GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
GMA
LISTA DE EXERC´ICIOS Pr´e-C´alculo
Humberto Jos´e Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
09
A fun¸c˜ao raiz quadrada, fun¸c˜ao cujo gr´afico ´e um semic´ırculo, fun¸c˜ao par e fun¸c˜ao ´ımpar
[01] Determine o dom´ınio natural (efetivo) de cada uma das fun¸c˜oes indicadas abaixo.
(a) f(x) =√
2x−3, (b) f(x) =√
|x| −1, (c) f(x) =√
−x, (d) f(x) =√
|x|, (e) f(x) =√
x/(x2−1), ( f ) f(x) =√ x/√
x2−1.
[02] Considere a senten¸ca √
a=b ⇒ a =b2.
(a) A senten¸ca ´e verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstra¸c˜ao caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a rec´ıproca da senten¸ca. A rec´ıproca ´e verdadeira ou falsa? Apresente uma demons- tra¸c˜ao caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[03] (Resolvendo equa¸c˜oes com ra´ızes quadradas)Ao se resolver uma equa¸c˜ao envolvendo ra´ızes quadradas, ´e comum “elevarmos cada lado da equa¸c˜ao ao quadrado”. Por exemplo, para resolver
a equa¸c˜ao √
x+ 3 =x+ 1,
´e comum considerar a equa¸c˜ao
(√
x+ 3)2 = (x+ 1)2, isto ´e,
x+ 3 = (x+ 1)2. Contudo, pelo exerc´ıcio anterior, vale que toda solu¸c˜ao de √
x+ 3 =x+ 1 ´e solu¸c˜ao de x+ 3 = (x + 1)2, mas nem toda solu¸c˜ao de x+ 3 = (x + 1)2 ´e solu¸c˜ao de √
x+ 3 = x+ 1. Neste exemplo, x = −2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x+ 3 = (x + 1)2, mas x = −2 n˜ao ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao √
x+ 3 = x+ 1. Assim, cuidado! Como o processo de “elevar cada lado de uma equa¸c˜ao ao quadrado” gera uma implica¸c˜ao e n˜ao uma equivalˆencia, nem toda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao final ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao inicial! ´E preciso tirar a “prova real”
das solu¸c˜oes calculadas no final!
Resolva as equa¸c˜oes indicadas a seguir.
(a) √
x−1 =x−3, (b) √
x2−3 =√
x−3, (c) x+√
x−2 = 4.
[04] Considere a senten¸ca
a≤√
b ⇒ a2 ≤b.
(a) A senten¸ca ´e verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstra¸c˜ao caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(b) Escreva a rec´ıproca da senten¸ca. A rec´ıproca ´e verdadeira ou falsa? Apresente uma demons- tra¸c˜ao caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
[05] Resolva a desigualdadex≤√
3x−2.
[06] Considere a fun¸c˜ao
f(x) = 2x√
x+ 1− x2 2√
x+ 1
x+ 1 .
(a) Determine o dom´ınio natural (efetivo) de f. (b) Mostre que
f(x) = x(3x+ 4) 2 (x+ 1)√
x+ 1 para todox no dom´ınio natural (efetivo) de f.
(c) Determine (caso existam) os valores dex para os quais f(x)>0.
[07] Desenhe os gr´aficos das fun¸c˜oes f(x) = √
1−x2, g(x) = −√
1−x2 e h(x) =√
7−x2.
[08] (a) Se o ponto (5,3) estiver no gr´afico de uma fun¸c˜ao par, que outro ponto tamb´em dever´a estar no gr´afico?
(b) Se o ponto (5,3) estiver no gr´afico de uma fun¸c˜ao ´ımpar, que outro ponto tamb´em dever´a estar no gr´afico?
[09] Uma fun¸c˜ao tem o dom´ınio [−5,5] e uma parte de seu gr´afico ´e mostrada na figura a seguir.
(a) Complete o gr´afico de f sabendo que f ´e uma fun¸c˜ao par.
(b) Complete o gr´afico de f sabendo que f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.
[10] Para cada item a seguir, determine se f ´e par, ´ımpar, nenhum dos dois ou os dois ao mesmo tempo.
(a) y=f(x) = x−2, (b) y=f(x) = x−3, (c) y=f(x) = x2+x, (d) y=f(x) = x4−4x2,
(e) y=f(x) = x3−x, ( f ) y=f(x) = 0, (g) y=f(x) = 1,
(h) y=f(x) = 3x3+ 2x2+ 1.
[11] Verdadeiro ou falso? Se f ´e uma fun¸c˜ao par, ent˜ao f n˜ao ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. Justifique sua resposta!
[12] Diga se cada uma das senten¸cas abaixo ´e verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f+g ´e par.
(b) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f+g ´e ´ımpar.
(c) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f+g ´e par.
(d) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f+g ´e ´ımpar.
(e) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f+g ´e par.
( f ) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f+g ´e ´ımpar.
(g) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f+g ´e par.
(h) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f+g ´e ´ımpar.
[13] Diga se cada uma das senten¸cas abaixo ´e verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f·g ´e par.
(b) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f·g ´e ´ımpar.
(c) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f·g ´e par.
(d) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f·g ´e ´ımpar.
(e) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f·g ´e par.
( f ) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f·g ´e ´ımpar.
(g) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f·g ´e par.
(h) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f·g ´e ´ımpar.
[14] Diga se cada uma das senten¸cas abaixo ´e verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstra¸c˜ao caso a senten¸ca seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa.
(a) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f◦g ´e par.
(b) Sef: R→R´e par eg: R→R´e par, ent˜ao f◦g ´e ´ımpar.
(c) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f◦g ´e par.
(d) Sef: R→R´e par eg: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f◦g ´e ´ımpar.
(e) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f◦g ´e par.
( f ) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e par, ent˜ao f◦g ´e ´ımpar.
(g) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f◦g ´e par.
(h) Sef: R→R´e ´ımpar e g: R→R´e ´ımpar, ent˜ao f◦g ´e ´ımpar.
[15] Mostre sef: R→R´e uma fun¸c˜ao par e ´ımpar ao mesmo tempo, ent˜aof ´e a fun¸c˜ao nula (isto ´e, f(x) = 0 para todo x∈R).
[16] Sejaf: R→Ruma fun¸c˜ao real qualquer. Defina g(x) = f(x) +f(−x)
2 e h(x) = f(x)−f(−x)
2 .
(a) Mostre que f =g+h, queg ´e uma fun¸c˜ao par e que h ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.
(b) Determine as fun¸c˜oesg e h para o caso em quef ´e uma fun¸c˜ao par.
(c) Determine as fun¸c˜oesg e h para o caso em quef ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.
[17] Sejaf: D→Ruma fun¸c˜ao satisfazendo f(x)≥0 para todo x∈D. Defina h(x) =√ f(x).
(a) Mostre que f ´e crescente em D se, e somente se,h ´e crescente em D.
(b) Mostre que f ´e decrescente em D se, e somente se, h´e decrescente em D.
(c) Mostre que p ∈D ´e um ponto de m´aximo global de f em D se, e somente se, p ∈ D ´e um ponto de m´aximo global de g em D.
(d) Mostre que p ∈ D ´e um ponto de m´ınimo global de f em D se, e somente se, p ∈ D ´e um ponto de m´ınimo global de g em D.
(e) Mostre que p ∈ D ´e um ponto de m´aximo local de f em D se, e somente se, p ∈ D ´e um ponto de m´aximo local de g em D.
( f ) Mostre que p ∈ D ´e um ponto de m´ınimo local de f em D se, e somente se, p ∈ D ´e um ponto de m´ınimo local deg em D.
Respostas dos Exerc´ıcios
Aten¸c˜ao: as respostas apresentadas aqui n˜ao possuem justificativas. Vocˆe deve escrevˆe-las!
[01] (a) D = [3/2,+∞), (b) D = (−∞,−1]∪[1,+∞), (c) D = (−∞,0], (d) D = R, (e) D = (−1,0]∪(1,+∞), ( f ) D= (1,+∞).
[02] (a) A senten¸ca ´e verdadeira, pois a= (√
a)2 =b2. (b) Rec´ıproca da senten¸ca: a=b2 ⇒√
a=b. A rec´ıproca ´e falsa, pois possui um contraexemplo:
a= 1 e b=−1. Note que √
a = 1 e b2 = 1, de modo que a=b2 (a = 1 e b =−1 satisfazem a hip´otese da rec´ıproca) mas √
a = 1 ̸= −1 = b (a = 1 e b = −1 n˜ao satisfazem a tese da rec´ıproca).
[03] (a) S ={5}, (b) S =∅, (c) S={3}.
[04] (a) A senten¸ca ´√ e falsa, pois possui um contraexemplo: a = −2 e b = 1. Note que a2 = 4 e b= 1, de modo que a≤√
b (a=−2 e b= 1 satisfazem a hip´otese da senten¸ca) mas a2 > b (a=−2 e b= 1 n˜ao satisfazem a tese da senten¸ca).
(b) Rec´ıproca da senten¸ca: a2 ≤ b ⇒ a ≤ √
b. A rec´ıproca ´e verdadeira. De fato: sejam a e b dois n´umeros reais tais que a2 ≤ b. Como a2 ≥ 0, segue-se que b ≥ 0. Como a fun¸c˜ao raiz quadrada ´e crescente, segue-se que √
a2 ≤ √
b. Mas √
a2 = |a| e a ≤ |a| para todo a ∈ R. Assim, a≤√
b.
[05] Se x ´e uma solu¸c˜ao da desigualdade, ent˜ao 3x−2 ≥ 0, isto ´e, x ≥ 2/3. Em particular, x ≥ 0.
Como a fun¸c˜aox7→x2 e x7→√
x s˜ao crescentes no intervalo [0,+∞), segue-se que 2/3≤x≤√
3x−2⇔2/3≤x e x2 ≤(√
3x−2)2. Mas
2/3≤x ex2 ≤(√
3x−2)2 ⇔2/3≤x ex2 ≤3x−2⇔2/3≤x e x2−3x+ 2≤0⇔x∈[1,2].
Desta maneira, S={x∈R | x≤√
3x−2}= [1,2].
[06] (a) D= (−1,+∞).
(b) Observe que
f(x) = 2x√
x+ 1− x2 2√
x+ 1
x+ 1 =
4x(√
x+ 1)2 −x2 2√
x+ 1
x+ 1 = 4x(x+ 1)−x2 2 (x+ 1)√
x+ 1
= x(3x+ 4) 2 (x+ 1)√
x+ 1.
(c) f(x)>0 se, e somente se, x∈(0,+∞).
[08] (a) (−5,3), (b) (−5,−3).
[09] (a) Sabendo quef ´e uma fun¸c˜ao par, o gr´afico def fica assim:
. (b) Sabendo quef ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, o gr´afico de f fica assim:
.
[10] (a) f ´e par, (b) f ´e ´ımpar, (c) f n˜ao ´e par e nem ´ımpar, (d) f ´e par, (e) f ´e ´ımpar, ( f )f ´e par e ´ımpar, (g)f ´e par, (h) f n˜ao ´e par e nem ´ımpar.
[11] Falso! Como contraexemplo, considere a fun¸c˜ao nula y=f(x) = 0 para todo x∈R. Note quef
´e par e ´ımpar ao mesmo tempo.
[12] (a) Verdadeira. (b) Falsa. (c) Falsa. (d) Falsa. (e) Falsa. ( f ) Falsa. (g) Falsa. (h) Verdadeira.
[13] (a) Verdadeira. (b) Falsa. (c) Falsa. (d) Verdadeira. (e) Falsa. ( f ) Verdadeira. (g) Verdadeira.
(h) Falsa.
[14] (a) Verdadeira. (b) Falsa. (c) Verdadeira. (d) Falsa. (e) Verdadeira. ( f ) Falsa. (g) Falsa.
(h) Verdadeira.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 21/01/2013.
