Potência activa: Potência Reactiva: Potência Aparente: R P. Z Factor de potência: = = Ieff. 2 Veff

Potência activa:

R I I

V

P _{eff eff eff}

I V 2 cos = = − = ϕ θ θ ϕ Potência Reactiva:

∑

∑

= = − = = = = C L N i eff C i N i eff L i eff eff eff eff I C I L Q Z V Z I I V Q 1 2 , 1 2 , 2 2 1 ω ω Potência Aparente: Z V Z I I V

S _{eff eff eff} eff 2 2 ₌ = = Factor de potência: S P Z R FP = cosϕ = =

Ressonância

Para que a ressonância ocorra num circuito é necessário existir pelo menos uma bobina e um condensador e, que a reactância seja nula (X=0).

Existem dois tipos de ressonância: Ressonância Série

Considerando um circuito RLC série,

A combinação das resistências internas dos vários elementos é equivalente a uma resistência:

R= R_s + R_d + R_d

M

A impedância é ) 1 ( ) ( C L j R X X j R jX R Ze Z j _{L C} ω ω φ _{= + = + − = + −} = em que R C L arcg R X arcg X R C L R Z ω ω φ ω ω 1 1 2 _{2 2} 2 − = = + =       ₋ + =

Para que surja ressonância é condição necessária e suficiente que: C L X ω ω 1 0⇒ = = _{, assim Z} = _R

ou seja, a impedância atinge na ressonância série o céu valor mínimo, igual ao valor da sua parte real (resistência), tal como se pode visualizar no gráfico.

Impedância total versus freqüência do circuito série Resposta em freqüência de uma Reactância Indutiva e Capacitiva num circuito RLC série Reactância Capacitiva versus freqüência

A freqüência de ressonância pode ser determinada pela equação obtida da condição de ressonância,

[ ]

[ ]

Hz LC f LC LC C L _{s s} π ω ω ω ω 2 1 ou rad 1 1 1 ₂ = = ⇔ = ⇔ =

Por outro lado, multiplicando ambos os termos por o fasor da corrente, t t v t v V V C I I L = ⇒ _L = − _c ⇔ _L( ) = − _c( ),∀ ω ω Ficando apenas,

E

=

V

R

=

R

I

Ou seja, as ds.d.t. na bobina e no condensador são opostas de tal modo que a d.d.t. entre os pontos M e B da figura é nula (os pontos me B estão em curto-circuito). Por isso muitas vezes este tipo de ressonância é denominado de ressonância de

tensões.

Diagrama Vectorial

No caso ideal da resistência R ser nula, então, na situação de ressonância série seria: Z=0 ou Y=∞, ou

L C V C I j V = − = − ω I L j V_L = ω I R V E = _R =

seja o circuito ficaria equivalente a um

curto-circuito. A corrente no circuito só seria limitada

pela impedância interna da fonte que o alimentava. Assim é conviniente notar que pode apresentar graves perigos a ligação inadvertida de um circuito RLC série a uma fonte C.A. com frequência igual ou próxima da sua frequência de ressonância, quando o valor de R fôr muito pequeno.

Com efeito, nestas condições, a corrente de ressonância, cujo valor eficaz é:

R E I_eff = eff

pode tomar um valor elevado, o que poderá danificar o circuito ou a fonte que o alimenta.

Além disso, se o valor da corrente é elevado, também serão os valores (iguais) de V_L e V_C :

C I V I L V_{L C} ω ω = = =

Isto acarreta, que embora a d.d.t. entre os pontos M e B seja nula, as ds.d.t. nos elementos bobina e condensador atijam valores elevados (mesmo para valores pequenos de f.e.m), o que respresenta um perigo para um operador inadvertido e também para os elementos capacitivo e indutivo.

EXEMPLO: Suponhamos que V V F C mH L

R =1Ω , =1 , =0.1µ , _eff =10 _{.Então em condições}

de ressonância _{ω =}105rad /sviria:

! ! ! ! ! ! 1000 10 10 , V C I V I L V A R V I V V C L eff eff eff R = = = = = = = ω ω

Estes valores enormes da tensão na bobina e no condensador, devem-se ao facto do valor da resistência ser muito pequeno.

Mantendo as mesmas condições mas passando a

resistência para 100x mais já não obteríamos valores tão perigosos: ! ! ! ! ! ! 10 1 . 0 10 , V C I V I L V A R V I V V C L eff eff eff R = = = = = = = ω ω

Ressonância Paralelo

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 //( ) (       ₋ + +       ₊       ₋ − +       ₋ =       ₋ + +       ₋       ₋ + +       ₊ = = + =       ₋ + +       ₋ + = − + = C L R R C L R R C L R R C R LR X C L R R C L C R LR R R C L R R R jX R Z C j R L j R C j R L j R C j R L j R Z ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

Considere um circuito RLC paralelo, com resistências internas R₁ e R₂ . A condição para a existência de

ressonância (X=0) traduz-se numa expressão bastante mais complicada:

C

L R1

R2

Em conclusão, a condição de ressonância paralelo é ( ) 1 0 0 1 _{1 2 1 2} 2  =      ₊       ₋ − +       ₋ ⇒ = C L R R C L R R C R LR X ω ω ω ω

Ou seja a freq. de ressonância paralelo não tem a mesma expressão que a da ressonância em série, e até pode nem existir, dependendo dos valores de R₁, R2,L e C.

Para simplificar, no caso ideal R1=R2=0. A condição

de ressonância paralelo simplifica-se: C L X ω ω 1 0⇒ = =

Obtemos a mesma freqüência que na ressonância série. 0 Y e 1 = ∞ =       ₋ = C L j C L Z ω

ω , o que é a dual da situação de

ressonância série com resistência nula, ou seja o circuito fica equivalente a um circuito aberto.

Isto significa que qualquer que seja a d.d.t. de alimentação do circuito, a corrente será nula:

0 ), ( ) ( = = + ∀ − = ⇔ − = ⇒ − = I I I t t i t i I I L V j V C j C C C L c L

ω

ω

As correntes no bobina e no condensador são opostas. Por isso muitas vezes este tipo de

ressonância é denominado de ressonância de

correntes.

Diagrama Vectorial

A corrente neste caso estará em fase com a d.d.t. de alimentação aplicada, assumindo um valor

0 ≈ ≈ VG

I , mesmo para elevadas ds.d.t. aplicadas. Porém os valores das correntes I_L e I_C

V C I L V I_{L C} ω ω ≅ ≅ ≅

serão muito mais elevados do que o valor de I.

Na prática, com R₁ ≠0eR₂ ≠ 0, o circuito não será

equivalente a um circuito aberto nem a frequência de ressonância paralelo (se existir) terá a mesma expressão que a frequência de ressonância série.

C L I L V j I = − = − ω V C j I_C = ω I V

EXEMPLO: Suponhamos no circuito que estamos a considerar para o estudo de ressonância paralelo, oa valores são: s rad V V F C mH L R R 0.1 , 1 , 0.1 , _eff 10 , 105 / 1 1 = = Ω = = µ = ω =

O não está em ressonância paralelo pois as resistências internas não são nulas, mas suficientemente perto dessa situação para poder-se ilustrar o que se acabou de descrever.

Como ωL= _ω1_L =100Ω, obtemos os seguintes valores:

( ) ₍( _{) (})( )₎ mA j V I mA j V I mA Z V I K Z j j j j j j C j R L j R Z j C j R j L j R C L eq eff eff eq eq º 90 100 100 1 . 0 º 90 100 100 1 . 0 2 . 0 50 10 50 02 . 0 10 10 10 01 . 0 100 1 . 0 100 1 . 0 100 1 . 0 100 1 . 0 1 // 100 1 . 0 1 100 1 . 0 4 2 1 2 1 ∠ ≅ − = − ∠ ≅ + = = ≅ = Ω ≅ + + − = − + + − + =       ₋ + = − = − + = + ω ω ω ω

Verificou-se que cometendo um erro desprezável, as correntes na bobina e no condensador estão em oposição de fase e têm valores efficazes (iguais) cerca de 500 vezes superiores ao valor efficaz da corrente total, que está em fase com a d.d.t da alimentação.