Autora: Josiane Cristine Barreto Vaz NRE: Ponta Grossa
Escola: Colégio Estadual Padre Nicolau Baltasar
Disciplina: Matemática ( x ) Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio Série: 8ª
Disciplina da relação interdisciplinar 1: Geografia Disciplina da relação interdisciplinar 2: Ciências Conteúdo Estruturante: Geométrica
Conteúdo Específico: Trigonometria
PICOS , MONTES E MONTANHAS , QUAL A DIFERENÇA?
Muitas vezes falamos ou ouvimos falar de montanhas , montes e picos, mas qual a diferença entre eles?
Bem, pra começar, vamos falar sobre os picos. Picos são os cumes ou pontos mais altos de uma montanha ou de um monte, um bom exemplo é o Pico do Everest. Muitas vezes também relacionamos a palavra pico, para falar de momentos de maior incidência de um fato ou fator, por exemplo: em horário de pico não saia de casa com seu automóvel, em São Paulo, pois ficará em um grande congestionamento. Bem se pico é somente o cume ou ponto mais alto, então qual será a diferença entre montanha e monte?
A montanha é imponente tem altitude superior a um monte, uma colina ou a um morro. De acordo com o CONAMA (Conselho Nacional do Meio Ambiente) , uma montanha tem altitude superior a sua base de mais de 300 metros e um monte ou um morro tem altitude em relação a base entre 50 metros e 300 metros. Geralmente as montanhas são escarpadas, com grande inclinação e com relevos sobrepostos.
Curiosidades
24% da superfície do planeta Terra é montanhosa e cerca de 10% da população mundial vive em terreno montanhoso. A maior parte dos grandes rios nascem em montanhas.
Os picos mais altos de cada um dos sete continentes Monte Everest - 8.844m (Ásia)
Aconcágua - 6.962m (América do Sul)
Monte McKinley (Denali) - 6.194m (América do Norte) Kilimanjaro - 5.895m (África)
Monte Elbrus - 5.642m (Europa) Maciço Vinson - 4.892m (Antártida)
Monte Kosciuszko - 2.228m ou Pirâmide Carstensz - 4.884m (Oceania) ATIVIDADE
Agora é sua vez, pesquise sobre os montes e montanhas mais famosos do Brasil . Também procure sobre os pontos mais altos do Paraná e da sua Cidade. Em sala compartilhe com seus colegas as informações e curiosidades encontradas.
Quando falamos em picos, morros, montanhas, colinas e montes sempre nos vem a mente a idéia de altura ou altitude. Mas o que é altitude? O que você já ouviu falar sobre altitude?
Altitude de um lugar ou um ponto na Terra é a distância na vertical entre o nível médio das águas do mar e esse ponto.
temperatura de base desse morro. A altitude também influi no organismo das pessoas, tenho certeza que você já observou ou pelo menos ouviu falar sobre isso. Lembre-se, quando a seleção brasileira vai jogar em La Paz, que fica a uma altitude de 3600 metros acima do nível do mar, sempre tem comentários que o jogo será difícil, não somente pela seleção que vai enfrentar, mas pelos problemas que as grandes altitudes causam em nosso organismo. A hipóxia, a falta de oxigênio no organismo, é o maior vilão, pois a 3600 metros acima do nível do mar, a quantidade de oxigênio é 36% menor que em um lugar que está a nível do mar, e todo o organismo sente está queda de oferta de oxigênio. Para não sentir a queda em uma competição os atletas precisariam de 30 dias para se aclimatarem a nova altitude ou ainda outra saída é chegar alguns instantes antes da competição, já que as reações mais agudas demoram 120 minutos depois que o corpo chega a essa altitude para se manifestar. Em partidas de futebol nem mesmo os goleiros são poupados, pois a bola enfrenta menos resitência do ar, logo sua velocidade acaba sendo maior..
ATIVIDADE
Pesquise sobre outros efeitos da altitude, em seguida converse com seus colegas e professores, para descobrir porque quando descemos ou subimos uma serra de grande elevação, muitas pessoas sentem um zumbido no ouvido.
Agora que já sabemos a diferença entre montanhas e montes, como podemos fazer para medir a altura de uma montanha ou de um monte?
Para começar devemos conhecer uma das figuras geométrica mais conhecidas e bastante utilizada em nossos dias, o TRIÂNGULO.
O triângulo é uma das figuras geométricas mais importante. Conhecer e trabalhar com a geometria dos triângulos tem apaixonado e encantado muitos matemáticos e curiosos. Com efeito, três pontos não alinhados (não colineares) determinam um e um só plano; e o triângulo é neste plano o polígono mais simples.
Não sabemos quem inventou ou descobriu o triângulo,pois não há nenhum registro sobre isso, sabemos é que ele teve e tem muita utilidade indiferente da época.O triângulo torna as construçoes mais rígidas e seguras. Nos tempos primitivos os gregos usavam o triângulo de descarga.
Devido ao peso, as portas podiam abater, mas com o triângulo, esse peso era suportado por postes laterais que eram maciços.
No início da Idade Média, apareceu no Mediterrâneo, uma vela triangular, alinhada com o eixo longitudinal do casco, contrariando a então utilizada, que era perpendicular ao mesmo eixo e de configuração quadrada, chamada Redonda, por ao longe parecer redonda.
Árabes, indianos ou até indonésios são apontados como os percursores de tal sistema, que permite à embarcação navegar contra o vento a uns 50 ou 60 graus.
Não sabemos ao certo quem a utilizou primeiro, mas sabemos que suas sucessoras foram de grande importância para a história do descobrimento de nosso continente e de nosso país.
O triângulo , atualmente,ainda é de grande importância e aplicabilidade, por ser uma figura estável. Para grandes e pequenas construções se tornarem estáveis e seguras, seus planejadores recorrem à robustez do triângulo. Frequentemente observamos formas triangulares em projetos arquitetônicos, às vezes só as observamos na construção, porque depois de prontas elas são encobertas por outras formas.
Podemos visualizar nas fotos a seguir alguns exemplos dessas aplicaçoes: Na estrutura e armações de brinquedos ,
Em torres de alta tensão e de telefonia móvel para suportarem grandes ventos.
Nas pontes de ferro
Na construção civil, para evitar quedas e outros acidentes, triangularizam-se os andaimes, também para estruturas em coberturas.
Na construção cívil, sendo usado em casas monumentos.
ATIVIDADE
dia-a-dia, obeserve a sua escola, sua casa e o trajeto que você faz para chegar na escola, Nessa observação, qual é o tipo de triângulo que mais aparece? Quais as características desse triângulo?
Bem já conhecemos os triângulos , resta saber como podemos medir alturas usando essa figura.Antes de explicar esse cálculo, devemos conhecer melhor os triângulos. Os triângulos se classificam quanto aos lados:
Nome
Equilátero Os 3 lados são congruentes ( possuem a mesma medida) Isósceles Possui 2 lados congruentes e 1 não congruente
Escaleno Possui o 3 lados não congruentes. Classificação quanto aos ângulos:
Nome
Acutângulo 3 ângulos agudos ( menores que 90º ) Retângulo 1 ângulo reto ( mede 90º )
Obtusângulo 1 ângulo obtuso ( mede mais que 90º )
Um triângulo retângulo é composto por dois elementos principais, que são os seus lados definidos como cateto e hipotenusa, ele possui um ângulo reto ângulo que possui 90º, logo os outro dois ângulos restantes serão agudos,ângulos menores que 90º pois a soma dos três ângulos de qualquer triângulos como você já viu, sempre será igual a 180º.
Os catetos são dois, eles são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.
A hipotenusa é o maior lado do Triângulo Retângulo, opondo-se ao ângulo reto.
Cateto Hipotenusa
Cateto
um homem, nem de um só povo mas sim da evolução e descoberta da humanidade.A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulo e METRIEN - medida. Na sua origem a trigonometria estava ligada à situações de medidas de terrenos , de medidas de superfície da terra e da Astronomia. Hoje em dia são várias as áreas e situações onde podemos utiliza-la, ela possui uma infinidade de aplicações práticas, veja a seguir algumas dessas aplicações.
− Determinação da altura de um prédio, pode ser concluida usando trigonometria. − Os gregos determinaram a medida do raio da terra, por um processo muito
simples, usando a trigonometria.
− Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa os recursos trigonométricos.
− Seria impossivel se medidir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
− Um cartógrafo precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa .
Razôes trigonométricas
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo estudado ou trabalhado. Cateto oposto é o cateto que fica do lado oposto ao ângulo estudado, cateto adjacento é o cateto que está próximo ao ângulo.
Há muito tempo atrás, observaram que não importa o tamanho do triângulo, se for grande ou pequeno, ele sendo semelhante a outro seus ângulos serão iguais e seus lados proporcionais, logo a razão entre os lados será sempre a mesma, então foram determinadas as estas razões, observando a medida do ângulo.
hipotenusa a
Cosseno: cateto adjacente ou cos Y = c hipotenusa a
Tangente: cateto oposto ou tg Y = b cateto adjacente c
Como essas razões são sempre a mesma em qualquer triângulo retângulo, foram criadas tabelas trigonométricas que nos dão o resultado dessas razões.
Atividade
Procure uma tabela com as razões trigonométricas, em sala com os seus colegas e professore discutam e pensem como foi produzida essa tabela..
Bem, agora que já temos as informações necessárias vamos juntos calcular duas alturas.
Altura de uma torre onde é acessível chegar ao pé , ou seja onde podemos chegar até a reta perpendicular que desce do ponto mais alto.
C
x
α
A B
Se o ângulo α mede 30º e a distância entre A e B é igual a 20 metros, podemos calcular o valor de x usando a razão da tangente.
Se, tg 30º=0,5774 e AB= 20m , logo 0,5774 = x_ então x = 11,548m 20
Altura de um morro cujo pé não é acessível. C
x
α µ
A y D 20m B
Se o ângulo µ mede 40º e o ângulo α mede 50º e a única medida que eu posso efetuar é ir de B até D e constato que BD = 20 mentão terei que:
tg 40º = __x__ tg 50º = __x__ y+20 y
Se tg 40º = 0,8391 e tg 50º = 1,1918 teremos o sitema a seguir 0,8391= __x_ 1,1918= __x__
y+20 y
resolvendo o sitema encontraremos que x=56,70 e y=47,58 logo a altura do morro é de 56,70metros .
Atividades
1) Quais as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 4cm e um dos ângulos mede 20º?
A x 4 cm
C B Y
2) Quais as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 4cm e um dos ângulos mede 20º?
3 Qual o comprimento da sombra de um poste de 5m no instante em que os raios solares estão formando um ângulo de 60º com o solo?
4) Em uma hora ensolarada, um bastão de 50cm projeta uma sombra de 20cm no solo. Na mesma hora uma árvore projeta sobre o chão uma sombra de 5m. Qual é a altura da árvore?
5) Uma pessoa, cujos olhos distam 170cm do chão afasta-se 2m de um poste e passa a ver sua extremidade sob um ângulo de 60º em relação à horizontal. Qual é a altura do poste?
6) Classifique cada uma das proposições seguintes como verdadeira (V) ou falsa (F):
( ) (a) Qualquer que seja o ângulo agudo a , cos a > sen a. ( ) (b) Para todo ângulo agudo a, sen a > cos a.
( ) (c) Para todo ângulo agudo a, tan a > cos a. ( ) (d) Para todo ângulo agudo a, tan a > sen a.
( ) (e) Não existe ângulo agudo a, tal que tan a =1000. ( ) (f) Existe ângulo agudo a, tal que cos a = 5.
( ) (g) Se a = 45º, então sen a = cos a.
7) Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 60º com o chão. Se a escada tem 20m de comprimento, que altura ela atinge?
Referências:
GUELLI,Oscar.Uma aventura do pensamento.- 8ª série. 6ªedição.Editora Ática. 2001.
CALCULLU'S. O lado divertido da matemática. Disponível em: http://paginas.terra. com.br/educacao/calculu/
Wikipédia.Matemática elementar plana/triângulo.Disponível em http://pt.wikibooks. org/wiki/Matem%C3%A1tica_Elementar:_Geometria_plana/Tri%C3%A2ngulos/Tri %C3%A2ngulo_Ret%C3%A2ngulo .. , acesso em 23 de janeiro de 2008.
Wikipédia. Relevo(geografia). Disponível em http://pt.wikipedia .org/wiki/Relevo_% 28geografia%29, acesso em 12 de dezembro de 2007.
TRIÂNGUO,O. Disponível
