Z A Q U E U V I E I R A O L I V E I R A
CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E
IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
UMA CONCEPÇÃO DE MATEMÁTICA
AO LONGO DA HISTÓRIA
•
Ciência das quantidades
• Platão: diferencia as grandezas percebidas
(mundo real) pelos sentidos das ideais (mundo ideal)
• Aristóteles: diferença entre aquilo que pode ser
percebido pelos sentidos (mundo sensível) e o que só pode ser compreendido pelo intelecto (mundo inteligível)
• Kant: na matemática, a construção de conceitos
só é possível por meio da intuição a priori do espaço, ou seja, o conhecimento das
“... o matemático estuda noções obtidas por abstração (de fato, estuda suprimindo todos os
aspectos sensíveis, como o peso e a leveza, a dureza e seu contrário, o calor e o frio, e as demais contrariedades sensíveis. Enquanto que deixa somente o quantitativo e o contínuo, seja em uma ou em duas ou em três dimensões, assim
como as propriedades que possuem enquanto são quantidades e magnitudes continuas, e não
as estuda segundo nenhum outro aspecto. Em alguns casos estuda as posições recíprocas e as propriedades que lhes correspondem, e em outros
casos estuda as comensurabilidades e as incomensurabilidades, e em outros as
proporções...)”
“Todas essas ciências particulares chamadas comumente matemáticas; ... embora seus objetos sejam diferentes todas coincidem em
só considerarem as diversas relações e proporções que neles se encontram”.
A matemática é somente uma linguagem para
descrever a realidade ou a ela está associado a algum
conteúdo intrínseco?
Toda a realidade é “matematizável” ou
haverá partes da realidade que a
matemática não atinge? A matemática
“supera” o real?
As abstrações
matemáticas são “mais ricas” que a realidade?
O que uma distinção entre matemática pura e
matemática aplicada implica?
Seria possível à atividade teórica desvincular-se intencionalmente da atividade prática na matemática? O que é o concreto na matemática?
ABSTRATO X CONCRETO
TEORIA X PRÁTICA
COMO RESPONDER A ESSAS QUESTÕES?
Respostas do tipo sim ou não podem levar a respostas triviais
Respostas “definitivas” implica num modo de pensar “que se fundamenta numa estreita lógica
formal”. Isso pode conduzir a nada ou, dependendo do modo como se argumenta,
CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E
IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
•
“A matemática é independente do empírico”
•
“A matemática é o estudo das estruturas
abstratas”
“A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO
EMPÍRICO”
• Final do século XIX – matemática vista com
independente do empírico
“Como pode a matemática, sendo acima de tudo um produto do pensamento humano, independente da experiência, se adaptar tão
admiravelmente à realidade objetiva?”
“A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO
EMPÍRICO”
“Somos de raça divina e possuímos o poder de criar”
Richard Dedekind
“Deus fez os inteiros, todo o resto é trabalho do homem”
Leopold Kronecker
• O matemático é o criador do próprio universo
DEPENDÊNCIA X INDEPENDÊNCIA
DO MUNDO EMPÍRICO
•
Exemplos históricos de “descobertas de
teoremas” sugeridos anteriormente pelo
empírico:
• Teorema de Pitágoras e a relação com as cheias e
secas do Rio Nilo na Antiguidade
• Estudos de Newton dependeram de dados empíricos
deixados por Kepler, Tycho Brahe e Galileu
• A teoria da gravitação universal de Newton não
levam diretamente a teoria da relatividade de Einstein
• E a própria teoria da relatividade só será confirmada
Platão
Mundo real e
mundo ideal
Kant
Matemática como
“construção de
conceitos”
Aristóteles
Coisas sensíveis e
coisas inteligíveis
Bachelard
Matemática, história
e obstáculos
epistemológicos
“A MATEMÁTICA É OU NÃO É
INDEPENDENTE DO EMPÍRICO?”
PENSAMENTO MATEMÁTICO E
EXPERIÊNCIA
•
Matemática relacionada à Experiência
• As abstrações matemáticas possuem uma raiz
empírica, mesmo que aqueles que as manipulam não tenham total consciência
•
Matemática independente da experiência
• “Vulgarização” da geometria e as “tentativas” de
se afastar do empírico: cálculo, mecânica, GA
• Real como subproduto da imaginação e o
distanciamento do concreto
• A atividade do matemático é “livre e
“Em toda construção abstrata há um
resíduo intuitivo (da experiência concreta) que é impossível eliminar”
“A MATEMÁTICA É O ESTUDO DAS
ESTRUTURAS ABSTRATAS”
• A abstração constitui-se matéria-prima para a
matemática pura
• O maior equívoco, segundo Machado (2013), é a
desvinculação entre abstrato e concreto
Empírico Teórico
•
O pensamento, através do sensório-material,
busca o racional
•
O conhecimento proveniente das coisas
sensíveis gera o senso comum
•
O conhecimento científico provém do sensível,
mas também da interpretação e da análise do
que se observa
≠
Sensorial Racional ≠
•
No empírico, o objeto é representado somente
através de suas manifestações mais significativas;
tem uma relação com o experimentador
•
O conhecimento teórico se origina à partir de
uma elaboração racional dos dados do empírico
•
Existem situações em que o teórico é que passa a
originar o empírico
≠
Sensorial Racional ≠
• Pensar que o concreto conduz ao abstrato leva a
“um beco sem saída”: as abstrações são cada vez mais distantes do real
• Há o caminho de ida e de volta do abstrato ao
concreto, porém é preciso discernir o ponto de partida (multifacetado) do concreto-ponto de chegada (reduzido a uma
representação do real)
• O pensamento se afasta do concreto para que,
em seguida, aproxime-se dele novamente
Pensamento Teórico
Experiência Sensorial
“Grande parte das dificuldades especiais que são atribuídas ao conhecimento matemático decorre justamente do fato de a matemática ser considerada o lugar das abstrações... Entretanto,
não são suas características intrínsecas que a empurram para o terreno das abstrações, mas sim as características, digamos, impostas, ou que
nos acostumamos a associar-lhes. Quando considerada de um ponto de vista
epistemológico mais consistente, a matemática é o lugar das abstrações tanto quanto o são a
Música, ou a Literatura, por exemplo”.
“A MATEMÁTICA ENSINA A PENSAR”
• Pensar (v. trans. e intrans.): “pensa-se em alguma
coisa ou alguma coisa, e de alguma forma”
Pensamento Latu
Sensu
•Processo autônomo
em relação á
linguagem
•Relações entre
conceitos decorrem
de suas identidades
Pensamento
Matemático-Formal
•Linguagem como
condição de
legitimidade
•Relações
determinam os
conceitos
"Do mesmo modo que todo mundo há de aprender a linguagem e a escrita antes de
poder servir-se livremente delas para a expressão de seus sentimentos, aqui só há urna maneira de eludir o peso das fórmulas. E
esta consiste em adquirir tal domínio do instrumento [...] que, sem trava alguma da
técnica formal, possamos encarar os verdadeiros problemas...”
PENSAMENTO E LINGUAGEM
• O pensamento se processa através de operações
que podem ser inexprimíveis
• Mas, o pensamento não pode estar desligado da
linguagem, de modo que, um pensamento mal comunicado acaba sendo perdido
• O pensamento matemático caracteriza-se pelas
relações; o todo dá significado às partes
“Concluindo, podemos dizer que a matemática ajuda a pensar assim como a física, a história, a
biologia, assim como pensar ensina a pensar” Nilson José Machado, Matemática e Realodade
CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E
IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
•
“A matemática é independente do empírico”
•
“A matemática é o estudo das estruturas
abstratas”
•
“A matemática ensina a pensar”
•
“A matemática é estática, a-histórica e
dogmática”
•
“O professor de matemática é o portador do
verdadeiro matemático”
•
“A matemática é um conhecimento para
CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E
IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
Particular
Geral
Conhecido
Desconhecido
Conhecimento (Matemático)
Finalizado
Imutável
Processo
Mutável
Competências
iniciais do
aluno são
desprezadas
Importa o que o aluno
já sabe e as ações dele
são importantes na
construção do “novo”
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IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
A resolução de problemas enfatiza a manipulação de material concreto ou
manipulativo como precedentes às operações formais da matemática, buscando a significação
do conteúdo
A matemática sendo concebida como um sistema de conceitos/ideias inter-relacionadas
deve ser organizada de modo que os alunos sempre tenham conhecimento dos conteúdos
CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E
IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
Há uma estreita relação entre a concepção de matemática do professor e a prática pedagógica
Contudo, não é frutífero limitar a concepção de matemática do
professor, mas deve-se permitir que ele possa atuar em práticas diferentes, de
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ABBAGNANNO, Nicolá. Dicionário de Filosofia. SãoPaulo: Martins Fontes, 2007.
• BARALDI, Ivete Maria. Refletindo sobre as
Concepções de Matemática e suas Implicações para o Ensino diante do ponto de vista dos alunos. Mimesis. v. 20, n. 1, p. 7-18, 1999.
• MACHADO, Nilson José. Alguns lugares-comuns:
crítica. In: Matemática e Realidade: das
concepções às ações docentes. 8ª ed. São Paulo: Cortez, 2013.
