Ondulatória Resumo Teórico

Fuja do Nabo: Física II – P1 – 2014 – Rogério Motisuki

Ondulatória – Resumo Teórico

Todo mundo já aprendeu o que é uma onda, porém a matematização apresentada pode apresentar dificuldades.

Equação genérica

Uma onda genérica pode ser descrita por uma função . Usarei um pulso como exemplo para visualização:

Nesse exemplo, 0 é o pico do pulso. Portanto, se o pulso for representado por

, o pico estará em 0.

Sabendo disso, imagine agora um pulso representado por 1 . Onde estará o pico? É fácil perceber que a resposta é

1.

Generalizando, um pulso representado por ∆ será deslocado ∆ para a direita. Logo, se o pulso se deslocar com

velocidade constante, temos que ∆ , e portanto a equação genérica para um pulso que se propaga é . Se o movimento do pulso for no sentido do negativo, basta inverter o sinal.

O pulso foi apenas um exemplo, todo o raciocínio acima também vale para ondas.

→

→ !

Ondas harmônicas

São tipos de ondas tão importantes que ganham uma categoria especial. É o caso em que a função que descreve a onda é um seno (ou cosseno). Um jeito alternativo de equacionar o raciocínio acima, mas dizendo a mesma coisa, é usar uma função de duas variáveis:

O nome “função de duas variáveis” pode assustar, mas seu significado é muito simples: dado um (posição) e um (tempo), a função retorna a altura da onda naquela posição e tempo. Mas a equação ainda não está no formato usual, então vamos fazer umas mudanças:

,

#. cos (

(

)

#. cos (

*

)

Agora temos 4 parâmetros e cada um recebe um nome: A – amplitude

Valor máximo da altura da onda. Bastante intuitivo observando a equação, pois o valor máximo do cosseno é 1, e como está multiplicado por #, o valor máximo de , é #.

k – número de onda angular

Fonte de muitas dúvidas, pois é um conceito jogado sem explicação. Para explicar, usarei o conceito mais intuitivo de comprimento de onda +, conhecido por todos. Ignorando outras variáveis e constantes, a função que descreve a onda é do tipo cos ( . Sabemos que após um comprimento de onda, o cosseno deu uma volta completa, ou seja, 2-.

( cos.( + / cos ( (+

Logo (+ 2-, e daí surge a relação:

( 2-₊

Ou seja, isso traduz o conceito físico de comprimento de onda para a equação matemática que é a função cosseno.

0

Vamos fazer uma análise parecida como a que fizemos acima, mas dessa vez com o tempo e o conceito intuitivo de período 1 da onda. Após um período, o cosseno deu uma volta completa, ou seja, 2-.

cos * cos.* 1 / cos * *1 Logo *1 2-, e portanto:

* 2-₁ 2-

Note que originalmente, a constante que multiplicava o tempo era ( , mas eu chamei isso simplesmente de *. Temos agora uma relação interessante:

( * ⇔ 2-_{+ .} 2-₁ ⇔ _{1 +}+

Ou seja, podemos verificar que o que foi aprendido em ondulatória no ensino médio é consistente com esse equacionamento.

3 – fase inicial

O argumento do cosseno é chamado fase. Em , 0,0 teríamos cos ) . Como o ) é a fase no início, recebe o nome de fase inicial.

Seno ou cosseno?

Essa é uma pergunta que muitos fazem. A resposta é:

Tanto faz.

O seno e o cosseno descrevem a mesma curva, porém com uma diferença de fase entre eles.

sin cos 6 -₂₇

Equação de onda

É basicamente uma equação diferencial que descreve uma onda. Ela estabelece uma condição para as funções de onda:

8²

8 ² ²8²8 ²

Velocidade transversal

Não confundir com a velocidade de propagação da onda. Os pontos de uma onda transversal se deslocam para cima e para baixo, e essa velocidade pode ser calculada com uma derivada parcial.

A velocidade transversal de um ponto na posição _: pode ser calculada por: ; : 8<₈:,

Interferência

A soma de duas ondas gera uma nova onda cuja altura é simplesmente a soma das alturas das ondas:

<= , #=. cos ( * )= <> , #>. cos ( * )>

⇒ < , <= , <> ,

Quando os <= e <> tem sinais diferentes, ocorre uma subtração, e esse efeito é chamado interferência destrutiva. Quando os sinais são iguais ocorre uma soma, e recebe o nome de interferência construtiva.

Note que como a função é um cosseno, a interferência construtiva irá acontecer quando a diferença de fase entre as ondas for um múltiplo par de -, e a interferência destrutiva um múltiplo ímpar.

No caso mais geral, a simplificação da expressão é complicada e extensa, porém há um caso simples de bastante relevância:

Ondas estacionárias

Ondas de mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos interferem causando uma onda estacionária. Fisicamente, isso acontece em situações que o meio restringe a onda de tal forma que ela interfira com suas próprias reflexões. Matematicamente, temos o seguinte:

<= , #. cos ( * )= <> , #. cos ( * )> Pela fórmula de Prostaférese, temos que:

< , 2#. cos @2( )₂= )>A . cos @2* )₂> )=A

< , 2#.

cos

Note que existem em que o cosseno valerá zero, e portanto < , será zero para qualquer tempo. Esse ponto é chamado de nó, e é um ponto que fica completamente parado.

Modos normais

No contexto de ondas estacionárias, modos normais são frequências de oscilação naturais definidas pelo meio em que estão. Existem infinitos modos normais, e geralmente recebem nome de harmônico e são ordenados.

Para calcular essas frequências, é necessário duas informações: o comprimento de onda e a velocidade ( + ). O comprimento de onda é obtido a partir do desenho do harmônico e relacionando com o tamanho da corda ou tubo.

Nesse exemplo, uma corda está presa entre duas paredes. No ponto de contato com a parede, o movimento fica restrito, e portanto aquele é obrigatoriamente um ponto de nó.

No caso de ondas sonoras, é possível ter um tubo aberto, então as extremidades da onda não seriam necessariamente um nó.

Batimento

Quando duas ondas de frequências parecidas interferem, ocorre um fenômeno chamado batimento. A amplitude da onda resultante varia com o tempo, é como se fosse um seno dentro de outro seno.

Efeito Doppler

É a aparente mudança de frequência de uma onda causada pelo movimento relativo entre a fonte e o observador.

O caso estudado na disciplina é o mais simples, unidimensional.

A frequência percebida pelo observador é dada pela fórmula:

DBE FDG;H DBE

FDG;H

Os sinais das velocidades do observador e da fonte são definidos em um referencial partindo do observador apontando para a fonte:

I J J →

Ondas numa corda

No caso de ondas numa corda, há duas fórmulas específicas que fornecem informações sobre a onda, a partir da densidade da corda.

Velocidade da onda numa corda:

K1_L Trabalho médio por ciclo:

M N L *₂>#>