Um primeiro curso em elementos finitos.pdf

-Sumário

Prefácio

ix

1

Introdução

1

1.1 1.2 Histórico

Aplicações de Elementos Finitos Referências

1 6 8

2

Aproximação Direta para Sistemas Discretos

9

9 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Descrição do Comportamento de um Elemento de Barra Simples Equações para um Sistema

2.2.1 Equações para Montagem

2.2.2 Condições de Contorno e Solução do Sistema Aplicações a Outros Sistemas Lineares

Sistemas de Treliças Bidimensionais Lei da Transformação

Sistemas de Treliças Tridimensionais Referências Problemas 12 14 16 19 22 24 28

29

29

3

Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais

32

3.1 Formulação Forte em Problemas Unidimensionais 33

3.1.1 Formulação Forte para uma Barra Elástica Carregada Axialmente 33 3.1.2 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional 35

3.1.3 Difusão Unidimensional 36

3.2 Formulação Fraca Unidimensional 37

3.3 Continuidade 39

3.4 Equivalência entre as Formulações Fraca e Forte 40

3.5 Análise de Tensões Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 45 3.5.1 Formulação Forte para Análise de Tensões Unidimensional 46 3.5.2 Formulação Fraca para Análise de Tensões Unidimensional 47 3.6 Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 47

3.6.1 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional com Condições de

Contorno Arbitrárias 47

3.6.2 Formulação Fraca para Condução de Calor Unidimensional com Condições de

Contorno Arbitrárias · 47

3.7 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 48 3.7.1 Formulação Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com

Condições de Contorno Generalizadas 48

3.7.2 Formulação Fraca para Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com

Condições de Contorno Generalizadas 50

3.8 Advecção-Difusão 50

3.8.1 Formulação Forte da Equação de Advecção-Difusão 50

3.8.2 Formulação Fraca da Equação de Advecção-Difusão 5 I

3.9 Energia Potencial Mínima 52

3.10 Integrabilidade 55

Referências 56

Problemas 56

4

Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para

Problemas Unidimensionais

4.1 4.2

Elemento Linear com Dois Nós Elemento Quadrático Unidimensional

60

61 63

vi SUMÁRIO

L

.

4.3 4.4 4.5 4.6

Construção Direta das Funções de Forma em uma Dimensão Aproximação das Funções Peso

Aproximação Global e Continuidade Quadratura de Gauss Referência Problemas 64 65 65 67 70 70

5

Formulação de Elementos Finitos

para Problemas Unidimensionais

72

5.1 Desenvolvimento da Equação Discreta: Caso Simples 72

5.2 Matrizes Elemento para Elemento com Dois Nós 76

5.3 Aplicação a Problemas de Condução e Difusão de Calor 77

5.4 Desenvolvimento de Equações Discretas para Condições de Contorno Arbitrárias 82 5.5 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 87

5.6 Convergência do MEF 88

5.6.1 Convergência por Experimentos Numéricos 90

5.6.2 Convergência por Análises 92

5.7 MEF para a Equação de Advecção-Difusão 94

Referências 96

Problemas 96

6

Formulações Forte e Fraca para Problemas de Campo

Escalar

Multidimensionais

102

6.1 Teorema da Divergência e Fórmula d~ Green 104

6.2 Formulação Forte 108

6.3 Formulação Fraca 111

6.4 A Equivalência entre as Formulações Forte e Fraca 112

6.5 Generalização para Problemas Tridimensionais 113

6.6 Formulações Forte e Fraca para Advecção-Difusão Escalar em Regime Permanente

Bidirnensional 114

Referências 115

Problemas 116

7

Aproximações de Soluções Tentativas,

Funções Peso .e Quadratura de

Gauss para Problemas Multidimensionais

7.1 Completude e Continuidade 7.2 Elemento Triangular com Três Nós

7.2.1 Aproximação Global e Continuidade 7 .2.2 Elementos Triangul~Jres de Ordem Superior

7 .2.3 Derivadas de Funções de Forma para o Elemento Triangular com Três Nós 7.3 Elementos Retangulares com Quatro Nós

7.4 Elemento Quadrilateral com Quatro Nós

7 .4.1 Continuidade de Elementos Isoparamétricos 7 .4.2 Derivadas de Funções de Forma lsoparamétricas 7.5 Elementos Quadrilaterais de Ordem Superior

· 7.6 Coordenadas Triangulares

7.6.1 Elemento Triangular Linear

7.6.2 Elementos Triangulares Isoparamétricos 7 .6.3 Elemento Cúbico

7.6.4 Elementos Triangulares pelo Colapso dos Elementos Quadrilaterais 7.7 Completude de Elementos lsoparamétricos

7.8 Quadratura de Gauss em Duas Dimensões

7.8.1 Integração sobre Elementos Quadrilaterais 7 .8.2 Integração sobre Elementos Triangulares

·

- ·

7

.9 EementosTndimensionais --- ·

7.9 .1 Elementos Hexaéd.ricos 7.9.2 Elementos Tetraédricos Referências·

Problemas

6

Formulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo

Escalar

Multidimensionais

8.1 8.2 8.3

Formulação de Elementos Fmitos para Problemas de Condução de Calor Bidimensionais Verificação e Validação Equação de Advecção-Difusão Referências Problemas

118

119 120 123 124 125 125 127 129 130 131 134 134 136 137 137 138 139 139

140

i4

I

141 143 145 145

147

147 157 160 163 163

SUMÁRIO vi i

9

Fonnulação

de

Elementos Finitos

para

Problemas

de

Campo Vetorial

-Elasticidade Linear

167

9.1 Elasticidade Linear 167 9.1.1 Cinemática 168 9.1.2 Tensão e Tração 170 9.1.3 Equilibrio 171 9.1.4 Equação Constitutiva 172

9.2 Formulações Forte e Fraca 173

9.3 Discretização de Elementos Finitos 175

9.4 Elemento Triangular com Três Nós 177

9.4.1 Matriz de Força de Campo do Elemento 178

9.4.2 Matriz de Força de Contorno 178

9.5 Generalização das Condições de Contorno 179

9.6 Discussão 185

9.7 Equações da Elasticidade Linear em Três Dimensões 186

Problemas 187

10

Formulação

de Elementos Finitos para Vigas

192

10.1 Equações de Governo da Viga 192

10.1.1 Cinemática da Viga 192

10.1.2 Lei da Tensão-Deformação 194

10.1.3 Equilíbrio 195

10.1.4 Condições de Contorno ₁₉₆

10.2 Formulação Forte para Formulação Fraca 197

10.2.1 Formulação Fraca para Formulação Forte 198

10.3 Discretização de Elementos Finitos ₁₉₉

10.3.1 Aproximações da Solução Tentativa e da Função Peso 199

10.3.2 Equações Discretas 201

10.4 Teorema da Energia Potencial Mínima 201

10.5 Observações sobre Elementos de Casca 205

Referência 208

Problemas 208

11

Thtoriais para o Programa

Comercial de E

lementos Finitos ABAQUS

pela

ABAQUS, Inc.

212

11.1 Introdução 212

11.1.1 Exemplo de Condução de Calor em Regime Permanente 212

11.2 Preliminares 213

11.3 Criando um Objeto ₂₁₃

11.4 Criando uma Definição do Material 215

11.5 Definindo e Designando Propriedades de Seção 215

11.6 Montando o Modelo 216

11.7 Configurando a Análise 216

11.8 Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo 216

11.9 Gerando Malhas no Modelo 218

11.10 Criando e Submetendo um Trabalho para Análise 219

11.11 Examinando os Resultados da Análise 219

11.12 Resolvendo o Problema Usando Quadrilaterais 220

11.13 Refinando a Malha 220

11.13.1 Curvatura de uma Viga Curta em Balanço 221

11.14 Copiando o Modelo 221

11.15 Modificando a Definição do Material 221

11.16 Configurando a Análise 222

11.17 Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo 222

11.18 Gerando Malhas no Modelo 223

11.19 Criando e Submetendo um Trabalho para Análise 223

11.20 Examinando os Resultados da Análise 224

11.20.1 Placa com um Furo sob Tensão 224

11.21 Criando um Novo Modelo 225

11.22 Criando um Objeto 225

11.23 Criando uma Definição do Material 225

11.24 Definindo e Designando Propriedades de Seção 226

11.25 Montando o Modelo 227

-viíi SUMARIO

.

'

11.26 Configurando a Análise

11.27 Aplicando uma Condição de-Contorno e uma Carga ao Modelo 11.28 Gerando Malhas no Modelo

11.29 Criando e Submetendo um Trabalho para Análise 11.30 Examinando os Resultados da Análise

11.31 Refinando a Malha

12 Programação

d

e E

l

eme

n

tos F

ini

tos co

m

MATLAB (no síte www.ltceditora.com.br)

Apêndice

A.l Rotação do Sistema de Coordenadas em Três Dimensões A.2 Teorema do Produto Escalar

A.3 Fórmula de Taylor com Resto e o Teorema do Valor Médio A.4 Teorema de Green

A.5 Força em um Ponto (Fonte) A.6 Condensação Estática A. 7 Métodos de Solução Soluções Diretas Soluções Iterativas Condicionamento Referências Problemas Índice 227 227 229 230 231 231

232

232 233 233 233 235 236 236 237 238 238 239 239

---UM

BREVE GLOSSÁRIO DA NOTAÇÃO

Escalares, Vetores, Matrizes a, B Escalares a, B Matrizes

ã,B

Vetores

a,.

B

u

Componentes matriciais ou vetoriais

Inteiros

e

Conjuntos

Número de pontos nod~is Número de elementos Número de pontos de Gauss Número de nós do elemento índice do elemento Delta de Kronecker V Para todo U União

n

Interseção E Pertence C Está contido Espaços, Continuidade

U Espaço de soluções tentativas U₀ Espaço de funções peso C" Funções cujas / '1

""" derivadas em O :S j :S n são contínuas

H' Um espaço de funções com s derivadas do quadrado integrável

Formulações Fortes- Geral

n

Domínio do problema f Contorno do domínio

n = (n,, n) Normal unitário a r(n

=

:t 1 em lD) (x, y) Coordenadas físicas (x em I D)

A,

A

s

Matrizes gradiente e gradiente simétrico ~ Vetor gradiente

Formulação Forte- Condução de Calor T q = (q.,. qy

rr

.

r,

s

q,'t

D k.tr, k . .,. k.rr Temperatura Fluxo (q em lD) Contorno essencial Contorno natural Fonte de calor

Fluxo de contorno e temperatura Matriz de condutividade Condutividades (k em lD) Formulação Forte -Elasticidade u = (u,, ul Deslocamentos (u em lD)

ü x, ü)' Vetores tensão agindo sobre os planos normais às direções x e y

e, u Matrizes deformação e tensão (e eu em ID) -r Tensor tensão

e .. , e,., y.rr Componentes de deformação fi .... fi,.. fi .rr Componentes de tensão b = (b,, bY Forças de campo (bem lD) t

=

(t,, t l Trações

E, v Módulo de Young e coeficiente de Poisson D Matriz módulos do material

i=

(ix, iyf Tração prescrita (f em lD)

ü = (üx,

ü,.l

Deslocamentos prescritos (ü em lD)

r

..

r,

Contornos essencial (deslocamento) e natural (tração)

Formulação Forte -Vigas

u'f

(x) Deslocamento em x na linha central m(x) Momento interno

s(x) Força de cisalbamento interna p(x) Carregamento distribuído I Momento de inércia

K Curvatura

u

é

Deslocamentos Rotações verticais

PREFÁCIO xl

m,s

üy,ê

r

...

r,

r .. r,

Momentos prescritos e forças de cisalhamento Deslocamentos verticais prescritos e rotações Contorno natural: momentos e cisalbamento

Contorno essencial: deslocamentos verticais e rotações Elementos Finitos - Geral

O• Domínio do elemento e (/'em ID)

A' Área do elemento

e

(área da seção transversal em lD) xf,yf Coordenadas do nó/ no elemento e

N', N Matrizes função de forma do elemento e global B', B Matrizes derivada da função de forma do elemento e

v

v

r

J'

9',fl' w',wl ~

g, 11·

gl

x(g, 1/) y(g, 'l'J) KE' K,. Ku w

R'

global Matriz reunião

Matriz com coeficientes dispersos Matriz jacobiano

Soluções tentativas do elemento e global Funções peso do elemento e global Pesos da quadratura de Gauss Coordenada de referência/natural Mapeamento da coordenada x Mapeamento da coordenada y Partição em E e F nós Matriz global de funções peso

Matriz rotação do elemento para o sistema de coordenada global

Elementos Finitos - Condução de Calor 7.' Temperatura do elemento finito

d, d' Matrizes de temperatura global e do elemento K, K• Matrizes de condutãncia global e do elemento f r, rf Matrizes de fluxo de contorno global e do elemento f n, fó Matrizes fonte global e do elemento

r Matriz residual global f Matriz de fluxo global Elementos Finitos -Elasticidade

d,d' K,K• fr,rf fn,fó f, f' r

Deslocamentos do elemento finito

Deslocamentos no nó/ do elemento nas direções x e y, respectivamente

Matrizes deslocamento global e do elemento Matrizes de rigidez global e do elemento Matrizes força de contorno global e do elemento Matrizes força de campo global e do elemento Matrizes força global e do elemento

Matriz força de reação global Elementos Finitos - Vigas

u;.

Deslocamentos verticais do elemento finito d' Matriz deslocamento do elemento K, K' Matrizes de rigidez global e do elemento f r, fj. Matrizes força de contorno global e do elemento fn, fó Matrizes força de campo global e do elemento f, f' Matrizes força global e do elemento

1

.

1 HISTÓRICO

1

Introdução

M

uitos fenômenos em engenharia e ciências podem ser desctitos em tennos de equações diferenciais parciais. Em

geral, solucionar essas equações por meio de métodos analíticos clássicos para geometrias arbitrárias é quase impossível. O método de elementos finitos (MEF) é uma aproximação numérica com a qual essas equações dife-renciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Do ponto de vista da engenharia, o MEF é um método para resolver problemas de engenharia, tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e eletromagnetismo, por simulações de computador.

Milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo usam o MEF para prever o comportamento estrutural, mecânico, ténnico, elétrico e químico de sistemas, tanto na etapa de projeto quanto na de análise de desempenho. Sua popularidade pode ser atribuída ao fato de que mais de US$ 1 bilhão é gasto por ano nos Estados Unidos em programas de computador sobre MEF e em tempo computacional. Em 1991, uma lista de referências bibliográficas (N oor, 1991) foi publicada com cerca de 400 livros sobre elementos finitos escritos em inglês e outros idiomas. Uma pesquisa feita na internet em 2006 para a frase "elementos finitos", usando o programa Google, encontrou mais de 14 núlhões de páginas de resultados. Mackerle (http://ohio.ikp.liu.se/fe)relaciona 578 livros de elementos finitos

publicados entre 1967 e 2005. ·

Para explicar a base da aproximação do MEF, considere uma placa com um furo, como mostrado na Figura 1.1, sobre a qual desejamos encontrar a distribuiÇão de temperatura. É conveniente.escrever uma equação de balanço de calor para cada ponto da placa. Contudo, a solução da equação diferencial parcial resultante para uma geometria complicada. como a de um bloco de motor, é impossível pelos métodos clássicos, como o da separação de variáveis. Métodos numéricos, como os métodos de diferenças finitas, são igualmente muito complicados de aplicar a fonnas arbitrárias; os desenvolvedores de programas computacionais não têm comercializado programas com base em diferenças finitas capazes de lidar com geometrias complicadas, comumente encontradas na engenharia. De modo - - - · - - - -semelhante, a análise-1Je-tensões-requer a solução-de-equações diferenciais pareiais,-que-são-muito difíceis-de-serem resolvidas por métodos clássicos, exceto para formas muito simples, como as retangulares, e problemas de engenharia raramente têm tais formas simples.

A idéia básica do MEF é dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas de elementos, conec-tados por n6s, e obter uma solução aproximada como mostra a Figura 1.1. Esta é chamada de malha de elementos finitos e o processo para a sua construção é conhecido como geração da malha.

O MEF provê uma metodologia sistemática com a qual a solução (no caso do nosso exemplo, o campo de tempe -ratura) pode ser determinada por meio de um programa de computador. Para problemas lin~s. a solução é deter-núnada pela resolução de um sistema de equações lineares; o número de incógnitas (que são as temperaturas nodais) é igual ao número nodal. Para obter uma solução razoavelmente exata, milhares de nós são geralmente necessários, assim os computadores são essenciais para resolver essas equações. Geralmente, a exatidão da solução melhora com o aumento do número de elementos (e nós), mas o tempo computacional e, em conseqüência o custo, também aumentam. O programa em elementos finitos determina a temperatura em cada nó e o fluxo ~e calor por meio de

2 CAPITuLO UM

I

Placa com um Furo

Modelo de Elemento Finito

Elemento Finito Triangular

Modelo Refinado de Elemento Finito Figura 1.1 Geometria. cargas e malhas de elementos finitos.

cada elemento. Os resultados são geralmente apresentados como visualizações computacionais, tais como gráficos

de contorno, embora os resultados selecionados sejam freqUentemente produzidos em monitores. Essa informação é

então usada nas etapas do projeto de engenharia.

A mesma abordagem básica é usada em outros tipos de problemas. Na análise de tensões, as variáveis de campo são os deslocamentos; em sistemas químicos, as variáveis de campo são as concentrações das substâncias; e em eletromagnetismo, procura-se o campo de potencial. O mesmo tipo de malha é usado para representar a geometria da estrutura ou do componente e para desenvolver as equações dos elementos finitos. E para um sistema linear, os valores nodais são obtidos por meio da solução de grandes sistemas (de 103 a 106 equações são comuns atualmente,

e em aplicações especiais, 109_{) de equações algébr}

icas lineares.

Este texto é limitado à análise de elementos finitos lineares (AEF). A maioria das análises por elementos finitos em projetos de engenharia é, ainda hoje, feita com um MEF linear. Na condução de calor, a linearidade requer que a condutância seja independente da temperatura. Na análise de tensões, um MEF linear é aplicável apenas se o compor

-tamento elástico do material for linear e os deslocamentos, pequenos. Essas suposições são .discutidas com mais profundidade em outras partes do livro. Em análise de tensões, para muitos estudos de cargas operacionais, a análise

linear é adequada, pois, em geral. é indesejável trabalhar com cargas que possam conduzir o material ao compo rta-mento não-linear ou a grandes deformações. Para simulações de cargas extremas, tais como cargas de choque e testes de perda de componentes eletrônicos, a análise não-linear é necessária.

9 MEF

foi desenvolvido nos anos 1950 pela indústria aeroespacial. Os principais envolvidos foram a Boeing_:_ a Bell Aeroespacial (há muito tempo extinta), nos Estados Unidos e a Rolls Royce no Reino Unido. Em 1956, M.J. Tumer, R.W. Clough, H.C. Martin e L.J. Topp publicaram um dos primeiros artigos no qual expuseram as principais idéias crumer er ai., 1956). Eles estabeleceram os procedimentos de montagem da matriz de elementos e folJl)Ula: ções para os elementos que você aprenderá neste livro, mas não usaram o termo elementos finitos. O segundo autor

desse artigo, Ray Clough, era professor em Berkeley, quando foi à Boeing para um trabalho de verão. Em seguida,

ele escreveu um artigo no qual foi usado pela primeira vez o termo elementos finitos, e ganhou muitos créditos como

um dos criadores do método. Ele trabalhou com elementos finitos por poucos anos, e então retomou aos métodos experimentais, mas o seu trabalho acendeu uma grande chama em Berkeley, conduzida por jovens professores, prin-cipalmente E. Wilson e R .L. Taylor e por estudantes de pós-graduação como T.J.R. Hughes, C. Felippa e K.J. Bathe, e Berkeley tomou-se o centro de pesquisas em elementos finitos por muitos anos. Essa pesquisa coincidiu com o rápido crescimento da potência de computadores, e o método foi rapidamente usado de modo amplo nas indústrias de energia nuclear, de defesa, automotiva e aeronáutica.

Inicialmente, a maior parte da comunidade científica viu o MEF de forma muito céptica, e alguns dos periódicos

de maior prestígio se recusaram a publicar artigos sobre o método: a típica resistência da humanidade (e, em

-lrrtrodução 3 cular, das comunidades acadêmicas) para o novo. Sem criticar, vários pesquisadores competentes reconheceram logo as vantagens do método, mais notadamente, O.C. Zienlàewicz e R.H. Gall~(em..Comell)_O~C-Zienkie.\!licz fundou um renomado grupo em Swansea no País de Gales, que incluiu B. Irons, R. Owen e muitos outros que criaram conceitos novos, como os elementOS isoparamétricos e os métodos de anális~ não-linear. Outros colaboradores novos e importantes foram J.H. Argyris e J.T. Oden.

Posteriormente, matemáticos descobriram um artigo de f._ourant, de 1943...no qual ele usou elementos triangulares com princípios variacionais para .resolver problemas de vibraÇão. Em conseqüência, muitos matemáticos reclamam que esta foi a descoberta original do método (isso lembra um pouco a reclamação de que foram os Vlki.ngs que desco-briram a América, e não Colombo). É interessante que por muitos anos o MEF necessitou de uma base teórica, isso é, não havia uma prova matemática de que as soluções por elementos finitos davam a resposta correta. No início dos anos 1960, essa área despertou o interesse de muitos matemáticos, que mostraram que, para problemas lineares, tais como aqueles que abordaremos neste livro, as soluções por elementos finitos convergem para a solução correta da equação diferencial parcial (desde que certos aspectos do problema sejãin suficientemente contínuos). Em outras palavras, mostrou-se que se o número de volumes de controle aumentar, as soluções melhoram e tendem, no limite, a ser a solução exata das equações diferenciais parciais. ··

E. Wilson desenvolveu um dos primeiros programas em eiementos finitos que foi amplamente usado. A rápida popularidade se deve ao fato de ele ser livre (gratuito), o que era muito comum no início dos anos 1960, pois o valor comercial dos programas não era reconhecido naquela época. O programa era limitado à análise de tensões bidi-mensional. Ele foi" usado e modificado por muitos grupos acadêmicos de pesquisa e laboratórios industriais e foi um instrumento que comprovou a força e

a

versatilidade de elementos finitos a muitos usuários.

Então, em 1965. a NASA iniciou um projeto para desenvolver um programa com objetivo. geral em elementos finitos com um grupo da Califórnia liderado por Dick MacNeal. Esse programa, que ficou conhecido como

NASTRAN.

i_ncluiu um amplo conjunto de possibilidades, tais como a aríáliSede tensões em duas e trêS dime.ns.õ.es,..em..vig~ elementos de casca, para análise de estruturas complexas, como armaduras de avião, e análise de vibra~ões e resp.QS.tas. transientes de car~as

dinâmicas.

A NASA despendeu US$ 3 milhões nesse projet9 (o .equivalente a US$30 milhões hoje); O programa inicial foi de domínio público, mas ele tinha muitos problemas. Logo após a finalização do progtama, Dick MacNeal e Bruce McCormick fundaram uma empresa que cuidou mais dos problemas do programa, comercializando-o para a indústria. Por volta de 1990, o programa foi o cavalo de batalha de grandes empresas, e a companhia MacNeal-Schwendler contava com um patrimônio financeiro de US$100 milhões.

Mais ou menos na mesma época, John Swanson desenvolveu um programa em ele~ntos.finitos.para.a...W.estinghous.e Electric Corp. para â análise de reatores nucleares. Em-1-969, Swanson deixou a Westinghouse para lançar no mercado um programa chamado ANSYS. O programa tinha capacidade para resolver problemaS lineares e não-!ineare:;, e foi logo amplamente adotado por muitas companhias. Em 1996, q~~ti[tomoú-se público, e em 2006 teve uma

capi-talização de US$1,8 bilhão. -' .

Um outro pacote computacional não-linear de safra mais recente é oLJê-~W~'. Esse pro~ foi PF!!l~k~­ mente desenvolvido no Livermore National Laboratocy pQr John.Hallquist. Em 1989, John Hallquist deixou esse

i

ãbõfãtórioifulidõüãSüápiópriã""cõmp

ãnhia:

·

a.

LTvermoreS-;;~

·

are

and

T~hnology,

que comercializao programa. Inicialmente, o programa tinha apenas capacidade para resolver problemas dinâmicos e não-lineares . .E era usado principalmente para ensaios de impactos, laminação de metais e simulações padtões, como teste de perdas. Mas, Hallquist rapidamente acrescentou várias capacidades, assim como análises estáticas. Por volta de 2006, a compa-nhia tinha uase 60 empregados.

p

Q~ foi desenvolvido por uma companhia chamada HKS, uefoi fundada em 1978. O ~a co~o objetivo inicial as aplicações não-lineares, mas gradualmente também foram adicionadas capacidades para apli-cações lineares. O programa foi amplamente usado por pesquisadores, porque HKS introduziu portas no prográma e com isso pennitiu que os usuários adicionassem novos modelos e elementos. Em 2005, a companhia foi vendida para a Dassault Systemes por US$ 413 milhões. Como se pode notar, 5% das ações dessas companhias geraram um belo pé-de-meia.· É por isso que osjovens deveriam sempre pensar em abrir·se~ próprios negócios; geralm~nte, isso

é muito mais lucrativo e excitante do que trabalhar para uma grande corporação.

Em muitos projetos industriais, o banco de dados de elementos finitos toma-se um componente-chave do produto desenvolvido, pois é usado para uma grande quantidade de diferentes análises, embora em muitos casos a malha precise ser moldada para aplicações específicas. Um banco de dados de elementos finitos tem interface com o banco de dados CAD*., e é freqUentemente gerado a partir do banco de dados.~. Infelizmente, em ambientes atuais, os - - -- ··--- ---dois-são substancialmente-diferentes.-Portanto;-sistemas-de-elemento&finitos-contêm-tradutores; que geram·maihas . de ele.mentos finitos a partir do banco de dados CAD; eles podem também.gerar màJ.has de elementos finitos a p~r

da digitação de dados da superfície analisada. A necessidade de duas bases de dados causa grandes dores de cabeça e é um dos maiores obstáculos em análises computacionais atualmente, pois as duas bases não são compatíveis.

A disponibilidade de uma grande variedade de capacidades de análises em um programa toma possíveis as análises de muitos problemas complexos da vida real. Por exemplo, o escoamento em·tomo de um carro e pelo compartimento do motor pode ser obtido por um solucionador de equações diferenciais de fluidos, chamado em inglês de compu-tational fiuid dynamics (CFD). Iss!) permite aos projetistas prever o fator de arrasto e a forma do escoamento no compartimento do motor. O escoamento pelo çompartimento do motor é então usado como uma base para os cálculos

• A sigl_a ÇAJ) significa eril ingl!s Comp<ner Aided Design (em portugues. DeseDho Au)tiliado por Computador). Trata·se de um programa par;t dese· nhar objetos planos e tridimensionais, como plantaS arquite!O"nicas, peças de àutomóveis, componentes eletrônicos e produtos em geral. (N.T.)

4 CAPITULO UM

da transferência de calor no bloco do motor e no radiador. Esses cálculos levam à distribuição de temperaturas, que são combinadas com as cargas, para se obter uma análise de tensões do motor.

De modo similar, no projeto de um computador ou microdispositivo, as temperaturas nos componentes podem ser determinadas pela combinação da análise de fluidos (para o ar escoando em torno dos componentes) e da análise de condução de calor. As temperaturas resultantes podem então ser usadas para determinar as tensões nos comp<r nentes, tais como nas juntas de soldas, que são cruciais para a vida dos componentes. O mesmo modelo em elementos finitos, com algumas modificações, pode ser usado para determinar os campos eletromagnéticos em várias situações. Estes são de suma importãncia para a avaliação da operabilidade quando o componente é exposto a vários campos eletromagnéticos.

Em projetos de aeronaves, cargas calculadas por CFD e testes em túnel de vento são usados para prever cargas nas armações do avião. Um modelo de elementos finitos é então usado com milhares de casos de carga, que incluem cargas em várias manobras, tais como rolamento, • aterrissagem, decolagem e assim por diante, para determinar as tensões nas armações da aeronave. Quase todas essas são análises lineares; apenas a determinação da última capacidade de carga de uma aeronave reqüer urna 3Jlálise não-linear. É interessante que, nos anos 1980, um famoso professor previu que, por volta de 1990, túneis de vento seriam usados apenas como recipientes para guardar os resultados gerados pelos computadores. Ele errou em dois pontos: resultados computacionais impressos quase desaparecem completa-mente, mas os túneis de vento ainda são necessários, pois o escoamento turbulento é tão difícil de ser calculado que uma simulação computacional completamente confiável não é factível.

Processos de fabricação são também simulados por elementos finitos. Assim, a solidificação de um produto fabricado por fundição é simulada para assegurar a sua boa qualidade. No projeto de uma lâmina metálica para aplicações, tais como em carros e máquinas de lavar, o processo de conformação é simulado para assegurar que a peça possa ser fabri-cada, submetida.a testes de resistência à flexão e depois de tudo isto ela ainda continue dentro das especificações.

Procedimentos similares aplicam-se em muitas outras indústrias. De fato, é impressionante como o MEF trans-formou os escritórios de engenharia nos últimos 40 anos. Nos anos 1960, a maioria dos departamentos de projetos de engenharia consistia em uma sala com pranchetas de 1,5 m X 3 m, sobre as quais engenheiros criavam seus projetos usando réguas T e outros instrumentos de desenho. As tensões no projeto 'eram estimadas por meio de ~imples fórmulas, como aquelas que você aprendeu em resistência dos materiais para vigas submetidas a esforços de tração, flexão e torção (essas fórmulas ainda são úteis, particularmente para verificar as soluções em elementos finitos, porque se estas diferem dessas fórmulas de uma ordem de grandeza, a solução em elementos finitos está, em geral, errada). Para verificar o vigor de um projeto, fabricavam-se e testavam-se protótipos. Naturalmente, os protó-tipos são usados ainda hoje, mas principalmente nos últimos estágios de um projeto. Assim, a análise por elementos ftnitos-AEF, conduziu a uma tremenda redução no tempo do ciclo de um projeto, e o uso eficaz desse instrumento é crucial para a competitividade de muitas indústrias.

A pergunta que pode lhe ocorrer é: por que o MEF causou enormes mudanças? Indubitavelmente, o principal fator foi o aumento exponencial na velocidade dos computadores e o declínio ainda maior no preço dos recursos compu-tacionais. A Figura 1.2 mostra a velocidade dos computadores, começando com o primeiro computador eletrônico, o ENIAC, em 1945. A velocidade do computador aqui é medida em megaftops, um termo bastante arcaico que signi-fica milhões de operações de pontos flutuantes por segundo (nos anos 1960, multiplicar números reais foi chamado de operações de ponto flutuante).

O ENIAC foi desenvolvido em 1945 para gerar tabelas balísticas. Ele ocupava 550 m1 _{e empregava 17.468 válvulas} eletrônicas. Ainda assim, a sua potência computacional era uma fração de uma calculadora de US$ 20. Só depois dos anos 1960 é que os computadores tiveram potência suficiente para fazer razoavelmente bem os cálculos com elementos finitos. Por exemplo, o Control Data 6600, de 1966, o computador mais potente dessa época, podia tratar cerca de 10.000 elementos em várias horas; hoje, um PC faz esse cálculo em questão de minutos. Esses computadores não eram apenas lentos, como também tinham muito pouca memória: c CDC 6600 possuía 32 KB de memória de acesso aleatório, que tinha de acomodar a operação do sistema, o compilador e o programa.

Como pode ser visto na Figura 1.2, o aumento da potência computacional foi linear em uma escala logarítmica, indicando uma progressão geométrica na velocidade. Essa progressão geométrica foi publicada primeiramente por Moore, um dos fundadores da Intel, nos anos 1990. Ele percebeu que o número de transistores que podiam ser compac-tados em um chip, e daí a velocidade dos computadores, dobrava a cada 18 meses. Isso ficou conhecido como lei de Moore e, notavelmente, ela é válida até hoje.

A partir deste gráfico, você pode ver que a velocidade dos computadores aumentou cerca de oito unidades da escala gráfica nos últimos 40 anos. Contudo, a melhora é até mais drástica, se for vista em termos de custo com a inflação da moeda corrigida. Isso pode ser observado na Tabela 1.1, que mostra o custo de vários computadores de 1968 a 2005,junto com uma aplicação na Northwestem, alguns salários, os preços de um carro médio e de um carro de luxo (nas linhas debaixo). Pode-se ver que o preço da potência computacional diminuiu de um fator de mais de 100 de 1968 a 2006. Durante esse tempo, o valor da moeda norte-americana diminuiu de um fator de cerca de 10, e o custo da potência computacional diminuiu de um fator de um bilhão! Uma piada amplamente difundida, que teve origem na Microsoft, diz que, se a indústria automobilística tivesse feito o mesmo progresso que a indústria de computadores nos últimos 40 anos, um carro deveria custar menos de um centavo de dólar. A indústria automobilís-tica contestou dizendo que se a indústria de computadores projetasse e fabricasse carros, estes bloqueariam várias vezes por dia e você precisaria apertar o botão para parar o carro (e muitas outras besteiras assim). Sem dúvida, a

106 lo'

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_gc:;

~6

10-2 l<r-4 l<JÓ 1950 1960 1970 Anos 1980

•

CRAYC90 1990

Figura 1.2 Evolução histórica da velocidade dos computadores.

Introdução 5

•

PC

2000

eletrônica de chips é uma área onde houve uma tremenda melhora no preço e no desempenho, e isso mudou nossas

vidas e a prática em engenharia. · ·

O preço de um programa computacional em elementos finitos também diminuiu, mas só um pouco. Nos anos 1980, as taxas corporativas de uso de programas NASTRAN eram da ordem de US$200 mil a US$ 1 milhão. Ati uma peql.!ena empresa teria de pagar na ordem deUS$ 100 mil. Hoje, um programa NASTR.AN ainda custa cerca de

US$65 ~por inst,alação, o custo do ABÀQUS começa em US$ 10 mil e o LS-DYNA custa US$ 12 mil. Felizmente,

todas essas" companhias fazem versões disponíveis para estudantes por muito menos. A versão para estudante do ABAQUS é livre na compra deste livro; uma licença universitária para o LS-DYNA custa US$ 500. Assim, hoje

você pode resolver problemas. em elementos finitos· no seu PC tão amplamente quanto aqueles resolvidos por super-computadores nos anos 1990.

Como as pessoas vivenciaram o rápido crescimento das possibilidades em engenharia ocasionado por compu

-tadores nos anos 1980, muitas previsões fantasiosas foram aventadas. Uma estória da Costa Oeste contava que, no século seguinte (este que estamos vivendo agora), quando um engenheiro fosse trabalhar usaria um capacete capaz de ler os seus pensamentos. O engenheiro então pegaria o esboço do projeto a ele conferido e visualizaria a solução. O computador geraria um banco de dados e uma tela, a qual o engenheiro modificaria com poucos

reto-ques de sua caneta laser e"alguns pensamentos. Uma vez que o engenheiro considerasse o projeto visualmente

satisfatório,· ele então pensaria na 'análise PelO MEF', o que lev"aria o computador a gerar uma malha e uma tela de ten~ões. Ele então me?'eria em poucos lugares do p.rojeto, usandÓ uma caneta la5er ou a sua mente, e refaria

algumas análises, até que o projeto ficasse bom. Então, o engenheiro apertaria um botão, um protótipo cairia na

sua frente e ele poderia ir.surfar.

~om, isto não aconteceu. Hoje, de fato, a construção de malhas consome ~a significativa parte do tempo da engenharia. e. é freqüentemente tediosa e causa _{. . ,} muitos atrasos no processo do projeto. Mas a qualidade dos produtos

'

Tabela 1.1 Custos de alguns computadores e itens selecionados para uma estimativa de dólar sem inflação (de Hughes-Belytschko Curso Breve de MEF Não-Linear).

Computador CDC 6600 (0,5-1 Mftop)

Computador 512 Beowulf cluster (2003) 1 Tftop PC (200-1.600 Mflops)

Salário inicial de um Engenheiro Mecânico nos Estados Unidos

Salário inicial de um Professor Assistente de Engenharia nos Estados Unidos Um ano de. aplicação na Northwestem

Carro sedan GM, Ford ou Ctuysler Carro Mercedes SL

Diminuição real de custo da potência computacional Alguns valores slio aproximados

1968 US$ 8.000.000 USS 9.000

uss

11.000 US$ 1.800

uss

3.000

uss

7.000 Custo 2005 US$500.000

uss

500-3.000 USS 51.000 US$75.000

uss

31.789

uss

22.000 USS90-120K 107 _{para 101}

6 CAPíTULO UM

que podem ser projetados com a ajuda do CAD e do MEF é bastante surpreendente, e pode ser feita muito mais rapidamente do que antes. A próxima década assistirá provavelmente algumas importantes mudanças, e, em vista do risco de. previsões, não faremos nenhuma, mas indubitavelmente o MEF exercerá um papel em sua vida em tUdo o que você fizer.

1.2 APLICAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS

Na seqüência, daremos alguns exemplos de aplicações de elementos finitos. A faixa de aplicaÇões de elementos finitos é muito ampla para listar, mas para dar uma idéia da sua versatilidade listamos as seguintes:

a. análise de tensões e térmica de peças industriais tais como chips eletrônicos, dispositivos elétricos, válvulas, tubos, vasos de pressão, motores automotivos e aeronáuticos;

b. análises sísmicas de represas, plantas de potência, cidades e arranha-céus; c. análise de impacto de carros, trens e aeronaves;

d. análise do escoamento de líquidos refrigerantes, poluentes e contaminantes1 além de ar em sistemas de venti-lação;

e. análise eletromagnética de antenas, transistores e componentes de aeronaves;

f. análise de procedimentos cirúrgicos, tais como cirurgias plásticas, reconstrução maxilar, correção de escoliose e muitas outras.

Esta é uma lista muito pequena que dá a você apenas uma idéia da amplitude das áreas de aplicação do método. Novas áreas de aplicação estão constantemente surgindo. Assim, há poucos anos, a comunidade médica ficou muito excitada com as possibilidades de uma medicina preventiva para pacientes específicos.

Uma aproximação em medicina preventiva tem por objetivo usar a visualização médica e o monitoramento de dados para construir um modelo de.u.ma parte da.anatomia e da fisiologia de um indivíduo. Por exemplo, a Figura 1.3(a) mostra uma mão ferida e uin modelo de elementos finitos. Esse modelo pode ser usado para planejar o proce-dimento cirúrgico e aperfeiçoar a sutura do local.

Modelos de coração, como aquele mostrado na Figura 1.3(b), são ainda tópicos preliminares de pesquisa, mas espera-se que eles sejam usados para projetar substituições de válvulas e muitos outros procedimentos cirúrgicos. Uma outra área em que elementos finitos foram usados por um longo período de tempo é o projeto. de próteses,. tais como mostrado na Figura 1.3(c). A maioria dos. projetos de próteses ainda é genérica, isto é, uma simples prótese é projetada para todos os pacientes com algumas variações no tamanho. Contudo, com a medicina preventiva, é ainda possível analisar as características de um paciente em particular tais como andadura, estrutura óssea e muscular, e chegar a um projeto ótimo de uma prótese.

A AEF de componentes estruturais reduziu significativamente o tempo do ciclo de um projeto e realçou a quali-dade geral do produto. Por exemplo, na indústria automobilística, a AEF linear é usada em análise de acústica para reduzir barulhos no interior do carro, para análise de vibrações, para melhorar o conforto, para otimizar a rigidez do chassi e para aumentar o tempo de vida por fadiga dos componentes da suspensão no projeto do motor, de modo que as temperaturas e tensões sejam aceitáveis, e em muitas outras tarefas. Já mencionamos anteriormente análises em CFD do bloco e dos compartimentos do motor. Os MEF usados nessas análises são exatamente como os descritos neste livro. A AEF.não-linear é usada para análise de impactos com modelo tanto para o carro quanto para os o.cupantes; um modelo em elementos finitos para análise de impacto é mostrado na Figura 1.4(a) e um modelo em elementos finitos para análise da previsão de rigidez é mostrado na Figura 1.4(c). Observe o extraordinário detalhamento do último; esses modelos ainda necessitam de centenas de horas de trabalho para serem desenvolvidos. A importância de tal modelagem é que o número de protótipos necessários no processo de projeto pode ser reduzido significativamente.

(a) (b)

Figura 1.3 Aplicações em medicina preventiva. (a) Malha de cobertura de um modelo de mão perto da ferida.' (b) Seção transversal de modelo de. coração.2 _(c) Porção do quadril. para: substituição: objeto físico e modelo em elementos finitos.3

'Com permissão de Mimic Technologies.

'Conesia de Chandrajit Bajaj, Universidade do Texas em Austin. • 3_{Conesia de Engineering Ditectorate, Lav.,.enc·e Livennore National Laboratory.}

Introdução 7

(3)

Figura 1.4 Aplicações em projeto de avião e segurança contra impactos de veículo: (a) modelo em elementos finitos para impacto do Ford Taurus;) (b) modelo em elementos finitos da fuselagem do C-130, empenagem e centro de massa• e (c) escoamento em tomo de um carro.'

A Figura l.4(b) mostra um modelo em elementos finitos para um avião. No projeto de urna aeronave, é impe-rativo que as tensões incursas de milhares de cargas, algumas muito raras, algumas repetitivas, não conduzam a uma falha catastrófica ou por fadiga. Antes da disponibilidade da AEF, tal projeto seguia um processo evolutivo pesado (em que os novos projetos baseavam-se nos antigos), como a realização de testes para todas as cargas. Isso não é prático. Com a AEF, é possível fazer muitas mudanças no projeto estrutural, assim como em direção a materiaís compósitos.

Em uma veia completamente diferente, elementos finitos também desempenluim um amplo papel na criação de leis ambientais e na redução de danos ao meio ambiente. Por exemplo, a Figura 1.5 é uma visualização da dispersão de um aerossol químico no meio de Atlanta, obtida por AEF; a concentração de aerossol é representada por cores, coin a maior concentração em vermelho. Observe que a topografia complexa desta área em virtude dos arranha-céus, a qual é crucial para a determinação da dispersão, pode ser tratada detalhadamente por essa análise. Outras áreas de redução de danos, na qual a AEF oferece grandes possibilidades, dizem respeito à modelagem de terre-motos e às respostas sísmicas de construções, as quaís estão sendo usadas para melhorar a resistência sísmica das construções, a modelagem dos efeitos do vento sobre as estruturas e a dispersão de calor proveniente das chaminés de usinas de eletricidade. Essa dltima, como a dispersão de aerossóis, envolve a equação de advecção-difusão, que é um dos tópicos deste livro. A equaÇão de advecção-difusão também pode ser usada para modelar a dispersão de drogas no corpo humario. Naturaimente, a aplicação dessas equações para esses diferentes tópicos envolve extensa modelagem, que é o valor adicionado por engenheiros com experiência e conhecimento, e constitui o tópico de validação, que é tratado nos Capítulos 8 e 9.

Figura 1.5 Dispersão de agentes químicos e biológicos em Atlanta. As cores vermelha e azul representam os níveis maiores e menores da

concentração de contaminantes.'

'Cortesia de Engineering Directorate. Lawrencc Livennore National Laboratory.

'Cortesia de Mercer Engineering Research Center.

'Cortesia de Marlc Shephanl, Rensselaer.

8 CAPITULO UM

Álgebra Matricial

e

Programas de Computador

REFERÊNCIAS

Recomenda-se que os estudantes se familiarizem com álgebra matricial e programação antes de se dedicarem a este livro. Uma introdução em álgebra matricial e aplicações em MATLAB é dada em um capítulo em versão eletrônica (Capítulo 12) que' está disponível no endereço www. wileyeurope/college!Fisb.

Essa página eletr9nica também inclui o programa MATLAB, que é mencionado neste livro, e outros programas MA1LAB para análise em elementos finitos. Escolhemos usar uma versão eletrônica de capítulo para este mate-rial para fornecer uma opção de atualização desse material em MATI.AB e para fazer a mudança de programas. Convidamos os leitores que desenvolveram outros programas em elementos finitos no MATLAB a entrar em contato com o primeiro autor (Jacob Fish) sobre a inclusão de seus programas. Também criamos um blog, onde estudantes e professores podem trocar idéias e programas alternativos em elementos finitos. Esse fórum de debates é apresentado em http://lcoursefem.blogspot.com/

Courant, R. (1943) Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Am. Mcuh. Soe., 42, 2165-86.

Mackerle, J. Linkoping lnstirute of Technology, S-581 83 Linkoping, Sweden, http://ohio.U..']l.liu.se/fe

Noor, A.K. (1991) Bibliography of books and monographs on tini te element technology. Appl. Meeh. Rev., 44 (8), 307-17.

Tumer. MJ., Clough, R.W., Martin, H.C. and Topp, LJ. (1956) Stiffness and deftection analysis of complex

2

Aproximação Direta para

Sistemas Discretos

o

método de elementos finitos (MEF) consiste nos seguintes cinco passos: 1. Pré-processamento: subdivisão do donúnio do problema.em elementos finitos.

2. Formulação dos elementos: desenvolvimento de equações para os elementos.

3. Montagem: obtenção do sistema global de equações a partir das equações individuais dos elementos. 4. Resolu~ão das equações.

5. Pós-processamento: determinação de valores de interesse, tais como tensões e deformações, e a obtenção da visu-alização das respostas.

O passo 1, a subdivisão do domínio do problema em elementos finitos em ambiente de engenharia auxiliada por computadores (CAE) atuais, é executado automaticamente por geradores de malhas. Para problemas de treliças, tais como o mostrado na Figura 2.1, cada membro da treliça é representado por um elemento finito. O passo 2, a descrição do comportamento de cada elemento, gerabnente exige o desenvolvimento das equações diferenciais parciais para o problema e a sua formulação fraca. Isso será o principal objetivo dos próximos capítulos. Todavia, em situações

simples, tais como sistemas de molas ou treliças, é possível descrever o comportamento de um elemento diretamente,

sem a consideração de uina equação diferencial parcial de governo ou a sua formulação fraca.

Neste capítulo, colocaremos em evidência o passo 3, como combinar as equações que governam os elementos

individuais para obter as equações do sistema. Os elementos das equações são expressos na forma matricial. Antes disso, desenvolvemos algumas matrizes de elementos finitos simples para conjunto de molas e treliças, o passo 2. Também introduzimos os procedimentos para o pós-processamento de resultados.

2.1 DESCRIÇÃO

DO COMPORTAMENTO DE UM ELEMENTO DE BARRA SIMPLES

Uma estrutura de treliça, como a mostrada na Figura 2.1, consiste em uma coleção de elementos delgados,

freqUen-temente chamados de barras. Esses elementos de barra são considerados suficient~mente finos, de modo que apre

-sentam resistência à torção, dobragem e cisalhamento desprezíveis. Conseqüentemente, as forças de dobragem, de cisalhamento e de torção são consideradas inexistentes. As únicas forças internas importantes em barras são as forças axiais internas, de modo que o comportamento desses elementos é similar a0 das molas. Alguns dqs elementos de

barra na Figura 2.1 estão alinhados h~rizontalmente, enquanto outros estão posicionados em um ângulo arbitrário tf>, como mostrado na Figura 2.2(b). Nesta seção, mostramos como relacionar forças internas nodais, agindo em nós, para os deslocamentos Mdais correspondentes, denotados por (F-₁, F;) e(~.

u;>.

respectivamente, para a barra

unidi-mensional mostrada na Figura 2.2(a). Em duas dimensões, as forças nodais de um elemento são (F~ •• F~ ... F;,, F;) e

10 CAPITULO DOIS

Figura 2.1 Uma ponte àe treliças.

Notação. Em todas as partes deste livro-texto, a seguinte notação é usada. Os índices referentes ao elemento aparecem como sobrescritos. Os índices àos nós aparecem como subscritos; quando a variável é um vetor com componentes. a indicação da componente vem depois do índice do nó. Quando a variável tem apenas um elemento sobrescrito, então o índice do nó é uma indicação local; caso contrário, ela é um índice do nó global. A distinção entre índice do nó local e global será descrita depois desta seção. Por exemplo, u~: é a componente y do deslocamento do nó 2 do elemento 5. Iniciaremos considerando elementos alinhados horizontalmente na Seção 2.1. Problemas bidi-menslonais serão considerados na Seção 2.4.

Considere um elemento de barra posicionado ao longo do eixo x, como mostrado na Figura 2.2(a). A forma da seção transversal é bastante arbitrária, como mostrado na Figura 2.3. Neste capítulo, consideraremos que a barra é inflexível, seu material obedece a lei de Hooke e que pode suportar apenas carregamento axial, isto é, ela não trans-mite esforços de dobramento, cisalhamento e torção. O módulo de Young do elemento e será denotado por E', a sua seção transversal por A' e o seu comprimento por/'.

Por causa das suposições sobre as forças no elemento, a única força interna é uma força interna axial, que é coli-near com o comprimento do eixo da barra. A força interna através de alguma seção transversal da barra é denotada por p'. Supõe-se que a tensão axial é constante na seção transversal e é dada pela força interna dividida pela área de seção transversal.

p• u' =

-A'

A força e a tensão axial são positivas na tração e negativas na compressão. As seguintes equações governam o comportamento da barra:

1. Equihôrio do elemento, isto é, a soma das forças internas nodais atuando no elemento é igual a zero:

F1

+Fi=

o.

{2.1)

(2.2) 2. A lei da tensão-deformação elástica, conhecida como lei de Hooke, que estabelece que a tensão O' é uma função

linear da deformação e':

a•

=E'

e'

.

(2.3)

3. A deformação da estrutura deve ser compaúvel, isto é, fendas ou sobreposições não se podem desenvolver na estrutura depois da deformação.

É importante reconhecer a diferença entre a convenção de sinal para a força interna axial (e para a tensão) e aquela para as forças internas nodais. A força interna p' é positiva na tração e negativa na compressão, isto é, p' é positiva quando aponta para fora da superfície sobre a qual está agindo; as forças internas nodais são positivas quando elas apontam na direção positiva x e não são associadas com superfícies (veja Figura 2.4 ).

~·~ ~.~

-..=---=

I 2

>+

.

(:I) (h)

Figura 2.2 Diferentes configurações de elementos de barra: (a) barra alinhada horizontalmente e (b) elemento de barra posicionado sob um ângulo arbitrário

em duas dimensões (veja Seção 2.4).

' _'·

Aproximação Direta para Sistemas Discretos 11

T

Figura 2.3 _. Ex~

_.

pios

de

seções transversais de

_.

'

um

elemento de barra

Também necessitaremos de uma definição de defonnação para aplicar-se a lei de Hooke. Apenas a deformação axial

e•

é diferente de zero, sendo definida como a razão entre a elongação f/ pelo comprimento original do elemento:

ó•

e•

=F·

(2.4)

.Agora, desenvolveremos a matriz de rigidez do elemento, que relaciona forças internas nodais dos elementos aos deslocamentos nodais do elemento. A matriz de força interna do elemento é denotada por F" e a matriz de desloca-mento do eledesloca-mento por d•. Para esse elemento de dois nós, essas matrizes são dadas por:

~= [~].

d. -

[~1

- "2J'

A matriz K• de rigidez do elemento que relaciona essas matrizes será agora desenvolvida. A matriz é obtida pela aplicação da lei de Hooke, das equações de tensão-deformação e das condições de equih'brio:

Fi

= p' =A'

cr

definição de

tenSão

(Equação [2. i))

=

A'f:t' =

A~e

6

'

e•

lei de Hooke <E<l:uação [2.3))

definição de deformação (Equação [2.4])

A elongação de um elemento pode ser expressa em termos dos deslocamentos nodais (veja ;Figura 2.4) por: ó' =

UÍ-

u~,

que é obtida assim: como

z:_

=

I•

+

u; +

u~. então de f/

=

I:_, ~ l', segue (2.6).

(2.5)

(2.6)

N~te que quando

u;

=

u;,

que corresponde à translação de corpo rígido, a elongação desaparece. A substiruição d.e (2.6) em (2.5) fornece: ·

onde k' é dado por

A'E"

f é = - .

z•

:Oa condição de equilíbrio do elemento de barra (2.2) e (2. 7), segue-se que

Ff

=-Fi=

~<"i-

&4).

As Equações (2.7) e (2.9) podem ser escritas na forma matricial como

[Fj]

= [ k' -k']

["i]

f~ -k' k'

z4

.

..._...

_____..._...

--- -

r

-

-

----K•- - d"

jc

I'

_...

)oi

~/I

2

2l

4

, lo c · p' p•

I

c

u•

I

r

)oi

u• 1 F{

9-+

F1gura 2.4 Elongação de um elemento e diagramas de corpos livres, mostrando o sentido positivo de p' e

F;.

.~ ..

(2.7)

(2.8)

(2.9)

12 CAPITULO DOIS

Usando as definições assinaladas, podemos escrever a relação entre as forças nodais e os deslocamentos nodais como

F'=

K

•

d

•,

_onde K ,

=

[ -~ ~

~

-~]

=

A'E' [

T

-I l

-1]

1 . (2.11) Aqui, K• é a chamada matriz de rigidez do elemento. Podemos usar essa rigidez do elemento para alguma área constante do elemento de barra em uma dimensão. Essa universalização das matrizes de rigidez do elemento de barra é um dos atributos do MEF que leva à sua versatilidade: para qualquer elemento de barra com área constante A' em uma dimensão, a Equação (2.11) fornece a matriz de rigidez. Depois, desenvolveremos matrizes que se aplicarão a qualquer elemento triangular ou quadrilateral com base na solução fraca de equações diferenciais em vez de usar argumentos físicos.

A Equação (2.10) descreve a relação entre as forças nodais e os deslocamentos para um elemento simples, isto é, descreve o comportamento de um elemento. Observe que isto é uma relação linear: as forças nüdais são linear-mente relacionadas com os deslocamentos nodais. Essa linearidade surge da linearidade de todos os ingredientes que descrevem esse comportamento do elemento: a lei de Hooke, a linearidade entre as forças e tensões axiais e a linearidade da expressão para a deformação.

Uma característica importante da matriz de rigidez do elemento é que ela é simétrica, isto é, K'= KtT.

2

.

2

EQUAÇÕES PARA UM SISTEMA

O objetivo desta seção é descrever o desenvolvimento das equações para o sistema completo de matrizes de rigidez dos elementos. Introduziremos as operações de dispersão dos coeficientes e de montagem das matrizes que são usadas para esse propósito. Essas são usadas em todas as partes do MEF, inclusive nos problemas mais complexos, assim, o domínio desse procedimento é essencial ao aprendizado do MEF.

Descreveremos o processo de desenvolvimento dessas equações por meio de um e:~Cemplo. Para isso, considere o sistema· de duas barras mostrad9 na Figura 2.5, que também dá as propriedades dos materiais, das cargas e as condi-ções de apoio. Em um· dos apoios, o deslocamento é um valor dado; nós o especificaremos depois. Os deslocamentos nodais e as forças nodais são positivas na direção positiva x.

O primeiro passo na aplicação do MEF é dividir a estrutura em elementos. A seleção e geração de uma malha para modelos em elementos finitos é um tópic9 e:~Ctenso que será discuúdo em capítulos subseqüentes. No caso de uma estrutura discretizada como esta, é necessário apenas colocar nós onde as cargas estão aplicadas e em pontos onde as propriedades da seção ou do material mudam; assim, a malha do elemento finito constituída dos dois elementos mostrados na Figura 2.5(b) é adequada.

Os elementos são numerados por 1 e 2, e os nós são numerados de 1 a 3; nem os nós nem os elementos necessitam ser numerados em urna ordem específica no MEF. Comentaremos sobre a numeração de nós na Seção 2.2.2. Em cada nó, ou as forças externas ou os deslocamentos nodais são conhecidos, mas não os dois; por exemplo, no nó 1 o deslo-camento u₁ =

u

1 é prescrito, por isso a força a ser subseqüentemente referida como reação r1 é desconhecida. Nos nós 2 e 3 as forças externas.!; e.t; são conhecidas, e por isso os deslocamentos u₂ e u₃ são desconhecidos.

Para cada elemento mostrado na Figura 2.6, as forças internas são relacionadas com os deslocamentos por meio da matriz de rigidez dada na Equação (2.11 ).

As equações de rigidez dos elementos, obtidas na Seção 2.1.1, são repetidas aqui por conveniência (e:::: 1, 2): F'= K''d'" ou

_[

F1]

= [

k'.r

Fí

. -/.;

(2.12)

As equações do sistema global serão construídas forçando-se a compatibilidade entre as condições de equillôrio dos elementos e dos nós.

Para desenvolver o sistema de equações, escreveremos as equações de equilíbrio para os três nós. Com essa fina-lidade, construímos diagramas de corpo livre dos nós mostrados na Figura 2.7(c). Observe que as forças sobre os elementos são iguais e opostas às forças correspondentes sobre os nós pela terceira lei de Newton.

(a)

(b)

cC:JG•';.•u.l~rz

••

t;. .•

u~

.tr

'í·

ü,

3 (1 l 2 (2) I

Figura 2.5 (a) Estrurura constituída de duas barras e (b) modelo de elemento finito (os números dos elementos estão entre parênteses).

--Aproximação Direta para Sistemas Discretos 13

r.",

...

~··

,

,

,

·

~

·

''

:

Figura 2.6 Separação da estrutura da Figura 2.5 em dois elementos.

(2.13)

Cada linha da equação matricial anterior é uma equação de equilíbrio de um nó. No lado direito estão as forças externas aplicadas e as reações, que são dispostas na matriz f e r, respectivamente. A matriz f consiste nas forças externas prescritas (conhecidas) nos nós,f₂ ef₃, a matriz r consiste na força desconhecida no nó 1, denotada

por r_1• . ••

A equação anterior pode ser resumida assim: a soma das forças internas dos elementos é igual à soma das forças externas e das reações. Isso difere um tanto da bem conhecida condição de equillbrio na qual a soma das forças em

um ponto precisa anular-se. A razão para essa diferença é que as forças nodais dos elementos, que são forças que aparecem na matriz de rigidez do elemento, atuam sobre os elementos. As forças exercidas pelos elementos sobre

os nós são iguais e opostas.

Note que as forças dos elementos são indexadas com os subscritos 1 e 2; esses são fndices nodais locais. Os nós da malha são os fndices nodais globais. Os índices nodais locais de um elemento de barra são sempre os ntlmeros

1 e 2, na direção positiva x. Os índices globais nodais são arbitrários. Os índices nodais globais e locais para este

exemplo são mostrados na Figura 2.7(a) e (b), respectivamente.

Usaremos agora as equações de rigidez do elemento para expressar as forças nodais internas do elemento (lado

esquerdo da Equação [2.13]), em termos dos deslocamentos nodais globais do elemento.

Para o elemento), os índices nodais globais são os ntlmeros 2 e 3, e a equação de rigidez (2.12) fornece

(2.14)

Note que substituímos os deslocamentos nodais por deslocamentos nodais globais. Tal substituição força a

compa-tibilidade, pois assegu.-a que os deslocamentos de elementos com nós comuns fiquem idênticos.

Para

o elemento 2,

os índices nodais globais

são

1 e 2,

e

a equação de rigidez

(2.12)

fornece

[

~1::]

= [

~~~~) 1;~>

][

:~].

(2.15)

As expressões anteriores para forças nodais internas não podem ser substituídas diretamente no lado esquerdo da Equação (2.13), porque as matrizes não são do mesmo tamanho. Por isso, ampliamos as matrizes de força interna em

(2.14) e (2.15) acrescentando zeros; similarmente, ampliamos as matrizes de deslocamento. Os termos ~s matrizes

de rigidez dos elementos em (2.14) e (2.15) são rearranjados e a matriz é ampliada ainda mais do que as outras e

zeros são adicionados onde esses termos não t!m efeitos. Os resultados são

-

~

~

(a)

a. . .

.-~~

...

ú~

-4

(b)

t

?.

"

~

(c)~ 2

Figura 2.7 Diagramas de corpo livre dos nós e dos elementos (as forças externas são mostradas acima dos nós, mas atuando na mesma linha): (a) sistema completo com os índices globais. dós nós; (b) diagramas de corpo livre dos elementos com os índices locais dos nós, e (c) diagramas de corpo livre dos nós.

14 CAPITULO DOIS

[),·

·

l

=

[~

o

-~(')

l [ :: l

:F

10

₌

_:K

11 > d. k(l) ou (2.16)

F<t>

-k{l) _{k{l) U3} ~

...____....

F(tl :K!tl d

Observe que adicionamos uma linha de zeros na linha 1 correspondente à força do nó 1, de modo que o elemento 1 não exerce força sobre o nó 1, e uma coluna de zeros na coluna 1, de modo que o deslocamento do nó 1 não afeta o elemento 1 àiretamente. De modo similar, uma equação ampiiada para o elemento 2 é

ou _(2.17)

As matrizes nas equações anteriores são agora _{do mesmo tamanho que na Equação (2.13) e podemos substituir as} Equações (2.16) e (2.17) pela Equação (2.13) para obter

ou na forma matricial

(2.18) Essa expressão representa o conjunto das equações _{de rigidez e a variável entre parênteses é o conjunto das matrizes} de rigidez, que nesse caso é dado por

(2.19)

A matriz de rigidez K _{é singular, como pude facilmente ser visto pelo cálculo do determinante. Para obter um sistema}

solucionável, as condições de contorno devem ser prescritas.

Resumiremos _{agora o que fizemos para obter a matriz de rigidez global. Primeiramente, expandimos as}

matrizes

de rigidez, dispersando _{os seus coeficientes acrescentando zeros aos espaços vagos. As novas matrizes}

assim obtidas são de tamanhos iguais, de acordo com o _{fndice global de n6s. Então, adicionamos essas matrizes para obter a} matriz global de rigidez. Então, o processo de obtenção da matriz global de rigidez consiste em dispersão e adição de matrizes. Isto é resumido na Tabela 2.1.

Podemos _{pular a adição de zeros e montar a matriz global diretamente apenas adicionando os termos nos elementos} de rigidez de acordo com o seu índice de nó _{global como mostrado na Tabela 2.1. Esse processo é chamado montagem} direta. O resultado é equivalent~ ao da matriz com coeficientes dispersos e de adição. A montagem da matriz de rigidez em programas de computadores é feita _{por meio da montagem direta, mas o conceito de matriz com coefi} -cientes dispersos e matrizes adicionadas é _{útil, pois explica como a compatibilidade e o equilíbrio são forçados no}

âmbito global.

·

2.2.

1 Equações para Montagem

A seguir, desenvolveremos os procedimentos de montagem em termos de equações. Nessa aproximação, a

compati-bilidade entre elementos é forçada relacionando-se os deslocamentos _{nodais do elemento à matriz global de deslo} -camento d = [u

1 u2 u)]T pelas equações. Essas equações são escritas a seguir:

[ (2)

J

·r

o

1

o

1

[

ü 1

l

d(2)

=

UI = U2 J2l 1

o o

- l ..._____,__.... U3 (2.20) L(2l ou em geral d'

=

L•d. (2.21)

b

Aproximação Direta para Sistemas Discretos 15

Tabela 2.1 Matriz com coeficientes dispersos, matrizes adicionadas e montagem direta

Matriz com os coeficiebte:s dispersos e adicionados •

Dispersão dos coeficientes do elemento 1, nós 3 e 2

K

<•

) - (

_-

_-k

k<•>

_(l)

-k<'

k

{l)

>

]

~ K-<•> -

-

[oo

.

k

o<•>

-ko<•>

l

.

o

-k{l)

k

{

l)

Dispersão dos coeficientes dÔ elemento 2, nós 2 e I

Matrizes adicionadas Montagc~ direta ( ! ) - [

k(l)

-k<

1

l]

[3]

[

~,,

-k(2) K -

-k

<

tl

k{t)

[2]

K

=

-~(2l k(t)

+k(2)

(3]

[

2

]

- k{l) [1] [2] {2)-[ k(2) K - -k<2l

-k<

2

>]

[2] k(2) [1]

[2]

[1

J

o

]1'1

-k(ll (2]

k(l)

[3]

[

3

]

As matrizes V são chamadas de matrizes reunidas. O nome reunida deriva do fato de que essas matrizes ret1nero

os deslocamentos nodais de cada elemento da matriz global. Observe que essas equações afumarn que o desloca-mento do eledesloca-mento em um nó é o mesmo que o desl~ento global correspondente, o que é equivalente a forçar a compatibilidade.

As manizes L• são matrizes Booleanas, que são constituídas estritamente por coeficientes iguais a um e zero. Elas desempenham um importante papel no desenvolviMento de express~s ÍÍ!atriciais relacionando o elemento às matrizes globais.

Usando a Equação (2.11), as equações do elemento podem ser escritas como

K•Jfd =F". (2.22)

A compatibilidade é automaticamente foiçada pela Equação (2.20).

Pode ser observado que o primeiro termo do primeiro membro da Equação (2.13) pode ser expresso como

[A·']=

[~ ~]

[4::

]

=

L

<

1l!J''l,

F<'l 1 O F2

---~ 1- ~ - - - -

-ao passo que o segundo tenn:o do segundo membro da Equação (2.13) é igual a

Observe que (V)T dispersa as forças nodais na matriz global. A substituição das duas equações anteriores na

Equação (2.13) fornece