Física 3 (EMB5043): Lei de Coulomb

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Física 3 (EMB5043): Lei de Coulomb

MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre Duarte

Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

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Sumário

• Carga elétrica

• Materiais e eletrização

• A lei de Coulomb

• O princípio da superposição

• Cálculo da força resultante para partículas

• Corpos extensos carregados

• Cálculo da força resultante para corpos extensos

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Material para estudos

• Capítulo 21 do Halliday volume 3 e capítulo 2 do Moysés volume 3

• Estudar os problemas da Lista 1 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

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Carga elétrica

• É o análogo da massa gravitacional e possui duas formas, chamadas positiva e negativa por Benjamin Franklin.

• Em situações normais, um corpo possui a mesma quantidade de cargas positivas e negativas (carga neutra).

• Pode-se produzir o desequilíbrio de cargas em um corpo por meio do atrito. Lei da conservação da carga elétrica (século XVIII).

https://pt.wikipedia.org/wi ki/Benjamin_Franklin

do atrito. Lei da conservação da carga elétrica (século XVIII).

• Charles Du Fay descobre a atração e a repulsão entre cargas elétricas (século XVIII). Contemporâneo de Franklin.

• Joseph J. Thomson descobre o elétron (século XIX).

• Robert A. Millikan descobre a carga do elétron (século XX):

https://pt.wikipedia.org/wi ki/Joseph_John_Thomson

1, 602 10 19 C

e = × ⁻

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Materiais e eletrização

CONDUTORES E ISOLANTES

• ISOLANTES: cargas elétricas não podem ser transmitidas através destes materiais. Exemplos: vidro, água destilada e a borracha.

• CONDUTORES: cargas elétricas podem ser transmitidas através destes materiais. Exemplos: metal, água contendo ácidos e o corpo humano.

Em clima úmido, é comum que materiais isolantes possam transmitir cargas elétricas devido a formação de uma fina camada de água sobre os objetos.

Existem três formas de eletrização:

Atrito

 Contato

 Indução

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Lei de Coulomb

https://pt.wikipedia.org/wiki/J oseph_Priestley

• Os estudos sobre a lei de interação entre cargas, o cientista britânico Joseph Priestley inferiu analogias com a lei de gravitação de Isaac Newton, na metade do século XVIII. Foi contemporâneo de Benjamin Franklin.

https://pt.wikipedia.org/wiki/C harles_Augustin_de_Coulomb

• O engenheiro francês Charles Augustin de Coulomb utilizou os trabalhos de Priestley para obtenção da lei que carrega seu nome, no fim do mesmo século.

(7)

Lei de Coulomb

A lei de Coulomb estabelece a relação entre duas cargas elétricas por meio de uma força de atração ou repulsão elétrica:

q -

r

2 0

4 ˆ

F Qq r

πε r

=

+

Q

r F

F

^{em que} ^Q ^e ^q representam o valor das cargas positiva e negativa, respectivamente. No SI, a carga elétrica é dada em coulomb (C) e 1/4πε₀ ≈ 9×10⁹ N·m²/C².

A força elétrica é uma força central, i.e., é uma força que tem direção radial e depende do raio r.

A lei de Coulomb satisfaz o princípio da superposição.

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Lei de Coulomb

PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

O princípio da superposição estabelece que a força total sobre um corpo é a soma de todas as forças individuais que atuam sobre ele.

q

₂

-

r

⁴ ⁱ ⁰ ^{j i}

( )

^ij^j ² ^ˆ^ij

q q

F r

πε _≠ r

=



+

q

₁

r

₁₂

F

12

- q

₃

F

₁₃

r

₁₃

F

( ) ( )

³

1 2

12 13

2 2

0 12 13

ˆ ˆ

4

q q q

F r r

r r

πε

 

=  + 

 

 

( )

0 j i

rij

≠

12 13

F = F + F

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Exemplo – Resolução 1

CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS

Considere uma partícula +q′ sob a ação de duas forças aplicadas pelas cargas +q e –q posicionadas nos vértices do triângulo isósceles da figura abaixo. Calcule a força resultante sobre +q′.

ˆ

i

q

j

F = q  r

H. M. Nussenzveig, Curso de física básica (vol. 3)

A força resultante é dada por:

( )

²

0

4 ˆ

i j

ji

j i ji

q q

F r

πε

≠

r

= 

que aplicada para a figura ao lado, fica:

1 2

2 2

0 1 2

' ˆ ˆ

4 q q q

F r r

r r

πε

 

=  + 

 

CUIDADO: Ao utilizar a versão vetorial da lei de Coulomb, utilize o módulo da carga. A natureza repulsiva ou atrativa da interação é

implementada no vetor unitário.

r1

r2

(10)

Exemplo – Resolução 1

( ) ( )

1 1

1

ˆ ˆ

cos sin

ˆ r r x r y

r r r

θ + θ

= =

Os versores r1 e r2 são dados por:

( ) ( )

2 2

2

ˆ ˆ

cos sin

ˆ r r x r y

r r r

θ − θ

= =

Repulsão Atração

r1

r2

(11)

Exemplo – Resolução 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ

cos sin cos sin

' 4

r x r y r x r y

q q q

F r r r r

θ θ θ θ

πε

  +   − 

 

=    +  

    

 

( )

^ˆ

( )

^ˆ

( )

^ˆ

( )

^ˆ

cos sin cos sin

' r x r y r x r y

F qq ^ θ + θ   θ − θ ^

= ₂   + 

4 0

F ⁼ πε r ^^ r ^{ } ⁺ r ^^

( ) ( ) ( ) ( )

3 0

' cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ

4

F qq r x r y r x r y

r θ θ θ θ

= πε  + + − 

( ) ( )

3 2

0 0

' '

ˆ ˆ

2 cos cos

4 2

qq qq

F r x x

r θ r θ

πε πε

= =

(12)

Exemplo – Resolução 1

r1

r2

( )

₂ ₂

cos d d

r D d

θ = =

+

2 r D + d

( ) ( )

³

2 3

2 2 2

0 0

0

' ' '

ˆ ˆ ˆ

2 cos 2 2

qq qq d qq d

F x x x

r r D d

πε θ πε πε

= = =

+

(13)

Exemplo – Resolução 2

r1

r2

θ

θ ^cos

( )

^d ₂^d ₂

r D d

θ = =

+

( ) ( )

1_x 2_x 1 cos 2 cos

F = F + F = F θ + F θ

( )

1_x 2_x 2 cos1

F = F + F = F

θ

( ) ( )

³

2 2

2 2 2

0 0

0

' ' '

2 cos

4 2 2

qq qq d qq d

F r r r d D

πε θ πε πε

    

=   =    =

     +

(14)

Corpos extensos carregados

Corpos extensos são objetos com dimensões físicas da mesma ordem de grandeza das dimensões locais. Se o corpo está carregado, há uma distribuição de cargas elétricas que dá origem à densidade linear, superficial ou volumétrica de carga.

q dl_i

dq_i dA

dq_i

i i

i

dq λ = dl

l dq_i q

A dA_i

q

i i

i

dq σ = dA

dV_i

dq_i

q V

i i

i

dq ρ = dV

Densidade linear de carga

Densidade superficial de carga Densidade volumétrica de carga

(C/m)

(C/m²) (C/m³)

(15)

Exemplo

CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA CORPOS EXTENSOS

Uma carga +Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força elétrica resultante sobre uma carga pontual +q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu plano?

RESOLUÇÃO NO FORMATO ESCALAR 1º passo: calcular o elemento de força elétrica dF de dQ sobre q:

em que dQ é um elemento de carga do comprimento dl do anel.

2

4 0

dF qdQ

πε

r

=

(16)

Exemplo

2º passo: determinar o elemento de força resultante:

em que e

( ) ( )

³

2 2 3

2 2 2

0 0 0

0

4 cos 4 4 4

R

qdQ qdQ D qdQD qdQD

dF r r r r D

πε θ πε πε πε ρ

= = = =

+

( )

cos D

θ = r r = ρ² + D²

(17)

Exemplo

3º passo: escrever dQ em função da densidade de carga do corpo e realizar a integração.

com ou

( )

( ) ( )

2

3 3 3 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

,

4 4 4

q dl D

qdQD q D

dF F dl

D D D

λ λ πρ

πε ρ πε ρ πε ρ

= = =

+ + +

∫

(

² ²

)

³²

(

² ²

)

³²

0 0

2

4 4

q D qQD

F

D D

λ πρ

πε ρ πε ρ

= =

+ + 2

λ Q

= πρ Q =λ πρ2

(18)

Exemplo – Análise

Considerando o resultado:

qQD qQ 2 , se

D πε ρ

 ≪

O anel se torna uma carga obtemos

(

² ²

)

³²

4 0

F qQD

D πε ρ

=

+

2 0

, se 4

0, se D D F

D πε ρ

ρ

≈ 



≪

≫

uma carga pontual

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Dúvidas?

diego.duarte@ufsc.br Skype: diego_a_d

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