Aula3-Vetoresem2De3D[MododeCompatibilidade]

(1)

VETORES

NO PLANO E NO ESPAÇO

Aula 3

V E T O R E S

São

representações

geométricas

de

algumas grandezas físicas.

Símbolo: seta. origem extremidade

Tipos:

PROPRIEDADES

Módulo: é o valor da grandeza. O comprimento do vetor está relacionado com o seu módulo.

Direção: é representada pela posição

2m 4m

Direção: é representada pela posição do vetor. Ex.: vertical, horizontal, oblíqua, norte-sul.

Sentido: é determinado pela extremidade do vetor. Ex.: direita, cima, frente, entrando, sul.

Deslocamento, velocidade, aceleração, força, impulso, campo.

Grandezas Vetoriais

G

d

E

l

Distância, massa, temperatura, tempo, densidade, área, volume, calor específico, comprimento.

Grandezas Escalares

É o vetor que tem sua origem coincidente com a extremidade.

Representação:

Vetor Nulo

0 r

É o vetor que possui o sentido contrário.

Vetor Simétrico

b

r

−

b

r

a) 3 m + 4 m ₌ 7 m

Regra do Polígono

SOMA DE VETORES

GEOMETRICAMENTE a) 7 m b) 3 m + 4 m = 1 m

(2)

= c) 3 m + 4 m 3 m 4 m R R = 5 m R² = 3² + 4²

Regra do Polígono

Teorema de Pitágoras d)

a

r

+

_b

r

+

c

r

=

a

r

b

r

c

r

R

r

RESUMO - Regra do Polígono

Para realizar a soma de vetores pela regra do polígono acrescentam-se os vetores de forma aleatória, coincidindo a origemg de um com a extremidade do outro.

O Vetor Resultante será construído da origem do primeiro vetor à extremidade do último vetor.

Regra do Paralelogramo

a

r

+ =

b

r

a

r

b

r

b

r

R

r

θ

a

r

θ

cos

.

2

2 2 2

b

a

b

a

R

=

+

a

r

b

r

θ 90°

y = sen

cos 0° = 1

TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA -

- Revisão

Revisão

θ

cos 90° = 0 cos 180° = -1

x = cos

270° 180° 0°

θ

360° sen 0° = 0 sen 90° = 1 sen 180° = 0

DIFERENÇA DE VETORES

Realizar a diferença entre os vetores v e w é o mesmo que somar o vetor v com o simétrico de w.

)

(

r

O vetor resultante da diferença entre v e w vai da extremidade de w à extremidade de v.

)

( w

v

w

v

−

=

+

−

São vetores que têm a mesma direção.

Vetores Paralelos

Representante de um Mesmo Vetor

Vetores com o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor.

Representante de um Mesmo Vetor

b

r

_b

r

b

(3)

São vetores que formam um ângulo reto.

São também chamados de vetores perpendiculares ou normais.

Vetores Ortogonais

u

r

u

r

v

r

v

r

Dois ou mais vetores são coplanares (mesmo plano) se existir algum plano onde estes vetores estão representados.

Observa-se que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares

Vetores Coplanares

quaisquer são sempre coplanares.

u

r

v

r

π

P

Três vetores poderão ser coplanares ou não.

Vetores Coplanares

v

r

w

r

π

r

π1

u

r

w

coplanares

u

r

v

r

w

não coplanares π Sendo os vetores v1 e v2 não-paralelos, represen-tados com a origem no ponto O, r1 e r2 retas

contendo estes represen-tantes, temos: 2 1 2 1

3

2

4

5 v

v

u

r

+

−

=

+

=

VETORES

REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2

0

4

2

3

4 v

v

y

v

x

v

t

v

w

r

+

=

+

=

−

=

−

=

VETORES

REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA 2 2 1 1

.

v

a

.

v

a

v

r

=

r

+

r

De modo geral, dados dois vetores quaisquer v1 e v2

não-paralelos, para cada vetor v representado no mesmo plano de v1 e v2, existe uma só dupla de

números reais a1 e a2 tal que:

Quando o vetor v é expresso dessa forma diz-se que v é combinação linear de v1 e v2.

O conjunto B={v1,v2} é chamado base no plano. Os

números a1 e a2 são componentes ou coordenadas de

v. O vetor v pode ser representado por:

=

r

VETORES

REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA

As bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base {e1,e2} é dita ortonormal se os seus

vetores forem ortogonais e unitários, isto é:

1 e

1 2 2 1

⊥

e

=

e

=

e

Das infinitas bases ortonormais no plano, é particularmente importante a que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal x0y.

(4)

VETORES

Os vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j, ambos com origem em O e extremidade em (1,0) e (0,1), sendo a base C={i,j} chamada canônica. Portanto, i=(1,0) e j=(0,1)j .

Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que:

j

y

i

x

v

r

=

.

r

+

.

r

A partir de agora, trataremos apenas da base canônica.

VETORES

Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente é chamada de abcissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v.

O vetor v pode ser

)

,

(

x

y

v

r

=

Segundo a igualdade acima tem-se que o vetor

no plano é um par ordenado (x,y) de números

reais.

O vetor v pode ser representado por:

VETORES

O par (x,y) é a expressão analítica de v. Para exemplificar, veja alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:

)

3

0 (

3 )

5 ,

3 (

5

3 −

=

−

j

i

r

)

0

0 (

0 )

0 ,

4 (

4 =

−

r

i

)

3 ,

0 (

3 j

=

IGUALDADE DE VETORES

Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) são iguais

se, e somente se, x1=x2 e y1=y2.

)

0 ,

0 (

0 =

SOMA DE VETORES

ALGEBRICAMENTE (COORD. RETANG.)

V

y

2 2 w v + V+W ₍ _, ₎ 2 1v v V= ) (w₁w₂ W= 1 v 2 v 1 w 2 w W

x

0 v1+w1 ) , (w₁w₂ W ) , (v₁ w₁v₂ w₂ W V+ = + + ? = +W V

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

GEOMETRICAMENTE

1 - α.V é paralelo a V

Relações entre

α.V

e

V

2 - Se α > 0 → α.V tem mesmo sentido 3 - Se α < 0 → α.V tem sentido oposto 4 - |α.V| = |α |. | V| V α.V 1 e 0 > > α α V . α 1 e 0 < < α α

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

ALGEBRICAMENTE

y

2 .v α α.V ) , (v₁v₂ V= 1 v 2 v

x

0 α.v1 ) . , . ( .V αv₁αv₂ α = ) 1 ( ? . = α> αV V

(5)

VETOR DEFINIDO POR 2 PONTOS

Consideremos o vetor AB de origem no ponto

A(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2). ) , ( e ) , ( 1 1 2 2 OA OB AB OB AB OA y x OB y x OA ∴ + = = → → → → → → → → 1 y ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 1 2 1 1 2 2 y y x x AB y x y x AB OA OB AB OB AB OA − − = − = − = ∴ = + → →

A

B

AB

=

−

→ 2 x 2 y 1 x

Um vetor tem infinitos representantes com o mesmo comprimento, direção e sentido.

O vetor v=OP é também chamado vetor posição ou representante natural de AB.

VETOR DEFINIDO POR 2 PONTOS

Na figura seguinte, os vértices do triângulo são os pontos A(4,1), B(5,3) e C(3,5) e os vetores u, v e w indicados são:

VETOR DEFINIDO POR 2 PONTOS

) 4 , 1 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( − = − = = − = − = = = − = = → → → C A CA w B C BC v A B AB u r r r Observe que: 0 ) 0 , 0 ( ) 4 2 2 , 1 2 1 ( r r r r r r r = = + + − + + − = + + w v u w v u

VETORES

IGUAIS

Na figura seguinte, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor:

)

1 ,

3 (

=

−

=

−

=

P

O

B

A

v

r

PONTO MÉDIO

Seja o segmento de extremos A(x1,y1) e B(x2,y2).

Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, temos:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

2 ,

2

2 1 2 1

x

y

x

M

1 y x 2 y 1 y x

Paralelismo de Vetores

Dois vetores u=(x1,y1) e v(x2,y2) são paralelos

se existe um número α, tal que:

v

u

r

=

α

.

r

)

,

.(

)

,

(

x

₁

y

₁

=

α

x

₂

y

₂

)

(

)

(

x

,

y

)

(

α

.

x

,

α

.

y

)

(

x

₁

y

₁

=

α

x

₂

α

y

₂ 2 1 2 1

.

x

e

y

.

y

x

=

α

=

α

)

(

2 1 2 1

=

α

y

x

(6)

Módulo de um Vetor

Seja o vetor v=(x,y). Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 2 2

_y

x

v

r

=

+

y

x

0

v

r

_y

x

Distância entre 2 pontos

Sejam os pontos A(x1,y1) e B(x2,y2). A distância

entre esses pontos é dada por:

1 y 2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

x

y

d

_AB

=

−

+

−

2 x 2 y 1 y 1 x AB

d

Vetor Unitário

É o vetor cujo módulo é igual a 1. É possível associar

dois vetores unitários,

u e -u, paralelos a v:

v

r

u

r

u

r

−

)

de

versor

(

v

u

_r

r

r =

(

oposto

de

u

)

v

u

_r

r

r −

=

−

O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v.

Exemplo

Determine o versor de v(3,-4) e o seu módulo.

v

u

_r

r

r =

)

4 ,

3 (

−

=

u

r

2 2

_y

x

u

r

=

+

2 2

4

3 ⎟

⎞

⎜

⎛−

+

⎟

⎞

⎜

⎛

=

u

r

2 2

)

4 (

3 +

−

u

25 )

4 ,

3 (

−

=

u

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

5

4 ,

5

3 u

r

5

5 ⎟

⎠

+

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

=

u

25

16

25 9 +

=

u

r

1 =

u

r

Conforme previsto !

VETORES NO ESPAÇO

No espaço consideramos a base canônica

(i,j,k), sendo esses três vetores unitários e

ortogonais entre si, como na figura.

As setas indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo ta bé de e o coordenado. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectiva-mente. Observe a direção e sentido dos eixos!

VETORES NO ESPAÇO

As figuras apresentam o ponto P(x,y,z) no espaço e o correspondente vetor v=OP, que representa a diagonal do paralelepípedo, cujas arestas são definidas pelos vetores:

k

z

j

y

i

x

.

r

,

.

r

e

.

r

(7)

VETORES NO ESPAÇO

Na figura apresentada, temos: A(6,4,2) – 1° octante B(-5,3,2) – 2° octante C(-6,-5,2) – 3° octante D(5,-3,2) – 4° octante A´(6,4,-2) – 5° octante B´(-5,3,-2) – 6° octante C´(-6,-5,-2)– 7° octante D´(5,-3,-2) – 8° octante A, B, C e D estão acima do plano xy, na cota +2. A´,B´, C´ e D´ estão abaixo do plano xy, na cota –2.

RELAÇÕES IMPORTANTES

A

B

AB

=

−

→ ) , (v₁v₂ vr= wr=(w₁,w₂) ) , (v₁ w₁v₂ w₂ w vr+ r= + + ) . , . ( .v αv₁αv₂ αr= AB=(x2−x1,y2−y1) →

⎞

⎛

+

)

(

2 1 2 1

=

α

y

x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

2 ,

2

2 1 2 1

x

y

x

M

2 2

y

x

v

r

=

+

d

_AB

=

(

x

₂

−

x

₁

)

2

+

(

y

₂

−

y

₁

)

2

)

de

versor

(

v

u

_r

r

r =

θ

cos

.

2

2 2 2

b

a

b

a

R

=

+

01 - Sejam os vetores

V = (1, -2, 3)

e

W = (2, 4, -1)

.

Determine

V + W

e

2V

.

Exercícios:

)

1

3 ,

4

2 ,

2

1 (

+

−

+

−

=

+ w

v

r

)

2 ,

3 (

+

=

+ w

v

r

)

3 .

2 ),

2 .(

2 ,

1 .

2 (

.

2 v

r

=

−

)

6 ,

4 ,

2 (

.

2 v

r

=

+

−

+

02 - Sabendo que o ângulo entre os vetores

u

e

v

é de 60°,

determinar o ângulo formado pelos vetores:

b

v

u

a

r

2 )

e

)

Î

θ = 120°

Î

v

u

d

v

u

c

v

u

b

r

5 e

3 )

e

)

2 e

)

Î

θ = 120°

Î

θ = 60°

Î

θ = 60°

03 - Determine o módulo da resultante dos vetores:

a)

5 m

120°

m

5 R

=

5 m

o R2₌52₊52₊2.5.5.cos120 ) 2 1 .( 50 25 25 2₌ ₊ ₊ ₋ R θ cos . . . 2 2 2 2 _a _b _a_b R = + +

m

3 m

5

° 60

b)

m

5 R

=

5 m

m

R

=

7

o R2=32+52+2.3.5.cos60 ) 2 1 .( 30 25 9 2₌ ₊ ₊ R

04 - Dados os pontos

A

(-1,2),

B

(3,-1) e

C

(-2,4), determinar

o ponto

D

de modo que:

_CD→ _{= AB}→

2 1 1 2 1 = = → → → AB D C AB CD ) 3 , 4 ( 2 1 ) 4 , 2 ( 2 1 2 − + − = + = = → D AB C D AB D-C