Processamento de Sinal

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003

Processamento de Sinal

Conceitos, Métodos e Aplicações

Texto Tutorial da Disciplina:

APSI - LEEC

J.P. Marques de Sá – jmsa@fe.up.pt

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Índice

4.3 Descrições Tempo-Frequência ... 3

4.3.1 Motivação... 3

4.3.2 Transformada de Fourier Variante no tempo... 4

4.3.3 Transformada de ôndulas ... 13

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4.3 Descrições Tempo-Frequência

4.3.1 Motivação ) , ( ) (t T t f x ⇔ _x

Análise de sinais determinísticos variantes no tempo ou estocásticos não-estacionários. Duas classes de métodos:

• Linear ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) (t ax₁ t bx₂ t T t f aT ₁ t f bT ₂ t f x = + ⇒ _x = _x + _x Exemplos:

Transformada de Fourier variante no tempo

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4.3.2 Transformada de Fourier Variante no tempo

Ideia-chave: Multiplicar o sinal por uma janela corrente no tempo.

∑

∞ −∞ = − + = 1 ( ) ( ) ) , ( m m j e m w m n x n X

λ

Temos a versão discreta da Transformada de Fourier variante no tempo, também designada por STFT ("Short Time Fourier Transform"). A representação de STFT é chamada espectrograma.

Exemplo: Chirp linear. ) sin( ) (n w₀n2 x = -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Frequência instantânea de = ∂ ∂ n n n)): ( ) ( sin(

ϕ

2

π

f0n = 0.8

π

10-3n.

Análise com uma janela de Kaiser de 64 amostras e

β

= 3.5363.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.29 0.34 0.39 0.44 0.49 0.54 0.59 0.64 0.69 0.74 0.79 32 160 288 416 0-6 6-12 12-18 18-24

λ

n

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 0. 00 0. 07 0. 15 0. 22 0. 29 0. 37 0. 44 0. 52 0. 59 0. 66 0. 74 32 160 288 416 0 5 10 15 20 25 λ n

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Logo: n j e n w n h e n h n x n X( ,

λ

)= ( )⊗ _λ( ) _λ( )= (− ) λ

Na versão DFT, calculada com N amostras, temos:

[ ]

(

π ω

)

ω

₌ j k N−

k W e

H ( ) 2 /

Podendo-se obter a STFT a partir de um banco de N filtros.

h

_N-1

(n)

h

₁

(n)

h

₀

(n)

x(n)

X(n, N-1)

X(n, 1)

X(n, 0)

...

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Influência da largura da janela:

• Largura reduzida: boa resolução no tempo e má nas frequências. No limite, a janela tem apenas uma amostra, )

( )

(n n

w =

δ

, com espectro constante, não permitindo resolver nas frequências.

• Largura ampla: boa resolução nas frequências e má no tempo. No limite, a janela é constante, w(n)=1, não permitindo resolver no tempo.

Princípio da incerteza:

Dado o Teorema do escalamento:

      ⇔ a F at af( )

ω

Então, nenhuma função pode ter uma resolução arbitrariamente boa simultaneamente no tempo e na frequência. Usando como medidas de duração no tempo e na frequência:

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − = =

ω

π

E F d D dt t f t E d2 2 2 2 2 ( )2 2 1 ; ) ( 1

sendo E a energia do sinal:

∫

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Prova-se que:

Se t f(t)→0 com t →∞, então Dd ≥1/2 A igualdade é atingida apenas no caso da curva normal: f(t)= Ae−αt2

Exemplos: a) ECG amostrado a 500 Hz. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -100 0 100 200 300 400 500 600 700

Figura 4.28. ECG amostrado a 500 Hz, com indicação de vários componentes de onda.

T T

P Q

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Análise no Matlab: specgram(x,512,500,kaiser(256,3.5),250) specgram(x,256,500,kaiser(64,3.5),60) specgram(x,256,500,kaiser(128,3.5),120) specgram(x,256,500,kaiser(32,3.5),20) Time F reque nc y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 50 100 150 200 250 Time F req ue nc y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 50 100 150 200 250 Time F requ enc y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 50 100 150 200 250 Time F req ue nc y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 50 100 150 200 250

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Notar a boa resolução no tempo e na frequência para 64 amostras, com a detecção dos componentes de onda de maior frequência, ondas Q, R.

b) Análise de sinais de voz

Frase "Boa tarde" amostrado a 4009 Hz; 2251 amostras.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.5 0 0.5

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Time F req uen cy 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Figura 4.31. Espectrograma do sinal anterior (Matlab: specgram(x, 256, 4009, hanning(256), 250). A transição entre fonemas è visível.

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4.3.3 Transformada de ôndulas

Ideia-chave: em vez de avaliarmos a semelhança do sinal com uma sinusóide a múltiplas frequências, avaliamos a semelhança com uma "ôndula" a múltiplas escalas.

Transformada contínua de ôndulas (CWT):

dt a t a t x a W

∫

∞ ∞ −       − =

ψ

τ

_, ₎ ₍ ₎ 1 * (

O parâmetro a é um factor de escala, de dilatação (quanto maior a, mais dilatada é a ôndula).

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 ψ(τ,0.5) ψ(τ,1) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 10 20 30 40 C(t,1) C(t,0.5) x(n)

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A transformada de ôndulas preserva translações e escalamentos no tempo: • x~(t)=x(t −t₀) ⇒ W~_x(

τ

,a)=W_x(

τ

−t₀,a) • ~( ) ( ) ~( , ) ( , ) s a s W a W st x s t x = ⇒ _x

τ

= _x

τ

Não preserva, contudo, translações na escala.

Note-se que a escala está em correspondência inversa com a frequência: quanto maior a escala, menor a frequência e vice-versa. De facto, é possível escrever a CWT na forma:

dt t f f f f t x f W ∞

_∫

∞ −      − = ( ) ( ) ) , ( 0 * 0

τ

ψ

τ

sendo

ψ

, a ôndula mãe, uma função ou complexa do tipo passa-banda tendo f0 como frequência central.

Também é possível escrever:

( )

t dt t x a W

∫

_a ∞ ∞ − = * , ) ( ) , (

τ

ψ

_τ com _      − = a t a t a

τ

ψ

_τ_, ( ) 1

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Notar em particular que

ψ

₀_,₁(t)=

ψ

(t) é a ôndula mãe.

A transformada inversa de ôndulas é dada por:

∫ ∫

∞ −∞ = ∞ −∞ = = a a t dad a W a C t x τ τ

τ

ψ

τ

, ) ( ) ( 1 1 ) ( _, 2

A CWT proporciona uma representação redundante, já que não necessitamos de todo o suporte de W(

τ

,a) para recuperar x(t).

De facto, obtém-se uma representação não redundante dilatações e translações múltiplos de 2:

∑ ∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = − − ₋ = k l k k _t _l l k d t x( ) ( , )2 /2

ψ

(2 )

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Tempo Fr equê nc ia Es cal a s =1 s =2 s =4 s = ½ s = ¼

Figura 4.33. Representação diádica da transformada discreta de ôndulas. Notar que:

• A largura das "caixas" é maior quando a altura é menor e vice-versa. • A área das "caixas" é constante.

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 A transformada discreta de ôndulas (DWT) é definida como:

(

)

∫

+ − − = 2 ( 1) 2 2 ) ( 2 1 ) , ( l l k k k k dt l t t x l k d

ψ

Suponhamos que as ôndulas satisfazem as seguintes condições:

∫

∞ ∞ − = 0 ) ( dtt

ψ

∫

∞ ∞ − = 1 ) (t 2dt

ψ

) ( ) ( ), (t

ψ

t n

δ

n

ψ

− = 0 ) ( ), (t

φ

t − n =

ψ

, com    ≤ ≤ = t t t outros 0 1 0 1 ) (

φ

Então os coeficientes da DWT podem obter-se através da decomposição do sinal em:

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 10 20 30 40 C(t,1) G(t,1) x(n)

Figura 4.34. Decomposição do sinal anterior em aproximação e detalhe.

A decomposição é realizada usando filtros correspondentes às ôndulas, com decimação por 2.

x_k-1(n)

D=2 D=2

LP HP

cA_k cD_k

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A decomposição pode ser iterada em vários níveis até atingir um nível em que os detalhes só representam ruído branco.

x(n)

cA

1

cD

1

cA

2

cD

2

cA

3

cD

3

Figura 4.36. Decomposição multinível (3 níveis) de um sinal em aproximações e detalhes.

A reconstrução é feita "bottom-up" usando as interpolações duais das decimações. Notar que:

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Exemplos:

a) Análise de sinais

Análise do ECG: decomposição nas ondas componentes.

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b) Remoção de ruído em sinais

Remoção de ruído de alta frequência do ECG. Método: fixação de limitações nos detalhes.

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Figura 4. 39. ECG original e reconstruído.

(23)

(24)

d) Remoção de evoluções lentas ("trends")

a

b c

(25)

4.3.4 Transformada de Wigner

Transformação quadrática: adequada à representação tempo-frequência da energia de um sinal, logo, adequada à representação de sinais estocásticos não-estacionários.

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Exemplo:

Segmentos de EEG de vigilância e sono com 500 amostras.

(27)

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J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2003 Bibliografia

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