Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ PRF - Policial /2015 (Com videoaulas)

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Aula 00

Matemática p/ PRF - Policial - 2014/2015 (Com videoaulas)

Professor: Arthur Lima

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AULA 00 – DEMONSTRATIVA

SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 01 2. Cronograma do curso 02 3. Resolução de questões 03

4. Questões resolvidas em aula 25

5. Gabarito 32

1. APRESENTAÇÃO

Olá!

Seja bem-vindo a este Curso de Matemática, concebido para auxiliar a sua preparação para o próximo concurso de Policial Rodoviário Federal (PRF), que já foi autorizado. Trata-se de um curso baseado no edital do concurso aplicado pela banca CESPE em Agosto de 2013. Caso seja publicado um novo edital durante

o nosso curso, readequarei o material para cobrir eventuais alterações no escopo.

Caso você não me conheça, segue uma breve introdução. Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), e trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, até ingressar no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Na ocasião também fui aprovado para o cargo de Analista-Tributário da RFB.

Neste curso você terá acesso a:

- toda a teoria necessária para cobrir o edital (em PDF); - vídeo-aulas sobre todos os assuntos;

- mais de 300 exercícios resolvidos e comentados por mim, com destaque para aqueles da banca CESPE.

Estarei disponível diariamente para tirar dúvidas através do fórum presente na área do aluno. Caso você queira tirar alguma dúvida comigo antes de adquirir o curso, basta escrever para arthurlima@estrategiaconcursos.com.br .

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2. CRONOGRAMA DO CURSO

Transcrevo abaixo o conteúdo previsto no último edital para a disciplina Matemática:

MATEMÁTICA:

1 Números inteiros, racionais e reais. 1.1 Problemas de contagem. 2 Sistema legal de medidas. 3 Razões e proporções; divisão proporcional. 3.1 Regras de três simples e composta. 3.2 Porcentagens. 4 Equações e inequações de 1º e 2º graus. 4.1 Sistemas lineares. 5 Funções. 5.1 Gráficos. 6 Sequências numéricas. 7 Progressão aritmética e geométrica. 8 Noções de probabilidade e estatística. 9 Raciocínio lógico: problemas aritméticos.

Com base neste edital, elaborei o cronograma a seguir:

Dia Número da Aula

13/06 Aula 00 – Demonstrativa

23/06 Aula 01 - Problemas de contagem

03/07 Aula 02 - Noções de Probabilidade

13/07 Aula 03 - Noções de Estatística

23/07 Aula 04 - Razões e proporções; divisão proporcional.

Regras de três simples e composta. Porcentagens.

03/08

Aula 05 - Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções. Gráficos. Números inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas.

13/08 Aula 06 - Sequências numéricas. Progressão aritmética

e geométrica. Raciocínio lógico: problemas aritméticos

23/08 Aula 07 - Resumo teórico

Como já sinalizei, além de ver toda a teoria necessária, trabalharemos mais

de 300 exercícios, com destaque especial para aqueles do CESPE, e você poderá

assistir vídeo-aulas sobre todos os temas.

Se sentir necessidade de mais explicações antes de adquirir o material, peço que entre em contato pelo e-mail arthurlima@estrategiaconcursos.com.br , ok?

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3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES

Nesta primeira aula vamos resolver juntos algumas questões elaboradas pelo CESPE, para você começar a se familiarizar com a banca e também com a minha forma de lecionar. É natural que você tenha alguma dificuldade em acompanhar

as resoluções de hoje, afinal ainda não vimos os tópicos teóricos pertinentes. À medida que estudarmos cada assunto voltaremos a estas questões, ok?

Vamos começar? Sugiro que você leia a questão e tente solucioná-la antes de ver a resolução comentada.

Gráfico para as duas primeiras questões

1. CESPE – POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL – 2013) Considerando os dados

apresentados no gráfico, julgue os itens seguintes.

( ) A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico.

( ) Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética.

( ) O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005.

RESOLUÇÃO:

( ) A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico.

A média do número de acidentes é: Soma Média

quantidade

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129 141 159 183 4 612 4 153 Média Média Média + + + = = =

Para obter a mediana, devemos começar escrevendo os dados em ordem crescente:

110, 111, 129, 141, 159, 183, 189

Veja que temos n = 7 valores. Trata-se de uma quantidade ímpar de valores, de modo que a POSIÇÃO da mediana é:

1 2 n Posição da mediana= + 7 1 4 2 Posição da mediana= + =

Assim, a mediana é o termo da 4ª posição. Na ordem crescente que fizemos acima, o 4º termo é o 141. Portanto, a média é 153 e a mediana é 141. Deste modo, a média é superior à mediana, o que torna o item ERRADO.

( ) Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética.

Sabemos que, em uma progressão aritmética, a subtração entre um termo da sequência e o seu anterior é sempre o mesmo valor, que chamamos de razão da progressão.

Os valores associados a 2008, 2009 e 2010 são: 141, 159, 183

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Veja que:

159 – 141 = 18 183 – 159 = 24

Repare que a razão não se mantém, de modo que não temos uma progressão aritmética. Item ERRADO.

( ) O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005.

Em 2008 tivemos 141 acidentes, e em 2005 tivemos 110. Portanto, em 2008 tivemos 31 acidentes a mais. Percentualmente, em relação ao ano de 2005, isto representa um aumento de:

P = 31 / 110 P = 28,18%

De fato é verdade que em 2008 tivemos um número de acidentes mais de 26% maior do que em 2005. Item CORRETO.

Resposta: E E C

2. CESPE – POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL – 2013) Considere que, em 2009,

tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) =159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os itens a seguir.

( ) A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000.

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( ) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.

RESOLUÇÃO:

( ) A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000.

Foi dito que temos um modelo linear. Repare que este modelo prevê que em 2007 temos 129.000 acidentes, e dois anos depois (em 2009) temos 159.000 acidentes, ou seja, 30.000 acidentes a mais. Assim, dois anos depois (em 2011), o modelo certamente vai nos dizer que temos 30.000 acidentes a mais, ou seja,

F(2011) = 159.000 + 30.000 = 189.000 acidentes

O gráfico nos informa que em 2011 tivemos exatamente 189.000 acidentes! Portanto, não há diferença entre a previsão feita pelo modelo e o número obtido no gráfico. Item ERRADO.

( ) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.

Temos uma função do tipo F(t) = At + B, e sabemos que F(2007) = 129.000. Ou seja, quando t = 2007, temos F(t) = 129.000. Assim:

F(t) = At + B F(2007) = Ax2007 + B 129.000 = Ax2007 + B B = 129.000 – Ax2007

Também sabemos que F(2009) =159.000, ou seja, F(2009) = Ax2009 + B 159.000 = Ax2009 + B

Como vimos anteriormente que B = 129.000 – Ax2007, podemos efetuar a

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159.000 = Ax2009 + (129.000 – Ax2007) 159.000 = Ax(2009 – 2007) + 129.000 159.000 – 129.000 = 2xA 30.000 = 2xA A = 15.000

Ou seja, A é um valor maior do que 14.500. Item CORRETO.

Resposta: E C

3. CESPE – TJ/RR – 2012) A caixa d’água de um hospital tem a forma de um

cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de enchimento, julgue os itens a seguir.

( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.

( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas. ( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a essa altura.

RESOLUÇÃO:

( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.

Se em 10 metros de altura temos 30000 litros, uma regra de três simples nos permite saber quantos litros temos em 3 metros de altura:

10 metros --- 30000 litros 3 metros --- X litros

10X = 3x30000

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X = 9000 litros

Item ERRADO.

( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas.

Se em 100 minutos foi possível encher 3 metros de altura, vejamos quanto tempo é necessário para encher os 10 metros de altura:

3 metros --- 100 min. 10 metros --- T

3T = 10 x 100 T = 333,33 minutos

Como 5 horas correspondem a 300 minutos, então é CORRETO dizer que serão necessárias mais de 5 horas para encher a caixa.

( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a essa altura.

Item CORRETO. Foi exatamente isto que nos permitiu resolver o item anterior.

Resposta: E C C

4. CESPE – TJ/RR – 2012) Marcos, Pedro e Paulo, servidores de um tribunal,

dedicam, respectivamente, 10, 15 e 25 horas semanais a acompanhar o trâmite de processos. Assim, os processos que chegam ao tribunal semanalmente são distribuídos pelo chefe do setor para acompanhamento do trâmite por esses três servidores em quantidades diretamente proporcionais aos tempos que cada um deles dedica a essa atividade. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

( ) Se, em determinada semana, Marcos e Paulo acompanharam, juntos, o trâmite de 98 processos, então, nessa semana, deram entrada no tribunal mais de 150 processos.

( ) A tramitação de metade dos processos que chegam semanalmente ao tribunal será acompanhada por Paulo.

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( ) Marcos acompanhará o trâmite de menos de 10% dos processos que chegam ao tribunal semanalmente.

( ) Caso, em determinada semana, cheguem 200 processos ao tribunal, Pedro acompanhará o trâmite de mais de 70 desses processos.

RESOLUÇÃO:

( ) Se, em determinada semana, Marcos e Paulo acompanharam, juntos, o trâmite de 98 processos, então, nessa semana, deram entrada no tribunal mais de 150 processos.

Veja que, ao todo, os funcionários trabalham 10 + 15 + 25 = 50 horas por semana. Já Marcos e Paulo juntos trabalham 10 + 25 = 35 horas.

Se as 35 horas destes dois corresponde a 98 processos, vejamos a quantos processos correspondem as 50 horas:

35 horas --- 98 processos 50 horas --- Total

35 x Total = 50 x 98 Total = 140 processos

Item ERRADO.

( ) A tramitação de metade dos processos que chegam semanalmente ao tribunal será acompanhada por Paulo.

Paulo trabalha 25 das 50 horas, ou seja, exatamente a metade. Logo, como a distribuição é proporcional ao tempo dedicado por cada profissional, isto significa que Paulo é responsável por metade dos processos de cada semana. Item CORRETO.

( ) Marcos acompanhará o trâmite de menos de 10% dos processos que chegam ao tribunal semanalmente.

Marcos trabalha 10 das 50 horas, ou seja, 20% das horas. Assim, ele acompanhará o trâmite de 20% dos processos. Item ERRADO.

( ) Caso, em determinada semana, cheguem 200 processos ao tribunal, Pedro acompanhará o trâmite de mais de 70 desses processos.

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Pedro trabalha 15 das 50 horas. Se 200 processos correspondem a 50 horas, então vejamos quantos processos correspondem a 15 horas:

50 horas --- 200 processos 15 horas --- N processos 50N = 15 x 200 N = 60 processos Item ERRADO. Resposta: E C E E

5. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que, das correspondências que um

carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a

A 98. B 112. C 26. D 66. E 82. RESOLUÇÃO:

Seja C o total de correspondências que deveriam ser entregues. Sabemos que:

Total = entregues de manhã + entregues à tarde + entregues no dia seguinte

5 1 14 8 5 C= C+ C+ 5 1 14 8 5 C− C− C= 40 25 8 14 40 C − − ₌ 80 C=

Como 14 ficaram para o dia seguinte, então naquele dia foram entregues 80 – 14 = 66 correspondências.

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6. CESPE – CORREIOS – 2011) Em determinado dia, todas as correspondências

recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi:

A) superior a 680 e inferior a 700. B) superior a 700 e inferior a 720. C) superior a 720. D) inferior a 660. E) superior a 660 e inferior a 680. RESOLUÇÃO:

Chamemos de x, y e z o total de correspondências destinadas às agências X, Y e Z respectivamente. Assim, o total de correspondências é:

Total = x + y + z

Para X foram metade do total, menos 30, ou seja: 30 2 x y z x= + + − 2x= + + −x y z 60 60 x= + −y z

Retiradas as correspondências de X, sobram y + z. Deste total, em Y ficaram 1/3 e mais 70, ou seja, 70 3 y z y= + + 3y= + +y z 210 2y= +z 210

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2y=180 210+ 195 y= E, finalmente, 60 x= + −y z 195 180 60 315 x= + − =

Portanto, o total de correspondências é 315 + 195 + 180 = 690.

Resposta: A

7. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o

envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial registrada, ambas de até 20g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 20g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20g, é de

A R$ 2,60. B R$ 2,70. C R$ 2,80. D R$ 2,90. E R$ 2,50. RESOLUÇÃO:

Seja S o preço de uma carta simples e R o preço de uma carta registrada. Ao enviar uma carta de cada, o valor pago é de 5 reais, ou seja,

S + R = 5 R = 5 – S

Como o custo de 3 cartas simples e 2 registradas é 11,10 reais, então: 3S + 2R = 11,10

Como R = 5 – S, podemos substituir R por 5 – S na equação acima, obtendo: 3S + 2 (5 – S) = 11,10

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S = 11,10 – 10

S = 1,10 real

Portanto, R = 5 – 1,10 = 3,90 reais. Logo, a diferença entre o custo das duas cartas é de 3,90 – 1,10 = 2,80 reais.

Resposta: C

8. CESPE – CORREIOS – 2011) As remunerações brutas mensais — isto é, sem

qualquer desconto — dos empregados de determinada empresa são calculadas com base na soma das seguintes quantidades:

• salário fixo, no valor de R$ 2.400,00, correspondente a 160 horas trabalhadas no mês;

• horas extras, definidas como a remuneração correspondente à quantidade de horas e(ou) fração de hora que ultrapassar as 160 horas exigidas, multiplicada pelo valor de cada hora completa, que é igual a R$ 15,00.

Com base nessa situação hipotética e considerando-se que, em determinado mês, a remuneração bruta de um empregado dessa empresa foi igual a R$ 2.750,00, é correto afirmar que, nesse mês, esse empregado trabalhou durante 183 horas e: A 20 minutos. B 25 minutos. C 30 minutos. D 10 minutos. E 15 minutos. RESOLUÇÃO:

Veja que, além dos 2400 reais recebidos como parcela fixa, para chegar a 2750 reais foram ganhos mais 350 reais a título de horas extras. Sendo 15 reais o valor da hora extra, então o número de horas extras foi:

350 / 15 = 23,33 horas extras

Portanto, além das 160 horas normais, o funcionário fez 23,33 horas extras, isto é, trabalhou ao todo 183,33 horas. Vejamos a quantos minutos correspondem 0,33 horas:

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0,33 hora--- T minutos

1T = 0,33 x 60 T = 20 minutos

Assim, 183,33 horas correspondem a 183 horas e 20 minutos.

Resposta: A

9. CESPE – CBM/ES – 2011) Para controlar 3 focos de incêndio, foram

selecionados 3 grupos de bombeiros. Os números correspondentes à quantidade de bombeiros de cada um dos 3 grupos são diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7. Considerando que os 2 grupos menores têm juntos 48 bombeiros, julgue os itens a seguir.

( ) O grupo com número intermediário de bombeiros tem menos de 28 bombeiros.

RESOLUÇÃO:

Os dois grupos menores são aqueles cujas quantidades de integrantes são proporcionais a 3 e 5. Juntando-os, podemos dizer que os 48 bombeiros são proporcionais a 8 (isto é, 3 + 5). Portanto, podemos descobrir as quantidades de bombeiros em cada grupo fazendo uma regra de três simples. No caso do grupo com número intermediário de bombeiros (aquele proporcional a 5), temos:

48 bombeiros --- 8 N bombeiros --- 5

8N = 5x48 N = 30 bombeiros

Portanto, este grupo tem mais de 28 integrantes. Item ERRADO.

Resposta: E

10. CESPE – TRE/ES – 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para

diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles

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passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês.

Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem.

( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil.

RESOLUÇÃO:

Seja S o salário anterior ao reajuste. Sabemos que S mais 62% de S corresponde a 26,7 mil reais. Isto é,

S + 62%S = 26700 1,62S = 26700 S = 16481,48 reais

Assim, o salário era INFERIOR a 16,5 mil reais. Item ERRADO.

Resposta: E

11. CESPE – BASA – 2012) Carlos, Eduardo e Fátima se associaram para abrir

uma pequena empresa. Para a abertura desse empreendimento, Carlos entrou com R$32.000,00, Eduardo, com R$ 28.000,00 e Fátima, com R$ 20.000,00. Após cinco anos de atividade, eles venderam a empresa por R$ 416.000,00 e dividiram esse valor pelos três sócios, de forma diretamente proporcional à quantia que cada um investiu na abertura do empreendimento. Considerando essa situação, julgue os próximos itens.

( ) Relativamente ao valor investido na abertura da empresa, o lucro obtido na venda foi inferior a 500%.

( ) Na partilha, Eduardo recebeu mais de R$ 150.000,00.

RESOLUÇÃO:

( ) Relativamente ao valor investido na abertura da empresa, o lucro obtido na venda foi inferior a 500%.

O valor investido na empresa foi de 32000 + 28000 + 20000 = 80000 reais. Como ela foi vendida por 416000, então o lucro foi:

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Lucro = 416000 – 80000 = 336000 reais

Para sabermos quanto este lucro representa, percentualmente, em relação ao valor investido, basta efetuar a divisão:

Lucro percentual = 336000 / 80000 = 4,2 = 420%

Assim, este lucro foi mesmo inferior a 500%. Item CORRETO.

( ) Na partilha, Eduardo recebeu mais de R$ 150.000,00.

Os 416mil reais foram divididos proporcionalmente ao valor investido. Assim, como Eduardo investiu 28000, a parcela a ele correspondente é dada por:

Valor da partilha Valor investido

416000 80000

Eduardo 28000

80000 x Eduardo = 28000 x 416000 Eduardo = 145600 reais

Eduardo recebeu menos de 150mil reais, de modo que o item está ERRADO.

Resposta: C E

12. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na

relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos.

Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações).

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( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 80%.

( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000.

RESOLUÇÃO:

( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 80%.

Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% (mulheres) + 13% (meninas) = 79%. Isto é, a probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a probabilidade da vítima ser um menino é de 9%. Sabemos que não é possível uma vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo (ao longo do curso veremos que temos dois eventos mutuamente excludentes).

Assim, a probabilidade de ocorrer um (ser do sexo feminino) ou outro (ser menino) desses eventos, ou seja, a probabilidade da UNIÃO desses dois eventos é a soma das probabilidades de cada um deles: 79% + 9% = 88%, que é superior a 80%.

Item ERRADO.

( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000.

Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30

Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa,

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devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total de grupos possíveis: 30 29 28 (30,3) 10 29 14 4060 3 2 1 C = × × = × × = × ×

Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.

Resposta: E C

13. CESPE – Polícia Civil ES – 2009) Na sequência numérica 23, 32, 27, 36, 31,

40, 35, 44, X, Y, Z, ..., o valor de Z é igual a 43.

RESOLUÇÃO:

Em questões como essa, onde nos é dada uma sequência, é preciso buscar a lógica existente em sua formação. Essa lógica pode ser dos mais variados tipos. Podemos ter, por exemplo, uma sequência onde todos os números são múltiplos de 7 (ex.: 14, 21, 28, 35, ...). Da mesma forma, podemos ter uma sequência onde todos os números começam com a letra “d” (ex.: 2, 10, 12, 200, ...).

Observe que o segundo termo (32) é igual ao anterior mais 9 unidades. O terceiro termo (27) é igual ao anterior menos 5 unidades. O quarto termo é igual ao anterior mais 9 unidades, e o quinto termo é igual ao anterior menos 5 unidades. E assim sucessivamente, soma-se 9 unidades e depois subtrai-se 5 unidades. Desta forma:

X será igual a 44 – 5 = 39.

Y será igual a X + 9, isto é, 39 + 9 = 48. Z será igual a Y – 5, isto é, 48 – 5 = 43.

Resposta: C

Obs.: muito cuidado com questões envolvendo sequências. O maior perigo delas é você perder muito tempo tentando encontrar a lógica, prejudicando o seu planejamento de prova (você faz e segue um planejamento durante a prova?). Portanto, ao se deparar com uma questão assim, sugiro gastar no máximo 2-3 minutos tentando encontrar essa lógica. Se não encontrar, siga resolvendo a prova, deixando para voltar nessa questão ao final, se houver tempo hábil.

Obs.2: você também poderia ter resolvido essa questão observando que, na verdade, temos 2 sequências intercaladas. Veja-as em azul e vermelho:

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Em ambas as sequências, a diferença entre um número e o próximo é igual a 4 unidades.

14. CESPE – TRE/RJ – 2012) Na campanha eleitoral de determinado município,

seis candidatos a prefeito participarão de um debate televisivo. Na primeira etapa, o mediador fará duas perguntas a cada candidato; na segunda, cada candidato fará uma pergunta a cada um dos outros adversários; e, na terceira etapa, o mediador selecionará aleatoriamente dois candidatos e o primeiro formulará uma pergunta para o segundo responder. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes.

( ) Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa. ( ) Menos de 10 perguntas serão feitas na primeira etapa do debate.

( ) Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate.

( ) A quantidade de maneiras distintas de o mediador selecionar os dois candidatos para a terceira etapa do debate é igual à quantidade de perguntas que serão feitas na segunda etapa.

RESOLUÇÃO:

Na primeira etapa, o mediador fará 2 perguntas a cada um dos 6 candidatos, totalizando 2 x 6 = 12 perguntas nesta primeira etapa.

Na segunda etapa, cada um dos 6 candidatos fará uma pergunta a cada um dos 5 outros adversários, totalizando 6 x 5 = 30 perguntas.

Na terceira etapa, o mediador selecionará aleatoriamente 2 candidatos e o primeiro formulará 1 pergunta para o segundo responder. Portanto, apenas 1 pergunta será feita nesta etapa.

Com isso em mãos, vamos julgar os itens:

( ) Na terceira etapa do debate serão feitas mais perguntas que na primeira etapa.

ERRADO. Na terceira etapa será feita apenas 1 pergunta, enquanto na primeira serão feitas 12.

( ) Menos de 10 perguntas serão feitas na primeira etapa do debate.

ERRADO. 12 perguntas serão feitas na primeira etapa.

( ) Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate.

CORRETO. Ao todo, 30 perguntas serão feitas nesta segunda etapa.

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( ) A quantidade de maneiras distintas de o mediador selecionar os dois candidatos para a terceira etapa do debate é igual à quantidade de perguntas que serão feitas na segunda etapa.

O mediador deve selecionar 2 dentre os 6 candidatos. Ele tem 6 formas de escolher o primeiro candidato, que fará a pergunta (pode escolher qualquer um dos seis disponíveis). Para a segunda escolha, ele possui apenas 5 opções de candidatos para responderem a pergunta formulada, uma vez que o candidato escolhido para perguntar não pode ser o mesmo que vai responder. Portanto, ao todo temos 6 x 5 = 30 formas de escolher dois candidatos nesta etapa. Este número coincide com a quantidade de perguntas da segunda etapa. Item CORRETO.

Resposta: E E C C

15. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois

peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100.

( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%.

RESOLUÇÃO:

Esta questão exige algum conhecimento sobre problemas de contagem (assunto da aula 01) e probabilidade (assunto da aula 02). Portanto, é natural que

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você tenha alguma dificuldade em entendê-la neste momento, antes de vermos o conteúdo teórico. Vamos analisar as alternativas.

( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100.

Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120. Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO.

( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis. Isto é feito através da combinação de 2 pessoas em grupos de 1, ou seja, C(2,1), pois a ordem de escolha das pessoas não altera os grupos. Da mesma forma, precisamos escolher 1 perito dos 2 disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis. Logo, o total de maneiras de compor as equipes é dado por:

C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48

Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO.

( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%.

O total de grupos de 5 pessoas que podemos formar utilizando as 10 disponíveis é dado por C(10,5) = 252. Já o número de casos favoráveis, isto é, aqueles que formam equipes com 1 delegado, 1 perito, 1 escrivão e 2 agentes, é igual a 48, como calculamos no item anterior.

Logo, a probabilidade de escolher um grupo de 5 pessoas que constitua uma equipe é:

(23)

Esse valor é inferior a 20%, tornando o item ERRADO.

Resposta: C E E

16. CESPE – BASA – 2012) Em seu testamento, um industrial doou 3/16 de sua

fortuna para uma instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos; 1/10, para uma entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas; 5/16, para sua companheira; e o restante para o seu único filho.

A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem.

( ) O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai. ( ) A companheira do industrial recebeu mais que o filho.

( ) A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, menos de 25% da fortuna do industrial.

RESOLUÇÃO:

( ) O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai.

Seja F a fortuna total. Sabemos que 3

16F ficou para a instituição de

alfabetização, 1

10F ficou para a entidade de pesquisa, 5

16F para a companheira, e o restante (que vamos chamar de R) para o filho. Assim, sabemos que:

Fortuna total = parte da instituição + parte da entidade + parte da companheira + parte do filho

3 1 5 16 10 16 F= F+ F+ F+R 3 1 5 16 10 16 F− F− F− F =R 160 30 16 50 160 160 160 160 F F F F R − − − = 64 160 F R = 0, 40F =R 40%F =R

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( ) A companheira do industrial recebeu mais que o filho.

A esposa recebeu 5 0, 3125 31, 25%

16F = F = da Fortuna. Logo, ela recebeu MENOS que o filho. Item ERRADO.

( ) A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, menos de 25% da fortuna do industrial.

Como o filho recebeu 40% e a companheira recebeu 31,25%, ao todo esses dois receberam 71,25% do total. Assim, sobraram 28,75% do total para a instituição e a entidade, que é MAIS de 25% da fortuna do industrial. Item ERRADO.

Resposta: C E E

17. CESPE – TJ/RR – 2012) Considere as seguintes definições:

I. os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n;

II. um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III. dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro.

Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

( ) O número 28 é um número perfeito.

( ) Os números 284 e 220 são números amigos.

( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos.

( ) Nenhum número primo é um número perfeito.

RESOLUÇÃO:

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Os divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14, 28. A soma dos divisores de 28, exceto o próprio número, é 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Portanto, segundo a definição dada no item II do enunciado, o número 28 é perfeito. Item CORRETO.

( ) Os números 284 e 220 são números amigos.

Fatorando esses dois números, você obtem: 220 = 22 x 5 x 11

284 = 22 x 71

Assim, os divisores de 220 são {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}. Veja que a sua soma (excluindo o próprio 220) é 284.

Da mesma forma, os divisores de 284 são {1, 2, 4, 71, 142, 284}. A sua soma (excluindo o próprio 284) é 220.

Logo, segundo a definição III do enunciado, estes números são amigos. Item CORRETO.

( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos.

ERRADO. Se um número for primo, ele terá apenas um divisor próprio (o próprio número 1). Veja, por exemplo, que o único divisor próprio de 7 é o número 1.

( ) Nenhum número primo é um número perfeito.

O único divisor próprio de um número primo é o 1. Portanto, a soma dos divisores próprios de um número primo é igual a 1. Assim, nenhum número primo é perfeito, pois a soma dos divisores próprios nunca será igual ao próprio número. Item CORRETO.

Resposta: C C E C

****************************************** Vemo-nos na aula 01.

Abraço,

Prof. Arthur Lima

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4. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

Gráfico para as duas primeiras questões

1. CESPE – POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL – 2013) Considerando os dados

apresentados no gráfico, julgue os itens seguintes.

( ) A média do número de acidentes ocorridos no período de 2007 a 2010 é inferior à mediana da sequência de dados apresentada no gráfico.

( ) Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética.

( ) O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o número de acidentes ocorridos em 2005.

2. CESPE – POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL – 2013) Considere que, em 2009,

tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e F(2009) =159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, julgue os itens a seguir.

( ) A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000.

( ) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500.

3. CESPE – TJ/RR – 2012) A caixa d’água de um hospital tem a forma de um

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água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de enchimento, julgue os itens a seguir.