Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 29, n. 1, p. 1-3, (2007) www.sbfisica.org.br
Cartas ao Editor
A equa¸c˜ao de transporte de Boltzmann
e sua importˆancia para a f´ısica dos reatores nucleares
De parab´ ens est´ a a SBF, ao editar na Revista Brasileira do Ensino de F´ısica, uma edi¸c˜ ao em tri- buto a um dos pilares da F´ısica, Ludwig Boltzmann, por ocasi˜ ao do centen´ ario de sua morte. Por´ em a contribui¸c˜ ao de Boltzmann vai al´ em da funda¸c˜ ao da mecˆ anica estat´ıstica, sendo que a sua famosa equa¸c˜ ao descrevendo a distribui¸c˜ ao esperada de part´ıculas, no espa¸co de fases, n( r , v , t), i.e.
∂n
∂t + v .∇ r n + F
m .∇ v n =
dn
dt
colis˜oes , com F a for¸ca externa e o termo (dn/dt )colis˜oes re- presentando a varia¸c˜ ao total no n´ umero esperado de part´ıculas devido a colis˜ oes ´ e o modelo b´ asico para a descri¸c˜ ao de transporte de part´ıculas, quer para os cha- mados processos de caminho aleat´ orio (“randon walk”, ou auto-difus˜ ao), ou de processos de transporte cole- tivo, conforme ilustrado na Fig. 1.
Figura 1 - Ilustra¸ c˜ ao dos processos de transporte.
No caso de part´ıculas sem carga (e.g. nˆ eutrons e f´ otons), o processo de transporte ´ e de auto-difus˜ ao,e com base nas hip´ oteses f´ısicas, tais como a densidade das part´ıculas muito menor do que a densidade das part´ıculas do meio em que ocorre o transporte, a n˜ ao intera¸c˜ ao entre part´ıculas, e a ausˆ encia de for¸cas exter- nas, “heuristicamente” pode-se mostrar que
dn
dt
colis˜oes = −vΣ t ( r , v )n( r , v , t) +
d 3 v v Σ( r , v → v )n( r , v , t),
E a equa¸c˜ ao de Boltzmann, reduz-se a uma equa¸c˜ ao de transporte linear, que no caso de nˆ eutrons, o termo de transferˆ encia inclui a multiplicidade devido ` as co- lis˜ oes devido ` as fiss˜ oes, ou seja
1 v
∂Φ( r , Ω , E, t)
∂t = −Ω .∇Φ − Σ t Φ+
Ω d Ω ∞
0
dE Σ s ( r , Ω , E → Ω, E; t)Φ( r , Ω , E , t)+
χ ( E ) 4 π
Ω d Ω ∞
0 dE υ(E
)Σ f ( r , E )Φ( r , Ω , E , t) + S ext.
onde na equa¸c˜ ao de Boltzmann linear para nˆ eutrons, ao inv´ es da densidade de part´ıculas introduz-se a gran- deza fluxo, Φ = nv, pela possibilidade do c´ alculo das taxas de rea¸c˜ ao, ΣΦ e a sec¸c˜ ao de choque macrosc´ opica, ou probabilidade de intera¸c˜ ao por unidade de caminho, como Σ = N σ, com N a densidade atˆ omica do meio em que ocorre o transporte, e σ a sec¸c˜ ao de choque microsc´ opica, que em termos microsc´ opicos descreve a intera¸c˜ ao dos nˆ eutrons com os n´ ucleos do meio, com os subscritos s e f para as rea¸c˜ oes de espalhamento e fiss˜ ao (assumida isotr´ opica), e a sec¸c˜ ao de choque de transferˆ encia por espalhamento, o produto da densi- dade atˆ omica do meio pela se¸c˜ ao de choque diferencial de espalhamento (dσ/dEdΩ), e o espa¸co de fase ´ e a posi¸c˜ ao, dire¸c˜ ao e energia. No termo de fiss˜ ao, χ(E) ´ e o espectro de energias dos nˆ eutrons de fiss˜ ao e υ(E) ´ e o numero de nˆ eutrons emitidos por fiss˜ oes induzidas por nˆ eutrons com energia E. Esta equa¸c˜ ao ´ e a base para a descri¸c˜ ao da popula¸c˜ ao de nˆ eutrons num sistema (e.g.
reatores nucleares), e ´ e a base para o projeto dos rea-
tores nucleares, tamb´ em conhecida como f´ısica dos rea-
tores. O fato a se destacar ´ e que esta equa¸c˜ ao pode ser
2 Carta ao Editor
interpretada como um balan¸co de part´ıculas no espa¸co de fases.
Outro fato a destacar ´ e que de maneira an´ aloga que a fluidodinˆ amica dos meios cont´ınuos ´ e uma con- seq¨ uˆ encia direta da mecˆ anica estat´ıstica, a introdu¸c˜ ao da chamada Lei de Fick, que correlaciona a corrente de nˆ eutrons com um gradiente de fluxo, i.e. J = −D∇Φ, reduz a equa¸c˜ ao de transporte a um “modelo do conti- nuo” para nˆ eutrons, denominada teoria da difus˜ ao.
Desta forma, indiretamente, L. Boltzmann, ´ e de certa forma o “pai” da f´ısica dos reatores nucleares, e mesmo na sua ´ epoca sem o conhecimento das rea¸c˜ oes nucleares, e da mecˆ anica quˆ antica, ser´ a a sua equa¸c˜ ao a base para o projeto dos reatores nucleares atuais, e a nossa comunidade de f´ısica de reatores tem este bri- lhante cientista como o pilar de seu trabalho.
Jos´ e Rubens Maiorino E-mail: maiorino@ipen.br
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Sobre os potenciais de condutores em movimento
Publicamos em 2001 artigo nesta Revista [1], inti- tulado ‘Esfera condutora em movimento: campo, po- tenciais e d´ uvidas’. As ‘d´ uvidas’ se referiam ao sentido f´ısico do potencial escalar da esfera carregada em mo- vimento e, principalmente, ao do potencial vetor que devemos atribuir ` a mesma. Com referˆ encia ` a Fig. 1, reproduzida daquele artigo, os principais pontos a re- cordar s˜ ao os seguintes:
K K’
R
v Q
x
Figura 2 - Esfera no sistema K ’, em tracejado, vista do sistema K , tra¸ co cheio.
1) Para um observador no sistema K, a ‘esfera’ ´ e um elips´ oide achatado na dire¸c˜ ao de movimento e de revolu¸c˜ ao nas outras duas.
2) O potencial escalar do condutor em movimento, Φ em K, ´ e maior do que o mesmo em K ’, Φ , este igual a Q/R, pelo fator γ = (1−v 2 /c 2 ) − 1 / 2 , ou seja Φ = γΦ . Os s´ımbolos tˆ em o sentido habitual, Q, carga, R, raio, v, velocidade da esfera e c, velocidade da luz.
3) Al´ em do potencial escalar Φ, devemos atribuir
`
a ‘esfera’ condutora em movimento um potencial ve- tor, com uma componente exclusivamente na dire¸c˜ ao de movimento A x = vΦ/c.
4) No sistema K, a normal ao condutor est´ a na
dire¸c˜ ao do ‘campo’ de Lorentz local, E + v × B /c.
5) O aumento do potencial escalar em K deve ser atribu´ıdo ao fato de que nele os potenciais efetivos s˜ ao os de Li´ enard-Wiechert, que, lembramos, n˜ ao s˜ ao sim- plesmente retardados pois incluem o fator de ‘paralaxe cin´ etica’, (1 − v .ˆ r /c) − 1 , sendo ˆ r o vetor unit´ ario de r ao ponto considerado [2].
Gostar´ıamos de fazer aqui os seguintes esclarecimen- tos em rela¸c˜ ao ao trabalho anterior:
I) Os potenciais que o observador em K atribui s˜ ao sistˆ emicos, isto ´ e, ao condutor em movimento como um todo. Notemos que o potencial escalar Φ ´ e maior que Φ , este medido em K ’, pelo fator γ, ou seja, na mesma propor¸c˜ ao em que a massa relativ´ıstica aumenta ao se passar de K ’ a K. Se adotamos o ponto de vista de que massa e energia s˜ ao equivalentes, o aumento da ener- gia potencial representa o aumento da ‘energia el´ etrica’
(ver ´ıtem a seguir) do condutor em movimento.
II) Para nossa surpresa, se calcularmos as integrais dos quadrados dos campo el´ etrico e magn´ etico no ex- terior do elips´ oide, a grandeza obtida n˜ ao parece guar- dar nenhuma rela¸c˜ ao direta com Φ [4]. Por esta raz˜ ao, chamamos este, ou seu produto com Q, de ‘energia el´ etrica’, ligado ao conceito de potencial eletrost´ atico ao qual os el´ etrons met´ alicos seriam sens´ıveis, im´ oveis ou m´ oveis.
III) Tendo em conta o resultado mencionado no
´ıtem 4) acima, concluimos que as transforma¸c˜ oes de Lorentz permitem encontrar a forma do condutor em movimento no qual a normal ao mesmo est´ a na dire¸c˜ ao da for¸ca de Lorentz em cada ponto de sua superf´ıcie.
IV) A d´ uvida principal deixada no artigo se referia
`
a interpreta¸c˜ ao a ser dada ao potencial vetor do con-
dutor em movimento, igual a vΦ/c na dire¸c˜ ao de movi-
mento. As considera¸c˜ oes feitas no item I) sugerem que
ele represente a quantidade de movimento associado ` a
Carta ao Editor 3
energia el´ etrica, necessariamente unida ` a energia numa entidade ´ unica ‘energia-momento’, como um quadri- vetor da relatividade ou um multivetor 0-1 da ´ algebra geom´ etrica, ou de Clifford.
V) Sabemos que se a esfera ´ e supercondutora, seus pares bosˆ onicos s˜ ao sens´ıveis ao potencial vetor, de tal maneira que - na linguagem de Feynman [3] - o p- momento, igual ` a soma do mv-momento e ao produto da carga pelo potencial vetor (ou momento el´ etrico, na nossa), ´ e conservado. Se imaginamos que ela, inicial- mente parada, recebe impulsivamente a velocidade v no sistema K, temos que o p-momento, inicialmente nulo, assim permanece porque para cada el´ etron no interior do condutor, vale a rela¸c˜ ao mv +qA x = 0 (pois q, carga do el´ etron, ´ e negativa) de acordo com a argumenta¸c˜ ao
desenvolvida em IV.
G.F. Leal Ferreira DFCM, IF - S˜ ao Carlos, E-mail: guilherm@if.sc.usp.br
Referˆencias
[1] G.F. Leal Ferrreira, Rev. Bras. Ens. Fis. 23 , 141 (2001).
[2] R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands, The Feyn- man Lectures on Physics, v .2 (Addison Wesley, Rea- ding, 1965).
[3] V. 3 da Ref. [2].
[4] Obtivemos para (1/8 π )
Êπ
0
2 πsenθdθ
Ê∞
r(θ)
( E
2+ B
2) r
2dr o resultado Q
2(3 − v
2/c
2) / (6 R
Ô
