3 Integral Indefinida

3 Integral Indefinida

3.1 Método da Substituição (ou Mudança de Variável) para Integração

As fórmulas de primitivação não mostram como calcular as integrais Indefinidas do tipo ∫ √5𝑥 + 7 𝑑𝑥

Mas algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando uma das formulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo é análogo a regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como segue:

Sejam as funções 𝑓 e 𝑔 tais que a imagem de g esteja contida no domínio de 𝑓 derivável. Suponhamos que 𝐹′ = 𝑓. Podemos considerar a função composta 𝐹 ∘ 𝑔. Assim pela regra da cadeia, temos

𝑑𝐹 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑔∙ 𝑑𝑔 𝑑𝑥 = 𝐹′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) isto é, 𝐹(𝑔(𝑥)) é uma primitiva de 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥).

Deste modo temos,

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐 = (𝐹 ∘ 𝑔)(𝑥) + 𝑐 Para simplificar será útil fazer 𝑢 = 𝑔(𝑥) logo sua derivada é

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑥)

na forma diferencial temos 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 e substituindo na integral temos

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐

Nem sempre é fácil decidir a substituição 𝑢 = 𝑔(𝑥) e em alguns casos, nenhuma escolha de 𝑢 = 𝑔(𝑥) funcionará. Para fazer a escolha de 𝑢 = 𝑔(𝑥) será útil seguir o roteiro abaixo:

1) Faça uma escolha favorável de 𝑢 = 𝑔(𝑥) de tal forma que a integral obtida seja mais simples. 2) Calcule 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑔′(𝑥).

3) Faça a substituição de 𝑢 = 𝑔(𝑥) e 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 na integral, produzindo uma integral que expressa apenas em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢. Caso ainda permanecer alguma outra variável que não seja 𝑢 uma nova escolha de 𝑢 = 𝑔(𝑥) deve ser feita.

4) Calcule a integral.

5) Substitua 𝑢 por 𝑔(𝑥) para expressar a resposta final apensas por uma única variável. Exemplos 1) Calcule as integrais. a) ∫ √5𝑥 + 7 𝑑𝑥 b)

∫

3.2 Método De Integração Por Partes

Até este ponto não temos condições de calcular integrais como ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 ou ∫ 𝑥2𝑒𝑥_𝑑𝑥

Mas existe um método de Integração que possibilita calcular anti-derivadas do produto de duas funções. Se 𝑓 e 𝑔 são funções diferenciáveis no intervalo I. Seja ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) então pela regra da diferenciação do produto

ℎ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) ou seja,

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′_{(𝑥) = ℎ}′_{(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥)} Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos

∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′_{(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ℎ}′_{(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓}′_{(𝑥) 𝑑𝑥} ou ainda,

∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′_{(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥} esta é chamada formula de Integração por partes.

Observamos que nesta expressão deixamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem ser representadas por uma única constante 𝑐, que introduziremos no final do processo.

Na pratica, costumamos fazer

𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑔(𝑥) e 𝑑𝑣 = 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 deste modo obtemos a equação

∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢

É importante uma escolha adequada para 𝑢 e 𝑑𝑣. Suponha, agora que se tenha que calcular ∫ 𝛼(𝑥) ∙ 𝛽(𝑥) 𝑑𝑥

Se você perceber que multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que possui primitiva imediata então aplique a regra de integração por partes. Exemplos

1) Resolver abaixo integrais

a) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥2𝑒𝑥_𝑑𝑥 Exercícios

1) Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. a) ∫ 𝑥2ln 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

A área do círculo Desde os tempos mais

antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que foi obtido por Arquimedes. Este procedimento consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Como exemplo, podemos citar o circulo. Para definir sua área, consideramos um polígono

regular inscrito de n lados, que denotamos por 𝑃𝑛. Seja 𝐴𝑛 a área do polígono 𝑃𝑛. Então, 𝐴𝑛 = 𝑛𝐴𝑇𝑛, onde 𝐴𝑇𝑛

e a área do triangulo de base 𝑙_𝑛 e altura ℎ_𝑛.

Como 𝐴_𝑇𝑛 = 𝑙𝑛₂ℎ𝑛 e o perímetro do polígono 𝑃_𝑛 e dado por 𝑝_𝑛 = 𝑛𝑙_𝑛, vem 𝐴_𝑛 = 𝑛𝑙𝑛ℎ𝑛

2 =

𝑝_𝑛ℎ_𝑛 2

Fazendo 𝑛 crescer cada vez mais, isto e, 𝑛 → +∞, o polígono 𝑃𝑛 toma-se uma aproximação do círculo. O perímetro 𝑝𝑛 aproxima-se do comprimento do circulo 2𝜋𝑟 e a altura ℎ𝑛 aproxima-se do raio 𝑟. Temos,

lim 𝑛→∞𝐴𝑛 =

2𝜋𝑟𝑟 2 = 𝜋𝑟

2

Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos da geometria elementar.

Outro exemplo da utilização do método de exaustão de Arquimedes é o calculo da área entre a curva 𝑦 = 𝑥2 _{e o eixo 𝑥 por duas retas 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 Para começar vamos subdividir o intervalo [0, 1] em 𝑛} sibintervalo [0, 1] iguais com comprimento de 1

𝑛 assim temos os subintervalos [0, 1 𝑛 ], [ 1 𝑛 , 2 𝑛 ], [ 2 𝑛 , 3 𝑛 ], ... , [ 𝑛−2 𝑛 , 𝑛−1 𝑛 ], [ 𝑛−1 𝑛 , 1 ] Construímos um retângulo cuja a altura seja o valor da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no extremos direitos, ou seja a altura de cada retângulo será

(1 𝑛) 2 , (2 𝑛) 2 , (3 𝑛) 2 , ... , (𝑛−1 𝑛 ) 2 , 12 A área total 𝐴_𝑛 de cada um dos 𝑛 retângulos será:

𝐴𝑛 = [( 1 𝑛) 2 + (2 𝑛) 2 + (3 𝑛) 2 + ⋯ + (𝑛 − 1 𝑛 ) 2 + 12] (1 𝑛)

Por exemplo, se 𝑛 = 4 área total dos retângulos será:

𝐴4= [( 1 4) 2 + (2 4) 2 + (3 4) 2 + 12] (1 4) = 15 32= 0,46875

Se 𝑛 = 10 área total dos retângulos será: 𝐴₁₀= [( 1 10) 2 + (2 10) 2 + (3 10) 2 + ( 4 10) 2 + (5 10) 2 + ⋯ + (9 10) 2 + 12_{] (}1 10) = 0,385 Se 𝑛 = 100 área total dos retângulos será:

𝐴100= [( 1 100) 2 + ( 2 100) 2 + ( 3 100) 2 + ⋯ + (99 100) 2 + 12] ( 1 100) = 0,33835 Se 𝑛 = 1000 área total dos retângulos será:

𝐴1000= [( 1 1000) 2 + ( 2 1000) 2 + ⋯ + (999 1000) 2 + 12] ( 1 1000) = 0,33383 Se 𝑛 = 10000 área total dos retângulos será:

𝐴10000 = [( 1 10000) 2 + ( 2 10000) 2 + ⋯ + (9999 10000) 2 + 12] ( 1 10000) = 0,33338

Se construímos um retângulo cuja a altura seja o valor da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 _{no extremos esquerdo, ou seja a altura de cada retângulo} será (0)2_{, (}1 𝑛) 2 , (2 𝑛) 2 , (3 𝑛) 2 , ... , (𝑛−1 𝑛 ) 2 , 12 A área total 𝐴𝑛 de cada um dos 𝑛 retângulos será:

𝐴𝑛 = [02+ ( 1 𝑛) 2 + (2 𝑛) 2 + (3 𝑛) 2 + ⋯ + (𝑛 − 1 𝑛 ) 2 ] (1 𝑛)

Por exemplo, se 𝑛 = 4 área total dos retângulos será:

𝐴4= [( 1 4) 2 + (2 4) 2 + (3 4) 2 ] (1 4) = 7 32= 0,21875

Se 𝑛 = 10 área total dos retângulos será: 𝐴₁₀ = [(1 10) 2 + (2 10) 2 + ( 3 10) 2 + (4 10) 2 + ⋯ + (9 10) 2 ] (1 10) = 0,285 Se 𝑛 = 100 área total dos retângulos será:

𝐴₁₀₀= [( 1 100) 2 + ( 2 100) 2 + ( 3 100) 2 + ⋯ + (99 100) 2 + 12_{] (} 1 100) = 0,32835 Se 𝑛 = 1000 área total dos retângulos será:

𝐴₁₀₀₀= [( 1 1000) 2 + ( 2 1000) 2 + ⋯ + (999 1000) 2 + 12_{] (} 1 1000) = 0,33283 Se 𝑛 = 10000 área total dos retângulos será:

𝐴₁₀₀₀₀ = [( 1 10000) 2 + ( 2 10000) 2 + ⋯ + (9999 10000) 2 + 12_{] (} 1 10000) = 0,33328

Construímos um retângulo cuja a altura seja o valor da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no o ponto médio de cada subintervalo, ou seja a altura de cada retângulo será

[(0 +1 𝑛) 1 2] 2 , [(1 𝑛+ 2 𝑛) 1 2] 2 , [(2 𝑛+ 3 𝑛) 1 2] 2 , [(3 𝑛+ 4 𝑛) 1 2] 2 , [(4 𝑛+ 5 𝑛) 1 2] 2 , ... , [(𝑛−2 𝑛 + 𝑛−1 𝑛 ) 1 2] 2 , [(𝑛−1 𝑛 + 1) 1 2] 2

A área total 𝐴𝑛 de cada um dos 𝑛 retângulos será:

𝐴𝑛= [( 1 2𝑛) 2 + (3 2𝑛) 2 + (5 2𝑛) 2 + ⋯ + (2𝑛 − 3 2𝑛 ) 2 + (2𝑛 − 1 2𝑛 ) 2 ] (1 𝑛)

Por exemplo, se 𝑛 = 4 área total dos retângulos será: 𝐴4 = [( 1 8) 2 + (3 8) 2 + (5 8) 2 + (7 8) 2 ] (1 4) = 84 256= 0,32125 Se 𝑛 = 10 área total dos retângulos será:

𝐴10= [( 1 10) 2 + (2 10) 2 + (3 10) 2 + (4 10) 2 + (5 10) 2 + ⋯ + (9 10) 2 + 12_{] (}1 10) = 0,3325

Se 𝑛 = 100 área total dos retângulos será: 𝐴₁₀₀= [( 1 100) 2 + ( 2 100) 2 + ( 3 100) 2 + ⋯ + (99 100) 2 + 12_{] (} 1 100) = 0,33332 Se 𝑛 = 1000 área total dos retângulos será:

𝐴₁₀₀₀= [( 1 1000) 2 + ( 2 1000) 2 + ⋯ + (999 1000) 2 + 12_{] (} 1 1000) = 0,33333 Assim área exata está próxima de 1

3, mostrando que lim 𝑛→∞𝐴𝑛 =

1 3

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana 𝑆,delimitada pelo gráfico de uma função continua não negativa 𝑓, pelo eixo dos 𝑥 e por duas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏

Para isso, fazemos uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏]. 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏

Seja ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 o comprimento do intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Em cada um destes intervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], escolhemos um ponto qualquer 𝑐𝑖. Para cada

i, i = 1, n, construímos um retângulo de base ∆𝑥_𝑖 e altura 𝑓(𝑐_𝑖). A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por 𝐴_𝑛 , é dada por:

𝐴_𝑛 = ∑ 𝑓(𝑐_𝑖) ∆𝑥_𝑖 𝑛

i = 1

Esta soma é chamada soma de Riemann da função 𝑓(𝑥). Definição. Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função continua, não negativa em [𝑎, 𝑏]. A área sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) de a até

b, é definida por

𝐴 = lim

𝑛→∞∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖 𝑛

i = 1

Observação: A definição acima só é válida para

uma função não negativa, ou seja, se 𝑓(𝑥) > 0, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Caso exista um 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑥) < 0, soma de Riemann é interpretada como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo 𝑥.

Observamos também que como 𝑛 é o número de subintervalos é o comprimento dos subintervalos, então quanto maior é o número de subintervalos menor é o seu comprimento se 𝑛 → ∞ então ∆𝑥_𝑖 → 0. Assim

𝐴 = lim 𝑛→∞∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖 𝑛 i = 1 = lim ∆𝑥𝑖→0 ∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖 𝑛 i = 1 Exercícios

1) Determine a soma de Riemann das as funções abaixo, quando 𝑐_𝑖 é extremo direito, extremo esquerdo e ponto médio de cada subintervalo.

a) 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥2 _{[0, 4] 𝑛 = 4 b) 𝑓(𝑥) =}1

𝑥 [1, 4] 𝑛 = 3

4 Integral Definida

Definição: Seja 𝑓 uma função definida no intervalo fechado [𝑎, 𝑏]. Para qualquer partição 𝑃 = {𝑎, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛−1, 𝑏} de [𝑎, 𝑏]. A integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏, denotada por

∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = lim max ∆𝑥𝑖→0 ∑ 𝑓(𝑐_𝑖) ∆𝑥_𝑖 𝑛 i = 1

Na notação ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥, os números 𝑎 e 𝑏 são chamados limites de integração, onde 𝑎 é o limite inferior e 𝑏 é o limite superior.

Observação: Se o limite da definição acima existir, então 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏] e dizemos que a integral definida ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥 existe.

Teorema 4.1: Se 𝑓 é uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então f é integrável em [𝑎, 𝑏].

Teorema 4.2: Se 𝑓 e 𝑔 são funções integráveis em [𝑎, 𝑏]e k é uma constante, então 𝑘𝑓 e 𝑓 + 𝑔 são integráveis em [𝑎, 𝑏] e

i) ∫ 𝑘𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥

ii) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] _𝑎𝑏 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥 Definição: Se 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏], então definimos

i) ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0

ii) ∫ 𝑓(𝑥) _𝑎𝑏 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) _𝑏𝑎 𝑑𝑥

Teorema 4.3: Se 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏] e 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑐] e em [c, b], então ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑐 𝑑𝑥

Teorema Fundamental do Cálculo: (Parte 1): Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏]. Então a função 𝐺: [𝑎, 𝑏] → ℝ definida por

𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥

𝑎

𝑑𝑡

para todos os pontos 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então 𝐺 é uma anti-derivada de 𝑓 em [𝑎, 𝑏] ou seja, 𝐺′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Teorema Fundamental do Cálculo: (Parte 1): Se 𝑓 é contínua sobre [𝑎, 𝑏] e se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], então

∫ 𝑓(𝑡) 𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Observação; A diferença 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) usualmente é denotada por 𝐹(𝑡)|_𝑎𝑏_{. Também escrevemos,} ∫ 𝑓(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡)|_𝑎𝑏= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Exemplos

a) ∫ 𝑥₀1 𝑑𝑥 = b) ∫ (𝑥₋₁3 3+ 1)𝑑𝑥 = c) ∫ 𝑒₁3 𝑥𝑑𝑥 = Observação: a Integral ∫ 1

𝑥 3

−1 𝑑𝑥 não pode ser calculada, pois a função 𝑓(𝑥) = 1

𝑥2 não é contínua no intervalo

[−1, 3]. a) ∫₁2_𝑥1𝑑𝑥 = Exercícios

1) Calcule as integrais definidas:

a) ∫ (6𝑥 − 1)₁2 𝑑𝑥 = b) ∫ 2𝑥(𝑥 + 1)₁2 𝑑𝑥 = c) ∫ (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)₁2 𝑑𝑥 = d) ∫ (3𝑥 + 1)₁2 2𝑑𝑥 = e) ∫ 𝑥(1 + 𝑥₋₁2 3)𝑑𝑥 = f)

∫

Até agora a definição de área de uma região plana, só considerava valores funcionais não-negativos no intervalo de [𝑎, 𝑏]. Suponhamos agora uma função 𝑓 continua que admita valores tanto positivos quanto negativos em [𝑎, 𝑏]. Deste modo estendemos o conceito de área de uma região plana. Mas devemos ter o cuidado de distinguir a entre “área liquida com sinal” e “a área total”.

Definição: Seja 𝑓 uma função continua em [𝑎, 𝑏] então a área liquida com sinal entre a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝑎, 𝑏] é definida por

𝐴𝑙= lim 𝑛→∞∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖 𝑛 i = 1 ou seja 𝐴𝑙 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Exemplo

1) Encontre a área liquida com sinal da região R, limitada pela curva 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 e pelo eixo dos 𝑥 de 0 até 2𝜋. Definição: Seja 𝑓 uma função continua em [𝑎, 𝑏] então “a área

total” ou simplesmente área a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝑎, 𝑏] é definida por 𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 Vejamos as situações que comumente ocorrem.

Caso I: Cálculo da área da região plana limitada pelo gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e retas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 e o eixo dos 𝑥, onde 𝑓 é contínua e 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Neste caso, a área é dada por 𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Exemplo

2) Calcule a área da região limitada pela curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e pelas retas 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑦 = 0.

Caso II. Cálculo da área da região plana limitada pelo gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), pelas retas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 e o eixo dos 𝑥, onde 𝑓 é contínua e 𝑓(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) é dada por 𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Exemplo

Sugestão: precisamos saber onde a curva intercepta o eixo dos 𝑥

Caso III. Cálculo da área da região plana limitada pela curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥), pelas retas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 e o eixo dos 𝑥, onde 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] e 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), 𝑓(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑑) e 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑑, 𝑏)

Neste caso, a área é dada por 𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑐 𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 𝑐 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑑 Exemplo

4) Encontre a área da região R, limitada pela curva 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 e pelo eixo dos 𝑥 de 0 até 2𝜋.

Sugestão: precisamos saber onde a curva intercepta o eixo dos 𝑥 e dividir a região R em duas sub-regiões R1 e R2.

5) Determine a área da região, limitada pela curva 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 𝑥2− 2𝑥 e pelo eixo dos 𝑥.

Exercícios

1) Determine a área liquida com sinal e área total limitada pela curva dadas. a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2_{, eixo 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3}

b) 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥 − 𝑥2, eixo 𝑥, c) 𝑓(𝑥) = 1