BC-0208 Fenômenos Mecânicos
Experimento 2
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Professor:____________________________________ Data:____/____/2010 Nome:____________________________________________ RA:__________
Introdução e Objetivos
O Movimento Retilíneo Uniforme descreve o comportamento de um corpo livre, ou seja, um corpo numa situação livre da ação de forças externas. No Experimento 1, estudamos o movimento de um carrinho que flutuava em um trilho de ar, numa situação muito próxima da situação idealizada descrita acima. Se o seu experimento foi bem conduzido e analisado, dentro das incertezas das medidas você deve ter chego à mesma conclusão que Isaac Newton: um corpo livre mantém seu movimento com velocidade constante enquanto a força resultante sobre ele é nula.
Nesse segundo experimento de Fenômenos Mecânicos, o objetivo é novamente estudar o movimento do carrinho no trilho de ar, mas agora numa situação onde ele é submetido à uma força constante não nula. Uma força resultante constante implica numa aceleração (taxa de variação da velocidade) também constante, ou seja,
constante. = = a dt dx dt d (1)
Experimentalmente, essa aceleração constante será originada da transmissão da força peso de um suporte de tarugos conectado ao carrinho através de um fio de nylon que passa por uma polia. Da mesma forma que no Experimento 1, iremos medir diretamente intervalos de espaço, L, e tempo, T, determinando as incertezas envolvidas nessas medidas diretas, σL e σT. Analisaremos, então, o comportamento da velocidade média com o tempo. O estudo do comportamento da posição x com o tempo t será efetuado através da construção de gráficos. Por fim, analisando detalhadamente as forças no sistema, seremos capazes de obter uma estimativa da aceleração da gravidade no laboratório.
Materiais
Conjunto experimental de Trilho de Ar com Cronõmetro MMECL; Balança; Carrinho deslizante; Corda de nylon com ganchos; Tarugo de latão; Suporte de pesos; Régua.
Procedimento Experimental e Coleta de Dados
O conjunto experimental é o mesmo utlizado no Experimento 1, com a adição de uma polia, um suporte de pesos e um fio de nylon com ganchos. Essa montagem é esquematizada na Fig. 1. Um tarugo de latão, que não está representado no diagrama esquemático, está acoplado ao carrinho para aumentar sua massa.
Fig. 1 Diagrama esquemático do trilho de ar, do carrinho, do fio de nylon que conecta este ao suporte de
pesos passando através da polia. Também são apresentados os suportes dos detectores de passagem.
Como possuímos 5 conjuntos detectores, temos quatro intervalos espaciais bem definidos, L1, L2, L3 e L4. Com o auxílio de uma régua, determine esses intervalos medindo a distância entre os fotodetectores. Efetue três medidas: considerando a distância centro a centro; a distância entre os extremos mais distantes e, por fim, a distância entre os extremos mais próximos. Anote os dados na Tabela 1 e faça o tratamento estatístico adequado 1.
Intervalo Medida 1 (cm) Medida 2 (cm) Medida 3 (cm)
i L (cm)
σ
Li(cm) L1 L2 L3 L4Tabela 1. Medidas diretas de intervalos espaciais (distâncias entre sensores)
1
Considerando um conjunto de 3 medidas para cada Li,
3 3 Medida 2 Medida 1 Medida + + = i
L , e o desvio padrão da média é
2 3 2 3 1 × =
∑
= ) L (Medida j-L i j i σ . 1 2 3 4 5Posicione o carrinho no centro do trilho e ligue o gerador de fluxo de ar. Ajuste o fluxo para que o carrinho deslize livremente no trilho. Posicione então o carrinho na extremidade esquerda do trilho. Este ficará travado magneticamente na posição. Verifique o funcionamento do cronômetro obstruindo os detectores com a mão, um a um. Efetuados os testes, zere o cronômetro.
Se você acionar a chave inversora irá liberar o carrinho e, ao mesmo tempo, transferir para ele uma determinada quantidade de movimento. Dessa forma, o carrinho seria liberado com uma velocidade inicial diferente de zero. Ao invés de acionar a chave inversora, desprenda manualmente o carrinho do magneto permanente e, muito gentilmente, aproxime-o do Detector 1 até que a haste bloqueie a luz que incide no detector. Mantenha essa posição. O cronômetro só será acionado quando houver o desbloqueio do Detector 1. Libere então o carrinho. A força transmitida pelo fio de nylon provocará a aceleração do carrinho.
Anote na Tabela 2 os quatro intervalos de tempo T1, T2, T3 e T4 apresentados pelo cronômetro – essa é a Medida 1. Reposicione o carrinho no extremo esquerdo, mantendo-o travado no magneto, zere o cronômetro e verifique o posicionamento dos ganchos, do fio de nylon e do suporte de pesos, fazendo ajustes na montagem quando necessário. Libere o carrinho de forma manual novamente, obtendo os dados para a Medida 2. Repita esse procedimento para obter os intervalos temporais da Medida 3. Efetue o tratamento estatístico desses dados, de forma semelhante ao efetuado para as medidas de distância, Tabela 1. Se, para algum intervalo temporal, o valor do desvio padrão da média for menor do que metade da menor divisão do cronômetro (0,0005s), considere essa última como a incerteza na medida.
Intervalo Medida 1 (s) Medida 2 (s) Medida 3 (s)
i T (s)
σ
Ti(s) T1 T2 T3 T4Tabela 2. Medidas diretas de intervalos temporais (tempo entre acionamento dos sensores)
A parte final da coleta de dados nesse experimento envolve a medida da massa dos corpos, a massa do carrinho com o tarugo de latão (m1), a massa do suporte de pesos
(m2) e a massa do fio de nylon com os ganchos (mfio).
Grandeza m1 ± σm1 (gramas) m2 ± σm2 (gramas) mfio ± σmfio (gramas)
Medida
Tratamento e Análise dos Dados Experimentais
De forma semelhante ao efetuado no Experimento 1, determine a velocidade média em cada intervalo
T L
v = . (2)
Demonstre que a incerteza nessa velocidade é dada por:
2 2
+
=
T
T
L
L
v
v
σ
σ
σ
(3) DemonstraçãoCom base nas Eqs.(2 e 3), preencha a Tabela 4 abaixo. Intervalo i L (cm)
σ
Li(cm) T (s) iσ
Ti(s) v (cm/s) iσ
vi(cm/s) 1 2 3 4Tabela 4. Estimativa da velocidade média em cada um dos quatro intervalos.
O que medimos experimentalmente foram intervalos espaciais L e temporais T, e não a posição x e o tempo t. Devemos conectar esses intervalos com x e t. Considerando a origem do eixo x como a posição do Detector 1 e a origem do tempo como o instante que o carrinho aciona esse detector, obtemos
4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 L , x L L , x L L L , x L L L L x = = + = + + = + + + e (4) 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 T , t T T , t T T T , t T T T T t = = + = + + = + + + . (5)
Considerando essas relações e as propagações de erro apropriadas, preencha os dados da Tabela 5.
Ponto i t (s)
σ
ti (s) x (cm) iσ
xi (cm) v (cm/s) iσ
vi(cm/s) 0 0 0 0 0 ___________ ___________ 12
3
4
Tabela 5. Posição e velocidade média do carrinho em função do tempo
Com base nos dados da Tabela 5, construa, no “Papel Milimetrado” abaixo, um gráfico da velocidade média em função do tempo , incluindo as barras de erro apropriadas.
O que você pode concluir a partir desse gráfico ?
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Tempo, t (s)
V
e
lo
c
id
a
d
e
M
é
d
ia
,
v
(
c
m
/s
)
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Tempo, t (s)
P
o
s
iç
a
o
,
x
(
c
m
)
Construa, no “Papel Milimetrado” abaixo, um gráfico da posição x em função
do tempo t, incluindo os dados de posição e tempo iniciais e as barras de erro
apropriadas.
O comportamento observado nesse gráfico é linear? Explique.
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
Para um corpo material que executa um MRUV, seu movimento é descrito pela equação diferencial Eq.(1). Integrando essa equação, obtemos
0 v at dt dx + = , (6)
onde v0 é uma constante de integração, a velocidade inicial. Essa equação mostra que
a velocidade instantânea (dx/dt) deve variar linearmente com o tempo. A integração da Eq. (6) resulta em 0 0 2 2 ) (t at v t x x = + + , (7)
No nosso caso específico, podemos fazer v0 = 0 e x0=0, pois o móvel parte do
repouso na origem do sistema de coordenadas. Dessa forma,
2 ) ( 2 t a t x = . (8)
Portanto, se nosso carrinho executa um MRUV, sua posição deve ser uma função quadrática do tempo e a aceleração pode ser calculada através de
2
2
t x
a = . (9)
Usando propagação de erros, demonstre que a incerteza na aceleração é dada por
2 2 2 4 + = t t x x a a
σ
σ
σ
. (10) DemonstraçãoPreencha a Tabela 6, admitindo que o móvel executa um MRUV, determinando a aceleração e sua incerteza ponto a ponto através das Eqs.(9) e (10).
Ponto i x (cm)
σ
xi (cm) t (s) iσ
ti (s)a
(cm/s 2) aσ
(cm/s2) 1 2 3 4Tabela 6. Determinação da aceleração ponto a ponto para um móvel que executa um MRUV.
Analisando criticamente os dados da tabela acima, você pode afirmar que o móvel executa um MRUV? Explique.
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A figura abaixo apresenta um diagrama esquemático das forças atuando nos corpos, o carrinho, de massa m1, e do suporte de pesos, de massa m2. Nessa figura, P1 e P2 são os pesos dos corpos, N é a força normal e T é a tração na corda.
Fig. 2 Diagrama esquemático das forças atuando no carrinho e no suporte de pesos.
Fazendo uma análise das forças no sistema, demonstre que a aceleração do carrinho, e do suporte de pesos, é dada por
2 1 2
m
m
m
g
a
+
=
, (11)onde g é a aceleração da gravidade. Demonstração
Manipulando a Eq.(11), podemos escrever g em função de a, a aceleração que determinamos experimentalmente, 2 2 1 m m m a g = + (12) m1 m2 N r 1 P r T r T r 2 P r
As 3 variáveis na Eq.(12) foram determinadas experimentalmente, logo, somos capazes de estimar a aceleração da gravidade. Encontre uma expressão para a incerteza em g, usando propagação de erros:
=
g
σ
(13)Considerando o ponto com menor incerteza na aceleração da Tabela 6, encontre g e sua incerteza a partir dos dados de seu experimento.
=
g (14)
Comente esse resultado. Analise a influência da massa do fio de nylon (com ganchos), mfio, na estimativa de g. Determine g considerando mfio e comente o novo resultado. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
