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ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES.pdf

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ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Daniel dos Santos

Daniel dos Santos11 & José Samuel Giongo & José Samuel Giongo22

R e s u m o R e s u m o

O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens a generalidade, O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens a generalidade, ou seja, é capaz de representar, de modo aproximado, porém realista e sistemático, ou seja, é capaz de representar, de modo aproximado, porém realista e sistemático,  grande

 grande parte parte dos dos elementos elementos de de concreto concreto estrutural estrutural da da atualidade. atualidade. Além Além disso, disso, permitepermite ao engenheiro fácil visualização físico-intuitiva do comportamento do concreto ao engenheiro fácil visualização físico-intuitiva do comportamento do concreto estrutural. Por outro lado, o modelo ainda tem um enorme potencial não aproveitado. estrutural. Por outro lado, o modelo ainda tem um enorme potencial não aproveitado.  Ainda não existe um critério exato para determinação dos nós e das seções

 Ainda não existe um critério exato para determinação dos nós e das seções transversaistransversais das bielas de alguns elementos. Apesar de haver certas incertezas no caso de das bielas de alguns elementos. Apesar de haver certas incertezas no caso de vigas- parede

 parede e e principalmente principalmente de de blocos blocos de de fundação, fundação, nas nas vigas vigas esses esses elementos elementos do do modelomodelo  podem ser determinados sem grandes

 podem ser determinados sem grandes dificuldades. Este trabalho consiste na análise dificuldades. Este trabalho consiste na análise dede uma viga de concreto armado utilizando modelo de bielas e tirantes. Foi realizada a uma viga de concreto armado utilizando modelo de bielas e tirantes. Foi realizada a modelagem da viga no programa computacional CAST (2000) e as verificações da modelagem da viga no programa computacional CAST (2000) e as verificações da mesma segundo o MC CEB-FIP (1990), a fim de garantir a segurança estrutural do mesma segundo o MC CEB-FIP (1990), a fim de garantir a segurança estrutural do elemento e comparar resultados.

elemento e comparar resultados.

 Palavras-chave: concreto armado; modelo de bielas e tirantes; viga.  Palavras-chave: concreto armado; modelo de bielas e tirantes; viga.

1 INTRODUÇÃO

1 INTRODUÇÃO

 Ao

 Ao se se projetarem vigas projetarem vigas de de concreto armado, concreto armado, o o procedimento empregado procedimento empregado é é oo que utiliza o dimensionamento relativo à teoria da flexão (momento fletor e força que utiliza o dimensionamento relativo à teoria da flexão (momento fletor e força cortante). Porém, não só no aspecto científico, mas também em outros aspectos, cortante). Porém, não só no aspecto científico, mas também em outros aspectos, como prático e até didático, o cálculo de vigas de concreto armado utilizando o como prático e até didático, o cálculo de vigas de concreto armado utilizando o modelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso. Este modelo tem como principais modelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso. Este modelo tem como principais vantagens a melhor visualização do comportamento da

vantagens a melhor visualização do comportamento da estrutura, podendo-se verificarestrutura, podendo-se verificar de modo mais claro a distribuição das tensões, e a facilidade na identificação das de modo mais claro a distribuição das tensões, e a facilidade na identificação das regiões mais solicitadas da estrutura. O modelo também permite que o projetista o regiões mais solicitadas da estrutura. O modelo também permite que o projetista o utilize em toda a estrutura, tanto nas regiões sem descontinuidades, quanto nas utilize em toda a estrutura, tanto nas regiões sem descontinuidades, quanto nas regiões com

regiões com descontinuidescontinuidades.dades.

Um dos elementos estruturais mais comuns em vários

Um dos elementos estruturais mais comuns em vários tipos de construções, atipos de construções, a viga é elemento fundamental de sustentação da maioria das edificações de concreto viga é elemento fundamental de sustentação da maioria das edificações de concreto armado. Ao mesmo tempo, o modelo de bielas e tirantes é uma das mais geniais armado. Ao mesmo tempo, o modelo de bielas e tirantes é uma das mais geniais idéias de concepção e análise estrutural do século XX e até da própria história do idéias de concepção e análise estrutural do século XX e até da própria história do concreto. Esse modelo passou por evoluções e até hoje é proposto por códigos e concreto. Esse modelo passou por evoluções e até hoje é proposto por códigos e normas para o cálculo de

normas para o cálculo de estruturas não usuais de concreto armado, apesar estruturas não usuais de concreto armado, apesar de poderde poder

11 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, danielsantoscivil@yahoo.com.br Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, danielsantoscivil@yahoo.com.br

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ser usado, também, para dimensionar estruturas usuais, como vigas biapoiadas sem ser usado, também, para dimensionar estruturas usuais, como vigas biapoiadas sem descontinui

descontinuidades dades geométricas.geométricas.

2

2 AS

AS VIGAS

VIGAS E

E O

O MODELO

MODELO DE

DE BIELAS

BIELAS E

E TIRANTES

TIRANTES

2.1 Preliminares

2.1 Preliminares

 Ao

 Ao se se estudar estudar o o equilíbrio equilíbrio da da treliça treliça de de MÖRSCH, MÖRSCH, idealizada idealizada no no séculoséculo retrasado, podem ser determinados os deslocamentos no diagrama de momentos retrasado, podem ser determinados os deslocamentos no diagrama de momentos fletores, a fim de estabelecer os corretos pontos de interrupção das barras fletores, a fim de estabelecer os corretos pontos de interrupção das barras longitudinais da viga. Segundo a NBR 6118:2003, “o dimensionamento das armaduras longitudinais da viga. Segundo a NBR 6118:2003, “o dimensionamento das armaduras longitudinais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes (N

longitudinais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes (NRdRd, , MMRdRd) que) que

constituam envoltória dos esforços solicitantes (N

constituam envoltória dos esforços solicitantes (NSdSd, , MMSdSd) determinados na análise) determinados na análise

estrutural”. estrutural”.

O modelo de bielas e tirantes, por sua vez, analisa a viga como um todo, sem O modelo de bielas e tirantes, por sua vez, analisa a viga como um todo, sem a necessidade de separar os esforços solicitantes e as forças internas para a necessidade de separar os esforços solicitantes e as forças internas para equilibrá-los, constituindo-se em modelo mais realista. Assim, permite que a determinação dos los, constituindo-se em modelo mais realista. Assim, permite que a determinação dos comprimentos das barras longitudinais seja realizada de maneira mais simples do que comprimentos das barras longitudinais seja realizada de maneira mais simples do que pelo modo tradicional - análise do momento fletor resistido por barra e consideração pelo modo tradicional - análise do momento fletor resistido por barra e consideração do diagrama de momentos fletores deslocado. Ao se aplicar o modelo, os pontos de do diagrama de momentos fletores deslocado. Ao se aplicar o modelo, os pontos de interrupção das barras longitudinais podem ser determinados facilmente, de acordo interrupção das barras longitudinais podem ser determinados facilmente, de acordo com as forças aplicadas em cada barra do banzo da treliça, ou seja, determina-se a com as forças aplicadas em cada barra do banzo da treliça, ou seja, determina-se a área de armadura necessária para resistir a força resultante em cada tramo do banzo área de armadura necessária para resistir a força resultante em cada tramo do banzo que esteja tracionado. Sabendo-se que a força varia para cada barra da treliça, os que esteja tracionado. Sabendo-se que a força varia para cada barra da treliça, os pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal podem ser definidos, pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal podem ser definidos, portanto, a partir dos nós da treliça interna da viga.

portanto, a partir dos nós da treliça interna da viga.  A

 A análise análise da da segurança segurança da da viga viga adotando adotando o o modelo modelo de de bielas bielas e e tirantestirantes permite as verificações relativas aos banzos tracionado e comprimido, às diagonais permite as verificações relativas aos banzos tracionado e comprimido, às diagonais comprimidas

comprimidas, aos , aos pendurais e às pendurais e às regiões nodais.regiões nodais.

Para as verificações das vigas de concreto armado utilizando o modelo de Para as verificações das vigas de concreto armado utilizando o modelo de bielas e tirantes, é necessário elaborar rotina de projeto que considere bielas e tirantes, é necessário elaborar rotina de projeto que considere convenientemente:

convenientemente:

1. a segurança das regiões nodais; 1. a segurança das regiões nodais;

2. as verificações das diagonais comprimidas, considerando os critérios de 2. as verificações das diagonais comprimidas, considerando os critérios de resistência do concreto;

resistência do concreto;

3. as verificações dos pendurais (estribos), considerando os critérios de 3. as verificações dos pendurais (estribos), considerando os critérios de resistência das barras ou fios de

resistência das barras ou fios de aço;aço;

4. os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais. 4. os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais.

2.2

2.2 A

A analogia

analogia clássica

clássica da

da treliça

treliça

 A treliça clássica de RITTER & MÖRSC

 A treliça clássica de RITTER & MÖRSCH foi concebida no início do sécH foi concebida no início do século XXulo XX e, desde então, vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas de e, desde então, vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas de concreto armado. Apesar de algumas pesquisas sugerirem alterações em sua teoria, concreto armado. Apesar de algumas pesquisas sugerirem alterações em sua teoria, seu aspecto geral foi mantido e está distante de ser superado, pois o mecanismo seu aspecto geral foi mantido e está distante de ser superado, pois o mecanismo resistente desses elementos estruturais pode ser

(3)

 A

 A Analogia Analogia Clássica Clássica da da Treliça Treliça faz faz a a analogia analogia entre entre uma uma viga viga de de concretoconcreto armado, depois de fissurada, e uma treliça de banzos paralelos e, apesar de armado, depois de fissurada, e uma treliça de banzos paralelos e, apesar de apresentar certas imperfeições, resultantes da incompatibilidade entre modelo e viga apresentar certas imperfeições, resultantes da incompatibilidade entre modelo e viga real, ainda hoje é empregada em grande escala. Nas últimas décadas propostas vêm real, ainda hoje é empregada em grande escala. Nas últimas décadas propostas vêm sendo feitas por pesquisadores e engenheiros sugerindo alterações no modelo sendo feitas por pesquisadores e engenheiros sugerindo alterações no modelo original, a fim de aperfeiçoá-lo e, principalmente, ajustar os resultados experimentais original, a fim de aperfeiçoá-lo e, principalmente, ajustar os resultados experimentais aos teóricos.

aos teóricos.

 Atualmente,

 Atualmente, como como importantes importantes incrementos incrementos ao ao modelo modelo de de RITTER RITTER && MÖRSCH, destacam-se os modelos de bielas e tirantes, nos quais regiões da viga MÖRSCH, destacam-se os modelos de bielas e tirantes, nos quais regiões da viga real são denotados como elementos da treliça. Neste caso, as armaduras transversais real são denotados como elementos da treliça. Neste caso, as armaduras transversais são os montantes tracionados da treliça, atuando tipicamente como tirantes

são os montantes tracionados da treliça, atuando tipicamente como tirantes na viga dena viga de concreto armado. Por sua vez, as diagonais comprimidas, situadas entre duas concreto armado. Por sua vez, as diagonais comprimidas, situadas entre duas fissuras consecutivas, trabalham como as barras das diagonais comprimidas da fissuras consecutivas, trabalham como as barras das diagonais comprimidas da treliça, atuando como as bielas. Por fim, citam-se os banzos da treliça, nos quais a treliça, atuando como as bielas. Por fim, citam-se os banzos da treliça, nos quais a armadura longitudinal de tração da viga funciona como o banzo tracionado e a faixa armadura longitudinal de tração da viga funciona como o banzo tracionado e a faixa superior de concreto como o banzo comprimido.

superior de concreto como o banzo comprimido.  As

 As hipóteses hipóteses admitidas admitidas pela pela treliça treliça clássica clássica baseiam-sbaseiam-se e no no panoramapanorama fissurado da viga, a partir

fissurado da viga, a partir do qual se pode determinar o do qual se pode determinar o mecanismo de funcionamentomecanismo de funcionamento da mesma. O modelo propõe uma treliça de banzos paralelos em quase toda a da mesma. O modelo propõe uma treliça de banzos paralelos em quase toda a extensão da viga, sendo que

extensão da viga, sendo que apenas nas regiões dos apoios o apenas nas regiões dos apoios o banzo superior inclina-banzo superior inclina-se até inclina-se encontrar com o inferior.

se até se encontrar com o inferior.  As

 As diagonais comprimidas apresentam diagonais comprimidas apresentam inclinaçãoinclinação θθ menor ou igual a 45º em menor ou igual a 45º em

relação ao eixo longitudinal da viga, sendo que

relação ao eixo longitudinal da viga, sendo que θθ varia conforme a largura da alma e a varia conforme a largura da alma e a

taxa de armadura transversal. A delimitação das diagonais se dá pelas fissuras, pois taxa de armadura transversal. A delimitação das diagonais se dá pelas fissuras, pois cada diagonal está

cada diagonal está compreendicompreendida no da no espaço entre duas espaço entre duas fissuras. Experimentalmente,fissuras. Experimentalmente, observa-se que as inclinações das fissuras

observa-se que as inclinações das fissuras diminuem em direção aos apoios, valendodiminuem em direção aos apoios, valendo aproximadamente 90º na região central da viga. Porém, os modelos de cálculo aproximadamente 90º na região central da viga. Porém, os modelos de cálculo determinam um ângulo de inclinação e consideram-no constante em toda a extensão determinam um ângulo de inclinação e consideram-no constante em toda a extensão da viga.

da viga.

O ângulo de inclinação mínimo é especificado segundo cada norma, porém O ângulo de inclinação mínimo é especificado segundo cada norma, porém usualmente admite-se

usualmente admite-se θθ  = 45º, a fim de simplificar as considerações para o  = 45º, a fim de simplificar as considerações para o

dimensionamento. A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de cálculo: o modelo I, dimensionamento. A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de cálculo: o modelo I, que considera o ângulo

que considera o ângulo θθ  = 45º, e o modelo II, que considera o ângulo  = 45º, e o modelo II, que considera o ângulo θθ  arbitrado  arbitrado

livremente entre 30º e 45º. livremente entre 30º e 45º.

 A

 A armadura armadura transversal transversal pode pode apresentar apresentar inclinaçãoinclinação αα  entre 45º e 90º em  entre 45º e 90º em

relação ao eixo longitudinal da peça. Na prática, a grande maioria dos casos relação ao eixo longitudinal da peça. Na prática, a grande maioria dos casos apresenta armadura transversal na posição vertical, ou seja, com

apresenta armadura transversal na posição vertical, ou seja, com αα = 90º, em função = 90º, em função

da dificuldade de modelagem das barras da armadura com diferentes inclinações. da dificuldade de modelagem das barras da armadura com diferentes inclinações. Pode-se citar, porém, que tais inclinações, apesar de não usuais, melhoram a Pode-se citar, porém, que tais inclinações, apesar de não usuais, melhoram a eficiência da armadura t

eficiência da armadura transversal.ransversal.

Segundo a NBR 6118:2003, a tensão nas barras da armadura transversal f  Segundo a NBR 6118:2003, a tensão nas barras da armadura transversal f ywdywd

precisa respeitar os seguintes limites: precisa respeitar os seguintes limites:

Estribos:

Estribos: fywd fywd = = fyd fyd = = fyk fyk // γγss ≤≤435 435 MPa MPa (1)(1)

Barras

Barras dobradas: dobradas: fywd fywd = = 0,70 0,70 fyd fyd = = 0,70 0,70 fyk fyk // γγss ≤≤435 435 MPa MPa (2)(2)

sendo: sendo:

(4)

2.3

2.3 Deslocamento

Deslocamento do

do diagrama

diagrama de

de momentos

momentos fletores

fletores

Os esforços solicitantes relativos à flexão que atuam em uma viga de

Os esforços solicitantes relativos à flexão que atuam em uma viga de concretoconcreto de alma cheia não são exatamente iguais aos atuantes numa treliça. Na viga de de alma cheia não são exatamente iguais aos atuantes numa treliça. Na viga de concreto armado a resultante de compressão, que atua no banzo comprimido, e a de concreto armado a resultante de compressão, que atua no banzo comprimido, e a de tração, que atua na armadura tracionada, para uma mesma seção, são proporcionais tração, que atua na armadura tracionada, para uma mesma seção, são proporcionais ao momento fletor atuante. Sendo assim, na viga, por se tratar de um elemento ao momento fletor atuante. Sendo assim, na viga, por se tratar de um elemento geometricamente contínuo, as intensidades das forças atuantes nos banzos variam geometricamente contínuo, as intensidades das forças atuantes nos banzos variam ponto a ponto, ou seja, a cada diferença infinitesimal de espaço. Por outro lado, na ponto a ponto, ou seja, a cada diferença infinitesimal de espaço. Por outro lado, na treliça as forças apresentam valores constantes entre dois nós consecutivos, ou seja, treliça as forças apresentam valores constantes entre dois nós consecutivos, ou seja, em cada uma de

em cada uma de suas barras.suas barras.

Por conta dessa diferença, precisa-se realizar uma translação a

Por conta dessa diferença, precisa-se realizar uma translação aℓℓ do diagrama do diagrama

de momentos fletores de cálculo, a fim de compatibilizar modelo e viga real. Para o de momentos fletores de cálculo, a fim de compatibilizar modelo e viga real. Para o modelo II da NBR 6118:2003, tal translação admite os valores dados pela seguinte modelo II da NBR 6118:2003, tal translação admite os valores dados pela seguinte expressão:

expressão:

aaℓℓ = (z / 2) (cotg = (z / 2) (cotgθθ - cotg - cotgαα) + s) + stt/ / 2 2 (3)(3)

sendo: sendo:

z = distância entre a resultante de compressão e a de tração nos banzos z = distância entre a resultante de compressão e a de tração nos banzos (braço de alavanca);

(braço de alavanca);

α

α = inclinação da armadura transversal = inclinação da armadura transversal;; θ

θ = inclinação das bielas de concreto comprimido; = inclinação das bielas de concreto comprimido;

sstt =  = espaçamenespaçamento longitudinal entre os estribos.to longitudinal entre os estribos.

Para vigas no modelo I, ou seja, com estribos a 90º e inclinação das bielas Para vigas no modelo I, ou seja, com estribos a 90º e inclinação das bielas igual a 45º, a

igual a 45º, a expressão anterior resulta:expressão anterior resulta:

aaℓℓ = s = stt / / 2 2 (4)(4)

 A figura a

 A figura a seguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor sugeridaseguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor sugerida pela NBR 6118:2003.

pela NBR 6118:2003.

Figura 1 - Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente [NBR Figura 1 - Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente [NBR

6118:2003]. 6118:2003].

(5)

2.4

2.4 Determinação

Determinação da

da inclinação

inclinação das

das bielas

bielas

No projeto da viga, o ângulo

No projeto da viga, o ângulo θθ formado entre as bielas e o eixo longitudinal do formado entre as bielas e o eixo longitudinal do

elemento pode ser arbitrado livremente no

elemento pode ser arbitrado livremente no intervalointervalo θθminmin ≤≤θθ ≤≤θθmaxmax..

 À

 À medida medida que que o o ângulo ângulo escolhido escolhido se se aproxima aproxima do do valor valor máximo, máximo, maior maior é é aa taxa de armadura transversal necessária e, por outro lado, menor é a tensão nas taxa de armadura transversal necessária e, por outro lado, menor é a tensão nas bielas. Contrariamente, ao se adotar um valor de

bielas. Contrariamente, ao se adotar um valor de θθ próximo a próximo a θθminmin, diminui-se a área, diminui-se a área

de armadura transversal, resultando, porém, em acréscimo nas tensões de de armadura transversal, resultando, porém, em acréscimo nas tensões de compressão atuantes nas bielas. Em vista disso, sugere-se a adoção de valores da compressão atuantes nas bielas. Em vista disso, sugere-se a adoção de valores da inclinação das bielas (

inclinação das bielas (θθ) os mais próximos possíveis de) os mais próximos possíveis de θθminmin, pois as tensões de, pois as tensões de

compressão são verificadas diretamente, pois deve-se apenas garantir que tais compressão são verificadas diretamente, pois deve-se apenas garantir que tais tensões estejam dentro dos limites estabelecidos. O valor mínimo que pode ser tensões estejam dentro dos limites estabelecidos. O valor mínimo que pode ser utilizado para a inclinação

utilizado para a inclinação θθ das bielas varia de acordo com as normas, os códigos e das bielas varia de acordo com as normas, os códigos e

os pesquisadores. O MC CEB-FIP (1990) recomenda utilizar inclinação mínima

os pesquisadores. O MC CEB-FIP (1990) recomenda utilizar inclinação mínima θθminmin = =

18,4º (cotg

18,4º (cotgθθminmin = 3). = 3).

Porém, alguns pesquisadores discord

Porém, alguns pesquisadores discordam desse valor, justificando ser am desse valor, justificando ser um valorum valor muito baixo. Sugestões baseadas em investigações experimentais indicam valores muito baixo. Sugestões baseadas em investigações experimentais indicam valores para inclinação mínima das bielas comprimidas em torno de

para inclinação mínima das bielas comprimidas em torno de θθminmin  = 26,5º. A NBR  = 26,5º. A NBR

6118:2003 admite, em seu modelo de cálculo II, no qual a inclinação

6118:2003 admite, em seu modelo de cálculo II, no qual a inclinação θθ das diagonais das diagonais

de compressão pode ser diferente de 45º, valor mínimo igual a 30º. Admite ainda que de compressão pode ser diferente de 45º, valor mínimo igual a 30º. Admite ainda que a parcela complementar V

a parcela complementar Vcc sofra redução com o aumento de V sofra redução com o aumento de VSdSd..

Deve-se salientar que bielas com baixas inclinações resultam em alta tensão Deve-se salientar que bielas com baixas inclinações resultam em alta tensão na armadura transversal entre o início da fissuração e o estado limite último, além de na armadura transversal entre o início da fissuração e o estado limite último, além de requererem maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal. Nesse caso, requererem maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal. Nesse caso, o controle da

o controle da fissuração pode ser limitante no fissuração pode ser limitante no projeto podendo, então, impedir valoresprojeto podendo, então, impedir valores de

de θθ próximos a próximos a θθminmin. Além disso, aconselha-se não utilizar pequenas inclinações em. Além disso, aconselha-se não utilizar pequenas inclinações em

elementos submetidos a tração axial. elementos submetidos a tração axial.

2.5

2.5 O

O modelo

modelo de

de bielas

bielas e

e tirantes

tirantes

Durante décadas, pesquisadores apenas sugeriram modificações no modelo Durante décadas, pesquisadores apenas sugeriram modificações no modelo proposto por Ritter e Mörsch, porém mantendo seus conceitos básicos. Sugestões e proposto por Ritter e Mörsch, porém mantendo seus conceitos básicos. Sugestões e modificações propostas buscaram adaptar melhor o modelo original aos resultados modificações propostas buscaram adaptar melhor o modelo original aos resultados experimentais. Resultados de ensaios levaram à adoção da “Treliça de Mörsch experimentais. Resultados de ensaios levaram à adoção da “Treliça de Mörsch Generalizada”, em que a inclinação das bielas comprimidas em relação ao eixo da Generalizada”, em que a inclinação das bielas comprimidas em relação ao eixo da viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios.

viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios.

Uma grande evolução se observou nos anos 80, quando SCHLAICH & Uma grande evolução se observou nos anos 80, quando SCHLAICH & SCHÄFER (1988), pesquisadores de Stuttgart, Alemanha, passaram a aplicar os SCHÄFER (1988), pesquisadores de Stuttgart, Alemanha, passaram a aplicar os modelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais, como vigas-parede, modelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais, como vigas-parede, consolos, sapatas, blocos de fundação, ligações entre viga e pilar, aberturas em vigas consolos, sapatas, blocos de fundação, ligações entre viga e pilar, aberturas em vigas e apoios em dente.

e apoios em dente.

MARTI (1985) utilizou-se da teoria da plasticidade e de critérios básicos, que MARTI (1985) utilizou-se da teoria da plasticidade e de critérios básicos, que envolviam conceitos de nós, bielas, tirantes, arcos e leques, para propor a aplicação envolviam conceitos de nós, bielas, tirantes, arcos e leques, para propor a aplicação dos modelos ao dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de uma dos modelos ao dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de uma viga.

viga.

 Assim

 Assim sendo, sendo, pode-se pode-se dizer dizer que que o o modelo modelo de de bielas bielas e e tirantes tirantes teveteve significativo avanço e ampla divulgação somente a partir da década de 80, quando significativo avanço e ampla divulgação somente a partir da década de 80, quando

(6)

Schlaich, Schäfer e Marti conduziram à generalização da Analogia da Treliça e Schlaich, Schäfer e Marti conduziram à generalização da Analogia da Treliça e criaram uma base científica refinada, proporcionando considerável avanço para uma criaram uma base científica refinada, proporcionando considerável avanço para uma aplicação racional dos modelos em vigas.

aplicação racional dos modelos em vigas.

TJHIN & KUCHMA (2002) discutiram avanços e desafios do dimensionamento TJHIN & KUCHMA (2002) discutiram avanços e desafios do dimensionamento utilizando o modelo de bielas e tirantes com o

utilizando o modelo de bielas e tirantes com o auxílio de programas computacionaiauxílio de programas computacionais.s. SOUZA (2004) analisou amplamente o dimensionamento de elementos de SOUZA (2004) analisou amplamente o dimensionamento de elementos de concreto armado com descontinuidades, não apenas pelo modelo de

concreto armado com descontinuidades, não apenas pelo modelo de bielas e tirantes,bielas e tirantes, o qual o autor denomeia Método das Bielas, como também pelo Método Corda-Painel. o qual o autor denomeia Método das Bielas, como também pelo Método Corda-Painel. Em seu trabalho foram realizadas análises em relação à determinação de parâmetros Em seu trabalho foram realizadas análises em relação à determinação de parâmetros polêmicos, como a resistência adequada para bielas e nós, bem como a configuração polêmicos, como a resistência adequada para bielas e nós, bem como a configuração geométrica das regiões nodais dependente das forças que nelas atuam.

geométrica das regiões nodais dependente das forças que nelas atuam.

Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por RONCATTO & Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por RONCATTO & CAMPOS (2005), utilizando programa computacional desenvolvido pelos próprios CAMPOS (2005), utilizando programa computacional desenvolvido pelos próprios autores. O programa “Furos em Vigas de Concreto” é capaz de estabelecer de forma autores. O programa “Furos em Vigas de Concreto” é capaz de estabelecer de forma automatizada o modelo de bielas e tirantes mais adequado para a situação sob automatizada o modelo de bielas e tirantes mais adequado para a situação sob análise, determinar as solicitações nos elementos, realizar as verificações de bielas e análise, determinar as solicitações nos elementos, realizar as verificações de bielas e nós e as

nós e as áreas de armaduras necessárias para os tirantes.áreas de armaduras necessárias para os tirantes.

2.6

2.6 Considerações

Considerações iniciais

iniciais sobre

sobre o

o modelo

modelo

Sabe-se que a qualidade e a

Sabe-se que a qualidade e a confiabilidadconfiabilidade de um e de um projeto estrutural, em geral,projeto estrutural, em geral, estão relacionadas não com seu comportamento global, mas sim com a precisão com estão relacionadas não com seu comportamento global, mas sim com a precisão com que são dimensionadas as regiões de descontinuidade de seus elementos que são dimensionadas as regiões de descontinuidade de seus elementos isoladamente. O que se verifica, corriqueiramente, é o uso de métodos e rotinas isoladamente. O que se verifica, corriqueiramente, é o uso de métodos e rotinas consagrados e confiáveis para o dimensionamento da maior parte dos elementos, consagrados e confiáveis para o dimensionamento da maior parte dos elementos, mas isso não acontece quando se trata de regiões descontínuas, pois tais regiões mas isso não acontece quando se trata de regiões descontínuas, pois tais regiões geralmente são projetadas por modelos relativamente simples e ainda não geralmente são projetadas por modelos relativamente simples e ainda não consagrados, baseados, muitas vezes, na “experiência” do projetista. O modelo de consagrados, baseados, muitas vezes, na “experiência” do projetista. O modelo de bielas e tirantes é um método racional cientificamente comprovado, recomendado bielas e tirantes é um método racional cientificamente comprovado, recomendado pela norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para o pela norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para o dimensionamento de regiões descontínuas de elementos de concreto armado, que dimensionamento de regiões descontínuas de elementos de concreto armado, que atende às necessidades de tais

atende às necessidades de tais análises.análises.  A

 A NBR NBR 6118:2003 6118:2003 aborda aborda superficialmesuperficialmente nte o o modelo modelo de de bielas bielas e e tirantes,tirantes, permitindo sua utilização no dimensionamento de vigas-parede, consolos e dentes permitindo sua utilização no dimensionamento de vigas-parede, consolos e dentes Gerber.

Gerber.

 Apesar

 Apesar de de o o CEB-FIP CEB-FIP Model Model Code Code (1978) (1978) já já tratar tratar do do modelo modelo de de bielas bielas ee tirantes, somente na versão de 1990 é que foram disponibilizadas informações tirantes, somente na versão de 1990 é que foram disponibilizadas informações suficientes para se desenvolver projetos de

suficientes para se desenvolver projetos de elementos estruturais utilizando o modelo.elementos estruturais utilizando o modelo. No modelo de bielas e tirantes as bielas são representadas por campos de No modelo de bielas e tirantes as bielas são representadas por campos de tensões de compressão, resistidas pelo concreto, e os tirantes são representados por tensões de compressão, resistidas pelo concreto, e os tirantes são representados por campos de tensões de

campos de tensões de tração, usualmente resistidas pela armadura. Ocasionalmente,tração, usualmente resistidas pela armadura. Ocasionalmente, o concreto pode absorver as tensões de tração, desde que sejam respeitadas as o concreto pode absorver as tensões de tração, desde que sejam respeitadas as condições de segurança relativas à resistência a tração do concreto.

condições de segurança relativas à resistência a tração do concreto. Buscando-se representa

Buscando-se representar a r a estrutura real, constrói-se um modelo estrutura real, constrói-se um modelo idealizadoidealizado, o, o qual é constituído por barras, comprimidas e tracionadas, unidas por nós. As forças qual é constituído por barras, comprimidas e tracionadas, unidas por nós. As forças nas bielas e nos tirantes são calculadas por equilíbrio entre as forças atuantes nas bielas e nos tirantes são calculadas por equilíbrio entre as forças atuantes internas e externas.

(7)

O processo do caminho de carga permite que se criem modelos analisando-se O processo do caminho de carga permite que se criem modelos analisando-se os fluxos de tensões na estrutura. Utilizando métodos numéricos, como o método dos os fluxos de tensões na estrutura. Utilizando métodos numéricos, como o método dos elementos finitos, podem ser expressas as tensões elásticas e suas direções elementos finitos, podem ser expressas as tensões elásticas e suas direções principais, o que permite uma direta determinação do modelo. As bielas podem ter as principais, o que permite uma direta determinação do modelo. As bielas podem ter as direções das linhas médias dos campos de compressão e os tirantes as direções das direções das linhas médias dos campos de compressão e os tirantes as direções das linhas médias dos campos de tração. Um exemplo simplificado do processo do linhas médias dos campos de tração. Um exemplo simplificado do processo do caminho de carga, e suas etapas básicas, pode ser observado na viga-parede da caminho de carga, e suas etapas básicas, pode ser observado na viga-parede da Figura 2.

Figura 2.

Figura 2 - Processo do caminho de carga. Figura 2 - Processo do caminho de carga.

2.7

2.7 Princípios

Princípios básicos

básicos do

do modelo

modelo de

de bielas

bielas e

e tirantes

tirantes

Pode-se entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de treliça Pode-se entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de treliça mais abrangente. Esse modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas de mais abrangente. Esse modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas de concreto armado, resultando em representações dos campos de

concreto armado, resultando em representações dos campos de tração e compressãotração e compressão das mesmas. Os campos comprimidos são as diagonais de concreto limitadas por das mesmas. Os campos comprimidos são as diagonais de concreto limitadas por duas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de concreto (banzo superior, no duas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de concreto (banzo superior, no caso de carregamento na face superior da viga), o qual pode apresentar barras de caso de carregamento na face superior da viga), o qual pode apresentar barras de aço no caso de vigas com armadura dupla. Os campos tracionados correspondem à aço no caso de vigas com armadura dupla. Os campos tracionados correspondem à armadura transversal (pendurais ou montantes das treliças) e ao banzo tracionado armadura transversal (pendurais ou montantes das treliças) e ao banzo tracionado (banzo inferior, no caso de carregamento na face superior da viga), composto pela (banzo inferior, no caso de carregamento na face superior da viga), composto pela armadura longitudinal da viga. O modelo propõe analisar a viga de concreto armado armadura longitudinal da viga. O modelo propõe analisar a viga de concreto armado como uma treliça, estrutura formada por barras, em que as bielas e os tirantes estão como uma treliça, estrutura formada por barras, em que as bielas e os tirantes estão ligados por nós, como mostrado na Figura 4 - b.

ligados por nós, como mostrado na Figura 4 - b. Em outras palavras, o

Em outras palavras, o modelo consiste na representação discreta dos camposmodelo consiste na representação discreta dos campos de tensão de tração e dos campos de tensão de compressão nos elementos de tensão de tração e dos campos de tensão de compressão nos elementos estruturais, sendo que as bielas representam os campos principais de compressão e estruturais, sendo que as bielas representam os campos principais de compressão e os tirantes representam os campos principais de tração. A tração pode ser absorvida os tirantes representam os campos principais de tração. A tração pode ser absorvida por uma ou mais camadas de armadura. As bielas e os tirantes são interligados por por uma ou mais camadas de armadura. As bielas e os tirantes são interligados por elementos pontuais denominados de nós, os quais dão origem às regiões nodais. elementos pontuais denominados de nós, os quais dão origem às regiões nodais. Estas, por suas vezes, constituem um volume de concreto que envolve os pontos de Estas, por suas vezes, constituem um volume de concreto que envolve os pontos de intersecção dos elementos do modelo. A Figura 3 apresenta um modelo de bielas e intersecção dos elementos do modelo. A Figura 3 apresenta um modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga, com todos os seus elementos tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga, com todos os seus elementos básicos descritos.

(8)

O modelo de bielas e tirantes adotado é função da geometria da estrutura e O modelo de bielas e tirantes adotado é função da geometria da estrutura e das ações atuantes em seu contorno. Segundo SILVA & GIONGO (2000), das ações atuantes em seu contorno. Segundo SILVA & GIONGO (2000), normalmente pode-se obter a geometria do modelo analisando-se os seguintes normalmente pode-se obter a geometria do modelo analisando-se os seguintes aspectos:

aspectos: 1.

1. tipos tipos de de ações ações atuantes;atuantes; 2.

2. ângulos ângulos entre entre bielas bielas e e tirantes;tirantes; 3.

3. áreas áreas de de aplicação aplicação de de ações ações e e reações;reações; 4.

4. número número de de camadas camadas das das armaduras;armaduras; 5.

5. cobrimento cobrimento das das armaduras.armaduras.

Modelos de bielas e tirantes podem ser obtidos por meio do fluxo de tensões Modelos de bielas e tirantes podem ser obtidos por meio do fluxo de tensões elásticas existentes na estrutura, pelo processo do caminho de carga ou por modelos elásticas existentes na estrutura, pelo processo do caminho de carga ou por modelos padronizados. Caso se realize uma análise elástica da estrutura, a fim de se padronizados. Caso se realize uma análise elástica da estrutura, a fim de se determinar as tensões elásticas e

determinar as tensões elásticas e suas respectivas direções principais, torna-se muitosuas respectivas direções principais, torna-se muito simples e imediato o desenvolvimento de um modelo adequado.

simples e imediato o desenvolvimento de um modelo adequado.

Figura 3 - Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga. Figura 3 - Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga.

2.8

2.8 Definição

Definição geométrica

geométrica do

do modelo

modelo

 A

 A determinação determinação da da geometria geometria de de um um modelo modelo de de bielas bielas e e tirantes tirantes deve deve levarlevar em conta as ações atuantes na estrutura, no que diz respeito aos tipos e áreas de em conta as ações atuantes na estrutura, no que diz respeito aos tipos e áreas de aplicação, suas respectivas áreas de reações, ângulos entre bielas e tirantes.

aplicação, suas respectivas áreas de reações, ângulos entre bielas e tirantes.

Segundo análise do fluxo de tensões pelo elemento, por meio do processo do Segundo análise do fluxo de tensões pelo elemento, por meio do processo do caminho de carga, a definição geométrica do modelo apresenta como principais caminho de carga, a definição geométrica do modelo apresenta como principais fatores:

fatores:

1. Considerações sobre regiões contínuas e

1. Considerações sobre regiões contínuas e descontínuas;descontínuas; 2. Ângulos entre bielas e tirantes;

2. Ângulos entre bielas e tirantes; 3. Tipos de ações

3. Tipos de ações atuantes;atuantes;

4. Esforços solicitantes no contorno; 4. Esforços solicitantes no contorno; 5. Área de

5. Área de aplicação das ações e das reações;aplicação das ações e das reações; 6. Número de camadas da armadura;

6. Número de camadas da armadura; 7. Cobrimento da armadura.

(9)

 As

 As dimensões dimensões das das bielas bielas e e das das regiões regiões nodais nodais dependem dependem das das áreas áreas dede aplicação das ações e reações e também da armadura, quanto ao número de aplicação das ações e reações e também da armadura, quanto ao número de camadas e ao cobrimento. Já o ângulo formado entre biela e tirante está relacionado camadas e ao cobrimento. Já o ângulo formado entre biela e tirante está relacionado com a distribuição de tensões elásticas devida às ações

com a distribuição de tensões elásticas devida às ações atuantes.atuantes.

2.9

2.9 Regiões

Regiões contínuas

contínuas (B)

(B) e

e descontínuas

descontínuas (D)

(D)

 As estruturas em geral ou

 As estruturas em geral ou seus elementos estruturais podem ser divididos emseus elementos estruturais podem ser divididos em regiões contínuas (B) e descontínuas (D), a fim de refinar suas análises quando da regiões contínuas (B) e descontínuas (D), a fim de refinar suas análises quando da aplicação de modelos.

aplicação de modelos.

Tal divisão baseia-se nas

Tal divisão baseia-se nas hipóteses de Bernoulli hipóteses de Bernoulli , relativas à, relativas à distribuição lineardistribuição linear de deformações ao longo da seção transversal 

de deformações ao longo da seção transversal . Classificam-se como contínuas as. Classificam-se como contínuas as

regiões nas quais tais hipóteses são válidas e, descontínuas, nas quais não são. As regiões nas quais tais hipóteses são válidas e, descontínuas, nas quais não são. As regiões D são

regiões D são originárias de descontinuidadoriginárias de descontinuidades geométricas e/ou estáticas.es geométricas e/ou estáticas. Os modelos de treliça usuais são capazes de analisar as regiões B

Os modelos de treliça usuais são capazes de analisar as regiões B fissuradasfissuradas,,

enquanto que os modelos de bielas

enquanto que os modelos de bielas e tirantes representam, simplificadamene tirantes representam, simplificadamente, o te, o fluxofluxo interno de tensões em regiões D, possibilitando uma análise simultânea dessas e das interno de tensões em regiões D, possibilitando uma análise simultânea dessas e das contínuas. Em vista disso, o modelo de bielas e tirantes mostra-se como um contínuas. Em vista disso, o modelo de bielas e tirantes mostra-se como um procedimento não só mais abrangente ou geral, como também mais sofisticado na procedimento não só mais abrangente ou geral, como também mais sofisticado na análise e no projeto de

análise e no projeto de estruturas.estruturas.  As

 As vigas vigas usuais usuais apresentam apresentam regiões regiões descontínuadescontínuas s apenas apenas nas nas regiões regiões dede aplicação de forças concentradas e nos apoios, sendo o restante composto por aplicação de forças concentradas e nos apoios, sendo o restante composto por regiões contínuas, como mostra a Figura 4 - a.

regiões contínuas, como mostra a Figura 4 - a.

Figura 4 - Regiões (B) e (D) e modelo de treliça para uma viga (SILVA & GIONGO, 2000). Figura 4 - Regiões (B) e (D) e modelo de treliça para uma viga (SILVA & GIONGO, 2000).

D D BB DD BB DD aa )) bb )) Tirantes Tirantes B i e l a s B i e l a s F Fdd

(10)

2.10

2.10 Tipos fundamen

Tipos fundamentais de nós

tais de nós

Um nó é uma idealização de uma região de concreto na qual ocorrem Um nó é uma idealização de uma região de concreto na qual ocorrem mudanças bruscas nas direções das forças, provindas das bielas comprimidas, dos mudanças bruscas nas direções das forças, provindas das bielas comprimidas, dos tirantes tracionados, de forças de ancoragem e forças externas – ações concentradas tirantes tracionados, de forças de ancoragem e forças externas – ações concentradas ou reações de apoio. Porém, essa mudança brusca de direção das forças, a qual se ou reações de apoio. Porém, essa mudança brusca de direção das forças, a qual se idealiza, simplificadamente, acontecer pontualmente, na realidade ocorre num idealiza, simplificadamente, acontecer pontualmente, na realidade ocorre num determinado comprimento e numa determinada largura do elemento estrutural de determinado comprimento e numa determinada largura do elemento estrutural de concreto armado.

concreto armado.

Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988), os nós dos modelos de bielas e Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988), os nós dos modelos de bielas e tirantes podem ser de dois tipos,

tirantes podem ser de dois tipos, adiante discutidosadiante discutidos::

Nós singulares ou concentrados (“concentrated” ou “singular”): são nós onde Nós singulares ou concentrados (“concentrated” ou “singular”): são nós onde forças concentradas são aplicadas e o desvio da força é feito localizadamente. Estes forças concentradas são aplicadas e o desvio da força é feito localizadamente. Estes nós são críticos e devem ter as suas tensões verificadas, a fim de equilibrar as forças nós são críticos e devem ter as suas tensões verificadas, a fim de equilibrar as forças oriundas das bielas e dos tirantes sem produzir deformações excessivas capazes de oriundas das bielas e dos tirantes sem produzir deformações excessivas capazes de provocar fissuração. Para o dimensionamento, é necessário se dispor da geometria provocar fissuração. Para o dimensionamento, é necessário se dispor da geometria do nó, do estado de tensões ao

do nó, do estado de tensões ao qual está submetido, da resistência do concreto e dasqual está submetido, da resistência do concreto e das condições de ancoragem das armaduras;

condições de ancoragem das armaduras;

Nós contínuos (“continuous” ou “smeared”): nestes nós o desvio da força Nós contínuos (“continuous” ou “smeared”): nestes nós o desvio da força ocorre em comprimentos satisfatórios, em que as armaduras podem ser ancoradas ocorre em comprimentos satisfatórios, em que as armaduras podem ser ancoradas sem maiores problemas. Desde que os critérios de ancoragem sejam verificados, sem maiores problemas. Desde que os critérios de ancoragem sejam verificados, estes nós usualmente não

estes nós usualmente não são críticos, são críticos, não necessitando de verificações adicionais.não necessitando de verificações adicionais.

Figura 5 - Exemplo básico de nós contínuos e nós singulares em modelo de bielas e tirantes. Figura 5 - Exemplo básico de nós contínuos e nós singulares em modelo de bielas e tirantes.

Há muitas alternativas sugeridas por pesquisadores para a definição Há muitas alternativas sugeridas por pesquisadores para a definição geométrica dos nós concentrados, tais quais as sugeridas por MARTI (1985), geométrica dos nós concentrados, tais quais as sugeridas por MARTI (1985), SCHLAICH & SCHÄFER (1988) e TJHIN & KUCHMA (2002).

SCHLAICH & SCHÄFER (1988) e TJHIN & KUCHMA (2002).

Segundo MARTI (1985), deve-se adotar as larguras das bielas de tal forma Segundo MARTI (1985), deve-se adotar as larguras das bielas de tal forma que todas as que concorrem num mesmo nó apresentem a mesma intensidade de que todas as que concorrem num mesmo nó apresentem a mesma intensidade de tensão. Dessa forma, a tensão no interior do nó será igual à tensão das bielas, tensão. Dessa forma, a tensão no interior do nó será igual à tensão das bielas, configurando, assim, um estado de tensões pseudo-hidrostático. Neste caso em configurando, assim, um estado de tensões pseudo-hidrostático. Neste caso em particular, os lados das regiões nodais serão perpendiculares às direções dos eixos particular, os lados das regiões nodais serão perpendiculares às direções dos eixos

Nó singular 

Nó singular 

Nó contínuo

(11)

das bielas e, para a verificação da segurança, bastará apenas a verificação das bielas das bielas e, para a verificação da segurança, bastará apenas a verificação das bielas concorrentes em cada nó.

concorrentes em cada nó.

De acordo com TJHIN & KUCHMA (2002), tradicionalmente procura-se De acordo com TJHIN & KUCHMA (2002), tradicionalmente procura-se estabelecer um arranjo nodal de maneira que as tensões em todos os seus lados estabelecer um arranjo nodal de maneira que as tensões em todos os seus lados sejam iguais. Isso pode ser feito dimensionando-se as fronteiras do nó, de maneira sejam iguais. Isso pode ser feito dimensionando-se as fronteiras do nó, de maneira que elas sejam

que elas sejam proporcionaproporcionais e is e perpendiculperpendiculares às fares às forças atuantes naquele nó.orças atuantes naquele nó.

Para a definição da largura do nó no qual concorre um tirante pode-se admitir Para a definição da largura do nó no qual concorre um tirante pode-se admitir que a força do tirante seja de compressão e que ela esteja atuando além do nó. Os que a força do tirante seja de compressão e que ela esteja atuando além do nó. Os nós considerados dessa maneira são denominados de hidrostáticos, pois o estado nós considerados dessa maneira são denominados de hidrostáticos, pois o estado biaxial de tensão resultante no interior do nó também será hidrostático. Essa biaxial de tensão resultante no interior do nó também será hidrostático. Essa recomendaçã

recomendação é o é idêntica àquela proposta por MARTI idêntica àquela proposta por MARTI (1985), citada anteriormente.(1985), citada anteriormente.  Ainda

 Ainda segundo segundo TJHIN TJHIN & & KUCHMA KUCHMA (2002), (2002), principalmeprincipalmente nte em em situações situações emem que os nós são formados pelo encontro de mais de três elementos, a idealização que os nós são formados pelo encontro de mais de três elementos, a idealização como hidrostático pode ser muito trabalhosa, pois os eixos dos elementos tendem a como hidrostático pode ser muito trabalhosa, pois os eixos dos elementos tendem a não ser

não ser coincidentecoincidentes.s.

SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) propuseram um método simplificado SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) propuseram um método simplificado para configurações típicas de nós. Segundo os pesquisadores, o nó tem sua para configurações típicas de nós. Segundo os pesquisadores, o nó tem sua geometria definida pela intersecção das dimensões das bielas e dos tirantes, cujos geometria definida pela intersecção das dimensões das bielas e dos tirantes, cujos eixos devem coincidir. Assim, as tensões planas atuantes em todos os lados da região eixos devem coincidir. Assim, as tensões planas atuantes em todos os lados da região nodal não precisam ser iguais, porém as tensões em cada lado do nó devem ser nodal não precisam ser iguais, porém as tensões em cada lado do nó devem ser constantes e devem permanecer abaixo de um limite pré-estabelecido para a tensão constantes e devem permanecer abaixo de um limite pré-estabelecido para a tensão nodal.

nodal.

2.11

2.11 Parâmetros de re

Parâmetros de resistência das regiões no

sistência das regiões nodais

dais

Os nós são elementos que merecem atenção especial, pois precisam garantir Os nós são elementos que merecem atenção especial, pois precisam garantir adequada transferência de forças entre bielas e tirantes. Um fator limitante para a adequada transferência de forças entre bielas e tirantes. Um fator limitante para a segurança e a confiabilidade de um nó é o ângulo formado pelas bielas e tirantes que segurança e a confiabilidade de um nó é o ângulo formado pelas bielas e tirantes que nele concorrem. Quanto menor este ângulo, menor a resistência à compressão da nele concorrem. Quanto menor este ângulo, menor a resistência à compressão da biela.

biela.  A

 A tabela tabela seguinte seguinte apresenta apresenta os os intervalos intervalos permitidos permitidos para para o o ângulo ângulo formadoformado entre uma biela e um tirante, segundo recomendações das principais normas entre uma biela e um tirante, segundo recomendações das principais normas internacionai

(12)

Tabela 1 - Limites inferior e superior para o ângulo formado entre as diagonais comprimidas e a Tabela 1 - Limites inferior e superior para o ângulo formado entre as diagonais comprimidas e a armadura longitudinal da viga.

armadura longitudinal da viga.

Norma

Norma ou ou pesquisador pesquisador Ângulo permitidoÂngulo permitido NBR NBR 6118:2003 6118:2003 3030oo ≤ ≤θθ≤≤ 45 45oo  ACI 318 (2002  ACI 318 (2002) ) 2525oo ≤ ≤θθ≤≤ 65 65oo EUROCODE EUROCODE 2 2 (1992) (1992) 3131oo ≤ ≤θθ≤≤ 59 59oo Projeto

Projeto de de revisão revisão do do EUROCODE EUROCODE 2 2 (1999) (1999) 2121oo

≤θθ≤≤ 45 45oo

CEB-FIP

CEB-FIP Model Model Code Code (1990) (1990) 18,418,4oo ≤≤θθ ≤≤ 45 45oo

FUSCO

FUSCO (1984) (1984) 2626oo ≤≤θθ≤≤ 63 63oo

SCHLAICH

SCHLAICH & & SCHÄFER SCHÄFER (1988, (1988, 1991) 1991) 4545oo ≤≤θθ≤≤ 60 60oo

Para a classificação das regiões nodais serão adotados os parâmetros da Para a classificação das regiões nodais serão adotados os parâmetros da  ASCE-ACI

 ASCE-ACI (1998) (1998) e e da da ACI ACI 318 318 (2002), (2002), haja haja vista vista que que o o próprio próprio CAST CAST (2000) (2000) tomatoma por base a norma norte-americana. Suas prescrições sugerem a classificação das por base a norma norte-americana. Suas prescrições sugerem a classificação das regiões nodais como:

regiões nodais como: CCC

CCC: região nodal circundada somente por bielas;: região nodal circundada somente por bielas; CCT

CCT: região nodal circundada por bielas e por : região nodal circundada por bielas e por um único tirante;um único tirante; CTT

CTT: região nodal circundada por uma única biela e por tirantes em uma ou: região nodal circundada por uma única biela e por tirantes em uma ou mais direções;

mais direções; TTT

TTT: região nodal circundada por três ou : região nodal circundada por três ou mais tirantes.mais tirantes. De acordo com o Apêndice A do ACI

De acordo com o Apêndice A do ACI 318 (2002), os critérios de resistência da318 (2002), os critérios de resistência da região nodal são:

região nodal são:

φ φ.F.Fnnnn≥≥ F Fuu   (5)(5) F Fnnnn = f  = f cucu.A.Ann   (6)(6) f f cucu = 0,85. = 0,85.ββss.f .f cc’ ’ (7)(7) sendo: sendo:

f f cc’ = ’ = resistência caracterísresistência característica do concreto;tica do concreto;

φ

φ = 0,85; = 0,85; β

βs = 1,0 para regiões nodais circundadas por bielas e/ou placas de apoio (nóss = 1,0 para regiões nodais circundadas por bielas e/ou placas de apoio (nós

tipo CCC); tipo CCC);

β

βs = 0,80 para regiões nodais ancorando somente um tirante (nós tipo CCT);s = 0,80 para regiões nodais ancorando somente um tirante (nós tipo CCT); β

(13)

2.12

2.12 Parâmetros de

Parâmetros de resistência das

resistência das bielas

bielas

Resistência das bielas segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991) Resistência das bielas segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991)

Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo SCHLAICH & Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991), são:

SCHÄFER (1988, 1991), são: 0,85 f 

0,85 f cdcd para para estado estado de de tensão tensão uniaxial uniaxial e e sem sem perturbação; perturbação; (8)(8)

0,68 f 

0,68 f cdcd  para campos de compressão com fissuras paralelas às tensões de  para campos de compressão com fissuras paralelas às tensões de

compressão; (9)

compressão; (9)

0,51 f 

0,51 f cdcd para para campos campos de de compressão compressão com com fissuras fissuras inclinadas. inclinadas. (10)(10)

Resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 (2002) Resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 (2002)

Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo o Apêndice A do ACI Os critérios básicos de resistência das bielas, segundo o Apêndice A do ACI 318 (2002), são: 318 (2002), são: φ φ.F.Fnsns ≥≥ F Fuu   (11)(11) F Fnsns = f  = f cucu.A.Acc   (12)(12) f f cucu = 0,85. = 0,85.ββss.f .f cc’ ’ (13)(13) sendo: sendo:

f f cc’ = resistência característica do concreto;’ = resistência característica do concreto;

φ

φ = 0,85; = 0,85; β

βs = s = 1,0 para bielas uniformes de seção constante;1,0 para bielas uniformes de seção constante; β

βs = 0,75 para bielas do tipo garrafa que satisfaçam o item A.3.3 des = 0,75 para bielas do tipo garrafa que satisfaçam o item A.3.3 de

distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002); distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002);

β

βs = 0,60.s = 0,60.λλ  para bielas do tipo garrafa que não satisfaçam o item A.3.3 de  para bielas do tipo garrafa que não satisfaçam o item A.3.3 de

distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002). distribuição de malha de armadura, encontrado no Apêndice A do ACI-318 (2002).

2.13

2.13 Parâmetros de

Parâmetros de resistência dos

resistência dos tirantes

tirantes

Quase sempre as forças internas de tração

Quase sempre as forças internas de tração na estrutura resultantes do modelona estrutura resultantes do modelo adotado são absorvidas por tirantes constituídos por uma ou mais camadas de barras adotado são absorvidas por tirantes constituídos por uma ou mais camadas de barras de aço, devido à limitada capacidade resistente do concreto em absorver esforços de de aço, devido à limitada capacidade resistente do concreto em absorver esforços de tração. Ainda assim, caso se necessite, pode-se prover a estrutura de tirantes de tração. Ainda assim, caso se necessite, pode-se prover a estrutura de tirantes de concreto. Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991), deve-se considerar a concreto. Segundo SCHLAICH & SCHÄFER (1988, 1991), deve-se considerar a resistência à tração do concreto somente quando se esperar ruptura frágil ou zonas resistência à tração do concreto somente quando se esperar ruptura frágil ou zonas de ruptura

de ruptura localizadalocalizadas.s.

 A seguir são fornecid

 A seguir são fornecidas as expressões paras as expressões para o dimensionamea o dimensionamento de tirantes dento de tirantes de concreto e tirantes de aço:

concreto e tirantes de aço:  A  Ass = =γγf f .R.Rstst / f  / f ydyd   (14)(14)  Ac =  Ac = γγf f .R.Rstst / f  / f tdtd   (15)(15) sendo: sendo:  A

 Ass = área necessária do tirante de aço; = área necessária do tirante de aço;

 A

(14)

R

Rstst = força de tração atuante; = força de tração atuante;

f f ydyd = resistência ao escoamento de cálculo do aço; = resistência ao escoamento de cálculo do aço;

f f tdtd = resistência à tração de cálculo do concreto; = resistência à tração de cálculo do concreto;

γγf f  =  = coeficiente de majoração das ações.coeficiente de majoração das ações.

3

3 VERIFICAÇÃO

VERIFICAÇÃO DE

DE VIGAS

VIGAS SEGUNDO

SEGUNDO O

O MC

MC CEB-FIP

CEB-FIP (1990)

(1990)

 As

 As expressões expressões para para verificação verificação da da segurança segurança de de vigas vigas submetidas submetidas a a forçaforça cortante fornecidas pelo Código Modelo CEB-FIP (1990), apesar de apresentarem cortante fornecidas pelo Código Modelo CEB-FIP (1990), apesar de apresentarem nomenclatura diferente daquelas fornecidas pela NBR 6118:2003, são do mesmo nomenclatura diferente daquelas fornecidas pela NBR 6118:2003, são do mesmo gênero, mostrando que os esquemas de forças internas e externas aplicadas à treliça gênero, mostrando que os esquemas de forças internas e externas aplicadas à treliça considerados pelo MC CEB-FIP (1990) são do mesmo gênero dos considerados pela considerados pelo MC CEB-FIP (1990) são do mesmo gênero dos considerados pela norma brasileira. Serão apresentadas, a

norma brasileira. Serão apresentadas, a seguir, as expressões para seguir, as expressões para dimensionamdimensionamentoento segundo o MC CEB-FIP (1990), o qual considera, no equilíbrio da treliça, a inclinação segundo o MC CEB-FIP (1990), o qual considera, no equilíbrio da treliça, a inclinação

θ

θ  das bielas livre, não necessariamente  das bielas livre, não necessariamente θθ = = 4545oo como o modelo de cálculo I da NBR como o modelo de cálculo I da NBR

6118:2003. 6118:2003.  A

 A verificação da verificação da compressão diagonal do compressão diagonal do concreto deve concreto deve obedecer à obedecer à seguinteseguinte condição de segurança:

condição de segurança: R

RScwScw < R < RRcwRcw   (16)(16)

R

RScwScw = (V = (Vdd / sen / senθθ) [cotg) [cotgθθ / (cotg / (cotgθθ + cotg + cotgαα)] )] (17)(17)

ee R RRcwRcw = f  = f cd2cd2 b bww z cos z cosθθ   (18)(18) sendo: sendo: f f cd2cd2 = 0,6 (1 - f  = 0,6 (1 - f ckck / 250) f  / 250) f cdcd   (19)(19) f f cdcd = f  = f ckck / /γγcc   (20)(20) γγcc = 1,5 = 1,5  A condição d

 A condição de segurança pae segurança para o cálculo da ra o cálculo da armadura transvarmadura transversal é:ersal é: R RStwStw < R < RRtwRtw   (21)(21) R RStwStw = V = Vdd / sen / senαα   (22)(22) ee R

RRtwRtw = A = Aswsw f  f ydyd z (cotg z (cotgθθ + cotg + cotgαα) ) / / s s (23)(23)

4

4 O

O PROGRAMA

PROGRAMA CAST

CAST

4.1

4.1 Conceitos

Conceitos gerais

gerais

O programa computacional gráfico CAST, Computer Aided Strut and Tie O programa computacional gráfico CAST, Computer Aided Strut and Tie (2000), é capaz de realizar a análise e o dimensionamento de uma estrutura de (2000), é capaz de realizar a análise e o dimensionamento de uma estrutura de

(15)

concreto armado ou protendido com base no modelo de bielas e tirantes. O programa concreto armado ou protendido com base no modelo de bielas e tirantes. O programa começou a ser desenvolvido em 1997 na Universidade de Illinois at começou a ser desenvolvido em 1997 na Universidade de Illinois at Urbana-Champaign, nos Estados Unidos da América, e passou por atualizações. Uma versão Champaign, nos Estados Unidos da América, e passou por atualizações. Uma versão inicial do programa foi introduzida pela primeira vez no Congresso do ACI de 2000, inicial do programa foi introduzida pela primeira vez no Congresso do ACI de 2000, em Toronto, Canadá, por Dan Kuchma e Tjen Tjhin, após a apresentação do trabalho em Toronto, Canadá, por Dan Kuchma e Tjen Tjhin, após a apresentação do trabalho "Advances and Challenges to Design by

"Advances and Challenges to Design by the Strut-and-Tie Method".the Strut-and-Tie Method".  A

 A interface interface utilizada utilizada é é simples simples e e possibilita possibilita a a criação criação e e a a modificação modificação dede elementos estruturais e de possíveis modelos de bielas e tirantes, os quais precisam elementos estruturais e de possíveis modelos de bielas e tirantes, os quais precisam ser determinados pelo usuário. Esse aspecto chama a atenção, pois o programa não ser determinados pelo usuário. Esse aspecto chama a atenção, pois o programa não dispõe de um processo de otimização que determina automaticamente o modelo mais dispõe de um processo de otimização que determina automaticamente o modelo mais adequado e, sendo isso tarefa exclusiva do usuário, é necessário embasamento adequado e, sendo isso tarefa exclusiva do usuário, é necessário embasamento teórico acerca do modelo de bielas e tirantes, suas limitações e peculiaridades. Por teórico acerca do modelo de bielas e tirantes, suas limitações e peculiaridades. Por outro lado, não

outro lado, não exige solução única, possibilitando grande variedade de soluções paraexige solução única, possibilitando grande variedade de soluções para cada estrutura. Nesse aspecto, entram o conhecimento técnico-científico e a cada estrutura. Nesse aspecto, entram o conhecimento técnico-científico e a experiência do usuário do programa a fim de encontrar o modelo mais adequado, que experiência do usuário do programa a fim de encontrar o modelo mais adequado, que leve em consideração economia e aspectos construtivos da estrutura. Além disso, sua leve em consideração economia e aspectos construtivos da estrutura. Além disso, sua facilidade em variar o modelo de bielas e tirantes adotado para um mesmo facilidade em variar o modelo de bielas e tirantes adotado para um mesmo carregamento, a disponibilidade de rotinas para o dimensionamento de modelos de carregamento, a disponibilidade de rotinas para o dimensionamento de modelos de bielas e tirantes submetidos a múltiplos casos de carregamento e a simples bielas e tirantes submetidos a múltiplos casos de carregamento e a simples automatização dos cálculos são fatores que vão ao encontro das necessidades do automatização dos cálculos são fatores que vão ao encontro das necessidades do projetista de estruturas.

projetista de estruturas.

4.2

4.2 Definição

Definição das

das propriedades

propriedades dos

dos elementos

elementos

Para a verificação de nós e bielas, há a possibilidade de se utilizar valores das Para a verificação de nós e bielas, há a possibilidade de se utilizar valores das resistências propostos por pesquisadores e normas, predefinidos pelo programa, resistências propostos por pesquisadores e normas, predefinidos pelo programa, como também é possível determinar valores desejados. A Tabela 2 e a Tabela 3 como também é possível determinar valores desejados. A Tabela 2 e a Tabela 3 apresentam todos os valores predefinidos pelo programa para nós e bielas, os quais apresentam todos os valores predefinidos pelo programa para nós e bielas, os quais podem ser arbitrariamente adotados pelo usuário.

podem ser arbitrariamente adotados pelo usuário.

Tabela 2 - Propriedades dos nós segundo as normas e expressões disponíveis no CAST Tabela 2 - Propriedades dos nós segundo as normas e expressões disponíveis no CAST (2000). (2000). Propriedades dos nós Propriedades dos nós f f ckck (MPa) (MPa) Eq. Códigos

Eq. Códigos FatorFatorEficiênciaEficiênciaFatorFatorReduçãoRedução Resistência Resistência Fator Fator Resultante Resultante 20 20 30 30 40 40 5050  ACI CCC  ACI CCC 0,850 0,850 0,750 0,750 0,638 0,638 12,75 12,75 19,13 19,13 25,50 25,50 31,8831,88  ACI CCT  ACI CCT 0,680 0,680 0,750 0,750 0,510 0,510 10,20 10,20 15,30 15,30 20,40 20,40 25,5025,50  ACI CTT  ACI CTT 0,510 0,510 0,750 0,750 0,383 0,383 7,65 7,65 11,48 11,48 15,30 15,30 19,1319,13 Marti Marti (1985) (1985) CCC CCC 0,600 0,600 0,750 0,750 0,450 0,450 9,00 9,00 13,50 13,50 18,00 18,00 22,5022,50 Schlaich Schlaich (1987) (1987) CCC CCC 0,850 0,850 0,750 0,750 0,638 0,638 12,75 12,75 19,13 19,13 25,50 25,50 31,8831,88 Schlaich Schlaich (1987) (1987) CCT CCT / / CTT CTT 0,680 0,680 0,750 0,750 0,510 0,510 10,20 15,30 10,20 15,30 20,40 25,5020,40 25,50 MacGregor MacGregor (1997) (1997) CCC CCC 0,777 0,777 0,750 0,750 0,583 0,583 11,66 17,48 11,66 17,48 23,31 23,31 29,1429,14 MacGregor MacGregor (1997) (1997) CCT CCT 0,661 0,661 0,750 0,750 0,496 0,496 9,92 9,92 14,87 14,87 19,83 19,83 24,7924,79 MacGregor MacGregor (1997) (1997) CTT CTT 0,583 0,583 0,750 0,750 0,437 0,437 8,75 8,75 13,12 13,12 17,49 17,49 21,8621,86

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