Estudo dirigido SistLineares escalonamento IFBA

IFBA–INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA –ÁLGEBRA LINEAR

PROF.:GUSTAVO COSTA

ALUNO:______________________________________________________

ESTUDO DIRIGIDO Sistema de equações lineares

DEFINIÇÃO 1. Uma equaçãolinear com “n” incógnitas x1, x2, ... , xn é toda equação de 1º grau, do tipo

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b1, onde cada a1j, com j = 1,2,...,n, é

um escalar, chamado coeficiente da equação e b,também um escalar, chamado termo independente da equação.

EXEMPLOS.

São equações lineares Não são equações lineares

(1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5 (1) 2x12 + 4x2+ 3x3 = 0

(2) x1 – x2 – 5x3 + 7x4 = 6 (2) 2x1x2 + 3x3 – 4x4 = – 3

(3) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 (3) x1 + x2 – 2x3 = 8

(4) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = – 4 (4) x1 – x2 + 31

−

x = 1

DEFINIÇÃO 2. Uma solução da equação linear a11x1 + a12x2 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b é a n-úpla

ordenada de escalares (s1, s2 ,..., sn), que satisfaz a equação dada, isto é, quando a

sentença a11s1 + a12s2 + ... + a1(n – 1)s(n – 1) + a1nsn = b é verdadeira.

EXEMPLOS.

(1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5

A tripla ordenada 

    

4 3 , 0 ,

1 é solução da equação, pois 2(1) – 3(0) + 4 

    

4 3

= 2 + 3 = 5.

(2) 0x1 + 0x2 + 0x3= 0

Qualquer tripla ordenada (s1, s2, s3) é solução da equação.

(3) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4

Qualquer quádrupla ordenada (s1, s2, s3, s4) NÃO satisfaz equação, pois 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4≠

4. Então, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4 é uma sentença FALSA, ∀s1,s2,s3,s4∈R (ou C).

DEFINIÇÃO 3. Um sistema de equações lineares de “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de

equações de 1º grau o tipo

S

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

      

= +

+ + +

= +

+ + +

= +

+ + +

− −

− −

− −

m n mn n

n m m

m

n n n

n

n n n

n

b x a x

a x

a x a

b x a x

a x

a x a

b x a x

a x

a x a

1 1 2

2 1 1

2 2

1 1 2 2

22 1 21

1 1

1 1 1 2

12 1 11

"

# # #

# #

" "

.

DEFINIÇÃO 4. Uma solução do sistema de equações lineares S é a n-úpla ordenada de escalares

S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        = + + + + = + + + + = + + + + − − − − − − m n mn n n m m m n n n n n n n n b s a s a s a s a b s a s a s a s a b s a s a s a s a 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 1 1 1 1 2 12 1 11 " # # # # # " "

DEFINIÇÃO 5. Quando um sistema de equações lineares tem todos os seus termos independentes

iguais a zero, é chamado de sistema de equações lineares homogêneo.

EXEMPLOS.

(1) S1    = − = + 0 2 0 2 2 1 2 1 x x x x

(2) S2

       = + − = + − = − + = + − 0 6 5 0 4 3 0 2 0 2 z y x z y x z y x z y x

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A SUA SOLUÇÃO.

Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema pode ser:

(1) Possível ou compatível:é o sistema que admite solução, podendo ser: (1.1)Possível determinado: só admite uma única solução;

(1.2)Possível indeterminado: admite mais de uma solução (infinitas soluções). (2) Impossível ou incompatível: é o sistema que não admite solução.

EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua

solução.

(1) S1    = − = + 1 2 3 2 2 1 2 1 x x x x

(2) S2

   = + − = + + 4 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x

(3) S3      = + − = + − = − + 0 5 3 2 0 0 12 2 3 z y x z y x z y x

(4) S4

   = − = + 0 2 0 2 y x y x

OBSERVAÇÃO. Todo sistema homogêneo admite sempre a solução (s₁, s₂, ..., s_n) = (0, 0, ... , 0),

chamada solução nula, trivial ou imprópria. Portanto, um sistema homogêneo é sempre possível. Se for determinado, admitirá a solução trivial, e se for indeterminado,

admitirá além da solução trivial, outras soluções não nulas, chamadas soluções

próprias.

SISTEMAS E MATRIZES

Pode-se escrever o sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas

como uma igualdade de matrizes, onde o primeiro membro é um produto entre matrizes. Assim;

   

 

   

 

=    

 

   

 

×    

 

   

 

n n mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

# # "

# % # #

" "

2 1 2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Isto é, na forma matricial

Am×n×Xn×1 = Bm×1,

onde A é a matriz dos coeficientes de ordem m×n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes.

DEFINIÇÃO 6. Associa-se ao sistema S uma outra matriz formada pela matriz dos coeficientes

acrescida da coluna da matriz dos termos independentes. Chama-se esta matriz de matriz ampliada do sistema S, dada por

M =

   

 

   

 

m mn m

m

n n

b a a

a

b a a

a

b a a

a

"

# # % # #

" "

2 1

2 2 22

21

1 1 12

11

.

EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine as matrizes dos coeficientes, das incógnitas, dos

termos independentes e a ampliada.

(1) S1   

= + −

− = − +

1 2

3

4 5

2

4 2 1

3 2 1

x x x

x x x

Matriz dos coeficientes _{Matriz das incógnitas}

A = _

  

 

− −

1 0 2 3

0 5 1 2

X =

   

 

   

 

4 3 2 1

x x x x

Matriz dos termos independentes Matriz ampliada

B = _

    −

1 4

M = _

  

 

−

− −

1 1 0 2 3

(2) S2     

= + − −

= + +

= − +

3 8

9 7 9

5 4 6 2

5 4 3

4 3 2

3 2 1

x x x

x x x

x x x

SISTEMA DE CRAMER (REGRA)

O cálculo da inversa de uma matriz fornece um método de resolução de sistemas lineares de equações. Porém, este só é aplicado em sistemas lineares de equações quadrados, isto é, o sistema que tem a quantidade de equações é igual à quantidade de incógnitas.

Suponha resolver o sistema linear de “n” equações e “n” incógnitas,

S

    

= +

+

= +

+

n n nn n

n n

b x a x

a

b x a x

a

"

# # #

"

1 1

1 1

1 11

que na forma matricial é dado por

  

 

  

  =   

 

  

  ⋅   

 

  

 

n n nn n

n

b b

x x

a a

a a

# # "

# % #

" 1 1

1

1 11

⇔A⋅X = B,

onde A é a matriz dos coeficientes de ordem n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes.

Para esta equação suponha que det A≠ 0 e portanto, que a matriz A tem inversa A–1. Então

A–1⋅ (A⋅X) = A–1⋅B (A–1⋅A) ⋅X = A–1⋅B In⋅X = A–1⋅B

X = A–1⋅B

X = A det

1

⋅(adj A) ⋅B

Na forma matricial

  

 

  

  ⋅   

 

  

  =   

 

  

 

n nn n

n

n b

b

a a

a a

x x

# "

# % #

" #

1

1

1 11

1

  

 

  

  ⋅   

 

  

 

∆ ∆

∆ ∆

⋅ =

  

 

  

 

n nn n

n

n b

b

A x

x

# "

# % #

" #

1

1

1 11

1

det 1

A b b

x n n

det

1 11

1 1

∆ + + ∆

= "

Observe que o numerador destas frações é igual ao determinante da matriz que é obtida da matriz A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes.

sj =

A A_j det det

,

onde Aj é a matriz obtida de A, substituindo a j-ésima coluna pela coluna dos termos independentes

do sistema S.

EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pela regra de Cramer, se houver.

(1) S1     

= + −

− = − −

= + +

1 2

4 6

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

(2) S2

  

= −

= +

5 4

4 3 2

2 1

2 1

x x

x x

MATRIZ ESCADA.

DEFINIÇÃO 7. Uma matriz que satisfaz as 4 seguintes condições é chamada matriz na forma escada

ou matriz escada.

(1) O primeiro elemento não-nulo de uma linha é sempre igual a um.

(2) Todas as linhas nulas (se houver) devem ficar abaixo das linhas não-nulas.

(3) Cada coluna que tem o primeiro elemento não-nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero.

(4) A quantidade de zeros que precede o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver.

EXEMPLOS. Determine se as matrizes abaixo são matriz escada ou não. Justifique as respostas.

(1) A =

  

 

  

 

−

0 2 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

(2) B =

  

 

  

 

−

0 0 0

3 0 1

1 2 0

(3) C =

  

 

  

 

− −

2 1 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 3 1 0

(4) D =

   

 

   

 

0 0 0 0 0

3 1 0 0 0

2 0 1 0 0

2 0 0 1 0

TEOREMA 1. Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz escada.

OBSERVAÇÃO. (Operações elementares) Para reduzir uma matriz à sua matriz linha-equivalente na

forma escada usamos as chamadas operações elementares sobre suas linhas, que são:

(i) Permutação de duas linhas; [Li↔Lj]

(ii) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número real (diferente de

zero); [Li→ kLi] (k ≠ 0)

(iii) Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos

correspondentes de outra linha previamente multiplicados por um número real diferente de zero. [Li→ Li + kLj] (k ≠ 0)

(1) A =

  

 

  

 

−1 1 4 2

2 0 5 1

3 4 2 0

(2) B = _

  

 

−5 6

4

3 2 1

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES EQUIVALENTES.

DEFINIÇÃO 8. Dois ou mais sistemas são equivalentes quando têm a mesma solução.

EXEMPLO.

S1

  

= −

= +

7 3 2

1

y x

y x

e S2

  

− = + −

= −

7 3 2

8 2 3

y x

y x

Os sistemas S1 e S2 são equivalentes, pois têm como solução o par ordenado (2, –1).

TEOREMA 2. Dois ou mais sistemas são equivalentes se, e somente se, suas matrizes ampliadas são

equivalentes .

EXEMPLO.

S1

  

= +

= +

5 4 2

3

y x

y x

, onde a matriz ampliada é M1 = 

  

 

5 4 2

3 1 1

S2

  

= +

= +

8 5 3

6 2 2

y x

y x

, onde a matriz ampliada é M2 = 

  

 

8 5 3

6 2 2

S3

  

= +

− = − −

6 2 2

8 5 3

y x

y x

, onde a matriz ampliada é M3 = 

  



− − −

6 2 2

8 5 3

MÉTODO DE GAUSS.

Consiste em reduzir a matriz ampliada associada de um sistema à uma matriz que difere da matriz linha-equivalente à forma escada na condição 3 da sua definição, que dizia: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero” e passa a ser: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero”. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição.

EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pelo método de Gauss, se houver.

(1) S1     

= − −

= + +

= + +

5 2 3

4 4 5 2

1 3 4

z y x

z y x

z y x

Æ Matriz ampliada associada a S1:

  

 

  

 

−

−3 2 5

1

4 4 5 2

(2) S2     

= + +

= + +

= + −

0 12 4

0 6 5 2

0 3 2

z y x

z y x

z y x

(3) S3     

= + −

= + −

= + −

0 2 2

4 2

1

z y x

z y x

z y x

DEFINIÇÃO 9. Seja A uma matriz de ordem m×n e B a sua matriz linha-equivalente à forma escada,

também de ordem m×n. Chama-se posto da matriz A, a quantidade de linhas não nulas da matriz B.

NOTAÇÃO. Posto da matriz A: PA

OBSERVAÇÃO. Dada uma matriz A qualquer, para determinar seu posto P_A deve-se primeiro

determinar sua matriz linha-equivalente à forma escada e depois contar suas linhas não-nulas

DEFINIÇÃO 10. Seja A uma matriz de ordem m×n. Chama-se nulidade da matriz A, a diferença entre a

quantidade de colunas de A e seu posto.

NOTAÇÃO. Nulidade da matriz A: NA = n – PA

EXEMPLO. Dadas as matrizes abaixo, determine o posto e a nulidade de cada matriz.

(1) A = _

    

4 2

2 1

L2→L2 – 2L1 

    

0 0

2 1

= B. Então, PA = 1 e NA = 2 – 1 = 1.

(2) A =

  

 

  

 

3 1 1

1 4 2

0 2 1

L2 → L2 – 2L1

  

 

  

 

3 1 1

1 0 0

0 2 1

L3 → L3 – L1

  

 

  

 

−1 3 0

1 0 0

0 2 1

L2 ↔ L3

  

 

  

 

−

1 0 0

3 1 0

0 2 1

L2 → L2 –3L3

  

 

  

 

−

1 0 0

0 1 0

0 2 1

L1 → L1 + 2L2

  

 

  

 

−

1 0 0

0 1 0

0 0 1

L2 → – L2

  

 

  

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= B.

Então, PA = 3 e NA = 3 – 3 = 0.

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A RELAÇÃO ENTRE O POSTO DA MATRIZ DOS COEFICIENTES C[PC] E O POSTO DA SUA MATRIZ AMPLIADA A[P_A].

Dado um sistema com “m” equações e“n” incógnitas, este sistema será:

(1) Possível (terá solução), quando PC = PA, podendo ser:

(1.1)Possível determinado (única solução), quando PC = PA = n;

(1.2)Possível indeterminado (infinitas soluções), quando PC = PA < n.

(2) Impossível (não terá solução), quando PC < PA.

EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua

(1) S1

  

= −

= +

1 2

3 2

y x

y x

(2) S2

  

= + −

= + +

4 3 2

1 2

z y x

z y x

(3) S3

  

− = +

= +

5 6 3

4 2

y x