Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 3
Aritmética Matricial
Exercício 1: Se A = 3 1 4 −1 0 1 2 2 2 e B = 1 0 2 −3 1 1 2 −4 1 , calcule: a) 2A,| b) A + B c) 2A − 3B d) (2A)|− (3B)| e) AB f) BA g) A|B| h) (BA)|Exercício 2: Para cada um dos pares de matrizes que se seguem, determine se é possível multiplicar a primeira matriz pela segunda. Se for possível, execute a multiplicação.
a) 3 5 1 −2 0 2 2 1 1 3 4 1 b) 4 −2 6 −4 8 −4 1 2 3 c) 1 4 3 0 1 4 0 0 2 3 2 1 1 4 5 d) 4 6 2 1 3 1 5 4 1 6 e) 4 6 1 2 1 1 3 1 5 4 1 6 f) 4 −1 3 , 3 2 4 5
Exercício 3: Para que pares no exercício 2 é possível multiplicar a segunda matriz pela primeira, e qual seria a dimensão da matriz produto ?
Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma equação matricial.
a) ( 3x1+ 2x2 = 1 2x1− 3x2 = 5. b) x1+ x2 = 5 2x1+ x2− x3 = 6 3x1− 2x2+ 2x3 = 7. c) 2x1+ 3x2+ x3 = 4 x1+ x2+ 2x3 = 2 3x1+ 4x2− x3 = 0. Exercício 5: Se A = 2 4 1 3 , B = −2 1 0 4 e C = 3 1 2 1 verifique que: a) (A+B)+C = A+(B +C), b) A(BC) = (AB)C, c) A(B + C) = AB + AC, d) (A + B)C = AC + AB. Exercício 6: Seja A = 1 2 1 −2 , b = 4 0 e c = −3 −2
a) Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a1 e a2.
b) Use o resultado da parte a) para determinar a solução do sistema Ax = b. O sistema tem outras soluções ? Explique.
Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o sistema Ax = b é consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A. Explique sua resposta em cada caso. a) A = 2 1 −2 1 , b = 3 1 b) A = 1 4 2 3 , b = 5 5 c) A = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , b = 1 0 −1
Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funcionam quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n × n A e B:
a) (a + b)2= a2+ 2ab + b2, b) (a + b)(a − b) = a2− b2,
Exercício 9: Encontre matrizes A e B, não nulas, tais que AB = 0. Encontre matrizes não nulas A, B, C tais que AC = BC e A 6= B.
Exercício 10: A matriz A =
1 −1 1 −1
tem a propriedade A2 = 0. É possivel para uma matriz simétrica 2 × 2 ter essa propriedade ? Demostre sua resposta.
Exercício 11: Seja A =
1/2 1/2 −1/2 −1/2
. Calcule A2, A3. Que serà An ?
Exercício 12: Seja A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
. Mostre que A4 = 0 para n ≥ 4.
Exercício 13: Seja A uma matriz n × n e sejam x e y vetores em Rn. Mostre que se Ax = Ay e x 6= y, então A deve ser singular.
Exercício 14: Dado R =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
. Mostre que R é não singular e R−1= R|. Exercício 15: Uma matriz n × n A é dita uma involução se A2 = I. Considere q matriz G =
cos θ sin θ sin θ − cos θ
. Mostre que G é involução. Qual é a inversa de G ?
Exercício 16: Uma matriz A é dita uma idempotente se A2= A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente:
a) 1 0 1 0 , b) 2/3 1/3 2/3 1/3 , c) 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 .
Exercício 17: Seja A uma matriz idempotente. Mostre que I − A tambem é idempotente. Mostre que I + A é não singular e (I + A)−1= I − A/2.
Correções
Correção do Exercício 1: Se A = 3 1 4 −1 0 1 2 2 2 e B = 1 0 2 −3 1 1 2 −4 1 , Calculemos que: a) 2A = 6 2 8 −2 0 2 4 4 4 , b) A + B = 4 1 6 −4 1 2 4 −2 3 c) 2A − 3B = 3 2 2 7 −3 −1 −2 16 1 d) (2A)|− (3B)|= 4 4 0 2 −2 12 4 0 2 e) AB = 8 −15 11 1 −4 −1 0 −6 8 f) BA = 7 5 8 −8 −1 −9 12 4 6 g) A|B|= 7 −8 12 5 −1 4 8 −9 6 h) (BA)|= 7 −8 12 5 −1 4 8 −9 6 Correção do Exercício 2:Lembremos que a multiplicação de matrizes é uma definida como uma aplicação: Mm,n(R) × Mn,r(R) → Mm,r(R),
onde m, n, r ∈ N∗. Em particular, para que o produto AB de duas matrizes A e B seja bem definido, o número de colunas de A tem que conferir com o número de linhas de B.
a) 3 5 1 −2 0 2 · 2 1 1 3 4 1 = 15 19 4 0
b) O produto não é definido.
c) 1 4 3 0 1 4 0 0 2 · 3 2 1 1 4 5 = 19 21 17 21 8 10 d) 4 6 2 1 · 3 1 5 4 1 6 = 36 26 40 10 11 8
e) O produto não é definido.
f) 4 −1 3 · 3 2 4 5 = 12 8 16 20 −3 −2 −4 −5 9 6 12 15
Correção do Exercício 3: Semelhantemente, calculemos:
a) 2 1 1 3 4 1 · 3 5 1 −2 0 2 = 4 10 4 −3 5 7 10 20 6 b) 1 2 3 · 7 −2 6 −4 8 −4 = 43 −22
d) O produto não é definido. e) 3 1 5 4 1 6 · 4 6 1 2 1 1 = 4 10 4 −3 5 7 10 20 6 f) O produto não é definido.
Correção do Exercício 4: Escreva cada dos seguintes sistemas de equações como uma equação matricial.
a) Consideremos as matrizes A, x e b, definidas por: A :=3 2 2 −3 ∈ M2,2(R), x := x1 x2 ∈ M2,1(R), b := 1 5 ∈ M2,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: ( 3x1+ 2x2 = 1 2x1− 3x2 = 5. ⇐⇒ 3 2 2 −3 ·x1 x2 =1 5 ⇐⇒ A · x = b.
b) Semelhantemente, considerando as matrizes A, x e b definidas por:
A := 1 1 0 2 1 −1 3 −2 2 ∈ M3,3(R), x := x1 x2 x3 ∈ M3,1(R), b := 5 6 7 ∈ M3,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: x1+ x2 = 5 2x1+ x2− x3 = 6 3x1− 2x2+ 2x3 = 7. ⇐⇒ 1 1 0 2 1 −1 3 −2 2 · x1 x2 x3 = 5 6 7 ⇐⇒ A · x = b.
c) Semelhantemente, considerando as matrizes A, x e b definidas por:
A := 2 3 1 1 1 2 3 4 −1 ∈ M3,3(R), x := x1 x2 x3 ∈ M3,1(R), b := 4 2 0 ∈ M3,1(R),
então, é immediato verificar que o sistema linear pode ser escrito matricialmente assim: 2x1+ 3x2+ x3 = 4 x1+ x2+ 2x3 = 2 3x1+ 4x2− x3 = 0. ⇐⇒ 2 3 1 1 1 2 3 4 −1 · x1 x2 x3 = 4 2 0 ⇐⇒ A · x = b.
Correção do Exercício 5: É so fazer as contas, e verificar que conferem as igualdades ! Correção do Exercício 6: Seja A =
1 2 1 −2 , b = 4 0 e c = −3 −2
a) Escreva b como uma combinação linear dos vetores coluna a1 e a2. A amatriz A tem colunas: A = 1 2 1 −2 isso é: a1= 1 1 e a2 = 2 −2 . É fácil escrever b como combinação linear de a1 e a2, da seguinte maneira:
b = 4 0 = 2.1 + 2 2.1 − 2 = 2. 1 1 + 2 −2 = 2.a1+ a2.
b) Escrevemos explicitamente o sistema Ax = b, obtemos: Ax = b ⇐⇒ 1 2 1 −2 · x1 x2 = 4 0 ⇐⇒ ( x1+ 2x2 = 4 x1− 2x2 = 0.
Observe que x = (x1, x2) é solução do sistema se e somente se: x1.a1+ x2.a2 = b, ou seja,
exatamente quando (x1, x2) é o próprio par de coeficientes que permitem escrever b como
combinação linear de a1 e a2. Isto segue da seguinte conta: ( x1+ 2x2 = 4 x1− 2x2 = 0. ⇐⇒ x1. 1 1 + x2. 2 −2 = 4 0
Vimos no a) que b é combinação linear de a1 e a2, com coeficientes x1= 2 e x2= 1, logo
(x1, x2) = (2, 1) é solução do sistema. É claro que (x1, x2) = (2, 1) é a única solução pois
os vetores a1 e a2 não são colineares (faça um desenho, se precisa).
Pode-se verificar resolvendo o sistema, que de fato, o conjunto solução é dado por: S = {(2, 1)}.
c) Tentando repetir o raciocinho, revela-se mais difícil escrever c direitamente como uma combinação linear de a1 e a2: c = −3 −2 ? = x1. 1 1 + x2 2 −2 = x1.a1+ x2.a2.
Porem, sempre vale que conseguir (x1, x2) como acima é equivalente a resolver um sistema:
x1. 1 1 + x2. 2 −2 = −3 −2 ⇐⇒ ( x1+ 2x2 = 4 x1− 2x2 = 0.
Logo basta reslover o sistema. Obtemos o seguinte conjunto solução S = {(−5/2, −1/4)}. Podemos verificar que, de fato:
−5 2 1 1 −1 4 2 −2 = −3 −2 .
Alem disso, a solução do sistema sendo única, este é a única maneira de escrever c como combinação linear de a1 e a2. Note que esta unicidade segue de a1 e a2 (não depende do
escolho de c).
Correção do Exercício 7: Para cada um dos escolhos de A e b a seguir, determine se o sistema Ax = b é consistente, examine como b se relaciona com os vetores coluna de A. Explique sua resposta em cada caso.
a) O sistema associado é dado por: (
2x1+ x2= 3
−2x1+ x2= 1.
Ele é consistente, e tem solução única S = {(1/2, 2)}. Obtemos b como combinação linear das colunas de A: 3 1 =1 2 2 −2 + 2 1 1 .
b) O sistema associado é dado por: (
x1+ 4x2= 5
2x1+ 3x2= 5.
Ele é consistente, e tem solução única S = {(1, 1)}. Obtemos b como combinação linear das colunas de A: 5 5 = 1 2 + 4 3 .
c) O sistema associado é dado por: 3x1+ 2x2+ x3 = 1 3x1+ 2x2+ x3 = 0 3x1+ 2x2+ x3 = −1.
Ele é inconsistente, S = ∅, logo é impossível obter b como combinação linear das colunas de A (o que é fácil ver num desenho em R3 tambem).
Correção do Exercício 8: Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funcionam quando os números reais a e b são substituidos por matrizes n × n A e B:
a) Sendo duas matrizes n × n, A e AB, temos : (A + B)2 = (A + B)(A + B)
= A(A + B) + B(A + B) = AA + AB + BA + BB
= A2+ AB + BA + B2 6= A2+ 2AB + B2 pois para matrizes AB 6= BA em geral, logo AB + BA 6= 2AB tambem. b) Semelhantemente:
(A + B)(A − B) = A(A − B) + B(A − B) = AA − AB + BA − BB
= A2− AB + BA − B2 6= A2− B2
Correção do Exercício 9:
a) Sejam A, B ∈ M2,2(R) as matrizes dadas por: A :=0 1 0 1 , B :=1 1 0 0 .
Então verifica-se facilmente que AB = 0, embora nem A nem B seja nula.
Observação. O que é importante aqui é de notar que este fenômeno não acontece com o produto de números reais, ou complexos: pois se ab = 0, com a, b ∈ R ou C, então necessariamente, tem-se a = 0 ou b = 0... Este exibe um comportamento bastante singular das matrizes em relação ao produto.
b) Usando as regras álgebricas do produto matricial, podemos observar o seguinte: AB = AC ⇐⇒ AB − AC = 0
⇐⇒ A(B − C) = 0.
Logo podemos usar o item a) precedente para conseguir matrizes explicitas, pegando por exemplo: A :=0 1 0 1 , B :=1 0 0 0 , C :=0 −1 0 0 .
Verifica-se facilmente que AB = BC, embora B e C sejam matrizes diferentes.
Observação. De novo, o objetivo deste exercício e de ressaltar algumas diferenças entre o produto matricial e o produto em R ou em C. Neste case, observe que não pode-se ’dividir’ pela matriz A para simplificar a igualdade: temos AB = AC, embora B 6= C e A 6= 0. Veremos que pode-se simplificar jà que a matriz A é invertível, o que não é o caso neste particular exemplo.
Correção do Exercício 10: Seja A ∈ M2,2(R) uma matriz simétrica, então A é necessaria-mente da forma:
A =a b b c
. Logo pode-se calcular facilmente que:
A2 = A.A =a b b c ·a b b c =a 2+ b2 ab + bc ab + bc b2+ c2 .
Em particular, é fácil ver que se A2 = 0, então a2 + b2 = b2 + c2 = 0, o que implica que a = b = c = 0. Concluímos que a matriz nula A = 0 é a única matriz simétrica 2 × 2 tal que A2= 0.
Observação. Este resultado não vale se não sopormos que A seja simétrica. O exemplo mais básico serià o segnuinte: considere a seguinte matriz, que não é simétrica:
A =0 1 0 0
.
Então é fácil verificar que A satisfaz A2 = 0, porem A 6= 0. De novo, observe a diferença com o produto usual em R ou C.
Correção do Exercício 11: Calculemos que: A2 = 1/2 1/2 −1/2 −1/2 · 1/2 1/2 −1/2 −1/2 = 1/4 − 1/4 1/4 − 1/4 −1/4 + 1/4 −1/4 + 1/4 = 0 0 0 0
Logo A2 = 0. Segue que A3 = A2.A = 0.A = 0, e semelhantemene, para n ≥ 2 temos An= A2.An−2= 0.An−2= 0.
Observação. Para ser rigoroso, teria que proceder por indução, como no seguinte exercicio.
Correção do Exercício 12: Calcula-se facilmente que:
A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A2= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A3= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A4= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .
Observação. O que é surprendente neste exemplo é que tem-se: A 6= 0, A2 6= 0, A3 6= 0,
porem, A4 = 0. Pode observar como a linha diagonal de 1 "esta subindo", ate desaparecer... Este descreve de maneira intuitiva o comportamente de matrizes não nulas cuja potencia An se anula para n suficientemente grande.
Jà que A4 se anula, é fácil ver que An= 0 para n ≥ 4. Mostremos isto por indução: notemos (Pn) a seguinte propriedade:
(Pn) : An= 0.
Calculemos acima que (Pn) é verdade para n = 4. Agora, suponha que (Pn) seja satisfeita,
então temos:
An+1 = An.A
∗
= 0.A = 0
onde usàmos (Pn) em ∗. Logo (Pn) ⇒ (Pn+1) e podemos concluir que An= 0 para n ≥ 4.
Correção do Exercício 13: Seja A uma matriz n×n e x e y vetores em Rntais que Ax = Ay e x 6= y. Vamos provar por contradição que A é singular.
Suponha que A é não singular, ou seja, que A admite uma inversa A−1. Então, teremos: Ax = Ay ⇒ A−1(Ax) = A−1.(Ay) ⇒ A−1A | {z } =I x = A−1.A | {z } =I y ⇒ Ix |{z} = x = Iy |{z} =y ⇒ x = y.
Este contradiz a hipótese que x 6= y, logo A não pode ser invertível. Correção do Exercício 14: Calcula-se que:
R.R|= cos θ − sin θ sin θ cos θ · cos θ sin θ − sin θ cos θ =
cos2θ + sin2θ cos θ sin θ − sin θ cos θ sin θ cos θ − sin θ cos θ cos2θ + sin2θ
= 1 0 0 1
Seguem duas coisas desta conta: o fato que R é não singular, e tambem o fato que R−1= R|. Correção do Exercício 15: Calcula-se que:
G2 = G.G = cos θ sin θ sin θ − cos θ · cos θ sin θ sin θ − cos θ =
cos2θ + sin2θ cos θ sin θ − sin θ cos θ
sin θ cos θ − sin θ cos θ cos2θ + sin2θ = 1 0 0 1
Uma matriz n×n A é dita uma involução se A2 = I. Considere a matriz G :=
cos θ sin θ sin θ − cos θ
. Logo G2= I, isso é, G é uma involução. Em particular, G.G = I, logo G é não singular, e a inversa de G a a própria matriz G.
Observação. Note de novo a diferença com o calculo usual em R ou C, onde os únicos números g reais ou complexos tais que g2= 1 são 1 e −1.
Correção do Exercício 16: Basta verificar fazendo cada vez as contas que A2 = A.
Correção do Exercício 17: Suponha que A é uma matriz idempotente, iso A verifica A2= A. Então, para verificar que I − A tambem o é. calculemos:
(I − A)2= (I − A)(I − A) = I(I − A) − A(I − A) = II − IA − AI + AA = I − A − A + A = I − A,
Para ver que I + A é não singular e (I + A)−1 = I − A/2, basta calcular: (I + A)(I − A/2) = (I + A)(I − A/2)
= I(I − A/2) + A(I − A/2) = II − IA/2 + AI − AA/2 = I − A/2 − A + A/2 = I.
