Fisica Centro de Massa

(1)

E E d d i i t t o o r r a a M M o o d d e e r r n n a a L L t t d d a a . .

1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA

Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos

P

11

e

P

22

, localizados num eixo

horizontal

Ox

. Sejam

x

₁₁

e

x

₂₂

, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto

C

do eixo

Ox

, de abscissa

x

C C

,

em relação ao qual é nula a soma dos momentos de

P

11

e de

P

22

.

T

ema especial

CENTRO DE MASSA

1.

1. Centro de gravidade e centro de massa, 1

Centro de gravidade e centro de massa, 1

2.

2. Propriedade da concentração de massas, 3

Propriedade da concentração de massas, 3

3.

3. Propriedade de simetria, 4

Propriedade de simetria, 4

4.

4. Velocidade d

Velocidade d

o centro de massa,

7

5.

5. Aceleração do centro de m

Aceleração do centro de m

assa, 7

C C 1 1 22 P P 1 1 P P 2 2 m m 2 2 m m 1 1 Figura 2. Figura 2.

M

P P 11 ϩϩ

M

P P 22 ϭϭ

0

ϩ ϩ

P

11

d

11ϪϪ

P

22

d

22ϭϭ

0

0 P

P

11

d

11ϭϭ

P

22

d

22

P

11

(

x

C C ϪϪ

x

11

)

ϭϭ

P

22

(

x

22ϪϪ

x

C C

)

(

P

11ϩϩ

P

22

)

x

C C ϭϭ

P

11

x

11ϩϩ

P

22

x

22

x

P

P xx

P

P x

x

P

C C 11 11 22 22 1 1 22 ϭ ϭ ϩϩ ϩ ϩ

O ponto

C

recebe o nome de

centro de gravidade

do sistema de pontos

materiais 1 e 2.

Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível,

suspendendo-se a barra pelo ponto

C

, o sistema fica

em equilíbrio (figura 2).

Considerand

o no local

o campo gravitacional uniforme, isto é, a acelera-

o campo gravitacional uniforme, isto é, a

acelera-ção da gravidade

ção da gravidade

g

constante, e sendo

m

₁₁

e

m

₂₂

as massas dos pontos 1 e 2,

respectivamente, temos:

P

11ϭϭ

m

11

g

e

P

22ϭϭ

m

22

g

Substitui

ndo-se

as

expressões

e

na

expressão

,

temos:

x

m

m g

gx

x

m

m g

gx

x

m

m g

g m

m g

g

C C 1 1 11 22 22 1 1 22 ϭ ϭ ϩϩ ϩ ϩ

⇒

x

m

m x

x

m

m x

x

m

C C 1 1 11 22 22 1 1 22 ϭ ϭ ϩϩ ϩ ϩ

Neste caso, o centro de gravidade chama-se também

centro de massa

.

Figura 1. Figura 1. x x 2 2 C C O O 1 1 x x₂₂ x xC C x x11 d d 11 m m11 mm22 d d 22 P P 1 1 P P 2 2 ϩ ϩ ϪϪ

O s F u n d a m e n t o s d a F í s i c a

(

8

8 a

a

_{e d i ç ã o )}

R

A M A L H O

,

N

I C O L A U

E

T

O L E D O

(2)

E d ito ra M o d e rn a L td a .

Dado um sistema de pontos materiais de massas

m

1

,

m

2

, ...,

m

i

, ...

, m

n

e de

coordenadas cartesianas (

x

1

,

y

1

,

z

1

), (

x

2

,

y

2

,

z

2

), ..., (

x

i

,

y

i

,

z

i

), ..., (

x

n

,

y

n

,

z

n

) que

definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a

posi-ção do centro de massa

C

é definida pelas coordenadas cartesianas (

x

C

,

y

C

,

z

C

),

dadas por:

x

m

x m x

m

x

m x

m

x

m x

m

C i i n n i n C i i i n i i n

...

ou

1 1 2 2 1 2 1 1 ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ

∑

y

m

y m

y

m

y

m y

m

y

m y

m

C i i n n i n C i i i n i i n

...

ou

1 1 2 2 1 2 1 1 ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϭ ϭ ϭ

∑

z m z m z m z m z m m m m z m z m C i i n n i n C i i i n i i n ... ... ... ... ou 1 1 2 2 1 2 1 1

ϭ

ϩ

ϩ ϩ

ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ

ϭ

ϭ ϭ

∑

Observe que cada coordenada do centro de massa é uma média ponderada das correspondentes

coordenadas dos pontos materiais e os pesos da média são as respectivas massas.

mi m1 m2 mn zi xi y i y 0 z x Figura 3.

E x e r c í c i o

R e s o l v i d o

R.1 _{Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas}

posi-ções indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.

x (cm) 3 2 1 1 0 2 3 4 y (cm) m m m B D A Solução:

A abscissa do centro de massa C é dada por:

x mx mx mx m m m C A B D ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ

Sendo x A ϭ0, x B ϭ2 cm e x D ϭ4 cm, vem:

x m m m m C 0 2 4 ϭ ⅐ ϩ ⅐ ϩ ⅐ 3

⇒

x C ϭ2 cm

Para a ordenada do centro de massa C , temos:

y my my my m m m C A B D ϭ ϩ ϩ ϩ ϩ

Sendo y A ϭ0, y B ϭ3 cm e y D ϭ0, vem:

y m m m m C 0 3 0 ϭ ⅐ ϩ ⅐ ϩ ⅐ 3

⇒

y C ϭ1 cm Resposta:C (2 cm; 1 cm)

(3)

P.1 _{Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura. Determine as}

coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco pontos materiais.

E x e r c í c i o s

P r o p o s t o s

x(cm) y (cm) 1 1 2 3 4 5 6 7 4 2 3 5 6 7 0

P.2 _{Determine a posição do centro de massa C do sistema formado por}

duas partículas de massas m Ae m B, fixas nas extremidades de uma barra de peso desprezível.

Analise os casos: a) m A ϭm B b) m A ϭ2m B c) m A ϭ5m B

2. PROPRIEDADE DA CONCENTRAÇÃO DE MASSAS

Seja um sistema de pontos materiais de massas

m

1

,

m

2

, ...,

m

i

,

m

i ϩ1

, ...,

m

n

e com centro de massa

C

.

Vamos separar este sistema em dois outros sistemas:

• Um de massas

m

1

,

m

2

, ...,

m

i

, de centro de massa

C

’ e de massa total

m

’

ϭ

m

1 ϩ

m

2 ϩ

...

ϩ

m

i

.

• E outro de massas

m

i ϩ1

, ...,

m

n

, de centro de massa

C

” e de massa total

m

”

ϭ

m

i ϩ1 ϩ

...

ϩ

m

n

.

O centro de massa

C

do sistema todo é obtido a partir dos centros de massa

C

’ e

C

”, considerando

concentradas nesses pontos as massas

m

’ e

m

”, respectivamente. De fato:

x m x m m x m x m m x m m x m m m x m m m C i i i n i i n i i i i i i n i i i n i C i i i i i i n ’ ’ ” ” ’ ” 1 1 1 1 1 1 1 1

ϭ

ϩ

ϭ

ϩ

ϭ ϭ ϩ ϩ ϩ

∑

⇒

⅐ ⅐

Mas:

m x

m

x

i i i C 1 ’

’

∑

ϭ

e

m x

m

x

i i i i C ϩ ϭ 1 ”

∑

”

Logo, substituindo-se as expressões

e

na expressão , temos:

x

m x

m

C C C ϭ ϩ ϩ

’

”

’

”

’ ” ⅐ ⅐

Analogamente, demonstra-se para as coordenadas

y

C

e

z

C

que:

y

m y

m

C C C ϭ ϩ ϩ

’

”

’

”

’ ” ⅐ ⅐

e

z m z m z m m C C C

ϭ

ϩ

’ ” ’ ” ’ ” ⅐ ⅐ 60 cm B A m _A m _B

(4)

3. PROPRIEDADE DE SIMETRIA

Se um sistema de pontos materiais admite um elemento de simetria, então o centro de massa do

sistema pertence a esse elemento. O elemento de simetria pode ser um ponto (centro de simetria), um

eixo ou um plano.

Vamos supor que um ponto

O

seja um centro de simetria. Provemos que

O

coincide com o centro

de massa. Considere o sistema de pontos materiais situados num plano e seja

Oxy

um sistema cartesiano

com origem no ponto

O

(figura 4). Se existe

m

i

x

i

, existe também

m

i

(

Ϫ

x

i

). Logo:

m x

m

i i i i i

∑

⇒

0

ϭ ϭ

De modo análogo, temos:

m y

m

i i i

∑

ϭ

0,

indicando que o ponto

O

coincide com o centro de massa

C

.

Figura 4. x O y y _i mi mi xi Ϫ xi Ϫy _i

Na figura 5, com base na propriedade de simetria, apresentamos o centro de massa

C

de alguns

corpos homogêneos. Observe que ele coincide com o centro geométrico desses corpos.

Figura 5. C C C C C

Por meio das propriedades dos itens 2 e 3, podemos determinar o centro de massa de uma placa

homogênea, de espessura constante e de massa

m

, como por exemplo a indicada na figura 6a.

Para tanto, dividimos a placa em duas partes,

e , de massas

m

’ e

m

”

,

e pela propriedade de

si-metria localizamos os centros de massa

C

’ e

C

” destas partes (figura 6b). Pela propriedade da

concentra-ção de massas, concluímos que o centro de massa

C

da placa toda coincide com o centro de massa dos

pontos

C

’ e

C

”, cujas massas

m

’ e

m

” estão concentradas neles (figura 6c).

Figura 6. O centro de massaC _{da placa de massa}m _{pertence ao segmento de reta que passa}

pelos pontosC _{’ (de massa}m _{’) e}C _{”(de massa}m _”).

x O y m' C'' C' m'' x xC y C O y C'(m') C'' (m'') C x O y m 1 2 (a) (b) (c)

(5)

E x e r c í c i o

R e s o l v i d o

R.2 _{Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões}

estão indicadas na figura.

Solução:

Vamos dividir a placa em dois quadrados. O primeiro, de lado 2 a e cujo centro de massa é o ponto A de coorde-nadas ( a, a ), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordecoorde-nadas são (2,5 a, 0,5 a ).

x (cm) 0 y (cm) a a 2a 2a 3a x (cm) 0 y (cm) a a A B 2a 2a 2a a

A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por: x m x m x m m C A A B B A B ϭ ϩ ϩ

Como a placa é homogênea e de espessura constante, t emos que as massas são proporcionais às respectivas áreas, ou seja:

m A ϭ K A A e m B ϭ K A B em que K é a constante de proporcionalidade.

Assim, substituindo-se as expressões e na expressão , temos:

x K A x K A x K A K A C A A B B A B

ϭ

ϩ

⇒

x A x A x A A C A A B B A B ϭ ϩ ϩ Sendo A A ϭ(2 a )2 ϭ4 a

2

, A B ϭa 2

, x A ϭa e x B ϭ2,5 a, vem:

x a a a a a a C 2,5 2 2 2 2 ϭ ϩ ϩ 4 4 ⅐ ⅐

⇒

x C ϭ1,3 a Para a ordenada do centro de massa, temos:

y A y A y A A C A A B B A B

ϭ

ϩ

Sendo y A ϭa e y B ϭ0,5a, resulta:

y a a a a a a C 0,5 2 2 2 2 ϭ ϩ ϩ 4 4 ⅐ ⅐

⇒

y C ϭ0,9 a Resposta:C (1,3a; 0,9a )

(6)

P.3 _{Determine as coordenadas do centro de massa da placa}

homogê-nea e de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.

E x e r c í c i o s

P r o p o s t o s

30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 0 x y 5 cm

P.4 _{Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura}

uni-forme e de raio R estão dispostas conuni-forme a figura.

Determine as coordenadas do centro de massa do sistema consti-tuído pelas três placas.

x R

R R

y

P.5 _{A ordenada do centro de massa de uma}

placa triangular, homogênea e de espes-sura constante é igual a um terço da al-tura (figura 1). Determine a ordenada do centro de massa de uma placa trape-zoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b (figura 2).

P.6 _{A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R}

e possui um furo circular de raio r . Determine, em função de r e R, as coordenadas do centro de massa da placa.

x R r y R 2

P.7 _{A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A}

distância entre os centros da Terra e da Lua é 60 R, em que R é o raio da Terra. Determine a distância do centro da Terra ao centro de massa do sistema Terra-Lua.

Terra Lua R 60 R x 0 y h C h 3 b x 0 y h a Figura 1. Figura 2.

(7)

4. VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA

Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são

m

1

,

m

2

, ...,

m

n

, e sejam

v

1

,

v

2

, ...,

v

n

,

res-pectivamente, suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade

v

C

dada por uma média ponderada das velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos

dessa média as respectivas massas, ou seja:

v

_C

v

n

v

n n m m m m m m ... ... 1 1 2 2 1 2

ϭ

ϩ

Chamemos de

m

a massa total do sistema, isto é:

m

ϭ

m

_{1 ϩ}

m

_{2 ϩ}

...

ϩ

m

n

Substituindo-se a expressão

na expressão , resulta:

m

v

C ϭ

m

1

v

1 ϩ

m

2

v

2 ϩ

...

ϩ

m

n

v

n

Mas

m

1

v

1 ϩ

m

2

v

2 ϩ

...

ϩ

m

n

v

n

representa a quantidade de movimento total do sistema de pontos

materiais (

Q

sistema

). Logo:

Q

sistema ϭ

m

v

C

Portanto:

A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de

movi-mento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.

5. ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA

Considere um sistema de pontos materiais

m

₁

,

m

₂

, ...,

m

n

, e sejam

a

1

,

a

2

, ...,

a

n

, respectivamente, suas

acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração

a

C

dada por uma

média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as

res-pectivas massas, ou seja:

a

_C

a

n

a

n n m m m m m m ... ... 1 1 2 2 1 2

ϭ

ϩ

Seja

m

a massa total do sistema, isto é:

m

ϭ

m

1 ϩ

m

2 ϩ

...

ϩ

m

n

Substituindo-se a expressão

na expressão , resulta:

m

a

C ϭ

m

1

a

1 ϩ

m

2

a

2 ϩ

...

ϩ

m

n

a

n

Mas

m

₁

a

₁

,

m

₂

a

₂

, ...,

m

n

a

n

representam, respectivamente, as forças resultantes

F

1

,

F

2

, ...,

F

n

, que agem

nos pontos materiais. Portanto:

m

a

C ϭ

F

1 ϩ

F

2 ϩ

...

ϩ

F

n

Entretanto,

F

1 ϩ

F

2 ϩ

...

ϩ

F

n

representa a resultante de todas as forças externas que agem no

siste-ma de pontos siste-materiais (

F

ext.

), uma vez que a resultante das forças que uma partícula do sistema exerce

sobre as outras (forças internas) é nula, devido ao princípio da ação e reação. Assim, temos:

F

ext. ϭ

m

a

C

Portanto:

O centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema

e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.

(8)

Por exemplo, considere um corpo lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre

(figura 7). Embora seus pontos descrevam um movimento complexo, o centro de massa (ponto

marca-do em vermelho) desloca-se como se fosse um ponto material de massa igual à massa marca-do corpo e sob

ação do peso do corpo. Nestas condições, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica em

relação à Terra.

Figura 7.

Como conseqüência das considerações anteriores, concluímos que:

As forças internas não alteram o movimento do centro de massa.

Quando um atleta pula de um trampolim,

realizan-do um salto ornamental, ele movimenta seus braços,

pernas e cabeça, alterando a posição do centro de

mas-sa de seu corpo. As forças responsáveis por estas

altera-ções são internas e não alteram o movimento do centro

de massa, que descreve uma trajetória parabólica em

relação à Terra (figura 8).

Figura 8.

R.3 _{As partículas A e B, de massas m e 2 m, deslocam-se ao longo do eixo Ox ,}

com velocidades escalares v A ϭ5,0 m/s e v B ϭ8,0 m/s. Qual é a velocidade escalar do centro de massa? Solução:

A velocidade do centro de massa C é dada por:

v _C A v A B v B A B m m m m ϭ ϩ ϩ

Como as velocidades

v

Ae

v

Btêm a mesma direção, a igualdade vetorial anterior t ransforma-se numa igualdade escalar. Assim, vem:

v m v m v m m v m m m m C A A B B A B C 5,0 2 8,0 2

ϭ

ϩ

ϭ

ϩ

⇒ ⅐ ⅐

⇒

vC ϭ7,0 m/s Resposta: 7,0 m/s

E x e r c í c i o s

R e s o l v i d o s

Eixo adotado B v A ϩ v B A

(9)

R.4 _{As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades}

v

_A_e

v

_B

perpendi-culares entre si e de módulos v A ϭ2,0 m/s e v B ϭ4,0 m/s.

Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas par-tículas.

Solução:

A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é a quantidade de moviment o do centro de massa, considerando que toda massa do sistema está concentrada nele, ou seja:

Q

sistema ϭm

v

C

Vamos, inicialmente, determinar o módulo da quant idade de movimento do sistema em que:

Q

sistema ϭ

Q

A ϩ

Q

B Cálculo de Q A:

Q A ϭm Av A

⇒

Q A ϭ1,5⅐2,0

⇒

Q_{A ϭ}3,0 kg⅐m/s

Cálculo de Q B:

Q B ϭm Bv B

⇒

Q B ϭ1,0⅐4,0

⇒

Q

B ϭ4,0 kg⅐m/s

No triângulo destacado na figura ao lado, temos: Q2

sistema ϭQ A2 ϩQ B2

⇒

Qsistema ϭ2 (3,0)2 ϩ(4,0)2

⇒

Qsistema ϭ5,0 kg⅐m/s

Mas Qsistema ϭmvC , em que mϭ1,5 kgϩ1,0 kgϭ2,5 kg Portanto: 5,0ϭ2,5⅐v

C

⇒

vC ϭ2,0 m/s Resposta: 2,0 m/s

R.5 _{As esferas A e B possuem massas m e 3m, respectivamente. A esfera A é abandonada de uma altura h}_ϭ_{0,45 m}

do solo e B está em repouso.

Seja g ϭ10 m/s2_{a aceleração da gravidade. Determine:}

a) o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver em queda livre.

b) o módulo da velocidade do centro de massa do sistema, no instante em que a esfera A atinge o solo. v A v B m _B m _A A B Q B ϭ4,0 Kg⅐m/s Q Aϭ3,0 Kg⅐m/s Q s i s t e m a Solução:

a) A aceleração do centro de massa é dada por:

a _C A a A B a B A B

m m

ϭ ϩ

ϩ Sendo m A ϭm, m B ϭ3m,

a

A ϭ

g

e

a

B ϭ 0 , vem:

a

C

g

a

C

g

a

C

g

m m m m m 3 4 4

ϭ

ϩ

⇒

ϭ

⇒

ϭ

Em módulo, temos: aC g aC 4 10 4

ϭ

⇒

ϭ

⇒

aC ϭ2,5 m/s 2

b) A velocidade da esfera A no instante em que atinge o solo é: v A

ϭ

2 gh ⇒ vA

ϭ

2 10 0,45⅐ ⅐

⇒

v

A ϭ3,0 m/s A velocidade do centro de massa é dada por:

v

C

v

A A B B A B m m m m

ϭ

ϩ

Sendo

v

B ϭ 0 , temos, em módulo:

v m m m v m m C C ,0 3 3,0 4 ϭ ϩ ϭ ⅐3 ⇒

_⇒

_v_{C ϭ}_{0,75 m/s} Respostas: a) 2,5 m/s2; b) 0,75 m/s v 0ϭ0 h

g

B A

(10)

R.6 _{Duas partículas, A e B, de massas m}_{A ϭ}_{0,1 kg e m}_{B ϭ}_{0,4 kg, são}

abandona-das no instante t ϭ0, na posição indicada na figura.

a) Localize a posição do centro de massa das partículas no instante t ϭ0. b) Sabendo-se que as partículas se atraem, pois foram eletrizadas com cargas elétricas de sinais opostos, a que distância da posição inicial da partícula A ocorrerá a colisão? Considere o sistema isolado de forças externas.

Solução:

a) Sendo x A ϭ0 e x B ϭ3 m, temos para o centro de massa C : x m x m x m m x C A A B B A B C 0,1 0 0,4 3 0,1 0,4 ϭ ϩ ϩ ϭ ϩ ϩ ⇒ ⅐ ⅐

⇒

x C ϭ2,4 m

b) O sistema de partículas está isolado de forças externas. Como o centro de massa estava inicialmente em repouso, pois as partículas foram abandonadas, ele permanece em repouso. Logo, a colisão ocorre exata-mente na posição do centro de massa, isto é, a 2,4 m da posição inicial da partícula A:

B A t ϭ0 d ϭ3 m x (m) 0 3 B A B A t ϭ0 t Instante da colisão B B A A C C C Respostas: a) 2,4 m; b) 2,4 m

E x e r c í c i o s

P r o p o s t o s

P.8 _{As partículas A e B, de massas m e 3m, deslocam-se na direção do eixo Ox , com velocidades de módulos}

v A ϭ10 m/s e v B ϭ2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do centro de massa para cada um dos casos abaixo: a) b) x B

v

A

v

B A

P.9 _{(UFC-CE) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de}

coordenadas cartesianas xy . Em dado instante, uma delas é atirada na direção x , com velocidade constante de módulo V X ϭ9,0 m/s e outra é atirada na direção y , com velocidade constante de módulo V y ϭ12,0 m/s, fi-cando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.

P.10 _{Num certo instante, duas partículas A e B possuem velocidades indicadas na figura. As partículas possuem}

mesma massa e suas velocidades são iguais, em módulo, a 10 m/s. Determine, no instante considerado, o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.

m m B A 60° 60° 60° v B v A x B v A v B A

(11)

P.11 _{(FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas M}_{A ϭ}_{0,10 kg e M}_{B ϭ}_{0,20 kg constituem um sistema físico}

e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa

F

constante e de intensidade 30 N. Calcule:

a) Os módulos das acelerações das esferas A e B.

b) O módulo da aceleração do centro de massa do sistema ( AB ).

P.12 _{(PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B está à distância d}_ϭ_{6,0 cm}

da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, como mostra a figura.

F A B d (cm) 0 6,0 B A

A partícula A tem carga q e massa m. A partícula B tem cargaϪq e massa 2 m.

Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas. A que distância da origem elas colidirão?

E x e r c í c i o s

P r o p o s t o s d e r e c a p i t u l a ç ã o

P.13 _{(UFPE) Duas partículas, de massa M}

1 ϭ M e M M

2

2 ,

ϭ estão presas por uma haste de comprimento Lϭ48 cm

e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M 1?

M 1 M 2 L 9 0 c m x 0 y

P.14 _{(UFPE) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de espessuras}

desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em centímetros, do centro de mas-sa do sistema, em relação ao solo.

P.15 _{(UnB) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada quadrado tenha lado igual a}

10 cm. Determine, em centímetros, a soma das coordenadas do ponto correspondente ao centro de massa da placa, caso exista.

(12)

E d ito ra M o d e rn a L td a . y x 60 30 30 60

P.16 _{(UnB) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada quadradinho tenha 10 cm de lado,}

determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de duas placas homogêneas, uma circu-lar e outra triangucircu-lar, cujas massas são iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obti-das e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

P.17 _{(UFC-CE) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são colocados no plano xy ,}

confor-me mostra a figura. Se R

ϭ

10 2 cm, calcule, em centímetros, a distância entre o centro de massa do conjunto e a origem, do sistema cartesiano xy .

y x 2R 0 ϪR ϪR 4m m 2R x 0 y

P.18 _{(UFC-CE) Três discos de raios R}_{1 ϭ}_{21 cm, R}_{2 ϭ}_2 R₁_e R_{3 ϭ}_4 R₁_{são feitos de um mesmo material, todos eles com}

densidade uniforme e com mesma espessura. Os discos são empilhados sobre o plano xy conforme se mostra na figura. Note que o centro de cada disco tem projeção sobre o eixo x . Determine a coordenada x do centro de massa do conjunto.

(13)

E d ito ra M o d e rn a L td a . D C C D D N M L

P.19 _{(UFC-CE) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e densidade uniformes. A parte}

hori-zontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se Lϭ98 cm e Dϭ16 cm, determine o valor do comprimento C , em centímetros, sabendo que o centro de massa

da peça está sobre a linha MN . Veja a figura.

P A D C B L 3 2L 3 1 2 m 1 m ₂ 30° 60°

P.20 _{(Fuvest-SP) Uma placa retangular de comprimento L é constituída pela união de duas partes 1 e 2, como}

mos-tra a figura abaixo. A parte 1 é feita de material de massa específica

ρ

1e a parte 2 de material de massa especí-fica

ρ

2. Suspendendo-se a placa pelo ponto P , de acordo com a figura ( AB horizontal), ela permanece em equilí-brio. Sabe-se que AP 2L

9

ϭ .

a) A que distância do lado AD encontra-se o centro de massa da placa? b) Determine a razão

ρ

1

2 .

P.21 _{Duas pequenas esferas, A e B, de mesma massa, deslocam-se ao}

longo do eixo Ox , com velocidades indicadas na figura. Entre as esferas ocorre uma colisão frontal, cujo coeficiente de restitui-ção vale 0,5. Determine:

a) a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas esferas, antes de ocorrer a colisão; b) as velocidades das esferas após a colisão;

c) a velocidade do centro de massa do sistema, após a colisão.

P.22 _{(UFC-CE) Dois pequenos blocos, um de massa m}

1e outro de massa m2 ϭ2 m1, são abandonados simultanea-mente no instante t ϭ0 na parte superior de dois planos inclinados, conjugados, como mostra a figura abaixo.

Determine, em m/s, o módulo da componente horizontal da velocidade do centro de massa, no instante t ϭ12 3 s. Considere os planos sem atrito e suficientemente longos de modo a garantir que os blocos ainda estarão sobre eles no instante considerado.

São dados: gϭ10 m/s2; sen 30 cos 60 1 2 ° ϭ °ϭ e sen 60 cos 30 3 2 ° ϭ °ϭ B m x 3,0 m/s A m 5,0 m/s

(14)

P.23 _{(Fundação Carlos Chagas) Na figura abaixo estão representadas as velocidades vetoriais de duas pequenas esferas}

idênticas que constituem um sistema isolado. Qual a intensidade da velocidade do centro de massa do sistema?

P.24 _{(UFC-CE) Dois homens A e B, ambos de massa M , estão nas extremidades de uma plataforma homogênea, de}

comprimento Lϭ2,16 m e massa 5 M , que pode se deslocar sobre uma su perfície horizontal plana sem atrito. O homem A joga uma bola de massa M

5 para o homem B, que a segura firmemente. Determine, em centímetros,

o deslocamento da plataforma com relação à posição inicial.

P.25 _{(UFC-CE) Um homem de massa m está de pé sobre uma superfície horizont al perfeitamente lisa, separado de}

uma distância d de um bloco pesado de massa M . O homem tenta puxar para si o bloco por meio de uma corda inextensível de massa desprezível. Ele dá um rápido puxão na corda e ambos deslizam um para o outro até se encontrarem em certo ponto. Determine, em função da distância d e das massas m e M , a posição de encontro entre o homem e o bloco a partir da posição inicial do homem.

P.26 _(UnB)

FiguraI. FiguraII.

Figura III.

A

B

1,0 cm/s

Com base nas três figuras acima, que mostram imagens do movimento de três diferentes atletas saltando de uma prancha, nas quais os pontos indicados representam os respectivos centros de massa dos atletas, julgue os itens a seguir, considerando que a aceleração da gravidade é igual nas situações mostradas.

1) Desprezando-se as forças dissipativas, as trajetórias dos centros de massa dos atletas nos três casos são parabólicas.

2) O tempo durante o qual cada atleta permanece no ar é diretamente proporcional à aceleração da gravi-dade.

3) Se as massas dos três atletas forem iguais e as trajetórias dos seus centros de massas forem idênticas, en-tão a energia mecânica total do atleta na figura I será igual à do atleta na figura II.

(15)

T.1 _{(ITA-SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas}

posições, m(x; y), em que m é a massa em quilo-gramas, x e y as posições em metros, tais que 2 (3; 6), 4 (4; 4), 2 (1; 2).

A distribuição de massa em cada disco é homo-gênea. As coordenadas ( x , y ) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em centíme-tros, pelo par ordenado:

a) (40, 40) b) (20, 32) c) (20, 60) d) (40, 32) e) (40, 20)

T.4 _{(FCMSC-SP) Na figura a seguir, C é o centro de}

massa de um sistema constituído por três esferas (e1, e2e e3 ) de mesma massa.

T e s t e s

P r o p o s t o s

x(cm) y (cm) B C D E A 2 4 6 4 2 6 0

Indique qual dos pontos do gráfico representa o centro de massa do sistema.

a) A b) B c) C d) D e) E

T.2 _{(Vunesp-SP) Duas esferas homogêneas, de raios}

R1 e R2 e massas m1 e m2, foram fixadas uma à outra de modo a formar um sistema rígido, indi-cado na figura a seguir.

Sendo R1 ϭ2 R2e m m 1 2 2 , ϭ o centro do sistema

assim constituído encontra-se: a) no centro da esfera maior. b) no centro da esfera menor. c) no ponto de fixação das esferas.

d) a meia distância entre o centro O₁e o ponto de fixação.

e) a meia distância entre o centro O2e o ponto de fixação.

T.3 _{(UFC-CE) Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de}

mes-mo raio R ϭ 20 cm, e de massas m1 ϭ 1 kg, m2 ϭ2 kg, m3 ϭ3 kg, e m4 ϭ4 kg estão arruma-dos no plano horizontal, xy , conforme mostra a figura a seguir. O1 R₂ R1 m₁ m2 O2 Disco 1 m1 Disco 2 m2 Disco 4 m4 Disco 3 m3 x(cm) y (cm) 20 40 60 80 20 40 60 80 0

A terceira esfera não aparece na figura. X e Y são eixos de um sistema de referência. Quais são as coordenadas X ce Y cdo centro da esfera e3? (Os centros de massa das três esferas estão con-tidos no plano XY .) a) X c ϭ Ϫ5,0 e Y c ϭ Ϫ2,5 b) X c ϭ5,0 e Y c ϭ2,5 c) X c ϭ Ϫ2,5 e Y c ϭ2,5 d) X c ϭ2,5 e Y c ϭ Ϫ2,5 e) X c ϭ2,5 e Y c ϭ2,5 X (cm) e1 e₂ C Y (cm) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 0

(16)

T.5 _{(Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó}

estão dispostas como na figura. Dos pontos indi-cados ( F , G , H , I , J ) o que melhor localiza o cen-tro de massa desse conjunto é:

a) F b) G c) H d) I e) J

T.6 _{(Uerj) A forma de uma raquete de tênis pode ser}

esquematizada por um aro circular de raio R e massa m1, preso a um cabo de comprimento L e massa m2.

Quando R L

4

ϭ e m1 ϭm2, a distância do centro de massa da raquete ao centro do aro circular vale:

a) R 2 c) 3 2 R b) R d) 2 R

T.7 _{(ITA) Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir}

do repouso a uma altura de 25 m acima do ch ão. No mesmo instante, uma segunda bola, com mas-sa de 0,25 kg, é lançada verticalmente para cima, a partir do chão, com uma velocidade inicial de módulo 15 m/s. As duas bolas movem-se ao longo de linhas muito próximas, mas que não se tocam. Adote g ϭ10 m/s2_{e despreze o efeito de resist} ên-cia do ar. F G H I J 25 m 0,25 kg 0,5 kg

Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas bolas tem módulo igual a:

a) 11 m/s, e é dirigida para baixo. b) 11 m/s, e é dirigida para cima. c) 15 m/s, e é dirigida para baixo. d) 15 m/s, e é dirigida para cima. e) 20 m/s, e é dirigida para baixo.

T.8 _{(UFPA) Um corpo esférico de massa 6m rola}

so-bre um plano horizontal sem atrito em direção a outro corpo esférico em repouso e de massa m, com velocidade v constante. Quando os dois cor-pos estão separados por uma distância d , o cen-tro de massa do sistema estará situado a uma dis-tância da esfera maior dada por:

6m v m Repouso a) d 11 c) 6 7 d e) d 5 b) d 9 d) d 7

T.9 _{(UFPA) Na questão anterior a velocidade do}

cen-tro de massa é: a) 6v 7 d) v 7 b) v e) 7v 6 c) v 6

T.10 _{(ITA) Uma haste rígida e de massa desprezível}

pos-sui presas em suas extremidades duas massas idênticas m. Este conjunto acha-se sobre uma su-perfície horizontal perfeitamente lisa (sem atrito). Uma terceira partícula também de massa m e ve-locidade

v

desliza sobre esta superfície numa di-reção perpendicular à haste e colide com uma das massas da haste, ficando colada à mesma após a colisão.

m

v

Podemos afirmar que a velocidade do centro de massa vCM(antes e após a colisão) bem como o movimento do sistema após a colisão serão:

Movimento

v_CM(antes) v_CM(após) subseqüente

do sistema a) 0 0 circular e uniforme. b) 0 v 3 translacional e rotacional. c) 0 v 3 só translacional. d) V 3 v 3 translacional e rotacional. e) V 3 0 só rotacional.

(17)

T.11 _{(ITA) Nas extremidades de uma haste homog}

ê-nea, de massa desprez ível e comprimento L, acham-se presas as massas m1e m2. Num dado instante, as velocidades dessas massas s ão, res-pectivamente,

v

1e

v

2, ortogonais à haste.

Seja vCMa velocidade do centro da massa, em re-lação ao laboratório, e seja

ω

o módulo da veloci-dade angular com que a haste se acha girando em torno de um eixo que passa pelo centro de mas-sa. Pode-se mostrar que:

v _CM

_ω

a) m m m m 1 1 2 2 1 2

v

Ϫ

v

ϩ

͉ Ϫ ͉

v v L 1 2 b) m m m m 2 2 1 1 1 2

v

Ϫ

v

ϩ

͉ Ϫ ͉

v v L 2 1 c) m m m m 1 1 2 2 1 2

v

ϩ

v

ϩ

͉ Ϫ ͉

v v L 1 2 d) m m m m 1 1 2 2 1 2

v

ϩ

v

ϩ

(v v ) L 1

ϩ

2 e) m m m m 1 1 2 2 1 2

v

Ϫ

v

ϩ

(v v ) L 1ϩ 2

T.12 _{(Fundação Carlos Chagas-SP) A figura abaixo}

re-presenta um corpo B preso a um corpo A por in-termédio de uma mola M.

L m 1 m 2 v ₁ v 2

O conjunto está preso ao teto por um fio f e o cor-po B está oscilando verticalmente. Em determi-nado instante, o fio f arrebenta e o conjunto cai. Desprezando-se a resistência do ar, podemos afir-mar corretamente que, durante a queda,

a) a velocidade do centro de massa do conjunto é constante.

b) a aceleração do centro de massa do conjunto é constante.

c) a quantidade de movimento do corpo A é constante.

d) a quantidade de movimento do corpo B é constante.

e) as acelerações dos corpos A e B são cons-tantes.

A f

B M

T.13 _{(ITA) As massas m}_{1 ϭ}_{3,0 kg e m}_{2 ϭ}_{1,0 kg foram}

fi-xadas nas extremidades de uma haste homog ênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento.

m 1 m 2 P 40 cm

Este sistema foi colocado verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, confor-me mostra a figura, e abandonado. A massa m1 colidirá com a superfície a uma distância x do ponto P dada por: a) x ϭ0 (no ponto P ) b) x ϭ10 cm c) x ϭ20 cm d) x ϭ30 cm e) x ϭ40 cm

T.14 _{Uma pedra está em repouso sobre uma superfície}

horizontal perfeitamente lisa. Em seu interior há uma pequena bomba, que, ao explodir, estilha ça a pedra em três pedaços de massas diferentes, que passam a deslizar sobre a superf ície horizon-tal. Nessas condições, após a explosão, o que acontece com o centro de massa da pedra? a) Desaparece.

b) Movimenta-se com velocidade do pedaço de maior massa.

c) Permanece em repouso.

d) Movimenta-se com velocidade igual à soma das velocidades escalares dos tr ês pedaços. e) Realiza MRU.

T.15 _{(Fundação Carlos Chagas-SP) Um}

núcleo N desin-tegra-se em três partículas: um novo núcleo N ’, um elétron e um neutrino. Não há forças externas atuando. A velocidade do centro de massa N no instante que precedeu a desintegração era igual a

v

, em relação ao sistema do laboratório. Pode-se dizer que, em relação ao mesmo sistema: a) o centro de massa do sistema das três

partí-culas produzidas após a desintegração conti-nua com a mesma velocidade e mesma traje-tória que o centro de massa da part ícula ini-cial N .

b) a velocidade de N é ainda

v

.

c) as trajetórias descritas pelas três partículas finais e pela inicial são sempre coplanares. d) não há necessariamente conservação da

quantidade de movimento, antes e depois da desintegração.

(18)

T.16 _{(F. M. Taubaté-SP) Um objeto de massa M ,}

inicial-mente em repouso, explode em duas partes A e B, com massas de 1

3 e 2

3, respectivamente, da massa do objeto inicial. Sabendo que a dist ância entre elas em um instante t é de 30 m, então a dis-tância do corpo B ao ponto de explosão será:

a) 10 m c) 15 m e) n.d.a.

b) 20 m d) 18 m

T.17 _{(U. E. Londrina-PR) Uma das armas utilizadas}

pela forças especiais dos Estados Unidos da Am érica e da Inglaterra contra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigi-dos por satélite, viajam a 880 km/h, podendo al-cançar alvos situados a 1.600 km. Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-aviões USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em direção a uma base Talibã situada em Shidand, e descreva uma trajet ória parabólica. Suponha também que esse míssil possua um sensor com o qual se pode expl odi-lo no ar, de modo que ele se fragmente em pedacinhos pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja indevidamente a população civil. No caso de haver uma explos ão como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de massa dos fragmentos ap ós a ex-plosão, considere as seguintes afirmativas, des-prezando-se o efeito do ar:

I. O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica, por-que a explosão representa somente o efeito das forças internas.

II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um aumento, devido à conversão da ener-gia química armazenada em enerener-gia mec ânica; mas a resultante das forças externas e o movi-mento do centro de massa não se alteram. III. O centro de massa dos fragmentos não

conti-nua mais descrevendo uma trajetória parabó-lica, pois a explosão fará com que os fragmen-tos sigam trajetórias próprias.

Aponte a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é verdadeira.

c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) As afirmativas I e II são verdadeiras. e) As afirmativas II e III são verdadeiras.

T.18 _{(F. M. Itajubá-MG) Uma granada é lançada com}

uma velocidade inicial

v

0formando ângulo

θ

com a vertical, e, após descrever a trajetória da figu-ra, ela explode.

x

0

y

v

0

Após a explosão, o centro de massa dos f ragmen-tos da granada descreverá a trajetória:

a) x x x x x b) c) d) e)

(19)

R e s p o s t a s

Tema especial

Centro de Massa

Exercícios propostos

P.1 _C_{(3 cm; 3,4 cm)} P.2 _a)_AC_ϭ_{30 cm} b) AC ϭ20 cm c) AC ϭ10 cm P.3 _C_{(0, 25 cm)} P.4 _C R 3 3 0,













P.5 _y h a b a b C 3 2 ϭ ϩ ϩ ⅐ P.6 _x Rr R r C 2 2 ϭ Ϫ Ϫ 2₍ 2 ₎ y C ϭ0 P.7 Ӎ0,74R P.8 _a) _{4,0 m/s} b) 1,0 m/s P.9 _{5,0 m/s} P.10 _{5,0 m/s} P.11 _a) _{zero; 150 m/s}2 b) 100 m/s2

P.12 _{As part}í _culas_A_e_B_colidirã_{o a 4,0 cm da origem.} P.13 _{16 cm} P.14 _{60 cm} P.15 _x_{C ϩ}_y_{C ϭ}_27,5_ϩ₅₀ xC ϩy C ϭ77,5 cm P.16 _x_{C ϩ}_y_{C ϭ}₂₀_ϩ₂₀ xC ϩy C ϭ40 cm P.17 _{28 cm} P.18 _{73 cm} P.19 _{28 cm} P.20 _a) 2 9 L b) ρ ρ 1 2 16 ϭ P.21 _{a) 4,0 m/s}

b) As velocidades das esferas A eB apó_{s a colis}ã_{o s}ã_o

respectivamente 3,5 m/s e 4,5 m/s. c) 4,0 m/s P.22 _{30 m/s} P.23 _{2,5 cm/s} P.24 _{6 cm} P.25 Md M ϩd P.26 _{1-): correta. 2-), 3-) e 4-): erradas.}

Testes propostos

T.1_b T.2_c T.3_d T.4_c T.5_d T.6_c T.7_c T.8_d T.9_a T.10_d T.11_d T.12_b T.13_b T.14_c T.15_a T.16_a T.17_d T.18_c