Exercícios Resolvidos - Vetores Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.pdf

27/7/2010 –

27/7/2010 –

ALGA-1: Exercícios Resolvidos

ALGA-1: Exercícios Resolvidos

- Vetores- Vetores

* Do

* Do LivroLivro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

* Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT. * Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT.

Pg.92, exercício 38: Pg.92, exercício 38:

Calcular o módulo dos vetores

Calcular o módulo dos vetores

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uu++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv ee uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv, sabendo que, sabendo que || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

|| = =44 _, , ||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv|| = =33 e o ângulo entre e o ângulo entre

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uuee vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

 é de é de

60º. 60º.

Solução: Solução:

O exercício pede

O exercício pede || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv| e | u| e | u

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv||, e para isso devemos lembrar de três conceitos:, e para isso devemos lembrar de três conceitos:

I) Ângulo entre dois vetores: I) Ângulo entre dois vetores:

cos

cosθ θ ==

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uuAA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv

|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||AA|| vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||

 f f f fff f fff f fff f fff f fff f fff f f

II) Fatoração, quadrado perfeito: II) Fatoração, quadrado perfeito:

|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv||22==|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22++22 uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

AA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv++|| vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22

III) Lei dos co-senos: III) Lei dos co-senos:

|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv||22==|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22++||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv||22@@2|2| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||AA|| vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

|cos|cosθθ Do primeiro conceito: Do primeiro conceito: cos60º cos60º ==

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uuAA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv 44AA33

 f fff f fff f fff f f

[[ 11 22

 f fff

==

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uuAA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv 12 12

 f f f fff f fff f fff

aassssiimm uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

AA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv==66 Do segundo encontramos Do segundo encontramos || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv|:|: || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv||22==|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22++22 uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

AA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv++ || vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22 ti

tiranrandodo aa raraiizz ququadradradaada dosdos doidoiss lladosados::

||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uu++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv || = =

q 

q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

_uu||22

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

++22

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_uu

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

AA

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

++||

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv||22

Outra coisa importante é quanto ao módulo: Outra coisa importante é quanto ao módulo:

S e | u

S e | u

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

|| = = 4 e | v4 e | v

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

|| = =33 ,, enenttãoão elelevevanandodo osos dodoiiss lladadosos aoao ququadadraradodo ttememosos::

|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22==1166 ee | v| v

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22==99

Agora substituímos na fórmula anterior: Agora substituímos na fórmula anterior:

||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uu++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv|| = =

p 

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

1616

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 + +

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2.62.6

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 + + 99 ==

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

p 

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

3737

Do terceiro encontramos

Do terceiro encontramos || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv|:|:

|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv||22==|| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||22++||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv||22@@2|2| uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

||AA|| vv

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

|cos|cosθθ

aqu

aquiitamtambémbémtitiramramosos aa rairaizz ququadradaadrada dosdos doidoiss llados:ados:

||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

uu@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv|| = =

q 

q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_uu

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

||22

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

++ ||

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv||

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

22@@

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2|2|

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_uu||

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

AA||

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

_vv

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

|cos|cosθθ || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv|| = = 1616 + + 99@@22AA3.43.4AA11 22

 f fff

s 

s 

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

==

p 

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

1313 Portanto Portanto || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

++

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv|| ==

p 

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

3737 ee || uu

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

@@

jjjjjjjjjjjjjjjjkk

vv|| = =

p 

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

1313

Livro: Pg.92, exercício 40.

Determinar u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w +

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w, sabendo que u

jjjjjjjjk

+

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w=0, | u

jjjjjjjjk

| =2, | v

jjjjjjjjk

| =3 e | w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

| =

p wwwwwwwwwwwwwwwww

5 .

Solução:

Partindo das informações

jjjjjjjjk

u+

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w=0, então se elevarmos ambos os lados ao quadrado não alteramos a

igualdade: u

jjjjjjjjk

+

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

2

=02

desenvolvemos isso aplicando a propriedade distributiva: u

jjjjjjjjk

+

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

b

c

A

b

jjjjjjjjk

u+

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

c

=0

u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

u+

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w+

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjk

u+

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

wA

jjjjjjjjk

u+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

wA

jjjjjjjjk

v+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

wA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w=0

Agora para o próximo passo precisamos simplificar e lembrar de alguns conceitos: I) Quanto aos módulos dos vetores:

u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

u=| u

jjjjjjjjk

|2 pois | u

jjjjjjjjk

| =

q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjk

u

| u

jjjjjjjjk

| = 2, | v

jjjjjjjjk

| =3 e | w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

| =

p wwwwwwwwwwwwwwwww

5

então: | u

jjjjjjjjk

|2=4, | v

jjjjjjjjk

|2=9 e | w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

|2=5

II) Quanto à propriedade comutativa: u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

v=

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjk

u Aplicando temos:

| u

jjjjjjjjk

|

2+

jjjjjjjjk

u

A

jjjjjjjjk

v

+

jjjjjjjjk

u

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

jjjjjjjjk

v

A

jjjjjjjjk

u

+

| v

jjjjjjjjk

|

2+

jjjjjjjjk

v

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

A

jjjjjjjjk

u

+

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

A

jjjjjjjjk

v

+

| w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

|

2=

0

4

 +

2 u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

v

+

2 u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

9

+

2 v

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

5

 =

0

18

+

2 u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

v

+

2 u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

2 v

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

=

0

Agora subtraindo 18 dos dois lados e fatorando:

2 u

b

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

v

+

jjjjjjjjk

u

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

+

jjjjjjjjk

v

A

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

c

= @

18

Dividimos a igualdade por 2 e temos a resposta:

u

Dica: Realizando produto vetorial rapidamente: Produto vetorial:

Os cálculos são feitos mentalmente (ou com auxilio de calculadora cientifica), mas o que é importante são os sinais.

A operação resultará em um vetor:

jjjjjjjjjjjjjjk

w= _{a ,}@ _{b , c}

Isso mesmo a componente b sempre terá sinal trocado! Supondo que temos dois vetores:

u

jjjjjjjjk

= _{x, y, z} e

jjjjjjjjk

_v= _r,s,t 

x, y, z, r, s, t, são números quaisquer. Então o produto vetorial é feito assim: 1 – Montamos como se fosse

um determinante: u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

v=

k

_{x y z}i  j

jjk

jjjjjjjjjjk

k r s t

LLL

LL

LL

L

MMM

MM

MM

M

=

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

2 – Depois multiplicamosy.t e

subtraímos des.z:

3 – Aqui multiplicamos x.t e

subtraímos der.z, multiplique o

resultado por (-1).

(sempre troca-se o sinal).

4 – Agora multiplicamosx.s e

subtraímos der.y:

5 – O que se tem em linha são essas multiplicações que darão as componentes do vetor.

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

v=

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w= yA_t @sA _z,@ xA_t @rA _z , xA_s@rA _y

Prova: exercício 2 (2009/2) (1,0 pt cada)

Sejam os pontos: A(1, -1, 2) , B(2, 3, -1) e C(-1, 1, 4). a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo

b) Calcule um vetor unitário perpendicular ao triângulo ABC.

c) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores

jjjjjjjjk

u=2 BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

@

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC e

jjjjjjjjk

v=

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AB+2 CA

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

Solução:

a) O exercício não traz figuras, então você tem que imaginar!  Para mostrar que o triângulo é retângulo:

temos que verificar se o produto escalar  entre dois vetores pertencentes a esse triangulo é nulo, pois

quando o produto escalar é nulo, os vetores formam um ângulo reto (definindo um triangulo retângulo). Ou seja uma das hipóteses abaixo tem de estar certa.

Obs: o produto escalar é indicado de duas maneiras:

AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC=0 _ou < AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

, AC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

> =0 AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BC=0 _ou < AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

, BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

> = 0 AC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

ACB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

=0 _ou < AC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

, CB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

> =0

Das três hipóteses a única que confere é:

AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC= 1 _,4 _,@3 @2 _,2 _,2 = @2 + 8@6 =0

 Lê-se: vetor AB escalar vetor AC.

Logo o triângulo é retângulo, com ângulo reto entre esses dois vetores (ver a figura).

b) Existem vário vetores unitários perpendiculares, veremos uma maneira de encontrar.

Temos que imaginar um vetor perpendicular ao triangulo ABC

(figura). O produto vetorial é o que precisamos pois ele nos da um

vetor simultaneamente ortogonal (perpendicular) a dois vetores.

AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

B

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC=

k

₁i ₄ j

jjk

_@

jjjjjjjjjjk

₃k @2 2 2

LL

LLL

LL

L

MM

MMM

MM

M

=

jjjjjjjjk

u AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

B

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC= 4B2@ 2B @

` a

3 ,@ 1B2@ @

` a

2 B @

` a

3 ,1B2@ @

` a

2 B

` a

4 AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

B

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC=

jjjjjjjjk

u = 14,4,10

Como queremos um vetor unitário, ou seja de módulo um, então fazemos oversor de

jjjjjjjjk

u.

Da definição, o versor

jjjjjjjjk

v de um vetor

jjjjjjjjk

u, é esse vetor

jjjjjjjjk

u dividido pelo seu módulo | u

jjjjjjjjk

|, ou seja:

u

jjjjjjjjk

= 14,4,10 _{e u}

LL MM

jjjjjjjjk

=

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

312 Então

jjjjjjjjk

v=

jjjjjjjjk

u |

jjjjjjjjk

u|

 ffffffffff

= 14 ,4 ,10 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 ffffffffffffffffffffffffffffffff

= 14 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

 , 4 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

 , 10 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

f

Se você não acredita faça a prova real: | v

jjjjjjjjk

| = 14

312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

f

g

2₊ 4 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

f

g

2₊ 10 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

f

g

2

v 

uuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=1

E

jjjjjjjjk

v (além de unitário) também é perpendicular ao triângulo ABC, pois:

v

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AB=

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC=

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AB+

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC =0

Portanto uma das respostas é o versor

jjjjjjjjk

v= 14

312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

 , 4 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

 , 10 312

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

 fffffffffffffffffff

c) O significado geométrico do módulo do produto vetorialé a área do paralelogramo, então: u

jjjjjjjjk

=2 BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

@

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AC Realizando os cálculos:

jjjjjjjjk

u= @4 _,@6 _,8 v

jjjjjjjjk

=

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AB+2 CA

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

Realizando os cálculos:

jjjjjjjjk

v= 5 _,0 _,@7 Logo:

Área

_{paralelogramo}=

LL

jjjjjjjjk

u

B

jjjjjjjjk

v

L

MM

M

=

i

k

 j

jjk

jjjjjjjjjjk

k

@

4

@

6

8

5

0

@

7

LLL

LL

LL

LL

MMM

MM

MM

MM

LL

LL

LLL

LL

L

MM

MM

MMM

MM

M

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

v

LL

L

MM

M

=

LL

_L

LL

d

` a

@

6

B @

` a

7

@

`

0

B

8

a

,

@ @

B

` a

4

B @

` a

7

@

`

5

B

8

a

C

,

` a

@

4

B

0

@

B

5

B @

` a

6

C

e

MM

MM

_M

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

v

LL

L

MM

M

=

LLL

_L

b

42,12,30

c

MMM

_M

=

42

2 +

12

2 +

30

2

q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2808

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

v

LL

MM

=

6 78

p wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

u

A

a

A

u.a. = unidades de área

Prova: exercício 3 (2009/2) (1,0 pt cada)

a) Explique porque

jjjjjjjjk

uB

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w =

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjk

vB

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

b) Nos produtos acima, qual a operação é feita antes?

Solução:

a) De acordo com o livro (pg. 76, 3.11 à pg. 79).

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w e também

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjk

vB

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w resultam em números reais cuja operação chama-seproduto misto, e

também é indicada por:

u

jjjjjjjjk

B

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w=

jjjjjjjjjjjjjjjjk

wA

jjjjjjjjk

uB

jjjjjjjjk

v=

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w, u

jjjjjjjjk

, v

jjjjjjjjk

u

jjjjjjjjk

A

jjjjjjjjk

vB

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w=

jjjjjjjjk

u, v

jjjjjjjjk

, w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

Então

jjjjjjjjk

uB

jjjjjjjjk

vA

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w =

jjjjjjjjk

uA

jjjjjjjjk

vB

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w

devido propriedade cíclica:

u

jjjjjjjjk

, v

jjjjjjjjk

, w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

=

jjjjjjjjk

v, w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

, u

jjjjjjjjk

=

jjjjjjjjjjjjjjjjk

w, u

jjjjjjjjk

, v

jjjjjjjjk

Siga o sentido da  flecha e compare para

entender a resposta.

O livro diz: “Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas linhas”.

De qualquer forma, desde que não se altere o sentido do circulo, independente da ordem dos vetoreso

produto misto será sempre igual, você pode verificar dando valores para

jjjjjjjjk

u,

jjjjjjjjk

v e w

jjjjjjjjjjjjjjk

.

Prova: exercício 4 (2009/2) (2,0 pts)

Calcule m de forma que o tetraedro determinado pelos vetores

jjjjjjjjk

u= 2 _,1 _,@4  ,

jjjjjjjjk

v= _m,@1 _,3 e

w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

= @3 _,1 _,@2  tenha volume 3.

Solução:

Obs: Tetraedro é mais conhecido como pirâmide.

A interpretação geométrica do módulo produto misto é o volume do paralelepípedo, logo o volume do tetraedro é dado por:

V

_tetraedro=

1

6

 fff

LL

_L

jjjjjjjjk

u

, v

jjjjjjjjk

, w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

MM

_M

Então de acordo com o enunciado: 1

6

 ff

LLL

jjjjjjjjk

u, v

jjjjjjjjk

, w

jjjjjjjjjjjjjjjjk

MMM

=3 1 6

 fff

2 1 @4 m @1 3 @3 1 @2

LL

LL

LL

L

MM

MM

MM

M

LL

LL

LL

L

MM

MM

MM

M

=3

O determinante implica nessas multiplicações:

1 6

 fff

b

2B @

` a

1 B @

` a

2 + 1B3B @

` a

3 + _mB1B @

` a

4

C

@ @

B

` a

4 B @

` a

1 B @

` a

3 + 3B1B2 + 1B_mB @

` a

2

C MMM

MM

=3

LL

LL

L

E se não houver erros até aqui temos: 1

6

 ff

LL

1@2_m

MM

=3

Ou: 1

L

@2_m

M

=18

A equação modular implica que temos duas soluções:

1@2_m = F 18 Logo: m₁ = 19 2

 f ff f

ou m₂ =@17 2

 ff f

E a única forma de descobrir se os valores de m conferem, é substituir no produto misto e efetuar as operações. Para sua comodidade já realizamos os cálculos e os dois valores conferem, ou seja somente

quando m=19

2

 ff ff

ou m=@17

2

 f f ff

o volume do tetraedro é 3.

Nota: você precisa conhecer bem a teoria de determinantes ou produto misto.

Dica: se você não sabe como resolver equações modulares consulte no site o arquivo: “CDI-1: Exercícios Resolvidos - Equações Modulares: Cálculo A”.

Prova: exercício 5 (2009/2) (2,0 pts)

Na figura abaixo, tem-se o triângulo ABC retângulo em A. Considere H o pé da altura relativa ao vértice

A. Determine o vetor

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AH, sabendo que seus vértices são A(-2,-1,3) , B(1,4,-2) e C(-2,-2,2).

Solução:

O exercício quer é o vetor *

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AH, mas não temos as coordenadas do

ponto H, e uma das maneiras de resolver é utilizando a projeção de

vetores. Podemos usar a projeção do vetor

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BA sobre o vetor

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BC,

para obtermos *

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BH. Depois disso sugerimos dois caminhos, é

importante entender os dois. . BA

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= A-B = (-3, -5, 5) BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

 = C-B = (-3, -6, 4) .. Então: BH

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

k

= _projA BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjj

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

BA

k

=

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

BA

k

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

BC

k

BC

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

k

A

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

BC

k

 fffffffffffffffffffffffff

j

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

BC

k

= @3,@5,5

b

c

A @

b

3,@6,4

c

@3,@6,4

b

c

A @

b

3,@6,4

c

 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

H

LL

J

I

MM

K

A @

b

3,@6,4

c

=59 61

 fffffff

@3,@6,4 = @177 61

 fffffffffff

,@354 61

 fffffffffff

,

 fffffffffff

236₆₁

f

g

.

Daqui pra frente mostraremos dois métodos para a resolução: I ) O mais rápido: Analisando a figura, vemos que: AB

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

=B@A= 3,5,@5 AH

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

=

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AB+

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BH =

b

3,5 _,@5

c

+ @177 61

 fffffffffff

 ,@354 61

 fffffffffff

 , 236 61

 fffffffffff

f

g

= 6 61

 fffffff

 ,@49 61

 ffffffff

 ,@69 61

 fffffff

f

g

II ) Ou, como estamos procurando H, fazemos H = (x, y, z) e então: . BH

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

=H@B= x,y,z @ 1,4,@2 . Substituindo

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

BH: @177 61

 fffffffffff

,@354 61

 fffffffffff

,236 61

 fffffffffff

=

`

x,y,z

a

@ 1,4,@2 @177 61

 fffffffffff

,@354 61

 fffffffffff

,

 fffffffffff

236₆₁

f

g

_{+ 1,4,@2 =}

_`

_x,y,z

_a

. Assim H = (x, y, z) = @116 61

 fffffffffff

 ,@110 61

 fffffffffff

 ,114 61

 fffffffffff

.

E onde podemos fazer: AH

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

=H@A= @116

61

 ff ff ff

,@110 61

 f ff ff f

,114 61

 f ff ff f

@ @2,@1,3 . Encontrando finalmente

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

AH= 6 61

 ff ff

 ,@49 61

 ff ff

 ,@69 61

 ff ff f