Ondas electromagnéticas planas

(1)

Faculdade de Engenharia

Ondas electromagnéticas planas

http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif OE – MIEEC 2014/2015

(2)

teor. da divergência

teor. de Stokes

Relembrando – equações de Maxwell

lei de Gauss lei de Ampére lei de Faraday forma diferencial

t

B

E













v

D











t

D

J

H













0 



 B



s

d

t

B

l

d

E

S C













_



s

d

t

D

I

l

d

H

S C













_



int int

Q

s

d

D

S









0 





S

s

d

B



forma integral nota

(3)

Relembrando – condições fronteira

É possível mostrar-se (ver Cheng) que as condições fronteira obtidas para os casos estacionários continuam válidas para campos electromagnéticos variáveis no tempo.









t

E

₁



₂

notas

1. campos electromagnéticos são nulos no interior de condutores ideais





s n

H

J

u

ˆ





₁





₂









s n

D

u

ˆ





₁





₂





n n

B

₁



₂ meio 1





₁,



₁



meio 2





₂,



₂



n uˆ

(4)

Relembrando – equações de Maxwell em meios LHI sem cargas e

sem perdas

E

D









t B E         v D



   t D J H          0    B t H E        







_v E     t E J H         



0    H Nota: em meios condutores J 



E

H

B









t H E        



0    E t E H       



0    H meios LHI

0 

v



0 ,

J







meios sem cargas e sem perdas

(5)

Relembrando – equações de onda em meios LHI sem cargas e

sem perdas

t H E          t E H         0    H





_                t E H  





E



t      







2₂ t H H          







X

 

X



2X   2 2 2 t H H      





0    E 0    H 2 2 2 t H H      





2 2 2 t E E      





equações de onda t H E         

(6)

Relembrando – equação de onda em meios sem cargas e sem

perdas

2 2 2 t H H      





2 2 2 t E E         2 2 2 t E E      





em coordenadas cartesianas 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f           2 2 2 2 2 2 2 z X y X x X X               2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E               





2 2 2 2 2 2 2 2 t H z H y H x H               





2 2 2 t H H        

(7)

Relembrando – equação de onda e velocidade de fase





1  f v m/s no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0        









m/s 10 3 1 ₈ 0 0    





c v_f velocidade depende do meio

2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E               





2 2 2 2 2 2 2 2 t H z H y H x H               





Equação de onda

 

2 2 2 2 2

,

1 ,

t

x

u

v

x

t

x

u







(8)

Relembrando – equações de Maxwell para campos harmónicos

em meios LHI sem cargas e sem perdas

t H E         

0 



 E



t

E

H













0 



 B



notação fasorial meios LHI (, )

sem cargas e sem perdas H j E     

0 



 E



E

j

H















0 



 B



(9)

Equações de Helmholtz

2 2 2 t H H      





2 2 2 t E E      





0 2 2    E







E em notação fasorial

 

_j _X

_{ }

_r t t r X   



   , 0 2 2    H







H 0 2 2    E k E 0 2 2    H k H equações de Helmholtz

 



j



X

 

r t t r X  2   2 2 ,



  

 

r X  2



 

equações de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota kv 



soluções harmónicas  











v k

(10)

Ondas electromagnéticas planas – campo eléctrico

0 2 2 2   _x x _k _E dz E d seja

_{ }

z z y y x x z u E z u E z u E ˆ  ˆ  ˆ  0    E solução geral k j r k r2  2 0 

 

z E E   0 2 2    E k E

 

0          z z E y z E x z Ex y _z _E

 

_z __const. z Ez

 

z 0 z u E  ˆ

por exemplo, seja

 

_x x z u E E_ ˆ

 

x x z u E E  ˆ (lei de Gauss)





x jkz jkz

u

e

E

e

E





₀ 



₀

ˆ

(11)

Ondas electromagnéticas planas – significado





x jkz jkz

u

e

E

e

E





₀ 



₀

ˆ

 



j t



Ie

t

i



Re



 

z

t

E



t

kz



u

x

E



t

kz



u

x

E



,



₀

cos





ˆ



₀

cos





ˆ

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes  amplitude é constante nos planos de fase constante

ondas planas  fase é constante em planos perpendiculares à direcção de propagação

fase e amplitude constantes nos planos z = const.

onda plana uniforme que se propaga segundo z

(12)

Ondas electromagnéticas planas – campo magnético

 

x x z u E E  ˆ jkz jkz x

E

e

E

e

E



₀ 



₀ ?  H 0               H E E j J H H j E            E j H     0 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 jkz jkz z y x e E e E z y x u u u j H             





y jkz jkz u e E e E z j ˆ 0 0 _               y jkz jkz u e E k e E k ˆ 0 0                  k y jkz jkz u e E e E H 1 ₀ 1 ₀ _ˆ                 

(13)

Ondas electromagnéticas planas – impedância intrínseca





x jkz jkz

u

e

E

e

E





₀ 



₀

ˆ

y jkz jkz u e E e E H 1 ₀ 1 ₀ _ˆ               

  é a impedância intrínseca do meio

no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0        









      120 377 0 0 0









(14)

Ondas electromagnéticas transversais





x jkz jkz

u

e

E

e

E





₀ 



₀

ˆ

y jkz jkz u e E e E H 1 ₀ 1 ₀ _ˆ              direcção de propagação:

z

H

E



e



são perpendiculares entre si e ambos são

perpendiculares à direcção de propagação

ondas electromagnéticas transversais

(15)

Ondas electromagnéticas transversais

E H de onda EM

(16)

Ondas TEM – propagação numa direcção arbitrária





e z k y k x k j

p

e

E

x y z

_ˆ

0   





versor que indica direcção do vector campo eléctrico (polarização) seja     k 0 2 2    E k E



2  2  2



 2 0  k_x k_y k_z E k E kx2 ky2 kz2 



2





z z y y x xu k u k u k k  ˆ  ˆ  ˆ k ˆa_n  componentes de um vector com valor absoluto

z y x k k k , e







 k e r a jk

p

e

E

ˆn

ˆ

0 



 





vector segundo direcção de propagação

n

(17)

Ondas TEM – planos de fase constante

planos de fase constante:

e r a jk

p

e

E

ˆn

ˆ

0 



 



const. ˆ  r  a k _n  _a_ˆ _{ r} __const. n  _{equação de planos} perpendiculares a aˆ_n y x z P n aˆ r

projecção de na direcção de r aˆ_n

plano de fase constante e amplitude uniforme

(18)

Ondas TEM – direcção do vector campo eléctrico

e r a jk

p

e

E

ˆn

ˆ

0 



_ _



0    E





0 ˆ

ˆ 0







  e r a jk

p

e

E

n 



ˆ



ˆ 0 0     e r a jk p e E n  e n r a jk p a e jkE ˆn ˆ ˆ 0      0  0 ˆ ˆ_n p_e  a E é perpendicular à direcção de propagação!



f X



 f X X f     





j



k x k y k z



z y x r a jk _n x y z

e

u

z

u

y

u

x

e

 

_

  

























ˆ 

ˆ





jka r z z y y x x n

e

u

k

u

k

u

k

j

  







ˆ

ˆ r a jk n r a jk _n _n e a jk e k j            ˆ ˆ ˆ

(19)

Ondas TEM – campo magnético

e r a jk p e E E ˆn ˆ 0   _ _  H é perpendicular à direcção de propagação e a E j H    



a E



H  1 ˆ_n 



E



f X



 f X f X  



e



r a jk p e jE H 0 ˆn _ˆ   _ _    





e r a jk p e jE H _ 0 _  ˆn _ _ˆ   





n r a jk r a jk a jke e ˆn ˆn _ˆ          importante: H  1



aˆ_nE







a H



E 



ˆ_n 

(20)

Exercício

(21)

Polarização de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo

+z

E



direcção de polarização fixa

x

e

E





₀ jkz

ˆ

se onda polarizada LINEARMENTE segundo

xˆ

 

z t E



t k z



x

E ,  ₀cos   ˆ

direcção de  indica a POLARIZAÇÃO da onda

z

E





ˆ

CASO GERAL onde

y

e

E

x

e

E





_x₀ jkz

ˆ



_y₀ jkz

ˆ

2 1 2 0 1 0   j y j x

e

A

E

e

A

E



são complexos 0 0

,

y x

E

   

y

e

A

x

e

A

E

j 1 kz

ˆ

j 2 kz

ˆ

2 1  





 



(22)

Faculdade de Engenharia pˆ 1 A 2 A x y 1 2 1 tan A A   

Polarização de ondas planas – polarização linear

    y z k j x z k j

u

e

A

u

e

A

E

1

ˆ

2

ˆ

2 1  





 



 



j t



Ve t v Re 

 

z

t

A



t

k

z



u

_x

A



t

k

z



u

_y

E



,



₁

cos









₁

ˆ



₂

cos









₂

ˆ

casos particulares 1.

A

₂



0 E

 

z

,

t



A

1

cos





t



k

z





1



u

ˆ

x



polarização segundo

uˆ

_x 2.

A

₁



0 E

 

z

,

t



A

₂

cos





t



k

z





₂



u

ˆ

_y polarização segundo

uˆ

y



3.

A



2 1 2 1



E

 

z,t  Acos





tkz







uˆ_x uˆ_y



 A₀cos





tk z





pˆ segundo

pˆ

A A₀  2 onde 2 ˆ ˆ ˆ ux uy p  pˆ 1 1 x º 45 y 4. 2 1 2 1

A

A 





E

 

z,t cos





t kz 







A₁uˆ_x  A₂uˆ_y



_A _cos

_

_t _k _z

_

_p_ˆ 0     segundo

pˆ

2 2 A A A   pˆ  A1uˆx  A2uˆy onde e e

(23)

Polarização de ondas planas – polarização circular direita

 

z

t

A



t

k

z



x

A



t

k

z



y

E



,



₁

cos









₁

ˆ



₂

cos









₂

ˆ

A







2 1 2 1

2

0 



polarização circular

 

z

t

A



t

k

z



x

A

t

k

z

y

E

ˆ

2 cos

ˆ

cos

,



























A

x

y



t

k

z



x

A



t

k

z



y

A

cos



ˆ



sin



ˆ







t



A



t



x

A



t



y

E



0 ,

₁



cos



₁

ˆ



sin



₁

ˆ





A

x

E



0 ,

0 

ˆ



t



A



t



x

A



t



y

E



0 ,

₂



cos



₂

ˆ



sin



₂

ˆ

 

t

A

 

t

x

A

 

t

y

E



0 ,



cos



ˆ



sin



ˆ

regra da mão direita  polegar aponta no sentido de propagação

dedos indicam direcção de

_{E ,}



 

₀

_t

(24)

Polarização de ondas planas – polarização circular esquerda

 

z

t

A



t

k

z



x

A



t

k

z



y

E



,



₁

cos









₁

ˆ



₂

cos









₂

ˆ

A







2 1 2 1

2

0 



polarização circular

 

z

t

A



t

k

z



x

A

t

k

z

y

E

ˆ

2 cos

ˆ

cos

,





























A

x

y



t

k

z



x

A



t

k

z



y

A

cos



ˆ



sin



ˆ







t



A



t



x

A



t



y

E



0 ,

₁



cos



₁

ˆ



sin



₁

ˆ





A

x

E



0 ,

0 

ˆ



t



A



t



x

A



t



y

E



0 ,

₂



cos



₂

ˆ



sin



₂

ˆ

 

t

A

 

t

x

A

 

t

y

E



0 ,



cos



ˆ



sin



ˆ

regra da mão “esquerda”  polegar aponta no sentido de propagação

dedos indicam direcção de

_{E ,}



 

₀

_t

(25)

Polarização de ondas planas – polarização elíptica

 

z

t

A



t

k

z



x

A



t

k

z



y

E



,



₁

cos









₁

ˆ



₂

cos









₂

ˆ

casos particulares 7. 2 1 2 1

2

0 A

A 









polarização elíptica

 

z

t

A



t

k

z



x

A

t

k

z

y

E

ˆ

2 cos

ˆ

cos

,

₁ ₂





























1

A

x

y



t

k

z



x

A



t

k

z



y

A

₁

cos



ˆ

₂

sin



ˆ











t



A



t



x

A



t



y

E



0 ,

₁



₁

cos



₁

ˆ



₂

sin



₁

ˆ





A

x

E



0 ,

0 

₁

ˆ

 

t

A

 

t

x

A

 

t

y

E



0 ,



₁

cos



ˆ



₂

sin



ˆ

2

A

2









2









(26)

Polarização de ondas planas – resumo

seja

direcção do versor de polarização depende da relação entre amplitudes das duas ondas

y

E

x

E





_x

ˆ 

_y

ˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarização linear

se diferença de fase = 90º

onda resultante tem polarização elíptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaço)

circular  amplitudes iguais elíptica  amplitudes diferentes

se diferença de fase arbitrária

eixos da elipse não coincidem com

x

e

y

(27)

Polarização de ondas planas – aplicações

emitidas em polarização linear, com orientado perpendicularmente ao solo antena de recepção deve ser paralela a

ondas AM

E



emitidas em polarização linear, com orientado paralelamente ao solo antena de recepção deve ser paralela a

ondas TV

_E



E



E



emitidas em polarização circular

antena de recepção deve estar num plano normal à direcção de propagação

ondas FM

(28)

Exercício

(29)

Ondas planas em meios com perdas – permitividade complexa

Equações de Maxwell para campos harmónicos em meios LHI com perdas e sem cargas:

H B E D    





  t H E               E t E J H           0    H E J





0 0 0               H E E j E H H j E       









j

E

H 







    j



_cE        







_c 1 j E j j         







1 permitividade complexa

(30)

Ondas planas em meios com perdas – tangente de perdas

       







_c 1 j tangente de perdas 







_c  tan bom condutor 







bom isolador 







comportamento de um dado material varia com a frequência

Ex: água do mar  0 72 S/m 4





  z f 50H z f 1GH 7 10 2  







bom condutor 4 







condutor

(31)

Ondas planas em meios com perdas – constante de propagação

       







_c 1 j 0 2 2    E k E 0 2 2    H k H







 k c c k 







     j











j j   1 constante de propagação constante de atenuação constante de fase Nota:







 2





 f v 0 2 2    E k_c E 0 2 2    H k_c H z z

e

E

e

E







₀ 





₀  (para propagação segundo z) c

jk



(32)

Ondas planas em meios com perdas – impedância complexa

       







_c 1 j



a E



H  1 ˆ_n 



    



a E



H _n c     1 ˆ



  c c   















j c c    1 impedância complexa  H E e 

(33)

Exercício

(34)

Propagação em meios bons condutores

bom condutor 







2











 







2  f v o 45  











a E



H  1 ˆ_n 



H  atrasado 45º em relação a _E





 f v











 j  2









j j   distorção de sinais

(35)

Bons condutores – efeito pelicular

z

e

E







₀  factor de atenuação: z j z

e

E

   





₀

para propagação segundo +

z

:

z

e



frequências elevadas

_

elevado onda sofre atenuação considerável

propagação apenas numa pequena película

profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1











f   z

e

 2       

(36)

Bons condutores – efeito pelicular

profundidade de penetração ) m ( 1









f  material



(S/m) f 60 (Hz) f 1 (MHz) f 1 (GHz) prata cobre ouro alumínio água do mar 7 10 17 . 6  7 10 1 . 4  7 10 8 . 5  7 10 54 . 3  4 mm 27 . 8 mm 53 . 8 mm 14 . 10 mm 92 . 10 m 32 mm 066 . 0 mm 064 . 0 mm 079 . 0 mm 084 . 0 m 25 . 0 mm 002 . 0 mm 0021 . 0 mm 0025 . 0 mm 0027 . 0

(já não é bom condutor a esta frequência)

(37)

Bons condutores – efeito pelicular

propagação apenas numa pequena película para altas frequências

efeito pelicular ) m ( 1 1











f  

condutor cilíndrico a altas frequências, a corrente circula numa

coroa cilíndrica exterior de espessura



são usados tubos cilíndricos ocos em condutores para altas frequências (ex. antenas)

s

d

t

D

I

l

d

H

S C













_



int se e forem nulos, também é nulo

H



(38)

Bons condutores – efeito pelicular

circulação de corrente numa pequena película para altas frequências

efeito pelicular ) m ( 1 1











f  

variação da resistência com a frequência

resistência DC  ₂ a l R_DC    resistência AC  a l R_AC    2  a l  2 a R R DC AC _ a altas frequências  R R



(39)

Velocidade de grupo – dispersão

velocidade de fase  velocidade de propagação da frente de onda f v      j      j j   1 2 / 1 2 1 1 2                       

meios sem perdas  _ __ __ é constante

meios com perdas   não é função linear de  depende da frequência







f v

em sinais que consistem numa dada banda de frequências, as componentes a diferentes frequências propagam-se a

velocidades de fase diferentes  distorção do sinal

DISPERSÃO





1  f v

(40)

Velocidade de grupo – relação de dispersão; meios dispersivos

meios dispersivos  meios para os quais a velocidade de fase depende da frequência

meios sem perdas são meios não dispersivos

meios com perdas são meios dispersivos

relação de dispersão  equação que relaciona com

(41)

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora  

 



 



f f v v 



 2



₀



0



1



₂



₁  ₀ 



₂  ₀ 





₀ 







₂  ₀ 



₁  ₀ 

 

z t E







 

t



z







 

t



z





E ,  ₀ cos



₀ 







₀ 



cos



₀ 







₀ 





t z





t z



E₀cos cos ₀ ₀ 2 















Considere-se a propagação de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde à soma de duas ondas planas que se propagam

(42)

Velocidade de grupo

 

z t E



t z





t z



E , 2 ₀cos 







cos



₀ 



₀ z



z,0



E envolvente portadora

portadora  propaga-se à velocidade

0 0





envolvente  propaga-se à velocidade





  0 lim 







m/s



1





d d v_g  velocidade de grupo

(43)

Velocidade de grupo – dispersão normal e anómala





d d v_g  1  velocidade de grupo





 f v  velocidade de fase          f v d d d d





2 f f f v d dv v



 



d dv v v v f f f g   1 casos particulares 1. 0



d dv_f f g v v  2. 0



d dv_f f g v v 

sem dispersão ( constante)v_f

dispersão normal ( diminui com )v_f

_

3. 0



d dv_f f g v v  _{dispersão anómala} f v



( aumenta com )

(44)

Exercício

Um meio bom condutor apresenta dispersão normal ou anómala?

(45)

Energia transportada por uma onda

t H E        



t E J H         



E J







EH



H 



E



E



H



  (igualdade vectorial)





_                            t E J E t H H H E       









_



              V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2      

















E E



E J t H H t H E                    2 1 2 1







A A



t t A A            2 1





2 2 2 2 2 H E E t H E 







 



             



A



dv s d A V S



   

Nota: expressões instantâneas

2 W/m

(46)

Faculdade de Engenharia conservação de energia

Teorema de Poynting





_









potência que atravessa

S

diminuição da energia armazenada no campo EM por unidade de tempo

potência dissipada por condução

(47)

Vector de Poynting





_









vector de Poynting  SEH



W/m2



representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética





_















V V e m S

dv

p

dv

w

t

s

d

S



_ 2

E

p

_







2

1 H

w

_m







2

1 E

w

_e







Nota: expressões instantâneas

 densidade de energia magnética  densidade de energia eléctrica

(48)

Vector de Poynting – campos harmónicos



j t



e r E t r E(, )Re () 



j t



e r H t r H(, )Re () 



j t





j t



e r H e r E t r H t r E t r S(, ) (, ) (, )Re ()  Re () 

  

*



2 1 Re X  X X

 



*

 

*



2 1 2 1 Re Re A  B  AA  BB



* * * *



4 1 B A B A B A B A           



AB AB



 Re * 2 1



j t



e r H r E r H r E t r S Re ( ) *( ) ( ) ( ) 2 2 1 ) , (             

(49)

Vector de Poynting médio



j t



e r H r E r H r E t r S Re ( ) *( ) ( ) ( ) 2 2 1 ) , (             



 T dt t r S T r S_med() 1 (, )

densidade de potência média 



*





2



med Re ( ) ( ) W/m 2 1 ) (r E r H r

(50)

Vector de Poynting médio – ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting médio aponta na

direcção e sentido de propagação da onda



*



med Re 2 1 H E S    n a H E   ˆ



E H



E an S Re 1 ˆ 2 1 Re 2 1 * 2 * med         



    E a H  1 ˆ_n 







    H E a E E  1  ˆ_n  * *













E E an E E an



H E 1 * ˆ * ˆ * *           



E ˆan 1 2 * 







B C

 

A C



B C



A B



A         

meios sem perdas   é real S 1 E aˆ

2  



(51)

Mostre que para ondas TEM com polarização linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios com perdas, o vector médio de Poynting é dado por

a) polarização linear: b) polarização circular: onde e

Exercício

z e E S zcos ˆ 2 1 ₂ ₂ 0 med  





   z e E S_med 1 ₀2 2zcos



_ ˆ



  



E H



E an S Re 1 ˆ 2 1 Re 2 1 * 2 * med         



   







  j 



 ej Nota: Ondas TEM:

(52)

Exercício



E H



E an S Re 1 ˆ 2 1 Re 2 1 * 2 * med       



    Nota: - Admitir propagação no ar

(53)

Incidência de uma onda TEM numa interface plana

meio 1





1,



1,



1



z x meio 2





2,



2,



2



i



t



r



plano de incidência  plano xz ângulo de incidência 



_i

plano formado pela normal à interface e pela direcção de propagação da onda incidente nt aˆ transmitida

z

x

a

ˆ

_ni



sin



_i

ˆ



cos



_i

ˆ

z

x

a

ˆ

_nt



sin



_t

ˆ



cos



_t

ˆ

z

x

a

ˆ

_nr



sin



_r

ˆ



cos



_r

ˆ

direcções de propagação: ni aˆ incidente nr aˆ reflectida

(54)

pontos e têm mesma fase

Leis de Snell – lei da reflexão

meio 1





1,



1,



1



z x meio 2





2,



2,



2



ni aˆ nr aˆ nt aˆ i



t



r



frente de onda  mesma fase

O

/

O

B

/

A

n

aˆ

ondas planas  frentes de onda são planos normais a

r i

OO

/

sin





/

sin



/ 1 / 1AO k OA k 

pontos

_O

e têm mesma fase

_A

/

O

A

/

(55)

pontos e têm mesma fase

Leis de Snell – lei da refracção

meio 1





1,



1,



1



z x meio 2





2,



2,



2



ni aˆ nr aˆ nt aˆ i



t



r



O

/

O

B

/

A

fase = kdist. t i k OO OO k₁ /sin



 ₂ /sin



2 1 sin sin k k i t 



1 2 f f

v



n

aˆ

ondas planas  frentes de onda são planos normais a

pontos

_O

e têm mesma fase

A

B

/

O

OB k AO k₁ /  ₂ f v k  

(56)

Índice de refracção

índice de refracção  quociente entre velocidades de propagação no vazio e no meio

f

v

c

n 

2 1

sin

n

i t

_



 lei de Snell da refracção

Ex: meio sem perdas





1  f v 0 0











n

r r







1 

n

n elevado  velocidade baixa

1 2 sin sin f f i t v v   

(57)

Condições de fronteira

meio 1





1,



1,



1



n

aˆ

meio 2





2,



2,



2



seja agora o versor normal à interface que aponta do meio 2 para o meio 1