U U n n i i v v e e
r r s s i i d d a a d d e e A A b b e e r r t t a a d d o o N N o o r r d d e e s s t t e e e e E E n n s s i i n n o o
a a D D i i s s t t â â n n c c i i a a s s ã ã o o m m a a r r c c a a s s r r e e g g i i s s t t r r a a d d a a s s d d a a F F u u n n d d a a ç ç ã ã o o D D e e m m ó ó c c r r i i t t o o R R o o c c h h a a . . É É p p r r o o i i b b i i d d a a a a d d u u p p l l i i c c a a
ç ç ã ã o o o o u u r r e e p p r r o o d d u u ç ç ã ã o o d d e e s s t t e e f f a a s s c c í í c c u u l l o o . . C C ó ó p p i i a a n n ã ã o o a a u u t t o o r r i i z z a a d d a a é é C C r r i i m m e e
. .
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Matemática
Matemática
e suas Tecnologias
e suas Tecnologias
Matemática
Matemática
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A nneecceessssididaaddee ddee ccoommpprreeeennddeerr oo ccoommppoorr t taammeenn t too ddee f feennôômmeennooss,, ddeessccrree v veerr rreegguullaarriiddaaddeess,, eess t taabbeelleecceerr rreellaaççõõeess ddee iin n-- t
teerrddeeppeennddêênncciiaa,, qquuaallii f fiiccaarr,, qquuaann t tii f fiiccaarr ee ggeenneerraalliizzaarr ccoonndduuzziuiu,, ggrraadduuaallmmeenn t tee,, aa hhuummaanniiddaaddee aaoo mmooddeerrnnoo ccoonncceeii t too ddee f
fuunnççããoo.. T Taall ccoonncceeii t too éé uummaa f foorrmmaa mmaaiisspprreecciissaa ee ddee mmaaiioorr uu t tililiiddaaddee ddoo qquuee aa nnooççããoo ccoommuumm ddee ““ f fóórrmmuullaa mmaa t teemmáá t tiiccaa””.. N
Neess t tee f faassccííccuulolo,, aabboorrddaarreemmooss aallgguummaass ddaass pprrinincciippaaisis f fuunnççõõeess mmaa t teemmáá t ticicaass:: f fuunnççããoo qquuaaddrráá t tiiccaa,, f fuunnççõõeess ee x xppoonneen n--cciiaaiiss,, ffuunnççõõeessllooggaarrítítmmicicaassee aass t trriiggoonnoomméé t trriiccaass..
B
Boonnsseess t tuuddooss!!
Objeto do Conhecimento Objeto do Conhecimento
Função Quadrática
Função Quadrática
As aplicações da função quadrática abrangem situações As aplicações da função quadrática abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, do meio social, relações de mercado e capital, engenha-ria, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, ria, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc.
problemas de otimização etc.
Defnição Defnição
Toda função f:
Toda função f:R R →→R R definida por f(x) = axdefinida por f(x) = ax22+ bx + c, em+ bx + c, em
que
que aa,, bb ee cc são números reais e asão números reais e a≠≠0, recebe o nome de0, recebe o nome de
função quadrática. função quadrática.
Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma transformação do número real
transformação do número real xx no nno número real axúmero real ax22+ bx + c.+ bx + c.
Em símbolos: Em símbolos:
x
xaxax22+ + bbxx ++ cc
Raízes da unção quadrática Raízes da unção quadrática
As raízes de uma função são os valores que a variável As raízes de uma função são os valores que a variável xx pod
pode ase asssumiumir de mr de modo odo que fque f(x) = 0. G(x) = 0. Geometrieometricamente, acamente, ass raízes de uma função representam as abscissas das raízes de uma função representam as abscissas das coor-denadas dos pontos nos quais o gráfico da função denadas dos pontos nos quais o gráfico da função inter-ssecta o eixo-x. ecta o eixo-x. Uma Uma função qufunção quadráadráttica, ica, cujo gcujo gráfico é umaráfico é uma parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente designadas por
designadas por xx11 ee xx22. Seus valores podem ser obtidos. Seus valores podem ser obtidos através
através da fórmda fórmula deula de Bhaskara.Bhaskara.
O
O valor valor de de = = bb22– 4ac determina, portanto, o número– 4ac determina, portanto, o número
de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse mo-titivo, é cvo, é chamado discriminhamado discriminante da equaçãante da equação.o.
Interpretação do discriminante Interpretação do discriminante
1º caso: se
1º caso: se > > 0, então h0, então haverá duas averá duas raízraízes es reais difreais diferenterenteses.. 2º caso: se
2º caso: se = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.= 0, então as duas raízes serão reais e iguais. 3º caso: se
3º caso: se < < 0, ent0, então não hão não haverá raízaverá raízes reaes reais.is.
Resumo gráfco Resumo gráfco
Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade volt
concavidade voltada “para cima”)ada “para cima”)..
yy xx xx11= x= x22 xx11 xx22 ∆ ∆< 0< 0 yy xx ∆ ∆= 0= 0 yy xx ∆ ∆> 0> 0
Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade volt
concavidade voltada “para baixo”)ada “para baixo”)..
xx yy yy yy xx xx11= x= x22 xx xx11 xx22 ∆ ∆< 0< 0 ∆∆= 0= 0 ∆∆> 0> 0 P
Para o traçado do ara o traçado do gráfico dgráfico de funções quadráticase funções quadráticas, é útil, é útil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são dadas por: dadas por: V Vértiértice =ce =− − −− b b a a aa 2 2 ,, 44 ∆∆ Forma atorada Forma atorada Se os valores x
Se os valores x11 e e xx22 representam as raízes de umarepresentam as raízes de uma função quadrática y = ax
função quadrática y = ax22 + bx + c, então pode-+ bx + c, então
pode-mos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x
mos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x11)·(x – x)·(x – x22)),, em que
em que aa é denominado coeficiente dominante.é denominado coeficiente dominante. E
Essssa forma forma é esa é especialmentpecialmente úte útil il para determpara determinar a finar a funçãounção quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre as Determinar as relações de interdependência entre as va-riáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. riáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para obt
Exemplo: Exemplo:
A figura mostra um arco parabólico ACB de altura A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm.
CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. MM é o pontoé o ponto médio de AB. médio de AB. C C A A M M BB T
Tomando o pontomando o pontooAA como ocomo origem rigem de um de um ssistema caistema cartrtesesia- ia-no, t
no, teremos eremos a figua figura ara abaixo:baixo:
yy C (20, 16)C (20, 16)
A
A ((00, , 00)) M M ((2200, , 00)) B B ((4400, , 00)) xx
Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma, Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma, pod
pode-se-se aplicar a forma fatoe aplicar a forma fatorada:rada: y = a(x – x
y = a(x – x11) (x – x) (x – x22))⇒⇒y = a(x – 0) (x – 40)y = a(x – 0) (x – 40)⇒⇒y = a(xy = a(x22– 40x).– 40x).
Como f(20) = 16, temos: Como f(20) = 16, temos:
16 = a(20
16 = a(2022– 40 · 20)– 40 · 20)⇒⇒16 = – 400a16 = – 400a⇒⇒aa== −−11 25 25
Logo, a função procu
Logo, a função procurada é:rada é:
y y==−−11 xx − − xx ⇒ ⇒ yy==−−x x ++ xx 25 25 4040 2525 8 8 5 5 2 2 2 2 .. ( ( ))
Máximos e mínimos em unção Máximos e mínimos em unção quadrática
quadrática
Para a função f(x) = ax
Para a função f(x) = ax22+ bx + c, temos dois casos a consi-+ bx + c, temos dois casos a
consi-derar com relaçã
derar com relação ao coeficiento ao coeficienteeaa..
1º caso: 1º caso: a a > 0> 0
a > 0 a > 0
Nesse caso, como a concavidade da parábola está Nesse caso, como a concavidade da parábola está vol-tada para cima, seu vértice V =
tada para cima, seu vértice V = − − −−
b b a a aa 2 2 ,, 44 ∆∆ representa um representa um pont
ponto de mínimoo de mínimo, o pont, o ponto mais bao mais baixo da paráixo da parábola.bola. Dessa forma, y
Dessa forma, yVV representa o menor valor da função,representa o menor valor da função, dado por: dado por: 2º caso: 2º caso: a a < 0< 0 ponto máximo ponto máximo
Nesse caso, como a concavidade da parábola está Nesse caso, como a concavidade da parábola está vol-tada para baixo, seu vértice V =
tada para baixo, seu vértice V = − − −−
b b a a aa 2 2 ,, 44 ∆∆ representa um representa um pont
ponto de máximo, o ponto de máximo, o ponto mais ao mais alto lto da paráda parábola.bola. Dessa forma, y
Dessa forma, yVV representa o maior valor da função,representa o maior valor da função, dado por:
dado por:
Observação importante: Observação importante:
Interpretar corretamente o texto é essencial para Interpretar corretamente o texto é essencial para respon-der com sucesso a questão. Assim, observe que a abscissa der com sucesso a questão. Assim, observe que a abscissa do vértice da parábola, isto é,
do vértice da parábola, isto é, não representanão representa nem o máximo, nem o mínimo valor
nem o máximo, nem o mínimo valor da fuda funçãnçãoo. O . O valovalorr es
esttá relacionado à condá relacionado à condição necesição necessásária para sria para se atine atingigir or o extremo da função (máximo ou mínimo). Isto é,
extremo da função (máximo ou mínimo). Isto é, é a condição (ou circu
é a condição (ou circunstância) nstância) para termos o máximo (oupara termos o máximo (ou mínimo) valor da função. Acompanhe o quadro-resumo mínimo) valor da função. Acompanhe o quadro-resumo abaixo. abaixo. y y aa representa o mínimo, se a > 0 representa o mínimo, se a > 0 mínimo, se a > 0 mínimo, se a > 0 representa representa V V== −∆ −∆ 4 4 o máximo, se a < 0o máximo, se a < 0 máximo, se a < 0 máximo, se a < 0 a condição para se atingir
a condição para se atingir
= =−− x x b b aa representa representa V V 2 2 o o o o a condição
a condição para se atingir opara se atingir o representa representa
Por fim, note que se o exercício cobrar o máximo (ou Por fim, note que se o exercício cobrar o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular . Entretanto, se a questão perguntar sobre uma . Entretanto, se a questão perguntar sobre uma condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcu-la
larr
Em qualquer caso, a parábola que representa a Em qualquer caso, a parábola que representa a função y = ax
função y = ax22 + bx + c intersecta o eixo-y no pon-+ bx + c intersecta o eixo-y no
pon-to de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria to de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria em relação à reta vertical que passa por seu vértice em relação à reta vertical que passa por seu vértice (ou
(ou sseja, eja, a a retreta a cujcuja a equação equação é é ). ). AcompAcompanhe anhe a a ililus- us-tração a seguir. tração a seguir. yy xx yy 0 0 (0, c) (0, c) xx11 xxvv xx22 eixo de simetria: x = eixo de simetria: x = bb 2a 2a
Exemplo: Exemplo:
Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por
por dia a Rdia a R$ 1,$ 1,50 ca50 cada litda litro. Sro. Seu peu propriroprietário petário percebeu que,ercebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 lit
10 200 litros. Dros. Desesssa forma forma, a, considconsiderandoerando xx o valor, em cen-o valor, em cen-tavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor tavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor V
V, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool,, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool, pode ser obtido pela relação:
pode ser obtido pela relação:
(1,50 – x /100): preço do litro de combustível, em reais. (1,50 – x /100): preço do litro de combustível, em reais. (1500 + 100x): quantidade vendida diariamente.
(1500 + 100x): quantidade vendida diariamente. Então:
Então: ((
Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma função quadrática com a concavidade voltada para função quadrática com a concavidade voltada para baixo, a receita terá um valor máximo, e o baixo, a receita terá um valor máximo, e o des-conto necessário para que a receita seja máxima é conto necessário para que a receita seja máxima é , isto é, se o proprietário , isto é, se o proprietário conce-der 25 centavos de desconto por litro de combustível e, der 25 centavos de desconto por litro de combustível e, consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é
[[ ]]
Questão Comentada Questão Comentada
|C5-H21| |C5-H21|
Uma pequena localidade é abastecida com água Uma pequena localidade é abastecida com água ex-traída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de traída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de 1 100 litros de água por hora. Dessa forma, a vazão total é de 1 100 litros de água por hora. Dessa forma, a vazão total é de 6 600 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende 6 600 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de poços. Porém, para cada poço adicional aumentar o número de poços. Porém, para cada poço adicional perfurado, es
perfurado, estitima-sma-se que a vaze que a vazão por pão por poço dioço diminui minui em 25 litem 25 litros porros por hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de cada um dos 7 poços fica em 1 075 litros por hora, assim, a vazão cada um dos 7 poços fica em 1 075 litros por hora, assim, a vazão total passa a ser 7 525 litros de água por hora.
total passa a ser 7 525 litros de água por hora.
A quantidade de poços adicionais a serem perfurados de modo A quantidade de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazã
que a vazão to tototal seal seja a maior pja a maior possossível é:ível é: a)
a) 16 16 b) b) 17 17 c) c) 1818 d)
d) 19 19 e) e) 2020 S
Soluolu çãção comento coment ada:ada: De a
De acordo cordo com ocom os dadoss dados, podemo, podemos es esscrever a vacrever a vazãzão to tototal como al como ;; Vazão
Vazãototaltotal = = (quant(quantidade didade de poços) · (vae poços) · (vazãzão do de cada poço). Se cada poço). Sejaeja nn a quantidade de poços adicionais, temos:
a quantidade de poços adicionais, temos:
Vazão
Vazãototaltotal= (1100 – 25n) · (6 + n)= (1100 – 25n) · (6 + n)⇒⇒ VazãoVazãototaltotal= – 25n= – 25n22+ 950n + 6 600+ 950n + 6 600
T
Trata-srata-se de uma fue de uma função quadrátinção quadrática e sca e seu gráfico eu gráfico é uma parábolaé uma parábola de concavidade voltada para baixo, assim, haverá um ponto de de concavidade voltada para baixo, assim, haverá um ponto de máximo.
máximo. A quantiA quantidade de poços dade de poços adicionadicionais ais a sa serem perfuradoserem perfurados de mod
de modo quo que a vaze a vazão totão tot al seal seja a maior pja a maior possossível represeível representnta umaa uma condição para se atingir o máximo e, dessa forma, devemos condição para se atingir o máximo e, dessa forma, devemos cal-cular
cular o o . . Logo, Logo, n n = = = = 19 19 poços.poços.
R
Resesposta posta corrcorreta: deta: d
Para Fixar Para Fixar
|C5-H20| |C5-H20| 01.
01. A luz não influi na respiração das plantas. Mantendo-seA luz não influi na respiração das plantas. Mantendo-se a planta em ambiente com O
a planta em ambiente com O22e temperatura constante, ae temperatura constante, a respiração é a mesma nas várias horas do dia. A fotossíntese respiração é a mesma nas várias horas do dia. A fotossíntese é influenciada pela quantidade de luz que a planta recebe. é influenciada pela quantidade de luz que a planta recebe. Medindo-se o volume de O
Medindo-se o volume de O22que a plantque a planta produz, obta produz, obtém-se ém-se aa curva da fot
curva da fotossossíntíntesese inde indicada adiante.icada adiante.
0 0 66 vvoo lluu mm ee dd ee gg ááss eell iimm iinn aadd oo 7 7 88 99 110 10 111 1122 1133 1144 1155 116 16 177 Horas do dia Horas do dia 1 188 2244 Seja t
Seja t∈∈[0, 24), a opção que contém a função quadrática que[0, 24), a opção que contém a função quadrática que
melho
melhor r modmodela ela o volume Vo volume V(t) de (t) de OO22produzido através daproduzido através da fotossíntese ao longo do dia é:
fotossíntese ao longo do dia é: a)
a) , , em em ququee kk é umaé uma constante real e negativa.
constante real e negativa. b)
b) V(t) = k(tV(t) = k(t22+ 24t + 12)+ 24t + 12), em que, em que kk é uma constante positiva.é uma constante positiva.
c)
c) , , em em queque kk é uma coné uma conss--tante real e negativa.
tante real e negativa. d)
d) V(t) = k(tV(t) = k(t22+ 24t + 144)+ 24t + 144), em que, em que kk é uma constante negativa.é uma constante negativa.
e)
e) , , em em queque kk é é uma uma cons- cons-tante real e positiva.
tante real e positiva. |C5-H21|
|C5-H21| 02.
02. Uma distribuidora de produtos alimentícios, ainda não im-Uma distribuidora de produtos alimentícios, ainda não im-plantada, deseja fornecer seus produtos para as cidades plantada, deseja fornecer seus produtos para as cidades AA,, B
B,, CC ee DD, situadas ao longo da mesma rodovia. A cidade, situadas ao longo da mesma rodovia. A cidade AA está situada no quilômetro 10 da rodovia; a cidade
está situada no quilômetro 10 da rodovia; a cidade BB, no qui-, no qui-lômetro 20; a cidade
lômetro 20; a cidade CC, no quilômetro 80 e a cidade, no quilômetro 80 e a cidade DD, n, noo quilô quilômetro 130metro 130.. k km m 00 kkm m 1100 kkm m 2200 kkm m 8800 A A BB CC DD km 130 km 130
Os custos do transporte da distribuidora para as Os custos do transporte da distribuidora para as ci-dades
dades AA,, BB,, CC ee DD são dados respectivamente porsão dados respectivamente por (x – 10)
(x – 10)22, (x – 20), (x – 20)22, (x – 80), (x – 80)22e (x – 130)e (x – 130)22, em que, em que xx é a posiçãoé a posição
(medida em quilômetros, a partir do Km 0) onde deverá ser (medida em quilômetros, a partir do Km 0) onde deverá ser instala
instalada a futda a futura distribuiura distribuidora.dora.
Considerando que o proprietário deseja minimizar os custos Considerando que o proprietário deseja minimizar os custos com transportes, o quilômetro onde a distribuidora deverá com transportes, o quilômetro onde a distribuidora deverá ser construída é: ser construída é: a) a) 0 0 b) b) 20 20 c) c) 6060 d) d) 80 80 e) e) 100100
•• aa
F
FiiqquueeddeeOOllhhoo
ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS
Quando um satélite artificial é colocado em uma Quando um satélite artificial é colocado em uma ór-bita geoestacionária, ele emite um conjunto de bita geoestacionária, ele emite um conjunto de on-das eletromagnéticas que podem ser captaon-das por das eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou radares na Terra. O que talvez você não antenas ou radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos são construídos tendo a saiba é que esses objetos são construídos tendo a pa-rábola como referência, isto porque tal curva possui rábola como referência, isto porque tal curva possui propriedades geométricas extremamente úteis. Na propriedades geométricas extremamente úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de uma superfície paraboloide eixo de simetria de uma superfície paraboloide espe-lhada,
lhada, ssua reflexãua reflexão ocorre de forma a fao ocorre de forma a fazezer convergirr convergir os raios em um único ponto. Da grande quantidade os raios em um único ponto. Da grande quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em latim
(em latimfocusfocussignifica fogo). Como os sinais recebidossignifica fogo). Como os sinais recebidos
(ondas de rádio ou
(ondas de rádio ou luz) sãluz) são mo muituito fro fracosacos, é neces, é necesssário cap-ário cap-tá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam tá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da ante-na ou do espelho d
na ou do espelho deve seve ser tal quer tal que tode todos os os os sinais sinais recebidosrecebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um de uma mesma direção sejam direcionados para um úni-co ponto após a reflexão. Aplica-se o mesmo princípio na co ponto após a reflexão. Aplica-se o mesmo princípio na construção d
construção de ese espelhpelhos para telescópios, antenas de radar,os para telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.
antenas parabólicas e faróis.
guia direcional guia direcional
O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional. O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional. A s
A secçecção de um farol de um automóão de um farol de um automóvel tem o formvel tem o formato deato de uma p
uma paráarábolbola (a sa (a superfuperfície esície espelhada é um pelhada é um paraboloiparaboloide). Ade). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios lumi-nosos que, após incidirem sobre a parábola, serão nosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refleti-dos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo dos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria da parábola. de simetria da parábola. FF Sup. espelhada Sup. espelhada Fa
Farrol ol de de uum am auutotommóvóveell SSeecçcção ão dde ue um fm fararolol
Objeto do Conhecimento Objeto do Conhecimento
Função Exponencial e Logarítmica
Função Exponencial e Logarítmica
As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e morte de indivíduos de uma população (animais ou morte de indivíduos de uma população (animais ou plan-tas) até a propagação de doenças em sistemas tas) até a propagação de doenças em sistemas epidemio-lógicos, todos constituem casos típicos de situações cuja lógicos, todos constituem casos típicos de situações cuja modelagem é feita através de funções logarítmicas e modelagem é feita através de funções logarítmicas e ex-ponenciais.
ponenciais.
Defnição da unção exponencial Defnição da unção exponencial
A
A funfunçãção o f:f:R R →→R R dada por f(x) = bdada por f(x) = bxx(com b(com b≠≠1 e b > 0)1 e b > 0)
é denominada função exponencial de base
é denominada função exponencial de base bb e definidae definida para
para todtodoo xx real.real. Se x = 0, então y = b
Se x = 0, então y = b00= 1, isto é, o par ordenado (0, 1) sa-= 1, isto é, o par ordenado (0, 1)
sa-ttisfaisfaz a lez a lei y = i y = bbxx. Is. Issso qo quer diuer dizezer qur que o gráfico e o gráfico de qude qualqueralquer
fun
função desção dessse tie tipo ipo intntersersecta o eixoecta o eixo yy no pontno ponto de ordenao de ordena--da 1.
da 1.
Com relação à base
Com relação à base bb, há do, há dois casis casos a considerar:os a considerar:
1º caso:
1º caso: ssee b b > > 1, e1, entntão a função é cresão a função é crescente, isto é:cente, isto é: x x > y> y⇔⇔bbxx> b> byy Gráfico Gráfico yy 0 0 xx 1 1 f é cres f é crescentcentee
2º caso:
2º caso: 0 < 0 < b < b < 1, 1, ententão a função é decresão a função é decrescente:cente: x x > y> y⇔⇔bbxx< b< byy Gráfico Gráfico yy 0 0 xx 1 1 f é decresc f é decrescententee
Uma generalização são as funções com a forma Uma generalização são as funções com a forma
. Nessas funções o coeficiente
. Nessas funções o coeficiente aa é frequen-é frequen-temente associado ao valor inicial da função, pois temente associado ao valor inicial da função, pois
Por sua vez, para cada aumento de
Por sua vez, para cada aumento de kk unidadesunidades no valor de
no valor de xx, a função é multiplicada pelo fator, a função é multiplicada pelo fator bb.. Essa compreensão dos coeficientes das funções do tipo Essa compreensão dos coeficientes das funções do tipo
é de fun
é de fundamedamentntal importal importâância para montagemncia para montagem rápida de modelos exponenciais. Acompanhe o exemplo rápida de modelos exponenciais. Acompanhe o exemplo a seguir.
a seguir. Exemplo: Exemplo:
Um agricultor está sofrendo com a infestação de Um agricultor está sofrendo com a infestação de determinada espécie de formiga que está determinada espécie de formiga que está des-truindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um truindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um especialista, este recomenda a aplicação de certo especialista, este recomenda a aplicação de certo in-seticida, explicando que, após seu uso, a população seticida, explicando que, após seu uso, a população dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias. dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias. A população inicial de formigas é estimada em 30 000 A população inicial de formigas é estimada em 30 000 espécimes. A partir dessas informações, podemos espécimes. A partir dessas informações, podemos escre-ver
ver a a poppopulação ulação de de formformigas igas em em funfunçãção o dodo tempo
tempo tt, medido em dias, transcorrido após a aplicação, medido em dias, transcorrido após a aplicação do inseticida. Nessa função temos
do inseticida. Nessa função temos a = 30 000 (popula-a = 30 000 (popula-çã
ção io inicial)nicial), temos também, temos também (pois a população(pois a população dessas formigas
dessas formigas éé reduzida mereduzida meàà tadetade
b b== 1 1 2 2 ). ). Portan-to, a população de formigas poderá ser estimada pela lei to, a população de formigas poderá ser estimada pela lei P(t) = 30 000 P(t) = 30 000·· Logaritmos Logaritmos Defnição Defnição
Dados os números reais
Dados os números reaisNN,,aa eeaa, com N > 0, a > 0 e a, com N > 0, a > 0 e a≠≠11, , oo
expoente
expoenteaaque colocamos na baseque colocamos na base aa para obtermos o nú-para obtermos o
nú-mero
mero NN é chamado logaritmo deé chamado logaritmo deNN na bna basaseeaa. E. Em m ssímbímbololos:os: A nomenclat
A nomenclatura usaura usada é a sda é a seguineguintte:e: N
N – logaritmando ou antilogaritmo– logaritmando ou antilogaritmo
aa – bas– base (quando e (quando a basa base é omie é omittida, dirida, diremos que a basemos que a base é 10)e é 10)
a
a– logaritmo– logaritmo
Exemplos Exemplos 1º) log
1º) log2216 = 4, pois 216 = 4, pois 244= 1= 166
2º) log
2º) log339 = 2, poi9 = 2, pois 3s 322= 9= 9
3º) log
3º) log771 = 0, pois 71 = 0, pois 700= 1= 1
Decorrências da defnição Decorrências da defnição
Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reco-nhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de nhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de maneira imediata da definição.
maneira imediata da definição.
Consideradas satisfeitas todas as condições de existência, Consideradas satisfeitas todas as condições de existência, temos:
temos: 1ª dec
1ª decorrorrência:ência: loglogaa1 1 = 0= 0 Pois qualquer que seja a base
Pois qualquer que seja a base aa elevada ao expoente 0,elevada ao expoente 0, apres
apresenta resultado enta resultado iguigual a 1.al a 1. 2ª dec
2ª decorrorrência:ência: loglogaaa a = 1= 1 Pois qualquer que seja a base
Pois qualquer que seja a base aa elevada ao expoente 1,elevada ao expoente 1, apres
apresenta resenta resultultado iguado igual aal aaa.. 3ª dec
3ª decorrorrência:ência: loglogaaaaaa==aa
Pois
Poisaaé justamente o expoente que devemos colocar naé justamente o expoente que devemos colocar na
base
base aa para obtermos o resultadopara obtermos o resultado aaaa..
4ª dec
4ª decorrorrência:ência: aaloglogaaNN= N= N
Pois log
Pois logaaN éN é, por força de defin, por força de definição, ição, justamentjustamente o expoentee o expoente que devemos colocar na base
que devemos colocar na base aa para obtermos o resulta-para obtermos o resulta-do
do NN..
Propriedades Propriedades
A partir da definição, podemos desenvolver algumas A partir da definição, podemos desenvolver algumas uti-lizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em lizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em propriedades que passaremos a estudar.
propriedades que passaremos a estudar. Considerando os números reais positivos
Considerando os números reais positivos aa,, NN ee MM, com, com aa≠≠1:1: P P1:1: P P22:: P P3:3: P P4:4: P
P5:5:MuMudandança de Bça de Basasee , onde
, ondeaa é uma basé uma base conveniente convenientementeemente escolhida. escolhida. Função Logarítmica Função Logarítmica Defnição Defnição É toda função f:
É toda função f:R R **++ →→ R R na forma f(x) = logna forma f(x) = logaax, em que,x, em que,
a > 0 e a a > 0 e a ≠≠1.1.
Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfico na Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfico na página seguinte.
y = log y = logaaxx (a > 1) (a > 1) 1 1 aa xx yy 1 1 P
Para 0 < a < 1, tal fuara 0 < a < 1, tal função é decrescenção é decrescentnte. e. AcompAcompanhe o ganhe o grá- rá-fico abaixo. fico abaixo. y = log y = logaaxx (0 < a < 1) (0 < a < 1) 1 1 a a xx yy 1 1 Logaritmo natural Logaritmo natural
O logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o O logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logarit-mo cuja base é o número irracional
mo cuja base é o número irracional ee, que é aproximada-, que é aproximada-ment
mente ie igugual a al a 2,72,7182811828182845828459045.9045...
Tal logaritmo é normalmente representado por
Tal logaritmo é normalmente representado porLLnn xx. Is. Istto é:o é:
n n x é equivalex é equivalente a lnte a logog
eexx
Questão Comentada Questão Comentada
|C5-H21| |C5-H21|
Admitindo-se que a luminosidade L(x) da luz solar a
Admitindo-se que a luminosidade L(x) da luz solar a xx metrosmetros abaixo do nível do oceano seja dada, em luxes, por L(x) = 1 000 · abaixo do nível do oceano seja dada, em luxes, por L(x) = 1 000 · e que um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial e que um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial quand
quando esso essa lumia luminosidade finosidade fica inferioca inferior a 10% r a 10% de seu valor na su-de seu valor na su-perfície, então a maior profundidade, em metros, que o perfície, então a maior profundidade, em metros, que o mergu-lhador pod
lhador pode atingir e atingir ssem tem ter de usaer de usar luz artifir luz artificial é igual a:cial é igual a: Dado: Dado: Ln10Ln10≈≈2,2,33 a) 4,6 a) 4,6 b) 2,3 b) 2,3 c) 0,23 c) 0,23 d) 23 d) 23 e) 11,5 e) 11,5 S
Soluolu çãção o comentada:comentada: De a
De acordo com a fórmulcordo com a fórmul aa oo valor da lumino-valor da lumino-sidade na superf
sidade na superf ície é 1ície é 1000 luxes000 luxes. Como o mergulhador não. Como o mergulhador não consegue trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade consegue trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade fica in
fica inferior ferior a 10% a 10% de seu valor na superfície, então devemos ter:de seu valor na superfície, então devemos ter:
R
Resespostposta corra correta: deta: d
Para Fixar Para Fixar
|C5-H22| |C5-H22| 03.
03. O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00,O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V
V (t) (t) = = 60 60 000 000 · · , , ondondee tt é o tempo de uso em meses eé o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é correto equipamento. Com base nessas informações, é correto afir-mar que o
mar que o valor do valor do equipequipamento amento após 45 mesapós 45 meses es de uso sede uso serárá igual a: igual a: a) a) RR$ $ 3 3 750,0750,000 b) b) RR$ $ 7 7 500,00500,00 c) c) RR$ $ 10 10 000000,00,00 d) d) RR$ $ 20 20 000,00000,00 e) e) RR$ $ 15 15 000,0000,000 |C5-H20 e H-21| |C5-H20 e H-21| 04.
04. A inflação anual de um país decresceu no período de seteA inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser modelado por uma função anos. Esse fenômeno pode ser modelado por uma função exponencial d
exponencial do to tipo ipo f(x) = a f(x) = a · · bbxx, conforme o gráfico a seguir., conforme o gráfico a seguir.
y = f(x) y = f(x) 960% 960% 7,5% 7,5% 0 0 44 77 xx((aannooss))
A taxa de inflação desse país, no quarto ano de declínio, foi de: A taxa de inflação desse país, no quarto ano de declínio, foi de: a) 60% a) 60% b) 50% b) 50% c) 40% c) 40% d) 30% d) 30% e) 22,5% e) 22,5%
••
aa
F
FiiqquueeddeeOOllhhoo
COMO SE
COMO SE RREEALIALIZA ZA A A PRPROVA OVA DO CARBONO-14DO CARBONO-14 PARA CONHECER A IDADE DOS RESTOS PARA CONHECER A IDADE DOS RESTOS ENCONTR
ENCONTRADADOS POR PAOS POR PALEONTÓLOGOSLEONTÓLOGOS??
Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14 Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14
A técnica do carbono
A técnica do carbono-14 foi descoberta nos a-14 foi descoberta nos anos quarentanos quarenta por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de car-bono-14 dos tecidos
bono-14 dos tecidos orgânicos orgânicos mortos diminmortos diminui a um ui a um ritmritmoo constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas mui
muito to exaexatas dos anos tas dos anos decorriddecorridos desos desde sua mortde sua morte.e. Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos or-gânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material gânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material que conteve carbono em alguma de suas formas. Como que conteve carbono em alguma de suas formas. Como o exame se baseia na determinação de idade através da o exame se baseia na determinação de idade através da quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o pas-sar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras sar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.
que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.
A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14 A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14
Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de ida-de conhecida (respaldada por documentos históricos) e de conhecida (respaldada por documentos históricos) e comp
comparou esta com oarou esta com os ress resultultados de sua raados de sua radiodiodatação. Odatação. Oss dif
diferentes teserentes testes reates realizados demonstraram a viabilidlizados demonstraram a viabilidade doade do método até cerca de 70 mil anos.
método até cerca de 70 mil anos.
O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quan-do estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa do estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este pro-cesso se detém e o isótopo começa a cesso se detém e o isótopo começa a desintegrar--se para converterdesintegrar--se de novo em nitrogênio-14. -se para converter-se de novo em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada 5 730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade 5 730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa. começa a ser pequena demais para uma datação precisa. Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser prote-gid
gido de qo de qualquer conualquer contamitaminaçãnação quo que posse possa masa mascaracarar os re-r os re-sultados. F
sultados. Feito eito ississo, leva-so, leva-se ao laborate ao laboratório ório onde onde sse conte contaráará o número d
o número de radiae radiações ções beta produzidas por minutbeta produzidas por minuto e poro e por grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividi
que se dividirá por doirá por dois por cada perís por cada período odo de 5.de 5.730 a730 anos denos de idade d
idade da aa amostra.mostra.
Disponível em: Disponível em: <http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI109680-EI1426,00.html>.
EI1426,00.html>.
Objeto do Conhecimento Objeto do Conhecimento
T
Trigonometria e
rigonometria e suas
suas aplicações
aplicações
Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos de triângulos deram início à Trigonometria, que com o de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do tempo, transformou-se numa genuína passar do tempo, transformou-se numa genuína ferra-ment
menta na rea na ressolução de um olução de um consconsideráveiderável núl número de pmero de pro- ro-blemas relacionados com a mecânica, a topografia, a blemas relacionados com a mecânica, a topografia, a na-vegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, vegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, es
esta abordagem tta abordagem tem como objem como objetivo petivo principrincipal a al a aplicaçãaplicaçãoo de conceitos trigonométricos em situações que de conceitos trigonométricos em situações que envol-vam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos vam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salien-tar que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que tar que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos apres
iremos apresentar, exigirá naturalmententar, exigirá naturalment e um e um razrazoáveoável l do- do-mínio algébric
mínio algébrico e geométrico do lo e geométrico do leitor.eitor.
T
Trigonometria no rigonometria no triângulo retângulotriângulo retângulo
Considere um ângulo agudo
Considere um ângulo agudoaa= med(CÂB). Construindo= med(CÂB). Construindo
perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C
perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C11, C, C22, C, C33 etc., os triângulos retângulos obtidos C
etc., os triângulos retângulos obtidos C11BB11AA, C, C22BB22AA, C, C33BB33AA etc. s
etc. serãerão semelhantes por to semelhantes por terem o ânguerem o ânguloloaacomum.comum.
A A α α C C 1 1 B B 1 1 BB22 BB33 BB C C 2 2 C C 3 3 C C C
Considerando que é amplamentonsiderando que é amplamente conhecida a e conhecida a proppropor- or-cionalidade dos lados homólogos em triângulos cionalidade dos lados homólogos em triângulos seme-lhantes, então podemos escrever as seguintes proporções: lhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:
Estas constantes k
Estas constantes k11, , kk22e e kk33dependem apenas do ângulodependem apenas do ângulo
a
ae não dos comprimente não dos comprimentos dos os dos lados elados envolvidonvolvidoss. Éoport. Éoportunouno
dar no
Assim, considerando o triângulo retângulo ABC e fixando Assim, considerando o triângulo retângulo ABC e fixando um ângulo agudo
um ângulo agudoaa, podemos definir:, podemos definir:
B B AA C C a a hipotenusa hipotenusa cateto oposto cateto oposto cateto adjacente cateto adjacente b b cc α α
Os benefícios que a Trigonometria propicia à Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilita-ção nas resoluções de problemas aparentemente difíceis ção nas resoluções de problemas aparentemente difíceis é incontestável.
é incontestável. Exemplo 1: Exemplo 1:
Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o raio
raio rr da Terra, que é um comprimento impossível de serda Terra, que é um comprimento impossível de ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os gregos, é o s
gregos, é o seguineguintte:e: S
Sobe-se a obe-se a uma tuma torre de altorre de alturaurahh e mede-se mede-se o ângule o ângulooaaqueque
faz a reta BC do horizonte de
faz a reta BC do horizonte de BB com a verticom a vertical Bcal BO do luO do lugar.gar. Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:
Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:
Torre Torre Terra Terra R R B B R R OO h h C C L L i i n n h h a
a d d o o h h o o r r i i z
z o o n n t t e e
α α
Usando as razões trigonométricas apresentadas, Usando as razões trigonométricas apresentadas, en-contramos:
contramos:
Logo, se tivermos as medidas de
Logo, se tivermos as medidas de hh eeaa(valores aces-(valores
aces-síveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente síveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente det
determinar o erminar o raio da Traio da Terra:erra:
Exemplo 2: Exemplo 2: Uma
Uma outoutra sra sitituaçãuação-pro-probloblema, ema, para mospara mosttrar a rar a impimportortânciaância da Trigonometria na resolução de problemas da Trigonometria na resolução de problemas relaciona-dos com ângulos e larelaciona-dos de um triângulo, é a questão do dos com ângulos e lados de um triângulo, é a questão do topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e para tal toma como referênc
para tal toma como referência o ponia o pontoto PP, no pico. A partir, no pico. A partir de um ponto
de um ponto AA no solo, cano solo, calcula a medida do ângulcula a medida do ânguloloaaqueque
o se
o segmentgmento AP o AP formforma com a horizonta com a horizontal local e, aal local e, afasfasttando- ando--se 1 km até o ponto
-se 1 km até o ponto BB, mede o ângulo, mede o ângulo θθ de BP com ade BP com a
hori
horizontal. Fzontal. Fazazendo uendo um dm desesenho ienho ilustratilustrativo, evo, encontncontramosramos::
PP h h P’ P’ xx α α θ θ 1 1 B B AA T
Temos quemos que:e:
S
Substitubstituindo uindo ((II) em () em (IIII), encont), encontramosramos::
P
Portortanto, a altuanto, a altura desra desejada é dada por:ejada é dada por:
T
Trigonometria num rigonometria num triângulo qualquertriângulo qualquer
E
Em vim visstta das numeroa das numerossas as apliaplicações cações em qem que se consideramue se consideram ttriângulriângulos quaisquer, vaos quaisquer, vamos apresmos apresentar dentar duas leis uas leis de gde gran- ran-de relevância na T
de relevância na Trigorigonometnometria.ria.
•
• Lei dos senos:Lei dos senos:
Em todo triângulo, as medidas dos lados são Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamen-te proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a te proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
Demonstração: Demonstração: a a R R O O P P A A B B C C α α α α
O teorema dos senos estabelece que
O teorema dos senos estabelece que sen Asen Aaa( ( )) é constante.é constante.
Acompanhe: Acompanhe: I. Seja
I. Seja OO o circunceo circuncentntro doro doDDABC;ABC;
II.
II. PProlonrolongando o segando o segmentgmento Bo BO O até encontrar a até encontrar a cir- cir-cunferência, obt
cunferência, obtemos o demos o diâmetro iâmetro BBPP;; III.
III. ObsObserve que o trierve que o triânguângulo Plo PCCB B é retângué retângulo emlo emCC, pois, pois
BP
BPé um diâmetro;é um diâmetro;
IV
IV. . Os Os ânguângulolos s ininscritscritososÂÂeePPssão ião iguguais (arco capaz);ais (arco capaz);
V
V. . No No ttriângriângululo retânguo retângulo Plo PCCBB, , ttemos:emos: sen  = sen sen  = sen PP== a a R R R R aa se senn AA 2 2 2 2 → → ==
Portanto, podemos escrever: Portanto, podemos escrever:
a a se senn AA b b se senn BB c c se senn CC R R = = = = ==22 Exemplo: Exemplo:
Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, via- jando
jando em linem linha reta, ha reta, avisavista um ta um farol emfarol em FF, 4, 45º à direi5º à direitta; a; apósapós ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção que fo
que forma 75º com srma 75º com sua trajetua trajetória, como mostra a figuória, como mostra a figura.ra.
A A BB F F 20 km 20 km 4 455ºº 7755ºº Ne
Nesssse pone pontto, a distância do no, a distância do navio ao farol avio ao farol podpode se ser calcu-er calcu-lada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo lada facilmente. Evidentemente, a medida do ânguloAFBAFB
é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos: é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:
•
• Lei dos cossenos:Lei dos cossenos:
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do prod
prodututo desso desses es doidois s lados pelo cosslados pelo cosseno do eno do ângulo ângulo formforma- a-do p
do por elesor eles..
B B C C a a c c b b ^ ^ ^ ^ ^ ^
Lei dos cossenos: Lei dos cossenos: a
a22= b= b22+ c+ c22– 2bc cos A– 2bc cos A b
b22= a= a22+ c+ c22– 2ac cos B– 2ac cos B c
c22= a= a22+ b+ b22– 2ab cos C– 2ab cos C
A A
Observação: Observação:
Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis na determinação dos ângulos de um triângulo, na determinação dos ângulos de um triângulo, conhecen-do as medidas conhecen-dos laconhecen-dos.
do as medidas dos lados. Exemplo:
Exemplo:
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhe-cida por suas belas paisagens montanhosas, o governo cida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a fig
figura a sura a seguir.eguir.
C C 2 2 0 0 0 0 m m 50º 50º B B N N 20º 20º A A PP 3 3 0 0 0 0 √ √ 3 3 m m
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
•
• o pono ponto to de partida ficar locade partida ficar localizalizado no do no terminal de tterminal de trans
rans--port
portes es coletivos (coletivos (pontpontoo AA), ), com umcom uma paraa parada intda intermedi- ermedi-ária (ponto
ária (ponto BB), ), e o ponte o ponto de chegada locao de chegada localizado no plizado no picoico do morro (ponto
do morro (ponto CC););
•
• o ponto de partida ficar localizado no pontoo ponto de partida ficar localizado no ponto AA ee
o de chegada localizado no ponto
o de chegada localizado no ponto CC, sem parada, sem parada intermediária.
Sendo ,
Sendo ,BC = 200 m, BÂP = 20º eBC = 200 m, BÂP = 20º eCBNCBN = 50º= 50º, , aa
distância entre os pontos
distância entre os pontosAA ee CC, pode se, pode ser facilmentr facilmente cae calcu- lcu-lada a partir da lei dos cossenos.
lada a partir da lei dos cossenos. Acompanhe: Acompanhe: C C 2 2 0 0 0 0 m m 50º 50º 150º 150º 20º 20º N N B B P P d d 3 3 0 0 0 0 √ √ 3 3 m m Temos: Temos: Simplificando, obtemos: Simplificando, obtemos: d = 700 metros. d = 700 metros.
Pitágoras e a relação undamental Pitágoras e a relação undamental da
da TTrigonometriarigonometria
A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Sa-mos) a descoberta independente do teorema sobre mos) a descoberta independente do teorema sobre tri-ângulos rettri-ângulos, hoje universalmente conhecido pelo ângulos retângulos, hoje universalmente conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os ca
os cattetoetos. s. É É ssabidabido quo que ese essse teoe teorema era conhecirema era conhecido pdo peloselos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes,
antes, mas smas sua prua primeira dimeira demonstraçãemonstração go geral poderal pode te ter ser sidoido dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas. demonstrações desse teorema foram apresentadas. V
Vejamos uma demonejamos uma demonssttraçãração uo uttiliilizazando ndo as as razrazões trigões trigono- ono-métricas: métricas: θ θ θ θ α α α α b b C C A A h h cc B B n n m m a a H H • • • •
Somando (I) e (II), obtemos: Somando (I) e (II), obtemos:
cc22+ b+ b22= n= na + ma = a + ma = a · a · (n + m(n + m) = a · a ) = a · a = a= a22..
Logo, c
Logo, c22+ b+ b22= a= a22(Pitágoras).(Pitágoras).
P
Por ouor outtro lado, tro lado, tem-sem-se:e:
• •
• •
S
Somomando ando (III) e (IV(III) e (IV), obt), obtemos:emos: aa22· cos· cos22aa+ a+ a22· sen· sen22aa= c= c22+ b+ b22
aa22· (cos· (cos22aa+ sen+ sen22aa) ) = a= a22
Logo, cos
Logo, cos22aa+ + ssenen22aa= = 1 (R1 (R. F. Funundamendamenttal),al),∀a∀aagudo.agudo.
Funções trigonométricas: Funções trigonométricas: Seno e Cosseno
Seno e Cosseno
As seis razões trigonométricas apresentadas até o As seis razões trigonométricas apresentadas até o mo-mento variam conforme o ângulo a que se referem. São mento variam conforme o ângulo a que se referem. São perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse in-tervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As tervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a que se referem e costumamos nomeá-las de funções que se referem e costumamos nomeá-las de funções tri-gon
gonométométricasricas. N. No ento entanto, as anto, as defindefinições aições acima pocima podem dem sserer generaliza
generalizadas padas para qura qualquer ângualquer ânguloloaada seguinte forma:da seguinte forma:
A ampliação do domínio das funções trigonométricas a A ampliação do domínio das funções trigonométricas a toda reta real faz-se recorrendo à circunferência toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigono-métrica. Ela é definida por uma circunferência de raio métrica. Ela é definida por uma circunferência de raio uni-ttário (raio = ário (raio = 1) centrada na ori1) centrada na origem dgem dos eixos os eixos cartescartesianos.ianos.
(0,1) (0,1) 90º90º 180º 180º 270º 270º (–1,0) (–1,0) (0,–1) (0,–1) ((11,,00)) xx yy + + – –
(arcos positivos, sentido
(arcos positivos, sentido anti-horário)anti-horário)
(arcos negativos, sentido horário) (arcos negativos, sentido horário)
P(x P(xpp,y,ypp)) yypp O O 1 1 a a xxpp 0º = 360º 0º = 360º
Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno do Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno do ângulo
ânguloaapara todos os valores depara todos os valores deaae não somente parae não somente para
aquel
aqueles es ententre re 0º 0º (ou (ou 0 0 radianoradianoss) ) e e 90º 90º (ou (ou radianoradianoss).). Vejamos:
Vejamos:
ee Assim, as coordenadas do ponto
Assim, as coordenadas do ponto PPsão:são: P
P(x(xpp, , yypp) = (cos) = (cosaa, sen, senaa).).
C
Conseonsequentquentemente, temente, temos:emos: ee
De modo semelhante, para o ângulo
De modo semelhante, para o ângulo aa == pp radianosradianos
(meia-volta na circunferência), temos cos(
(meia-volta na circunferência), temos cos(pp) ) = –1 = –1 e e ssen(en(pp) = 0,) = 0,
pois o ponto (x
Quando
Quandoaa= 2= 2ppradianosradianos, voltamos a ter o , voltamos a ter o ponponto to (1, (1, 0),0),
o que nos dá cos(2
o que nos dá cos(2pp) = 1 e sen(2) = 1 e sen(2pp) = 0. Prosseguindo para) = 0. Prosseguindo para
outros valores, verificamos que as funções outros valores, verificamos que as funções trigonométri-cas se repetem cada vez que adicionamos 2
cas se repetem cada vez que adicionamos 2ppradianos aoradianos ao
âângulo ngulo primitivoprimitivo aa. Da mesma forma que temos valores. Da mesma forma que temos valores
po
posssísíveis para o seno e o veis para o seno e o cosscosseno qeno quanduandooaa> 0, também é> 0, também é
possível atribuir valores às funções trigonométricas possível atribuir valores às funções trigonométricas quan-do
doaa< 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no senti-< 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no
senti-do senti-dos ponteiros senti-do relógio (sentisenti-do horário). Portanto, as do dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portanto, as duas funções, seno e cosseno, ficam bem definidas para duas funções, seno e cosseno, ficam bem definidas para todos os valores de
todos os valores deaana reta real.na reta real.
Observação: Observação:
É possível definir a função tangente do ângulo É possível definir a função tangente do ânguloaa dede
modo semelhante. modo semelhante.
•
• RRepresentação gepresentação geométeométrica drica das funçõas funções ses seno, coeno, cosssse-
e-no e t
no e tangeangente nnte na circa circunferência unferência tritrigonométrigonométricaca..
eixo dos senos
eixo dos senos eixo das tangenteseixo das tangentes
eixo dos cossenos eixo dos cossenos 90º 90º II Q II Q III Q III Q I Q I Q IV Q IV Q 180º 180º 270º 270º O O B(0,1) B(0,1) P P TT P’ P’ (–1,0) (–1,0) (0,–1) (0,–1) A(1,0) A(1,0) tg tgαα cos cosαα sen senαα α α 0º = 360º0º = 360º P
Para ara sse ter ume ter uma ideia do compa ideia do comportortamento gamento geraeral de uml de umaa função trigonométrica, é conveniente construir o seu função trigonométrica, é conveniente construir o seu grá-fico. A princípio, seria necessário conhecer todos os fico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pon-tos para
tos para obtobter o gráfico, er o gráfico, entretanto, o conjuntentretanto, o conjunto de ponto de pontosos notáveis
notáveis discdiscutiutidos ados anteriormentnteriormente permite permite conse construitruir umr umaa figura bastante próxima do gráfico desejado.
figura bastante próxima do gráfico desejado.
•
• Gráfico da função senoGráfico da função seno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = sen x, construímos o gráfico da função seno no y = sen x, construímos o gráfico da função seno no inter-valo de 0 a 2 valo de 0 a 2pp.. x x yy==sseennxx 00 00 p p//66 11//22 p p /4 /4 2 2 2//2 p p /3 /3 3 3 2//2 p p//22 11 p p 00 33pp//22 ––11 22pp 00 Propriedades Propriedades • • D(f) =D(f) =R R .. • • Im(f) = {yIm(f) = {y∈∈R R | | – – 11≤≤ yy≤≤1} = [– 1; 1].1} = [– 1; 1]. •
• ff é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x,é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x,∀∀xx∈∈R R .. •
• ff é limié limitada, pois – 1tada, pois – 1≤≤f(x)f(x)≤≤1,1,∀∀xx∈∈R R .. •
• ff é periódica, de período p = 2é periódica, de período p = 2pp • • GráficoGráfico π π 6 6 π π 4 4 π π 3 3 π π ππ yy 1 1 0 0 -1 -1 2 2 π π 2 2 3 3 π π 2 2 xx •
• Gráfico da função cossenoGráfico da função cosseno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = cos x , construímos o gráfico da função cosseno no y = cos x , construímos o gráfico da função cosseno no intervalo de 0 a 2 intervalo de 0 a 2pp.. x x yy==ccoossxx 00 11 p p /6 /6 3 3 2//2 p p /4 /4 2 2 2//2 p p//33 11//22 p p//22 00 p p – – 11 33pp//22 00 22pp 11 Propriedades Propriedades • • D(f) =D(f) =R R .. • • Im(f) = Im(f) = [– 1; 1].[– 1; 1]. •
• ff é função par, pois cos(–x) = cos x,é função par, pois cos(–x) = cos x,∀∀xx∈∈R R .. •
• ff é função limitada, pois – 1é função limitada, pois – 1≤≤ f(x)f(x)≤≤1,1,∀∀xx∈∈R R .. •
• ff é periódica, de período p = 2é periódica, de período p = 2pp.. • • GráficoGráfico π π 6 6 π π 4 4 π π 3 3 π π π π yy 1 1 0 0 -1 -1 2 2 π π 2 2 3 3 22ππ xx •
• Gráfico da função tangenteGráfico da função tangente
Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde y = t
y = tg x, cg x, com xom x≠≠ , cons, constrtruímos o gráfico duímos o gráfico da funçãoa função
tangente no
x x yy==ttggxx 00 00 p p /6 /6 3 3 3//3 p p//44 11 p p /3 /3 33 p p /2 /2 ∃∃ 22pp /3 /3 – – 33 33pp //44 ––11 55pp /6 /6 – – 3 3 3//3 p p 00 22pp 00 Propriedades Propriedades • • D(f) D(f) = = .. • • Im(f) =Im(f) =R R .. •
• ff é função ímpar, pois tg(–x) = – té função ímpar, pois tg(–x) = – tg x,g x,∀∀xx∈∈DD.. •
• ff não é limitada.não é limitada. •
• ff é periódica, de período p =é periódica, de período p =pp.. • • GráficoGráfico yy xx π π ππ 2 2 0 0 ππ 2 2 3 3 22ππ Exemplo: Exemplo:
Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em deter-minado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo minado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser aproximado pela expressão:
era periódico e podia ser aproximado pela expressão: ,,
onde
onde tt é o tempo (em horas) decorrido após o início daé o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no insta
metros) no instantnteett..
Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos
C
Coonnsseeqquueenntteemmeennttee,, , , ccoomm kk inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas (k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da (k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da ob-servação. servação. Questão Comentada Questão Comentada |C2-H8 e C3-H11| |C2-H8 e C3-H11| Três ilhas, I
Três ilhas, I11, I, I22e Ie I33, apare-, apare-cem num mapa, em cem num mapa, em esca-la 1:1
la 1:10 000, 0 000, como ncomo na figua figurara ao lado. Das alternativas, a ao lado. Das alternativas, a que melhor aproxima a que melhor aproxima a distância entre as ilhas distância entre as ilhas II11e e II22é:é: a) a) 2,3 2,3 km km b) b) 2,1 2,1 km km c) c) 1,9 1,9 kmkm d) d) 1,4 1,4 km km e) e) 1,7 1,7 kmkm S
Soluolu çãção o comentada:comentada:
Para encontrar a distância entre as ilhas I
Para encontrar a distância entre as ilhas I11e e II22, podemos recorrer à, podemos recorrer à lei dos senos, pois claramente a medida do ângulo
lei dos senos, pois claramente a medida do ânguloACBACB = 45º, o= 45º, o
que n
que nos permitos permite ese escrever:crever:
C
Como omo o mo mapa esapa esttá na esá na escala 1:cala 1:10 000, podemo10 000, podemos es entntender qender que 1 cmue 1 cm no mapa equivale a 10 000 cm na realidade. Portanto, a distância no mapa equivale a 10 000 cm na realidade. Portanto, a distância entre as ilhas I
entre as ilhas I11e e II22é igé igual a 17 vezes ual a 17 vezes 10 000 cm, isto 10 000 cm, isto é, 1,é, 1,7 km.7 km.
R
Resespostposta corra correta: eeta: e
Para Fixar Para Fixar
|C2-H8| |C2-H8| 05.
05. Do alto de prédios cir-Do alto de prédios cir-cundantes, foram feitas cundantes, foram feitas medições de ângulos medições de ângulos e outras, com vista a e outras, com vista a determinar a altura da determinar a altura da T
Torre orre EEiffiffel.el.
Tendo em conta todas Tendo em conta todas as medições as medições apresen-tadas na figura, a a tadas na figura, a altlturaura
total da torre, incluindo a antena, é, aproximadamente, igual total da torre, incluindo a antena, é, aproximadamente, igual a:
a: (consid(considere ere )) a) a) 217 217 m m b) b) 279 279 m m c) c) 301 301 mm d) d) 319 319 m m e) e) 400 400 mm |C2-H8| |C2-H8| 06.
06. Um barco navega na direção AB, próximo a um farolUm barco navega na direção AB, próximo a um farol PP, con-, con-forme a figura abaixo.
forme a figura abaixo.
30º 30º A A 11000000mm BB 60º 60º P P No ponto
No ponto AA, o navegador verifica que a reta AP, da embarca-, o navegador verifica que a reta AP, da embarca-ção ao farol, forma um
ção ao farol, forma um ângulo ângulo de 30º com de 30º com a direção ABa direção AB. Após. Após a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto
a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto BB, o navegador, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ân-gul
gulo do de 60º com a mesma direção ABe 60º com a mesma direção AB.. S
Seguineguindo do ssempre a diempre a direçãreção ABo AB, a menor di, a menor dissttância entre a em-ância entre a em-barcaçã
barcação e o o e o farol farol seserá equivalentrá equivalente, em metroe, em metross, a:, a: aa)) 500500 b)b) 55000 0 33 c)c)1 0001 000 d) d) e)e) II 2 2 II 1 1 12 cm 12 cm 105º 105º 30º 30º II 3 3 45º 45º 471,4 m 471,4 m 60º 60º 2 2 0 0 m m
