AULA 2 - GA - 2015

(1)

VETORES

Parte 1

Edson Alex Arr´azola Iriarte Universidade Federal do ABC

February 7, 2015

(2)

Conte´

udo

1 Vetores

Segmento Orientado

Segmentos Orientados Equipolentes Opera¸c˜oes com vetores

(3)

Segmento Orientado

´

E um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos como ponto inicial e o outro extremo como ponto final.

Nota¸c˜ao:

O segmento orientado com ponto inicial A e ponto final B ´e dentotado por AB

Observa¸c˜oes:

1 Se A 6= B, ent˜ao AB 6= BA

2 E poss´ıvel definir o segmento orientado como sendo um par ordenado´

de pontos A e B e represent´a-lo por (A, B).

(4)

Segmento Orientado

´

Nota¸c˜ao:

Observa¸c˜oes:

(5)

Segmento Orientado

´

Nota¸c˜ao:

Observa¸c˜oes:

(6)

Segmento Orientado

´

Nota¸c˜ao:

Observa¸c˜oes:

(7)

Segmento Orientado

´

Nota¸c˜ao:

Observa¸c˜oes:

(8)

Segmento Orientado

´

Nota¸c˜ao:

Observa¸c˜oes:

(9)

Pergunta

Se A = B, o que podemos dizer do segmento orientado orientado AB, ou seja, AA ?

Um segmento orientado do tipo AA ´e chamado segmento orientado nulo.

(10)

Pergunta

(11)

Pergunta

(12)

Algumas defini¸c˜

oes

1 _{O comprimento do segmento orientado AB, denotado por |AB|, ´}_{e o}

comprimento do segmento geom´etrico AB.

2 _{Os segmentos orientados AB e CD s˜}_{ao de mesma dire¸}_c˜_{ao ou}

paralelos, se os segmentos geom´etricos correspondentes s˜ao paralelos ou colineares.

3 Os segmentos orientados AB e CD s˜ao de mesmo sentido, se os

segmentos geométricos AC e BD, são tais que AC ∩ BD = ∅. Se não, eles são de sentido contrário.

(13)

Algumas defini¸c˜

oes

(14)

Algumas defini¸c˜

oes

(15)

Algumas defini¸c˜

oes

(16)

Algumas defini¸c˜

oes

(17)

Observa¸c˜ao

Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma dire¸cão.

Pergunta

Como interpretar (3) se A, B, C e D s˜ao colineares ?

(18)

Observa¸c˜ao

Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma dire¸cão.

Pergunta

Como interpretar (3) se A, B, C e D s˜ao colineares ?

(19)

Segmentos Equipolentes

Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm o mesmo comprimento, mesma dire¸cão e mesmo sentido.

Por defini¸c˜ao, todos os segmentos orientados nulos s˜ao equipolentes.

(20)

Segmentos Equipolentes

Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm o mesmo comprimento, mesma dire¸cão e mesmo sentido.

Por defini¸c˜ao, todos os segmentos orientados nulos s˜ao equipolentes.

(21)

Defini¸c˜

ao de vetor

Dado um segmento orientado AB, o “vetor AB” denotado por −→AB, ´e o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Cada um dos segmentos orientados equipolentes a AB ´e chamado representante do “vetor AB”.

(22)

Defini¸c˜

ao de vetor

(23)

Defini¸c˜

ao de vetor

(24)

Observa¸c˜

oes:

1 _{Dado um vetor ~}_{v e um ponto arbitr´}_{ario P sempre podemos escolher}

um segmento orientado representante de ~v e que inicia no ponto P. Assim, existe um ponto Q tal que ~u =−→PQ.

2 Quando n˜ao queremos destacar nenhum representante em especial,

usamos letras min´usculas com uma seta, por exemplo ~u.

(25)

Observa¸c˜

oes:

(26)

Observa¸c˜

oes:

(27)

Vetor Nulo

´

E o vetor que tem como representante um segmento orientado nulo. ´E indicado por ~0.

(28)

Vetores Paralelos

Dois vetores não nulo ~u e ~v são paralelos, indicamos por ~u ||~v , se seus representantes tem a mesma dire¸cão.

Observa¸c˜oes:

1 Esta defini¸c˜ao inclui o caso especial onde os vetores est˜ao sobre a

mesma reta ou mesmo no caso em que eles coincidem.

2 Todo vetor ´e paralelo a si mesmo.

(29)

Vetores Paralelos

Observa¸c˜oes:

(30)

Vetores Paralelos

Observa¸c˜oes:

(31)

Vetores Paralelos

Observa¸c˜oes:

mesma reta ou mesmo no caso em que eles coincidem. 2 Todo vetor ´e paralelo a si mesmo.

(32)

Vetores Paralelos

Observa¸c˜oes:

(33)

Sentido de dois vetores

Os vetores n˜ao nulos ~u e ~v s˜ao de:

mesmo sentido, se um representante de ~u e um representante de ~v s˜ao de mesmo sentido.

sentido contrário se um representante de ~u e um representante de ~v são de sentido contrário.

(34)

Sentido de dois vetores

(35)

Sentido de dois vetores

(36)

Sentido de dois vetores

(37)

A norma de um vetor

A norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um dos seus representantes. A norma do vetor ~u é indicada por k~uk.

(38)

A norma de um vetor

A norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um dos seus representantes. A norma do vetor ~u é indicada por k~uk.

(39)

Vetores Coplanares

Um conjunto de vetores s˜ao coplanares se possuem representantes contidos no mesmo plano.

(40)

Vetores Coplanares

Um conjunto de vetores s˜ao coplanares se possuem representantes contidos no mesmo plano.

(41)

Vetores Ortogonais

Dois vetores ~u e ~v s˜ao ortogonais, indicamos ~u⊥~v , se seus representantes iniciados no mesmo ponto s˜ao ortogonais

(42)

Vetores Ortogonais

Dois vetores ~u e ~v s˜ao ortogonais, indicamos ~u⊥~v , se seus representantes iniciados no mesmo ponto s˜ao ortogonais

(43)

Opera¸c˜

oes com vetores

Usaremos o termo escalar para designar n´umero real.

(1) Multiplica¸cão de um vetor por um escalar Seja λ um escalar: Se λ = 0 ou ~v = ~0, então λ ~v = ~0 Se λ > 0 então     

λ ~v || ~v , (λ ~v e ~v têm a mesma dire¸cão) λ ~v e ~v têm o mesmo sentido kλ ~v k = λ k~v k Se λ < 0 então     

λ ~v || ~v , (λ ~v e ~v têm a mesma dire¸cão) λ ~v e ~v têm sentidos contrários

kλ ~v k = |λ| k~v k

(44)

Opera¸c˜

oes com vetores

(45)

Opera¸c˜

oes com vetores

(46)

Opera¸c˜

oes com vetores

(47)

Opera¸c˜

oes com vetores

(48)

Opera¸c˜

oes com vetores

(49)

Opera¸c˜

oes com vetores

(50)

Vetor Unit´

ario

Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Assim, se ~v é um vetor tal que k~v k = 1 então ~v é um vetor unitário.

Observa¸c˜ao: Se ~v 6= ~0, o vetor 1 k~v k~v = ~ v k~v k ´

e um vetor unitário. Mais ainda, este vetor possui a mesma dire¸cão e o mesmo sentido que o vetor ~v e é chamado versor de ~v .

(51)

Vetor Unit´

ario

(52)

Vetor Unit´

ario

(53)

Dois Teoremas Importantes

Teorema 1 ~ u ||~v ⇔        ~ u = λ ~v , para algum λ ∈ R ou ~ v = α ~u, para algum α ∈ R Observa¸c˜ao ~

u || ~v se, e somente se, um dos vetores ´e m´ultiplo escalar do outro vetor

(54)

Dois Teoremas Importantes

(55)

Dois Teoremas Importantes

(56)

Teorema 2

Trˆes pontos A, B, C pertencem a mesma reta ⇐⇒        −→ AB = λ−→BC ou −→ BC = α−→AB Demonstra¸c˜ao: (⇒) (⇐)

(57)

Teorema 2

(58)

Teorema 2

(59)

Teorema 2

(60)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

Sejam ~u e ~v dois vetores. Queremos definir a soma ~u + ~v . ~

u −→ AB

~

v −→ BC

Logo, u + ~~ v −→ AC

(61)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

Sejam ~u e ~v dois vetores. Queremos definir a soma ~u + ~v . ~

u −→ AB

~

v −→ BC

(62)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

Sejam ~u e ~v dois vetores. Queremos definir a soma ~u + ~v .

~

u −→ AB

~

v −→ BC

(63)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

~

u −→ AB

~

v −→ BC

(64)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

~

u −→ AB

~

v −→ BC

(65)

Opera¸c˜

oes com vetores

(2) Soma de vetores

~

u −→ AB

~

v −→ BC

(66)

Regra do paralelogramo

~ u −→    OB e CD ~ v −→    OC e BD Logo ~ u + ~v −→ OD ~ v + ~u −→ OD

(67)

Regra do paralelogramo

(68)

Regra do paralelogramo

(69)

Regra do paralelogramo

(70)

Regra do paralelogramo

(71)

Propriedades da soma de vetores

(S 1) u + ~~ v = ~v + ~u

(S 2) (~u + ~v ) + ~w = ~v + (~u + ~w )

(S 3) u + ~0 = ~~ u = ~0 + ~u (elemento neutro)

(S 4) Para cada vetor ~u, existe um ´unico vetor −~u tal que ~

u + (−~u) = ~0 = (−~u) + ~u −~u ´e chamado vetor oposto do vetor ~u

(72)

Propriedades da soma de vetores

(S 1) u + ~~ v = ~v + ~u

(S 2) (~u + ~v ) + ~w = ~v + (~u + ~w )

(73)

Propriedades da soma de vetores

(S 1) u + ~~ v = ~v + ~u

(S 2) (~u + ~v ) + ~w = ~v + (~u + ~w )

(74)

Propriedades da soma de vetores

(S 1) u + ~~ v = ~v + ~u

(S 2) (~u + ~v ) + ~w = ~v + (~u + ~w )

(S 4) Para cada vetor ~u, existe um ´unico vetor −~u tal que

~

(75)

Propriedades da soma de vetores

(S 1) u + ~~ v = ~v + ~u

(S 2) (~u + ~v ) + ~w = ~v + (~u + ~w )

(S 4) Para cada vetor ~u, existe um ´unico vetor −~u tal que

~

(76)

Substra¸c˜

ao de vetores

Dados dois vetores ~u e ~v . O vetor ~

u − ~v = ~u + (−~v ) ´

e chamado substra¸c˜ao ou diferen¸ca dos vetores ~u e ~v .

(77)

Substra¸c˜

ao de vetores

Dados dois vetores ~u e ~v . O vetor ~

u − ~v = ~u + (−~v ) ´

e chamado substra¸c˜ao ou diferen¸ca dos vetores ~u e ~v .

(78)

Propriedades da Multiplica¸c˜

ao de escalar por vetor

(M1) λ · (~u + ~v ) = λ · ~u + λ · ~v (M2) 0 · ~u = ~0 (M3) (α · β) · ~u = α · (β · ~u) (M4) (α + β) · ~u = α · ~u + β · ~u (M5) 1 · ~u = ~u

(79)

Propriedades da Multiplica¸c˜

ao de escalar por vetor

(80)

Propriedades da Multiplica¸c˜

ao de escalar por vetor

(81)

Propriedades da Multiplica¸c˜

ao de escalar por vetor

(82)

Propriedades da Multiplica¸c˜

ao de escalar por vetor

(83)

Um pouco de ´

algebra de vetores

1 ~_{v + ~}_{v = 2 · ~}_v 2 ~v + (−1 · ~v ) = ~0 3 Se ~u + ~v = ~w , então ~u = ~w − ~v 4 Se ~u = ~w − ~v , então ~u + ~v = ~w Observa¸cão: De (3) e (4) conclu´ımos que: u + ~~ v = ~w ⇐⇒ ~u = ~w − ~v

(84)

Um pouco de ´

algebra de vetores

(85)

Um pouco de ´

algebra de vetores

(86)

Um pouco de ´

algebra de vetores

(87)

Um pouco de ´

algebra de vetores

(88)

Um pouco de ´

algebra de vetores

(89)

Aplica¸c˜

oes Geom´

etricas

· · · Usando linguagem vetorial para resolver problemas geom´etricos · · ·

Exerc´ıcio 1

Prove que as diagonais de um paralelogramo tˆem o mesmo ponto m´edio.

Exerc´ıcio 2

Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro e tem a metade da sua medida.

(90)

Aplica¸c˜

oes Geom´

etricas

Exerc´ıcio 1

Exerc´ıcio 2

(91)

Aplica¸c˜

oes Geom´

etricas

Exerc´ıcio 1

Exerc´ıcio 2

(92)

Aplica¸c˜

oes Geom´

etricas

Exerc´ıcio 1

Exerc´ıcio 2