UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
WEBER ALVES BRAGA
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE EDIFÍCIOS COM BASE EM CRITÉRIOS DE CONFORTO HUMANO
FORTALEZA 2018
ii WEBER ALVES BRAGA
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE EDIFÍCIOS COM BASE EM CRITÉRIOS DE CONFORTO HUMANO
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Orientador(a): Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
FORTALEZA 2018
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca Universitária
Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
B796a Braga, Weber Alves.
Avaliação do comportamento dinâmico de edifícios com base em critérios de conforto humano / Weber Alves Braga. – 2018.
75 f. : il. color.
Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil, Fortaleza, 2018.
Orientação: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota.
1. Análise dinâmica. 2. Ação de vento turbulento. 3. Conforto humano. I. Título.
iv WEBER ALVES BRAGA
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE EDIFÍCIOS COM BASE EM CRITÉRIOS DE CONFORTO HUMANO
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Aprovada em: ___/___/______.
BANCA EXAMINADORA
________________________________________ Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota (Orientador)
Universidade Federal do Ceará (UFC)
_________________________________________ Prof. MSc. Hugo Campêlo Mota
Universidade de Fortaleza (UNIFOR)
_________________________________________ Prof. Dr. Juscelino Chaves Sales
v
A Deus.
vi
AGRADECIMENTOS
À minha avó Cleusamir, pelo cuidado e pela motivação que eu recebi no período que estive fora de casa.
Ao Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota, pela orientação. Este trabalho só existe graças a ele. Serei eternamente grato por isso.
Aos professores membros da banca examinadora pela inteira disposição.
Ao Prof. Dr. Juscelino Chaves, pela orientação intelectual e espiritual recebida durante o tempo da graduação. Ele foi um segundo pai para mim.
Aos meus companheiros de faculdade, meus colegas da Iniciativa Condor e demais amigos, por me agraciaram com construtivas amizades ao longo de todos esses anos.
vii
“Le vent se lève! . . . il faut tenter de vivre!” (Paul Valéry)
viii
RESUMO
Este trabalho teve como objetivo investigar o comportamento dinâmico de uma estrutura de concreto armado. O modelo do nosso estudo foi um edifício com 60 metros de altura localizado em Fortaleza-CE. Num primeiro momento, foram definidos critérios obtidos da literatura a respeito do conforto humano em edifícios sujeitos a ação do vento. Um estudo teórico foi realizado, no qual adaptou-se elementos da teoria aerodinâmica de pontes. Para isso, foram realizadas algumas adaptações de caráter prático e adotadas algumas hipóteses adicionais. O foco principal dos nossos cálculos foi a determinação dos deslocamentos e acelerações da estrutura. Para isso, foi realizada a análise dinâmica do nosso modelo utilizando o programa SAP2000. Os parâmetros mais importantes foram estimados, e, em seguida, aplicados no cálculo da resposta dinâmica da estrutura analisada. Para isto, foi desenvolvido um programa no MATLAB. Foram obtidos os valores de resposta transversal para os dois modos principais da estrutura. Foram ainda estimadas as acelerações da estrutura com base no Eurocódigo 1:1-4 e feita a comparação dos resultados. Os valores de aceleração obtidos mostraram ser bem maiores do que todos os limites de conforto estabelecidos.
ix
ABSTRACT
This work aimed to investigate the dynamic response of a highrise concrete structure. Calculations are performed for a slender 60 meter high building. Initially, acceleration demands regarding human comfort in a structure subjected to wind induced vibrations were established. The theoretical basis for our study was derivated from theory of bridge aerodynamics. To make the theory applicable to a tower structure, some small alterations and assumptions has been made. To determine basic dynamic properties for the given structure, a modal analysis was conducted using SAP2000. A MATLAB computer program was made to perform all calculations using given and estimated input values to fit accelerations calculations for the two first translational modes. In addition, accelerations were estimated using Eurocode 1:1-4 to serve as a basis for comparison. The accelerations were found to be much higher than the perception limit from design codes.
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Critério de conforto humano para edifícios altos. ... 5
Figura 2.2 – Aceleração de pico vs frequência: ISO 10137. ... 6
Figura 2.3 – Limites probabilísticos de percepção dados pelo AIJ-GEH. ... 7
Figura 3.1 – Forças e deslocamentos do fluxo de vento. ... 12
Figura 4.1 – Esboço de planta-baixa. ... 22
Figura 4.1 – Modelo do SAP2000. ... 24
Figura 4.2 – Modos de vibração 1, 2 e 3 (SAP2000). ... 24
Figura 4.3 – Deslocamentos modais (SAP2000): Modos 1 e 2. ... 25
Figura 6.1 – Perfil do vento. ... 35
Figura 6.2 – FRF calculadas para os modos 1 e 2. ... 34
Figura 6.3 – Densidade de espectro de Kaimal vs (Modo 1). ... 35
Figura 6.4 – Funções de Admitância Conjunta dos modos 1 e 2. ... 36
Figura 6.5 – Densidades de espectro calculadas (Modo 1) ... 37
Figura 6.6 – Simulação no domínio do tempo (Modo 1). ... 38
Figura 6.7 – Simulação no domínio do tempo (Modo 2). ... 38
Figura 6.8 – Deslocamento e aceleração-desvio (Modo 1). ... 39
Figura 6.9 – Deslocamento e aceleração-desvio (Modo 2). ... 40
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Frequências obtidas do SAP2000. ... 23
Tabela 5.1 – Coeficiente de arrasto. ... 29
Tabela 5.2 – Rigidez de flexão. ... 30
Tabela 5.3 – Fator de redução de cisalhamento... 31
Tabela 5.4 – Taxas de amortecimento. ... 32
Tabela 6.1 – Contribuições ao deslocamento quase-estático. ... 40
Tabela 6.2 – Contribuições ao deslocamento total. ... 41
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CA Concreto Armado
ELS Estado Limite de Serviço ELU Estado Limite Último EC Eurocódigo
FAC Função de Admitância Conjunta FRF Função Resposta de Frequência NBR Norma Brasileira
xiii LISTA DE SÍMBOLOS Letras Latinas A Área a Amplitude de Fourier an Aceleração
B Comprimento da estrutura na direção do vento (L2 no MATLAB) b Largura da estrutura, Eurocódigo
B2 Coeficiente de resposta quase-estática, Eurocódigo C Constante de amortecimento
c Amplitude de Fourier
co Fator de forma do terreno, Eurocódigo
CD Coeficiente de arrasto
cf Fator de força, Eurocódigo
cf ,0 Fator de força sem escoamento, Eurocódigo
CL Coeficiente de arrasto induzido
Cnn Constante de decaimento
Ĉo Densidade co-espectral
d Comprimento da estrutura, Eurocódigo
D Largura da estrutura na direção do vento (L1 no MATLAB) E Módulo de Young
EI Rigidez à flexão da seção transversal F Esforço na seção transversal
f Frequência em Hz G Módulo de cisalhamento
GA Rigidez cortante da seção transversal Ĥ () Função Resposta de Frequência H,h Altura da estrutura
In Intensidade da turbulência
Iy / Iz Momento de inércia
Ĵ() Função de Admitância K Rigidez modal
k Matriz de rigidez estrutural ki Fator de redução de cisalhamento
xiv
kp Fator de pico
L Comprimento (ou altura) da estrutura Lexp Comprimento (ou altura) exposto ao vento M Momento fletor
m Matriz de massa estrutural Mi Massa modal
i
m Massa modal distribuída P* Derivada de estabilidade q Carga de vento
Q Carga de vento na seção r Valor de resposta
R2 Coeficiente de resposta em ressonância, Eurocódigo Sn Função de densidade espectral
Snn Função de densidade espectral conjunta
t Tempo
T Período da estrutura
u (x,t) Componente turbulento na direção do vento V Força cortante
V(x),Vm Velocidade média do vento
v (x,t) Componente turbulento perpendicular ao vento vb Velocidade básica de vento, Eurocódigo
w (x,t) Componente turbulento vertical x Coordenada da altura
zo Tamanho de rugosidade, Eurocódigo sL
n Fator de turbulência
zmin Altura mínima do terreno, Eurocódigo
Letras Gregas
Ângulo de incidência do vento
Ângulo de incidência relativa do vento Tamanho de intervalo
j Deslocamento virtual
xv Variável arbitrária
Taxa de rigidez aerodinâmica Taxa de massa aerodinâmica Frequência própria
Densidade do ar Desvio-padrão
Matriz de forma modal Vetor de forma modal
r Coeficiente de redução geométrico, Eurocódigo
l Coeficiente de redução geométrico, Eurocódigo
Frequência angular em radianos por segundo i Frequência natural da estrutura
Sobrescritos
ô Valor normalizado o', o'' Derivadas na altura x
o, o Derivadas no tempo t
o Valor médio
o Valor modal
|o| Valor absoluto
T
o Transposta
o* Conjugado complexo
Subscritos
u,v Componentes de turbulência D,L Longitudinal e transversal R,B Ressonante, quase-estático i,j Valor de modo
ae Aerodinâmico
x,y,z, Coordenadas espaciais r,a Deslocamento, aceleração
xvi
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 1
2 CONFORTO HUMANO EM EDIFÍCIOS ... 3
2.1 Critérios deconforto humano para vibrações...4
2.1.1 Duração de ventos ... 5
2.1.2 Aceleração de pico ... 5
3 TEORIA AERODINÂMICA ... 8
3.1 Resposta dinâmica de ação do vento ... 8
3.2 Ação do vento em turbulência ... 8
3.2.1 Deslocamento quase-estático ... 9
3.2.2 Deslocamento-desvio ... 10
3.2.2.1 Densidade de Espectro do Deslocamento ... 10
3.2.2.2 Densidade de Espectro de Carregamento ... 12
3.2.2.3 Função de Admitância Conjunta ... 16
3.2.2.4 Função Resposta de Frequência e Amortecimento Aerodinâmico ... 19
3.2.2.5 Espectro do deslocamento ... 19
3.2.3 Aceleração ... 20
4 MODELO DO ESTUDO ... 22
4.1 Modelo estrutural – SAP2000 ... 22
4.2 Hipóteses e simplificações ... 23
4.3 Frequências e modos de vibração ... 24
4.4 Deslocamentos modais ... 25
5 PARÂMETROS DE ENTRADA DO MATLAB ... 26
5.1 Intervalos de frequência e de altura ... 26
5.2 Velocidade do vento e Intensidade de Turbulência ... 26
5.2.1 Velocidade de referência do vento ... 27
5.3 Fator de pico kp ... 28 5.4 Coeficientes de arrasto ... 28 5.4.1 Cf segundo o Eurocódigo ... 28 5.5 Estimativa da massa ... 29 5.6 Estimativa de EI e GA ... 29 5.7 Amortecimento ... 31 6 RESULTADOS ... 33
xvii
6.1 Perfil do vento ... 33
6.2 Função Resposta de Frequência ... 34
6.3 Função de Admitância Conjunta ... 35
6.4 Espectro de resposta ... 37
6.5 Deslocamentos e Acelerações ... 39
6.6 Comparativo das Acelerações (MATLAB e Eurocódigo) ... 41
7 CONCLUSÃO ... 44
REFERÊNCIAS ... 46
APÊNDICE A – DESLOCAMENTOS MODAIS DO SAP2000 ... 48
APÊNDICE B – ESTIMATIVA DE ACELERAÇÕES SEGUNDO O EUROCÓDIGO ... 49
APÊNDICE C – ESTIMATIVA DAS MASSAS ... 52
1
1 INTRODUÇÃO
A tendência atual para a construção de edifícios mais esbeltos com formas complexas e irregulares faz com que estas estruturas sejam altamente sensíveis ao vento e bastante suscetíveis a vibrações. À medida que há uma tendência para se construir prédios ainda mais altos, critérios como medidas de conforto e de habitabilidade dos edifícios merecem cada vez mais consideração durante a elaboração do projeto estrutural. Na fase de concepção do projeto dessas estruturas, os engenheiros estruturais ficam em face do duplo desafio de buscar soluções de projeto que sejam mais eficientes e econômicas e, ao mesmo tempo, de assegurar que o projeto final seja seguro ao longo de toda a vida útil do edifício. Portanto, é necessário desenvolver ferramentas de engenharia que consigam minimizar erros nas estimativas de solicitação das estruturas sujeitas às ações dinâmicas de tipo variado (ação de ventos e de sismos, etc.), e também reduzir custos com material, atentando sempre aos critérios de nível de serviço da estrutura e de conforto dos usuários.
A influência do vento nas estruturas é um assunto complexo. As características do vento variam bastante com o espaço e tempo. Logo, a descrição das cargas de vento exige uma abordagem estatística. Nas pequenas estruturas, o vento induz pressões de superfície positivas e negativas, o que pode ser crítico para o estado das fachadas e telhados. Nas pontes e nos edifícios altos, os efeitos de vento são mais complicados. A ação do vento em prédios muito esbeltos pode resultar em inúmeros efeitos, como por exemplo, o desprendimento de vórtices e a resposta dinâmica em turbulência. Tais efeitos podem induzir vibrações nas estruturas, o que pode ocasionar forças não previstas, causando deslocamentos e acelerações consideráveis.
Este trabalho tem como objetivo entender um pouco mais sobre o efeito dinâmico do vento turbulento em edifícios altos. O nosso estudo incluiu métodos de cálculo, dos parâmetros relevantes e dos critérios obtidos na literatura a respeito do conforto humano em edifícios sujeitos a vibrações de vento. Considerações a respeito das normas técnicas também foram feitas nesse ínterim.
A base teórica principal do nosso trabalho foi o livro Theory of Bridge Aerodynamics, Einar Strømmen (2010). Este livro contém toda a teoria necessária para o estudo de resposta aerodinâmica de estruturas. Embora o livro tenha sido, à princípio, formulado para o estudo de pontes, todas as considerações teóricas dele são aplicáveis ao estudo de edifícios. O livro Wind Loads on Structures, Claës Dyrbye & Svend O. Hansen (1999) foi usado como literatura complementar, no que diz respeito a esclarecimentos quando à metodologia do nosso
2 trabalho.
Para esse trabalho, foi fundamental estabelecer o nosso objeto de estudo, a começar pela delimitação dos objetivos específicos, que são:
a) Definir quais parâmetros são mais importantes na análise dos efeitos dinâmicos do vento numa determinada estrutura usando a teoria aerodinâmica;
b) Definir quais critérios de conforto humano são oferecidos pela literatura, e saber se a estrutura atende a esses critérios;
c) Determinar se os valores de acelerações calculadas pela teoria aerodinâmica assemelham-se com as estimativas obtidas das normas.
No que diz respeito às demandas de conforto para acelerações, foi feita uma investigação de uma extensa bibliografia sobre o tema. A teoria de resposta dinâmica é referenciada nos autores já mencionados acima. Os parâmetro mais importantes foram estimados, e, em seguida, aplicados no cálculo da resposta dinâmica da estrutura analisada. Para isto, foi desenvolvida uma rotina no MATLAB, onde adaptamos grande parte das rotinas já esboçadas no trabalho de Bjørnland (2013). Finalmente, as acelerações obtidas foram comparadas com os valores calculados pelo Eurocódigo e com as demandas encontradas.
3
2 CONFORTO HUMANO EM EDIFÍCIOS
Desde a década de 1970, muitos esforços já vem sendo dedicados ao estudo da percepção humana e dos limites de tolerância ao movimento induzido em edifícios (HANSEN et al., 1973; IRWIN, 1978; GOTO et al., 1990; MELBOURNE; PALMER, 1992; ISYUMOV; KILPATRICK, 1996). Embora algumas recomendações sobre limites de aceleração tenham sido dadas em vários códigos recentes, não existe ainda uma norma de avaliação da percepção de vibrações em edifícios internacionalmente aceita. A avaliação de vibrações em edifícios é ainda um tópico de pesquisa muito recente na área de engenharia de ventos (TAMURA et al., 2006; BURTON et al., 2006, 2007; KWOK et al., 2007, 2009).
Muito já se discutiu sobre os mecanismos de resposta humana ao movimento induzido e do papel da frequência como atenuador das vibrações no organismo. Chang (1973), por exemplo, foi um dos primeiros a sugerir critérios de conforto baseados na intensidade da frequência. O autor foi o primeiro a basear-se em observações de campo e fornecer uma bibliografia considerável sobre o tema. A primeira norma a sugerir limites máximos de aceleração com base em valores de frequência foi publicada pela National Building Code of Canada em 1977. Irwin (1978) realizou um estudo geral sobre vários aspectos acerca dos mecanismos de resposta humana à vibração. O autor realizou medições de campo e entrevistas com usuários. Baseado numa quantidade abundante de trabalhos (CHEN; ROBERTSON, 1973; HANSEN et al., 1973), ele sugeriu uma fórmula capaz de estimar acelerações com base em simulações de movimentos induzidos artificialmente. O autor utilizou ondas senoidais em uma direção; e, com base na sua metodologia, propôs critérios para a avaliação da aceleração em movimentos de baixa frequência (0,063 a 1,0 Hz), o que mais tarde levou ao desenvolvimento das linhas gerais da norma ISO 6897 (1984). A ISO 6897 define limites de aceleração para usuários. Esses limites são expressos em função do componente desvio da aceleração (ou aceleração-desvio). Segundo a norma, para um intervalo de medição de 10 minutos, considerando um período de recorrência de 5 anos, a aceleração-desvio máxima permitida é de:
exp( 3.65 0.41ln )f
(1)
Onde f é a frequência do movimento. A norma sugere ainda um fator de conversão de 0,72 que possibilita o cálculo de valores equivalentes de aceleração máxima para um intervalo de 1 ano.
4
2.1 Critérios de conforto humano para vibrações
Quando uma estrutura é submetida a forças de vento, ela é forçada a se mover em algum grau. A turbulência do vento induz repostas de acelerações na estrutura que podem ser sentidas pelas pessoas que moram ou trabalham no edifício. Uma resposta de aceleração razoavelmente pequena pode não afetar os ocupantes do edifício, podendo esses nem notarem ou simplesmente ignorarem. Entretanto, para níveis elevados de resposta de aceleração, os ocupantes podem sentir desconforto, serem severamente penalizados nas horas de trabalho, diminuírem em desempenho em atividade rotineiras, ou podem ainda manifestar quadros de desconforto grave, incluindo enjôo ou, até mesmo, fobia e pânico.
Uma vez que a ação dos ventos geralmente não oferece riscos à integridade da estrutura, mesmo assim, torna-se necessário estabelecer limites de resposta dinâmica que garantam níveis de serviço mínimos para a estrutura. A avaliação dos níveis de conforto e de percepção humana ao movimento é tratada geralmente em termos de valores de aceleração máxima de movimento, pois esta é uma variável ao qual as pessoas são muito mais sensíveis – se comparada com o deslocamento ou com a velocidade, por exemplo.
Critérios de conforto humano já foram exaustivamente tratados por diversas códigos internacionais; que definem valores limites de aceleração (dados em função do período de recorrência) para um intervalo comum de frequências (frequências naturais da estrutura) a priori. A Figura 2.1 mostra as curvas-limite de aceleração para edifícios estabelecidos por diversas normas: ISO 6897:1984, a ISO 10137:2007, a norma japonesa (AIJ-GEH:2004), entre outros (KWOK et al., 2009, p. 378).
Esses diversos estudos e pesquisas desenvolvidos até aqui, e que deram origem as vários critérios de conforto humano estabelecidos em norma, podem ser classificados em três grupos principais, segundo Kwok et al. (2009, p. 368):
a) experimentos de campo em edifícios de escala real, localizados em zonas de alta incidência de ventos e equipados com acelerômetros; aplicação de questionários eletrônicos ao usuários durante ou logo após a ocorrência de temporais; botão de pânico ou similar;
b) teste de laboratório com simuladores de movimento; e
c) testes com pessoas em edifícios reais excitados artificialmente.
Em situações onde a resposta de um edifício sob a ação do vento não atende aos critérios de conforto humano, e os usuários já não conseguem ignorar os efeitos da vibração, torna-se necessário reduzir a vibração do edifício (TAMURA, 1998). Para isso, é possível, por
5 exemplo, a aplicação de dispositivos de amortecimento externo, como o Tuned Mass Damper (TMD).
Figura 2.1 – Critério de conforto humano para edifícios altos.
Fonte: Kwok et al. (2009).
2.1.1 Duração de ventos
Alguns pesquisadores sugerem que se a vibração demora mais de 5–8 s, a duração não afetará a resposta humana. Para durações menores que 5 s, a aceleração permitida pode aumentar na mesma proporção (10 milli-g para 5 s e 20 milli-g para 25 s de duração). Dado que muitos dos casos de vibrações induzidos por vento tem uma duração maior que 5 s, a omissão da duração em critérios de conforto não é totalmente injustificada (CHANG, 1973, p. 1278).
Melbourne & Palmer (1992, p. 108) afirmam que um intervalo de 10 minutos é recomendado porque este é um intervalo típico de respostas extremas em áreas sujeitas a grandes temporais. Os autores também propuseram um fator de pico para acelerações normalmente distribuídas dado em função da duração do movimento:
2 ln( )
pico
k nT (2)
Onde T é a duração do movimento (valor usual: 600 s) e n é a frequência da estrutura.
6 2.1.2 Aceleração de pico
A Figura 2.2 mostra os critérios de níveis de serviço definidos pela norma ISO 10137:2007. As curvas destacadas representam os valores limites de aceleração de pico para um período de recorrência de 1 ano. A curva 1 corresponde aos ambientes de escritório, e a curva 2 corresponde aos ambientes residenciais e hotéis.
Figura 2.2 – Aceleração de pico vs frequência (ISO 10137).
Fonte: ISO 10137:2007.
Segundo Snaebjornsson (1992), existem dificuldades no uso de curvas para limites de percepção em recomendações de projeto. A primeira é que a relação entre percepção, aceitabilidade e tolerância a vibrações não podem ser quantificadas. Para isso, seria necessário considerar diversos fatores psicológicos e fisiológicos. A segunda é que um nível de tolerância normalmente aceitável ainda não foi descoberto. Contudo, uma norma para níveis de aceleração aceitáveis que inclua estimativas de frequência natural, parâmetros de medição e níveis de serviço para estruturas ainda é bastante útil.
A Figura 2.3 apresenta limites de percepção de vibração em edifícios submetidos à ação dinâmica de ventos, com base nas recomendações da norma AIJ-GEH e nos trabalhos de de Tamura (1998, 2007). As cinco curvas H-n representam os limites de percepção onde o fator n (%) indica a probabilidade de queixa por parte dos usuários. O nível de conforto aceitável não é dado de maneira determinística. A decisão quanto aos níveis de serviço esperados para a edificação é deixada ao critério dos proprietários e projetistas. Ainda, a norma recomenda aplicar a aceleração de pico considerando o intervalo de recorrência de 1 ano. Isso possibilita avaliarmos o conforto diário dos usuários. Tais curvas são usadas para a determinação de
7 valores máximos de aceleração transversal, mas a norma também permite a consideração dos efeitos dinâmicos torcionais. Ainda, como vários autores sugerem, as recomendações da AIJ-GEH para níveis de percepção sugere aos leitores da norma que podem existir vários níveis de conforto, e portanto, que não existe um nível que seja totalmente desconfortável para os usuários.
Figura 2.3 – Limites probabilísticos de percepção dados pelo AIJ-GEH.
Fonte: Tamura (2007).
Ao contrário dos critérios de aceleração dados em função da frequência, os critérios de aceleração absolutos (como é o caso da norma brasileira, por exemplo) fornecem uma alternativa conveniente para verificar a aceitabilidade de resposta dinâmica de estruturas usuais. Uma vez determinada a resposta dinâmica máxima, que leva em conta os efeitos combinados de vários componentes direcionais, seu valor pode então ser convenientemente verificado com relação ao limite estabelecido em norma. No entanto, em estruturas complexas, que exigem uma grande capacidade de controle de custos, torna-se necessária a verificação de outros fatores de resposta dinâmica da estrutura.
8
3 TEORIA AERODINÂMICA
3.1 Resposta dinâmica de ação do vento
A resposta dinâmica de vento é calculada aplicando a teoria aerodinâmica. Os parâmetros que iremos calcular serão as acelerações e deslocamentos de pico no topo da estrutura, num primeiro momento. A teoria do estudo é apresentada a seguir.
A base teórica principal da presente subparte do nosso trabalho é o livro Theory of Bridge Aerodynamics do Einar Strømmen (2010). O grosso da teoria é apresentado nesse livro. Wind Loads on Structures do Claës Dyrbye & Svend O. Hansen (1999) foi usado como literatura complementar, no que diz respeito a esclarecimentos quando à metodologia do nosso trabalho.
A Teoria da Aerodinâmica de Pontes foi formulada para o cálculo de pontes horizontais e unidimensionais. A fim de torná-la aplicável ao estudo de edifícios altos, precisaram ser feitas algumas alterações e algumas hipóteses adicionais. Uma das mais importantes é como a estrutura sob fluxo é considerada. Em pontes, é sabido que o fluxo principal incide sobre uma das laterais do tabuleiro da ponte. Já numa estrutura como a de um edifício, o fluxo principal incide em qualquer direção. A resposta máxima para um modo de vibração irá ocorrer quando o fluxo incidir na mesma direção do deslocamento modal. Por consequência, assume-se que o fluxo principal agirá na mesma direção dos deslocamentos modais em todos os modos considerados.
A hipótese básica do nosso estudo é que apenas um componente modal é o suficiente para a nossa análise. Isso implica que apenas um modo estrutural é considerado de cada vez. Ou seja, assume-se que a resposta resultante tem apenas um componente, e que este ocorre na mesma direção do deslocamento modal. Os componentes a serem calculados, no caso, serão os dois primeiros modos transversais. O primeiro modo torcional foi deixado de fora da nossa análise.
3.2 Ação do vento em turbulência
Nesta seção foi discutida uma teoria para o cálculo da resposta aerodinâmica da estrutura que será analisada mais adiante. A resposta transiente de vento pode ser descrita como as flutuações nas medidas de pressão no fluxo de vento causado pela sua turbulência. Essas flutuações provocam uma resposta da estrutura. A teoria apresentada aqui é crucial para o entendimento físico da resposta, de como são definidos as variáveis e parâmetros do modelo,
9 e, de como o cálculo é realizado.
Primeiramente, assumimos que a estrutura é linear e elástica, e que a relação entre o fluxo de vento e o carregamento também é elástica. Além disso, assumimos que o fluxo é gaussiano, estacionário e homogêneo, para fins de simplificação. Com isso, podemos determinar as respostas de vento induzido e de vento turbulento, ou seja, os valores de média e de desvio para dada função de densidade de probabilidade, respectivamente. Em fórmula matemática, a resposta máxima é expressa assim:
max( )r ( )r p r( )r
r x r x k x (3)
Onde: xr depende altura acima do chão. A parcela correspondente ao vento
turbulento é dada pelo fator de pico kp que multiplica pelo desvio padrão para determinada r
altura em dado intervalo de tempo (normalmente 10 minutos). 3.2.1 Deslocamento quase-estático
O deslocamento quase-estático pode ser obtido pelo MEF, ou usando a teoria básica de vigas (Strømmen, 2010). Supondo que estrutura possa ser representada como uma viga em balanço exposta a um carregamento de vento horizontal, o deslocamento quase-estático é facilmente calculado usando o método da força unitária.
O esforço quase-estático na direção y é dado por Strømmen (2010) pela expressão:
2 ( ) ( ) 2 y D V x D q z C (4)
D corresponde à largura da seção transversal perpendicular ao fluxo. CD é o
coeficiente de arrasto, e é a densidade do ar. A função velocidade de vento média V (x) é dada em norma. O método da força unitária é baseado no princípio do trabalho virtual. Usando os diagramas de momento estático M para um dado carregamento real, e de momento M para uma carga unitária F=1, obtemos o deslocamento
na flexão na direção do carregamento unitário através da seguinte expressão:
, 1 i j M i j L M M dx EI
(5)Onde os diagramas dos momentos M e M são integrados no eixo principal da
estrutura. EI é a rigidez de flexão. E a direção considerada é indicada pelas notações i, j y, z (ou vice-versa). Do mesmo modo, obtemos o deslocamento pela energia de esforço cortante:
10 , 1 i j V i i j L V V k dx GA
(6)Onde V é a força cortante, GA é a rigidez, e k é o fator de redução de área. 3.2.2 Deslocamento-desvio
3.2.2.1 Densidade de Espectro do Deslocamento
O deslocamento desvio é obtido pela integração da função densidade de espectro de deslocamento Sr no domínio da frequência. Para obtermos a função do espectro de deslocamento, precisamos definir a equação de movimento na forma modal. Tal equação é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) i(t, , , )
i i i i i i i ae
M t C t K t Q t Q (7)
Onde
M
i é a massa normalizada, C é o amortecimento modal, e iK
i é a rigidez modal para um dado modo i. e são as derivadas do deslocamento no tempo. Q t i( ) representa o carregamento de vento induzido na estrutura, enquanto que (t, , , )i
ae
Q
representa a carga resultante da interação da estrutura em movimento com o ar. Aplicando a transformada de Fourier, obtemos a seguinte expressão, dada por Strømmen:
2
( ) ( ) ( , , , )
i i aei
i i i Q Q
M C iK a a a (8)
As funções a são as amplitudes de Fourier das respectivas funções subscritas. A função amplitude à direita da equação (8) pode ser reescrita em função das propriedades aerodinâmicas das seção transversal assim:
2
( ) ( )
i i i i aei
ae ae ae Q
M C iK a a (9)
A equação (9) assume que todas as três propriedades seccionais são proporcionais e coincidem em fase com os modos de vibração da estrutura. Agora, se aplicarmos as igualdades básicas da dinâmica, substituindo (9) em (8), movendo
aei
Q
a para o lado esquerdo e dividindo por 2
i i i
K M , obtemos a seguinte expressão: 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) 2 i i i i i ae ae ae Q i i i i i i i i i a K M C a M M M K (10)
11 ˆ ( ) ( ) ( ) i i i Q i H a a K (11)
Onde ˆ ( )Hi é a função resposta de frequência. Introduzindo os valores
i i
ae Mae Mi
, aei Kaei i2Mi e aei Caei 2iMi , a função resposta de frequência
torna-se: 1 2 ˆ ( ) 1 (1 ) 2 ( ) i i i ae ae i ae i i H i (12)
ˆ ( )
H
contém todas as propriedades seccionais aerodinâmicas. A função densidade de espectro de é obtida usando a equação (11). O asterisco simboliza o conjugado complexo da função amplitude. 2 2 2 2 ˆ ( ) 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i Q Q T T i i Q i H S a a a a T K T H S S K (13) A função ( ) i QS dada na equação (13) é chamada de função densidade de espectro
do carregamento. A fim de obtermos as repostas máximas de deslocamentos máximos em uma posição arbitrária xr, podemos assumir a linearidade escalar da função r z ti( , )i( )z i( )t uma
vez que
i i
r i
a a . Logo, a densidade espectral do deslocamento é dada por:
2 2 2 ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) i i i r r i Q i z S H S K (14)
Strømmen (2010) mostra que a densidade do espectro para uma simulação de resposta pode facilmente ser discretizada no domínio do tempo. A função densidade pode ser representada numericamente assim:
2 ( ) 2 k x k k c S (15)
Para um dado intervalo de frequência
k, o parâmetroc
k é dado por:(2 ( ) )
k x k k
c S (16)
12 1 ( ) N k cos( k k) k x t c t
(17)Onde é um ângulo de fase arbitrário no intervalo 0 e 2 . k 3.2.2.2 Densidade de Espectro de Carregamento
Para obtermos a expressão para a densidade espectral de carregamento, precisamos antes definir uma expressão para o carregamento. Os deslocamentos transversais e rotação de uma seção transversal sob carregamento de vento são mostrados na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Forças e deslocamentos do fluxo de vento.
Fonte: Strommen (2010).
A coordenada x é definida no eixo vertical da estrutura. Os deslocamentos
r x
x( )
,( )
y
r x
er x
( )
são a resposta quase-estática de vento V (x), enquanto que deslocamentosr x t
x( , )
,( , )
y
r x t
er x t
( , )
representam a resposta às flutuações do vento em turbulência. A velocidade do vento após a deformação da seção é dada por V u(x,t) na direção longitudinal e por v(x,t) na direção perpendicular ao fluxo.Os carregamentos da estrutura na posição deslocada são dados na forma são dados na equação abaixo: 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) D D L rel L M M q x,t D C q x,t V B C q x,t B C (18)
13
rel
V é a velocidade relativa instantânea para a altura x. é o ângulo de incidência
do vento em relação ao eixo da seção. Os componentes Ci são coeficientes de carregamento ou
arrasto. De acordo com a Figura 3.1, os carregamentos são representados usando-se coordenadas globais assim:
cos sen 0 ( , ) sen cos 0 0 0 1 y D tot z L M tot q q x t q q q q q (19)
O ângulo , mostrado na figura 3.1, é definido como arctan z y v r V u r .
Assume-se que os componentes u e v são desprezíveis quando comparados à velocidade média do vento V, e que os deslocamentos ri (i y z, ,q) são bem pequenos. Assumindo isto, podemos
aplicar as seguintes linearizações, que são dadas por Strømmen:
2 2 Vrel V 2 2 y z Vu Vr r v r r V V (20)
Segundo Strømmen, os coeficientes de carregamento dados na equação (18) se comportam não-linearmente em relação ao ângulo . Assumindo ainda que possui duas parcelas, uma que é resposta estática da velocidade média do vento, , e outra que é r resposta das flutuações do vento, f r v Vr Vz , podemos então dividir os coeficientes
de carregamento C em parcelas separadas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D L L f L M M M C C C C C C C C C (21)
Que, por simplicidade, chamaremos de
C
i eC
i (i = D, L, M). Usando osresultados de (19), (20) e (21), obtemos a seguinte expressão:
2 2 2 0 0 y D D z z y L L M M L L z z z D D q C D C D v r V q V u r C B r C B V q C B C B C B C B v r v r v r C D r C D V V V (22)
14 os valores do produto do último termo na equação acima são pequenos e podem ser desprezados. Considerando apenas a resposta de vento na direção y, temos:
, ( , ) ( ) ( , )
y tot y y y q,y ae,y ae,y
q x t q x q x t q B v C r K r (23) Os termos da equação (23) são dados a seguir:
( , )x t u v T v (24) ( , )x t ry rz rT r (25) 2 ( ) 2 y D V x D q C B (26) ( ) ( ) 2 2 q,y D D L V x B D D x C C C C B B (27) ( ) 2 0 2 ae,y D D L V x B D D C C C C B C (28) 2 ( ) 0 0 2 ae,y D V x B D C C K (29)Como mencionamos anteriormente, os termos dados pelas equações (26) a (29) representam apenas a resposta de vento na direção y. O sistema de equações dado em (22) pode ser totalmente expandido para que possa incluir as respostas na direção z e θ.
Os coeficientes aerodinâmicos C e ae,y Kae,y podem ser normalizados e expressos em função de suas derivadas de estabilidade. Segundo Strømmen (2010), as propriedades aerodinâmicas para a direção y são dadas por:
2 2 * * * 1 5 2 ˆ ( ) ( ) 2 2 ae,y i ae,y i B B V V P P BP C C (30)
Onde os fatores adimensionais P* são chamados de derivadas de estabilidade. Eles podem ser determinados a partir dos valores dados na equação (28), e expressos assim:
* 1 * 5 * 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 D i D L i D V x C B B V P D V x P C C B B V BP (31)
As derivadas de estabilidade são expressas em função dos autovalores do modo i, que, por sua vez, são dados em função da velocidade do vento. Tal efeito é desprezado aqui,
15 uma vez que as frequências calculadas são consideradas constantes.
Uma expressão similar àquela dada em (30) pode ser determinada para Kae,y, caso ele for normalizado em função de
i( )V
2. No entanto, neste caso, seria preciso realizar váriasiterações no cálculo dos valores de P*. No entanto, isto é necessário apenas em situações mais complexas, que exigem a verificação das condições de instabilidade ao vento, o que não é o caso aqui. Logo, C contém todos os valores necessários para a realização do nosso estudo. ae,y
Da equação (23), obtemos a seguinte expressão, multiplicando o carregamento transversal pelo vetor modal.
exp
, ( ) ( ) , ( , )
y tot y y tot
L
Q t
x q x t dx (32)O carregamento total qy tot, ( , )x t pode ser separado, como já vimos antes, de maneira
análoga ao que foi feito na equação (7), em parcelas de resposta estática e dinâmica. Todas as propriedades aerodinâmicas são movidas para o lado esquerdo da equação e incluídas na equação (12). As parcelas restantes do lado esquerdo ficam assim:
, ( , ) ( ) ( , )
y tot y
q x t q x B vq x t (33)
Apenas a contribuição dinâmica
B v
q
será considerada a partir daqui, uma vez queo carregamento quase-estático q já foi analisado na seção anterior. Dadas as equações (24), y (27) e (32), logo temos a expressão para o carregamento modal:
exp 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 D D y y L L DC DC V x B Q t x u x t C v x t dx B B
(34)A amplitude de Fourier do carregamento (34) é:
exp 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 y D D y u L v Q L DC DC V x B a x a x C a x t dx B B
(35)E a função densidade de espectro do carregamento é dada por:
exp exp 2 * 1 ( ) 1 ( ) lim lim 2 2 ( ) ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) ( , ) y y y Q T Q Q T D D y u L v L D D y u L v L V x B S a a T T DC DC x a x C a x t dx B B DC DC x a x C a x t dx B B
(36)16
3.2.2.3 Função de Admitância Conjunta
A função densidade de espectro de carregamento dado pela equação (36) inclui os espectros de resposta conjunta de turbulência em u e v. Os valores de espectro conjunto geralmente são pequenos, e portanto, podem ser ignorados. Logo, da equação (36), temos:
exp 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 lim ( , ) ( , ) 1 lim ( , ) ( , ) y y y Q L D u u T D L v v T V x B S x x DC a x a x B T dx dx DC C a x a x B T
(37)Com adição das variáveis x1 e x2, podemos facilmente transformar a integral dupla
da equação acima em duas integrais separadas. O procedimento é demonstrado por Strømmen (2010). Nesse procedimento, é definido que:
1 2 1 ( , ) lim ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) nn T n n n n S x a x a x T x I x V x (38)
Onde ( )I zn é a intensidade da turbulência, e Snn( )x é a função densidade de espectro
conjunto. A intensidade da turbulência é a razão entre o componente turbulento e a velocidade média do vento. Segundo Strømmen (2010), a intensidade da turbulência perpendicular ao fluxo equivale a 3/4 da intensidade da turbulência na direção principal. Usando os resultados dados em (38), e expandindo a função dada na equação (37), temos:
2 ( ) ( ) 2 y y Q B S J (39)
Onde a função de admitância conjunta Jy( )
é dada por:
exp 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) uu u y y y L vv v S x A x A x J x x V x V x dx dx S x B x B x
(40) Onde:17 2 ( ) ( ) 1, 2 B( ) ( ) D i u i D i L v i DC A x I x B i DC x C I x B (41)
A Função de Admitância Conjunta Jy( ) serve para descrever como os modos de
vibração da estrutura (e, portanto, como as frequências e as propriedades de fluxo do ar) interagem com o carregamento, de maneira geral. É importante ressaltar que a função calculada acima não é realmente a função de admitância conjunta. Como podemos perceber, a velocidade do vento é incluída na integral. Isto não é feito nos cálculos apresentados por Strømmen (2010) para função de espectro conjunto, porque a velocidade do vento em tabuleiros de pontes é assumida constante ao longo de toda a estrutura. No nosso caso, porém, a velocidade do vento varia em função da altura. Esta operação facilita a implementação numérica nos termos do nosso trabalho.
As funções de densidade espectral conjunta Snn( , )x em Jy2( ) descrevem a
densidade das flutuações na direção n para uma dada frequência e para dois pontos distantes x|x1 x2| um do outro. Matematicamente, podemos descrever ainda Snn( , )x como o
produto do co-espectro normalizado e da densidade espectral da turbulência na direção n, ou seja 2 2 ( , ) ( ) ˆ ( , ) nn n nn n n S x S Co x (42) A densidade espectral n( )2 n S
é uma forma probabilística de descrever a presença do vento turbulento do espectro da frequência. Em outras palavras, ele pode dizer se as flutuações no fluxo de vento são comuns ou não para uma determinada frequência. Kaimal et. al (1972) propuseram uma expressão muito conhecida, e que é apresentada na norma européia. A densidade de espectro de Kaimal é dada por Dyrbye & Hansen (1999) pela expressão:
2 5/3 ( ) 6,8 (1 10, 2 ) n L n L S f f (43) Onde 2 ( ) s n L L f V x . O termo s n
L
é o fator de escala de turbulência. Segundo Dyrbye & Hansen (1999), ele pode ser interpretado como o comprimento médio de correlação da turbulência numa determinada direção s. Para um prédio, a direção mais relevante é a do fluxo principal, que é denotada por y. Os dois componentes de turbulência considerados são18 dados por u e v. Strømmen (2010) afirma que estes dois fatores de escala são obtidos a partir de medições em campo. Porém, são feitas as seguintes aproximações:
0,3 100 10 para 10 10 , para 10 4 f y u f y f y u v x L x x m x x x m L L (44)
Os co-espectros normalizados dependem das propriedades espaciais da turbulência, e são facilmente encontrados na literatura. Como foi mostrado na equação (45), a função ˆCo depende da distância x entre os dois pontos considerados. No caso de esta distância ser considerável, os perfis de vento nos dois pontos podem ser bastante diferentes, e a densidade de espectro, portanto, será pequena. Se os dois pontos forem bem próximos, eles apresentarão perfis de vento similares, e assim, a densidade de espectro será mais realista.
Uma das expressões mais usadas foi desenvolvida por Davenport (1962). O autor estabeleceu a seguinte expressão, obtida a partir de dados coletados de estruturas verticais em terreno plano: 2 ( ) , ; , ( , , ˆ ) nm , x C V x nn n u v m x Co x e y z (45) ˆ nn
Co é uma constante de decaimento e representa a contribuição do terreno para a
turbulência. A literatura apresenta valores para Cuz bem diferentes. Nos relatórios de Davenport, o autor estima valores de segurança próximos a Cuz = Dyrbye & Hansen sugerem o valor de Cuz = Já Strømmen sugere um valor aproximado de Cuz 9. Se substituirmos as equações dadas em (42), (43) e (45) na equação (42), temos a seguinte expressão:
2 ( ) 5/3 2 6.8 2 ( ) ( , ) 1 10.2 2 ( ) nm s n x C V x nn s n n L V x S x e L V x (46)
Nota-se que a função (46) não é dada em função de ( )2
V x . Isso é algo que dificulta a implementação computacional. No entanto, é possível fazer algumas suposições adicionais para a função acima. Uma vez que nosso objetivo é obter as respostas no topo da estrutura, é possível assumir que o valor de ( )V x dada na equação (46) é igual à velocidade média do vento no topo da estrutura. O mesmo vale para s
n
L
. Geralmente, a variável altura é de difícil implementação, logo, apenas a altura máxima é possível de ser avaliada. Assim, uma vez19
obtidos os valores de s n
L
e V x , a integral dupla dada na equação (40) pode ser facilmente ( ) calculada.3.2.2.4 Função Resposta de Frequência e Amortecimento Aerodinâmico
Antes de chegarmos à expressão do desvio do deslocamento, é preciso mais uma vez da Função Resposta de Frequência. A função é dada na equação (14). Como foi discutido anteriormente, todas as propriedades aerodinâmicas estão incluídas na função de resposta de frequência. A rigidez será importante apenas quando a velocidade é próxima aos limites de instabilidade, e portanto, pode ser negligenciada. Assumimos também que os componentes de turbulência e os deslocamentos são pequenos. É portanto razoável dizer que as acelerações são pequenas, o que nos permite desprezar a parcela matriz da massa. Assim, a função de resposta da frequência resultante é dada por:
1 2 ˆ ( ) 1 2 ( ) i i i ae i i H i (47) O único termo desconhecido é a taxa de amortecimento aerodinâmico,
aei, que jáfoi dado 2
i i
ae Cae iMi
. Usando as expressões dadas em (30) e (31), e aplicando as identidades já conhecidas, achamos a seguinte expressão:
exp exp 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 y y y ae y ae L ae y y y y y L y L D y y y L C dx C M m dx V x dx B D C m B dx
(48) 3.2.2.5 Espectro do deslocamentoO deslocamento-desvio é obtido através da integração do espectro resposta do deslocamento em todo o domínio da frequência.
2 0 ( ) ( , ) y y r x Sr x d
(49)Dada a equação (16), e aplicando nela a função de espectro dada em (39) e substituindo
K
i por2 yMy
20
2 2 2
y y y y y y
L L L
m M
dx
m dx
dx, temos, enfim, a expressão para o deslocamento-desvio:
2 1/2 3 2 2 0 1 ˆ ˆ ( ) ( ) 2 y r y r y y y y B z H J d m B
(50)Onde a Função de Admitância Conjunta normalizada é dada por:
2 2 2 2 ˆ ( )y y( ) / y L J J dx
(51) 3.2.3 AceleraçãoNa seção anterior, os deslocamentos foram divididos em parcelas quase-estática e ressonante. Uma vez que os deslocamentos quase-estáticos não induzem acelerações, a parte ressonante da resposta é a única considerada nesta etapa. Aceleração e velocidade são geralmente representados pela primeira e segunda derivadas do deslocamento no tempo, respectivamente. Assumindo que a estrutura oscila como uma função cosseno, temos:
( ) cos( )
n n
r t c t (52)
O parâmetro c é a amplitude da função de r(t). Derivando-a duas vezes, temos:
2 ( ) sen( ) ( ) cos( ) n n n n n n r t c t r t c t (53) Logo, 2 ( ) n ( ) a t u t (54)
Aplicando a transformada de Fourier, obtemos a seguinte função:
2
( ) ( )
n n
a n r
a a (55)
A densidade de espectro da aceleração é dada assim:
4 4 1 1 ( ) lim lim ( ) n n n n n n a a a n r r n r T T S a a a a S T T (56)
Analogamente ao que fizemos na equação (51), temos agora:
2 4 0 0 ( ) ( ) n n n a Sa d n Sr d
(57)A aceleração de pico da estrutura é obtida multiplicando-se o resultado do desvio pelo fator de pico.
21 espectro pela quarta potência da frequência. A densidade de espectro do deslocamento dada na equação (14) também pode ser obtida diretamente das equação (49). A variável altura é desprezada uma vez que desejamos obter apenas a aceleração no topo do edifício. Temos, enfim, a função de densidade de espectro da aceleração.
2 2 4 2 2 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 2 n a y y y y B S H J d m (58)
22
4 MODELO DO ESTUDO 4.1 Modelo estrutural – SAP2000
Nesta seção iremos introduzir algumas informações sobre o modelo estrutural que será analisado no nosso trabalho.
Em nosso estudo foi realizada a análise de um modelo de edifício com múltiplos pavimentos utilizando o programa SAP2000. O programa SAP2000 nos permitiu calcular as frequências naturais e os modos de vibração da estruturas 3D.
A estrutura analisada é um edifício de concreto armado formada de 20 pavimentos com pé direito igual a 3 metros. Os pilares laterais têm seção quadrada de 80x80 cm2. A estrutura tem dimensões laterais de 15 x 30 metros.
O esboço da planta do pavimento-tipo da estrutura é mostrado na figura abaixo. Podemos ver que a estrutura possui um grupo de laterais e um núcleo central. O núcleo, também de concreto armado, é uma estrutura comum na maioria dos edifícios e tem função de consolidação do corpo da estrutura.
Figura 4.1 – Esboço de planta-baixa.
Fonte: elaborado pelo autor.
As propriedades dinâmicas da estrutura podem ser estimadas com bastante acurácia através de simulações com elementos finitos. Há inúmeros opções de programas para análise em elementos finitos no mercado. O software escolhido para nosso estudo do edifício é o SAP2000 versão 18. O SAP2000 é desenvolvido pela Computers and Structures Inc., empresa situada em Berkeley, CA.
23
4.2 Hipóteses e simplificações
Embora a modelagem busque representar a geometria de uma estrutura da forma mais acurada possível, algumas simplificações precisam ser feitas. As interações da fundação com o solo também não foram consideradas. Ou seja, todos os pilares são perfeitamente engastados. Para simplificar a modelagem, apenas os elementos estruturais significantes foram modelados. Alvenarias ou divisórias internas não são consideradas, por exemplo. O SAP2000 calcula modos e frequências de vibração através da solução de autovalores, dado por:
[k − ωn2m]n = 0 (59)
Onde n corresponde à forma modal da estrutura. A equação (59) possui solução, apenas quando:
||k − ωn2m|| = 0 (60)
A equação (60) é chamada de equação fundamental da vibração, e possui n raízes positivas reais, um para cada modo de vibração. Onde n também é o número de graus de liberdade do modelo.
As formas modais são encontradas através da substituição dos autovalores encontrados nas equações (59) e (60). Como se vê, apenas duas propriedades afetam o comportamento estrutural, a massa e a rigidez. Na modelagem, a rigidez depende de todos os elementos estruturais significantes. Ao desconsiderar a massa de elementos não estruturais, como paredes por exemplo, a massa total da estrutura é reduzida. As cargas permanentes também contribuem para a massa total da estrutura.
4.3 Frequências e modos de vibração
A Figura 4.1 apresenta o modelo da estrutura no SAP2000. Embora apenas os dois primeiros modos sejam avaliados no nosso trabalho, foram obtidos os 12 modos de vibração da estrutura. Os 5 primeiros modos de vibração da estrutura são apresentados resumidamente na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Frequências obtidas do SAP2000.
Modo # Frequência [Hz] Frequência angular [rad/s] Período [s]
1 0,7718 4,8496 1,296
2 0,924 5,806 1,082
3 1,155 7,263 0,865
4 3,017 18,96 0,331
5 3,332 20,939 0,300
24 Figura 4.1 – Modelo do SAP2000.
Fonte: elaborada pelo autor.
Como podemos ver pela Tabela 4.1, os dois primeiros modos têm períodos bem significativos quando comparados aos demais. A Figura 4.3 mostra visualmente os três primeiros modos de vibração.
Figura 4.2 – Modos de vibração 1, 2 e 3 (SAP2000).
Fonte: elaborada pelo autor.
25 Podemos ver pela Figura 4.2 que a estrutura tem um comportamento similar ao de uma viga engastada. O primeiro modo tem deslocamentos na direção longitudinal da estrutura. A seção do núcleo está disposta de forma a oferecer uma rigidez maior a estrutura na direção transversal. O segundo modo tem deslocamentos na direção transversal, enquanto o terceiro modo tem deslocamentos torcionais.
4.4 Deslocamentos modais
A maneira mais prática de obtermos as formas modais é obtendo os deslocamentos dos pavimentos da estrutura. Por simplicidade, escolhemos o mesmo nó na extremidade de cada pavimento para obter os deslocamentos. A Figura 4.3 mostra graficamente os deslocamentos dos dois modos obtidos do SAP2000. Os valores do gráfico são dados no Apêndice A.
Figura 4.3 – Deslocamentos modais (SAP2000): Modos 1 e 2.
Fonte: elaborada pelo autor.
Os valores de deslocamento são adimensionais pois são calculados em função do deslocamento no último nó. O SAP2000 realiza os cálculos modais sem carregamentos, o que torna os vetores modais difíceis de serem interpretados. Uma maneira mais fácil de obtermos as formas modais de estrutura é normalizando em função da altura, ou seja, assumindo que o deslocamento no topo é igual a 1, e assim obtemos os valores proporcionais dos outros nós.
Os valores normalizados de deslocamentos obtidos do SAP200 foram comparados com os valores fornecidos no Apêndice F da norma européia NS-EN 1991-1-4, §F.3, que sugere valores de forma modal (ver Apêndice A).
0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 Altura [ m] Deslocamento [-]
