Steinbruch - Matrizes, Determinantes e Sistemas.pdf

Matrizes, Determinantes e Sistemas

de Equações Lineares

Alfredo Steinbruch

Professor de MatemáticadaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980) e da Pontifícia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-Hill São Paulo

Rua Tabapuã, 1.105, Itaim-Bibi CEP04533

(011) 881-8604e (011) 881-8528

RiodeJaneiroeLisboaePortoeBogotáeBuenos AireseGuatema14eMadrideMhk:oeNew YorkePanamáe

San JuaneSantiago

Aucklande Hamburg e Kuala Lumpur e London e Milan e Montreal e New Delhi e Paris e Singapore e Sydney e Tokyoe Toronto

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . .

IX

Capítulo 1 - MATRIZES

Matriz de ordemmporn. . . . 1

Diagonal principal e diagonal secundária. . . 2

Matriz diagonal e matriz unidade. . . • . . . • . • . . . • . . • 2

Matriz zero. . . • . . • • • • • . . . • . . . • . . . • • . . . 3

Matriz oposta de uma matriz. . . • . . . • . . . 3

Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. . . 4

Igualdade de matrizes. . . • . . . . ~ . . . 4

Adição de matrizes . • . . . • . . . 4

Produto de uma matriz por um escalar. . . . • . . . • . . . 5

Produto de uma matriz por outra. . . 6

Matriz transposta. • • • . • • • . . • • • . . . • • . . • . . . 11 Matriz simétrica. . • • • . • . . • . • • • . • . . • • . . • • • • . • • • • • . . . 12 Matriz anti-simétrica • . • • . . . . • . . • • • • • . • . • . • . . . • • . • • . .~ 13

Problema.s . . . .

14

Capítulo 2 - DETERMINANTES

.

Classe de uma permutação. • . . . • . . . . • . . . • . . . 26

Termo principal e termo secundário. . . • . . . 27

Determinante de uma matriz. . . • • . . . 27

Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem 28 Cálculo do determinante de 2! ordem. • . . . • . . . • 29 Vil

VIII Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Cálculo do determinante de 3!! ordem •..••••.••...•.. : . • • . 29

Desenvolvimento de um determinante de ordemnpor uma linha ou por uma coluna. . . • . • • . . • . . . . • • . • . . . • . . . 32

Propriedades dos determinantes . . • . . . • • . • • . . . • . . . . 35

Cálculo de um determinante de qualquer ordem. . . .. . . 42

Problemas . . . • . • . . . • . . . 45

Capítulo 3 - INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa de uma matriz. . . • . • • . . . • . • • . . . • Matriz singular. . . • . . . • . . . . Matriz não-singular . . . • . • . • . . • • • . . • . . . • • . . Propriedades damatriz inversa. . . • . . . . • • . • . . . .' • . • . •. Operações elementares. . • • • • • . . . • • . . . • • • . . . • • . . . . EqUI'valAencla. de matrizes . . . . • . • . . • . . . . • . . . • • . . . • .. Inversão deumamatriz por meio de operações elementares ••.••• Matriz ortogonal. . . • . • . . . • . • . . • . • . . . • . . . . . Problemas .•..•...•..•....••...••...•.. 50 51 51 52 53 54 57 61 61 Capítulo 4 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear. . . • . . . 70

Sistemas de equações lineares. • . • • . . . • . • . . • • • . • • • . . . 71

Sistemas equivalentes ...•.•.••. ~• • . • • • . . . . • . . • . . • . • . 73

Estudo e solução dos sistemas de equações lineares. • • • . . . 73

PREFÁCIO

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes os conhecimentos mínimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equações lineares, conhecimentos que são indispensáveis para estudar e compreender os conteúdos de várias disciplinas dos Cursos de Engenharia, Administração, Economia, Matemática, Física, Computação etc.

Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTES e SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES" tem três características principais:

1) unidade de tratamento na solução de problemas diferentes. Assim, sem descuidar de casos particulares, o cálculo de determinantes de qualquer ordem, a inversão de matrizes e a solução de m equações lineares com n variáveis, quaisquer que sejam

m

e

n,

são feitos utilizando processos análogos;

2) linguagem simples, didática (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo em benefício da clareza) e acessível a estudantes de qualquer Curso de nível

superior;

3) ênfase na parte prática, contendo 168 problemas resolvidos e propostos, estes com respostas ou roteiros para a solução.

X Matrizes, Detenninant~se Sistemas de Equações Lineares

o

autor ficará compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitar a estudantes a compreensão das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares como pré-requisito.

Críticas, sugestões para a melhoria deste livro, assim como informações sobre eventuais erros, serão bem recebidas no endereço do autor*.

Alfredo Steinbruch

*

Rua Vieira de Castro, 275/601- Fone (0512) 31-3288 90.040 - Porto Alegre - RS - BR

I

CAPITULO 1

MATRIZES

1.1 -

MATRIZ DE ORDEM m POR n

Chama-serIUltriz de ordemmporn a mo quadro de m x n elementos (em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas.

a ll alZ aln

a:H a22 ~n

A

=

.

• A matriz na qual m'i' n

é

retangular, se representa por A(m,n) e se dizde

or-dem m por n ou mx n.

• A matriznaqual m = n

é

quadrada, se representa por An(ou A(n, n»' e se diz

deordemn.

• Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: ~j. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

• A matriz A pode ser representada abreviadamente por A

=

[~j]'i variando de 1 a m (i

=

1, 2, •••, m) ej variando de 1 a n (j

=

1, 2, •••, n). Assim, se a matriz tem 2

2 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

linhas(m

=

2) e 3 colunas (n

=

3),

ao fixar para i o valor 1 e fazendo

j

variar de 1 a 3,

obtém-se:

Fixando, a seguir, para i o valor 2 e fazendo

j

variar de 1 a 3, obtém-se:

isto é:

~1

A(2 3)= A = rall

,

L

a

₂₁

~2 ~3

• A matriz

de

ordem m por

1

é uma

matriz-eoluna

ou

vetor-eoluna

e a

matriz .

de

ordem 1 por n é uma

matriz-linha

ou

vetor-linha.

Exemplos:

1.2 -

DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA

• Numa matriz quadrada A

=

[a

_ij],de

ordem n, os elementos

~j'

em que i

=

j,

constituem a

diagonal principal.

Assim, a diagonal formada pelos elementos alI' a22' ...,

~ é

a diagonal principal.

• Numa

matriz quadrada

A

= [~j]' de

ordem n, os elementos

~j'

em que

i

+

j =

n

+

1,

constituem a

diagonal secwuiária.

Assim, a diagonal formada pelos

elementos a1n,

~

n-1'

~

n-2' ••• 8n1

(1

+

n

=

2

+

n-l

=

3

+

n-2

= ... =

n

+

1) é

a

diagonal secundária.

1.3 -

MATRIZ DIAGONAL E MATRIZ UNIDADE

• A matriz quadrada A

= _[~j]

que tem os elementos

~j =

Oquando

i>Fj

é

uma

matriz diagonal:

Matrizes 3

all O O

O

az2

O

A

= .

O O

8nn

• A matriz diagonal que tem os elementos

~j

=

1 para i

=

j é uma matriz

unida-de.

Indica-se a matriz unidade por

~

ou simplesmente por I:

1.4 -

MATRIZ ZERO

O 1

O

~]

Uma matriz zero é a matriz cujos elementos são todos nulos. Indica-se a matriz

zero

por O.

O=~

O O O O O

~]

1.5 -

MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ

Matriz oposta

de uma matriz A

=

[~j]

é a matriz B

=

[bij] tal

que b

ij

=

-~j.

Indica-se a matriz oposta

de

A por -A. Exemplo:

[ -7

4 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1.6 -

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE MATRIZ

TRIANGULAR INFERIOR

A matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = O para i>j éuma ma-triz triangular superior e a matriz quadrada B

=

[bijl que tem os elementos bjj

=

O para

i

<

j éumamatriz triangular inferior. Exemplos:

3 5 O B

=[;

-3 O 7 9

1.7 -

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A

=

_{[8;jl e B}

=

[bijl, de mesma ordem, são iguais se, e somente se, 8;j= _{bij• Exemplo:}

[~

3

1

~J

3

1

~J

1.8 -

ADiÇÃO DE MATRIZES

A soma de duas matrizes A

=

_{[8;jl e B}

=

[bijl, de mesma ordem,

é

uma matriz C = [cijl tal que cij

=

8;j

+

bij" Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A

+

B. Exemplos:

1) [all a 12

al~J

+

[~1

b 12 b13J = [all+b ll a 12+b12 a 13 +b 13] a21 a22 a23 b 21 b 22 b23 a21 +b21 a22+b 22 a23+b 23 2)

~

-2

1

[~

1

-~

_~

-1

~

1 2 3 O 2 + O 2 2 -1 4 -3 O -1

-Matrizes 5

1.8.1 -

Diferença de duas matrizes

A diferença A-B de duas matrizes, de mesma ordem,

é

defmida por A + (-B). Exemplo:

r5

~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~ - ~ ~ = ~ ~

+

~ ~ = ~ ~

1.8.2 -

Propriedades da adição de matrizes

Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se: I) A + (B + C) = (A

+

B) + C

Il)A+B=B+A III) A

+

O = O

+

A

IV) A + (-A) ==-A + A = O

1.9 -

PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Se À

é

um escalar, o produto de uma matriz A = [ajjl por esse escalar

é

uma matriz B

=

[bjjl tal que bjj

=

À~j.Indica-se o produto da matriz A por Àpor ÀA. Exemplo:

5

x~

-2 -5 O

lJ=[5X4

5 x 3 5 x(-2) 5 x (-5)

5

x

lJ

=

[20

5x O 15 -10 -25

~J

1.9.1 -

Propriedades da multiplicação de uma

matriz por um escalar

Para Àe /.I. escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se: I) (À/.I.) A::;:: À{/.I.A)

II) (À+/.I.) A

=

ÀA + /.I.A ID) (À-/.I.) A

=

ÀA-/.I.A

6 Matrizes, Detemánantes e SistemasdeEquações Lineares

IV)À(A

+

B) = ÀA

+

ill

V) IA

=

A

1.10 -

PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA

Sejam as matrizes

AO

,4)

e

B(4,O

A

=

[4 3 2 5] e B

~

m

o

produto AB é, por defmição, uma matriz C

_O,l)tal

que:

CH

=

4 x 6

+

3 x 4

+

2 x 5+ 5 x 3

=

24

+

12

+

10

+

15

=

61

isto

é,

c

_H

é

a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos

da

ma-.triz-linha A pelos elementos

da

matriz-coluna B. A matriz

Co,o

=

[61] é o produto

da

matriz

~1,4)

pela matriz

B(4,2) O

dispositivo abaixo facilita, visualmente, entender a

definição do produto

da

matriz

~1,4)

pela matriz

B(4,O:

. .' ...:. ..:. .

~.

..: .

.~.

...'(=J

...

• . 2 x 5

=

10 5

.

.

.

• 5 x 3

=

15 3

..

-

.

61 [4 3 2 5]··· .. · . · · · [61]

A condição para multiplicar a

matriz

A

_{O .4)}

pela

matriz B(4.0' de

acordo com a

definição, é que o número de linhas de B (no caso, 4) seja

igual

ao número de colunas de

A (no caso, também 4). Por outro lado, a ordem

da

matriz-produto C é

dada

pelo número

Matrizes 7

C_O,l).Se se escrever em seqüência a ordem damatrizA e a ordem da matriz B:

f

i

(1,4) (4,1)

4

•

O 22 _{e 3}2 números, sendo iguais, indicam que a multiplicação

é

possível, e o 12 _{e 4}2 números indicam a ordem da matriz-produto

c:

A. , B '

• \1,4) X (4,1)

e..' ---fi

Suponha-se que se deseja multiplicar uma matriz A

_o

,4)por umamatrizB(4,2):

A. t B t

• \1,4) x (4,2)

•

•

Tendo em vista que o 22 _{e o 3}2 _{número são iguais, a multiplicação}

_é

_{possível, e} a ordem da matriz-produto C serádadapelo 12_{e 4}2_números:

~1,4) x B(4,2)

=

_{C O},2) Sejam as

matrizes:

A

~

[4 3 2 5] e B

~[~ ~]

Para efetuar o produto da matriz-linha A_O,4) (daquipor diante chamada sim-plesinente linha) pela matrizB(4,2)'considera-se cada coluna de B como uma matriz-coluna (daqui por diante chamada simplesmente coluna) e efetua-se o produto da linha A pela I! coluna de B, obtendo-se o 12_{elemento de C; a seguir, efetua-se o produto da linha A pela} 2! coluna de B, obtendo-se o 22_{elemento de C. Odispositivo a seguir facilita o} entendi-mento do processo:

·.... ....

_{· ..}

_.

_...

_.

_...

:..

~

.·1· :::.

_.

_.

_..

_...

ii...

_.

_...

!~

_.

..

~!

j .

~

..

i..

~

..

~

.

_.

: : 2

x

5 = 10 5 7 2

x

7 = 14 : : : •••••••• • -5- •~.

·3 .

~

.

is ...

3· 4- .. -5 -.

~.

·4·

.~

.

iô·

· .

.

...

...

...

..

..

..

.

..

..

.

.

· . . . .

6 1 · .

44

·

. .

.

. .

· . . .

@

3 2 5}··· ·

[§i

~J

8 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

AmatrizC(l,Z)= [61 44]

é

o produto das matrizesA(l,4)eB(4,Z).

Suponha-se, agora que se deseja multiplicar uma matriz ~Z,3)por uma matriz

•

t

A(Z,3) x B(3,4)

•

•

Tendo em vista que A é de ordem (2,3) e que B

é

de ordem (3,4), o produto existe eé uma matrizC(Z,4):

A(Z,3) x B(3,4) C(Z,4) Sejam as matrizes A

=

~

2

:]

B

~ ~

2 4

~]

5 e 3 1 2 7

Para efetuarOproduto das matrizes A e B, considera-se cada linha da matriz A como uma matriz-linha (chamada linha) e cada coluna de B como uma matriz-coluna (chamada coluna). A seguir, multiplica-se a1~linha de A sucessivamente pela1~,pela2~, pela 3~ e pela4~ colunas de B, obtendo a primeira linha da matriz C. Em continuação, multiplica-se a 2~linha de A sucessivamente pela 1~linha, pela2~,pela3~e'pela4~ colu-nas de B, obtendo-se a2~linha da matriz-produto C:

2 5 x 2 3 2 4 1 7

[30

~3

26 25 60 34

: ] =

C(Z,4)

Conforme foi explicado antes, o elemento C_Z4

=

20, por exemplo, foi obtido

multiplicando a2~linha de A pela4~coluna de B:

C_Z4

=

2(1)

+

5(0)

+

3(6)

=

2

+

O

+

18

=

20 e os demais elementosdeC,demodo análogo.

De acordo com o que foi visto até agora, pode-se dizer, por exemplo, que:

A(3,5) XB(5,6)

=

C(3,6)

A(Z,7) xB(7,4)

=

C(Z,4)

Matrizes 9

1.10.1 -

Cálculo de um elemento qualquer

de uma matriz-produto

Sejam as matrizes:

Tendo em vista que A

é

de ordem(2,3)e que B

é

de ordem(3,3),o produto

é

umamatriz C, de ordem(2,3):

C13J

c~3

o

_{elemento c23' por exemplo, obtém-se multiplicando a} 2!linha de A pela 3!

colunadeB:

Assinalando o 22_{índice de "a" e o 1}2_{índice de "b", vê-se que, em cada parce- .} la, eles são iguais:

Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:

k=3 I k=l

isto

é,

C₂₃

é

o somatório dos produtos~k ~3'k variando de 1 a

3.

Um elemento qualquer c_ijdamatriz C será calculado do seguinte modo:

k=3

c_ij I aik~j

k=l

Essa expressão

é

que, na verdade, defme o produto C(2,3) = A(2,3) x B(3,3). Ge-neralizando, se A(m,n) = [~j]e se B(n,p)= [b_ij],o produto AB

é

uma matriz C(m,p)talque:

10 Matrizes, Determinmltes e SistemasdeEquações Lineares

k=n

c

ij I

anc

l>tj

k=l

-1.10.2 -

Não comutatividade da multiplicação de duas matrizes

Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.

Exemplo:

Entretanto, o produto B(5,6) x A(3,5)

não existe porque 6

#

3, isto é, o número de

colunas da I!!

matriz não coincide com o número de linhas da 2!!

matriz.

Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos

são, em geral, diferentes:

A(4,3)x B(3,4)

=

C(4,4) B(3,4)x~4,3)

=

D(3,3)

Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA

seriam também matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim,

difeririam. Sejam por

exemplo as matrizes:

A=

[~ ~]

_e

B

~ ~J

~ ~J

x

~ ~

=

G

7

2~

AB 39 53

BA =

~ ~]

x

~ ~

=

~6

30

:]

Os produtos AB e BA são diferentes, o que significa que a multiplicação de

duas matrizes não

é comutativa. Existem, entretanto, matrizes A e Btais que AB

=

BA,

porém essa

não é a regra. Há dois casos que interessam particularmente e um deles é o

seguinte: AI

=

IA

=

A. Exemplo:

Matrizes 11

f6

-31

fi

01

fi

01

f6

-31

f6

-31

~2

7J

x

'º

lJ

=

\Q

lJ

x

~2

II

=

~2

7J

o

outro caso será

visto

no item 3.1, Capítulo 3.

1.10.3 -

Propriedades da multiplicação de uma matriz por outra

Admitindo que as ordens

das

matrizes possibilitem as operações, tem-se:

I) (AB) C

=

A (BC) II) (A

+

B) C

=

AC

+

BC III)C (A

+

B)

=

CA

+

CB

IV)(aA) B

=

A (aB)

=

a (AB),a E R

V) AB

;4

BA, em geral

VI)Se

AB

=

O,

não

é necessário que A

=

Oou B

=

O.

Ex~plo:

Mas, se AB

=

O, qualquer que seja B, então A

=.

O; do mesmo modo, se AB

=

O,

qualquer que seja A, então B

=

O.

1.11 -

MATRIZ TRANSPOSTA

A

matriz

transposta

da

matriz A, de ordem m por n, é a

matriz

N,

de ordem n

por

m,

que se obtém escrevendo ordenadamente as

linhas

de A como colunas. Exemplos:

~J

1.11.1 -

Propriedades da matriz transposta

12 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares I)(A

+

BBi

=

At

+

Bt

m

(XAi

=

XAt"-III)(At)t = A IV)(-Ai

=

_At V) (AB)t

=

BtAt

As propriedades de I a

N·

são imediatas. A propriedade V será verificada por

meio do seguinte exemplo:

a)

A(3~)~[~

_~}

B(2,2) =

[~

~J

AD

~[~

~] [~

2

J

_

[10

6 I:

l.

(AD)'

~

ÚO

~~]

(1) 6 4 - 14 _{20 14} 8 b) t

U

O 2J t

e

:]

A (2,3)= 3 ₂ 4 e B(2,2) = 2 O 2

2]

4

=

[10

14 6 8

141

20J

(2)

Comparando (1) e (2), verifica-se que

(ABi

=

BtA~

1.12 -

MATRIZ SIMÉTRICA

Matrizes 13

• O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At _{é umamatriz}

simétrica. Exemplo:

A~[j

4

-~]

At~[:

2

1J.

~6

-1

19~

3 3 AAt

=

-1 -12 -44

=

S

=

st 1 -5 19 -44 86

• A soma de umamatriz quadrada A com a sua transposta Até umamatriz simétrica. Exemplo:

A

~t~

-14

~] A'~[:

-3-1 7

5]

A+At

=

l2

1 -21

1~] ~

_S

~

_S'

.5 7 1 , 2 9 1 , 7 16

1.12.1 -

Propriedade da matriz simétrica

Uma matriz quadrada A = [~j] é simétrica se, e somente se, os elementos dispostos simetricamente em relaçãoàdiagonal principal são iguais.

1.13 -

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA

Umamatrizquadrada Aéanti-~tricaseAt= -A. Exemplo: 3 O 6 -3 O -6

• A düerença B = A - At entre uma matriz quadrada A e a sua transposta At

é

14 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

A=r~ ~

;]

At=r~

:

~] .B=A_At=[~ -~ -~J Bt=r_~ ~

-5

0

2

] =-B

b

6 9,

b

1 9, -2 5 O,

L

2 -5

1.13.1 -

Propriedade da matriz anti-simétrica

Umamatrizquadrada A

=

[~j] é

anti-simétrica ·se, e somente se,

~j

= -

~i'

isto

é,

se os elementos dispostos simetricamente em relação à diagoDal principal são opostos e os elementosdadiagonal principal são nulos.

1.14 -

PROBLEMAS RESOLVI DOS

1)Dadasas matrizes

A

=

[Y

+

4 2]

e

B

=

~192

2J

9 X2

+

4 53

,

calcular

y

e x de modo que A seja igual a B, isto

é:

. "

[Y ; 4

x2

~

4]

=

[1~ 5~],

Solução:

Pela definição dei~dadede

matrizes,

deve-se ter:

Y

+

4 =

12 :.

Y=

8

x2

+

4

=

53

.~x2

=

49

Matrizes 15

Os problemas

de

2 a 4 se referem

às

matrizes:

3 8]

[-3 71]

9-6 B = - 4 2 5 4 -1 , O 9 4 e

C~~

2)CalcularA

+

B Solução: 3 8] [-3 7 1] [_1 10 9

J

9 -6

+

-4 2 5 = -9 11 -1 4 -1 O 9 4 7 13 3 3) Calcular C - A Solução:

~

7

-8 C-A = 4 -3 9 -5

4)

Calcular

3A - 2B

+

4C

Solução:

~l_ L~ ~ ~

1

=

[~ ~~~ -~l

d L

7 4

-;J

2 -9

~J

Fazendo D

=

3A - 2B

+

4C, vem:

[

23 8]

[-3

D

=

3 -5 9 -6 - 2 -4 7 4 -1 O 7 1 ] . [ 7 - 8 3 ] 2 5

+

4 4 -3 2 9 4 9 -5 1 [ 6 9 D

=

-15 27 21 12

D=r~

_G7

-37 11 -26

-~J

+ [:

-3 O

_~l

-;J

-14 _2J [28. -32 12J -4 -10

+

16 -12 8 -18 -8 36 -20 4

16 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

5) Calcular (A

+

B) C

Solução:

(A

+

B) foi calculado no problema 2. Logo:

[

-1 10 9J

~

-8

(A

+

B) C

=

-9 11 -1 4-3 7 13 3 9-5

3] [114 -67 26J

2

=

-28

45 -6

1 128

-110 50

Este problema poderia ser resolvido calculando AB e AC e, após, determinando

Ab

+

AC. (Exercício a cargo do leitor).

6) Calcular o produto

das

matrizes:

A _r-8 4

-6

lJ

_r~ -~l

(2,4) -

L

2 -5 7 3 • B(4,2) -

~ -~J

Solução:

11

[~ -~J

=

[5

-21

3J 1 -5 6 7J 3 8

7) Calcular o produto

das

matrizes:

A

=

r~ ~ ~J

e X

= [;]

Matrizes 17 Solução: [ 2 3 4] [x] [2X

+

3y

+

4Z

J

A(3,3) x ~3,l)

=

C(3,l) = ·3 5 -4 Y = 3x

+

5y - 4z 4 7 -2 Z 4x

+

7y - 2z Éinteressante assinalar que a

matriz

C

tem

3 linhas e

uma

sócoluna: • o elemento da I!! linha é: 2x

+

3y

+

4z;

• oelemento da 2!! linha é: 3x

+

5y - 4z; • o elemento da 3!! linha é: 4x

+

7y - 2z.

O fato de que

a matriz

C

tem

3 linhas e

uma

s6 coluna permite escrever,

sob

a forma matricial, o seguinte sistema de equações, por exemplo:

!

2x

+

3y

+

4z = -4 3x

+

5y-4z

=

25 4x

+

7y-2z

=

24 De fato, fazendo:

A=r~ ~ ~l

x=[;Je

B=[2~1

l~

7

-~,

z 24j,

pode-se escrever que AX

=

B, ou:

ou, ainda:

~

x

+

3y

+

4

J

~-4~

3x

+

5y - 4z = 25 4x

+

7y-2z 24

18 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

e,

de

acordo com a

definição deigualdadedematrizes:

\

2X

+

3y

+

4z

=

-4

3x

+

5y -4z=25 4x

+

7y - 2z= 24

-Os problemas

de

8 a 12 se referem

às

matrizes:

[

4 _5]

A = 3 -7 -2 4, Solução: B

=

f-4

6

-31

C

=

f4

-3J

e

~3

5

sJ,

11

2

A

t

₌

[4

-5 9)

Determinar

Bt Solução: 3 -7

[

-4

-3~

Bt =

6

5

-3

8

10)Calcular (AB)t Solução:

Matrizes 19

mas Bt e At foram determinados nos problemas 9 e 8, respectivamente. Logo:

[-4 -3] [

J [

-1

9-4~

t t t . 4 3 -2

(AB)

=

B(3,2)A(2,3)

=

6 5 -5 -7 4

= .

-1 -17 8

-3 8 . -52 -65 38

Este problema poderia ser resolvido calculando, emprimeiro lugar, AB

=

E e, após, determinando Et: -1 -17 8

-52~

-65 38 [ -1 9 (ABi

=

Et

=

-1 -17 -52 -65 11) Calcular Bt C Solução:

AmatrizBt foi determinada no problema 9. Logo:

12) Calcular (AB)t D

Solução:

(AB)t foi calculado no problema 10. Logo:

~

-1 9 (AB)t

n

=

-1 -17 . -52 -65

~

l

r~ -~ ~l

=

r

-~

3~J

G

1

~J ~14

1 13 298

13~

-34 -130

20 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 13) Dada a matriz A

=

fi

o

7

-251

L

-toJ,

calcular A x A

=

A2 Solução:

A matriz A2

é

chamada potência

2

da matriz A. Neste problema, como A2

=

A, A

é

chamada de matriz nihilpotente.

14) Dada a matriz

A=[~

calcular A2 Solução:

-~ _~l

4

-;J,

A2

₌

[_~ -~ _~l [_~ -~ _~l

₌

[~ -~ _~l

-4 4 -;

J

-4 4

-;J

-4 4

-;J

Matrizes 21

1.15 -

PROBLEMAS PROPOSTOS

Nos problemas 1 a 3, calcular os valores de m e fipara que as matrizes A e B

sejamiguais. 1) A _[ 8

150J

=

~8 7~J

12

+m 3 e B 6 3

2)

[m

2

-40

02

₊

j

rI

1~]

A= e B = 6 3 6 3) A =[:

:2J

e B = [: _lOx

~25J

OSproblemas 4 a 12 se referemàsmatrizes:

A=r 3 8J B =

~

-7 -9] C =

[o

9

:]

4 -1

-6,

041

e

1 4

4) Calcular A

+

B 5) Calcular B

+

C 6) Calcular A

+

C

7)

Calcular A - B

8)

Calcular A - C

9)

Calcular B - C 10) Calcular X = 4A - 3B

+

5C 11) Calcular X = 2B - 3A - 6C 12) Calcular X = 4C

+

2A - 6B

Nos problemas 13 aIS, efetuar a multiplicaçãodasmatrizes A e X. 13)

22 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares 14) 15) A

=

l~ ~ ~ ~]

e X

=

[:~J

-2 4 5 -7 x3 9 - 9 - 8 6 x4

Os problemas 16 a 21 se referem

às

matrizes:

A

=[7~ --4~J

B =

[~ ~ ~:

-;], C =

~~

:J

e 5 9,

16)

Calcular AB 17) Calcular (AB)D 18) Calcular A(BD) 19) Calcular BA 20) Calcular (BA)C

21)

Calcular B(AC)

22) Determinar a

matriz

A

t

transposta

da

matriz

~

4 3

-~

A

=

1 -7 O -2

8 -9 6

-4

Os problemas 23 a 27 se referem

às

matrizés

[ 1 7 3

-1

D

= -:

-~ -~ -~

5 3 2 -3

~

5 O -8 O

A=

-2 2 1 -1 -3 -2 8 5 6 3

Matrizes 23 23) Calcular (AB)t 24) Calcular (AB)Dt 25) Calcular A(BDt) 26) Calcular Bt C 27) Calcular 2 (AíB~

+

3 Ct

Nos problemas 28 a 31, dada

uma

matriz A em cada

um

deles, calcular A2 e classificarA.

28) 29)

A=

[~

~J

A=[12 16

_-9

_-12

J

30) 31)

A=

[5

_-2

_-4

_1TI

A=[6 10]

_-3

_-5

1.15.1 -

Respostas ou roteiros para os problemas propostos

1) n = 5 e m=-6 2)m

=

± 9 e n = ±3 3)x = 5

4a6)Roteiro: Esses problemas

são

resolvidos de modo análogo ao do problema2

do·item1.14. 7 a 9) Roteiro:

10

a

12)

Roteiro:

3 a 15) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema3

do item1.14.

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema4

do item1.14.

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 7 do item1.14.

24 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

,

16)Roteiro: 17) Roteiro: 18)Roteiro: 19)Roteiro: 20)Roteiro: 21)Roteiro: 22)Roteiro: 23)Roteiro:

Esse problema é resolvido de modo análogo ao do problema 6 do item 1.14.

I!:?) Calcular~4,4)

=

A(4,2)x B(2,4) (já calculado no problema 16) 2!:?) Calcular F(4,4)= E(4,4) x D(4,4)

I!:?) Calcular G(2,4)

=

B(2,4)x D(4,4) 2!:?) Calcular H(4,4) = A(4,2) x G(2,4)

Esse problema

é

resolvido de modo análogo ao do problema 6 do item 1.14.

I!:?) Calcular J(2,2)

=

B(2,4) x A(4,2) (já calculado no problema 19) 2!:?) Calcular 42,2)

=

J(2,2)x C(2,2)

I!:?) Calcular~4,2) = A(4,2)x G2,2) 2!:?) Calcular N(2,2)

=

B(2,4) x ~4,2)

Esse problema

é

resolvido de modo análogo ao do problema 8 do item 1.14.

I!:?) Calcular~4,4) = A(4,3) x B(3,4) 2!:?) Determinar Et

=

(AB)t

ou:

I!:?) Determinar At(3,4) 2!:?) Determinar B\4,3)

3!:?) Calcular Bt Af

₌

_{(AB)t - Proriedade V da matriz transposta,}

item 1.11.1).

Esse 2!:? roteiro

é

conveniente quando se conhecem as transpostas de A e de B. 24) Roteiro:

25) Roteiro:

26)Roteiro:

'17) f'c()teiro:

I!:?) Calcular AB= E (já calculado no problema 23) 2!:?) Determinar Dt

3!:?) Calcular EDt

=

F

I!:?) Determinar Dt (já determinado na problema 24) 2!:?) Calcular BDt

=

G

3!:?) Calcular AG= H I!:?) Determinar Bt 2!:?) Calcular Bt C

=

J I!:?) Determinar At

2!:?) Determinar Bt (já determinado no problema 26) 3!:?) Calcular At Bt

=

K

28) Aénihilpotente 29) Aénihilpotente 30) Aéidempotente 31) A

é

idempotente 42) Calcular 2 K 52) Detenninar Ct 62) Calcular 3 Ct

=

L

7

2)

Somar 2 K

+

L

Matrizes 25

CAPíTULO

2

DETERMINANTES

2.1 -

CLASSE DE UMA PERMUTAÇÃO

Considere o leitor uma permutação

a c b

dos três elementos a, b, c e seja

a b c,

na qual os elementos estão na ordem alfabética, a permutação principal. Diz-se que dois

elementos de uma permutação formam uma

inversão se estão em ordem inversa à

da

permutação principal.

Assim, na permutação

dada

acb, os elementos c e b fonnarn uma inversão.

Uma permutação é de

classe

par

ou de

classe

fmpar,

conforme apresente um

número par ou ímpar de inversões.

A permutação acb é de classe ímpar.

Determinantes 27

2.2 -

TERMO PRINCIPAL E TERMO SECUNDÁRIO

Dadaumamatriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos eleméntos da diagonal principal dá-se o nome de termo principal, e ao produto dos elementos da diagonal secundária dá-se o nome determo secundário.

• Termoprincipal: a11, a12• al3' '" ,l\m

• Termo secundário:a 1n ' a2 n-l • a3 n-2' ••• , an l

2.3 -

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

Chama-se determinante de uma matriz quadrada

à

soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal

+

ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ÚDpar.

• A utilização da definição e o cálculo de determinantes serão feitos logo após serem dadas algumas informações necessárias para a melhor compreensão do assunto.

• Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Se a matriz é de ordem3,por exemplo, o determinante será de ordem3.

• A representação do determinante de uma matriz A, que será designado por det A, faz-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais:

311 a12 31n 321 322 a2n

detA

=

• Apesar de o determinante deumamatriz quadrada A = [~j]' de ordem n, ser um número real,costuma-se, por comodidade, umavez que aquele número é calculado a partir dos elementos daslinhas e das colunas da matriz, falar nas linhas e nascolunas do determinante.

28 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

2.4 -

PRELIMINARES PARA O CÁLCULO

DOS DETERMINANTES DE 2? E DE 3? ORDEM

Para a correta aplicação da definição de determinante de uma matriz, considerem-se as tabelas constantes dos itens 2.4.1 e 2.4.2.

2.4.1 -

Tabela referente às permutações dos números 1 e 2

o

total de pennutações dos números 1 e 2 é: P2

=

2 !

=

1 x 2

=

2.

Permutação Número de Oasseda Sinal que

principal Permutação inversões permutação precede o produto

12 12 O par

₊

12 21 1 ímpar

-2.4.2 -

Tabela referente às permutações dos números 1, 2 e 3

o

total de pennutações dos números 1,2 e 3

é:

P₃

=

3 !

=

1 x 2 x 3

=

6.

Permutação Número de Oasseda Sinal que

principal Permutação inversões permutação precede o produto 123 123 O par

+

123 132 1 ímpar

-123 312 2 par

+

123 213 1 ímpar

-123 231 2 par

+

123 321 3 ímpar

-Determinantes 29

2.5 -

CÁLCULO DO DETERMINANTE DE

2~

ORDEM

o

determinante de 2!! ordem

é

o que correspondeàmatriz de ordem 2:

o

termo principal é a_u a₁₂ e os segundos índices são 1 e 2. O conjunto {I, 2} admite 2 permutações: 12 e 21, a primeira de classe par e a segunda de classe ímpar. (Ver Tabela, item 2.4.1.) De acordo com a deftnição de determinante, pode-se escrever:

Por comodidade, costuma-se dizer que o determinante de 2!! ordem é igual ao termo principal menos o termo secundário. Exemplos:

1)

2)

\ 7

-51

det A

=

=

7(-1) - (-5)(2)

=

-7

+

10

=

3 2 -1 detI

=

I

~ ~

I

=

1(1) - 0(0)

=

1 - O

=

1

2.6 -

CÁLCULO DO DETERMINANTE DE

3~

ORDEM

30 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

o

tenno principal é alI a22 a33 e os segundos índices são 1, 2 e 3. O conjunto {I, 2, 3} admite seis pennutaçóes: 123, 312, 231, 132, 213 e 321, as três primeiras de classe par e as três últimas de classe ímpar. (Ver Tabela, item 2.4.1) De acordo com a defInição de detenninante, pode-se escrever:

Na prática, obtém-se essa f6nnula de dois modos que serão vistos a seguir.

2.6.1 -

Desenvolvimento do determinante por uma linha

A f6nnula de 2.6 pode ser transfonnada na seguinte:

ou:

isto é, o detenninante da matriz A, de ordem 3, é igual à soma algébrica dos produtos de cada elemento da I!! linha pelo detenninante menor que se obtém suprimindo aI!!linha e a coluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder esses produtos, alternadamente, pelos sinais

+

e -, iniciando pelo sinal

+.

Essa maneira de escrever a f6nnula de 2.6 para calcular um determinânte de 3!! ordem é denominada

desenvolvimentodo determinante pela]i!linlul.Exemplo:

det A

=

~ ~ ~

=

+

21

1

41_ 51

3

41

+

71

3 811

6 8 - 3 8 2 6 2 6

detA

=

2 (2 - 32) - 5 (6 - 24)

+

7 (24 - 6)

=

2 (- 30) - 5 (- 18)

+

7(18)

Determinantes 31

• Um determinante pode ser calculado por qualquer linha (ou por qualquer coluna), cuidando-se da alternância dos sinais

+

e - que precedem os produtos. No caso do determinante de ordem 3, a alternância dos sinais

+

e -, por linha e por coluna,é a seguinte:

+

+

+

+

+

Exemplo: Calcular o mesmo determinante, desenvolveildo-o pela 2!! coluna:

2 5

7

1

3 41

1

2

71·

12

~I

detA= 3 1 4 =-5 +1 -8 6 8 2 6 2 6 2 3 4 detA = -5 (6 - 24) + 1 (4 - 42) - 8 (8 - 21) = -5 (-18) + 1 (-38) - 8 (-13) detA = 90 - 38 + 104 = 156

2.6.2 -

Regra de Sarrus

A fórmula de 2.6 também pode ser obtida pelaRegrade Sarrus, que consiste no seguinte:

I!'?) repetem-se as duas primeiras colunasà direita do quadro dos elementos da

matrizA;

2!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal principal bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produ-tos do sinal

+;

3!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal secundária bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal-o Assim:

32 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares Exemplo: Calcular 2 5 7 detA 3 1 4 6 8 2 Solução: det A

=

+

4

+

120

+

168 - 30 - 64 - 42

=

156

2.7 -

DESENVOLVIMENTO DE UM DETERMINANTE

DE ORDEM

n

POR UMA LINHA OU POR

UMA COLUNA

Se se repetir o raciocínio e o roteiro do cálculo de um determinante de 3!! ordem para um determinante de 4!! ordem, por exemplo, se chegará

à

conclusão de que esse determinante poderá ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna, devendo-se ter cuidado com a alternância dos sinais

+

e - que precedem os produtos, alternância essa que, para o determinante de 4!! ordem,

é

a seguinte:

+

+

+

+

+

+

Derenninanres 33

Exemplo: Calcular, desenvolvendo pela I!! linha:

detA -2 -3 -1 -2 -1 O 1 -2 -3 -1 -4 1 -2 2 -3 -1 Solução: O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1 detA = + (-2) -1 -4 1 - (-3) -3 -4 1 + (-1) -3 -1 1 - (-2) -3 -1 -4 2 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 2 2 -3 O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1 det A =-2 -1 -4 1 +3 -3 -4 1 -1 -3 -1 1 +2 -3 -1 -4 (1) 2 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 -2 2 -3 Fazendo: O 1 -2 =+01-4 1 1_ 1

l-I

11

l-I

~I

detB = -1 -4 1 + (-2) 2 -3 -1 -3 -1 2 -1 2 det B = 0(4 + 3) - 1(1 - 2) - 2(3 + 8) = 0(7) - 1(-1) - 2(11) det B = O+ 1 - 22 = - 21 det C =

~~ -~ -~

= + (-1)

1-

4 11_ 1

1-

3 11 + (':'2)

1-

3 -41 -3 -1 -2 -1 -2 -3 -2 -3 -1 det C = - 1 (4 + 3) - 1 (3 + 2) - 2 (9 - 8) = -1(7) - 1(5) - 2(1) det C

= -

7 - 5 - 2

= -

14 -1 O -2

l-I

11 1-3 11 1-3 -11 det D = -3 -1 1 =

+

(-1) 2 - O

+

(-2) -1 -2 -1 -2 2 . -2 2 -1 det D = - 1 (1 -2) - 0(3 + 2) - 2(-6-2) = - 1(-1) - 0(5) - 2(-8)

34 Matrizes, Detenninantes e SistemasdeEquações Lineares det D = 1 - 0+ 16 = 17 -1 O 1

l-I

-41

1-:; -41

1-

3 -1\ detE= -3 -1

-4

= +(':'1) 2 O + 1 -3 - -2 -3 -2 2 -2 2 -3 det E = -1 (3 + 8) - 0(9 - 8) + 1 (-6 -2) = -1(11) - 0(1) +1(-8) det E = - 11 - 0-8 = - 19

Substituindo det B, det C, det D e det E em (1), vem:

detA = - 2(-21) + 3(-14) -1(17) + 2(-19) = 42 - 42 -17 - 38 detA = -55

• Igualmente se pode calcular um determinante de ordem n = 5,6, 7, 8, 10, 50, etc., desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo por meio do qual se calcula um determinante de4~ ordem. Entretanto, esse processo, por envolver um número excessivamente elevado de operações, torna-se quase impraticável. Por isso, no item 2.9 será visto um processo em que, apesar de conter ainda um número elevado de operações, esse número

é

sensivelmente menor do que o do desenvolvimento do determi-nante por uma linha ou por uma coluna.

• Para se ter uma idéia do número elevado de operações que devem ser feitas no cálculo de um determinante de ordem n ~ 3 pelo processo de desenvolvê-Io por uma linha ou por uma coluna, basta considerar o número de determinantes de ordem 2 que devem ser calculad9s nesse processo. Assim, o cálculo de um determinante:

a) de ordem 3, implica calcular 3 determinantes de ordem 2;

b) de ordem 4, implica calcular 4 x 3 = 12 determinantes de ordem 2;

c) de ordem 5, implica calcular 5 x 4 x 3= 60 determinantes de ordem 2:

ti) de ordem 6, implica calcular 6 x 5 x 4 x 3= 360 determinantes de ordem 2;

e) de ordem 10, implica calcular 10 x 9 x 8 x 7 x· 6 x 5 x 4 x 3= 1.814.400 determinantes de ordem 2.

• Quando n ~ 4,

é

muito natural que enganos sejam cometidos e que, portanto, o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante. Por essa razão (e mesmo que o

Determinantes 35

processo a ser visto em 2.9 seja menos trabalhoso), atualmente se calcula um detenninante por computador, por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado.

2.8 -

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Dentre as diversas propriedades dos detenninantes serão relacionadas, a seguir,_ aquelas que, de uma forma ou de outra, dizem mais de perto com o cálculo dos detenninantes de qualquer ordem ou com as propriedades dos vetores. Essas propriedades não serão demonstradas mas tão-somente verificadas por meio de exemplos; por outra parte, sempre que for necessário calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha, isso será feito, por comodidade, pela I!linha,salvo menção expressa em contrário.

I) O detenninante de uma matriz A

é

igual ao detenninante da sua transposta At, isto

é,

det A = At•Exemplo:

[~ ~]

~ ~

I

=

2(3) - 5(7)

=

6 - 35

=

-29

• Como conseqüência dessa propriedade, tudo que for válido para as linhas de um detenninante

é

válido para as colunas e reciprocamente.

m

Se a matrizA possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o detenninante

é

nulo. Exemplo:

ll) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o determinante

é

nulo. Exemplo:

36 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

det A

=

5 (18 - 4) - 5 (18 - 4) + 2 (12 - 12)

=

5(14) - 5(14)+ 2(0)

det A

=

70 - 70

+

O

=

O

IV) Se na matriz A ~uas linhas têm seus elementos correspondentes proporcionais, o determinanteé nulo. (Numa matriz A, dois elementos são corresponden-tes quando, situados em colunas diferencorresponden-tes, estão na mesma linha ou quando, situados em linhas diferentes, estão na mesma coluna. Exemplo:

det A

=

I

~

:I

=

2(9) - 6(3)

=

18 - 18

=

O

Nesse determinante, os elementos correspondentes das duas colunas são proporcionais:

6 2

9

3 3

V) O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:

Os dois últimos determinantes, por terem uma coluna com elementos todos nulos, são nulos (II propriedade); logo:

det A

=

41

~ ~

I

=

4«(1)(2) - 3(0»

=

4(1)(2) - O detA=4xlx2

• Como conseqüência dessa propriedade:

a) o determinante de uma matriz diagonal (por ser ao mesmo tempo diagonal superior e inferior)é igual ao produto dos elementosdadiagonal principal;

Determinantes 37

b) O detenninante de uma matriz unidade I, de qualquer ordem (por ser uma matriz diagonal e todos os elementos dessa diagonal serem iguais a 1),

é

igual a 1. Exemplos: 1 O O 5 O O detD = O 2 O = 5 x 2 x 7; det~ O 1 O = l x l x ... xl=1 O O 7 O O 1

VI) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz A, o detenninante muda de sinal, isto

é,

fica multiplicado por -1. Exemplo:

det A =

~ ~

52 =

+

1

lo

21_ 3

lo

21

+

5

1

00 40

I

O 4 12 4 12 O 12 det A = 1(O - 8) - 3(0)

+

5(0) = - 8 - O

+

O= - 8 1 3 5 O 4 12 O O 2

de acordo com a propriedade V.

lx4x2=8

Como se vê, ao serem trocadas entre si, a 2!! linha pela 3!! da matriz A, o det A ficou multiplicado por -1, isto

é,

seu valor foi alterado. Para que se mantenha o valor do det A, no caso de haver necessidade de trocar entre si duas linhas (ou colunas), se procederá do seguinte modo:

1 3 5 1 3 5

detA = O O 2 = - 1 O 4 12

O 4 12 O O 2

Na realidade, tendo em vista que o det A foi multiplicado por -1, ele, para manter seu valor, deveria ser dividido por -1 (ou multiplicado pelo inverso de -1, no caso

38 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

• Quando se desejar trocar, por exemplo, a 2! linha pela 3! de umamatrizA

parafacilitar o cálculo de seu determinante, se escreverá assim:

T

135

det A

=

O O 2 -+~3: O 4 12

135

det A

= -

1 O 4 12 O O 2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, não for conveniente haver o número zero na diagonal principal: a trocada 2! linha pela 3! tirou o zerodadiagonal principal e colocou em seu lugar o número 4.

Vll) Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma

linha (ou coluna) de uma matriz A. o determinante fica multiplicado por esse número. Exemplo:

Na propriedade VI viu-se que: 1 3 5

det AI

=

O 4 12

=

8

O O 2

Suponha o leitor que se deseje multiplicar a 2! linha por

-+

(o que

é

o mesmo que dividir os elementosdalinha por 4) e calcular o valor do detA

_z

obtido:

detA

_{z =}

~ ~ ~

=

+

111 31_ 31

O

31

+

51

O

~

I

0 0 2 0 2 0 2 O

det A

_z

= 1(2 - O) - 3(0)

+

5(0)= 2 - O

+

O detAz

=

2

Determinantes 39

• Como se

vê~.o

det Ai ficou multiplicado por -{- ao se multiplicar os elemen-tosda2! linha por -{- , uma vez que:

1

det~

=

2

=

(det Ai) x

"4

8 x -1

4'

isto

é,

o valor de det Ai' foi alterado. Para que se mantenha o valor do det Ai' no caso de haver necessidade de multiplicar a 2! linha por -{- , se procederá do seguinte modo:

1 3 5 O 4 12 O O 2 1 3 5

=

4 O 1 3 O O 2

Repetindo o que já foi dito, multiplicar os elementos de uma linha por

+-

é

o mesmo que dividir os elementos dalinha por 4 (ou, o mesmo que dividir o determinante por 4). Daí, porque, para compensar, isto

é,

para que o determinante mantenha seu valor,

é

necessário multiplicá-lo pelo inverso de

~

,ou seja, por 4•

• Quando se desejar multiplicar, por exemplo, a 2! linha de uma matriz A por

+

para facilitar o cálculo de seu determinante se escreverá assim:

1 3 5 det Ai

=

O 4 12 O O 2 1 3 5 detAi

=

4 O 1 3 O O 2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar obter o número 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicação do número 4, que estava na 2! linha como elemento dadiagonal principal, por

~

, colocou o número 1 no seu lugar.

40 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

Se se desejar obter o número 1 em lugar do número 2 no det A_2, basta multiplicar a 3! linha por -}- e fazer a respectiva compensação multiplicando det A₂ pelo inverso de

1

.

,

2

T '

Isto e, por :

,

.~ 1 3 5 det A₂

=

O 1 3 1 O O 2 --+2"L_3: 1 3 5 det A₂

=

2 O 1 3 O O 1

• Recapitulando todas as operações feitas até agora com o det A da proprieda-de VI, tem-se: 1 3 5 1 3 5 det A = O O 2 --+ L_{23 :} det A =-1 O 4 12 --+

4'

1L2: O 4 12 O O 2 1 3 5 1 3 5 det A = -1 x 4 O 1 3 det A = -1 x 4 x 2 O 1 3 O O 2 --+2'L1 3: O O 1

Tendo em vista que, pela propriedade V, o determinante de uma matriz triangular superior

é

igual ao termo principal e, como no último determinante, o termo principal

é

igual a 1 (T

=

1 x 1 x 1), vem:

det A = -1 x 4 x 2 x 1= -8

valor esse que já foi encontrado ao calcular det A no exemplo da propriedade VI.

VIII) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Exemplo:

1 2 4 110 121 14 121 14 101

det A

=:

1~ 1~

=

+

1 7 9 - 2 5 9

+

4 5 7

det A = 1 (90 - 84) - 2 (36 - 60)

+

4 (28 - 50) = 1(6) - 2(':'24)

+

4(-22) det A

=

6

+

48 - 88

= -

34

Determinantes 41

Pretende-se, agora, substituir· a 2!! linha do det A pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes da I!! linha previamente multiplicados por - 4:

2!! linha: 4 10 12 I!! linha: 1 2 4 Multiplicador: -4 -4 -8 -16 Nova 2!! linha O 2 -4 detAI

~ ~ ~ ~ ~

1

I~ ~1-21~ ~I +41~ ~I

det AI = 1(18

+

28) - 2(O

+

20)

+

4(O - 10) = 1(46) - 2(20)

+

4(-10) det AI = 46 - 40 - 40 = - 34

• Como se vê, det AI = de A, isto

é,

a utilização da propriedade VIII não altera o valor do determinante de uma matriz.

• Quando se desejar somar, por exemplo, os elementos da 2!! linha com os correspondentes elementos da I!! linha, previamente multiplicados por

-4,

se escreverá

assim: 1 2 4 detA = 4 10 12 ... ~-4LI: 5 7 9 1 2 4 detA= O 2 -4 5 7 9

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu agora, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar o número "zero" para formar uma matriz triangular. Para facilitar a obtenção do zero

é

que se utiliza a propriedade VIT, isto

é,

se

faz a operação adequada para substituir o número que está na diagonal principal pelo número 1; e

é

isso que se verá no próximo item.

42 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

2.9 -

CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE

QUALQUER ORDEM

Para calcular o detenninante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para n ;;. 2, isto é, n = 5,6, 10,20,50, 100, etc.) será utilizado o processo de triangulação.

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se procederão com as linhas (colunas) de seu detenninante as operações adequadas para transformar a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão com o det A as necessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos detenninantes já vistas e verificadas.

Antes de dar um exemplo, uma explicação se faz necessária ao leitor: o ideal seria calcular um detenninante de ordem elevada, mas, no caso, o cálculo se tomaria demorado e repetitivo, porque, como já se teve oportunidade de verificar, o processo para obter o número zeroé sempre o mesmo, assim como o processo para se obter o número 1, na diagonal principal, também é sempre o mesmo. Por isso, o exemplo a ser dado será o de um detenninante de 4~ ordem, embora, repetindo, o processo de triangulação seja válido para o cálculo de um detenninante de qualquer ordem. Por outro lado, é preciso declarar que o cálculo de detenninantes de ordem muito grande só foi possível a partir do uso dos computadores que, em geral, com algumas variações, utilizam o processo de triangulação. Dada a explicação ao leitor, convém ainda dizer que, por comodidade, facilidade nos cálculos e por ser bastante prático, para executar o processo de triangulação procura-se colocar, por meiodas operações adequadas (e das respectivas compensações quando for o caso), como elementos da diagonal principal, exceto o último, o número 1.

Obtido o número 1 na 1~ linha e 1~ coluna, isto ~, alI

=

1, substituem-se por meio das operações competentes todos os demais elementos da 1~ coluna por zeros; da mesma forma, depois de obter ~2

=

1, substituem-se os demais elementos da2~coluna, situados abaixo (acima) de ~2 por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, três hipóteses podem ocorrer:

1~) o elemento é igual a zero. Nesse caso, deve-se proceder à operação de troca de linhas e multiplicar o det A por -1, como compensação, isto é, para que det A conserve seu valor;

2~) o elemento é igual a

k.

Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da linha por

+'

com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal

Determinantes 43

dessa linha. Por outro lado, para compensar, isto

é,

para que det A mantenha seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inverso de

+'

ou seja, por k;

3!!) o elemento

é

igual a 1. Nesse caso, nada a 'fazer no que diz respeito à

diagonal principal.

Exemplo: Calcular pelo processo de triangulação:

detA -2 -3 -1 -2 -1 O 1 -2 -3 -1 -4 1 -2 2 -3 -1 detA =-2 1 3 1 1

2'2

O 3 3 -1 2 2 O 7 5 4 2 2 O 5 -2 1 1 3 1 1 2 2 detA =-2 -1 O 1 -2 -+L2

+

LI: -3 -1 -4 1 -+L₃

+

3L_1: -2 2 -3 -1 -+L₄

+

2L_1: 1 3 1 1 2 2 O 1 1 2 3 3 det A = -2

(-T

O 7 5 4 7

- - -

-+ _L 3 -"2~: 2 2 O 5 -2 1 -+ _L 4 - 5~:

44 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 1 3 1 1 1 3 1 1

---

-2 2 2 2 O 1 1 2 O 1 1 2 3 ₃ 3 ₃ detA = -2 ("'!") detA = -2 (2)(-6) O O -6 19 ₁ O O 1 .19 3 -+

'6

L3: 18 O O -7 13 O O -7 13 L4+7~:

-

- -+ 3 3 1 3 1 1

- -

_{2 2} O 1 1 2 3 3 ·detA= -2(2)(-6) O O 1 19 18 O O O 55 18

masOdeterminante de umamatriztriangular superior

é

igual ao termo principal:

55 55

T_j

=

1 x 1 x 1(-IS)

=

-18

logo:

3 55 55

det A = -2 ('2)(-6)(-IS) = 18 (-18) = -55

Esse determinante já foi calculado no exemplo do item 2.7 e, como era de esperar, o resultado foi o mesmo.

Determinantes 45

2.10 -

PROBLEMAS RESOLVI DOS

Assim como foi feito em 2.8, sempre que for necessano calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha, isso será feito, por comodidade, pela 1~ linha.

Nos problemas 1 a 4, resolver as equações:

1) x-2 x+3 3-1 2 1 3 =60 3 2 1 Solução: + (x - 2) 1 3 - (x + 3) 2 3 + (x -1) 2 1 2 1 3 1 3 2 (x - 2)(1 - 6) - (x + 3)(2 - 9) + (x - 1)(4 - 3) = 60 (x - 2)(-5) - (x + 3)(-7) + (x - 1)(1) = 60 - 5x + 10 + 7x + 21 + x-I = 60 3x = 60-10-21 + 1 3x = 30 30 x

=

3

10

2)

3 2 x 1 -2 x 8 2 -1 x Solução: +

31~~

:1-

21~

:1

+ x

I~ ~~I

= 8 60

46 Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares 3 (-2x + x)-2 (x-2x) + x (-1 + 4)

=

8 3 (-x) - 2 (-x) + x(3) = 8 - 3x + 2 x + 3x

=

8 2x

=

8 8 x

=

2"

4 3) Solução: 10 1 7-x

o

(8 - x)(7 - x) - 10 (2)

=

O 56-8x-7x + x2_-20

₌

_O x2 - 15x + 36

=

O,

equação cujas raízes são xl = 12 e x2= 3

4)

Solução: 3-x -1 1 -1 5-x -1 1 -1 3-x O 1 5 - x -1 I (3-x) -1 3- x - (-1)

l

-I -11+11-1 5-x

l=0

1 3 - x 1 - 1 (3 - x) (15 - 8x + x2 - 1) + 1 (-3 + x + 1) + 1(1-5 + x) = O 45 - 24x + 3x2 - 3 - 15x + 8x2 - x3 + x - 3 + x + 1 + 1 - 5 + x

=

O - x3 _{+ llx2 - 36x + 36}

₌

_O x3_{_11x}2 _{+ 36x-36}

₌

_O

Na equação do 3!? grau, as soluções inteiras, caso existam, são divisoras do tenno independente - 36. Com as devidas substituições na equação acima, verifica-se que

Determinantes 47

x

=

2

é

uma delas. Conseqüentemente,

x-

2

é

um fator do polinômio

x3-llx

2

₊

_{36x - 36.}

Dividindo o polinômio por (x - 2) a equação poderá ser representada assim:

(x-2) (x2_-9x

₊

₁₈₎

₌

_O

(x - 2) (x - 3) (x - 6)

=

O

As raízes dessa equação são:

xl =

2,

x

₂

= 3

e

x3 = 6.

2.11 -

PROBLEMAS PROPOSTOS

Dadas as matrizes:

[

3 4 1]

~4

A

=

-5 -2 -9 B

=

3 7 8 6, 7

-~ ~Jec=[~

:

1~1

2 -4 -1 -2

-;j,

calcular, pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento por uma linha (ou coluna): 1) det A 2) detB 3) detC 4) det (A +B) 5) det (A-B) 6) det (2A - 3b

+

4C) 7) det (BC)

14) Calcular o determinante da matriz:

A

=

[~ ~ ~ -~]

1 -1 1 -2 4 -3 5 1 8) det (ACt ) 9) det (CB)A 10) det C(BA) 11) det B(CA)

12) Verificar se det (A +B)

=

det A + det B 13) Verificar se det (AB)

=

det A x det B

a) Desenvolvendo-o pela 2!! linha.

9) Roteiro: 12)Calcular CB

=

L 22)Calcular LA

=

M 32) Calcular det M 11) Roteiro: 12)Calcular CA= P 22)Calcular BP

=

Q

32) Calcular det

Q

48 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares Nos problemas 15 a 24, resolver as equações dadas.

15) 4 6 x 16) 3 5 7 5 2 -x =-128 2x x 3x 39 -7 4 2x 4 6 7 17) 5 1 3 18) x+3 x+1 x'+4 3x O 1 100 4 5 3 =-7 7x 2 1 9 10 7 19) 12-x 1 1 20) 1 O x-I 18-2x 3 2 = 10 1 1 x-2 O 15-2x O 1 2 1 x-4 21) 2 x 2 22) 2 6 2 1 1 x =-3 4 x 2 O 1 1 6 2x 8 4 23) 11().X

l~xl

_{= O} 24) 7-x -2 O 10 -2 6-x -2 =0 O -2 5-x

2.11.1 -

Respostas ou roteiros para os problemas propostos

1 a 3) Roteiro: Esses problemas

são

resolvidos de modo análogo ao dos exemplos do item 2.6.1 ou do exemplo do item 2.9.

4) Roteiro: 12)Calcular A

+

B

=

E 5) Roteiro: 12)Calcular A - B

=

F 22) Calcular det E 22) Calcular det F 6) Roteiro: 12) Fazer G

=

2A - 3B

+

4C 7) Roteiro: 12)Calcular BC

=

H

22) Calcular G 22) Calcular det H

32)Calcular det G 8) Roteiro: 12)

Determinar

Ct 22)Calcular ACt_{= J} 32) Calcular detJ 10) Roteiro: 12) Calcular BA= N 22) Calcular CN

=

M 32) Calcular det M

Detenninantes 49

12) Roteiro: 12)Calcular det A 13) Roteiro: 12)Calcular det A 22)Calcular det B 22)Calcular det B

32)Calcular A

+

B 32)Calcular AB

42)Calcular det (A

+

B) 42)Calcular det (AB) 52)Calcular det A

+

det B 52)Calcular det A x det B 62)Comparar det (A

+

B) 62)Comparar det (AB)

com det A

+

det B com det A x det B

14) Roteiro: As alíneas a) e b) desse problema são resolvidas de modo análogo ao dos exemplos dos itens 2.7 e 2.9 respectivamente.

15)

x

= 2 16)

x

= 3

17) x = 5 18) x = 1

19)x=7 2O)x=-1

21) x = 5 e x = 3 22) x = 4

CAPíTULO

_-

3

INVERSAO DE MATRIZES

3.1 -

MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça

à

condição:

AB

=

BA

=

I

diz"7se que Béinversade A e se representa por A-I:

AA-l

=

A-IA

=

I

• Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A é invers{vel.

Exemplo: dadas as matrizes

A -

r

8

5l

e B

_I

7

-5l

~1 ~

~11 ~,

Aéinversa de B (ou Béinversa de A). De fato:

InversãodeMatrizes 51

3.2 -

MATRIZ SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é nulo é uma matriz singular.

Exemplo: a matriz

ésingular porque det A

=

O:

detA = + 1

[~

:] - 4

~

:] + 7

[~ ~]

= 1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15)

det A ~ 1 (-3) - 4 (~6) + 7 (-3) = -3 x 24 - 21 = O • A matriz singularnãotem inversa.

3.3 -

MATRIZ NÃO-SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não-singularouregular.Exemplo: a matriz

énão singular porque det A-:;6 O:

detA=+2[~ ~J-3[~ ~J+l~ ~J

=2'(6-2)-3{15-6)+1(5-6) r det A = 2(4) - 3(9) + 1(-1) = 8 - 27 - 1 = -20

52 Matrizes, Determinantes e SistemasdeEquações Lineares

3.4 -

PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA

I) (A-l)-l

=

A.

II) A matriz unidade é a sua própria inversa: I

=

I-I.

Se

A

e

B

são

matrizes quadradas, de mesma ordem, tem-se:

IV) (A

+

B)-l

=

A-l

+

B-l. V) (AB)-l = B-lA-l.

Esta propriedade será verificada por meio do seguinte exemplo:

a)

Dadas

as

matrizes

A

= [:

~

]

e C

=

[~

-:] ,

a

matrizC

é inversa de

A: AC

=

IS Sll2 -51

=

11

O

l

l3

~l:3

sj

Lo

lj,

isto é,

A-l =

C.

b)

Dadas

as

matrizes

B

=

~

j

e F

= [: -

~,

a matriz F é inversa de B:

BF

=

r

9

7l

r

4 -

il

=

11

ol

l?

4j

~s

9J

Lo

lj,

InversãodeMatrizes 53

isto

é,

B-l = F.

c)OprodutodasmatrizesAeB

é:

AB

=

~ ~] ~ ~

=

~~ ~~]

ti)OprodutodasmatrizesB-leA-I

é:

B-!A-!

=

h~ -~

hi

-~

=

hi~ -~

e)O produto das matrizes AB e B-1A-1

é:

-1 -1 _

f97 761

r29

-761_

rI

(AB) x

(B A ) -

~7 2~

l:37

9~

-

~

Tendo em vista que o produto das matrizes AB e B-IA-l

é

igual a

I,

amatriz

B-IA-l

é

inversadamatriz AB: (AB)-1

=

B-IA-l

3.5 -

OPERAçõES ELEMENTARES

Denominam-se operações elementares de uma matriz as seguintes: I) Permutação de duaslinhas(colunas).

fi) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (coluna) por um número

realdiferente de zero.

ill) Substituição dos elementos de

uma

linha (coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um númerorealdiferente de zero.

54 Matrizes, Detenninantes e SistemasdeEquações Lineares

3.6 -

EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES

Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, éequivalenteà matriz A, e se representa por B - A, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão fInita de operações elementares.

Com relação às operações elementares para transformar uma matriz em outra equivalente a ela, convém ter presente o seguinte:

a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a 2!! linha pela 3!! de uma matriz A, se procederá assim:

~

1 3 A

=

O O O 4

~

1

3

~

AI

=

O 4 15 O O 2

b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da 2!! linha, por exemplo,

da matrIz. A I ,I por

"4 '

se escrevera assnn:.

~

3

5~

A_z

=

O 1 3

O O 2

c) Quando se desejar substituir os elementos da I!! linha, por exemplo, da matriz Az, pela soma deles com os elementos correspondentes da 2!! linha previamente multiplicados por -3, se escreve assim:

[

1 O

-4~

A₃

=

O 1 3

O O 2

• Recapitulando as operações elementares que foram efetuadas com a matriz A até obter a matriz equivalente A_3, verifIca-se que:

. I) A operação L_Z3 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal e poder colocar em seu lugar, após adequada operação, o número 1.