Equações de ondas com condições de fronteira da acustica

(1)

Equa¸

c˜

oes de Ondas com Condi¸

c˜

oes de Fronteira da

Ac´

ustica

Andr´

e Vicente

Orientador: Dr. Luis Adauto da Justa Medeiros Co-Orientador: Dr. C´ıcero Lopes Frota

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica, UNICAMP, como requisito para obten¸cão do T´ıtulo de Doutor em Matemática Aplicada.

(2)

(3)

    ! " # $%&( * &(+ , ! " --*. /0121113 #4541 6 7!89 :; 7.= >?@ A-BC $*. D 9* $; *.&E;+ 1 51 $%&E 1 #1 &( + , 1 D1 9 7 ! 81 DD1 = ; 7.1 DDD1 BC $*.1D9* $; *.&E;+ 1D1>;1 >;*FGIC%JK L 2C - KC*FG?MLJ A51IC%1#1! L 1 N &E! >&E@ *9* !. O* 2 +1@ 17!89 ?D9$-BPD!92A 2 +1@ 18"7 ?D9$-BPD!92A 2 +1@ 19 9 0?D9$-BPD!92A 2 +1@ 1Q F R?B==A 2 +1@ 187;* = ?B==A @+5S4S#454 2 F *2-T &E@ *9* !.

(4)

(5)

Agradecimentos

Aos meus orientadores C´ıcero Lopes Frota e Luis Adauto da Justa Medeiros pela excelente orienta¸c˜ao, aten¸c˜ao e disponibilidade.

A Professora Sˆonia Maria Gomes pelo apoio junto ao IMECC.

A minha esposa, Daniela Maria Grande, pelo incentivo, compreens˜ao e carinho.

Aos amigos Marcos André Verdi e Fernando Pereira de Souza pela agradável convivência e companheirismo.

A minha fam´ılia pelo apoio sempre que necess´ario.

(6)

Resumo

Neste trabalho estudamos a resolubilidade de alguns problemas de valores iniciais e de fronteira, envolvendo equa¸cões de ondas com Condi¸cões de Fronteira da Acústica. Inicial-mente, provamos a existência e unicidade de solu¸cão para dois problemas com a formula¸cão clássica, introduzida por Beale e Rosencrans [5] (considerando que a fronteira é localmente reagente). Posteriormente provamos resultados para problemas envolvendo uma formula¸cão das condi¸cões de fronteira em que consideramos o caso de fronteira não localmente reagente. Para os resultados de existência de solu¸cão usamos o método construtivo de Faedo-Galerkin e argumentos de compacidade. Resultados sobre o decaimento de solu¸cão baseam-se no método de Nakao.

(7)

Abstract

In this work we study the resolubility of some problems for wave equations with Acoustic Boundary Conditions. Firstly, we prove the existence and uniqueness of solution for two prob-lems with classical formulation due to Beale and Rosencrans [5] (considering locally reacting boundary). After we prove some results to initial boundary value problems for no locally reacting boundaries. The results on the existence of solutions were obtained by using the con-structive Faedo-Galerkin’s method and compactness arguments. Results on the assymptotic behavior of solutions was given by Nakao’s method.

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Motiva¸c˜ao F´ısica 5

1.1 Movimento de Ondas Ac´usticas . . . 5

1.2 Condi¸c˜oes de Fronteira da Ac´ustica . . . 11

1.3 Condi¸cões de Fronteira da Acústica para Fronteira não Localmente Reagente . 12 2 Fronteira Localmente Reagente 15 2.1 Um Sistema Hiperbólico do Tipo Klein-Gordon com Condi¸cões de Fronteira da Acústica . . . 16

2.2 Equa¸cão de Ondas com Condi¸cões de Fronteira da Acústica/Memória . . . 28

3 Fronteira n˜ao Localmente Reagente 41 3.1 Alguns Conceitos de Geometria Diferencial . . . 42

3.2 Espa¸cos de Sobolev sobre um Aberto de Γ . . . 49

3.3 Existˆencia, Unicidade e Decaimento para a Equa¸c˜ao de Ondas Linear . . . 56

3.4 Resolubilidade Global para a Equa¸c˜ao de Carrier . . . 72

3.5 Condi¸c˜ao de Impenetrabilidade n˜ao linear . . . 83

4 Conclus˜ao 95

(9)

Introdu¸

c˜

ao

O grande desenvolvimento tecnológico dos últimos anos, com computadores e esta¸cões de trabalho de alta capacidade, tem impulsionado significativamente o estudo das equa¸cões diferenciais parciais, por meio do estudo de modelos ligados as aplica¸cões nas mais diversas ´

areas do conhecimento. Segundo as leis da F´ısica e um conjunto de dados observados experi-mentalmente, formulam-se os modelos que, de modo geral, matematicamente, constituem-se em problemas cuja solu¸cão é uma fun¸cão. Após uma análise matemática criteriosa, tais mo-delos são computacionalmente implementados e por meio de resultados numéricos fornecem simula¸cões e conclusões sobre a realidade. A análise Matemática de modelos constitui-se de um estudo qualitativo. É fundamental estabelecer condi¸cões para a existência e unicidade de solu¸cão para os problemas formulados, bem como, obter informa¸cões sobre o comportamento destas solu¸cões. É neste contexto que enquadramos este trabalho.

Ao longo das últimas décadas, diversos trabalhos tratam problemas envolvendo equa¸cões de ondas com condi¸cões de fronteira homogêneas. No entanto, condi¸cões de fronteira depen-dendo do tempo (que variam com o tempo) tornam-se mais interessantes quando se trata de aplica¸cões concretas. Neste sentido J. T. Beale e S. I. Rosencrans [5], introduziram ao estudo de propaga¸cão de ondas uma classe de condi¸cões de fronteira, atualmente conhecidas como Condi¸cões de Fronteira da Acústica. A idéia central para a formula¸cão deste modelo é imagi-nar um ambiente com uma propaga¸cão de ondas e considerar que cada ponto da fronteira do ambiente reage as tensões da onda, isoladamente, como uma mola (neste caso a fronteira é dita localmente reagente), ou seja, age como um oscilador harmônico resistivo. Vários artigos apresentam estudos qualitativos para problemas hiperbólicos com estas condi¸cões de fronteira. Posteriormente, Beale publicou dois trabalhos tratando destas condi¸cões. Em [3] foram

(10)

obti-das propriedades espectrais e em [4] foram considerados dom´ınios exteriores. O primeiro artigo considerando uma equa¸cão não linear foi Frota-Goldstein [19], onde os autores trabalharam com o modelo de Carrier e termo dissipativo, ou seja, a equa¸cão

utt− M Z Ω u2dx ∆u + µ_|ut|αut = 0

em Ω_{× (0, ∞) e Condi¸c˜oes de Fronteira da Ac´ustica sobre Γ. Nesse trabalho, inicialmente,} eles consideraram a fronteira constitu´ıda de duas partes com medida positiva, Γ = Γ0∪ Γ1,

com Γ0∩ Γ1 = ∅. Sobre Γ0 foi colocada a condi¸c˜ao homogˆenea de Dirichlet e sobre Γ1 as

condi¸cões da acústica. Desta forma, provou-se que o problema é bem posto, ou seja, obteve-se a existência e unicidade de solu¸cão e também a sua dependência cont´ınua em rela¸cão aos dados iniciais. Num segundo momento, por um processo limite, tratou-se do problema quando as Condi¸cões de Fronteira da Acústica estão postas sobre toda a fronteira de Ω. Outros resultados são encontrados em [15], [16], [25], [34], [37] e [39].

Neste trabalho estudamos problemas envolvendo equa¸cões de evolu¸cão com Condi¸cões de Fronteira da Acústica.

O primeiro problema trata-se de um sistema do tipo Klein-Gordon, com termo não linear generalizado e condi¸cões homogêneas de Dirichlet sobre uma parte da fronteira (ver [20]). Este sistema generaliza o modelo que descreve as intera¸cões entre dois campos eletromagnéticos. Provamos a existência de solu¸cão global fraca sem fazer restri¸cão na dimensão n do espa¸co e com condi¸cões de crescimento sobre a não linearidade, bem como, a existência e unicidade de solu¸cão global forte quando n _{≤ 2. Estas restri¸cões foram necessárias para a utiliza¸cão dos} resultados de imersão de Sobolev ao lidar com os termos não lineares.

No segundo problema, analisamos a combina¸cão das condi¸cões da acústica com uma condi¸cão não homogênea do tipo memória, ou seja, sobre uma parte da fronteira conside-ramos as condi¸cões da acústica e sobre outra parte colocamos um efeito de memória. Como o interesse foi analizar a intera¸cão entre as duas condi¸cões de fronteira, sobre o dom´ınio, con-sideramos uma equa¸cão de ondas, linear. Neste caso provamos a existência e unicidade de solu¸cão global.

Apresentamos também um estudo considerando que os pontos de parte da fronteira vi-brem, não isoladamente como uma mola, e sim como uma membrana elástica, quando ela é

(11)

afetada pela tensão exercida pela propaga¸cão interior ao se chocar com a fronteira. Para isto, obviamente, parte da fronteira deve ser não r´ıgida. Chamamos estas condi¸cões de Condi¸cões de Fronteira da Acústica para fronteira não localmente reagente e veremos que ela é, num certo sentido, uma generaliza¸cão das condi¸cões da acústica formuladas por Beale e Rosencrans [5]. Desta forma, destinamos um cap´ıtulo, Cap´ıtulo 3, ao estudo de problemas com fronteira não localmente reagente.

Para facilitar a leitura do trabalho, iniciamos o Cap´ıtulo 3 fazendo um breve relato dos obje-tos geométricos utilizados, e também sobre os Espa¸cos de Sobolev definidos sobre variedades, ambiente natural para se trabalhar, quando considera-se estas condi¸cões de fronteira. Após estabelecer os elementos teóricos necessários, provamos a existência e unicidade de solu¸cão global para um problema misto associado a uma equa¸cão de ondas, linear, com termo dissipa-tivo e, utilizando as técnicas de Nakao [35], [36], provamos o decaimento uniforme da Energia associada ao problema. Posteriormente, consideramos a equa¸cão de Carrier (equa¸cão de on-das, não linear) com estas mesmas condi¸cões de fronteira e provamos a existência e unicidade de solu¸cão global emt. Finalizamos o cap´ıtulo com o estudo de um problema com condi¸cão de impenetrabilidade não linear. Ou seja, na formula¸cão das Condi¸cões de Fronteira da Acústica surge uma equa¸cão, chamada de condi¸cão de impenetrabilidade da fronteira, que é conside-rada linear. Supondo uma condi¸cão mais geral, não linear, provamos a existência de solu¸cão, condicionado a hipótese de dados iniciais pequenos.

As demonstra¸cões sobre a existência de solu¸cões, seguem o método construtivo de Faedo-Galerkin, o qual consiste em resolver problemas aproximados, em espa¸cos de dimensão finita, para posteriormente passar ao limite e obter a solu¸cão do problema original, como limite de uma sequência formada pelas solu¸cões dos problemas aproximados. No intuito de tornar este trabalho mais completo e apresentar a motiva¸cão f´ısica para o estudo realizado, no Cap´ıtulo 1, apresentamos o modelo linear que é utilizado no estudo de propaga¸cão de ondas acústicas em fluidos (ver Morse-Ingard, [33]). Descrevemos as Condi¸cões de Fronteira da Acústica formulada por Beale e Rosencrans e também o que se entende por Condi¸cões de Fronteira da Acústica para fronteira não localmente reagente.

Resumidamente, os resultados est˜ao organizados da seguinte forma: No Cap´ıtulo 1, como descrito acima, apresentamos a motiva¸c˜ao f´ısica para os problemas abordados. No Cap´ıtulo

(12)

2, provamos a existência e unicidade de solu¸cão global para o sistema de Klein-Gordon, e também, para a equa¸cão linear com condi¸cões da acústica sobre uma parte da fronteira e com termo de memória sobre outra parte. O Cap´ıtulo 3 é destinado ao estudo das Condi¸cões de Fronteira da Acústica para fronteira não localmente reagente.

(13)

Cap´ıtulo 1

Motiva¸

c˜

ao F´ısica

A obten¸cão de resultados referente a Equa¸cões Diferenciais Parciais torna-se interessante quando o modelo estudado reflete um fato de interesse prático. As Condi¸cões de Fronteira da Acústica, formuladas por Beale e Rosencrans [5], vão de encontro a esse propósito, e sua caracteriza¸cão está associada ao estudo do movimento de ondas acústicas em fluidos. Para tornar este trabalho mais completo, este cap´ıtulo foi acrescentado para mostrar a motiva¸cão f´ısica envolvendo os problemas abordados. Para maiores detalhes veja Beale-Rosencrans [5] e Morse-Ingard [33].

1.1 Movimento de Ondas Ac´

usticas

Nesta se¸cão apresentamos a equa¸cão linear que modela o movimento de ondas de som, de pequenas amplitudes, em um fluido, denominada equa¸cão de Ondas Acústicas. Ondas de Som são ondas longitudinais. Ao contrário de vibra¸cão de uma corda (em que são estudados ondas transversais) onde o material transmitindo a onda move-se na dire¸cão perpendicular à dire¸cão de propaga¸cão da onda, no caso de ondas longitudinais as moléculas do fluido movem-se na dire¸cão de propaga¸cão da onda. Assim não existe alternância entre “picos”e “vales”, mas sim entre compressão e rarefa¸cão. Estudamos aqui o movimento de ondas de som planas, ondas possuindo a mesma dire¸cão de propaga¸cão em todo o espa¸co.

(14)

equi-l´ıbrio termodinˆamico, exceto pelo movimento causado pelas ondas de som, e com movimento suficientemente pequeno para que efeitos n˜ao lineares sejam desprezados.

Denotemos por ρ0 a densidade uniforme do fluido e por p0 a press˜ao uniforme exercida

sobre o fluido em estado de equil´ıbrio. Com a presen¸ca de ondas de som há mudan¸cas na densidade, pressão e temperatura do fluido. As mudan¸cas na pressão são usualmente mais fáceis de serem medidas, o que não ocorre com a densidade e a temperatura, estas sendo calculadas apartir da pressão.

Se a mudan¸ca de pressão causada pelo som é p (a pressão acústica), comp << p0, então

a pressão total com a presen¸ca de som é p0+p, e se a mudan¸ca na densidade do fluido é ρ,

com ρ << ρ0, então a densidade com a presen¸ca do som seráρ0+ρ, onde ρ está relacionado

com p pela equa¸c˜ao

ρ = kρ0p, (1.1)

sendo k a constante de compressibilidade do fluido.

Para elaborar o modelo utiliza-se a descri¸cão de Euler, que consiste em fixar um sistema de coordenadas no espa¸co e descrever as propriedades do fluido que acontecem num pontox no instante de tempo t. Desta forma, as grandezas envolvidas (como densidade, pressão ou velocidade) são fun¸cões de x e t.

Adicionamos à nossa discussão o princ´ıpio segundo o qual o que ocorre numa parte do fluido afeta o que ocorre em outra parte. Expressamos numa equa¸cão o fato de que o fluxo que cruza uma região fechada no fluido produz uma mudan¸ca nas propriedades do fluido dentro da região.

Suponha quef é alguma propriedade do fluido (como, por exemplo, densidade) que pode ser carregada quando o fluido se move. Denotamos porv(x, t) a velocidade do fluido em x no instante de tempo t. Para situa¸cões unidimensionais, onde f e v dependem de x e t, o fluxo de f é a quantidade total de f que passa, por segundo, na dire¸cão positiva dex, através de uma se¸cão transversal, com área unitária, perpendicular a x. Se f viaja com o fluido, este fluxo J(x, t) será igual ao produto def por v,

(15)

O fluxoJ(x, t) representa um ganho e J(x + dx, t) uma perda de f na regi˜ao (Figura 1.1).

Figura 1.1: Fluxo num elemento de Fluido.

A diferen¸ca entre as duas deve ser igual à taxa de varia¸cão, com o tempo, def no elemento de fluido. Assim a taxa de mudan¸ca de f nessa região é

∂f

∂tdx = −J(x + dx, t) + J(x, t) = − ∂J

∂xdx +O(dx

2_),

onde_O(dx2) representa o termo de ordem dx2. Portanto, ∂f ∂t =− ∂J ∂x =− ∂ ∂x(f v).

Esta equa¸cão estabelece que qualquer acréscimo em f , na região, deve ser trazida pelo fluxo do fluido e é denominadaEqua¸cão de Continuidade .

Se f = ρ0+ρ ent˜ao obtemos ∂ρ ∂t =−(ρ0+ρ) ∂v ∂x − v ∂ρ ∂x. (1.2)

Não é dif´ıcil generalizar estas idéias para três dimensões. De fato, seja f (r, t) alguma propriedade do fluido, em fun¸cão da posi¸cão r = (x, y, z) _{∈ R}3 _{e de} _{t. Denotemos por v =}

(16)

(v1, v2, v3) a velocidade do fluido em r. O fluxo def ´e J(r, t) = f (r, t)v(t) := (J1(r, t), J2(r, t),

J3(r, t)). Tem-se que a varia¸c˜ao de fluxo no elemento de volume dxdydz ´e

dydz∂J1 ∂xdx + dxdz ∂J2 ∂ydy + dxdy ∂J3 ∂z dz = div (J) dxdydz, assim a equa¸c˜ao de continuidade torna-se

∂f

∂t =−div (J) = −div (fv) = −fdiv v − v · ∇f. Quandof = ρ0+ρ, obtem-se

∂ρ

∂t =−(ρ0+ρ)div v− v · ∇ρ. (1.3)

Suponha que o fluido seja não viscoso e tenha condutividade de calor zero. Assim a única energia envolvida no movimento acústico é mecânica, e há somente for¸cas de compressibilidade elástica.

Obteremos agora a equa¸cão que modela o movimento de ondas acústicas em uma dimensão. Na presen¸ca do som a pressão torna-se p0 +p(x, t), com x ∈ R e t > 0, sendo a onda

unidimensional, as wavefronts s˜ao planas e paralelas ao planoyz.

A densidade torna-se ρ0 +ρ(x, t) sobre todo o plano `a distˆancia x a partir do plano yz.

Ondas desse tipo são chamadas de ondas planas. Assim, a mudan¸ca de pressão, chamada de acústica ou pressão do som, é responsável pelo movimento do fluido.

A for¸ca no elemento de fluido, de massa (ρ0+ρ)dx, envolvido entre duas superf´ıcies planas,

com área unitária, num pontox e outro em x+dx, é p(x, t)_{−p(x+dx, t), que é igual ao produto} da massa do fluido pela acelera¸cão. Suponha que a posi¸cão de cada part´ıcula é uma fun¸cão derivável do tempo, isto é, x = x(t), com x derivável. Denotando por v(x, t) a velocidade do fluido no pontox no instante de tempo t, então teremos que dv

dt(x(t), t) ´e a acelera¸c˜ao do fluido emx no instante de tempo t. Logo

−∂p ∂x(x(t), t)dx +O(dx 2_{) =}_{p(x(t), t)} − p(x(t) + dx, t) = d dt[v(x(t), t)] [ρ0+ρ(x(t), t)]dx = ∂v ∂x(x(t), t)x ′ (t) +∂v ∂t(x(t), t) [ρ0+ρ(x(t), t)]dx. (1.4)

(17)

Substituindo a equa¸c˜ao ∂ ∂xv 2_{(x, t) = 2}∂v ∂x(x, t)v(x, t) em (1.4), tem-se ∂p ∂x(x, t) =−(ρ0+ρ(x, t)) 1 2 ∂v2 ∂x(x, t) + ∂v ∂t(x, t) . (1.5)

Por outro lado, da equa¸c˜ao (1.2) e lembrando queρ = ρ0kp (equa¸c˜ao (1.1)), tem-se que

ρ0k ∂p ∂t(x, t) =−ρ0(1 +kp(x, t)) ∂v ∂x(x, t)− ρ0kv(x, t) ∂p ∂x(x, t). (1.6)

Como mencionado anteriormente, admitimos queρ e p possuem valores pequenos se comparar-mos comρ0ep0. Assim, a equa¸cão para o movimento de ondas acústicas é obtida desprezando

os termos de segunda ordem em (1.5) e (1.6), ent˜ao chegamos a ∂p ∂x =−ρ0 ∂v ∂t e k ∂p ∂t =− ∂v ∂x. (1.7)

Diferenciando a primeira equa¸cão relativamente a x e a segunda a t, obtemos a Equa¸cão do Movimento Acústico (de primeira ordem),

∂2_p ∂t2 = 1 kρ0 ∂2_p ∂x2. (1.8)

Diferenciando a primeira equa¸cão em (1.7) relativamente at e a segunda a x, obtemos que v também deve satisfazer a equa¸cão de ondas, isto é,

∂2_v ∂t2 = 1 kρ0 ∂2_v ∂x2. (1.9)

Para extender estas idéias para três dimensões considere v(r, t) = (v1(r, t), v2(r, t), v3(r, t))

como sendo a velocidade em r = (x, y, z) _{∈ R}3, no instante de tempo t. Denotemos por ρ(r, t) _{∈ R}+ _{e por} _{p(r, t)}

∈ R a densidade e a pressão em (x, y, z) no instante de tempo t, respectivamente. Suponha que a posi¸cão de cada part´ıcula é uma fun¸cão derivável do tempo, isto é, r(t) = (x(t), y(t), z(t)), com x, y, z deriváveis. Considerando cada uma das 3 dire¸cões coordenadas de R3_{, fazendo interpreta¸c˜}_{ao an´}_{aloga `}_{a (1.4), obtem-se a equa¸c˜}_ao

(ρ0+ρ)

dv

(18)

Derivando v(r(t), t) = v(x(t), y(t), z(t), t) relativamente a t e desprezando os termos de se-gunda ordem, segue que

ρ0

∂v

∂t =−∇p. (1.10)

Por outro lado, de (1.3) e como ρ = kρ0p, tem-se que

kρ0

∂p

∂t =−ρ0(1 +kp)div v− kρ0v· ∇p. (1.11)

Desprezando os termos de segunda ordem, obtem-se k∂p

∂t =−div v. (1.12)

Tomando o divergente na equa¸c˜ao (1.10) e usando (1.12) para eliminar v, tem-se que ∆p = div_{∇p = −ρ}0

∂

∂tdiv v =ρ0k ∂2p ∂t2,

que é a equa¸cão de ondas. Ou seja, a pressão acústica deve satisfazer a equa¸cão ∂2_p

∂t2 −

1 ρ0k

∆p = 0. (1.13)

Podemos expressar v e p em termos de uma única fun¸cão, u, com valores escalares. De fato, suponha que o campo vetorial, definido pela velocidade do fluido v, é conservativo. Assim existe uma fun¸cão com valores escalares,u, tal que

v=_−∇u, (1.14)

u ´e denominadavelocidade potencial do fluido. Disso e de (1.10) segue que

p = ρ0

∂u

∂t, (1.15)

disso, (1.12) e (1.14) conclu´ımos que a velocidade potencial tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao de ondas, ou seja, ∂2_u ∂t2 − 1 kρ0 ∆u = 0,

(19)

1.2 Condi¸

c˜

oes de Fronteira da Ac´

ustica

Em 1974, Beale e Rosencrans [5] introduziram as Condi¸cões de Fronteira da Acústica no estudo de propaga¸cão de ondas acústicas sob aspectos da Análise Matemática. Eles conside-raram que a velocidade potencial de um fluido, confinado no interior de um dom´ınio Ω_{⊂ R}3, o qual está sujeito ao movimento de ondas acústicas, exerce pressão sobre a fronteita Γ de Ω e esta reage localmente. Entende-se por fronteira localmente reagente, superf´ıcies tais que

cada um de seus pontos, age à pressão do som, de modo independente um do outro, como um oscilador harmônico. Superf´ıcies localmente reagentes são relatadas em Morse-Ingard [33].

Neste caso, a formula¸cão das Condi¸cões de Fronteira da Acústica são descritas como segue. Seja Ω _{⊂ R}3 _{um dom´ınio limitado com um fluido em seu interior, o qual est´}_{a em repouso,}

exceto pela presen¸ca de ondas acústicas. Seu(x, t) é a velocidade potencial do fluido, ou seja, −∇u(x, t) é a velocidade da part´ıcula, então u satisfaz

utt− c2∆u = 0 em Ω× (0, ∞).

Suponha que a fronteira, Γ, de Ω ´e n˜ao r´ıgida. Admita que cada ponto de Γ reage localmente `

a pressão causada pela onda acústica como uma mola. Então denotando por δ(x, t) o deslo-camento na dire¸cão normal à fronteira do pontox no instante de tempo t, δ deve satisfazer a equa¸cão

mδtt(x, t) + dδt(x, t) + kδ(x, t) =−p(x, t) em Γ × (0, ∞), (1.16)

onde m, k > 0, d_{≥ 0 são constantes e p(x, t) é a pressão acústica no ponto x no instante de} tempot. Denotando por ρ0 a densidade uniforme do fluido em repouso, então, de acordo com

(1.15), temos que p(x, t) = ρ0ut(x, t). Substituindo em (1.16) chegamos a

mδtt(x, t) + dδt(x, t) + kδ(x, t) =−ρ0ut(x, t) em Γ× (0, ∞). (1.17)

Neste modelo considera-se também uma condi¸cão de impenetrabilidade da fronteira, isto é, admite-se que há compatibilidade entre a velocidade normal da fronteira, δt(x, t), com a

ve-locidade normal do fluido. Assim δt(x, t) =

∂u

(20)

onde ν ´e o vetor normal unit´ario exterior a Ω. Note que ∂u

∂ν =∇u · ν = −v · ν, onde v ´e a velocidade do fluido. Portanto ₋∂u

∂ν é a componente normal da velocidade do fluido. As equa¸cões (1.17) e (1.18) são chamadas de Condi¸cões de Fronteira da Acústica.

1.3 Condi¸

c˜

oes de Fronteira da Ac´

ustica para Fronteira

n˜

ao Localmente Reagente

Na se¸cão anterior onde foram descritas as Condi¸cões de Fronteira da Acústica, uma hipótese fundamental para a formula¸cão das equa¸cões foi que a fronteira seja localmente rea-gente e, portanto, cada ponto age, de modo independente um do outro, como um oscilador harmônico. Assim a intera¸cão entre os pontos da fronteira foi desprezada.

Neste trabalho também consideramos problemas em que parte da fronteira não é localmente reagente, mais precisamente, provamos a resolubilidade para problemas que possuem a seguinte motiva¸cão f´ısica: Seja Ω _{⊂ R}3 _{um aberto, conexo, limitado, bem regular. Isto significa que}

a fronteira Γ de Ω é uma variedade C∞, compacta, de dimensão 2, sem fronteira, estando Ω localmente do mesmo lado de Γ (Γ é uma superf´ıcie regular, compacta, sem fronteira em R3_).

Sejam Γ1 ⊂ Γ um aberto de Γ e Γ0 = Γ\Γ1, tais que Γ1 se comporta como uma membrana

elástica refletora e Γ₀ uma parte r´ıgida absorvente. Suponha que a região Ω esteja repleta de um fluido sob a a¸cão de ondas acústicas e queu = u(x, t) represente a velocidade potencial do fluido no ponto x _{∈ Ω, no instante de tempo t. Então u deve satisfazer a equa¸cão de ondas.} Se δ = δ(x, t) descreve o deslocamento, na dire¸cão normal à fronteira, do ponto x _{∈ Γ}1 no

instante de tempot e, Γ1não é localmente reagente, entãoδ deve satisfazer uma equa¸cão que

esteja definida somente sobre a fronteira, cujo comportamento depende da elasticidade desta fronteira e do efeito da pressão exercida pela propaga¸cão interior ao se chocar com a fronteira. Esta proposta esta claramente ligada a uma situa¸cão prática. Suponha que em uma sala há uma fonte de som e que numa parte das paredes há absor¸cão de som, ou seja,u = 0 em Γ0,

e que o restante da parede vibre como uma membrana. A equa¸c˜ao envolvendo δ ir´a modelar o comportamento de Γ1.

(21)

aspec-tos sobre geometria diferencial. Para tornar o texto mais completo, na se¸cão 3.1 apresentamos um breve apanhado destes conceitos e na se¸cão 3.2 descrevemos os Espa¸cos de Sobolev definidos sobre variedades, ambiente natural para tratar as condi¸cões de fronteira neste caso.

(22)

Cap´ıtulo 2

Fronteira Localmente Reagente

Como mencionado na introdu¸cão, neste cap´ıtulo estabelecemos condi¸cões para a obten¸cão de existência e unicidade de solu¸cão para dois problemas hiperbólicos com as Condi¸cões de Fronteira da Acústica. O primeiro trata-se de um sistema do tipo Klein-Gordon, com termo não linear generalizado (ver [20]). No segundo problema consideramos a equa¸cão de ondas linear com condi¸cões da acústica sobre uma parte da fronteira e uma condi¸cão do tipo memória sobre outra parte.

Em todo este cap´ıtulo, Ω_{⊂ R}n é um aberto, limitado, conexo com fronteira bem regular. Denotamos sua fronteira por Γ. Sejamν o vetor unitário, normal, exterior a Γ,T um número real positivo, Q = Ω_{× (0, T ) o cilindro em R}n+1 e Σ = Γ_{× (0, T ) sua fronteira.}

O produto interno e norma emL2_{(Ω) e}_L2_{(Γ) s˜}_{ao denotados, respectivamente, por}

(u, v) = Z Ω u(x)v(x) dx ; _{|u| =} Z Ω|u(x)| 2 dx 1 2 ; (δ, θ)_Γ = Z Γ δ(x)θ(x) dΓ ; _|δ|Γ = Z Γ|δ(x)| 2_dΓ 1 2 . Se _{O ⊂ Γ, ent˜ao denotaremos o produto interno e norma em L}2(_{O) por}

(δ, θ)_O = Z O δ(x)θ(x) dΓ ; _|δ|O = Z O|δ(x)| 2_dΓ 1 2 . Denotamos por γ0 :H1(Ω)→ H 1 2(Γ) eγ₁:H(∆, Ω)→ H− 1 2(Γ)

(23)

as aplica¸c˜oes tra¸co de ordem zero e tra¸co da derivada normal, respectivamente, ondeH(∆, Ω) = {u ∈ H1_{(Ω); ∆u}

∈ L2_(Ω)

} com norma kukH(∆,Ω) =

kuk2 H1_(Ω)+|∆u|2 1 2 (ver [31], p´agina 126). Seja Γ0⊂ Γ, com medida positiva, consideramos tamb´em o espa¸co

V =_{{u ∈ H}1(Ω);γ0(u) = 0 q.s. em Γ0}. (2.1)

Ent˜aoV ´e um subespa¸co fechado de H1_{(Ω) e a desigualdade de Poincar´}_{e vale em}_{V . O produto}

interno e norma emV s˜ao denotados, respectivamente, por:

((u, v)) = n X i=1 Z Ω ∂u ∂xi (x)∂v ∂xi (x) dx, _{kuk =} n X i=1 Z Ω ∂u ∂xi (x) 2 dx !1 2 . (2.2)

Note que vale a f´ormula de Green:

(_{−∆u, v) = ((u, v)) − hγ}1(u), γ0(v)i_H− 1

2(Γ)×H12(Γ), ∀ u ∈ H(∆, Ω), ∀ v ∈ V,

(ver [31], p´agina 151).

2.1 Um Sistema Hiperb´

olico do Tipo Klein-Gordon com

Condi¸

c˜

oes de Fronteira da Ac´

ustica

Nesta se¸c˜ao suponha que a fronteira Γ, de Ω, est´a particionada em Γ = Γ0∪ Γ1, tal que

Γ0∩ Γ1 = ∅ e Γ0, Γ1 possuam medidas positivas. Agora consideramos o problema de valor

inicial e de fronteira para o sistema hiperb´olico, n˜ao linear, do tipo Klein-Gordon:

u′′_{− ∆u + |v|}ρ+2_|u|ρu = F1 em Ω× (0, T ), (2.3)

v′′_{− ∆v + |u|}ρ+2_|v|ρv = F2 em Ω× (0, T ), (2.4)

com condi¸c˜oes de fronteira:

u = v = 0 em Γ0× (0, T ), (2.5) u′+f1δ′′+g1δ′+h1δ = 0 em Γ1× (0, T ), (2.6) v′+f2θ′′+g2θ′+h2θ = 0 em Γ1× (0, T ), (2.7) ∂u ∂ν =δ ′_, ∂v ∂ν =θ ′ _{em Γ} 1× (0, T ), (2.8)

(24)

e dados iniciais: u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x) em Ω, (2.9) u′(x, 0) = u1(x), v′(x, 0) = v1(x) em Ω, (2.10) δ(x, 0) = δ0(x), θ(x, 0) = θ0(x) em Γ1, (2.11) δ′(x, 0) = ∂u0 ∂ν (x), θ ′ (x, 0) = ∂v0 ∂ν(x) em Γ1, (2.12) onde ′ = ∂ ∂t, ∆ = n X i=1 ∂2 ∂x2 i ´e o operador de Laplace, Fi : Ω× (0, T ) → R, fi, gi, hi : Γ1 → R,

i = 1, 2, u0, v0, u1, v1: Ω→ R, δ0, θ0: Γ1→ R s˜ao fun¸c˜oes dadas.

O caso particularρ = 0 em (2.3)-(2.4), isto ´e,

u′′_{− ∆u + α}2u + g2v2u = 0, (2.13)

v′′_{− ∆v + β}2v + g2u2v = 0, (2.14)

foi introduzido por Segal [41] como um modelo que descreve as intera¸cões de campos eletro-magnéticos u, v com massas α, β, respectivamente, de constante intera¸cão g. Este sistema generaliza o caso escalar, que na literatura é chamado de equa¸cão de Klein-Gordon. Em Medeiros-Menzala [29], foi considerado o problema misto para o sistema (2.13)-(2.14) com condi¸cões de Dirichlet em toda a fronteira Γ e a resolubilidade global fraca foi estabelecida quando a dimensão espacial satisfazn_{≤ 3.}

O caso generalizado, isto é, o sistema (2.3)-(2.4), também com condi¸cões de Dirichlet sobre toda a fronteira Γ, foi considerado em Medeiros-Milla Miranda [30], onde os autores provaram a existência de solu¸cão global fraca quando n = 1, 2 e ρ > _{−1 ou quando n ≥ 3 e} −1 < ρ < 4

n_{− 2}. Além disso, a unicidade de tal solu¸cão fraca foi provada quando n = 1, 2 e ρ_{≥ 0, e também quando n = 3 e ρ = 0. Quando n ≥ 4, o método utilizado pelos autores é} inconclusivo.

Um sistema com k equa¸cões, k _{≥ 2, com termo não linear do tipo de (2.13)-(2.14) foi} estudado em Frota-Cousin-Larkin [15], onde eles consideraram condi¸cões de fronteira do tipo (2.5)-(2.8) e provaram a existência de solu¸cão global fraca para todo n _{≥ 1, a existência} e unicidade de solu¸cão global forte quando n _{≤ 3 e também o decaimento exponencial da} energia.

(25)

Nesta se¸cão provamos a existência de solu¸cão global fraca para o problema (2.3)-(2.10) para _{−1 < ρ ≤} 4− n

n_{− 2} quando n ≥ 3, ou −1 < ρ quando n = 1, 2. Além disso, se n = 1, 2 e ρ > 0 provamos a existência e unicidade de solu¸cão global forte.

O resultado de existência de solu¸cão global fraca está baseado no seguinte lema, devido a Strauss (ver Medeiros [28] página 27, e Strauss [42]).

Lema 2.1 (Strauss) Sejam S _{⊂ R}n_{um conjunto aberto e limitado e (U}

m)m∈N uma sequência de fun¸cões mensuráveis definida em S sobre R2_{. Admita que g : R}2

→ R e h : R2

→ R

satis-fa¸cam:

(i) g ´e limitada sobre todo subconjunto B _{⊂ R}2 _{onde h ´e limitada.}

(ii) g(Um) :S → R e h(Um) :S → R são fun¸cões mensuráveis e existe uma constante c > 0, tal que

Z

S|g(U

m(z))||h(Um(z))| dz ≤ c, para todo m ∈ N.

(iii) g(Um)→ v q. s. em S. Ent˜ao a fun¸c˜ao v_{∈ L}1_(S)_{e g(U}

m)→ v em L1(S).

Agora iremos definir o que entendemos por solu¸c˜ao fraca e solu¸c˜ao forte para o sistema (2.3)-(2.10).

Defini¸cão 2.1 Dizemos que (u, v, δ, θ) é uma solu¸cão fraca para (2.3)-(2.10) se u, v : Q_{→ R} e δ, θ : Σ1→ R estão na classe u, v_{∈ L}∞(0, T ; V ) ; u′, v′ _{∈ L}∞"0, T ; L2(Ω); δ, θ, δ′, θ′ _{∈ L}∞"0, T ; L2(Γ1) ;

satisfazem as identidades, no sentido de _D′_{(0, T ),} _{para todo ω}

∈ V ∩ L∞_(Ω)_{e z} ∈ L2_(Γ 1) : d dt(u ′_{(t), ω) + ((u(t), ω))} − (δ′_{(t), γ} 0(ω))Γ1+ " |v(t)|ρ+2 |u(t)|ρ u(t), ω= (F1(t), ω) ; d dt(v ′_{(t), ω) + ((v(t), ω))} − (θ′_{(t), γ} 0(ω))_Γ₁+ " |u(t)|ρ+2 |v(t)|ρ v(t), ω= (F2(t), ω) ;

(26)

d dt(γ0(u(t)) + f1δ ′ (t), z)_Γ₁+ (g1δ′(t) + h1δ(t), z)Γ1 = 0; d dt(γ0(v(t)) + f2θ ′_{(t), z)} Γ1+ (g2θ ′_{(t) + h} 2θ(t), z)_Γ₁ = 0; e as condi¸c˜oes iniciais u(0) = u0, v(0) = v0, u′(0) =u1, v′(0) =v1, δ(0) = δ0, θ(0) = θ0.

Defini¸cão 2.2 Dizemos que (u, v, δ, θ) é uma solu¸cão forte para (2.3)-(2.10) se u, v : Q→ R

e δ, θ : Σ1→ R est˜ao na classe u, v, u′, v′ _{∈ L}∞(0, T ; V ) ; u′′, v′′_{∈ L}∞"0, T ; L2(Ω); δ, θ, δ′, θ′, δ′′, θ′′ _{∈ L}∞"0, T ; L2(Γ1) ; satisfazem as identidades u′′_{− ∆u + |v|}ρ+2_|u|ρu = F1 q.s. em Q; v′′_{− ∆v + |u|}ρ+2_|v|ρv = F2 q.s. em Q; γ0(u′) +f1δ′′+g1δ′+h1δ = 0 q.s. em Σ1; γ0(v′) +f2θ′′+g2θ′+h2θ = 0 q.s. em Σ1; hγ1(u(t)), γ0(z)i_H− 1₂_(Γ)×H1₂_(Γ) = (δ ′_{(t), γ} 0(z))Γ1,∀ z ∈ V, q.s. em [0, T ]; hγ1(v(t)), γ0(z)i_H− 1₂_(Γ)×H1₂_(Γ)= (θ ′_{(t), γ} 0(z))_Γ₁,∀ z ∈ V, q.s. em [0, T ]; e as condi¸c˜oes iniciais u(0) = u0, v(0) = v0, u′(0) =u1, v′(0) =v1, q.s. em Ω; δ(0) = δ0, θ(0) = θ0 q.s. em Γ1.

Provamos agora a existência de solu¸cão global fraca para o sistema (2.3)-(2.10). Teorema 2.2 Seja ρ um número real satisfazendo a condi¸cão −1 < ρ ≤ 4− n

n_{− 2} se n≥ 3 ou ρ >_{−1 se n = 1, 2. Sejam f}i, gi, hi ∈C(Γ1), i = 1, 2, tais que

(27)

Se u0, v0 ∈ V ∩ L2(ρ+2)(Ω); u1, v1 ∈ L2(Ω), δ0, θ0 ∈ L2(Γ1) e F1, F2 ∈ L2(0, T ; L2(Ω)), ent˜ao existe (u, v, δ, θ) solu¸c˜ao fraca para (2.3)-(2.10).

Prova: Sejam (ωj)j∈N uma base para o espa¸co V e (zj)j∈N uma base para L2(Γ1). Para

cada m _{∈ N consideramos V}m e Um os subespa¸cos lineares gerados por {ω1, ω2, . . . , ωm} e

{z1, z2, . . . , zm}, respectivamente. Da teoria de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, para cada

m_{∈ N encontramos T}m> 0, um, vm: Ω× [0, Tm]→ R e δm, θm: Γ1× [0, Tm]→ R tais que

um(x, t) = m X j=1 αjm(t)ωj(x), vm(x, t) = m X j=1 βjm(t)ωj(x), δm(x, t) = m X j=1 ηjm(t)zj(x), θm(x, t) = m X j=1 ξjm(t)zj(x),

satisfazem o seguinte problema aproximado:

(u′′m(t), ωi) + ((um(t), ωi))− (δm′ (t), γ0(ωi))_Γ₁ +"_|vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t), ωi = (F1(t), ωi), 1≤ i ≤ m; (2.16) (v′′m(t), ωi) + ((vm(t), ωi))− (θ′m(t), γ0(ωi))_Γ₁ +"_|um(t)|ρ+2|vm(t)|ρvm(t), ωi = (F2(t), ωi), 1≤ i ≤ m; (2.17) (γ0(u′m(t)) + f1δm′′(t) + g1δ′m(t) + h1δm(t) , zi)_Γ₁ = 0, 1≤ i ≤ m; (2.18) (γ0(vm′ (t)) + f2θm′′(t) + g2θ′m(t) + h2θm(t) , zi)_Γ₁ = 0, 1≤ i ≤ m; (2.19) um(0) =u0m → u0 e vm(0) =v0m → v0 emV ∩ L2(ρ+2)(Ω), (2.20) u′m(0) =u1m → u1 e vm′ (0) =v1m → v1 em L2(Ω), (2.21) δm(0) =δ0m → δ0 e θm(0) =θ0m → θ0 em L2(Γ1), (2.22) δm′ (0) =δ1m =γ1(u0m) e θ′m(0) =θ1m =γ1(v0m). (2.23)

Estimativa I:De (2.16) e (2.17) temos as equa¸c˜oes aproximadas, as quais ocorrem para todo ω e ω_{∈ V}m: (u′′_m(t), ω) + ((um(t), ω)) + " |vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t), ω − (δ′ m(t), γ0(ω))Γ1 = (F1(t), ω) , (2.24) (v′′_m(t), ω) + ((vm(t), ω)) + " |um(t)|ρ+2|vm(t)|ρvm(t), ω − (θ′ m(t), γ0(ω))Γ1 = (F2(t), ω) . (2.25)

(28)

Tomandow = 2u′

m(t) em (2.24), ω = 2vm′ (t) em (2.25) e somando as duas equa¸c˜oes temos que

d dt " |u′ m(t)|2+|vm′ (t)|2+kum(t)k2+kvm(t)k2 +2 Z Ω|v m|ρ+2|um|ρumu′mdx + 2 Z Ω|u m|ρ+2|vm|ρvmvm′ dx − (δ′ m(t), 2γ0(u ′ m(t)))Γ1− (θ ′ m(t), 2γ0(v ′ m(t)))Γ1 = (F1(t), 2u ′ m(t)) + (F2(t), 2v ′ m(t)) . (2.26)

Nas integrais acima omitimos (x, t) em um(x, t) e vm(x, t) para simplificar a nota¸c˜ao. Observe

que ∂ ∂t " |vm|ρ+2|um|ρ+2 = (ρ + 2)_|vm|ρ+2|um|ρumum′ +|um|ρ+2|vm|ρvmvm′ . Dessa forma d dt |u′ m(t)|2+|vm′ (t)|2+kum(t)k2+kvm(t)k2+ 2 ρ + 2 Z Ω|v m|ρ+2|um|ρ+2dx − (δ′ m(t), 2γ0(u′m(t)))Γ1− (θ ′ m(t), 2γ0(v′m(t)))Γ1 = (F1(t), 2u ′ m(t)) + (F2(t), 2vm′ (t)) . (2.27)

De (2.18) e (2.19), temos as equa¸c˜oes aproximadas:

(γ0(u′m(t)) + f1δm′′(t) + g1δ′m(t) + h1δm(t), z)_Γ₁ = 0 (2.28) (γ0(vm′ (t)) + f2θ ′′ m(t) + g2θ ′ m(t) + h2θm(t), z)_Γ₁ = 0, (2.29)

para todoz, z _{∈ U}m. Em particular, tomando z = 2δ′m(t) em (2.28), z = 2θ′m(t) em (2.29) e

somando estas duas equa¸c˜oes temos − (γ0(u′m(t)), 2δ ′ m(t))Γ1− (γ0(v ′ m(t)), 2θ ′ m(t))Γ1 = 2(|g 1 2 1δ ′ m(t)| 2 Γ1 +|g 1 2 2θ ′ m(t)| 2 Γ1) +d dt |f12 1δm′ (t)|2Γ1+|f 1 2 2θ′m(t)|2Γ1+|h 1 2 1δm(t)|2Γ1+|h 1 2 2θm(t)|2Γ1 . (2.30) Substituindo (2.30) em (2.27), obtemos d dt |u′ m(t)| 2₊ |v′ m(t)| 2₊ kum(t)k2+kvm(t)k2+ 2 ρ + 2 Z Ω|v m|ρ+2|um|ρ+2dx +_|f 1 2 1δm′ (t)|2Γ1 +|f 1 2 2θ′m(t)|2Γ1+|h 1 2 1δm(t)|2Γ1+|h 1 2 2θm(t)|2Γ1 +2(_|g 1 2 1δ ′ m(t)| 2 Γ1+|g 1 2 2θ ′ m(t)| 2 Γ1) = (F1(t), 2u ′ m(t)) + (F2(t), 2vm′ (t)) . (2.31)

(29)

Integrando esta identidade de 0 at_{≤ T}m, chegamos a |u′ m(t)|2+|v′m(t)|2+kum(t)k2+kvm(t)k2+ 2 ρ + 2 Z Ω|v m|ρ+2|um|ρ+2dx +_|f 1 2 1δm′ (t)| 2 Γ1+|f 1 2 2θ′m(t)| 2 Γ1+|h 1 2 1δm(t)|2Γ1+|h 1 2 2θm(t)|2Γ1 +2 t Z 0 |g21 1δ ′ m(τ )| 2 Γ1 +|g 1 2 2θ ′ m(τ )| 2 Γ1 dτ =_|u1m|2+|v1m|2+ku0mk2+kv0mk2+ 2 ρ + 2 Z Ω|v 0m|ρ+2|u0m|ρ+2dx +_|f 1 2 1δ1m|2Γ1+|f 1 2 2θ1m|2Γ1+|h 1 2 1δ0m|2Γ1+|h 1 2 2θ0m|2Γ1 + Z t 0 (F1(τ ), 2u′m(τ )) dτ + Z t 0 (F2(τ ), 2v′m(τ )) dτ. (2.32)

Da desigualdade de H¨older e (2.20) obtemos que existe uma constante C1 > 0, independente

de m e t, tal que Z Ω|v 0m|ρ+2|u0m|ρ+2dx ≤ |v0m|ρ+2_L2(ρ+2)_(Ω)|u0m| ρ+2 L2(ρ+2)_(Ω)≤ C1.

Portanto, (2.20)-(2.23), (2.32) e a hip´otese (2.15) implicam que existe uma constante C2> 0,

independente de m e t, tal que |u′ m(t)| 2₊ |v′ m(t)| 2₊ kum(t)k2+kvm(t)k2+ 2 ρ + 2 Z Ω|v m|ρ+2|um|ρ+2dx +_|f 1 2 1δm′ (t)| 2 Γ1+|f 1 2 2θ′m(t)| 2 Γ1+|h 1 2 1δm(t)|2Γ1+|h 1 2 2θm(t)|2Γ1 +2 t Z 0 |g21 1δm′ (τ )| 2 Γ1+|g 1 2 2θ′m(τ )| 2 Γ1 dτ _{≤ C}2+ Z t 0 |u ′ m(τ )| 2₊ |v′ m(τ )| 2_dτ. _(2.33)

Usando a desigualdade de Gronwall, podemos estender a solu¸c˜ao aproximada (um, vm, δm, θm)

a todo intervalo [0, T ], para todo T > 0, e, além disso, obtemos que (um)m∈N, (vm)m∈N são limitadas em L∞(0, T ; V ) ; (u′ m)m∈N, (vm′ )m∈N são limitadas em L∞(0, T ; L2(Ω)) ; (δm)m∈N, (θm)m∈N são limitadas em L∞(0, T ; L2(Γ1)) ; (δ′ m)m∈N, (θ′m)m∈N são limitadas em L∞(0, T ; L2(Γ1)). (2.34)

(30)

Estimativa II:Tomando w = um(t) em (2.24) obtemos " |vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t), um(t) =₋d dt(u ′ m(t), um(t)) +|u′m(t)|2 −kum(t)k2+ (δm′ (t), γ0(um(t)))_Γ₁+ (F1(t), um(t)) .

Integrando de 0 aT, temos que Z T 0 " |vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t), um(t) dt = (u1m, u0m)− (u′m(T ), um(T )) + Z T 0 " |u′ m(t)| 2 − kum(t)k2 dt + Z T 0 (δm′ (t), γ0(um(t)))_Γ₁ dt + Z T 0 (F1(t), um(t)) dt ≤ |u1m|2+|u0m|2+|u′m(T )| 2₊ |um(T )|2+ Z T 0 |u ′ m(t)| 2 dt + Z T 0 ku m(t)k2dt + Z T 0 |δ ′ m(t)| 2 Γ1 dt + Z T 0 |γ 0(um(t))|2_Γ₁dt + Z T 0 |F 1(t)|2dt + Z T 0 |u m(t)|2dt .

Esta desigualdade e a Estimativa I implicam que existe uma constante C3> 0, independente

Da mesma forma, existe uma constanteC4 > 0 tal que

Por outro lado, da Desigualdade de H¨older, temos que Z Ω |vm|ρ+2|um|ρumvm dx =Z Ω |umvm|ρ+1|vm|2dx

(31)

≤ Z Ω|u mvm|ρ+2dx ρ+1 ρ+2Z Ω|v m|2(ρ+2)dx 1 ρ+2 =_|um(t)vm(t)|ρ+1_Lρ+2_(Ω)|vm(t)|2_L2(ρ+2)_(Ω).

Como, por hip´otese, ρ < 4− n

n_{− 2}, ent˜aoV ֒→ L 2(ρ+2)_{(Ω), logo} Z Ω |vm|ρ+2|um|ρumvm dx ≤ C5|um(t)vm(t)|_Lρ+1ρ+2_(Ω)kvm(t)k2,

disso, observando as Estimativas (2.34) e (2.35), conclu´ımos que existe uma constanteC6> 0

Analogamente, prova-se que existe uma constante C7> 0 tal que

o que conclui a Estimativa II.

Passagem ao Limite: De (2.34) obtemos que existem (u, v, δ, θ) tal que um ∗ ⇀ u e vm ∗ ⇀ v em L∞_{(0, T ; V ) ;} u′m ∗ ⇀ u′ e vm′ ∗ ⇀ v′ em L∞(0, T ; L2(Ω)) ; δm ∗ ⇀ δ e θm ∗ ⇀ θ em L∞_{(0, T ; L}2_(Γ 1)) ; δ′ m ∗ ⇀ δ′ _e _θ′ m ∗ ⇀ θ′ _em _L∞_{(0, T ; L}2_(Γ 1)). (2.39)

Dessas convergˆencias e do teorema de compacidade de Aubin-Lions (ver Lions [27], teorema 5.1, p´agina 58), temos que

um→ u e vm→ v em L2

"

0, T ; L2(Ω). Portanto, passando a uma subsequˆencia, se necess´ario, vemos que

um→ u e vm→ v q.s. em Q,

logo

|vm|ρ+2|um|ρum → |v|ρ+2|u|ρu q.s. em Q, (2.40)

(32)

Agora, considere (Um)m∈N,g e h definidas da seguinte forma: Um:Q→ R2,g, h : R2→ R

e

Um(x, t) = (um(x, t), vm(x, t)), g(ξ, η) =|η|ρ+2|ξ|ρξ, h(ξ, η) =|ξ| + |η|.

Note que (Um)m∈N,g e h satisfazem as hip´oteses do Lema (de Strauss) 2.1. De fato, claramente

g e h satisfazem o ´ıtem (i). De (2.35) e (2.37) temos que (ii) tamb´em ´e satisfeita. E (iii) segue de (2.40). Portanto

|vm|ρ+2|um|ρum→ |v|ρ+2|u|ρu em L1

"

0, T ; L1(Ω). (2.42) Analogamente, utilizando as estimativas (2.36) e (2.38), e a convergˆencia (2.41), prova-se que

|um|ρ+2|vm|ρvm→ |u|ρ+2|v|ρv em L1

"

0, T ; L1(Ω). (2.43) As convergências (2.39), (2.42) e (2.43) permitem passar ao limite, quando m _{→ ∞, no} problema aproximado e provar que (u, v, δ, θ) é uma solu¸cão para o sistema (2.3)-(2.10) no sentido da Defini¸cão 2.1.

2 Agora provaremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao global forte.

Teorema 2.3 Sejam fi, gi, hi, i = 1, 2 como no Teorema 2.2. Assuma que u0, v0∈ V ∩H2(Ω),

u1, v1 ∈ V , δ0, θ0 ∈ L2(Γ1) e Fi, Fi′ ∈ L2(0, T ; L2(Ω)), i = 1, 2. Além disso, suponha que n≤ 2 e ρ > 0. Então, existe uma única (u, v, δ, θ) solu¸cão forte para (2.3)-(2.10).

Prova: Sejam (um, vm, δm, θm)m∈N as solu¸c˜oes aproximadas construidas na demonstra¸c˜ao do

Teorema 2.2. A regularidade nos dados iniciais e as hip´oteses emn e ρ permitem obter mais uma estimativa.

Estimativa III: Diferenciando as equa¸c˜oes aproximadas (2.24), (2.25), (2.28) e (2.29), e tomando w = 2u′′m(t), w = 2v′′m(t), z = 2δm′′(t) e z = 2θm′′(t), temos d dt |u′′ m(t)|2+ku′m(t)k2+|f 1 2 1δm′′(t)|2Γ1+|h 1 2 1δm′ (t)|2Γ1 + 2_|g 1 2 1δ′′m(t)|2Γ1 +2 d dt |vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t) , u′′m(t) = (F1′(t), 2u′′m(t)) , (2.44) d dt |v′′ m(t)|2+kv′m(t)k2+|f 1 2 2θ′′m(t)|2Γ1+|h 1 2 2θm′ (t)|2Γ1 + 2_|g 1 2 2θ′′m(t)|2Γ1

(33)

+2 d dt |um(t)|ρ+2|vm(t)|ρvm(t) , v′′m(t) = (F₂′(t), 2v′′m(t)) . (2.45) Note que d dt |vm(t)|ρ+2|um(t)|ρum(t) , u′′_m(t) = Z Ω (ρ + 1)_|vm|ρ+2|um|ρu′mu ′′ mdx + Z Ω (ρ + 2)_|um|ρum|vm|ρvmv′mu′′mdx (2.46) e, de maneira similar, d dt |um(t)|ρ+2|vm(t)|ρvm(t) , v′′m(t) = Z Ω (ρ + 1)_|um|ρ+2|vm|ρv′mv′′mdx + Z Ω (ρ + 2)_|vm|ρvm|um|ρumu′mv ′′ mdx. (2.47)

Substituindo (2.46) e (2.47) em (2.44) e (2.45), respectivamente, e somando as equa¸c˜oes re-sultantes, obtemos d dt h |u′′m(t)| 2₊ |v′′m(t)| 2₊ ku′m(t)k 2₊ kvm′ (t)k 2 +_|f 1 2 1δm′′(t)|2Γ1 +|f 1 2 2θ′′m(t)|2Γ1+|h 1 2 1δ′m(t)|2Γ1+|h 1 2 2θ′m(t)|2Γ1 i +2(_|g 1 2 1δm′′(t)| 2 Γ1+|g 1 2 2θ′′m(t)| 2 Γ1) ≤ |F ′ 1(t)|2+|F2′(t)|2+|u′′m(t)| 2₊ |v′′ m(t)| 2 +2(ρ + 1) Z Ω |vm|ρ+2|um|ρ|u′m| |u′′m| + |um|ρ+2|vm|ρ|vm′ | |vm′′| dx +2(ρ + 2) Z Ω |um|ρ+1|vm|ρ+1|vm′ | |u′′m| + |vm|ρ+1|um|ρ+1|u′m| |v′′m| dx . (2.48)

Agora vamos estimar os dois ´ultimos termos do lado direito desta desigualdade: Paran = 1, sabemos que V ֒_{→ C}0_{(Ω). Portanto}

2(ρ + 1) Z Ω|v m|ρ+2|um|ρ|u′m||u ′′ m| dx + Z Ω|u m|ρ+2|vm|ρ|vm′ ||v ′′ m| dx + 2(ρ + 2) Z Ω|u m|ρ+1|vm|ρ+1|vm′ ||u ′′ m| dx + Z Ω|v m|ρ+1|um|ρ+1|u′m||v ′′ m| dx ≤ 2(ρ + 1) max (x,t)∈Q{|vm| ρ+2 } max (x,t)∈Q{|um| ρ } Z Ω|u ′ m||u′′m| dx +2(ρ + 1) max (x,t)∈Q{|um| ρ+2 } max (x,t)∈Q{|vm| ρ } Z Ω|v ′ m||vm′′| dx +2(ρ + 2) max (x,t)∈Q{|um| ρ+1 } max (x,t)∈Q{|vm| ρ+1 } Z Ω|v ′ m||u′′m| dx

(34)

+2(ρ + 2) max (x,t)∈Q{|vm| ρ+1 } max (x,t)∈Q{|um| ρ+1 } Z Ω|u ′ m||v ′′ m| dx ≤ C8 ku′ m(t)k2+kvm′ (t)k2+|u′′m(t)|2+|v′′m(t)|2 , (2.49)

ondeC8 ´e uma constante positiva, independente de m e t.

Para n = 2 e ρ > 0 considere a _{∈ R tal que a > 3 e 0 <} 1

a ≤ ρ. Desta forma, observando a Estimativa I e as seguintes imers˜oes

V ֒_{→ L}3a(ρ+2)a−3 (Ω)֒→ L 3a(ρ+1)

a−3 (Ω), V ֒→ La(ρ+1)(Ω)֒→ Laρ(Ω),

temos que 2(ρ + 1)  Z Ω |vm|ρ+2|um|ρ|u′m||u ′′ m| dx + Z Ω |um|ρ+2|vm|ρ|vm′ ||v ′′ m| dx   +2(ρ + 2)   Z Ω |um|ρ+1|vm|ρ+1|vm′ ||u′′m| dx + Z Ω |vm|ρ+1|um|ρ+1|u′m||vm′′| dx   ≤ 2(ρ + 1)|vm(t)|ρ+2 L 3a(ρ+2) a−3 _(Ω)|u m(t)|ρ_Laρ_(Ω)|u ′ m(t)|L6_(Ω)|u′′_m(t)| +2(ρ + 1)_|um(t)|ρ+2 L 3a(ρ+2) a−3 _(Ω)|v m(t)| ρ Laρ_(Ω)|vm′ (t)|L6_(Ω)|v′′_m(t)| +2(ρ + 2)_|um(t)|ρ+1 L 3a(ρ+1) a−3 _(Ω)|v m(t)|ρ+1_La(ρ+1)_(Ω)|v ′ m(t)|L6_(Ω)|u′′_m(t)| +2(ρ + 2)_|vm(t)|ρ+1 L 3a(ρ+1) a−3 _(Ω)|u m(t)|ρ+1_La(ρ+1)_(Ω)|u ′ m(t)|L6_(Ω)|v_m′′(t)| ≤ C9 kvm(t)kρ+2kum(t)kρku′m(t)k |u ′′ m(t)| + kum(t)kρ+2kvm(t)kρkvm′ (t)k |v ′′ m(t)| +_kum(t)kρ+1kvm(t)kρ+1kvm′ (t)k |u ′′ m(t)| + kvm(t)kρ+1kum(t)kρ+1ku′m(t)k |v ′′ m(t)| ≤ C10 " ku′ m(t)k2+kv′m(t)k2+|u′′m(t)|2+|vm′′(t)|2 , (2.50) ondeC10 independe de m e t.

Por (2.49) e (2.50) podemos reescrever (2.48) como d dt h |u′′ m(t)|2+|vm′′(t)|2+ku′m(t)k2+kv′m(t)k2+|f 1 2 1δm′′(t)|2Γ1+|f 1 2 2θm′′(t)|2Γ1 +_|h 1 2 1δ ′ m(t)| 2 Γ1+|h 1 2 2θ ′ m(t)| 2 Γ1 i + 2(_|g 1 2 1δ ′′ m(t)| 2 Γ1+|g 1 2 2θ ′′ m(t)| 2 Γ1) ≤ C11 h |u′′m(t)| 2₊ |vm′′(t)| 2₊ ku′m(t)k 2₊ kvm′ (t)k 2₊ |F1′(t)| 2₊ |F2′(t)| 2i . (2.51)

(35)

Por outro lado, desde que Fi and Fi′ pertencem `a L2(0, T ; L2(Ω)), ent˜ao Fi pertence a

C0([0, T ]; L2(Ω)), i = 1, 2. Portanto, as equa¸c˜oes aproximadas (2.24), (2.25), (2.28) e (2.29) implicam que " u′′m(0)− ∆um(0) +|vm(0)|ρ+2|um(0)|ρum(0), u′′m(0) = (F1(0), u′′m(0)) ; " v′′m(0)− ∆vm(0) +|um(0)|ρ+2|vm(0)|ρvm(0), v′′m(0) = (F2(0), vm′′(0)) ; (γ0(u′m(0)) +f1δm′′(0) +g1δm′ (0) +h1δm(0), δm′′(0))Γ1 = 0; (γ0(vm′ (0)) +f2θm′′(0) +g2θm′ (0) +h2θm(0), θm′′(0))Γ1 = 0.

Disso e das hip´oteses sobre os dados iniciais obtemos que |u′′

m(0)| + |vm′′(0)| + |δm′′(0)|Γ1+|θ ′′

m(0)|Γ1 ≤ C12. (2.52)

ondeC12 independe de m e t.

Integrando (2.51) de 0 at_{≤ T e usando (2.52), conclu´ımos que existe uma constante positiva,} C13, independente dem e t, tal que

|u′′

m(t)|2+|v′′m(t)|2+ku′m(t)k2+kvm′ (t)k2

+_|δ_m′′(t)_|2_Γ₁ +_|θ_m′′(t)_|2_Γ₁+_|δ′_m(t)_|2_Γ₁+_|θ_m′ (t)_|2_Γ₁ _{≤ C}13,

que ´e a Estimativa III.

Com as Estimativas I-III podemos passar ao limite, quando m _{→ ∞, e encontrar que} (u, v, δ, θ) é a única solu¸cão forte para o sistema (2.3)-(2.10), no sentido da Defini¸cão 2.2.

2 Observa¸cão 2.1 Quandon = 2 ou n = 3 e ρ = 0 o resultado também é válido, este é o caso tratado em [15].

2.2 Equa¸

c˜

ao de Ondas com Condi¸

c˜

oes de Fronteira da

Ac´

ustica/Mem´

oria

Nesta se¸cão suponha que Γ está dividida em três partes Γ = Γ0∪ ΓA∪ ΓM, conexas, sem

(36)

que as seguintes fun¸c˜oes s˜ao dadas: F : Ω_{× (0, T ) → R , f, g, h : Γ}B → R , β : R+ → R ,

u0, u1 : Ω → R e δ0 : ΓB → R. Nesta se¸c˜ao consideramos o seguinte problema de valores

iniciais e de fronteira para a equa¸cão de ondas, com Condi¸cões de Fronteira da Acústica sobre ΓA, do tipo memória sobre ΓM e de Dirichlet sobre Γ0:

u′′_{− ∆u = F} em Ω_{× (0, T ),} (2.53) u = 0 em Γ0× (0, T ), (2.54) u + Z t 0 β(t_{− s)}∂u ∂ν(s) ds = 0 em ΓM × (0, T ), (2.55) ∂u ∂ν =δ ′ _{em Γ} A× (0, T ), (2.56) u′+f δ′′+gδ′+hδ = 0 em ΓA× (0, T ), (2.57) u(x, 0) = u0(x), u′(x, 0) = u1(x) , x∈ Ω, (2.58) δ(x, 0) = δ0(x), δ′(x, 0) = ∂u0 ∂ν(x) , x∈ ΓA. (2.59)

A Equa¸cão (2.55) é chamada de condi¸cão de fronteira do tipo memória e exprime que Ω está envolvido, em ΓM, por um material com propriedades viscoelásticas. Desta forma,

provoca um efeito de memória. Nos últimos anos apareceram vários trabalhos tratando esse tipo de condi¸cão sobre uma parte da fronteira e condi¸cão de Dirichlet homogênea sobre o restante, veja por exemplo [2], [10], [38] e [40]. Por outro lado, como visto no Cap´ıtulo 1, as equa¸cões (2.56) e (2.57) são as Condi¸cões de Fronteira da Acústica, e até onde conhecemos os artigos abordaram problemas com tais condi¸cões sobre uma parte da fronteira e condi¸cões de Dirichlet sobre o restante (veja [15], [16], [20], [37]), ou condi¸cões da acústica sobre toda fronteira (veja [19], [25], [34]).

A principal proposta dessa se¸cão é estudar a combina¸cão das condi¸cões da acústica e do tipo memória na fronteira. Utilizando o Método de Faedo-Galerkin e argumentos de compacidade provamos a existência e unicidade de solu¸cão global para o problema (2.53)-(2.59). Dificul-dades técnicas em estudar a equa¸cão (2.55) nos levam, usando o operador inverso de Volterra, a considerar outra equa¸cão, equivalente a (2.55), na qual a derivada normal, ∂u

∂ν, aparece

ex-plicitamente. Além disso, temos ainda problemas técnicos ao estimar a solu¸cão aproximada u′′

(37)

iniciais homogêneos para, posteriormente, resolvermos o problema não homogêneo.

Devido a (2.54) podemos utilizar o espa¸coV definido em (2.1) (onde ocorre a Desigualdade de Poincar´e) com o produto interno e norma dados por (2.2).

Da desigualdade de Poincar´e e da continuidade da aplica¸c˜ao tra¸co, temos que existe uma constante positivaC, tal que

|γ0(u)|2Γ ≤ C kuk2, para todou ∈ V. (2.60)

Algumas vezes, para simplificar a nota¸c˜ao, escrevemos u e ∂u

∂ν ao inv´es de γ0(u) e γ1(u), respectivamente.

Como dito anteriormente trocaremos a equa¸c˜ao (2.55) por outra equivalente (ver, por exemplo, [2], [10], [40]). Denotamos o produto de convolu¸c˜ao por

(β_{∗ ϕ)(t) =} Z t

0

β(t_{− s)ϕ(s) ds.} Suponha queβ : [0,_{∞) → R satisfaz}

β _{∈ W}2,1(0,_{∞) , β(0) 6= 0 e η |β}′_|L1_(0,∞) < 1 , onde η =

1

β(0), (2.61) então, pelo teorema do ponto fixo de Banach, existe uma única fun¸cão k _{∈ W}1,1(0,_∞), chamada de núcleo resolvente, tal que

k(t) =_−ηβ′(t)_{− η(β}′_{∗ k)(t), q.s. em (0, ∞).} (2.62) Assim, o Operador de Volterraψ(ξ) =_{−β(0)ξ − β}′_{∗ ξ, para todo, ξ ∈ L}∞(0, T ; L2(ΓM)), est´a

bem definido e seu inverso ´e dado porψ−1_{(ζ) =}_{−η(ζ + k ∗ ζ).}

Diferenciando (2.55) relativamente at e aplicando o operador inverso de Volterra, obtemos ∂u ∂ν =−η(u ′₊_k ∗ u′_). _(2.63) Mas Z t 0 k(t_{− s)u}′(s) ds = Z t 0

k′(t_{− s)u(s) ds + k(0)u(t) − k(t)u}0,

substituindo isto em (2.63), temos que ∂u

∂ν =−η (u

′₊_k(0)u

(38)

que é equivalente à (2.55). Portanto, o seguinte problema é equivalente a (2.53)-(2.59), u′′_{− ∆u = F em Ω × (0, T ),} (2.65) u = 0 em Γ0× (0, T ), (2.66) ∂u ∂ν =−η (u ′₊_k(0)u − k(t)u0+k′∗ u) em ΓM × (0, T ), (2.67) ∂u ∂ν =δ ′ _{em Γ} A× (0, T ), (2.68) u′+f δ′′+gδ′+hδ = 0 em ΓA× (0, T ), (2.69) u(x, 0) = u0(x), u′(x, 0) = u1(x) em Ω, (2.70) δ(x, 0) = δ0(x), δ′(x, 0) = ∂u0 ∂ν (x) em ΓA. (2.71) Admitimos que:

f, g, h_{∈ C(Γ}B) tal que f (x), h(x) > 0 e g(x)≥ 0 , para todo x ∈ ΓB (2.72)

e

k_{∈ W}1,1(0,_{∞) ∩ W}1,2(0,_{∞) .} (2.73)

Teorema 2.4 Nas hip´oteses (2.72) e (2.73), se u0, u1 ∈ V ∩ H2(Ω), δ0 ∈ L2(ΓB) e F, F′ ∈

L∞loc(0,∞; L2(Ω)) com

∂u0

∂ν =−η u1 em ΓM, (2.74)

ent˜ao, para todo T > 0, existe um ´unico par (u, δ), na classe

u, u′_{∈ L}∞(0, T ; V ) tal que u(t)_{∈ H(∆, Ω) q.s. em [0, T ] ;} (2.75) u′′ _{∈ L}∞(0, T ; L2(Ω)); δ, δ′, δ′′_{∈ L}∞(0, T ; L2(ΓB)), (2.76) solu¸c˜ao do problema (2.65)-(2.71).

Como descrito acima, perturbaremos o problema (2.65)-(2.71) de maneira apropriada, e ap´os resolver o problema perturbado retornamos ao Teorema 2.4. Para isto sejamf, g, h, F, k, u0, u1 eδ0 como no Teorema 2.4. Defina as seguintes fun¸c˜oes auxiliares:

φ(x, t) = u0(x) + tu1(x) , (2.77)

F(x, t) = F (x, t) + ∆φ(x, t) , (2.78)

r(x, t) =_−η[φ′(x, t) + k(0)φ(x, t)_{− k(t)φ(x, 0) + (k}′_{∗ φ)(t)] −}∂φ

(39)

Considere o problema v′′_{− ∆v = F em Ω × (0, T ),} (2.80) v = 0 em Γ0× (0, T ), (2.81) ∂v ∂ν =−η (v ′₊_{k(0)v + k}′ ∗ v) + r em ΓM × (0, T ), (2.82) ∂v ∂ν =δ ′ − ∂φ_∂ν em ΓA× (0, T ), (2.83) v′+f δ′′+gδ′+hδ =_−φ′ em ΓA× (0, T ), (2.84) v(x, 0) = v′(x, 0) = 0 em Ω, (2.85) δ(x, 0) = δ0(x), δ′(x, 0) = ∂u0 ∂ν(x) em ΓA. (2.86)

Teorema 2.5 (Problema Perturbado) Sejam φ ,_{F e r dados por (2.77)-(2.79). Para todo}

T > 0, existe um ´unico par (v, δ), na classe

v, v′ _{∈ L}∞(0, T ; V )tal que v(t)_{∈ H(∆, Ω) q.s. em [0, T ] ;} (2.87) v′′ _{∈ L}∞(0, T ; L2(Ω)); δ, δ′, δ′′ _{∈ L}∞(0, T ; L2(ΓB)), (2.88) solu¸c˜ao do problema (2.80)-(2.86).

Prova: Sejam (wj)j∈N, (zj)j∈N bases ortonormais em V e L2(ΓB), respectivamente. Para

cada m _{∈ N consideremos U}m e Zm os subespa¸cos lineares gerados por {ω1, ω2, . . . , ωm} e

{z1, z2, . . . , zm}, respectivamente. Da teoria de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, existem

0< Tm≤ T , vm: Ω× [0, Tm]→ R e δm: ΓB× [0, Tm]→ R tais que vm(x, t) = m X j=1 αjm(t)wj(x) e δm(x, t) = m X j=1 βjm(t)zj(x)

satisfazem o problema aproximado

(v′′_m(t), wj) + ((vm(t), wj)) + (η[vm′ (t) + k(0)vm(t) + (k′∗ vm)(t)]− r(t), γ0(wj))_Γ M + ∂φ(t) ∂ν − δ ′ m(t), γ0(wj) ΓB = (_{F(t), w}j), j = 1, . . . , m, (2.89) − (v′ m(t), zj)_Γ B = (f δ ′′ m(t) + gδ ′ m(t) + hδm(t), zj)_Γ B + (φ ′_{(t), z} j)_Γ B, j = 1, . . . , m,(2.90) vm(0) =v′m(0) = 0, (2.91) δm(0) =δ0m = m X i=1 (δ0, zi)_Γ_Bzi → δ0em L2(ΓB), δm′ (0) = ∂u0 ∂ν , (2.92)

(40)

Agora, faremos estimativas que permitir˜ao extender as solu¸c˜oes um, δm a todo intervalo

[0, T ] e passar ao limite quando m _{→ ∞. De (2.89) e (2.90) temos as seguintes equa¸c˜oes} aproximadas: (v′′m(t), w) + ((vm(t), w)) + (η[v′m(t) + k(0)vm(t) + (k′∗ vm)(t)]− r(t), γ0(w))_Γ_M+ + ∂φ(t) ∂ν − δ ′ m(t), γ0(w) ΓB = (_{F(t), w) , ∀ w ∈ U}m, (2.93) − (v′ m(t), z)ΓB = (f δ ′′ m(t) + gδ′m(t) + hδm(t), z)_Γ B+ (φ ′_{(t), z)} ΓB, ∀ z ∈ Zm. (2.94) Estimativa I:Tomandow = 2v′ m(t) em (2.93), z = 2δ′m(t) em (2.94) e substituindo a segunda

equa¸c˜ao na primeira, obtemos d dt |v′ m(t)|2+kvm(t)k2+|f 1 2δ′ m(t)|2ΓB+|h 1 2δ m(t)|2ΓB + 2η_|vm′ (t)|2ΓM + 2|g 1 2δ′ m(t)|2ΓB =_{−2ηk(0) (v}m(t), vm′ (t))ΓM − 2η ((k ′ ∗ vm)(t), vm′ (t))ΓM + 2 (r(t), v ′ m(t))ΓM −2 ∂φ(t) ∂ν , v ′ m(t) ΓB − 2 (φ′_{(t), δ}′ m(t))ΓB + 2 (F(t), v ′ m(t)) . (2.95) Observe que |2ηk(0) (vm(t), v′m(t))ΓM| ≤ η 3|v ′ m(t)| 2 ΓM + 3ηk(0) 2_C kvm(t)k2; (2.96) |2η ((k′∗ vm)(t), vm′ (t))ΓM| ≤ η 3|v ′ m(t)| 2 ΓM + 3η|k ′ |L1_(0,∞) Z t 0 |k ′ (t_{− s)||v}m(s)|2_Γ_Mds; (2.97) |2 (r(t), vm′ (t))ΓM| ≤ η 3|v ′ m(t)| 2 ΓM + 3 η|r(t)| 2 ΓM. (2.98)

Usando (2.96)-(2.98) em (2.95) e integrando de 0 at_{≤ T}m, temos

|v′ m(t)|2+kvm(t)k2+|f 1 2δ′ m(t)|2ΓB +|h 1 2δ m(t)|2ΓB+η Z t 0 |v ′ m(ξ)|2ΓMdξ + 2 Z t 0 |g 1 2δ′ m(ξ)|2ΓBdξ ≤ f 1 2∂u0 ∂ν 2 ΓB +_|h12δ_m(0)|2 ΓB+ 3ηk(0) 2 C Z t 0 kv m(ξ)k2dξ +3η_|k′_|L1_(0,∞) Z t 0 Z ξ 0 |k ′_(ξ − s)||vm(s)|2ΓM dsdξ + Z t 0 # 3 η|r(ξ)| 2 ΓM− 2 ∂φ(ξ) ∂ν , v ′ m(ξ) ΓB − 2 (φ′_{(ξ), δ}′ m(ξ))ΓB+ 2 (F(ξ), v ′ m(ξ)) % dξ. (2.99)

(41)

Note que 3η_|k′_|L1_(0,∞) Z t 0 Z ξ 0 |k ′_(ξ − s)||vm(s)|2_Γ_M dsdξ ≤ 3η|k′|2L1_(0,∞)C Z t 0 kv m(ξ)k2dξ; (2.100) Z t 0 3 η|r(ξ)| 2 ΓMdξ≤ C1+C2(T + T 3_); _(2.101) 2 Z t 0 ∂φ(ξ) ∂ν , v ′ m(ξ) ΓB dξ = 2 Z ΓB − Z t 0 ∂φ′ ∂ν(x, ξ)vm(x, ξ)dξ + ∂φ ∂ν(x, ξ)vm(x, ξ)| t 0 dΓ ≤ C3+C4(T + T2) +C Z t 0 kv m(ξ)k2dξ + 1 2kvm(t)k 2 . (2.102)

Substituindo estas estimativas em (2.99) e aplicando a desigualdade de Gronwall, concluimos que existe uma constante L1=L1(T ) > 0, independente de m e t∈ [0, Tm], tal que

|v′

m(t)|2+kvm(t)k2+|δ′m(t)|2ΓB+|δm(t)| 2

ΓB ≤ L1, ∀ t ∈ [0, Tm]. (2.103)

Dessa estimativa podemos extender a solu¸c˜ao do problema aproximado a todo intervalo [0, T ] e (2.103) ocorre para todot_{∈ [0, T ].}

Estimativa II:Tomandow = vm′′(t) na equa¸c˜ao aproximada (2.93) e fazendot = 0, obtemos

|v′′₍₀₎ |2 ₌ −ηu1− ∂u0 ∂ν , v ′′ m(0) ΓM + (F (0) + ∆u0, vm′′(0)). (2.104)

Agora, tomandoz = δm′′(t) em (2.94) e fazendo t = 0 temos

0 = f δm′′(0) +g ∂u0 ∂ν +hδm(0), δ ′′ m(0) ΓB + (u1, δm′′(0))ΓB.

Esta igualdade, (2.104), as hip´oteses sobreu0, u1, δ0, F, f, g, h e (2.74) implicam que existe uma

constante C5> 0, tal que

|v′′

m(0)| + |δ ′′

m(0)|ΓB ≤ C5. (2.105)

Diferenciando (2.93) e (2.94) relativamente a t e tomando w = 2vm′′(t) e z = 2δm′′(t)

encon-tramos d dt |vm′′(t)| 2₊ kv′m(t)k 2₊ |f12δ′′ m(t)| 2 ΓB+|h 1 2δ′ m(t)| 2 ΓB + 2η_|vm′′(t)| 2 ΓM + 2|g 1 2δ′′ m(t)| 2 ΓB =_{−2ηk(0) (v}′_m(t), vm′′(t))ΓM − 2η d dt(k ′ ∗ vm)(t), vm′′(t) ΓM

(42)

+2 (r′(t), vm′′(t))ΓM − 2 ∂φ′(t) ∂ν , v ′′ m(t) ΓB + 2 (_F′(t), vm′′(t)) . (2.106)

Agora, estimaremos cada termo do lado direito de (2.106). Note que |2ηk(0) (vm′ (t), v ′′ m(t))ΓM| ≤ η 3|v ′′ m(t)| 2 ΓM + 3ηk(0) 2 C_kv′m(t)k 2_; _(2.107) |2 (r′_{(t), v}′′ m(t))ΓM| ≤ η 3|v ′′ m(t)|2ΓM + 3 η|r ′_(t) |2 ΓM. (2.108)

Levando em conta que d dt(k ′ ∗ vm)(t) = k′(t)vm(0) + Z t 0 k′(τ )v′m(t− τ)dτ = (k ′ ∗ vm′ )(t), analogamente a (2.97) resulta 2η d dt(k ′ ∗ vm)(t), vm′′(t) ΓM ≤ η 3|v ′′ m(t)| 2 ΓM+3η|k ′ |L1_(0,∞) Z t 0 |k ′_(t −s)||vm′ (s)| 2 ΓMds. (2.109)

Usando (2.107)-(2.109) em (2.106), integrando de 0 at_{≤ T e considerando (2.105), obtemos} |v′′ m(t)| 2₊ kv′ m(t)k 2₊ |f12δ′′ m(t)| 2 ΓB +|h 1 2δ′ m(t)| 2 ΓB+η Z t 0 |v ′′ m(ξ)| 2 ΓMdξ + 2 Z t 0 |g 1 2δ′′ m(ξ)| 2 ΓBdξ ≤ C6+ 3ηk(0)2C Z t 0 kv ′ m(ξ)k 2_{dξ + 3η} |k′ |L1_(0,∞) Z t 0 Z ξ 0 |k ′_(ξ − s)||v′ m(s)| 2 ΓMdsdξ + Z t 0 # 3 η|r ′_(ξ) |2 ΓM − 2 ∂φ′(ξ) ∂ν , v ′′ m(ξ) ΓB + 2 (_F′(ξ), vm′′(ξ)) % dξ. (2.110) Temos que 3η_|k′_|L1_(0,∞) Z t 0 Z ξ 0 |k ′_(ξ − s)||v′ m(s)|2ΓM dsdξ ≤ 3η|k ′ |2 L1_(0,∞)C Z t 0 kv ′ m(ξ)k2dξ; (2.111) Z t 0 3 η|r ′_(ξ) |2 ΓMdξ≤ C7+C8T, (2.112)

e procedendo como em (2.102), obtemos 2 Z t 0 ∂φ′_(ξ) ∂ν , v ′′ m(ξ) ΓB dξ _{≤ C}9+ 1 2kv ′ m(t)k 2 . (2.113)

Substituindo (2.111)-(2.113) em (2.110), podemos aplicar a desigualdade de Gronwall e, dessa forma, obter que existe uma constante L2 = L2(T ) > 0, independente de m e t ∈ [0, T ], tal

que |v′′ m(t)| 2₊ kv′ m(t)k 2₊ |δ′′ m(t)| 2 ΓB +|δ ′ m(t)| 2 ΓB ≤ L2, ∀ t ∈ [0, T ], (2.114)

(43)

que ´e a segunda estimativa.

De (2.103) e (2.114) existem subsequˆencias, que ainda iremos denotar por (vm)m∈N, (δm)m∈N

e fun¸c˜oes v , δ tais que vm ∗ ⇀ v em L∞_{(0, T ; V ) ,} _δ m ∗ ⇀ δ em L∞_{(0, T ; L}2_(Γ B)), v′ m ∗ ⇀ v′ _em _L∞_{(0, T ; V ) ,} _δ′ m ∗ ⇀ δ′ _em _L∞_{(0, T ; L}2_(Γ B)), vm′′ ∗ ⇀ v′′ em L∞(0, T ; L2(Ω)), δm′′ ∗ ⇀ δ′′ em L∞(0, T ; L2(ΓB)). (2.115)

Usando argumentos de compacidade e as convergˆencias (2.115), podemos passar ao limite, quandom_{→ ∞, nas equa¸c˜oes aproximadas (2.93), (2.94) e obter}

(v′′(t), w) + ((v(t), w)) + (η[v′(t) + k(0)v(t) + (k′_{∗ v)(t)] − r(t), γ}0(w))ΓM + ∂φ(t) ∂ν − δ ′_{(t), γ} 0(w) ΓB = (_{F(t), w) , ∀ w ∈ V ,} (2.116) − (v′_{(t), z)} ΓB = (f δ ′′_{(t) + gδ}′_{(t) + hδ(t), z)} ΓB + (φ ′_{(t), z)} ΓB, ∀ z ∈ L 2_(Γ B). (2.117)

A ´ultima equa¸c˜ao prova (2.84). Tomandow_{∈ D(Ω) em (2.116) obtemos}

v′′(t)_{− ∆v(t) = F(t) em D}′(Ω), q.s. em (0, T ). (2.118) Como _{F(t), v}′′(t) _{∈ L}2(Ω), podemos ver que ∆v(t) _{∈ L}2(Ω), e a equa¸c˜ao (2.118) ocorre q.s. em Ω_{× (0, T ), o que prova (2.80).}

Agora interpretaremos em qual sentido v e δ satisfazem (2.82) e (2.83). Multiplicando (2.80) porw_{∈ V , integrando sobre Ω e usando a f´ormula de Green encontramos}

Z Ω v′′w dx + Z Ω∇v∇w dx − hγ 1(v(t)), γ0(w)i_H− 1₂_(Γ)×H1₂_(Γ) = Z ΩFw dx.

Isto, (2.116) e levando em conta queγ0(w) = 0 em Γ0, temos que

hγ1(v(t)), γ0(w)i_H− 1₂_(Γ)×H1₂_(Γ)=− (η[v ′ (t) + k(0)v(t) + (k′_{∗ v)(t)] − r(t), γ}0(w))ΓM − ∂φ(t) ∂ν − δ ′ (t), γ0(w) ΓA , _{∀ w ∈ V , q.s. em [0, T ] ,} (2.119) o que prova (2.82) e (2.83).

(44)

Unicidade: Suponha que existem dois pares de solu¸c˜oes, (v1, δ1) e (v2, δ2), para (2.80)-(2.86). Definaϑ = v1− v2 e θ = δ1− δ2, ent˜ao ϑ′′_{− ∆ϑ = 0 q.s. em Ω × (0, T ),} (2.120) ϑ′+f θ′′+gθ′+hθ = 0 q.s. em ΓB× (0, T ), (2.121) hγ1(ϑ(t)), γ0(w)i_H− 1₂_(Γ)×H1₂_(Γ)=− (η[ϑ ′_{(t) + k(0)ϑ(t) + (k}′ ∗ ϑ)(t)], γ0(w))_Γ_M + (θ′(t), γ0(w))_Γ_A, ∀ w ∈ V , q.s. em [0, T ], (2.122) ϑ(x, 0) = ϑ′(x, 0) = 0 em Ω, (2.123) θ(x, 0) = θ′(x, 0) = 0 em ΓB. (2.124)

Multiplicando (2.120) por 2ϑ′_{, (2.121) por 2θ}′_{, integrando sobre Ω e Γ}

B, respectivamente, e observando (2.122) obtemos d dt |ϑ′(t)_|2+_kϑ(t)k2+_|f12θ′(t)|2 ΓB +|h 1 2θ(t)|2 ΓB+ηk(0)|ϑ(t)| 2 ΓM + 2η_|ϑ′(t)_|2_Γ_M +2_|g12θ′(t)|2 ΓB =−2η ((k ′ ∗ ϑ)(t), ϑ′(t))_Γ M. (2.125) Note que 2η ((k′ ∗ ϑ)(t), ϑ′_(t)) ΓM ≤ η|k′ |L1_(0,∞) Z t 0 |k ′_(t − s)||ϑ(s)|2 ΓMds + η|ϑ ′_(t) |2 ΓM.

Usando esta estimativa em (2.125), integrando de 0 a t _{≤ T e procedendo como em (2.100)} temos que existe uma constanteC10 > 0, tal que

|ϑ′_(t) |2₊ kϑ(t)k2₊ |θ′_(t) |2 ΓB+|θ(t)| 2 ΓB ≤ C10 Z t 0 kϑ(ξ)k 2_dξ,

usando a desigualdade de Gronwall nesta estimativa, temos que ϑ = 0, q.s. em Ω_{× [0, T ] e} θ = 0 q.s. em ΓB× [0, T ].

2 Observa¸cão 2.2 Suponha que temos regularidade na fun¸cão v, por um momento suponha que v _{∈ L}∞(0, T ; V _{∩ H}2(Ω)). Então, podemos ver que (2.82) e (2.83) ocorrem q.s. em ΓM × (0, T ) e ΓA× (0, T ), respectivamente. Para verificar esta afirma¸cão, seja

H =_{(γ0(ψ))_|

(45)

PortantoH ´e denso em L2_(Γ

A). Assim, podemos reescrever (2.119) como

∂v ∂ν(t), γ0(w) ΓM + ∂v ∂ν(t), γ0(w) ΓA =_{− (η[v}′(t) + k(0)v(t) + (k′_{∗ v)(t)], γ}0(w))ΓM + (r(t), γ0(w))ΓM− ∂φ(t) ∂ν − δ ′_{(t), γ} 0(w) ΓA , _{∀ w ∈ V.} Portanto, ∂v ∂ν(t) + ∂φ(t) ∂ν − δ ′_{(t), z} ΓA = 0, _{∀ z ∈ H,} logo, ∂v ∂ν =δ ′ − ∂φ ∂ν, q.s. em ΓA× (0, T ). Analogamente, prova-se que

∂v

∂ν =−η[v

′₊_{k(0)v + (k}′

∗ v)] + r, q.s. em ΓM × (0, T ).

Observa¸cão 2.3 Seja (v, δ) a solu¸cão do problema perturbado dada pelo Teorema 2.5 e φ a fun¸cão definida em (2.77). Então podemos facilmente verificar que (u, δ), onde

u(x, t) = v(x, t) + φ(x, t),

é a única solu¸cão para (2.65)-(2.71) e o Teorema 2.4 está provado.

Observa¸cão 2.4 Utilizando as mesmas idéias da demonstra¸cão do Teorema 3 de Frota-Goldstein [19] (página 104), podemos provar a existência e unicidade de solu¸cão quando a condi¸cão de memória é posta sobre uma parte da fronteira e a condi¸cão da acústica é con-siderada sobre todo o restante da fronteira. Com efeito, consideremos a fronteira Γ dividida em duas partes disjuntas, conexas, ΓA e ΓM, cada uma das partes com medida positiva. O

problema ´e provar a existˆencia e unicidade de (u, δ) tais que

u′′_{− ∆u = F em Ω × (0, T ),} (2.126) ∂u ∂ν =−η (u ′₊_k(0)u − k(t)u0+k′∗ u) em ΓM × (0, T ), (2.127) ∂u ∂ν =δ ′ _{em Γ} A× (0, T ), (2.128) u′+f δ′′+gδ′+hδ = 0 em ΓA× (0, T ), (2.129) u(x, 0) = u0(x), u′(x, 0) = u1(x) em Ω, (2.130) δ(x, 0) = δ0(x), δ′(x, 0) = ∂u0 ∂ν (x) em ΓA. (2.131)