Estrutura de Covariância Espacial Multivariada Não Separável

(1)

Estrutura de covariˆ

ancia espacial

multivariada n˜

ao separ´

avel

Rafael Santos Erbisti

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´

atica

Departamento de M´etodos Estat´ısticos

2015

(2)

Estrutura de covariˆ

ancia espacial multivariada n˜

ao

separ´

avel

Rafael Santos Erbisti

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Aprovada por:

Tha´ıs Cristina Oliveira da Fonseca DME/IM - UFRJ - Orientadora.

Mariane Branco Alves DME/IM - UFRJ - Coorientadora.

Alexandra Mello Schmidt DME/IM - UFRJ.

Juliano Junqueira Assun¸c˜ao Dpto. Economia - PUC Rio.

Rio de Janeiro, RJ - Brasil 2015

(3)

CIP - Catalogação na Publicação

Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

E65e

Erbisti, Rafael Santos

Estrutura de covariância espacial multivariada não separável / Rafael Santos Erbisti. -- Rio de Janeiro, 2015.

53 f.

Orientadora: Thaís Cristina Oliveira da Fonseca. Coorientadora: Mariane Branco Alves.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Estatística, 2015. 1. geoestatística. 2. funções de covariância cruzada. 3. funções de covariância espacial multivariada não separáveis. 4. dimensões latentes. 5. inferência bayesiana. I. Fonseca, Thaís Cristina Oliveira da, orient. II. Alves, Mariane Branco, coorient. III. Título.

(4)

Aos meus pais, pela educa¸c˜ao, exemplo e incentivo que sempre deram.

(5)

Agradecimentos

A todos que contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho, fica expresso aqui minha gratid˜ao, especialmente:

As minhas orientadoras, Thais Fonseca e Mariane Alves, pela disponibilidade e de-dica¸cão. Agrade¸co por poder trabalhar com tão excelentes profissionais. O conhecimento e experiência transmitidos por vocês foram essenciais para meu desenvolvimento.

Aos meus pais, Renzo Erbisti e Bellanir Erbisti, por sempre acreditarem e me apoia-rem em todos os momentos. Sem vocˆes nada disso seria poss´ıvel.

A minha irm˜a, Juliana Erbisti, pelo companheirismo e amizade de toda a vida. A Paloma Rocha, por me apoiar em todos os momentos, me ajudando no que fosse preciso, sempre com muito amor, carinho e paciˆencia.

Agrade¸co aos amigos Caroline Ponce, Juliana Freitas e Luiz Fernando Costa, que me acompanharam durante esses dois anos de mestrado. Dividimos experiências, preo-cupa¸cões e madrugas em claro, mas também dividimos alegrias, muitas risadas e bons momentos, principalmente às ter¸cas-feiras, quando, depois de horas de estudo, ped´ıamos pizza para aliviar o estresse.

A Paulo Tafner e Carolina Botelho, por todo apoio e colabora¸c˜ao.

A professora Alexandra Schmidt, pelo apoio e incentivo que recebi desde a conversa que tivemos ao final do processo seletivo do mestrado.

Agrade¸co a todos os professores do programa de pós-gradua¸cão em Estat´ıstica da UFRJ que, de alguma forma, contribu´ıram para a minha forma¸cão.

(6)

Resumo

A aplica¸cão de modelos espaciais tem crescido substancialmente em diversas áreas, como, por exemplo, nas ciências ambientais, ciências climáticas e agricultura. O obje-tivo deste trabalho é introduzir uma nova classe de fun¸cões de covariância não separável para dados espaciais multivariados. Com isso, precisamos especificar uma fun¸cão de co-variância cruzada válida, que define a dependência entre componentes do vetor resposta entre as localiza¸cões. Entretanto, sabemos que fun¸cões de covariância cruzada não são simples de serem especificadas. A fun¸cão de covariância não separável proposta é base-ada na combina¸cão convexa de fun¸cões de covariância separáveis e em dimensões latentes que representam as componentes. A partir de algumas proposi¸cões foi observado que a estrutura de covariância encontrada é válida e flex´ıvel. Além disso, utilizamos apro-xima¸cões de matrizes de covariância cheia a partir do produto de Kronecker de duas matrizes separáveis de menor dimensão. Essas aproxima¸cões foram aplicadas apenas na fun¸cão de verossimilhan¸ca para que a interpreta¸cão do modelo não fosse desconsiderada. Analisamos o caso mais simples do modelo proposto e encontramos resultados bastante satisfatórios. Vimos também que há a necessidade de estudar outras especifica¸cões da fun¸cão proposta.

Palavras-Chaves: geoestat´ıstica, modelos espaciais multivariados, fun¸cões de covariância cruzada, fun¸cões de covariância espacial multivariada não separáveis, dimensões latentes, inferência bayesiana.

(7)

Abstract

Spatial models have been increasingly applied in several areas, such as environmental science, climate science and agriculture. This work aimed to introduce a new class of non-separable covariance functions for multivariate spatial data. Therefore, we have to specify a valid cross-covariance function, which defines the dependency of the response vector components between the locations. However, we know that cross-covariance functions are not easily specified. In this work, we propose a nonseparable covariance function that is based on the convex combination of separable covariance functions and on the latent dimensions that represent the components. Based on some propositions, it was observed that this covariance structure is valid and flexible. Moreover, we use approximations of full-covariance matrices from the Kronecker product of two separable matrices of minor dimensions. These approximations have been applied only to the likelihood function in order to not disregard the interpretation of the model. We analyzed the simplest case of the proposed model and satisfactory results were obtained. Furthermore, we observed that it is necessary to study other specifications of the proposed function.

Keywords: geostatistics, multivariate spatial models, cross covariance functions, non-separable multivariate spatial covariance, functions, latent dimensions, bayesian infe-rence.

(8)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Modelos para an´alise geoestat´ıstica 4

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 4

2.2 Modelo univariado . . . 6

2.3 Modelo multivariado . . . 7

2.3.1 Modelos separ´aveis . . . 8

2.3.1.1 Limita¸c˜oes dos modelos separ´aveis . . . 8

2.3.2 Algumas propostas de modelos multivariados. . . 10

3 Modelo proposto 14 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 14

3.2 Representa¸c˜ao por mistura . . . 14

3.2.1 Introdu¸c˜ao. . . 14

3.2.2 Representa¸c˜ao por mistura proposta . . . 15

3.2.3 Estrutura de covariância não separável . . . 16

3.2.4 Fun¸c˜ao proposta . . . 18

3.2.4.1 Reparametriza¸c˜ao . . . 18

3.2.4.2 Alguns modelos . . . 20

3.2.5 Conclus˜oes. . . 22

4 Procedimento de inferˆencia 23 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 23

(9)

4.2 Inferˆencia Bayesiana . . . 24

4.2.1 Especifica¸c˜oes . . . 24

4.2.2 Previs˜ao . . . 25

5 Aproxima¸cões separáveis 27 5.1 Introdu¸cão . . . 27

5.2 Solu¸c˜ao do problema PPKCC . . . 28

5.3 Erro de aproxima¸c˜ao . . . 29

5.3.1 Comportamento do erro de aproxima¸c˜ao . . . 30

5.4 Utilizando a aproxima¸c˜ao separ´avel . . . 30

6 Exemplos simulados 39 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 39

6.2 Simula¸c˜ao 1 . . . 39

6.3 Simula¸c˜ao 2 . . . 42

6.4 Coment´arios . . . 43

(10)

Lista de Tabelas

5.1 Resumo das distribui¸c˜oes a posteriori de cada modelo. . . 34

(11)

Lista de Figuras

5.1 Erro de Aproxima¸c˜ao por Separabilidade variando o valor do parˆametro de separabilidade α0. Linha vermelha avalia o erro utilizando duas

compo-nentes (p = 2) e a linha preta com trˆes componentes (p = 3). (a) Mesmos alcances espaciais. (b) Alcances espaciais diferentes para cada componente. 31

5.2 Resumo das observa¸cões simuladas: (a) localiza¸cões. (b) matriz de co-variância. (c) histograma da componente 1. (d) histograma da compo-nente 2. . . 32

5.3 Curvas de contorno da fun¸cão de verossimilhan¸ca. (1) curvas em preto: estrutura de covariância não separável. (2) curvas em vermelho: estrutura de covariância aproximada. . . 36

5.4 Curvas a posteriori e curva a priori. (1) curva vermelha: posteriori estru-tura aproximada. (2) curva preta: posteriori estruestru-tura n˜ao separ´avel. (3) curva azul tracejada: priori. . . 37

5.5 Previsões e erro quadrático médio (EQM). (1) pontos vermelhos: valores observados. (2) pontos pretos: valores preditos. . . 38

6.1 Cadeias da distribui¸c˜ao a posteriori. (1) linha azul: valor verdadeiro. . . 44

6.2 Histograma da distribui¸c˜ao a posteriori. (1) linha vermelha: verdadeiro valor. . . 45

6.3 Fun¸cões de covariância: mediana a posteriori (linha azul cheia), intervalo de credibilidade de 95% (linha azul tracejada), fun¸cão do modelo original (linha verde cheia). . . 46

(12)

6.5 Fun¸cões de covariância: mediana a posteriori (linha azul cheia), intervalo de credibilidade de 95% (linha azul tracejada), fun¸cão do modelo original (linha verde cheia). . . 48

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A estat´ıstica espacial é a área da estat´ıstica que estuda métodos para a coleta, des-cri¸cão, visualiza¸cão, modelagem e análise de dados que possuem coordenadas geográficas, ou seja, é a área na qual se considera a importância do arranjo espacial na análise ou inter-preta¸cão dos resultados. De fato, na avalia¸cão de certos tipos de fenômenos a utiliza¸cão da dimensão espacial pode trazer resultados mais realistas do que quando a ignoramos. Por exemplo, ao tratarmos dados sobre pre¸cos de imóveis na cidade do Rio de Janeiro fica clara a importância de considerar informa¸cões sobre localiza¸cões geográficas na mo-delagem, já que muitos fatores espaciais podem influenciar o pre¸co de um imóvel, tais como proximidade de regiões de favela, tipos de transportes públicos no entorno etc.

Os diferentes tipos de dados espaciais são geralmente classificados de acordo com sua natureza. De maneira geral, podemos dizer que a estat´ıstica espacial pode ser dividida em três grandes áreas: processos pontuais, dados de área e geoestat´ıstica (Cressie,1993). Neste trabalho iremos nos concentrar em dados georreferenciados, que segundo Sch-midt e Sansó(2006), são obtidos a partir de localiza¸cões fixas ao longo de uma região de interesse, possivelmente em diferentes instantes do tempo. Ao analisar observa¸cões desse tipo, espera-se que medidas feitas em localiza¸cões próximas entre si sejam altamente correlacionadas, enquanto que para localiza¸cões separadas por grandes distâncias, ocorra um comportamento mais independente. Como exemplo, podemos considerar a tempera-tura medida nas esta¸cões meteorológicas de Copacabana, Ipanema e Bangu. É razoável pensar que haja um comportamento semelhante entre as temperaturas de Copacabana e

(14)

Ipanema, porém, as temperaturas de Copacabana e Bangu tendem a ser independentes, devido à distância entre essas duas regiões. Com isso, é natural pensar que o principal in-teresse na modelagem de dados georreferenciados é especificar uma fun¸cão que capte essa dependência espacial. Neste contexto, a fun¸cão que desempenha esse papel é a fun¸cão de covariância.

A utiliza¸cão de fun¸cões de covariância estacionárias e isotrópicas é bastante comum. Segundo Schmidt e Sansó (2006) estacionariedade exige que as fun¸cões de média e co-variância sejam invariantes sob transla¸cões e isotropia corresponde a uma simetria radial onde a dependência entre localiza¸cões é determinada, simplesmente, pela distância entre elas.

A aplica¸cão de modelos espaciais tem crescido substancialmente em diversas áreas. Frequentemente, as observa¸cões são multivariadas, isto é, há um vetor de respostas em diversas localiza¸cões ao longo do espa¸co. Em outras palavras, dada a localiza¸cão, é poss´ıvel obter informa¸cões sobre diferentes componentes, por exemplo, esta¸cões de moni-toramento do ar podem medir n´ıveis de diversos poluentes, tais como ozônio, monóxido de carbono, óxidos de nitrogênio, material particulado etc.

A literatura sobre abordagens capazes de modelar dados espaciais multivariados é extensa. Banerjee et al. (2004) apresentam alguns métodos de modelagem para dados dessa natureza. Um deles está baseado na ideia de separabilidade. De fato, o uso de modelos separáveis é conveniente, pois a matriz de covariância pode ser expressa como um produto de Kronecker de matrizes menores vindas da dimensão espacial e do vetor de respostas e, assim, determinantes e inversas são facilmente obtidos, fornecendo consi-derável ganho computacional. Entretanto, essa abordagem possui algumas desvantagens que serão discutidas neste trabalho.

Outro método bastante conhecido é o modelo de coregionaliza¸cão linear (MCL), que permite modelar dados multivariados utilizando alcances diferentes e estrutura de co-variância não separável. Este modelo e suas generaliza¸cões estão descritos e muito bem definidos em Banerjee et al. (2004).

Apanasovich e Genton (2010) apresentam uma classe geral de modelos flex´ıveis e computacionalmente vi´aveis. Um dos objetivos do artigo ´e representar o vetor de

(15)

com-ponentes a partir de dimens˜oes latentes (pontos) no espa¸co k-dimensional, 1 ≤ k ≤ p, p sendo o n´umero de componentes.

O objetivo deste trabalho é introduzir uma classe de modelos de covariância não separável para dados multivariados espaciais baseada na ideia de Fonseca e Steel (2011) e também na representa¸cão do vetor de componentes apresentada por Apanasovich e Genton (2010). A partir de algumas proposi¸cões é poss´ıvel observar que a estrutura de covariância encontrada é válida e flex´ıvel. Ademais, a matriz de covariância não necessariamente será simétrica.

Este trabalho está organizado em sete cap´ıtulos, incluindo este. O segundo cap´ıtulo especifica os modelos univariado e multivariado com estrutura separável. Além disso, faz uma breve revisão sobre as princiais caracter´ısticas dos modelos de coregionaliza¸cão linear e da proposta de Apanasovich e Genton (2010). O cap´ıtulo 3 introduz uma nova classe de modelos de covariância não separável baseado na ideia de Fonseca e Steel(2011) e na defini¸cão de dimensões latentes proposta por Apanasovich e Genton (2010). O quarto cap´ıtulo apresenta o procedimento de inferência feito na estima¸cão do modelo proposto. O cap´ıtulo 5 mostra como encontrar aproxima¸cões separáveis para a matriz de covariância cheia com estrutura não separável. O penúltimo cap´ıtulo apresenta simula¸cões que ana-lisam o desempenho do modelo proposto em captar e gerar estruturas separáveis. Por fim, o cap´ıtulo 7 apresenta as conclusões e trabalhos futuros desta pesquisa.

(16)

Cap´ıtulo 2

Modelos para an´

alise geoestat´ıstica

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Segundo Cressie (1993), os dados geoestat´ısticos podem ser considerados uma rea-liza¸cão de um processo estocástico {Y (s) : s ∈ D}, onde D é um subconjunto de <d com volume d-dimensional positivo. Em outras palavras, o ´ındice espacial s varia continu-amente ao longo da região D. Geralmente d = 2 (latitude e longitude) ou d = 3 (por exemplo, latitude, longitude e altitude).

A principal discussão sobre a análise de dados espaciais se refere ao modo de se fazer inferência sobre o processo espacial Y (s) e, posteriormente, prever em localiza¸cões novas ou não medidas (Banerjee et al., 2004).

Antes de definir os modelos utilizados para tratar dados geoestat´ısticos, apresenta-remos os conceitos de estacionaridade e isotropia descritos em Banerjee et al. (2004). Assim, assuma que o processo espacial tenha média µ(s) = E[Y (s)] e que a variância de Y (s) exista para todo s ∈ D. Portanto, o processo é dito fracamente esta-cionário se a média é constante para toda localiza¸cão s ∈ D (isto é, µ(s) = µ) e se Cov(Y (s), Y (s0)) = C(s − s0), para todo s, s0 ∈ D. Note que essa última condi¸cão implica que a covariância entre quaisquer duas localiza¸cões s e s0 pode ser resumida a partir de uma fun¸cão de covariância que depende apenas da distância entre s e s0. Baseado em

Schmidt e Sansó (2006), a isotropia é uma restri¸cão mais forte, pois corresponde a uma simetria radial onde a fun¸cão que define a dependência entre localiza¸cões é determinada

(17)

pela distˆancia entre elas. Em outras palavras, C(s, s0) = C(ks − s0k), onde ks−s0_{k denota}

a distˆancia euclidiana entre s e s0.

Observe que quando um processo é estacionário e isotrópico, sua variância é constante e os elementos da matriz de covariância podem ser escritos como a multiplica¸cão de σ2

(variância) e uma fun¸cão de correla¸cão válida (isto é, positiva definida) que depende da distância euclidiana das localiza¸cões e de um vetor paramétrico. É de se esperar que a fun¸cão de correla¸cão seja monótona não-crescente e que exista algum parâmetro que controle seu decaimento, já que é ela a responsável pela suavidade do processo.

Há diversas fun¸cões de correla¸cão válidas existentes na literatura. Aqui, vamos listar duas delas:

1. Fam´ılia exponencial potˆencia

ρ(h; Θ) = exp ( − h θ1 θ2) (2.1)

onde h ´e a distˆancia euclidiana entre dois pontos no espa¸co, θ2 ∈ (0, 2]. Quando

θ2 = 2 temos um caso particular da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao gaussiana. Quando θ2 = 1

obtemos a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao exponencial.

2. Fam´ılia cauchy

ρ(h; Θ) = 1 + h θ1

θ2!−θ3

(2.2)

onde h ´e a distˆancia euclidiana entre dois pontos no espa¸co, θ1 > 0 , θ2 ∈ (0, 2] e

θ3 > 0.

Frequentemente, Y (s) segue um processo gaussiano e com isso, precisamos especificar apenas o primeiro e o segundo momentos da distribui¸c˜ao. Neste trabalho, todos os processos espaciais analisados s˜ao gaussianos.

Antes de come¸carmos a apresentar os modelos geoestat´ısticos é importante definir o conceito de alcances espaciais. Para tratar disso, voltaremos ao exemplo citado no cap´ıtulo 1. Vimos que é natural assumir que as temperaturas medidas nas esta¸cões meteorológicas de Copacabana e Ipanema tendem a ter uma maior correla¸cão do que as temperaturas de Copacabana e Bangu, pois os dois primeiros bairros são vizinhos e

(18)

estão localizados próximos ao mar e também porque há uma grande distância geográfica entre Bangu e a Zona Sul, sendo Bangu um bairro afastado da orla da cidade. Assim, ´

e razoável pensar que a correla¸cão diminui conforme a distância aumenta, porém, como saber qual é o valor da distância na qual a correla¸cão cai para valores desprez´ıveis? O alcance espacial é justamente o valor dessa distância.

Nas próximas se¸cões são apresentados alguns métodos para análise de dados geoes-tat´ısticos.

2.2 Modelo univariado

Esta se¸cão introduz a análise de processos espaciais a partir do caso mais simples, isto é, processos que analisam a dependência espacial de apenas uma componente.

Para isso, considere o processo espacial {Y (s) : s ∈ D}, onde D ⊂ <d_{. Normalmente,}

em geoestat´ıstica, dadas as observa¸c˜oes do processo de interesse em n localiza¸c˜oes, Y = [Y (s1), Y (s2), ..., Y (sn)]T, assume-se que

Y|µ, Σ ∼ Nn(µ, Σ)

onde µ é um vetor de dimensão n representando a média do processo e Σ é uma matriz n × n que representa a estrutura de covariância.

A partir disso, podemos descrever o processo Y(.) atrav´es do modelo

Y = Xβ + ε (2.3)

onde X representa a matriz das variáveis explicativas, β é o vetor de parâmetros das regressoras e ε é o erro aleatório tal que ε ∼ Nn(0, Σ). Sabe-se que cada elemento da

matriz de covariância depende somente da variância do processo e de uma fun¸cão de correla¸cão espacial válida. Considerando um processo estacionário de segunda ordem (fracamente estacionário), temos que

Cov[Y (s), Y (s0)] = C(s − s0) = C(h), ∀s, s0 ∈ D

depende apenas das distâncias entre as localiza¸cões s e s0, h = s - s0. Portanto, a matriz de covariância será dada por

(19)

onde σ2 é a variância do processo e ρ(., Φ) é uma fun¸cão de correla¸cão válida. Observe que Φ é o vetor paramétrico que descreve a fun¸cão de correla¸cão.

2.3 Modelo multivariado

Quando se faz inferência com base em dados multivariados, como por exemplo, dife-rentes fatores climáticos mensurados em esta¸cões meteorológicas, o objetivo principal é identificar a dependência entre as variáveis medidas em todas as localiza¸cões.

Para isso, denotaremos Y(s) como o vetor de variáveis aleatórias na localiza¸cão s, de dimensão p × 1, ou seja, Y = [Y(s1), Y(s2), ..., Y(sn)]T, onde Yi(s) representa a i-ésima

variável, i = 1, 2, ..., p, na localiza¸cão s ∈ D. Deste modo, se Y é dito um processo gaussiano, para defini-lo, precisamos determinar apenas dois objetos de análise: a fun¸cão de média e as fun¸cões de covariância cruzada (Apanasovich et al., 2012).

A fun¸cão de covariância cruzada válida irá definir a dependência entre as componentes do vetor resposta. Entretanto, sabe-se que fun¸cões de covariância cruzada não são simples de serem especificadas, pois para qualquer número de localiza¸cões e qualquer escolha dessas localiza¸cões, a matriz de covariância resultante deve ser positiva definida (Gelfand e Banerjee, 2010).

De acordo com Banerjee et al. (2004), o objeto crucial é a covariância cruzada C(s, s0) ≡ Cov(Y(s), Y(s0)), que é uma matriz de dimensão p × p e não necessariamente simétrica (isto é, Cov(Yi(s), Yj(s0)) não precisa ser igual a Cov(Yj(s), Yi(s0))).

De acordo com Wackernagel (1995), as fun¸c˜oes de covariˆancia cruzada Cij(h), do

conjunto de p vari´aveis aleat´orias Yi(s), podem ser definidas da seguinte maneira:

Se

E[Yi(s)] = mi, s ∈ D; i = 1, 2, ..., p

então, a estrutura de covariância cruzada é definida como

E[(Yi(s) − mi)(Yj(s + h) − mj)] = Cij(h), s, s + h ∈ D; i, j = 1, 2, ..., p

onde a média de cada variável Yi(s), em cada localiza¸cão do dom´ınio, é igual à constante

(20)

2.3.1 Modelos separ´

aveis

Para modelar dados dessa natureza podemos utilizar uma forma bem simples, baseada na ideia de separabilidade. Para definir a estrutura de covariˆancia de modo separ´avel vamos considerar {Y(s) : s ∈ D ⊂ <2_{; Y ∈ <}p_{} sendo um campo aleat´}_{orio multivariado.}

Por exemplo, Y(s) pode ser formado pelas componentes (Temperatura, Umidade)(s). A fun¸cão de covariância cruzada para duas componentes i e j do vetor Y, entre duas localiza¸cões quaisquer s e s0, pode ser descrita por

Cij(s, s0) = aijρ(s, s0) (2.4)

onde A = {aij} é uma matriz positiva definida p × p e ρ(s, s0) é uma fun¸cão de correla¸cão

v´alida.

Como Y é formado por um empilhamento das observa¸cões nas n localiza¸cões, a matriz de covariância resultante é

Σ = R ⊗ A (2.5)

onde Rij = ρ(si, sj) e ⊗ denota o produto de Kronecker. Note que Σ ser´a positiva

definida desde que R e A tamb´em sejam.

A utiliza¸cão de modelos espaciais com estrutura separável é bastante comum. A justificativa é simples. A matriz de covariância cheia Σ, de dimensão np × np, pode ser escrita a partir do produto de Kronecker de duas matrizes de menor dimensões (p × p e n × n). A partir das propriedades do produto de Kronecker, é poss´ıvel calcular a inversa e o determinante de Σ da seguinte maneira:

Σ−1 = R−1⊗ A−1 |Σ| = |R|p_|A|n

De fato, é mais conveniente em termos computacionais utilizar a estrutura definida na equa¸cão2.4, porém, este tipo de modelagem possui algumas limita¸cões.

2.3.1.1 Limita¸c˜oes dos modelos separ´aveis

Banerjee et al.(2004) apresentam algumas limita¸cões associadas ao modelo separável. Segundo os autores, a estrutura de covariância será simétrica, ou seja, Cov(Yi(s), Yj(s0)) =

(21)

Cov(Yj(s), Yi(s0)) para todo i, j, s e s0. Além disso, se ρ for estacionário, a correla¸cão

generalizada ´e dada por

Cov(Yi(s), Yj(s + h))

pCov(Yi(s), Yi(s + h))Cov(Yj(s), Yj(s + h))

= √aij aiiajj

independente de s e h. A última restri¸cão citada pelos autores é que se a correla¸cão espacial ρ for isotrópica e estritamente decrescente, então o alcance espacial será idêntico para cada componente de Y(s).

Essa ´ultima limita¸c˜ao apresentada pode ser entendida de outra maneira. Consi-dere os processos espaciais univariados {Y (s) : s ∈ D} e {X(s) : s ∈ D}, onde D ⊂ <2_{, conforme definido na se¸c˜}_ao _2.2_{. Logo, s˜}_{ao obtidos os seguintes vetores Y =}

[Y (s1), Y (s2), ..., Y (sn)]T e X = [X(s1), X(s2), ..., X(sn)]T.

Sabe-se que ´e poss´ıvel representar a rela¸c˜ao linear espacial abaixo para qualquer ponto no dom´ınio

E[Y|X] = β0+ β1X (2.6)

Para garantir a rela¸cão definida em (2.6), considere o vetor empilhado (X, Y)T, de dimensão 2n × 1, com distribui¸cão Normal Multivariada e estrutura de covariância se-parável, como definido em 2.4, isto é,

  X Y  ∼ N2n(µ, Σ), Σ = A ⊗ R

Dada esta distribui¸c˜ao, note que X ∼ Nn(µx, a11R) e Y ∼ Nn(µy, a22R). Assim,

a partir das propriedades da distribui¸c˜ao normal multivariada, ´e poss´ıvel observar que Y|X ∼ Nn(µ∗, Σ∗), onde µ∗ = µ_y + (a12R)(a11R)−1(X − µx) = µ_y +a12 a11 RR−1(X − µ_x) = µ_y +a12 a11 (X − µ_x) = µ_y − a12 a11 µ_x+a12 a11 X

(22)

e Σ∗ = a22R − (a12R)(a11R)−1(a12R) = a22R − a2 12 a11 RR−1R = a22R − a2 12 a11 R = a22− a2₁₂ a11 R

Portanto, a distribui¸c˜ao de Y|X pode ser escrita da seguinte maneira: Y|X ∼ Nn(β0+

β1X, σ2R), onde β0 = µy − a12 a11 µ_x β1 = a12 a11 σ2 = a22− a2 12 a11

Entretanto, fazendo a análise de maneira contrária, ou seja, se partirmos do ponto em que definimos X ∼ Nn(µx, a11R) e Y|X ∼ Nn(β0+ β1X, σ2S), onde S é uma matriz

qualquer que determina a dependência espacial, teremos que a estrutura de covariância de Y será Cov[Yi, Yj] = σ2Sij + β12a11Rij = a22Sij − a2 12 a11 Sij+ a2 12 a11 Rij (2.7)

Neste caso, é fácil observar que para obtermos o caso separável devemos fazer uma restri¸cão quanto à estrutura de S. De fato, a equa¸cão 2.7 será igual a a22R, isto é,

equivalente ao caso separ´avel se, e somente se, S = R, ou seja, se a dependˆencia espacial de Y|X for a mesma de X.

2.3.2 Algumas propostas de modelos multivariados

Nesta se¸cão, serão apresentadas, de maneira resumida, algumas abordagens utiliza-das no procedimento de estima¸cão de processos espaciais multivariados. Iremos descrever duas propostas já exitentes na literatura com o objetivo de analisar suas principais ca-racter´ısticas para, posteriormente, relacioná-las com as propriedades do modelo proposto neste trabalho.

(23)

Inicialmente, descreveremos os modelos de coregionaliza¸c˜ao especificados emBanerjee et al. (2004). O modelo mais simples de coregionaliza¸c˜ao linear (MCL)1 _´_{e da forma}

Y(s) = Aw(s), onde A ´e uma matriz p×p e as componentes de w(s), wj(s), j =

1, 2, ..., p, são processos espaciais independentes e identicamente distribu´ıdos. Assim, se os processos wj(s) têm média igual a zero, são estacionários com variância igual a um

e cov(wj(s), wj(s0)) = ρ(s − s0), ent˜ao E(Y(s)) = 0 e a matriz de covariˆancia cruzada

associada a Y(s) ´e dada por

ΣY(s),Y(s0₎ ≡ C(s − s0) = ρ(s − s0)AAT

´

E poss´ıvel observar que se fizermos AAT = T obtemos a especifica¸cão da estrutura de covariância separável, conforme equa¸cão 2.4.

Ainda baseado em Banerjee et al. (2004), podemos descrever um MCL mais geral se novamente especificarmos Y(s) = Aw(s), por´em, desta vez, considerando os processos wj(s) independentes mas n˜ao identicamente distribu´ıdos. Portanto, sejam wj(s) processos

com média µj, variância 1 e fun¸cão de correla¸cão estacionária ρj(h). Então, temos que

E[Y(s)] = Aµ, onde µ = {µ1, ..., µp}T, e a matriz de covariˆancia cruzada obtida agora ´e

ΣY(s),Y(s0₎ ≡ C(s − s0) =

p

X

j=1

ρj(s − s0)Tj

onde Tj = ajaTj, com aj sendo a j-´esima coluna de A. Segundo os autores, uma

ob-serva¸cão importante a ser feita é que essa combina¸cão linear produz processos esta-cionários.

Por fim, utilizando fun¸cões de correla¸cão monótonas e isotrópicas, será poss´ıvel obter um alcance para cada componente do processo. Portanto, essa abordagem permite mo-delar as componentes utilizando diferentes alcances2, diferentemente do modelo separável apresentado na se¸cão 2.3.1. Vale ressaltar que existem outras especifica¸cões do modelo de coregionaliza¸cão que acomodam estruturas de covariância não estacionárias3.

A segunda abordagem que ser´a apresentada ´e a descrita por Apanasovich e Genton

(2010). Os autores prop˜oem uma metodologia baseada em dimens˜oes latentes e modelos

1_{Chamado de especifica¸}_c˜_{ao intr´ınseca.}

2_{Detalhes mais precisos podem ser vistos em}_{Banerjee et al.}₍₂₀₀₄_). 3_Ver_{Banerjee et al.}₍₂₀₀₄_).

(24)

de covariância já existentes na literatura. O objetivo é desenvolver uma classe de fun¸cões de covariância cruzada que sejam interpretáveis e viáveis computacionalmente.

A ideia principal de Apanasovich e Genton ´e representar o vetor de componentes como pontos num espa¸co k-dimensional, para um inteiro 1 ≤ k ≤ p, ou seja, fazer com que a i-´esima componente possa ser representada como ξi = {ξi1, ..., ξik}T.

Já sabemos que se assumirmos que Y é gaussiano, precisamos apenas descrever as fun¸cões de média e de covariância. Portanto, estamos interessados na caracteriza¸cão de Cov[Yi(s), Yj(s0)] = Cij(s, s0). Assim, Apanasovich e Genton garantem que, baseado nas

dimensões latentes, a matriz de covariância Σij = C{(s, ξi), (s0, ξj)} é positiva definida,

pois suas entradas são obtidas a partir de uma covariância válida. De fato, segundo os autores, para qualquer s, s0 existe Cs,s0(.) tal que C_ij(s, s0) = C_s,s0(ξ_i, ξ_j) para algum ξ_i,

ξj ∈ <k.

´

E importante lembrar que ao inv´es de especificarmos os ξi’s, podemos trat´a-los como

parâmetros. Além disso, há a possibilidade de trabalhar apenas com a distância entre as componentes do vetor, δij = kξi − ξjk. Segundo Apanasovich e Genton, essa ideia

de modelagem é semelhante à escala multidimensional (Cox e Cox, 2000) com distâncias latentes δij’s, onde para localiza¸cões fixas s e s0, grandes δij’s são convertidos para

cor-rela¸cões cruzadas pequenas entre as i-ésima e j-ésima componentes do vetor.

Em uma das simula¸cões, os autores comparam o desempenho do modelo proposto por eles com o MCL. Para mostrar a flexibilidade extra que o modelo deles permite, eles ajustam o modelo proposto e o MCL, quando, na verdade, a estrutura gerada é do mo-delo proposto. Nessa simula¸cão, geram amostras de um processo espacial bidimensional gaussiano, com média zero e especifica¸cão da covariância Cov[Yi(s), Yj(s0)]

Cij(khk) = C(khk, δij) =                  a2₁₁exp(−α1khk) (i = j = 1) a2₂₁exp(−α1khk) + a222exp(−α2khk) (i = j = 2) a11a21 δ12+ 1 exp ( − α1khk (δ12+ 1) β 2 ) (i 6= j)

onde h = s − s0. Observe que o MCL é um caso especial da especifica¸cão acima quando δ12 = β = 0. A partir dos resultados da simula¸cão os autores afirmam que o modelo de

(25)

coregionaliza¸cão não é suficientemente flex´ıvel para fornecer estimativas sem viés para os alcances. Além dessa simula¸cão os autores utilizam outras especifica¸cões para mostrar a flexibilidade do modelo proposto.

Apanasovich e Genton (2010) também avaliam a escolha do valor de k a partir de simula¸cões. Segundo eles, valores pequenos de k, como por exemplo, k = 1 ou k = 2, são geralmente suficientes4_{. Al´}_{em disso, esses modelos possuem extens˜}_{oes que acomodam a}

falta de simetria. Uma poss´ıvel fraqueza dessa abordagem é que se o número de variáveis p for grande, então o número inteiro 1 ≤ k ≤ p de dimensões latentes poderia tornar-se grande demais.

De fato, a ideia de dimensões latentes apresentada em Apanasovich e Genton (2010) será aplicada ao modelo proposto no cap´ıtulo 3. Vale ressaltar que para as estima¸cões do modelo proposto realizadas neste trabalho utilizamos k = 1.

(26)

Cap´ıtulo 3

Modelo proposto

3.1 Introdu¸

c˜

ao

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar uma classe de fun¸cões de covariância multi-variada não separáveis a partir da ideia de misturas apresentada por Fonseca e Steel

(2011). Também iremos introduzir a ideia de dimensões latentes para representar o vetor de componentes, como proposto emApanasovich e Genton(2010). Fonseca e Steel(2011) consideram fun¸cões de covariância espa¸co-temporais. Neste trabalho, a fun¸cão proposta ´

e avaliada no espa¸co multivariado, sem considerar o tempo.

Algumas caracter´ısticas importantes serão analisadas. A classe de fun¸cões gerada é válida, flex´ıvel e permite diferentes especifica¸cões. Além disso, será visto que é poss´ıvel obter alcances espaciais distintos para diferentes componentes, o que não ocorre nos modelos separáveis.

3.2 Representa¸

c˜

ao por mistura

3.2.1 Introdu¸

c˜

ao

Fonseca e Steel (2011) apresentaram uma classe geral de modelos espa¸co-temporais não separáveis baseada em misturas de fun¸cões de covariância separáveis. Segundo os autores, a formula¸cão de mistura pode gerar uma grande variedade de modelos de

(27)

co-variância não separável válidos.

Para definir o modelo proposto emFonseca e Steel(2011), suponha que (s, t) ∈ D ×T , D ⊆ <d, T ⊆ <, sejam coordenadas espa¸co-tempo que variam continuamente em D × T e defina o processo espa¸co-temporal {Z(s, t) : s ∈ D, t ∈ T }, onde Z(s, t) = Z1(s)Z2(t),

(s, t) ∈ D × T , {Z1(s) : s ∈ D} é um processo aleatório puramente espacial com fun¸cão

de covariância C1(s) e {Z2(t) : t ∈ T } é um processo aleatório puramente temporal com

fun¸cão de covariância C2(t). Sendo Z1(s) e Z2(t) não correlacionados.

A representa¸cão por mistura da fun¸cão de covariância de Z(s, t) é definida porFonseca e Steel(2011) da seguinte maneira: Seja (U, V ) um vetor aleatório bivariado não negativo com distribui¸cão G(u, v) e independente de {Z1(s) : s ∈ D} e {Z2(t) : t ∈ T }, então a

fun¸cão de covariância correspondente a Z(s, t) é uma combina¸cão convexa de fun¸cões de covariância separáveis. Esta fun¸cão é válida e geralmente não separável, e é dada por

C(s, t) = Z Z

C(s; u)C(t; v)g(u, v)dudv (3.1)

A ideia proposta neste trabalho é modificar a equa¸cão3.1 para o caso espacial multi-variado. Neste momento, o interesse não está em avaliar o tempo e sim, as componentes. A subse¸cão seguinte apresenta esta nova fun¸cão de covariância baseada na equa¸cão3.1.

3.2.2 Representa¸

c˜

ao por mistura proposta

Nesta subse¸cão, iremos considerar a mesma representa¸cão apresentada pelos autores e descrita na equa¸cão 3.1, porém, avaliada no espa¸co multivariado. Para isso, seja um vetor aleatório bivariado não negativo (U, V ) com distribui¸cão G(u, v) e independente do processo Y(s). De maneira similar ao artigo de Fonseca e Steel (2011), temos que a fun¸cão de covariância correspondente a Y(s) é uma combina¸cão convexa de fun¸cões de covariância separáveis. Esta fun¸cão é válida e, geralmente, não separável e é dada por

Cij(s, ξ) =

Z Z

C(s; u)Cij(ξ; v)g(u, v)dudv (3.2)

onde ξ representa a dimensão latente proposta no artigo deApanasovich e Genton(2010) e apresentada na se¸cão 2.3.2 e s a localiza¸cão no espa¸co. É fácil observar que a fun¸cão

(28)

(3.2) é definida por fun¸cões de covariância válidas e pelo vetor aleatório (U, V ) com distribui¸cão conjunta G(u, v).

SegundoFonseca e Steel(2011), o passo fundamental na defini¸cão da classe de fun¸cões está na representa¸cão da dependência entre U e V , pois é isso que irá gerar a intera¸cão entre o espa¸co e as componentes.

Vamos definir os variogramas γ1(s) ≡ γ1 e γ2(ξ) ≡ γ2 como fun¸c˜oes cont´ınuas de

s ∈ <d e ξ ∈ <p, respectivamente. A partir da especifica¸cão acima, uma maneira de resolver a integral em (3.2) de forma fechada e garantir que a estrutura de covariância gerada seja positiva definida é definindo C(s; u) = exp{−γ1u} e C(ξ; v) = exp{−γ2v}.

Com isso, obtemos a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 3.2.1 Considere um vetor aleatório bivariado não negativo (U, V ) com fun¸cão geradora de momentos conjunta M (., .). Se os variogramas γ1(s) ≡ γ1 e γ2(ξ) ≡ γ2 são

fun¸c˜oes cont´ınuas de s ∈ <d _{e ξ ∈ <}p_{, respectivamente, e C(s; u) = exp{−γ} 1u} e

C(ξ; v) = exp{−γ2v}, ent˜ao, a partir da fun¸c˜ao (3.2) segue

Cij(s, ξ) = M (−γ1, −γ2) (3.3)

que é uma fun¸cão de covariância válida.

Majumdar e Gelfand (2007) utilizam integra¸cão de Monte Carlo para resolver uma integral similar a (3.2), o que seria inviável em aplica¸cões com muitas observa¸cões. Apa-nasovich et al.(2012) consideram uma versão multivariada da Matérn, apresentando um modelo flex´ıvel que permite diferentes comportamentos para diferentes componentes. De fato, o modelo em (3.2) também tem essas caracter´ısticas e que serão apresentadas mais adiante.

A seguir, definiremos a representa¸cão do vetor (U, V ) de maneira semelhante à definida porFonseca e Steel(2011). Essa especifica¸cão leva a fun¸cões não separáveis e que possuem propriedades bastante úteis.

3.2.3 Estrutura de covariˆ

ancia n˜

ao separ´

avel

A partir da Proposi¸cão 3.2.1 é poss´ıvel construir uma estrutura de covariância não separável, basta definir a distribui¸cão do vetor bivariado não negativo (U, V ). Assim,

(29)

considere a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 3.2.2 Considere as variáveis aleatórias não negativas e independentes X0,

X1 e X2, com respectivas fun¸c˜oes geradoras de momentos M0, M1 e M2. Defina U e V

da seguinte maneira: U = X0+ X1 e V = X0+ X2. Se C(s; u) = exp{−γ1u} e C(ξ; v) =

exp{−γ2v}, como na Proposi¸cão 3.2.1, então a fun¸cão de covariância resultante a partir

de (3.2) ´e

Cij(s, ξ) = M0(−γ1 − γ2)M1(−γ1)M2(−γ2) (3.4)

Observe que se U e V forem não correlacionados, isto é, U = X1 e V = X2, então o

caso separável é obtido, pois a fun¸cão de covariância será representada como Cij(s, ξ) =

M1(−γ1)M2(−γ2). Observe que essa especifica¸cão é semelhante à da equa¸cão 2.4, pois

a estrutura é gerada a partir de uma fun¸cão que depende apenas das componentes, M2(−γ2), e outra que depende apenas das localiza¸cões, M1(−γ1).

A classe gerada na Proposi¸cão 3.2.2 permite diferentes representa¸cões paramétricas, de acordo com as distribui¸cões de X0, X1 e X2. Note que precisamos apenas atribuir

distribui¸cões univariadas não negativas para essas variáveis para especificar a fun¸cão de covariância cruzada. Como consequência da constru¸cão, qualquer correla¸cão entre U e V diferente de zero será positiva.

Ao analisar a fun¸c˜ao gerada pela Proposi¸c˜ao 3.2.2, observou-se que Cij(0) = 1, ou

seja, a fun¸cão Cij(s, ξ) é, na verdade, uma fun¸cão de correla¸cão cruzada válida. Para

transformar essa fun¸cão de correla¸cão numa fun¸cão de covariância, definimos, conforme

Majumdar e Gelfand(2007),

ρij(s, ξ) =

Cij(s, ξ)

[Cii(0)Cjj(0)]1/2

(3.5)

Note que temos que ρii(0) = 1. Considere Dcov como uma matriz diagonal com

entradas [Dcov]ii = Cii(0). Se Rij(s, ξ) = D −1/2

cov Cij(s, ξ)D −1/2

cov , ent˜ao Rij(s, ξ) ser´a uma

fun¸cão de correla¸cão cruzada válida. De fato, definindo Dσ1/2 = diag(σ1, ..., σp), σi > 0,

pode-se obter uma fun¸cão de covariância cruzada válida, que será dada pela matriz Cσ = D

1/2

σ Rij(s, ξ)D 1/2 σ .

Observe que a equa¸cão3.5é a própria defini¸cão de correla¸cão que conhecemos. Como a estrutura encontrada trata-se de uma fun¸cão de correla¸cão cruzada válida, basta fazermos

(30)

a conta inversa para encontrar a fun¸cão de covariância cruzada válida. Com isso, é poss´ıvel modificar a Proposi¸cão 3.2.2 e definirmos a Proposi¸cão 3.2.3.

Proposi¸cão 3.2.3 Considere as variáveis aleatórias não negativas e independentes X0,

X1 e X2, com respectivas fun¸c˜oes geradoras de momentos M0, M1 e M2. Defina U e

V da seguinte maneira: U = X0 + X1 e V = X0 + X2. Se C(s; u) = σiexp{−γ1u} e

C(ξ; v) = σjexp{−γ2v}, então a fun¸cão de covariância resultante a partir de (3.2) é

Cij(s, ξ) = σiσjM0(−γ1− γ2)M1(−γ1)M2(−γ2) (3.6)

que é uma fun¸cão de covariância válida.

3.2.4 Fun¸

c˜

ao proposta

Nesta se¸cão, será apresentada uma fun¸cão de covariância gerada a partir da Pro-posi¸cão 3.2.3. Para isso, vamos considerar que as variáveias X0, X1 e X2 seguem

dis-tribui¸cões Gama. A partir do Teorema 3.2.1 obtemos classes de fun¸cão de covariância Cauchy tanto para as componentes quanto para o espa¸co.

Teorema 3.2.1 Considere Xi ∼ Gama(αi, λi), i = 0, 1 e 2, ent˜ao, a partir da

Pro-posi¸cão 3.2.3, a fun¸cão de covariância cruzada é Cij(s, ξ) = σiσj 1 + γ1+ γ2 λ0 −α0 1 + γ1 λ1 −α1 1 + γ2 λ2 −α2 (3.7) onde σi > 0, i = 1, ..., p, αk> 0 e λk> 0, k = 0, 1, 2.

Para a constru¸cão da fun¸cão de covariância, definimos o variograma γ1 como a fun¸cão

de distância entre as localiza¸cões e o variograma γ2 como a fun¸cão de distância entre as

dimens˜oes latentes de cada componente. De fato, γ1 = ks − s0k = h e γ2 = kξi− ξjk = δij.

3.2.4.1 Reparametriza¸c˜ao

Com a parametriza¸cão proposta na equa¸cão3.7é dif´ıcil interpretar alguns parâmetros. Além disso, esperamos encontrar uma fun¸cão que permita alcances espaciais diferentes para cada componente e, de fato, isso não está ocorrendo. Como a dependência de U

(31)

e V é governada pela variável X0, também seria importante definir algum parâmetro

responsável pelo comportamento da correla¸cão entre essas variáveis, pois já foi visto que se U e V forem não correlacionados, o caso separável é obtido.

Para isso, a ideia inicial foi fixar os parˆametros λi, i = 0, 1 e 2, em 1. Al´em disso,

introduzimos um parâmetro extra no variograma das localiza¸cões. Tal parâmetro pode variar de acordo com a componente i, j analisada, isto é, tomamos γ1 =

ks−s0_k

bij =

h bij.

Feito isso, o modelo geral com todos os poss´ıveis parˆametros ´e dado por

Cij(s, ξ) = σiσj 1 + δij + h bij −α0 1 + h bij −α1 (1 + δij) −α2 (3.8)

onde σi ´e o desvio da componente i, bijs s˜ao interpretados como alcances espaciais e os

αl, l = 1 e 2, podem ser interpretados como parâmetros de suaviza¸cão da fun¸cão. Um

parâmetro que deve ser estudado com maior aten¸cão é α0.

Como já mencionado, é importante encontrar alguma medidade de separabilidade entre o espa¸co e as componentes. Assim como em Fonseca e Steel (2011), escolhemos a correla¸cão entre as variáveis U e V como tal medida. De fato, vimos que se U e V forem não correlacionados, chegamos ao caso separável. Portanto,

ρ = ρ(U, V ) = Cov(U, V ) pV ar(U)V ar(V )

= Cov(X0+ X1, X0+ X2) pV ar(X0+ X1)V ar(X0+ X2)

= V ar(X0)

p[V ar(X0) + V ar(X1)][V ar(X0) + V ar(X2)]

= α0

p(α0+ α1)(α0+ α2)

Observe que pela constru¸cão de U e V , 0 ≤ ρ ≤ 1. Além disso, ρ = 0 indica separabilidade, já que neste caso U = X1 e V = X2. Portanto, é poss´ıvel observar que

α0 é o parâmetro responsável pelo grau de separabilidade do modelo. É fácil visualizar

que se α0 = 0, ent˜ao, ρ = 0.

Neste caso onde α0 = 0, a equa¸c˜ao 3.8 pode ser escrita da seguinte maneira

Cij(s, ξ) = σiσj 1 + h bij −α1 (1 + δij) −α2 _(3.9)

(32)

Um detalhe importante que deve ser observado é que mesmo que α0 seja zero, só será

poss´ıvel obter o modelo separ´avel se os alcances espaciais bij forem todos iguais, ou seja,

se bij = φ, i, j = 1, 2, ..., p. Neste caso, é poss´ıvel observar que as fun¸cões de correla¸cão

do modelo pertencem à fam´ılia Cauchy. Caso os alcances espaciais não sejam iguais, a equa¸cão 3.9 estará apenas especificada de maneira semelhente ao caso separável, porém, o modelo gerado será não separável.

Outro caracter´ıstica importante refere-se ao fato do α0 ser um parˆametro que assume

apenas valores positivos. Portanto, ele não poderá ser igual a zero, mas sabemos que ele pode assumir valores muito pequenos e próximos de 0.

3.2.4.2 Alguns modelos

A partir dessa constru¸cão da fun¸cão proposta na equa¸cão3.8, há dois modelos menos gerais que pretendemos estudar neste trabalho.

Modelo 1 (MNS-01)

Este modelo é menos geral que o proposto na equa¸cão 3.8 e, além disso, não permite que as componentes tenham alcances espaciais diferentes. Aqui, fixamos α1 = α2 = 1. A

fun¸cão de covariância resultante é

Cij(s, ξ) = σiσj 1 + δij + h φ −α0 1 + h φ −1 (1 + δij) −1 (3.10)

Para este modelo temos que se α0 = 0, então o caso separável é obtido. Além disso,

a fun¸cão de correla¸cão pertence à classe Cauchy. Neste caso, podemos interpretar os parâmetros da seguinte maneira: σicorresponde ao desvio da componente i, i = 1, 2, ..., p;

δij mede a distˆancia latente entre as componentes i e j, i, j = 1, 2, ..., p; φ representa o

alcance espacial das componentes; e α0 pode ser interpretado como o parˆametro de

se-perabilidade. Assim, analisando os poss´ıveis casos, temos os seguintes resultados

se h = 0 e i = j: Cii(0, 0) = σi2

se h = 0 e i 6= j: Cij(0, ξ) = σiσj(1 + δij) −(α0+1)

(33)

se h 6= 0 e i = j: Cii(s, 0) = σi2 1 + h_φ −(α0+1) se h 6= 0 e i 6= j: Cij(s, ξ) = σiσj 1 + δij +h_φ −α0 1 + h_φ −1 (1 + δij) −1 Modelo 2 (MNS-02)

Este modelo também é menos geral que o proposto na equa¸cão 3.8, porém, permite que as componentes tenham alcances espaciais diferentes. Aqui, também fixamos α1 =

α2 = 1. A fun¸cão de covariância resultante é

Cij(s, ξ) = σiσj 1 + δij + h bij −α0 1 + h bij −1 (1 + δij) −1 (3.11)

Para este modelo temos que se α0 = 0, então o caso separável não é obtido. Lembre

que uma das propriedades do modelo separável apresentada na se¸cão2.3.1.1referia-se ao fato de que os alcances espaciais de cada componente deveriam ser iguais. Aqui, apesar de obtermos uma especifica¸cão semelhante à do modelo separável, os alcances espaciais podem ser diferentes e, com isso, não conseguimos obter um modelo separável. Portanto, podemos interpretar os parâmetros bij da seguinte forma: biirepresenta o alcance espacial

da componente i, i = 1, 2, ..., p, e bij pode ser entendido como o alcance cruzado entre as

componentes i e j, i, j = 1, 2, ..., p. Com isso, os poss´ıveis casos s˜ao apresentados a seguir

se h = 0 e i = j: Cii(0, 0) = σi2 se h = 0 e i 6= j: Cij(0, ξ) = σiσj(1 + δij) −(α0+1) se h 6= 0 e i = j: Cii(s, 0) = σi2 1 + _bh ii −(α0+1) se h 6= 0 e i 6= j: Cij(s, ξ) = σiσj 1 + δij +_bh_ij −α0 1 + _bh ij −1 (1 + δij) −1

(34)

3.2.5 Conclus˜

oes

Este cap´ıtulo apresentou uma classe geral de fun¸cões de covariância multivariada não separáveis. Vimos que a partir de determinadas especifica¸cões é possivel encontrar um modelo com estrutura separável.

Assim como em Fonseca e Steel (2011) esses modelos são bastante flex´ıveis, pois podem ser especificados de diversas maneiras. Para isso, basta assumir diferentes distri-bui¸cões não negativas para as variáveis X0, X1 e X2.

No modelo especificado na se¸cão 3.2.4, observamos que podemos medir o grau de separabilidade a partir de um único parâmetro. Além disso, o modelo permite trabalhar com alcances espaciais diferentes para componentes distintas, uma propriedade bastante importante.

(35)

Cap´ıtulo 4

Procedimento de inferˆ

encia

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Quando fazemos inferência sobre qualquer conjunto de dados, de fato, estamos inte-ressados em obter informa¸cões referentes às quantidades não observadas e desconhecidas. Neste cap´ıtulo, vamos apresentar uma breve revisão do procedimento de inferência utili-zado na implementa¸cão da estrutura de covariância proposta no cap´ıtulo 3.

Para tanto, considere o vetor de observa¸c˜oes y = (y1, ..., yp) obtido em cada uma

das n localiza¸cões s ∈ D. Como já mencionado anteriormente, dados geoestat´ısticos são obtidos a partir de processos cont´ınuos ao longo do espa¸co. Se o processo for gaussiano, então a fun¸cão de verossimilhan¸ca poderá ser escrita da seguinte maneira:

l(y; θ) = (2π)−np2 |Σ|−1/2exp −1 2 (y − µ) T_Σ−1 (y − µ) (4.1)

onde y é o vetor contendo as np observa¸cões, µ = Xβ é o vetor de médias, Σ é a estrutura de covariância de dimensão np × np que define a dependência das p componentes entre si em todas as n localiza¸cões, e θ é vetor paramétrico. Neste caso, a estrutura de covariância ´

e definida pela fun¸c˜ao proposta na equa¸c˜ao 3.8.

Assim, podemos definir o vetor paramétrico θ que contém as quantidades desconheci-das que precisaremos estimar. Portanto, θ = (σ, δ, α, b, β), onde σ = (σ1, ..., σp), δ é o

vetor formado pelas componentes latentes δij, i 6= j, i, j = 1, ..., p, α = (α0, α1, α2), b ´e o

(36)

β1q, ..., βpq), sendo q o n´umero de covari´aveis incluindo intercepto.

4.2 Inferˆ

encia Bayesiana

Esta se¸cão apresenta de maneira resumida o procedimento utilizado na estima¸cão dos parâmetros do modelo proposto. Detalhes mais espec´ıficos sobre inferência bayesiana podem ser vistos em Migon e Gamerman(1999) e DeGroot e Schervish (2011).

Quando trabalhamos sob o enfoque bayesiano, sabemos que a informa¸cão dos dados com respeito ao vetor paramétrico θ, traduzida pela fun¸cão de verossimilhan¸ca, é combi-nada com a informa¸cão a priori, especificada através de uma distribui¸cão com densidade p(θ). O resultado obtido a partir dessa combina¸cão é conhecido como distribui¸cão a posteriori, p(θ|y). De fato, é razoável pensar que após observar os valores de y, a quan-tidade de informa¸cão a respeito de θ aumenta. O teorema de Bayes define a regra de atualiza¸cão utilizada para quantificar este aumento de informa¸cão e é defindo da seguinte forma:

p(θ|y) = p(y|θ)p(θ) p(y) ,

onde p(y|θ) é a fun¸cão de verossimilhan¸ca, p(θ) é a densidade a priori e p(y) =R p(y|θ)p(θ)dθ pode ser considerada como uma constante em rela¸cão ao θ.

4.2.1 Especifica¸

c˜

oes

Dada a equa¸cão4.1, para que o modelo bayesiano fique completo, precisamos especifi-car a distribui¸cão a priori p(θ). Assumindo independência a priori entre os parâmetros, temos que p(θ) = p(σ)p(δ)p(α)p(b)p(β) = p Y i=1 p(σi) ! _p−1 Y i=1 p Y j=i+1 p(δij) ! ₂ Y k=0 p(αk) ! _p Y i=1 p Y j=1 p(bij) ! p(β)

As distribui¸c˜oes a priori escolhidas para cada um dos parˆametros foram: σi ∼

(37)

bij ∼ Ga(uij × med(ds), uij), i, j = 1, ..., p, med(ds) sendo a mediana das distˆancias

espaciais, β ∼ Npq(λ, Λ).

Para encontrar as distribui¸cões a posteriori dos parâmetros desconhecidos utilizamos simula¸cões estocásticas de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). Detalhes sobre métodos MCMC podem ser encontrados em Gamerman e Lopes (2006). Apenas a dis-tribui¸cão condicional completa de β apresentou forma anal´ıtica fechada, portanto, para este parâmetro foi poss´ıvel gerar amostras da posteriori utilizando amostrador de Gibbs. Assim, considere a fun¸cão de verossimilhan¸ca descrita na equa¸cão4.1, onde µ = Xβ. Seja θ− o vetor paramétrico excluindo o vetor β. Se a distribui¸cão a priori for β ∼ Npq(λ, Λ), então a distribui¸cão condicional completa de β é

β|y, θ−∼ Npq(λ∗, Λ∗)

onde Λ∗ =XT_Σ−1_{X + Λ}−1−1

e λ∗ = Λ∗XT_Σ−1_{y + Λ}−1_λ.

Para os outros parâmetros do modelo, θ−, não foi poss´ıvel encontrar distribui¸cões condicionais completas com forma fechada, com isso, utilizamos passos de Metropolis-Hastings.

4.2.2 Previs˜

ao

Para fazer previsão de observa¸cões em determinadas localiza¸cões, considere y_u como o vetor de observa¸cões não medidas em su localiza¸cões pertencentes à região D. Note que

essas localiza¸cões não precisam, necessariamente, ser as mesmas localiza¸cões utilizadas na estima¸cão do modelo.

A predi¸cão de y_u é baseada na distribui¸cão preditiva p(y_u|y_o), onde y_o é o vetor dos valores observados. Então, temos a seguinte rela¸cão

p(y_u|y_o) = Z p(y_u, θ|y_o)dθ = Z p(y_u|y_o, θ)p(θ|y_o)dθ (4.2) Como estamos trabalhando com um modelo gaussiano, sabemos, por hipótese, que (y_o, y_u|θ) tem distribui¸cão normal multivariada. Com isso, fica fácil encontrar a distri-bui¸cão de (y_u|y_o, θ), basta utilizar as propriedades já conhecidas da distribui¸cão normal

(38)

multivariada. Assim, temos que (y_u|y_o, θ) também seguirá uma distribui¸cão normal multivariada com média e variância dadas por

µ∗ = µu+ ΣuoΣ−1oo(yo− µo) (4.3)

e

Σ∗ = Σuu− ΣuoΣ−1ooΣou (4.4)

Suponha que θ(1), ..., θ(M ) formem uma amostra da distribui¸c˜ao a posteriori (θ|y_o). Sabe-se que a distribui¸c˜ao preditiva a posteriori pode ser aproximada por Monte Carlo da seguinte maneira: b p(y_u|y_o) = 1 M M X i=1 p(y_u|y_o, θ(i)) (4.5)

(39)

Cap´ıtulo 5

Aproxima¸

c˜

oes separ´

aveis

5.1 Introdu¸

c˜

ao

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar uma maneira eficiente de calcular a fun¸cão de verossimilhan¸ca para os modelos não separáveis propostos neste trabalho utilizando as aproxima¸cões separáveis de Genton (2007).

Como apresentado na se¸cão2.3.1, ao utilizar uma estrutura de covariância separável é poss´ıvel decompor a matriz de covariância resultante usando o produto de Kronecker. Isso faz com que o tempo computacional seja reduzido, pois ao invés de trabalhar com matrizes de dimensão np×np, calculam-se inversas e determinantes de matrizes de dimensões n×n e p × p.

O artigo de Genton (2007) discute aproxima¸cões separáveis feitas para matrizes de covariância espa¸co-temporais não separáveis. O autor descreve uma aproxima¸cão do produto de Kronecker para uma matriz de covariância a partir da norma de Frobenius. O algoritmo proposto nesse artigo é simples e preserva as propriedades da matriz de covariância.

Neste cap´ıtulo, utilizou-se a ideia de Genton (2007) no caso espacial multivariado. Para isso, seja Σ a matriz de covariância cheia de dimensão np × np. Sabe-se que no caso separável há duas matrizes R = ρ(si, sj) ∈ <n×n e A = {aij} ∈ <p×p, tais que

Σ = R ⊗ A. A quest˜ao exposta porGenton (2007) ´e: dada a matriz Σ, como determinar as duas matrizes R ∈ <n×n e A ∈ <p×p que satisfa¸cam Σ = R ⊗ A?

(40)

Antes de apresentar a solu¸c˜ao deste problema, vale definir alguns conceitos que ser˜ao abordados adiante:

• Operador vec(.): O operador vec(.) transforma uma matriz A ∈ <n1×n2 _num

vetor vec(A) ∈ <n1n2 _{empilhando as colunas uma em cima da outra.}

• Norma de Frobenius: Considere a matriz B = {bij} ∈ <n×n, ent˜ao a norma de

Frobenius de B (kBkF) ´e dada por:

kBkF = n X i=1 n X j=1 b2_ij !1/2

• Proximidade do produto de Kronecker para uma matriz de covariância cheia (PPKCC): Considere a matriz Σ sendo a matriz de covariância cheia de dimensão np × np. A dificuldade está em encontrar duas matrizes R ∈ <n×n _e

A ∈ <p×p que minimizam a norma de Frobenius kΣ − R ⊗ AkF.

• Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares (DVS): Em Golub e Van Loan(1996) h´a um teorema que aponta que se B ∈ <n2_×p2

´

e uma matriz real, ent˜ao existem duas matrizes ortogonais U = [u1, ..., un2] ∈ <n

2_×n2 e V = [v1, ..., vp2] ∈ <p 2_×p2 , tais que UTBV = diag (w1, ..., wr) ∈ <n 2_×p2 , r = posto(B) = min{n2, p2} onde w1 ≥ w2 ≥ ... ≥ wr ≥ 0.

5.2 Solu¸

c˜

ao do problema PPKCC

Segundo Genton (2007) a solu¸cão do problema PPKCC é dada pela Decomposi¸cão em Valores Singulares (DVS) de uma versão permutada da matriz de covariância cheia Σ ∈ <np×np.

A ideia ´e rearranjar Σ em outra matriz =(Σ) ∈ <n2_×p2

, tal que a soma dos quadrados de kΣ − R ⊗ AkF seja a mesma de k=(Σ) − vec(R) ⊗ vec(A)TkF 1. Para isso, o autor

mostra que kΣ − R ⊗ AkF = k=(Σ) − vec(R) ⊗ vec(A)TkF e kΣkF = k=(Σ)kF.

(41)

A partir disso tem-se que o problema PPKCC ´e reduzido ao c´alculo do posto da matriz retangular =(Σ) ∈ <n2_×p2

, cuja solu¸cão também pode ser encontrada em Golub e Van Loan (1996). Baseando-se na DVS, a solu¸cão do PPKCC é, portanto, dada por

vec(R) =√w1u1 vec(A) =

√

w1v1 (5.1)

onde u1 ´e a primeira coluna da matriz U ∈ <n

2_×n2

e v1 ´e a primeira coluna da matriz

V ∈ <p2_×p2

.

Segundo Genton, é importante ressaltar que essa solu¸cão resulta da norma de Frobe-nius. A escolha de outras normas conduziria a um problema de otimiza¸cão computacional.

5.3 Erro de aproxima¸

c˜

ao

Para medir se essa aproxima¸cão proposta é adequada, o autor definiu um erro de aproxima¸cão por separabilidade, denotado por κΣ(R, A), da matriz Σ aproximada pelo

produto de Kronecker de duas matrizes R e A. Este erro ´e definido da seguinte maneira

κΣ(R, A) =

kΣ − R ⊗ AkF

kΣkF

(5.2)

O ´ındice do erro de aproxima¸c˜ao por separabilidade, κΣ(R, A), assume valores entre

zero (se Σ for separ´avel) e q

1 − 1_r, e é minimizado pelas solu¸cões de R e A do problema PPKCC. Para obter um ´ındice que varia entre zero e um, o que torna mais fácil a análise, definimos um erro padronizado, dado por:

κ∗_Σ(R, A) = κ_qΣ(R, A) 1 −1_r

(5.3)

Considerando o modelo proposto neste trabalho, é poss´ıvel utilizar a aproxima¸cão apresentada acima para encontrar um modelo com estrutura separável “próximo” ao modelo não separável. Vale lembrar que essa abordagem será aplicada ao caso espacial multivariado, diferentemente de Genton (2007), que a utiliza no caso espa¸co-tempo.

A partir da defini¸cão do modelo não separável no cap´ıtulo 3, foi poss´ıvel definir a aproxima¸cão separável para este modelo seguindo os mesmos passos apresentados na se¸cão5.2. E assim, podemos aproximar a fun¸cão de verossimilhan¸ca para estima¸cão dos parâmetros do modelo de forma computacionalmente eficiente.

(42)

5.3.1 Comportamento do erro de aproxima¸

c˜

ao

Como já visto no cap´ıtulo 3, o modelo não separável proposto se reduz ao caso se-parável apenas quando o parâmetro α0 for igual a zero. Assim, quando α0 > 0 (α0 não

assume valores negativos) a estrutura da matriz de covariância é não separável.

Analisar o erro obtido ao trabalhar com uma estrutura aproximada é extremamente relevante. Uma vez que as aproxima¸cões sejam satisfatórias, utilizar estruturas separáveis apenas para eficiência na avalia¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca, mas ainda assim man-tendo a interpreta¸cão inicial do modelo proposto é bastante conveniente.

Uma simula¸cão foi realizada para que fosse poss´ıvel verificar o comportamento do erro de aproxima¸cão por separabilidade de acordo com o parâmetro α0. Para isso, os

parˆametros do modelo foram fixados, deixando apenas o parˆametro de separabilidade α0

variando. O erro de aproxima¸cão foi analisado em dois cenários: (a) considerando mesmos alcances espaciais para todas as componentes, isto é, bii = bjj = bij = bji = φ, i 6= j;

e (b) considerando alcances diferentes para componentes diferentes, ou seja, bii 6= bjj e

bij = bji, i 6= j.

A Figura 5.1 apresenta o comportamento do erro de aproxima¸cão por separabilidade para cada um dos cenários descritos acima, considerando duas e três componentes. A partir desta figura é poss´ıvel notar que, independentemente do número de componentes e do cenário analisado, o erro de aproxima¸cão por separabilidade é bastante pequeno. Note que no cenário cujos alcances são diferentes o erro é ligeiramente maior. Apesar disso, utilizando uma estrutura separável aproximada, esperamos que os resultados sejam bastante próximos dos obtidos a partir da estrutura não separável.

Vale ressaltar que as curvas do cenário (b) não come¸cam em zero porque, como já men-cionado, no caso de alcances espaciais diferentes para cada componente, a especifica¸cão α0 = 0 não conduz a uma estrutura de covariância separável.

5.4 Utilizando a aproxima¸

c˜

ao separ´

avel

Nesta se¸cão, o MNS-01 será utilizado para comparar as estruturas de covariância cheia e aproximada. O objetivo é verificar, em cada caso, o desempenho do modelo no

(43)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 (a) α0 erro padronizado 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 (b) α0 erro padronizado

Figura 5.1: Erro de Aproxima¸c˜ao por Separabilidade variando o valor do parˆametro de separabilidade α0. Linha vermelha avalia o erro utilizando duas componentes (p = 2) e a

linha preta com trˆes componentes (p = 3). (a) Mesmos alcances espaciais. (b) Alcances espaciais diferentes para cada componente.

que se refere à estima¸cão dos parâmetros, ao tempo computacional e à previsão. Assim, será poss´ıvel analisar se o uso das aproxima¸cões separáveis é razoável. Desta maneira, a fun¸cão de verossimilhan¸ca apresentada na equa¸cão 4.1 poderá ser reescrita de forma aproximada l(y; θ) = (2π)−np2 |Σ|−1/2exp −1 2 (y − µ) T_Σ−1 (y − µ) = (2π)−np2 |R ⊗ A|−1/2exp −1 2 (y − µ) T_{(R ⊗ A)}−1 (y − µ) = (2π)−np2 |R|−p/2|A|−n/2exp −1 2 (y − µ) T_(R−1_{⊗ A}−1 )(y − µ) (5.4)

onde R e A s˜ao as matrizes aproximadas obtidas a partir da equa¸c˜ao5.1.

Para comparar essas estruturas de covariância, fizemos uma simula¸cão utilizando 150 localiza¸cões espalhadas aleatoriamente no quadrado [0,1]×[0,1]. As observa¸cões de cada componente foram geradas da seguinte maneira: Y = Xβ + ε, onde X é matriz que contém as variáveis explicativas latitude e longitude e intercepto; β é o vetor dos

(44)

parâmetros das regressoras; e ε é o vetor de erros gerado a partir da distribui¸cão normal multivariada com média zero e fun¸cão de covariância igual à equa¸cão3.10. Neste exemplo, consideramos p = 2 (ver Figura 5.2).

Como estamos trabalhando sob o enfoque bayesiano, é necessário explicitar as distri-bui¸cões a piori escolhidas para cada um dos parâmetros desconhecidos. As distribui¸cões são as mesmas apresentadas no cap´ıtulo4e os valores foram escolhidos de modo que ob-tivéssemos prioris vagas. Portanto, temos: β ∼ N6(0, 10I6), α0 ∼ Gama(1, 0, 75), δ12 ∼

Gama(1, 0, 75), φ ∼ Gama(0, 129502, 0, 25), σ1 ∼ Gama(1, 0, 75), σ2 ∼ Gama(1, 0, 75).

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a) Latitude Longitude 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (b) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 (c) Valores Frequência −1 0 1 2 3 0 10 20 30 40 (d) Valores Frequência −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 10 20 30 40

Figura 5.2: Resumo das observa¸cões simuladas: (a) localiza¸cões. (b) matriz de co-variância. (c) histograma da componente 1. (d) histograma da componente 2.

Antes de apresentar e comparar a estima¸cão dos parâmetros do modelo, o tempo computacional e a previsão, é importante analisar as fun¸cões de verossimilhan¸ca obtidas para cada uma das estruturas. Os resultados dessa análise foram obtidos de maneira

(45)

muito simples: a partir das variáveis explicativas latitude e longitude e da especifica¸cão do vetor β definimos a média do processo Gaussiano; em seguida, foram constru´ıdas grades de valores combinando os parâmetros (α0, δ12, φ, σ1 e σ2) 2 a 22; e então, para cada

uma dessas dez grades obtidas foi poss´ıvel desenhar as curvas de contorno da fun¸cão de verossimilhan¸ca. Note que esse processo foi realizado utilizando a estrutura de covariância cheia e a estrutura de covariância aproximada.

A Figura 5.3apresenta as curvas da fun¸cão de verossimilhan¸ca para cada uma dessas estruturas. Analisando esta figura, observa-se que as curvas de contorno da verossimi-lhan¸ca com estrutura separável aproximada mostram-se bastante similares às curvas com estrutura não separável. Após essa análise, vamos iniciar o trabalho de avaliar e comparar o desempenho dos modelos.

Como mencionado no cap´ıtulo 4o método de simula¸cão utilizado foi o MCMC. Para ambos os casos rodamos 200.000 itera¸cões. As distribui¸cões a posteriori de cada um dos parâmetros foram encontradas retirando um burn-in de 500 itera¸cões e aplicando saltos de 50 itera¸cões, gerando uma amostra de tamanho 3.990. Para o monitoramento de convergência foram utilizados os algoritmos presentes no pacote Coda no R (Plummer et al., 2006).

A Figura 5.4 apresenta as distribui¸cões a posteriori de cada estrutura de covariância e as distribui¸cões a priori definidas acima. Com isso, pode-se observar que não há diferen¸cas substanciais entre as distribui¸cões a posteriori encontradas para cada estrutura analisada. De fato, o comportamento de cada uma dessas curvas é bastante similiar para todos os parâmetros.

No que se refere à estima¸cão dos modelos, nota-se que as estimativas pontuais (média e mediana a posteriori ) dos parâmetros são bastante próximas em ambas estruturas, apresentando diferen¸ca na segunda ou terceira casa decimal. Somente as estimativas de α0 e δ12 são levemente diferentes. Entretanto, o intervalo de credibilidade contém o

verdadeiro valor do parâmetro em todos os casos. Também foi poss´ıvel observar que o intervalo de credibilidade do parâmetro β10 contém o zero apenas no caso não separável.

2_{Os valores dos parˆ}_{ametros fixados em cada caso s˜}_{ao os mesmos escolhidos para gerar as observa¸}_c˜_oes das componentes. Estes valores encontram-se na Tabela5.1.