CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

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CEEJA

“MAX DADÁ GALLIZZI”

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO

APOSTILA

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Parabéns!!!

Você já é um vencedor!

Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes

de matemática da forma mais clara possível.

Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para

utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas” matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e

facilitá-la. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os

conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na

sua vida.

Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os

exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para

ajudá-lo.

No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que

nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a

nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.

Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.

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Equação de 2ºGrau

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Introdução

Textos babilônios, escritos há cerca de 4000 anos, já faziam referência a problemas que resolvemos hoje as equações de 2º grau.

Um dos problemas mais comuns nesses escritos era o que tratava da determinação de dois números, quando conhecidos a soma e o produto deles. A resolução desses problemas era estritamente geométrica: consideravam o produto dos dois números como a área; e a soma deles, o semi-perímetro de um retângulo.

As medidas dos lados do retângulo correspondiam aos números dados, que eram sempre naturais.

Esse tratamento geométrico era longo e cansativo, o que levou os gregos – e posteriormente os árabes – a buscarem um procedimento mais metódico para resolver tais problemas.

No século IX, al-Khowarizmi, matemático árabe, desenvolveu um processo para resolução desses problemas que deu início à chamada álgebra geométrica.

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Bhaskara

No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemático hindu Bhaskara (1114 – 1185) apresentou um processo puramente algébrico que permitia resolver qualquer equação de 2º grau. Ele chegou a uma fórmula que é usada até hoje e que ficou conhecida como Fórmula de Bhaskara para a resolução de equações de 2º grau.

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Equação de 2ºGrau

Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado.

Estas são as chamadas equações do 2º grau. Veja alguns exemplos:

x ² - 6 = 0 2x² = 10x x ² - 5x + 6 = 0

Repare que em todas aparece o termo x².

De forma geral, a equação do 2º grau é escrita assim:

ax² + bx + c = 0

onde a, b, e c são números quaisquer. Mas, o número a não pode ser zero, porque, nesse caso, o termo x ² seria eliminado.

 O número a é o coeficiente de x².  O número b é o coeficiente de x.  O número c é o termo independente.

Nas equações abaixo observe os valores de a, b e c:

2x2_{+ 3x – 40 = 0; onde a = 2; b = 3; c = -40}

x2_{– 7x + 10 = 0; onde a = 1; b = -7; c = 10}

5y2_{+ 3y - 2 = 0; onde a = 5; b = 3; c = -2}

2x² - 10x = 0; onde a = 2; b = -10; c = 0 y² - 6 = 0; onde a = 1; b = 0; c = -6

É de extrema importância saber reconhecer os coeficientes de uma equação de 2º grau.

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Exercício

Questão 01:

Escreva no seu caderno somente as equações que são de 2º grau com uma incógnita: a) 3x² - x + 2 = 0 b) 10x4_{– 3x² + 5 = 0} c) 2x – 7 = 0 d) x² + 5x – 6 = 0 e) 5x² - x = 0 f) 2x³ + 5x – 1 = 0 g) 7x² + 7 = 0 h) 0x² - 5x + 6 = 0

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Equação Completa e Equação Incompleta

Pela definição, devemos ter sempre . Entretanto, podemos ter ou . Assim:

 Quando e , a equação de 2º grau se diz completa. Exemplos:

5x² -7x +4 = 0 é uma equação completa ( a = 5, b = -7, c = 4 ). y² +10y +20 = 0 é uma equação completa ( a = 1, b = 10, c = 20 ).

 Quando ou ou , a equação de 2º grau se diz incompleta.

Exemplos:

x² - 9 = 0 é uma equação incompleta ( a = 1, b = 0, c = -9 ). 5t² + 10t = 0 é uma equação incompleta ( a = 5, b = 10, c = 0 ). 3y² = 0 é uma equação incompleta ( a = 3, b = 0, c = 0 ).

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Exercícios

Questão 02:

Todas as equações seguintes são de 2º grau. Nessas condições, identifique os coeficientes de cada equação:

Exemplo: x² + 5x – 3 = 0 → a = 1, b = 5, c = -3 a) 10x² - 7x + 1 = 0 b) x² + 2x – 8 = 0 c) 7p² + 10p + 3 = 0 d) y² - 3y – 4 = 0 e) -6x² + x + 1 = 0 f) -4x² + 6x = 0 g) r² - 25 = 0 h) 5x² = 0 Questão 03:

Identifique como completa ou incompleta cada equação do 2º grau abaixo: a) x² - 7x + 10 = 0 b) – 2x² + 3x – 1 = 0 c) 4x² - 6x = 0 d) x² - x – 12 = 0 e) 9x² - 4 = 0 f) 5x² - 10x = 0 Questão 04:

Forme as equações do 2º grau:

Exemplo: a = 1, b = -5, c = -6 → x² - 5x² - 6 = 0 a) a = 1, b = -6, c = 5 b) a = 3, b = 7, c = 8 c) a = 5, b = 10, c = 0 d) a = 2, b = 0, c = -18 e) a = 8, b = 0, c = 0 f) a = 1, b = -3, c = -4 g) a = 7, b = 1, c = -15 h) a = 1, b = 1, c = 0

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Fórmula de Bhaskara

Ou

Na fórmula que encontramos para a solução da equação do 2º grau, vemos que, dentro da raiz quadrada, existe o número b² - 4ac. Esse número é, em geral, representado pela letra grega (delta) e chama-se discriminante. Usando essa nova letra, temos que as raízes da equação ax² + bx + c = 0 são:

e

Onde:

O discriminante (delta) indica o número de soluções da equação do seguinte modo:

 Se for positivo, a equação terá duas soluções reais diferentes.

 Se for zero, a equação terá um só valor real para a solução.

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Resolução de Equação de 2ºgrau Completa

Veja os exemplos para resolver equações de 2º grau: EXEMPLO 1:

Resolva a equação Resolução:

Lembrando que a forma geral da equação é:

a x2_{+ b x + c = 0}

Comparamos a forma geral com a equação a ser resolvida, temos: a = 1; b = -5; c = -6 A solução da equação x² - 5x - 6 = 0 é: S = { -1, 6 }





1

2

7

5

6

2

12

2

7

5

2

7

5

1 .

2

49

5

2

2 1



































x

a

b

x

Como é positivo, teremos duas soluções reais diferentes.

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Página | 9 EXEMPLO 2: Resolva a equação Resolução: Na equação , temos: a = 1; b = 5; c = 6 A solução da equação x² + 5x + 6 = 0 é: S = { -3, -2 } EXEMPLO 3: Resolva a equação Na equação , temos: a = 1; b = 6; c = -16 A solução da equação x² + 6x - 16 = 0 é: S = { -8, 2 }

 

8 2 16 2 10 6 2 2 4 2 10 6 2 10 6 1 . 2 100 6 2 2 1                       x x x x a b x Como é positivo, teremos duas soluções reais diferentes.

 

3 2 6 2 1 5 2 2 4 2 1 5 2 1 5 1 . 2 1 5 2 2 1                         x x x x a b x Como é positivo, teremos duas soluções reais diferentes.

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Página | 10 EXEMPLO 4: Resolva a equação Na equação , temos: a = 2; b = -7; c = 3 A solução da equação 2x² - 7x + 3 = 0 é: S = { ½, 3 } EXEMPLO 5: Resolva a equação Na equação , temos: a = 1; b = 2; c = 1 A solução da equação x² + 2x + 1 = 0 é: S = { -1 }





5 , 0 2 1 4 2 4 5 7 3 4 12 4 5 7 4 5 7 2 . 2 25 7 2 2 1 ou x x x x a b x                   Como é positivo, teremos duas soluções reais diferentes.

 

1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 0 2 2 0 2 1 . 2 0 2 2 2 1                         x x x x a b x

Como é zero, teremos uma única solução real.

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Página | 11 EXEMPLO 6: Resolva a equação Na equação , temos: a = 3; b = 6; c = 4 A solução da equação 3x² + 6x + 4 = 0 é: S = { } ou S = ø

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Resolução de Equação de 2ºgrau Incompleta

São aquelas que possuem os coeficientes b e c ambos nulos, ou apenas um deles nulo. As equações incompletas podem ser resolvidas por outros métodos mais simples que a fórmula de Bhaskara. Mas também poderá ser resolvida pela fórmula obtendo a mesma solução.

A seguir veremos dois métodos de resolução para equações incompletas. EXEMPLO 7: Resolver a equação x² - 36 = 0 6 6 6 36 36 2 1 2         x x x x x A solução da equação x² - 36 = 0 é: S = { -6, 6 }

Como é negativo, equação não terá soluções reais, pois não existe (nos números reais) raiz quadrada de número negativo. Por esse motivo não há necessidade de utilizar a Fórmula de Bhaskara. Sendo assim a solução dessa equação é considerada como conjunto vazio que pode ser representada como { } ou ø .

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Página | 12 EXEMPLO 8: Resolver a equação 2x² - 288 = 0 12 12 12 144 144 2 288 288 2 0 288 ² 2 2 1 2 2 2              x x x x x x x x A solução da equação 2x² - 288 = 0 é: S = { -12, 12 } EXEMPLO 9: Resolver a equação x² + 3x = 0 x (x + 3) = 0 ou x = 0 A solução da equação x² + 3x = 0 é: S = { -3, 0 } EXEMPLO 10: Resolver a equação 3x² - 15x = 0 x (3x – 15) = 0 ou x = 0 A solução da equação 3x² – 15x = 0 é: S = { 0, 5 } 3 0 3     x x

5

3

15

3

0

15

3 





x

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Exercícios

Questão 05:

Resolva as equações do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara: a) x2 _{- 5x – 6 = 0} b) x2 _{+ 3x – 10 = 0} c) x2 _{+ 5x + 4 = 0} d) x2 _{- 8x + 15 = 0} e) x2 _{- 2x -3 = 0} f) x2 _{- 6x + 9 = 0} g) x2 _{- x - 2 = 0} h) x2 _{+ x – 30 = 0} i) 2x2 _{- 5x – 3 = 0} j) 5x2 _{+ 11x +2 = 0} Questão 06:

Qual é o número que elevado ao quadrado é igual a 25?

Questão 07:

Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?

Questão 08:

Resolva as equações incompletas: a) x² - 4 = 0 b) x² - 49 = 0 c) 2x² - 18 = 0 d) x² + 3x = 0 e) x² -5x = 0 f) 2x² -8x = 0

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Problemas do 2º grau

Nas páginas anteriores, tratamos de resoluções de equações do 2º grau. Agora, vamos resolver problemas que dependem dessas equações.

Observe que o significado das incógnitas deve ficar bem claro para que o

equacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Após a resolução da equação, devemos verificar se as duas raízes servem como resposta para o problema em questão. Freqüentemente, como você irá perceber, uma delas não faz sentido.

Como esta é uma aula de resolução de problemas, é interessante que você leia atentamente cada enunciado e pense um pouco antes de ver a solução.

PROBLEMA 1:

Um operário foi contratado para construir uma calçada em volta de dois lados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo.

20m

30m Calçada -

O terreno mede 20 m por 30 m e a calçada deve ter sempre a mesma largura. Sabendo que o operário dispõe de 72 m² de lajotas para fazer a obra, qual deve ser a largura da calçada?

Solução: É claro que a largura da calçada é nossa incógnita. Vamos então chamar de x a medida que desejamos calcular. Podemos calcular de várias formas a área da calçada, que é igual a 72 m². Uma delas é a que mostramos na figura abaixo:

Somando as áreas das três partes em que a calçada foi dividida, temos: x² + 30x + 20x = 72 ou

x² + 50x - 72 = 0

Essa é uma equação do 2º grau e nossa incógnita x, a largura da calçada, é uma de suas raízes. Vamos então resolver a equação:

30 20 x x x x Área = x² Área = 20x Área = 30x

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Página | 15 Resolvendo a equação , teremos:

a = 1; b = 50; c = -72

Como a medida do comprimento é sempre um número positivo, observe que a solução x = - 51,4 não faz sentido no nosso problema. Portanto, a largura da calçada é de aproximadamente 1,4 m, ou seja, 1 metro e 40 centímetros.

Conferindo resultados

Depois de resolver um problema, é aconselhável conferir o resultado

encontrado para verificar se ele está mesmo correto. Afinal, é sempre possível ocorrer algum engano. Vamos então conferir o resultado do problema que acabamos de resolver.

 Conferindo o problema 1

Nesse problema, encontramos para a largura da calçada x ≅ 1,4 m, aproximadamente.

Vamos então calcular a área da calçada usando esse valor:

≅ ≅

≅

que é aproximadamente 72. Se o operário tem 72 m² de lajotas para fazer a calçada, então a largura de 1,4 m está certa.

 

4 , 51 2 8 , 102 2 8 , 52 50 4 , 1 2 8 , 2 2 8 , 52 50 2 8 , 52 50 1 . 2 2788 50 2 2 1                       x x x x a b x

Utilizando uma calculadora para obter valores aproximados das raízes, temos:

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Página | 16 PROBLEMA 2:

João comprou um certo número de camisetas (todas iguais) para dar a seus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja, viu a mesma camiseta em promoção, R$ 2,00 mais barata. Desta vez, comprou uma camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00. Quantas camisetas João comprou ao todo?

Solução: precisamos dar nome às nossas incógnitas, isto é, àquilo que não conhecemos no problema. Nós não sabemos quantas camisetas João comprou da primeira vez. Vamos então chamar essa quantidade de x. Também não sabemos o preço da camiseta na primeira compra. Vamos chamar esse preço de y. Desta forma, na segunda compra, João comprou x + 1 camisetas e o preço de cada uma é y - 2, ou seja, R$ 2,00 a menos. Podemos então resumir o que conhecemos no quadro abaixo:

COMPRA Nº CAMISETAS PREÇO TOTAL GASTO

1ª COMPRA x y 96

2ª COMPRA x + 1 y – 2 90

Multiplicando o número de camisetas pelo preço de uma delas, teremos o total gasto em cada compra. Logo, as equações são as seguintes:

Temos aqui um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos inicialmente desenvolver a 2ª equação:

Como a 1ª equação nos informa que xy = 96, ficamos com:

Agora, vamos substituir esse valor de y na 1ª equação:

Aí está a equação do 2º grau fornecida pelo problema. Vamos simplificar todos os termos por 2 e resolvê-la.

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Página | 17 Resolvendo a equação , teremos:

a = 1; b = -2; c = -48

Lembre-se de que x é o número de camisetas que João adquiriu na primeira compra. Logo, esse número não pode ser - 6. Concluímos que x = 8, ou seja, João comprou 8 camisetas. Como na segunda compra ele adquiriu uma camiseta a mais, o número total de camisetas compradas é 8 + 9 = 17.

 Conferindo o problema 2

Concluímos nesse problema que João adquiriu 8 camisetas na primeira compra e 9 na segunda. Vamos então calcular o valor de y, que é o preço de cada

camiseta na primeira compra.

Temos x = 8 e a equação x.y = 96. Logo,

Então, cada camiseta custou R$ 12,00.

Vamos agora conferir a segunda compra. Sabemos que ele comprou 9 camisetas e cada uma custou R$ 10,00, ou seja, R$ 2,00 a menos. Então, ele gastou 9 · 10 = 90 reais, o que confere com o enunciado.





6 2 12 2 14 2 8 2 16 2 14 2 2 14 2 1 . 2 196 2 2 2 1                     x x x x a b x

Utilizando uma calculadora para obter valores das raízes, temos:

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Página | 18

Exercícios

Questão 09:

Os números 1, 2, 3, 4 ... são chamados de números naturais. Cada número natural possui um consecutivo, que é o número que vem depois dele. Por exemplo, o consecutivo de 1 é 2. O consecutivo de 8 é 9 etc. Multiplicando-se um número natural por seu consecutivo, encontramos 132. Que número é esse?

Questão 10:

Um terreno retangular tem 50 m² de área. Diminuindo seu comprimento em 3 m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em um quadrado. Qual é a área desse quadrado?

Sugestão: Observe a figura abaixo:

Questão 11:

Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres não

deveriam pagar. Então, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi paga. Quantas pessoas havia no grupo?

Sugestão: Escolha as seguintes incógnitas: x = número de pessoas do grupo

y = valor que cada um deveria pagar

Questão 12:

Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:

Imagine que 480 soldados estão formados, arrumados em linhas e colunas. O número de linhas é 4 unidades maior que o número de colunas. Quantas são as linhas e as colunas dessa formação?

2

x 3

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Gabarito

Questão 01: Alternativas: a, d, e, g. Questão 02: a) a=10; b=-7; c=1 b) a=1; b=2; c=-8 c) a=7; b=10; c=3 d) a=1; b=-3; c=-4 e) a=-6; b=1; c=1 f) a=-4;b=6; c=0 g) a=1; b=0; c=-25 h) a=5; b=0; c=0 Questão 03: a) Equação completa; b) Equação completa; c) Equação incompleta; d) Equação completa; e) Equação incompleta; f) Equação incompleta. Questão 04: a) x2-6x+5=0 b) 3x2 +7x+8=0 c) 5x2 +10x=0 d) 2x2-18=0 e) 8x2=0 f) x2-3x-4=0 g) 7x2+x-15=0 h) x2+x=0 Questão 05: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Questão 06: O número 5. Questão 07: O número 2. Questão 08: a) b) c) d) e) f) Questão 09: O número 11.

Questão 10: Lado 7m e Área 49m2 . Questão 12: 9 pessoas.

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Bibliografia

Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

 Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 2000.

 Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

 Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999.

 Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

 Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo: Moderna, 1999.

 Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

 Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

 Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

 A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.