × ‡7ˆV ‡7ˆV= 0.241

‡V= ‡7ˆV_{2 ⇒} ‡V= 0.120 Com isto retira-se o novo braço interno z e o novo β.

^ = 1.829 −0.241_{2 − 0.079 = 1.630} ` = / Y1.630 − 0.120_1.2192 Z = 52.17°

(64)

38

Numa segunda iteração do nó D mas com o correcto valor de ββββ fica,

• {78= 1747.32&_= 2143.34&_ {V= 1071.67&_

m

Fazendo também as mesmas igualdades determina-se os _‡.

c ‡7ˆV= 0.198

‡V= 0.099 m

Poder-se-ia efectuar mais iterações obtendo-se assim uma maior precisão. Contudo, a precisão às décimas é suficiente para o caso em estudo. Tendo isto, retira-se o novo valor de k.

^ =2.4381.630 = 1.50 & =;2 × 1.50 − 1>₃ = 0.67

Pode-se assim calcular os restantes nós. Nó A,

Fig. 33 – Pormenor nó A

€ j= 0 ⇒ 1747.32 ×sin;52.17> − 0.67 × = = 0 ⇒ = = 2059.84&_ Nó B,

(65)

Modelos de Campos de Tensões para a análise de regiões de descontinuidade 39 δ Fig. 34 – Pormenor nó B • Ž= n679.35V+ 1071.67V= 1269.07&_ € j= 0 ⇒ −679.75 + 1269.07 ×cos;\> = 0 ⇒ \ = 57.61°m A distância vertical entre b e e e respectivo ângulo αααα são:

\ =tan;90 − \> × 1.219 = 0.773 X = / Y^ − \ + 0.099_1.219 2 Z = 36.64°

Nó E,

(66)

40

€ j = 0 ⇒ −1380.09 + v×sin;36.64> − 1269.07 ×cos;57.61> = 0 ⇒ v= 3451.67&_ Tendo os nós todos calculados passa-se para as verificações. Inicia-se com o nó no apoio, sendo a Fig. 36 ilustração desse mesmo nó.

Fig. 36 – Exemplificação de um dos nós junto ao apoio

A altura do nó ′ ′ é obtida através da soma do recobrimento com um diâmetro. ′ ′ é a largura dos pilares da viga, sendo ′ ′ obtida facilmente através do teorema de Pitágoras.

] ]_{= n0.610}V_{+ 0.061}V_{= 0.613} Com isto, a tensão na escora é dada por:

TE'o = _{] ]}_×v j =

3451.67

0.613 × 0.406 = 13.87<=

Segundo as equações (3) e (5) do fib é possível determinar a tensão máxima aceitável na escora.

&' = 0.75 ∙ 4_26.7630 7 89 = 0.78 ≤ 0.8 ⇒ &'= 0.78 á .TE'o = 0.78 × 26.7 = 20.8<= TE'o ≤ á .TE'o 13.87 ≤ 20.8<= ts

Depois de verificada a escora, passa-se para o nó. Tratando-se de um nó do tipo CCT, pelas equações (10) e (12) obtém-se:

&' = 0.75 ∙ 4_26.7630 7 89

(67)

41 á .~ó= 0.78 × 26.7 = 20.8<=

TE'o ≤ á .~ó

13.87 ≤ 20.8<= ts

Constata-se que no nó do apoio verifica-se capacidade resistente ao esmagamento quer na escora, quer no nó. Falta agora verificar o nó formado no ponto onde a carga é descarregada pelas vigas principais. A Fig. 37 mostra esse mesmo nó.

Fig. 37 – Esquema do nó no ponto de aplicação da carga

Neste nó a distância ′ _{′ é a largura das vigas principais, ′ ′ a soma das duas escoras horizontais e}

′ ′ a hipotenusa do triângulo rectângulo formado pelas duas distâncias anteriores (normais entre si).

A simplificação de ′ ′ vem facilitar o cálculo, dando um bónus ao projectista em termos de segurança. As distâncias ′/′ e /′ ′ são calculadas de seguida.

]_/] ₌ 0.099

cos;32.39> = 0.117 /] ]₌ 0.099

cos;52.17> = 0.161

] ]_{= 0.403}

A tensão máxima aceitável nas escoras é dada pelas equações (3) e (4) do fib.

&' = 1.0 ∙ 4_26.7630 7 89