Curso de História da Matemática
Origens e Desenvolvimento do cálculo
Autora: Margaret E. Baron Vol. 1, 2, 3, 4, 5
Contextualizando
Século XV e início do século XVI: aplicação prática na matemática.
Arquimedes foi amplamente estudado , uma vez que, ele foi o matemático que mais se
destacou, até então, na aplicação da matemática a problemas físicos.
*Utilização do método de exaustão.
Contextualizando
Johannes Kepler e Galileu Galilei foram os primeiros a abandonar a estrutura de demonstração de
Aristóteles em troca do uso do indivisível.
Galileu esperava achar leis fundamentais que formassem o fundamento para a ciência.
Kepler aplicou suas idéias no cálculo de áreas e volumes utilizando a noção de que eles eram
compostos de uma quantidade infinita de retas ou planos.
Johannes Kepler Galileu Galilei
O cálculo
O cálculo foi desenvolvido através do estudo de curvas.
Na metade o século XVII Descartes introduziu métodos algébricos à geometria mostrando que as curvas
podem ser representadas por equações. Tornou-se possível usar tais equações para exprimir as relações entre a abcissa (x) e a ordenada (y).
A abcissa, a ordenada e outras quantidades tais como a subtangente , a norma, a área são chamadas de
quantidades variáveis vinculadas à curva
Issac Newton (1642-1727)
• Newton nasceu em um período em que idéias como a de que os corpos celestes pudessem estar sujeitos as mesmas leis dos corpos terrestes e que estas leis pudessem ser melhor
compreendidas
mediantes a matemática ganhavam crescente
apoio.
Issac Newton
• Além de se interessar
pela matemática, Newton faz também
investigações importantes sobre a teoria da luz;
procurou por anos uma forma de transformar metais em ouro e até construiu um telescópio de espelho altamente eficaz e de reduzido tamanho.
Issac Newton
Os ensaios pelos quais o cálculo de Newton tornou-se
conhecido foram:
• De analysi per equationes
numero terminorum infinitas (1669)
• Methodus fluxionum et
serierum infinitarum (1671) – não publicado em vida
• Tractatus de quadratura curvarum (1693)
• Principia (1687)
Issac Newton
Fluentes e Fluxões
Idéia de curvas por movimento
Se x, y, z são os fluentes, ou seja, são variáveis que aumentam ou diminuem com o tempo, então
representam as fluxões ou velocidades.
Séries infinitas
Utilização de séries infinitas como ferramenta no
desenvolvimento de métodos sistemáticos de integração.
• Quadratura das curvas
• Retificação de arcos
z y x, ,
Issac Newton
Notação
• A notação x,y na descrição de uma curva, foi
naturalmente introduzida por Descartes; Newton a utilizava consistentemente para a abcissa e a ordenada
• Os eixos eram traçados de modo usual e em posição retangular
• Não utilizava um símbolo especial para denotar o processo de integração
• Utilizava um ponto para as fluxões
Issac Newton
Resolução de problemas
Newton reconheceu a necessidade de um tratamento sistemático para todos os problemas referentes às propriedades das linhas curvas.
Desde o início dos seus estudos, estabeleceu tabelas de resultados que lhe possibilitassem a integração e
diferenciação diretas.
Fica claro que seu objetivo era estabelecer regras
compreensivas através das quais todas as propriedades identificáveis das curvas que conhecia pudessem ser deduzidas com o mínimo de esforço.
Gottfried Leibniz (1646-1716)
Formado em direito pela Univerdade de Altdorf.
Interessado pela
matemática além do cálculo investigou o sistema de números binários e explorou a teoria dos
determinantes.
Gottfried Leibniz
Characteristica generalis
Idéia: uma linguagem simbólica geral com a qual poderiam ser traduzidos todos os processos de raciocínio e de
argumento. Ela teria certas regras lógicas, que garantissem, se fossem obedecidas, que o argumento seria correto.
Uma vez traduzido um problema para a linguagem simbólica, a aplicação das regras conduziria quase mecanicamente a sua solução.
Leibniz não encontrou essa tal linguagem simbólica !!
Os conceitos do cálculo de Leibniz
• Diferenciais: A diferencial de uma variável y é a diferença infinitamente pequena entre dois valores consecutivos de y.
• Integrais ou somas: é a soma de retângulos infinitamente pequenos. Portanto, é a área da curva. (Leibniz não indica o intervalo de
integração. Assim, as fórmulas não explicitam as constantes de integração)
Diferenças entre o cálculo de Newton e Leibniz
1. A concepção das quantidades variáveis
2. Os conceitos fundamentais da fluxão e da diferenciação
3. A concepção da integral, o teorema fundamental
4. Quantidades infinitamente pequenas 5. Notação
6. Os papéis das figuras e das fórmulas
Difusão do cálculo Leibniziano
Início da difusão devido as atividades dos irmãos Jakob e Johann Bernoulli
Divulgação de artigos escritos pelos Bernoulli e pelo próprio Leibniz através da Acta eruditorum
Faltava entretanto um livro apropriado. Essa falha foi suprida pela obra Analyse des infiniments petits, escrita pelo marques Guillaume François de l’Hôpital
Críticas de Berkeley os conceitos fundamentais do cálculo
• Quantidades extremamente (ou
infinitamente) pequenas, chamadas de
infinitesimais, diferenciais não podem ser concebidas claramente.
• A prática de trabalhar com tais quantidades no cálculo envolve um contradição:
primeiramente supõe-se que elas sejam diferentes de zero , e depois igual a zero.
No século XIX...
Fundamentos do cálculo foram firmemente fixados:
• Considerou-se as variáveis como funções de uma variável independente
• Introduziu a derivada como conceito fundamental do cálculo
• Utilizou-se o conceito de limite bem explicito na definição da função derivada
Do cálculo à análise
Por volta de 1800, todas as disciplinas de matemática que tratavam dos processos infinitos (limites,séries, diferenciação, integração) foram reunidas sob o nome de análise.
O cálculo, por volta de 1700, era ainda essencialmente orientado para a geometria. Tratava de problemas sobre curvas, empregava símbolos algébricos, mas as quantidades de que se utilizava eram
principalmente interpretadas como ordenadas e abcissas de curvas, ou como outros elementos de figuras geométricas.
Durante a primeira metade do século diminuiu o interesse pela origem geométrica dos problemas e os matemáticos passam a se interessar mais pelos símbolos e fórmulas do que pelas figuras.
A análise tornou-se o estudo e a manipulação de fórmulas.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Foi o responsável por essa mudança de atitude na análise.
Livros: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique
Résumé des leçons
donnés a l’École Polytechnique sur le calcul infinitesimal
Cauchy apresentou um outro enfoque para a integração definindo-a como um
somatório que tende a um limite.
