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(1)

DCC008 - C´alculo Num´erico

Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Iury Igreja

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Conte´udo

◮ Introdu¸c˜ao

◮ Conceitos fundamentais ◮ M´etodos diretos

◮ Sistemas triangulares ◮ Elimina¸cão de Gauss ◮ Estratégias de Pivoteamento ◮ Decomposi¸cão LU

◮ Decomposi¸c˜ao Cholesky ◮ Invers˜ao de Matriz

◮ M´etodos iterativos

◮ Introdu¸c˜ao

◮ Métodos Iterativos Estacionários ◮ Método de Jacobi

(3)

Introdu¸c˜ao

Iremos estudar agora m´etodos computacionais para resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares da forma:

a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2

..

. ...

am1x1+am2x2+. . .+amnxn=bm

onde

aij ∈R, bi ∈R, xj ∈R, i= 1, . . . , m, j= 1, . . . , n

(4)

Introdu¸c˜ao

Exemplos de aplica¸c˜oes

Em uma vasta gama de problemas de ciências e engenharias a solu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares é necessária. Podemos enumerar diversas áreas e problemas t´ıpicos, tais como:

◮ Solu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais

◮ Solu¸cão de EDPs através do método dos elementos finitos,

diferen¸cas finitas ou volumes finitos.

◮ Solu¸c˜ao de EDOs

◮ Programa¸c˜ao linear ◮ An´alise de estruturas

◮ Sistemas de equa¸cões não-lineares ◮ Outros métodos numéricos

◮ Interpola¸c˜ao, m´ınimos quadrados, etc.

(5)

Introdu¸c˜ao

Tens˜oes em circuito el´etrico

(6)

Introdu¸c˜ao

Calcular as tensões dos nós do circuito elétrico da figura abaixo:

Modelagem do problema:

◮ Lei de Kirchhoff: a soma das correntes que passam em cada n´o do circuito ´e nula.

◮ Lei de Ohm: a corrente do nój para o nó ké dada pela equa¸cão

(7)

Introdu¸c˜ao

(8)

Introdu¸c˜ao

N´o 1: IA1+I21+I31+I41= 0 0−V1

1 +V

2−V1

1 +V

3−V1

2 +V

4−V1

(9)

Introdu¸c˜ao

N´o 1: IA1+I21+I31+I41= 0 0−V1

1 +V

2−V1

1 +V

3−V1

2 +V

4−V1

2 = 0

(10)

Introdu¸c˜ao

N´o 1: IA1+I21+I31+I41= 0 0−V1

1 +V

2−V1

1 +V

3−V1

2 +V

4−V1

2 = 0

−2V1+V2−V1+ V₂3 −V₂1 +V₂4 −V₂1 = 0

−4V1+ 2V2+V3−2V1+ 2V4= 0

(11)

Introdu¸c˜ao

N´o 1: IA1+I21+I31+I41= 0 0−V1

1 +V

2−V1

1 +V

3−V1

2 +V

4−V1

2 = 0

−2V1+V2−V1+ V₂3 −V₂1 +V₂4 −V₂1 = 0

−4V1+ 2V2+V3−2V1+ 2V4= 0

−6V1+ 2V2+V3+V4= 0

N´o 2:

3V1−4V2+V3 = 0

N´o 3:

3V1+ 2V2−13V2+ 6V4 =−254

N´o 4:

(12)

Introdu¸c˜ao



  

−6 2 1 1

3 −4 1 0

3 2 −13 6

1 0 2 −3

        V1 V2 V3 V4    

N´o 1: IA1+I21+I31+I41= 0 0−V1

1 +V

2−V1

1 +V

3−V1

2 +V

4−V1

2 = 0

−2V1+V2−V1+ V₂3 −V₂1 +V₂4 −V₂1 = 0

−4V1+ 2V2+V3−2V1+ 2V4= 0

−6V1+ 2V2+V3+V4= 0

N´o 2:

3V1−4V2+V3 = 0

N´o 3:

3V1+ 2V2−13V2+ 6V4 =−254

N´o 4:

(13)

Introdu¸c˜ao



  

−6 2 1 1

3 −4 1 0

3 2 −13 6

1 0 2 −3

        V1 V2 V3 V4    =     0 0 −254 0    

Usando algum m´etodo que iremos estudar, encontramos a solu¸c˜ao deste sistema

V∗ =



  

25.7 31.75

49.6 41.6



  

(14)

Introdu¸c˜ao

Estruturas

Exemplo 1, Cap´ıtulo 3, P´agina, 105, Livro da Ruggiero. Determinar as for¸cas que atuam nesta treli¸ca.

Jun¸c˜ao 2:

X

Fx =−αf1+f4+αf5 = 0 X

Fy =−αf1−f3−αf5 = 0

(15)

Conceitos fundamentais

(16)

Conceitos fundamentais

Antes de estudar os métodos para solu¸cão deste tipo de problema, vamos rever alguns conceitos fundamentais de Álgebra Linear necessários para o desenvolvimento e análise dos métodos.

Matrizes

Uma matriz é um conjunto de elementos (números reais ou complexos) dispostos de forma retangular. O tamanho ou dimensão é definido pelo seu número de linhas e colunas. Uma matriz comm linhas encolunas é dita ser m×n(m por n) e se m=n, então dizemos que a matriz é quadrada.

A=



   

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . .. ... am1 am2 . . . amn



   

(17)

Conceitos fundamentais

Matrizes especiais

◮ Matriz coluna e matriz linha

Matriz linha: 1×n

a11 a12 . . . a1n

Matriz coluna: n×1



   

a11

a21

.. . an1



   

◮ Matriz nula:

aij = 0, ∀i, j

◮ Matriz diagonal:

dij = 0, ∀i6=j

◮ Matriz identidade:

(18)

Conceitos fundamentais

Matrizes especiais

◮ Matriz triangular inferior: acima da diagonal principal ´e nula

bij = 0, ∀i < j, Exemplo: B=





b11 0 0

b21 b22 0

b31 b32 b33 

(19)

Conceitos fundamentais

Matrizes especiais





b11 0 0

b21 b22 0

b31 b32 b33 



◮ Matriz triangular superior: abaixo da diagonal principal ´e nula

cij = 0, ∀i > j, Exemplo: C=





c11 c12 c13 0 c22 c23

0 0 c33



(20)

Conceitos fundamentais

Matrizes especiais





b11 0 0

b21 b22 0

b31 b32 b33 



◮ Matriz triangular superior: abaixo da diagonal principal ´e nula

cij = 0, ∀i > j, Exemplo: C=





c11 c12 c13 0 c22 c23

0 0 c33





◮ Matriz sim´etrica:

(21)

Conceitos fundamentais

Opera¸c˜oes matriciais

Transposi¸c˜ao

A transposta de uma matrizA, denotada porAT, ´e uma matriz obtida trocando-se as suas linhas pelas colunas.

Exemplo:

A=



  

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12



 

, A

T ₌





1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12



(22)

Conceitos fundamentais

Transposi¸c˜ao

A transposta de uma matrizA, denotada porAT, ´e uma matriz obtida trocando-se as suas linhas pelas colunas.

Exemplo:

A=



  

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12



 

, A

T ₌





1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12





Adi¸c˜ao e Subtra¸c˜ao

(23)

Conceitos fundamentais

Multiplica¸c˜ao por escalar

SejaAuma matriz m×n e sejak∈R um escalar qualquer. Ent˜aoB=kA ´e tal que

(24)

Conceitos fundamentais

bij =k aij, ∀i, j

Multiplica¸c˜ao matriz-vetor

SejaAuma matriz m×n ex um vetorn×1, então a multiplica¸cão deA porxé

v=Ax ⇒ vi= n

X

j=1

(25)

Conceitos fundamentais

bij =k aij, ∀i, j

Multiplica¸c˜ao matriz-vetor

SejaAuma matriz m×n ex um vetorn×1, então a multiplica¸cão deA porxé

v=Ax ⇒ vi= n

X

j=1

aijxj, i= 1,2, . . . , m

Exemplo 

 1 2 3 4 5 6





1 2

=



 5 11 17



(26)

Conceitos fundamentais

Multiplica¸c˜ao matriz-matriz

SejaAuma matriz m×p e Buma matriz p×n. O resultado da multiplica¸c˜aoAB´e uma matriz Cde tamanho m×n.

cij = p

X

k=1

aikbkj, i= 1, . . . , m, j= 1, . . . , n

Exemplo:

A=

3 1 0

−1 6 4

, B=





−3 2

4 9

8 −1





C=AB=

−5 15

59 48

(27)

Conceitos fundamentais

Produto Interno e Produto Externo

O produto interno ou escalar entre dois vetoresx ey, ambos de tamanhonresulta em um valor escalark dado por

k=xTy=x1y1+x2y2+. . .+xnyn= n

X

i=1

(28)

Conceitos fundamentais

X

i=1

xiyi

O produto externo entrex(m×1)e y(n×1)resulta em uma matrizM de tamanhom×n dada por

(29)

Conceitos fundamentais

X

i=1

xiyi

O produto externo entrex(m×1)e y(n×1)resulta em uma matrizM de tamanhom×n dada por

mij =xiyj, i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n

Exemplo: x=   5 −1 2  , y=

  1 3 4 

, xTy= 10, xyT =M=

 

5 15 20

−1 −3 −4

2 6 8

(30)

Conceitos fundamentais

Determinante

SejaAuma matriz quadrada de ordem n. EntãoA possui um número associado chamado de determinante, o qual pode ser calculado pela seguinte fórmula:

det(A) =a11det(M11)−a12det(M12)+. . .+(−1)n+1a1ndet(M1n)

ondeMij´e a matriz resultante da remo¸c˜ao da linha ie da coluna

(31)

Conceitos fundamentais

Determinante

SejaAuma matriz quadrada de ordem n. EntãoA possui um número associado chamado de determinante, o qual pode ser calculado pela seguinte fórmula:

det(A) =a11det(M11)−a12det(M12)+. . .+(−1)n+1a1ndet(M1n)

ondeMij´e a matriz resultante da remo¸c˜ao da linha ie da coluna

j da matrizA. Em particular

A= [a11]⇒ det(A) =a11, A=

a11 a12

a21 a22

⇒det(A) =a11a22−a12a21

A= 



a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33





det(A) =a11(a22a33−a32a23)

−a12(a21a33−a31a23)

(32)

Conceitos fundamentais

Defini¸c˜ao (Matriz singular)

(33)

Conceitos fundamentais

Defini¸c˜ao (Matriz singular)

Uma matriz comdet(A) = 0 é dita singular. Por outro lado quandodet(A)6= 0 dizemos que a matriz é não-singular.

Defini¸c˜ao (Vetores Linearmente Independentes)

Um conjunto de vetoresx1,x2, . . . ,xk´e dito ser linearmente independente (LI) se

c1x1+c2x2+. . .+ckxk= 0

somente sec1 =c2 =. . .=ck = 0. Caso contrário, isto é, quando c1, c2, . . . , ck não são todos nulos, dizemos que o conjunto de

(34)

Conceitos fundamentais

Defini¸c˜ao (Posto)

(35)

Conceitos fundamentais

Defini¸c˜ao (Posto)

O posto (ou rank) de uma matrizA de tamanhom×né definido como o número máximo de vetores linhas (ou de vetores colunas) linearmente independentes deA. Escrevemos posto(A) =r e temos quer ≤min (m, n).

Defini¸c˜ao (Inversa)

A inversa de uma matrizA quadradan×n´e representada por

A−1 e definida de tal forma que

AA−1=A−1A=I

ondeI´e a matriz identidade de ordem n.

A=

2 1 4 3

, A−1=

₃

2 −12

−2 1

(36)

Sistemas Lineares

Um sistema de equa¸cões lineares consiste em um conjunto dem equa¸cões polinomiais comnvariáveis xi de grau um, isto é

a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2

..

. ...

am1x1+am2x2+. . .+amnxn=bm

o qual pode ser escrito da seguinte forma matricialAx=b onde

A=     

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . .. ... am1 am2 . . . amn



   

, x=

     x1 x2 .. . xn     

, b=

     b1 b2 .. . bm     

(37)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

N´umero de Solu¸c˜oes

Vamos considerar apenas sistemas cujas matrizes dos coeficientes s˜ao quadradas, isto ´e, ondeA∈Rn×n.

Iremos tratar do caso ondeA n˜ao ´e uma matriz quadrada em > n mais adiante, quando estudarmos m´ınimos quadrados.

Para o sistemaAx=b, temos as seguintes possibilidades quanto ao n´umero de solu¸c˜oes:

(a) uma ´unica solu¸c˜ao

(b) infinitas solu¸c˜oes

(c) sem solu¸c˜ao

(38)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

Caso (a) ´Unica solu¸c˜ao

x1+x2= 3

x1−x2=−1

1 1

1 −1 x1

x2

=

3

−1

⇒ x=

1 2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

(39)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

Caso (a) ´Unica solu¸c˜ao

x1+x2= 3

x1−x2=−1

1 1

1 −1 x1

x2

=

3

−1

⇒ x=

1 2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

(40)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

Caso (b) Infinitas Solu¸c˜oes

x1+x2 = 1 2x1+ 2x2 = 2

1 1 2 2

x1

x2

=

1 2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3 4 5

(41)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

x1+x2 = 1 2x1+ 2x2 = 2

1 1 2 2

x1

x2

=

1 2

⇒ x=

1−θ θ

4 3 2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3 4 5

(42)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

x1+x2 = 1 2x1+ 2x2 = 2

1 1 2 2

x1

x2

=

1 2

⇒ x=

1−θ θ

4 3 2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3 4 5

(43)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

Caso (c) Sem Solu¸c˜ao

x1+x2= 1

x1+x2= 4

⇒ 6 ∃x tal queAx=b

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4 2 0 2 4 6 8

(44)

Classifica¸c˜ao de Sistemas

Caso (c) Sem Solu¸c˜ao

x1+x2= 1

x1+x2= 4

⇒ 6 ∃x tal queAx=b

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4 2 0 2 4 6 8

(45)

Existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao

A equa¸cãoAx=b possui uma única solu¸cão se e somente se a matrizA for não-singular. O Teorema a seguir, caracteriza a não-singularidade da matrizA.

Teorema

SejaAuma matriz quadradan×n. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

a) A−1 existe

b) Não existe y não-zero tal queAy=0. Ou seja, a única solu¸cão do sistema homogêneo éy=0.

c) posto(A) =n

d) det(A)6= 0

e) Dado qualquer vetorb, existe exatamente um vetor xtal que

Ax=b (ou x=A−1b).

Prova

(46)

M´etodos para solu¸c˜ao de sistemas lineares

(47)

M´etodos para solu¸c˜ao de sistemas lineares

Iremos estudar agora diversos métodos numéricos para a solu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares. Vamos considerar queAé quadrada e não-singular.

Os métodos de solu¸cão de sistemas lineares geralmente envolvem a conversão de um sistema quadrado em um sistema triangular que possui a mesma solu¸cão que o original.

(48)

Sistema triangular inferior

Considere um sistema triangular inferior de ordemndado por



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

ln1 ln2 ln3 . . . lnn

(49)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

A solu¸cão deste sistema é feita através de um procedimento chamado desubstitui¸cão(ou substitui¸cões sucessivas):

(50)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

(51)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

l11

(52)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

l11

l21x1+l22x2=b2 ⇒ x2=

b2−l21x1

(53)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

l11

l21x1+l22x2=b2 ⇒ x2=

b2−l21x1

l22

(54)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

l11

l21x1+l22x2=b2 ⇒ x2=

b2−l21x1

l22

. . .

(55)

Sistema triangular inferior



   

l11 0 0 . . . 0

l21 l22 0 . . . 0

..

. . ..

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

l11x1=b1 ⇒ x1=

b1

l11

l21x1+l22x2=b2 ⇒ x2=

b2−l21x1

l22

. . .

ln1x1+ln2x2+. . .+lnnxn=bn ⇒ xn=

bn−ln1x1−ln2x2−. . .−lnn−1xn−1

(56)

Sistema triangular inferior

De forma geral paraLx=b temos

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

(57)

Sistema triangular inferior

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

lii i= 1, . . . , n

Exemplo _

  

2 0 0 0

3 5 0 0

1 −6 8 0

−1 4 −3 9

(58)

Sistema triangular inferior

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

lii i= 1, . . . , n

Exemplo _

  

2 0 0 0

3 5 0 0

1 −6 8 0

−1 4 −3 9

        x1 x2 x3 x4    =     4 1 48 0     Solu¸c˜ao

(59)

Sistema triangular inferior

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

lii i= 1, . . . , n

Exemplo _

  

2 0 0 0

3 5 0 0

1 −6 8 0

−1 4 −3 9

        x1 x2 x3 x4    =     4 1 48 0     Solu¸c˜ao

2x1= 4 ⇒ x1 = 2

(60)

Sistema triangular inferior

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

lii i= 1, . . . , n

Exemplo _

  

2 0 0 0

3 5 0 0

1 −6 8 0

−1 4 −3 9

        x1 x2 x3 x4    =     4 1 48 0     Solu¸c˜ao

2x1= 4 ⇒ x1 = 2

3x1+ 5x2 = 1 ⇒ x2 = 1−6₅ =−1

(61)

Sistema triangular inferior

xi=



bi− i−1 X

j=1

lijxj



 ,

lii i= 1, . . . , n

Exemplo _

  

2 0 0 0

3 5 0 0

1 −6 8 0

−1 4 −3 9

        x1 x2 x3 x4    =     4 1 48 0     Solu¸c˜ao

2x1= 4 ⇒ x1 = 2

3x1+ 5x2 = 1 ⇒ x2 = 1−6₅ =−1

x1−6x2+ 8x3 = 48 ⇒ x3 = 48−2−6₈ = 5

(62)

Sistema triangular inferior

Algoritmo

entrada: L∈_Rn×n_,_b_∈_Rn

sa´ıda: x∈Rn

x(1) = b(1) / L(1,1);

parai=2, ..., n fa¸ca

s = b(i);

paraj=1, ..., i-1 fa¸ca

s = s - L(i,j) * x(j);

fim-para

x(i) = s/L(i,i);

(63)

Sistema triangular superior

O algoritmo análogo para o caso de um sistema triangular superior Ux=bé chamado de retro-substitui¸cão(ou substitui¸cões retroativas).     

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

(64)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

(65)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

(66)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

unnxn=bn ⇒ xn= bn unn

(67)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

un−1n−1xn−1+un−1nxn=bn−1 ⇒ xn−1=

(68)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

bn−1−un−1nxn un−1n−1

(69)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

(70)

Sistema triangular superior

u11 u12 u13 . . . u1n

0 u22 u23 . . . u2n ..

. . ..

0 0 0 . . . unn

          x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

e assim temos

.. .

u11x1+u12x2+. . .+u1nxn=b1 ⇒ x1=

(71)

Sistema triangular superior

De forma geral paraUx=b temos

xi=



bi− n

X

j=i+1

uijxj



 ,

(72)

Sistema triangular superior

xi=



bi− n

X

j=i+1

uijxj



 ,

uii i=n, . . . ,1

Exemplo





2 4 −2

0 1 1

0 0 4



 



x1

x2

x3 

= 



2 4 8



(73)

Sistema triangular superior

xi=



bi− n

X

j=i+1

uijxj



 ,

uii i=n, . . . ,1

Exemplo





2 4 −2

0 1 1

0 0 4

    x1 x2 x3  =   2 4 8   Solu¸c˜ao

(74)

Sistema triangular superior

xi=



bi− n

X

j=i+1

uijxj



 ,

uii i=n, . . . ,1

Exemplo





2 4 −2

0 1 1

0 0 4

    x1 x2 x3  =   2 4 8   Solu¸c˜ao

4x3= 8 ⇒ x3= 2

(75)

Sistema triangular superior

xi=



bi− n

X

j=i+1

uijxj



 ,

uii i=n, . . . ,1

Exemplo





2 4 −2

0 1 1

0 0 4

    x1 x2 x3  =   2 4 8   Solu¸c˜ao

4x3= 8 ⇒ x3= 2

x2+x3 = 4 ⇒ x2= 2

(76)

Sistema triangular superior

Algoritmo

entrada: U∈_Rn×n_,_b_∈_Rn

sa´ıda: x∈Rn

x(n) = b(n)/U(n,n);

parai=n-1, ..., 1 fa¸ca

s = b(i);

paraj=i+1, ..., n fa¸ca

s = s - U(i,j) * x(j);

fim-para

x(i) = s/U(i,i);

(77)

Complexidade Computacional

Muitas vezes precisamos medir o custo de execu¸cão de um algoritmo. Para isso usualmente definimos uma fun¸cão de complexidade que pode ser uma medida do tempo para o algoritmo resolver um problema cuja instância de entrada tem tamanhon(ou medir por exemplo o quanto de memória seria necessário para execu¸cão).

A complexidade de um algoritmo para solu¸cão de um sistema linear de ordemné medida através do número de opera¸cões aritméticas como adi¸cão, multiplica¸cão e divisão.

Lembrando que

n

X

i=1

(78)

Complexidade Computacional

Substitui¸c˜ao:

Divis˜ao: n

Adi¸c˜ao: n

X

i=2

(i−1) =

n−1 X

i=1

i= n(n−1) 2

Multiplica¸c˜ao: n

X

i=2

(i−1) =

n−1 X

i=1

i= n(n−1) 2

No total o algoritmo de substitui¸c˜ao para sistemas triangulares inferiores realiza

n+n(n−1)

2 +

n(n−1)

2 =n+n

2₋_n₌_n2

(79)

Complexidade Computacional

Retro-substitui¸c˜ao:

Divis˜ao: n

Adi¸c˜ao: n−1 X

i=1

(n−i) =n(n−1)−n(n−1)

2 =

n(n−1) 2

Multiplica¸c˜ao: n−1 X

i=1

(n−i) =n(n−1)−n(n−1)

2 =

n(n−1) 2

No total o algoritmo de retro-substitui¸c˜ao para sistemas triangulares superiores realiza

n+n(n−1)

2 +

n(n−1)

2 =n+n

2₋_n₌_n2

(80)

M´etodos para solu¸c˜ao de sistemas lineares

(81)

M´etodos para solu¸c˜ao de sistemas lineares

Existem dois tipos de métodos para a solu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares:

◮ M´etodos diretos

◮ Os métodos diretos são aqueles que conduzem àsolu¸cão

(82)

M´etodos para solu¸c˜ao de sistemas lineares

Existem dois tipos de métodos para a solu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares:

◮ M´etodos diretos

◮ Os métodos diretos são aqueles que conduzem àsolu¸cão

exataapós um número finito de passos a menos de erros de arredondamento introduzidos pela máquina.

◮ M´etodos iterativos

◮ São aqueles que se baseiam na constru¸cão desequências de

(83)

Elimina¸c˜ao de Gauss

O primeiro método direto que iremos estudar é o método da elimina¸cão de Gauss. A idéia fundamental do método é transformar a matrizAem uma matriz triangular superior

(84)

Elimina¸c˜ao de Gauss

introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.



  

x x x x x x x x x x x x x x x x    →    

x x x x 0 x x x 0 x x x 0 x x x    →    

x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x    →    

x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x 

(85)

Elimina¸c˜ao de Gauss

introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.



  

x x x x x x x x x x x x x x x x    →    

x x x x 0 x x x 0 x x x 0 x x x    →    

x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x    →    

x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x 

  

(86)

Elimina¸c˜ao de Gauss

(87)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Na elimina¸cão de Gauss, as opera¸cões efetuadas para se obter a matriz triangular superior são tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸cão que o sistema original.

Defini¸c˜ao (Sistema equivalente)

(88)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Na elimina¸cão de Gauss, as opera¸cões efetuadas para se obter a matriz triangular superior são tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸cão que o sistema original.

Defini¸c˜ao (Sistema equivalente)

Dois sistemas de equa¸cões lineares são equivalentes quando possuem o mesmo vetor solu¸cão.

Um sistema pode ser transformado em um outro sistema equivalente utilizando as seguintes opera¸c˜oes elementares:

◮ trocar a ordem de duas equa¸c˜oes

(89)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

3x1+ 5x2= 9 6x1+ 7x2= 4

Podemos subtrair da linha 2 um m´ultiplo da linha 1, isto ´e

L′₂ =L2−2L1

Efetuando esta opera¸c˜ao obtemos o sistema equivalente

3x1+ 5x2 = 9

−3x2 =−14

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

(90)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

3x1+ 5x2= 9 6x1+ 7x2= 4

L′₂ =L2−2L1

3x1+ 5x2 = 9

−3x2 =−14

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

(91)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

3x1+ 5x2= 9 6x1+ 7x2= 4

L′₂ =L2−2L1

3x1+ 5x2 = 9

−3x2 =−14

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1

(92)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a id´eia.

Exemplo

Seja o sistema

x1+x3 = 0

x1+x2 = 1 2x1+ 3x2+x3 = 1

(93)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

Seja o sistema

x1+x3 = 0

x1+x2 = 1 2x1+ 3x2+x3 = 1





1 0 1 1 1 0 2 3 1



 



x1

x2

x3 

= 



0 1 1





(94)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

Seja o sistema

x1+x3 = 0

x1+x2 = 1 2x1+ 3x2+x3 = 1





1 0 1 1 1 0 2 3 1



 



x1

x2

x3 

= 



0 1 1





Solu¸c˜ao

(95)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo

Seja o sistema

x1+x3 = 0

x1+x2 = 1 2x1+ 3x2+x3 = 1





1 0 1 1 1 0 2 3 1

    x1 x2 x3  =   0 1 1   Solu¸c˜ao

Como podemos eliminar os coeficientes abaixo da diagonal principal na primeira coluna?

L′₂ =L2−L1

L′₃ =L3−2L1





1 0 1 0

0 1 −1 1 0 3 −1 1



(96)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo - (cont.)

(97)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo - (cont.)

Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a32). Como?

L′′₃ =L′₃−3L′₂





1 0 1 0

0 1 −1 1

0 0 2 −2



(98)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo - (cont.)

L′′₃ =L′₃−3L′₂





1 0 1 0

0 1 −1 1

0 0 2 −2





(99)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo - (cont.)

L′′₃ =L′₃−3L′₂





1 0 1 0

0 1 −1 1

0 0 2 −2





Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema:

2x3=−2 ⇒ x3=−1

x2−x3= 1 ⇒ x2= 1 +x3 = 1−1 = 0

(100)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Exemplo - (cont.)

L′′₃ =L′₃−3L′₂





1 0 1 0

0 1 −1 1

0 0 2 −2





Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema:

2x3=−2 ⇒ x3=−1

x2−x3= 1 ⇒ x2= 1 +x3 = 1−1 = 0

x1+x3= 0 ⇒ x1=−x3= 1

(101)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss

Resolver o seguinte sistema





2 1 1

4 −6 0

−2 7 2



 



x1

x2

x3 

= 



5

−2 9



(102)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss





2 1 1

4 −6 0

−2 7 2



 



x1

x2

x3 

= 



5

−2 9





Passo 1

m21= a_a2111 = 4/2 = 2 ⇒ L

′

(103)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss





2 1 1

4 −6 0

−2 7 2



 



x1

x2

x3 

= 



5

−2 9





Passo 1

m21= a_a2111 = 4/2 = 2 ⇒ L

′

2 =L2−2L1

m31= a_a3111 =−2/2 =−1 ⇒ L

′

(104)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss





2 1 1

4 −6 0

−2 7 2

    x1 x2 x3  =   5 −2 9   Passo 1

m21= a_a2111 = 4/2 = 2 ⇒ L

′

2 =L2−2L1

m31= a_a3111 =−2/2 =−1 ⇒ L

′

3 =L3+L1





2 1 1 5

0 −8 −2 −12

0 8 3 14



(105)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss

Passo 2





2 1 1 5

0 −8 −2 −12

0 8 3 14





m32= a_a3222 = 8/−8 =−1 ⇒ L

′′

(106)

Revisitando a Elimina¸c˜ao de Gauss

Passo 2





2 1 1 5

0 −8 −2 −12

0 8 3 14





m32= a_a3222 = 8/−8 =−1 ⇒ L

′′

3 =L′3+L′2





2 1 1 5

0 −8 −2 −12

0 0 1 2





(107)

Elimina¸c˜ao de Gauss

De forma geral

    

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

..

. ... ... . .. ... ... an1 an2 an3 . . . ann bn

(108)

Elimina¸c˜ao de Gauss

De forma geral

    

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

..

. ... ... . .. ... ... an1 an2 an3 . . . ann bn

    

Passo 1 (k=1): eliminamos os elementos abaixo da diagonal

(109)

Elimina¸c˜ao de Gauss

De forma geral

    

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

..

. ... ... . .. ... ... an1 an2 an3 . . . ann bn

    

principal na primeira coluna. Suponha quea116= 0. Ent˜ao:

m21=a21/a11

m31=a31/a11

.. .

mn1=an1/a11

ou seja

(110)

Elimina¸c˜ao de Gauss

De forma geral

    

a11 a12 a13 . . . a1n b1

a21 a22 a23 . . . a2n b2

..

. ... ... . .. ... ... an1 an2 an3 . . . ann bn

    

principal na primeira coluna. Suponha quea116= 0. Ent˜ao:

m21=a21/a11

m31=a31/a11

.. .

mn1=an1/a11

ou seja

(111)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Agora, multiplicamos a 1a equa¸c˜ao pormi1 e subtraimos da

i-ésima equa¸cão, isto é

Parai= 2 :n a(1)_ij =a(0)_ij −mi1 a(0)1j

(112)

Elimina¸c˜ao de Gauss

b(1)_i =b(0)_i −mi1 b(0)1 , j= 1 :n

Observe que n˜ao alteramos a primeira linha, poisi= 2 :n, logo esta permanece inalterada:

(113)

Elimina¸c˜ao de Gauss

b(1)_i =b(0)_i −mi1 b(0)1 , j= 1 :n

Observe que n˜ao alteramos a primeira linha, poisi= 2 :n, logo esta permanece inalterada:

a(1)₁_j =a(0)₁_j =a1j, b(1)1 =b (0) 1 =b1

Ap´os essa etapa zeramos todos os elementos abaixo da diagonal principal na 1a coluna.

      

a11 a12 a13 . . . a1n b1

0 a1 22 a

1

23 . . . a 1 2n b

1 2

0 a1 32 a

1

33 . . . a 1 3n b 1 3 .. . ... ... . .. ... ... 0 a1

n2 a 1

(114)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Passo 2 (k=2): consiste em introduzir zeros abaixo da diagonal

principal na 2a coluna. Suponha a226= 0. Definimos

(115)

Elimina¸c˜ao de Gauss

mi2 =ai2/a22, i= 3 :n

e assim

para i= 3 :n a(2)_ij =a(1)_ij −mi2 a(1)₂_j

(116)

Elimina¸c˜ao de Gauss

mi2 =ai2/a22, i= 3 :n

e assim

para i= 3 :n a(2)_ij =a(1)_ij −mi2 a(1)₂_j

b(2)_i =b(1)_i −mi2 b(2)1 , j= 2 :n

o que resulta em



     

a11 a12 a13 . . . a1n b1 0 a1

22 a123 . . . a12n b12 0 0 a2₃₃ . . . a2_3n b2₃

..

. ... ... . .. ... ...

0 0 a2_n3 . . . a2_nn b2_n



(117)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Passo 3, Passo 4, ...

Passo k: Considerandoakk6= 0, temos

(118)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Passo 3, Passo 4, ...

Passo k: Considerandoakk6= 0, temos

mik =aik/akk, i=k+ 1 :n

e assim fazemos

para i=k+ 1 :n a(_ijk)=a(_ijk−1)−mik a(_kjk−1)

b(_ik)=b(_ik−1)−mik b(kk−1), j=k:n

(119)

Elimina¸c˜ao de Gauss

No processo de elimina¸c˜ao os elementosa11,a(1)22,a (2) 33,. . .,a

(k−1)

kk que aparecem na diagonal da matrizA s˜ao chamados de pivˆos.

Se os pivôs não se anulam, isto é, se akk6= 0, k= 1 :n, durante o processo, então a elimina¸cão procede com sucesso e por fim chegamos ao seguinte sistema triangular superior



     

a11 a12 a13 . . . a1n−1 a1n b1 0 a1₂₂ a1₂₃ . . . a₂1_n₋₁ a1₂_n b1₂

0 0 a2

33 . . . a23n−1 a23n b23

..

. ... ... . .. ... ...

0 0 0 . . . 0 an_nn−1 bn_n−1



     

(120)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Algoritmo

entrada: matriz A∈_Rn×n_{, vetor}_b_∈_Rn

sa´ıda: vetor solu¸c˜ao x∈Rn

parak= 1 :n−1 fa¸ca parai=k+ 1 :n fa¸ca

m = A(i,k) / A(k,k);

paraj=k+ 1 :nfa¸ca

A(i,j) = A(i,j) - m * A(k,j);

fim-para

b(i) = b(i) - m * b(k);

fim-para fim-para

(121)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Complexidade Computacional

Novamente vamos contabilizar o número de opera¸cões aritméticas de ponto flutuante que são realizadas pelo algoritmo.

Para contar o número de opera¸cões realizadas na elimina¸cão de Gauss, vamos dividir o processo nas seguintes etapas:

(1) A→U: o processo de transformar a matriz A em uma matriz triangular superior U

(2) b→g: modifica¸c˜oes no vetor b

(3) ResolverUx=g usando retro-substitui¸c˜ao

(122)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Novamente vamos contabilizar o número de opera¸cões aritméticas de ponto flutuante que são realizadas pelo algoritmo.

Para contar o número de opera¸cões realizadas na elimina¸cão de Gauss, vamos dividir o processo nas seguintes etapas:

(1) A→U: o processo de transformar a matriz A em uma matriz triangular superior U

(2) b→g: modifica¸c˜oes no vetor b

(3) ResolverUx=g usando retro-substitui¸c˜ao

◮ Já vimos que o número de opera¸cões deste algoritmo én2

No que segue iremos usar

n

X

i=1

i= n(n+ 1) 2

n

X

i=1

(123)

Elimina¸c˜ao de Gauss

(1)A→U

◮ Divis˜oes n−1 X

k=1

n

X

i=k+1 1

!

=

n−1 X

k=1

(n−k)

=n(n−1)− n−1 X

k=1

k

=n(n−1)−n(n−1)

2

(124)

Elimina¸c˜ao de Gauss

(1)A→U ◮ Adi¸c˜oes

n−1

X

k=1

n

X

i=k+1

 

n

X

j=k+1

1

 =

n−1

X

k=1

n

X

i=k+1

(n−k)

!

=

n₋1

X

k=1

(n−k)(n−k)

=

n₋1

X

k=1

(n2−2kn+k2)

=n2(n−1)−2nn(n−1)

2 +

(n₋1)(n₋1+1)(2n₋2+1) 6

=n(n−1)(2n−1)

6

◮ Multiplica¸c˜oes

(125)

Elimina¸c˜ao de Gauss

(2)b→g

◮ Adi¸c˜oes

n₋1

X

k=1

n

X

i=k+1

1

!

=

n₋1

X

k=1

(n−k)

=n(n−1)−

n−1

X

k=1

k

=n(n−1)−n(n−1)

2

= n(n−1)

2

◮ Multiplica¸c˜oes

(126)

Elimina¸c˜ao de Gauss

(Total)

Em cada etapa temos

(1) 2₃n3−n₂2 −n₆

(2) n2−n

Assim nas etapas (1) e (2) temos um total de 2₃n3+n₂2 − 7₆n. Considerando que na etapa de retro-substitui¸c˜ao (3) temosn2

opera¸c˜oes, no total o algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss realiza um total de

2n3

3 +

n2

2 −

7n 6

| {z }

elimina¸c˜ao

+ n2

|{z}

retro-substitui¸c˜ao

= 2n 3

3 +

3n2

2 −

(127)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Para um valor denmuito grande, o algoritmo realiza aproximadamente 2₃n3 opera¸c˜oes de ponto flutuante.

Exemplo

Se um sistema linear tem tamanhon= 100, ent˜ao:

◮ resolver o sistema triangular: 1002= 10 000opera¸cões ◮ elimina¸cão de gauss: 681 550opera¸cões

(128)

Elimina¸c˜ao de Gauss

Mas, e sena etapa kda elimina¸c˜ao de Gauss, o pivˆo for zero?

Isso significa queakk= 0, e assim, ter´ıamos

mik= aik akk

⇒ divis˜ao por zero!

Nesse caso, se um pivˆo for zero, o processo de elimina¸c˜ao tem que parar, ou temporariamente ou permanentemente.

O sistema pode ou n˜ao ser singular.

Se o sistema for singular, i.e, det(A) = 0, e portanto como vimos o sistema não possui uma única solu¸cão.

(129)

Estrat´egia de Pivoteamento

Vamos ilustrar a id´eia do pivoteamento atrav´es de um exemplo. Considere a seguinte matriz.

A=





1 1 1 2 2 5 4 6 8





(130)

Estrat´egia de Pivoteamento

A=





1 1 1 2 2 5 4 6 8





Vamos proceder com a elimina¸c˜ao de Gauss.

m21= 2, a12j =a02j−2 a01j

(131)

Estrat´egia de Pivoteamento

A=





1 1 1 2 2 5 4 6 8





Vamos proceder com a elimina¸c˜ao de Gauss.

m21= 2, a12j =a02j−2 a01j

m31= 4, a13j =a30j−4 a01j, j= 1 : 3

Ent˜ao obtemos





1 1 1 0 0 3 0 2 4



(132)

Estrat´egia de Pivoteamento

No próximo passo, o pivô é a22 e usamos ele para calcularm32.

Entretanto

m32=

a32

a22 = 2

0

(133)

Estrat´egia de Pivoteamento

Entretanto

m32=

a32

a22 = 2

0

Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer?

(134)

Estrat´egia de Pivoteamento

Entretanto

m32=

a32

a22 = 2

0

Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer?

Podemos realizar uma opera¸cão elementar de troca de linhas. Como vimos este tipo de opera¸cão quando realizado em um sistema, não altera a solu¸cão. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.





1 1 1 0 0 3 0 2 4



 ⇒





1 1 1 0 2 4 0 0 3





(135)

Estrat´egia de Pivoteamento

A estrat´egia de pivoteamento ´e importante pois:

◮ evita a propaga¸c˜ao de erros num´ericos

◮ nos fornece meios de evitar problemas durante a elimina¸cão de Gauss quando opivôakk no passo kéigual a zeroe

precisamos calcular o multiplicador

mik = aik akk

Assim, através da troca de linhas, podemos encontrar uma linha de tal forma que o novo pivô é não-zero, permitindo que a elimina¸cão de Gauss continue até obter uma matriz triangular superior.

(136)

Pivoteamento Parcial

No pivoteamento parcial, em cada passok,o pivˆo ´e escolhido

como o maior elemento em m´oduloabaixo de akk (inclusive),

isto ´e

(137)

Pivoteamento Parcial

No pivoteamento parcial, em cada passok,o pivˆo ´e escolhido

como o maior elemento em m´oduloabaixo de akk (inclusive),

isto ´e

Encontrarr tal que: |ark|= max|aik|, k≤i≤n

Feita a escolha do pivˆo, trocamos as linhasr e k e o algoritmo procede.

Isso evita a propaga¸c˜ao de erros num´ericos, pois: ◮ O pivoteamento parcial garante que

|mik| ≤1

◮ Se a

kk for muito pequeno, consequentementemik será muito grande. Dessa forma, após a multiplica¸cão por mik podemos ampliar erros de arredondamento envolvidos no processo. ◮ Também evitamos o erro que pode ser causado quando

(138)

Pivoteamento Parcial

Exemplo

Aplique a elimina¸c˜ao de Gauss com pivoteamento parcial no seguinte sistema:





2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10





A cada passok:

◮ encontrar o pivˆo do passo k ◮ se necess´ario, trocar as linhas ◮ calcular multiplicador m

ik

◮ para i=k+ 1 :n, calcular

a_ij(k) =a_ij(k−1)−mik a(kjk−1)

(139)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.) Passo 1

Escolha do pivˆo: max{2,4,2}= 4. Trocar as linhas 1 e 2.





2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10



 ⇒





4 9 −3 8

2 4 −2 2

−2 −3 7 10



(140)

Pivoteamento Parcial





2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10



 ⇒





4 9 −3 8

2 4 −2 2

−2 −3 7 10





m21= 2/4 = 1/2 ⇒ a21j =a02j−12a 0 1j m31=−2/4 =−1/2 ⇒ a13j =a03j+12a

0

(141)

Pivoteamento Parcial





2 4 −2 2

4 9 −3 8

−2 −3 7 10



 ⇒





4 9 −3 8

2 4 −2 2

−2 −3 7 10





m21= 2/4 = 1/2 ⇒ a21j =a02j−12a 0 1j m31=−2/4 =−1/2 ⇒ a13j =a03j+12a

0

1j, j= 1 : 3





4 9 −3 8

0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14



(142)

Pivoteamento Parcial

Escolha do pivˆo: max{1₂,3₂}= 3₂. Trocar as linhas 2 e 3.





4 9 −3 8

0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14



 ⇒





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 −1₂ −1₂ −2



(143)

Pivoteamento Parcial





4 9 −3 8

0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14



 ⇒





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 −1₂ −1₂ −2





m32=−1₂2₃ =−1₃ ⇒ a23j =a13j+13a 1

(144)

Pivoteamento Parcial





4 9 −3 8

0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14



 ⇒





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 −1₂ −1₂ −2





m32=−1₂2₃ =−1₃ ⇒ a23j =a13j+13a 1

2j, j= 2 : 3





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃



(145)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)

Retro-substitui¸c˜ao





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃



(146)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃





4

(147)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃





4

3x3 = 83 ⇒ x3= 2 3

2x2+ 2 11

(148)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃





4

3x3 = 83 ⇒ x3= 2 3

2x2+ 2 11

2 = 14 ⇒ x2= 2

(149)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)





4 9 −3 8

0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃





4

3x3 = 83 ⇒ x3= 2 3

2x2+ 2 11

2 = 14 ⇒ x2= 2

4x1+ 9(2)−3(2) = 8 ⇒ x1 =−1

(150)

Pivoteamento Parcial

Exemplo (efeitos num´ericos)

Considere o seguinte sistema:

0.0001 1

1 1

x1

x2

=

1 2

Usando um sistema de ponto flutuanteF(10,3,−10,10)(sistema decimal com 3 d´ıgitos na mantissa), com arredondamento, encontre a solu¸c˜ao do sistema usando elimina¸c˜ao de Gauss sem pivoteamento.

Solu¸c˜ao (sem pivoteamento)

Temos que

m21= 1

0.0001 = 10000 ⇒ L

′

(151)

Pivoteamento Parcial

Solu¸c˜ao (sem pivoteamento) - Cont.

0.0001 1 1

0 −10000∗ −10000∗∗

Note que(∗) foi obtido como

1−10000×1 = 0.00001×105−0.10000×105

= 0.09999×105

= (arredondando) = 0.100×105

e de forma an´aloga para(∗∗), temos

2−10000×1 = 0.00001×105−0.10000×105

= 0.09998×105

(152)

Pivoteamento Parcial

Por fim, aplicando a retrosubstitui¸c˜ao obtemos uma

solu¸cão errada, devido aos erros de aritmética em ponto flutuante cometidos em(∗) e(∗∗) durante a soma/subtra¸cão de números muito pequenos com números muito grandes.

(153)

Pivoteamento Parcial

Por fim, aplicando a retrosubstitui¸c˜ao obtemos uma

solu¸cão errada, devido aos erros de aritmética em ponto flutuante cometidos em(∗) e(∗∗) durante a soma/subtra¸cão de números muito pequenos com números muito grandes.

Solu¸c˜ao obtida → xT = 0 1

A solu¸c˜ao exata ´e dada por

(154)

Pivoteamento Parcial

Solu¸c˜ao (com pivoteamento)

0.0001 1 1

1 1 2

⇒

1 1 2

0.0001 1 1

Neste caso, temos:

0.1×10−0.1×10−3 = 0.1×10−0.00001×10 = (arredondando) 0.100×10 0.1×10−0.2×10−3 = 0.1×10−0.00002×10

= (arredondando) 0.100×10

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