Cálculo Diferencial e Integral II – Prof. Robson Rodrigues
www.robson.mat.br – email: robsonmat@uol.com.br
1ª Lista de Exercícios - Problemas de Otimização
Problema 1. Utilizando 40 m de tela e um muro como um dos lados, deseja-se construir um cercado de formato retangular. Determine as dimensões do cercado para que a área seja máxima.
Problema 2. Um fazendeiro deseja usar 320 m de cerca para determinar um pasto retangular com a maior área possível. Quais devem ser as dimensões do pasto se:
a) os quatro lados do pasto são delimitados pela cerca?
b) três lados do pasto são delimitados pela cerca e o outro lado é delimitado por um muro?
Problema 3. O departamento de estradas e rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000 m2, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual é o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Problema 4. Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina de 60 cm de lado, cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Determine as dimensões da caixa para que seu volume seja máximo.
Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva
Problema 5. Uma lata cilíndrica, sem tampa, deve ter 250 cm3 de volume. O preço do material usado para o fundo é de 4 centavos o cm2 e o preço do material usado para o lado da lata é de 2 centavos o cm2.Qual deve ser a medida do raio da base e a altura da lata, de modo que o custo de matéria-prima seja mínimo?
Problema 6. Pretende-se construir um recipiente cilíndrico, sem tampa, com um volume V. O custo do material usado para fazer o fundo é de 3 centavos o cm2 e o do material usado para fazer o lado é de 2 centavos o cm2. Encontre uma relação simples entre o raio e altura do recipiente a fim de que o custo seja mínimo.
Problema 7. Uma caixa fechada de fundo quadrado tem volume de 250 m3. O material usado para fazer a tampa e o fundo da caixa custa R$ 2,00 o metro quadrado e o material utilizado para os lados custa R$ 1,00 o metro quadrado. A caixa pode ser construída por menos de R$ 300,00?
Problema 8. Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R$ 48,00?
Problema 9. Uma estação geradora de eletricidade está na margem de um rio que tem 2 m de largura. Uma fábrica está a 6 m rio abaixo, do outro lado do rio (ver figura). O custo de operação das linhas é de $ 10 o metro por terra e $15 o metro por água.
a) Expresse o custo C, da transmissão de energia a usina à fábrica como função de x. b) Encontre o trajeto mais econômico.
usina
2
Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva
Problema 10. A rigidez de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo cubo da altura. Determine as dimensões da viga de maior rigidez que pode ser fabricada a partir de uma tora de madeira de 15 cm de diâmetro.
Problema 11. Suponha que devamos cortar uma de seção transversa retangular máxima, de um toro circular de 1 m de raio. Qual é a forma e área da seção transversa de uma tal viga?
Problema 12. Um empresário pode produzir gravadores ao custo de R$ 20,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por x reais à unidade, os consumidores comprarão 120 – x gravadores por mês. Determine o preço de venda para o qual o lucro do empresário é máximo.
Problema 13. Deve-se fazer cocho para água com uma longa peça de estanho de 6 ft (pés) de largura, dobrando para cima, a um ângulo , uma faixa de 2 ft de cada lado. Qual o ângulo que maximiza a área da seção transversal e, consequentemente, o volume do cocho?
2 2
2
Problema 14. Na figura abaixo está esquematizado um circuito elétrico formado por um gerador de força eletromotriz E e resistência interna ro = 2 ohms, aos terminais do qual está ligado um resistor de resistência r.
a) Determine a intensidade i da corrente elétrica que flui no circuito. b) Calcule a potência P fornecida ao resistor de resistência r.
c) Supondo E = 40 volts, e r variável (r 0), calcule o valor máximo de P.
diâmetro da tora
x: largura y: altura da viga
Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva
i
Problema 15. Considere a função f(x) = 9 2 3
1 3
x
x . Utilizando o teste da primeira derivada, determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. Encontre também seus pontos críticos, classificando-os em ponto de máximo ou mínimo local.
Problema 16. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 256 cm3 de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material.
Problema 17. Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de 108 cm2. Que dimensões fornecem uma caixa de volume máximo?
planificação
Problema 18. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm3. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
planificação
r
Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva
Problema 19. De uma folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem dobrando-ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
30 cm
Problema 20. Deve-se fazer uma caixa aberta com uma peça quadrada de material de 6 polegadas cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que pode ser construída desta maneira.
Problema 21. Deve-se construir uma caixa retangular sem tampa de 972 cm3 de volume e comprimento da base igual ao dobro da largura. Determine as dimensões que minimizem a área total de sua superfície.
x 2x
Problema 22. (Uma curiosidade) Na Biologia, encontramos a fórmula = V. A, onde é o fluxo de ar na traqueia, V a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a traqueia.
A
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traqueia. Sendo ro o raio normal da
traqueia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traqueia durante a tosse é dada por V(r) = a.r2(ro – r), onde a é uma constante positiva.
a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar.
Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva
Problema 23. A figura abaixo esquematiza um bloco de peso P, em uma mesa horizontal. Uma força de intensidade F, fazendo um ângulo de medida com a horizontal, 0 < < /2, é aplicada no bloco, como indicado na figura. O bloco permanece em equilíbrio, porém na iminência de escorregar. Existe atrito entre o bloco e a mesa, que provoca o aparecimento de uma força de atrito Fat , que é oposta à tendência de movimento, cuja intensidade é proporcional à intensidade da reação normal da mesa. Tal constante de proporcionalidade é o coeficiente de atrito entre o bloco e a mesa.
Sabendo – se que = 0,577, determine a medida do ângulo que fornece a mínima intensidade de F.
N F Fat P GABARITO PARCIAL 02. a) 80 m x 80 m b) 80 m x 160 m 04. 40 cm x 40 cm x 10 cm 06. r = 2h/3
08. 2 m x 2 m x 4/3 m 11. Um quadrado de área 2 m2 13. = /3 14. c) 200 watts
15. f é crescente para x < - 3 , decrescente para -3 < x < 3 e crescente para x > 3. (-3, 20) é ponto de máximo local e (3, -16) é ponto de mínimo local
16. 8 cm x 8 cm x 4 cm 17. 6 cm x 6 cm x 3 cm 18. r = 5 cm e h = 15 cm 19. x = 7,5 cm 20. V = 16 u.v. 21. 9 cm x 18 cm x 6 cm 22. a) r = 3 2 ro b) r = 5 4 ro
